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236

Capítulo 6

Capacitores e inductores

Pero vo iR   , R iR

a

+ vi −

La sustitución de estas expresiones en la ecuación (6.36) produce

− +

vo  RC

+ vo −

dvi dt

(6.37)

lo que demuestra que la salida es la derivada de la entrada. Los circuitos diferenciadores son electrónicamente inestables, porque exageran cualquier ruido eléctrico en ellos. Por esta razón, el circuito del diferenciador de la figura 6.37 no es tan útil y popular como el integrador. Rara vez se utiliza en la práctica.

Figura 6.37 Diferenciador con amplificador operacional.

Ejemplo 6.14

Grafique la tensión de salida del circuito de la figura 6.38a) dada la tensión de entrada de la figura 6.38b). Adopte vo  0 en t  0. Solución: Éste es un diferenciador con

5 kΩ 0.2 ␮F

RC ⫽ 5 ⫻ 103 ⫻ 0.2 ⫻ 10⫺6 ⫽ 10⫺3 s

− + vi

dvi dt

R

C

iC

iC  C

+ vo −

+ −

a)

Respecto de 0 ⬍ t ⬍ 4 ms, se puede expresar la tensión de entrada de la figura 6.38b) como vi ⫽ e

0 6 t 6 2 ms 2 6 t 6 4 ms

2 000t 8 ⫺ 2 000t

Esto se repite respecto de 4 ⬍ t ⬍ 8 ms. Al aplicar la ecuación (6.37), la salida se obtiene como dvi ⫺2 V 0 6 t 6 2 ms vo ⫽ ⫺RC ⫽ e dt 2V 2 6 t 6 4 ms

vo(V) 4

Así, la salida es como la trazada en la figura 6.39. 0

2

4

6 b)

8

t (ms) vo (V)

Figura 6.38 Para el ejemplo 6.14.

2

0

2

4

6

8

t (ms)

−2

Figura 6.39 Salida del circuito de la figura 6.38a).

Problema de práctica 6.14

El diferenciador de la figura 6.37 tiene R ⫽ 10 k⍀ y C ⫽ 2 ␮F. Dado que vi ⫽ 3t V, determine la salida vo. Respuesta: ⫺60 mV.

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6.6

237

Aplicaciones

6.6.3 Computadora analógica Los amplificadores operacionales se desarrollaron originalmente para las computadoras electrónicas analógicas. Las computadoras analógicas pueden programarse para resolver modelos matemáticos de sistemas mecánicos o eléctricos. Estos modelos suelen expresarse en términos de ecuaciones diferenciales. Resolver ecuaciones diferenciales simples con el uso de una computadora analógica requiere la disposición en cascada de tres tipos de circuitos con amplificador operacional: circuito integrador, amplificadores sumadores y amplificadores inversores/no inversores para escalamiento negativo/positivo. La mejor manera de ilustrar cómo una computadora analógica resuelve una ecuación diferencial es con un ejemplo. Supóngase que se desea solucionar x(t) de la ecuación a

d 2x dx ⫹ b ⫹ cx ⫽ f (t), 2 dt dt

t 7 0

(6.38)

donde a, b y c son constantes y f(t) es una función arbitraria forzada. La solución se obtiene resolviendo primero el término de la derivada de orden superior. Al despejar d 2x/dt2 se obtiene f (t) d 2x c b dx   x  2 a a a dt dt

(6.39)

Para obtener dx/dt, el término d 2x/dt2 se integra e invierte. Por último, para obtener x, el término dx/dt se integra e invierte. La función de forzada se introduce en el punto apropiado. Así, la computadora analógica para la resolución de la ecuación (6.38) se implementa interconectando los sumadores, inversores e integradores necesarios. Puede utilizarse una graficadora u osciloscopio para ver la salida x, o dx/dt, o d 2x/dt2, dependiendo de la parte del sistema a la que se le conecte. Aunque el ejemplo anterior versó sobre una ecuación diferencial de segundo orden, cualquier ecuación diferencial puede simularse mediante una computadora analógica que comprenda integradores, inversores y sumadores inversores. Sin embargo, debe tenerse cuidado al seleccionar los valores de los resistores y capacitores, para garantizar que los amplificadores operacionales no se saturen durante el intervalo de la resolución. Las computadoras analógicas con tubos al vacío se utilizaron en las décadas de 1950 y 1960. Recientemente su uso ha disminuido pues las han sustituido las computadoras digitales modernas. No obstante, se estudiarán todavía las computadoras analógicas por dos razones. Primero, la disponibilidad de amplificadores operacionales integrados ha hecho posible producir computadoras analógicas fácilmente y a bajo costo. Segundo, la comprensión de las computadoras analógicas ayuda a apreciar las computadoras digitales. Diseñe un circuito de computadora analógica para resolver la ecuación diferencial: 2

d vo dt

2

⫹2

dvo ⫹ vo ⫽ 10 sen 4t, dt

t 7 0

sujeta a vo(0) ⫽ ⫺4, v⬘o(0) ⫽ 1, donde la prima se refiere a la derivada respecto al tiempo. Solución: 1. Definir. Hay un problema y una solución esperada claramente definidos. Sin embargo, hay que recordar que muchas veces el problema no está bien definido y que esta porción del proceso de resolución de problemas po-

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Ejemplo 6.15

238

Capítulo 6

Capacitores e inductores

dría requerir mucho más esfuerzo. De ser así, tenga siempre presente que el tiempo invertido en ella redundará después en mucho menor esfuerzo y muy probablemente le ahorrará muchas frustraciones en el proceso. 2. Presentar. Obviamente, el uso de los dispositivos desarrollados en la sección 6.6.3 permitirá crear el circuito de computadora analógica deseado. Se necesitan los circuitos integradores (quizá combinados con una capacidad de suma) y uno o más circuitos inversores. 3. Alternativas. El método para resolver este problema es directo. Se debe elegir los valores correctos de las resistencias y capacitores que permitan lograr la ecuación por representar. La salida final del circuito ofrecerá el resultado deseado. 4. Intentar. Hay un número infinito de posibilidades para seleccionar los resistores y capacitores, muchas de las cuales darán por resultado soluciones correctas. La selección de las resistencias arrojará los valores necesarios de los capacitores. Valores extremos para los resistores y capacitores provocarán salidas incorrectas. Por ejemplo, tales valores de resistores sobrecargarán la electrónica. La selección de valores demasiado grandes de los resistores provocará que los amplificadores operacionales dejen de funcionar como dispositivos ideales. Los límites pueden determinarse a partir de las características del amplificador operacional real. Primero se determina la segunda derivada como d2vo dt 2

dvo ⫽ 10 sen 4t ⫺ 2 ⫺ vo dt

(6.15.1)

Resolver esto requiere algunas operaciones matemáticas, como suma, escalamiento e integración. La integración de ambos miembros de la ecuación (6.15.1) da como resultado dvo ⫽⫺ dt

冮 a⫺10 sen 4t ⫹ 2 dt t

dvo

0

⫹ vo b dt ⫹ v¿o (0)

(6.15.2)

donde v⬘o(0)  1. Se implementa la ecuación (6.15.2) utilizando el integrador sumador que aparece en la figura 6.40a). Los valores de los resistores y capacitores se han elegido de manera que RC  1 en el término t 1 ⫺ vo dt RC 0

冮

Los demás términos del integrador sumador de la ecuación (6.15.2) se implementan en correspondencia. La condición inicial dvo(0)/dt 1 se logra conectando una batería de 1 V con un interruptor entre los extremos del capacitor, como se muestra en la figura 6.40a). El siguiente paso es obtener vo integrando dvo(0)/dt e invirtiendo el resultado,

冮 a dt b dt ⫹ v(0) t

vo  

dvo

(6.15.3)

0

Esto se realiza en el circuito de la figura 6.40b), en el que la batería aporta la condición inicial de 4 V. Ahora se combinan los circuitos de la figura 6.40a) y b) para obtener el circuito completo presentado en la figura 6.40c). Cuando se aplica la señal de entrada 10 sen 4t, los interruptores se abren en t = 0 para obtener la forma de onda de la salida, la cual puede verse en un osciloscopio.

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6.6 −

+

1V

1 MΩ

t=0

−

+

4V

t=0

1 ␮F

−10 sen (4t)

1 ␮F

1 MΩ vo dvo dt

1 MΩ

dvo dt

− +

0.5 MΩ

1 MΩ

dvo dt

−

10 sen (4t) + −

1V

+ −

t=0

1 V 1 ␮F 1 MΩ − +

vo

4V

t=0 1 ␮F

1 MΩ − +

dvo dt c)

Figura 6.40 Para el ejemplo 6.15.

5. Evaluar. La respuesta parece correcta, pero ¿lo es? Si se desea una solución efectiva de vo una buena comprobación sería hallar la solución realizando primero el circuito en PSpice. Este resultado podría compararse después con una solución obtenida mediante la capacidad de resolución de ecuaciones diferenciales de MATLAB. Pero como todo se reduce a comprobar el circuito y confirmar que representa a la ecuación, se puede seguir una técnica más fácil: la de recorrer sencillamente el circuito para ver si genera la ecuación deseada. Sin embargo, hay todavía algunas decisiones por tomar. Se puede recorrer el circuito de izquierda a derecha, pero esto implicaría derivar el resultado para obtener la ecuación original. Un método más fácil sería ir de derecha a izquierda. Éste es el método que se aplicará para comprobar la respuesta. Comenzando por la salida, vo, se advierte que el amplificador operacional de la derecha no es más que un inversor con una ganancia de uno. Esto significa que la salida del circuito intermedio es vo. Lo siguiente representa la acción del circuito intermedio. t

t dvo dt ⫹ vo(0)b ⫽ ⫺avo 2 ⫹ vo (0)b dt 0 0 ⫽ ⫺(vo(t) ⫺ vo(0) ⫹ vo(0))

donde vo(0)  4 V es la tensión inicial entre los extremos del capacitor. El circuito de la izquierda se verifica de la misma manera.

冮

t

0



vo

+

0.5 MΩ

冮

− +

−vo b)

1 MΩ

⫺vo ⫽ ⫺a

1 MΩ

− +

a)

dvo  a dt

239

Aplicaciones

d 2vo dt 2

dt  v¿o(0)b  a

dvo ⫹ v¿o(0) ⫺ v¿o(0)b dt

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1 MΩ 1 MΩ − +

vo

240

Capítulo 6

Capacitores e inductores

Ahora todo lo que se debe comprobar es que la entrada del primer amplificador operacional es d 2vo /dt 2. Al examinar la entrada se advierte que es igual a 10 sen(4t) ⫹ vo ⫹

dvo 1兾10⫺6 dvo ⫽ ⫺10 sen(4t) ⫹ vo ⫹ 2 0.5 M⍀ dt dt

lo que produce d 2vo /dt 2 de la ecuación original. 6. ¿Satisfactorio? La solución obtenida es satisfactoria. Ahora se puede presentar este trabajo como solución del problema.

Problema de práctica 6.15

Diseñe un circuito de computadora analógica para resolver la ecuación diferencial: d 2vo dt

2

⫹3

dvo ⫹ 2vo ⫽ 4 cos 10t, dt

t 7 0

sujeta a vo (0) ⫽ 2, v⬘o (0) ⫽ 0. Respuesta: Véase la figura 6.41, donde RC ⫽ 1 s.

2V

t=0

C

C

R d 2vo dt 2

R R 2

R

− +

− +

− + vo

R

R 3

R − +

d 2vo dt 2

R R 4

R cos (10t)

+ −

− +

Figura 6.41 Para el problema de práctica 6.15.

6.7

Resumen

1. La corriente que circula a través de un capacitor es directamente proporcional a la velocidad de cambio en el tiempo de la tensión a través de él. i⫽C

dv dt

La corriente a través de un capacitor es de cero a menos que la tensión cambie. Así, un capacitor actúa como un circuito abierto con una fuente de cd.

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241

Preguntas de repaso

2. La tensión en un capacitor es directamente proporcional a la integral en el tiempo de la corriente que circula a través de él. v⫽

冮

1 C

t

i dt ⫽

⫺⬁

t

冮 i dt ⫹ v(t )

1 C

0

t0

La tensión en un capacitor no puede cambiar instantáneamente. 3. Los capacitores en serie y en paralelo se combinan de la misma manera que las conductancias. 4. La tensión en un inductor es directamente proporcional a la velocidad de cambio respecto al tiempo de la corriente que circula por él v⫽L

di dt

La tensión en el inductor es de cero a menos que la corriente cambie. Así, un inductor actúa como un cortocircuito con una fuente de cd. 5. La corriente que circula por un inductor es directamente proporcional a la integral en el tiempo de la tensión a través del mismo. i

1 L

冮

t

v dt ⫽

⫺⬁

1 L

t

冮 v dt ⫹ i(t ) 0

t0

La corriente que circula por un inductor no puede cambiar instantáneamente. 6. Los inductores en serie y en paralelo se combinan de la misma manera que resistores en serie y en paralelo. 7. En cualquier momento dado t, la energía almacenada en un capacitor es 1 –2Cv2, mientras que la energía almacenada en un inductor es 1–2Li2. 8. Tres circuitos de aplicación: el integrador, el diferenciador y el de la computadora analógica pueden lograrse empleando resistores, capacitores y amplificadores operacionales.

Preguntas de repaso 6.1

6.2

6.3

6.4

¿Qué carga tiene un capacitor de 5 F cuando se conecta a una fuente de 120 V? a) 600 C

b) 300 C

c) 24 C

d ) 12 C

v (t) 10

0

La capacitancia se mide en: a) coulombs

b) joules

c) henrys

d ) farads

a) permanece sin cambios

b) se reduce a la mitad

c) se duplica

d) se cuadriplica

¿Es posible que la forma de onda de la tensión de la figura 6.42 esté asociada con un capacitor? b) No

2

t

−10

Cuando la carga total en un capacitor se duplica, la energía almacenada:

a) Sí

1

Figura 6.42 Para la pregunta de repaso 6.4.

6.5

La capacitancia total de dos capacitores en serie de 40 mF conectados en paralelo con un capacitor de 4 mF es de: a) 3.8 mF

b) 5 mF

d) 44 mF

e) 84 mF

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c) 24 mF

242

6.6

Capítulo 6

Capacitores e inductores

En la figura 6.43, si i  cos 4t y v  sen 4t, el elemento es: a) un resistor

b) un capacitor

6.9

Los inductores en paralelo pueden combinarse exactamente igual que resistores en paralelo. a) Verdadero

c) un inductor

b) Falso

6.10 En el circuito de la figura 6.44, la fórmula del divisor de tensión es: i v

+ −

a) v1 ⫽

L1 ⫹ L2 vs L1

b) v1 ⫽

L1 ⫹ L2 vs L2

c) v1 ⫽

L2 vs L1 ⫹ L2

d ) v1 

L1 vs L1 ⫹ L2

Elemento

Figura 6.43 Para la pregunta de repaso 6.6.

L1 + v − 1

6.7

6.8

Un inductor de 5 H cambia su corriente por 3 A en 0.2 s. La tensión producida en sus terminales es de: a) 75 V

b) 8.888 V

c) 3 V

d) 1.2 V

Si la corriente que circula por un inductor de 10 mH aumenta de cero a 2 A, ¿cuánta energía se almacena en él? a) 40 mJ

b) 20 mJ

c) 10 mJ

d) 5 mJ

+ v2 −

+ −

vs

L2

Figura 6.44 Para la pregunta de repaso 6.10.

Respuestas: 6.1a, 6.2d, 6.3d, 6.4b, 6.5c, 6.6b, 6.7a, 6.8b, 6.9a, 6.10d.

Problemas Sección 6.2

6.6

Capacitores

6.1

Si la tensión en un capacitor de 5 F es 2te⫺3t V, halle la corriente y la potencia.

6.2

Un capacitor de 20 ␮F tiene una energía de w(t) ⫽ 10 cos2 377t J. Determine la corriente que circula por él.

6.3

En 5 s, la tensión en un capacitor de 40 mF cambia de 160 a 220 V. Calcule la corriente promedio por el capacitor.

6.4

6.5

Una corriente de 6 sen 4t fluye a través de un capacitor de 2 F. Halle la tensión v(t) a través del capacitor dado que v(0) ⫽ 1 V. La tensión en un capacitor de 4 ␮F se muestra en la figura 6.45. Halle la forma de onda de la corriente.

v (t) V 10 0

0

−10

Figura 6.45 Para el problema 6.5.

2

4

6

8

2

4

6

8

10

12 t (ms)

−10

Figura 6.46 Para el problema 6.6. 6.7

En t ⫽ 0, la tensión en un capacitor de 50 mF es de 10 V. Calcule la tensión del capacitor para t ⬎ 0 cuando la corriente 4t mA fluye por él.

6.8

Un capacitor de 4 mF tiene la tensión entre terminales

v(t) V 10

La forma de onda de la tensión de la figura 6.46 se aplica en un capacitor de 30 ␮F. Diagrame la forma de onda de la corriente que circula por él.

v⫽b

t (ms)

50 V, Ae⫺100t ⫹ Be⫺600t V,

tⱕ0 tⱖ0

Si el capacitor tiene una corriente inicial de 2 A, halle: a) las constantes A y B, b) la energía almacenada en el capacitor en t ⫽ 0, c) la corriente del capacitor en t ⬎ 0.

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243

Problemas

6.9

La corriente que circula por un capacitor de 0.5 F es 6(1  et) A. Determine la tensión y la potencia en t = 2 s. Suponga v(0)  0.

6.10 La tensión a través de un capacitor de 2 mF se muestra en la figura 6.47. Determine la corriente que circula por el capacitor. v (t) (V)

6.15 Dos capacitores (de 20 y 30 ␮F) se conectan a una fuente de 100 V. Halle la energía almacenada en cada capacitor si están conectados en: a) paralelo

b) serie

6.16 La capacitancia equivalente en las terminales a-b del circuito de la figura 6.50 es de 30 ␮F. Calcule el valor de C. a

16

C 0

1

2

3

14 ␮F

t (␮s)

4

Figura 6.47 Para el problema 6.10.

80 ␮F b

6.11 Un capacitor de 4 mF tiene una corriente con la forma de onda que aparece en la figura 6.48. Suponiendo que v(0)  10 V, diagrame la forma de onda de tensión v(t).

Figura 6.50 Para el problema 6.16. 6.17 Determine la capacitancia equivalente de cada uno de los circuitos de la figura 6.51.

i(t) (mA) 15

12 F

4F

10 5

6F

3F

0

2

−5

6

4

8

t (s) 4F

−10

a) 6F

Figura 6.48 Para el problema 6.11. 5F

4F

2F

2 000t

6.12 Una tensión de 6e V aparece entre las terminales de una combinación de un capacitor de 100 mF y un resistor de 12 ⍀ paralelo. Calcule la potencia absorbida por dicha combinación en paralelo.

b) 3F

6F

2F

6.13 Halle la tensión en las terminales de los capacitores en el circuito de la figura 6.49 en condiciones de cd.

4F

3F

50 Ω

10 Ω

c) 30 Ω

C1

+ v1 −

20 Ω + −

60 V

+ v2 −

C2

Figura 6.5 Para el problema 6.17. 6.18 Halle Ceq en el circuito de la figura 6.52 si todos los capacitores son de 4 ␮F.

Figura 6.49 Para el problema 6.13.

Sección 6.3

Capacitores en serie y en paralelo

6.14 Capacitores de 20 y 60 pF conectados en serie se colocan en paralelo con capacitores de 30 y 70 pF conectados en serie. Determine la capacitancia equivalente.

Ceq

Figura 6.52 Para el problema 6.18.

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244

Capítulo 6

Capacitores e inductores

6.19 Halle la capacitancia equivalente entre las terminales a y b en el circuito de la figura 6.53. Todas las capacitancias están en ␮F.

40 ␮F

10 ␮F

10 ␮F

35 ␮F

80

5 ␮F 20 ␮F

12

40

15 ␮F

a

15 ␮F

20

50 12

10

30

a

b

Figura 6.56 Para el problema 6.22.

b 60

Figura 6.53 Para el problema 6.19.

6.23 En referencia al circuito de la figura 6.57, determine: a) la tensión en cada capacitor, b) la energía almacenada en cada capacitor.

6.20 Halle la capacitancia equivalente en las terminales a-b del circuito de la figura 6.54.

4 ␮F

a

1 ␮F

120 V

+ −

6 ␮F

2 ␮F

3 ␮F

1 ␮F

Figura 6.57 Para el problema 6.23. 2 ␮F

2 ␮F

6.24 Repita el problema 6.23 en relación con el circuito de la figura 6.58.

2 ␮F

60 ␮F 3 ␮F

3 ␮F

3 ␮F

3 ␮F

90 V

30 ␮F

80 ␮F

14 ␮F

Figura 6.58 Para el problema 6.24.

b

Figura 6.54 Para el problema 6.20.

6.25 a) Demuestre que la regla de la división de tensión para dos capacitores en serie como en la figura 6.59a) es

6.21 Determine la capacitancia equivalente en las terminales a-b del circuito de la figura 6.55. 5 ␮F

+ −

20 ␮F

6 ␮F

v1 

4 ␮F

C2 vs, C1 ⫹ C2

v2 ⫽

C1 vs C1 ⫹ C2

suponiendo que las condiciones iniciales son de cero.

a

C1 2 ␮F

3 ␮F

12 ␮F

b vs + −

Figura 6.55 Para el problema 6.21.

+ v1 − + v2 − a)

6.22 Obtenga la capacitancia equivalente del circuito de la figura 6.56.

Figura 6.59 Para el problema 6.25.

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C2

is

b)

i1

i2

C1

C2

245

Problemas

b) En relación con dos capacitores en paralelo como en la figura 6.59b), demuestre que la regla de la división de corriente es i1 

C1 is, C1 ⫹ C2

i2 ⫽

C2 is C1 ⫹ C2

suponiendo que las condiciones iniciales son de cero. 6.26 Tres capacitores, C1  5 ␮F, C2  10 ␮F y C3  20 ␮F, se conectan en paralelo a través de una fuente de 150 V. Determine: a) la capacitancia total,

6.30 Suponiendo que los capacitores están inicialmente descargados, halle vo(t) en el circuito de la figura 6.62.

is (mA)

6 ␮F

60 is

3 ␮F 0

2 t (s)

1

+ vo (t) −

Figura 6.62 Para el problema 6.30.

b) la carga en cada capacitor, c) la energía total almacenada en la combinación en paralelo. 6.27 Dado que cuatro capacitores de 4 ␮F pueden conectarse en serie y en paralelo, halle los valores mínimo y máximo que pueden obtenerse de tal combinación en serie/en paralelo.

6.31 Si v(0) ⫽ 0, halle v(t), i1(t) e i2(t) en el circuito de la figura 6.63.

*6.28 Obtenga la capacitancia equivalente de la red que aparece en la figura 6.60. is (mA) 20 40 ␮F

50 ␮F

30 ␮F

0

10 ␮F

20 ␮F

1

2

3

4

5

−20

Figura 6.60 Para el problema 6.28.

i1 is

6 ␮F

i2 + v −

4 ␮F

6.29 Determine Ceq en cada circuito de la figura 6.61. Figura 6.63 Para el problema 6.31.

C

C eq

t

C

C C

C a) C

C

C

C

6.32 En el circuito de la figura 6.64, sea que is ⫽ 30e⫺2t mA y v1(0) ⫽ 50 V, v2(0) ⫽ 20 V. Determine: a) v1(t) y v2(t), b) la energía en cada capacitor en t ⫽ 0.5 s.

C eq 12 ␮F +

b)

Figura 6.61 Para el problema 6.29.

*Un asterisco indica un problema difícil.

v1

–

is

Figura 6.64 Para el problema 6.32.

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20 ␮F

+ v2 –

40 ␮F

246

Capítulo 6

Capacitores e inductores

6.33 Obtenga el equivalente de Thévenin en las terminales a-b del circuito que aparece en la figura 6.65. Tenga en cuenta que por lo general no existen circuitos equivalentes de Thévenin de circuitos que incluyen capacitores y resistores. Éste es un caso especial en el que sí existe el circuito equivalente de Thévenin.

5F

6.42 Si la forma de onda de la tensión de la figura 6.67 se aplica entre las terminales de un inductor de 5 H, calcule la corriente que circula por el inductor. Suponga i(0) ⫽ ⫺1 A. v(t) (V)

+ −

15 V

6.41 La tensión en un inductor de 2 H es 20(1 ⫺ e⫺2t) V. Si la corriente inicial a través del inductor es de 0.3 A, halle la corriente y la energía almacenada en el inductor en t ⫽ 1 s.

a 3F

10

2F b

0

Figura 6.65 Para el problema 6.33.

Sección 6.4

1

3

2

t

5

4

Figura 6.67 Para el problema 6.42.

Inductores

6.34 La corriente que circula por un inductor de 10 mH es 6et/2 A. Halle la tensión y la potencia en t  3 s. 6.35 Un inductor tiene un cambio lineal de corriente de 50 mA a 100 mA en 2 ms e induce una tensión de 160 mV. Calcule el valor del inductor. 6.36 La corriente que circula por un inductor de 12 mH es i(t)  30te2t A, t  0. Determine: a) la tensión en el inductor, b) la potencia suministrada al inductor en t  1 s, c) la energía almacenada en el inductor en t  1 s.

6.43 La corriente en un inductor de 80 mH aumenta de 0 a 60 mA. ¿Cuánta energía se almacena en el inductor? *6.44 Un inductor de 100 mH se conecta en paralelo con un resistor de 2 k⍀. La corriente por el inductor es i(t) ⫽ 50e⫺400t mA. a) Halle la tensión vL en el inductor. b) Halle la tensión vR en el resistor. c) ¿Es vR(t) ⫹ vL(t) ⫽ 0? d) Calcule la energía en el inductor en t ⫽ 0. 6.45 Si la forma de onda de la tensión de la figura 6.68 se aplica a un inductor de 10 mH, halle la corriente del inductor i(t). Suponga i(0) = 0.

6.37 La corriente que circula por un inductor de 12 mH es 4 sen 100t A. Halle la tensión en el inductor en 0 ⬍ t ⬍ ␲ — ␲/ 200 s, y la energía almacenada en t ⫽ 200 s.

v (t) 5

6.38 La corriente que circula por un inductor de 40 mH es i(t) ⫽ b

0, te⫺2t A,

0

t 6 0 t 7 0

Halle la tensión v(t).

1

2

t

–5

6.39 La tensión en un inductor de 200 mH está dada por v(t) ⫽ 3t2 ⫹ 2t ⫹ 4 V

para t ⬎ 0.

Determine la corriente i(t) que circula por el inductor. Suponga que i(0) ⫽ 1 A. 6.40 La corriente que circula por un inductor de 5 mH se muestra en la figura 6.66. Determine la tensión en el inductor en t ⫽ 1, 3 y 5 ms.

Figura 6.68 Para el problema 6.45. 6.46 Halle vC, iL y la energía almacenada en el capacitor e inductor del circuito de la figura 6.69 en condiciones de cd. 2Ω

i(t) (A) 10 3A 0

Figura 6.66 Para el problema 6.40.

4Ω

+ vC −

2F

0.5 H 5Ω

2

4

6

t (ms)

Figura 6.69 Para el problema 6.46.

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iL

247

Problemas

6.47 En referencia al circuito de la figura 6.70, calcule el valor de R que hará que la energía almacenada en el capacitor sea igual a la almacenada en el inductor en condiciones de cd.

6.52 Halle Leq en el circuito de la figura 6.74.

10 H

R

4H Leq

160 ␮F 5A

6H

5H

3H 7H

4 mH

2Ω

Figura 6.74 Para el problema 6.52.

Figura 6.70 Para el problema 6.47. 6.48 En condiciones de cd en estado permanente, halle i y v en el circuito de la figura 6.71. i

2 mH 30 kΩ

5 mA

+ v −

6 ␮F

20 kΩ

6.53 Halle Leq en las terminales del circuito de la figura 6.75.

Figura 6.71 Para el problema 6.48.

6 mH

8 mH

a

Sección 6.5

5 mH

Inductores en serie y en paralelo

6.49 Halle la inductancia equivalente del circuito de la figura 6.72. Suponga que todos los inductores son de 10 mH.

12 mH

8 mH 6 mH b

4 mH

8 mH

10 mH

Figura 6.75 Para el problema 6.53.

Figura 6.72 Para el problema 6.49. 6.50 Una red de almacenamiento de energía consta de inductores en serie de 16 y 14 mH conectados en paralelo con inductores en serie de 24 y 36 mH. Calcule la inductancia equivalente.

6.54 Halle la inductancia equivalente desde las terminales del circuito de la figura 6.76.

9H

6.51 Determine Leq en las terminales a-b del circuito de la figura 6.73.

10 H

10 mH 12 H

60 mH 4H 25 mH a

b 30 mH

Figura 6.73 Para el problema 6.51.

6H

20 mH a

Figura 6.76 Para el problema 6.54.

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b

3H

248

Capítulo 6

Capacitores e inductores

6.55 Halle Leq en cada uno de los circuitos de la figura 6.77.

6.58 La forma de onda de la corriente de la figura 6.80 fluye por un inductor de 3 H. Diagrame la tensión en el inductor durante el intervalo 0 ⬍ t ⬍ 6 s.

L i(t)

L

Leq

L

2

L

L 0

1

2

3

4

5

6

t

Figura 6.80 Para el problema 6.58.

a) L L L

L L

Leq

6.59 a) Para dos inductores en serie como en la figura 6.81a), demuestre que el principio de división de tensión es

b)

v1 ⫽

Figura 6.77 Para el problema 6.55.

L1 vs, L1 ⫹ L2

v2 ⫽

L2 vs L1 ⫹ L2

suponiendo que las condiciones iniciales son de cero. b) Para dos inductores en paralelo como en la figura 6.81b), demuestre que el principio de división de corriente es

6.56 Halle Leq en el circuito de la figura 6.78.

i1 ⫽

L

L

+ v − 1 vs

L

L eq

+ −

+ v2 −

i1

i2

L1

L2

b)

Figura 6.81 Para el problema 6.59.

*6.57 Determine la Leq que puede usarse para representar la red inductiva de la figura 6.79 en las terminales. 2 4H

a

6.60 En el circuito de la figura 6.82, io(0) ⫽ 2 A. Determine io(t) y vo(t) para t ⬎ 0.

di dt

io (t)

+− 4e−2t V 3H

5H

b

Figura 6.79 Para el problema 6.57.

is

L2

a)

Figura 6.78 Para el problema 6.56.

L eq

L1 is L1 ⫹ L 2

L1

L

L

L

i

i2 ⫽

suponiendo que las condiciones iniciales son de cero.

L

L

L2 is, L1 ⫹ L 2

Figura 6.82 Para el problema 6.60.

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3H

5H

+ vo −

249

Problemas

6.61 Considere el circuito de la figura 6.83. Halle: a) Leq, i1(t) e i2(t) si is  3et mA, b) vo(t), c) la energía almacenada en el inductor de 20 mH en t  1 s.

i1

4 mH

+

is

i2

6.64 El interruptor de la figura 6.86 ha estado mucho tiempo en la posición A. En t ⫽ 0 se mueve de la posición A a la B. El interruptor es del tipo sin punto muerto, así que no hay interrupción en la corriente en el inductor. Halle: a) i(t) para t ⬍ 0, b) v inmediatamente después de que el interruptor se ha movido a la posición B, c) v(t) mucho después de que el interruptor está en la posición B.

20 mH

vo –

6 mH

4Ω

B

t=0

A

i L eq 12 V

Figura 6.83 Para el problema 6.61.

+ –

0.5 H

+ v –

5Ω

6A

Figura 6.86 Para el problema 6.64.

6.62 Considere el circuito de la figura 6.84. Dado que v(t)  12e3t mV para t ⬎ 0 e i1(0) ⫽ ⫺10 mA, halle: a) i2(0), b) i1(t) e i2(t).

6.65

Los inductores de la figura 6.87 están inicialmente cargados y se conectan a la caja negra en t ⫽ 0. Si i1(0) ⫽ 4 A, i2(0) ⫽ ⫺2 A y v(t) ⫽ 50e⫺200t mV, t ⱖ 0, halle: a) la energía inicialmente almacenada en cada inductor,

25 mH +

i1(t)

i2(t)

v(t)

20 mH

60 mH

b) la energía total suministrada a la caja negra de t ⫽ 0 a t ⫽ ⬁, c) i1(t) e i2(t), t ⱖ 0, d) i(t), t ⱖ 0.

– i(t)

Figura 6.84 Para el problema 6.62. + Caja negra v

t=0

i1

i2

5H

20 H

−

Figura 6.87 Para el problema 6.65.

6.63 En el circuito de la figura 6.85 grafique vo.

i1(t)

+ vo –

i2(t)

2H

6.66 La corriente i(t) por un inductor de 20 mH es igual en magnitud a la tensión entre sus extremos para todos los valores de tiempo. Si i(0) ⫽ 2 A, halle i(t).

i2(t) (A) 4

i1(t) (A) 3 0

3

Figura 6.85 Para el problema 6.63.

6 t (s)

0

2

4

6 t (s)

Sección 6.6

Aplicaciones

6.67 Un integrador con amplificador operacional tiene R ⫽ 50 k⍀ y C ⫽ 0.04 ␮F. Si la tensión de entrada es vi ⫽ 10 sen 50t mV, obtenga la tensión de salida.

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250

Capítulo 6

Capacitores e inductores

6.68 Una tensión de cd de 10 V se aplica a un integrador con R  50 k⍀ y C  100 ␮F en t  0. ¿Cuánto tardará en saturarse el amplificador operacional si las tensiones de saturación son de ⫹12 V y ⫺12 V? Suponga que la tensión inicial del capacitor fue de cero.

6.73 Demuestre que el circuito de la figura 6.90 es un integrador no inversor.

R

6.69 Un integrador con amplificador operacional donde R ⫽ 4 M⍀ y C ⫽ 1 ␮F tiene la forma de onda de entrada que se muestra en la figura 6.88. Trace la forma de onda de salida.

R − + R vi

+

R

vo

+ −

C −

vi (mV) 20

Figura 6.90 Para el problema 6.73.

10 0

1 2

3

4 5

6

t (ms)

6.74 La forma de onda triangular de la figura 6.91a) se aplica a la entrada del diferenciador con el amplificador operacional de la figura 6.91b). Trace la salida.

–10 –20

Figura 6.88 Para el problema 6.69.

v i (t) 10

6.70 Usando un solo amplificador operacional, un capacitor y resistores de 100 k⍀ o menor, diseñe un circuito para implementar

0

1

2

3

4

t (s)

t

vo ⫽ ⫺50

冮 v (t) dt i

−10

0

suponga vo ⫽ 0 en t ⫽ 0.

a)

6.71 Muestre cómo emplearía un solo amplificador operacional para generar

20 kΩ 0.01 ␮F

t

vo ⫽ ⫺

冮 (v

1

⫹ 4v2 ⫹ 10v3) dt

− +

0

Si el capacitor integrador es C ⫽ 2 ␮F, obtenga los valores de los demás componentes. 6.72 En t ⫽ 1.5 ms, calcule vo debida a los integradores en cascada de la figura 6.89. Suponga que los integradores se reajustan a 0 V en t ⫽ 0.

2 ␮F 10 kΩ − + 1V

+ −

Figura 6.89 Para el problema 6.72.

vi

+ −

+ vo −

b)

Figura 6.91 Para el problema 6.74.

0.5 ␮F 20 kΩ − +

+ vo −

6.75 Un diferenciador con amplificador operacional tiene R ⫽ 250 k⍀ y C ⫽ 10 ␮F. La tensión de entrada es una rampa r(t) ⫽ 12t mV. Halle la tensión de salida. 6.76 Una forma de onda de tensión tiene las siguientes características: una pendiente positiva de 20 V/s durante 5 ms seguida por una pendiente negativa de 10 V/s durante 10 ms. Si esa forma de onda se aplica a un diferenciador con R ⫽ 50 k⍀ y C ⫽ 10 ␮F, grafique la forma de onda de la tensión de salida.

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251

Problemas de mayor extensión

*6.77 La salida vo del circuito del amplificador operacional de la figura 6.92a) se muestra en la figura 6.92b). Si Ri  Rf  1 M⍀ y C  1 ␮F. Determine la forma de onda de la tensión de entrada y grafíquela.

6.79 Diseñe un circuito de computadora analógica para resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria, dy(t) ⫹ 4y(t) ⫽ f (t) dt donde v(0) ⫽ 1 V. 6.80 En la figura 6.93 se presenta una computadora analógica diseñada para resolver una ecuación diferencial. Suponiendo que se conoce f(t), formule la ecuación para f(t).

Rf C Ri − +

+ vo −

vi + −

1 ␮F

1 ␮F 1 MΩ

1 MΩ − +

1 MΩ

500 kΩ

− +

− +

v o(t)

a)

100 kΩ

vo 100 kΩ

4

− +

200 kΩ −f (t)

0

1

2

3

4

t (s)

Figura 6.93 Para el problema 6.80.

−4 b)

6.81 Diseñe una computadora analógica para simular la siguiente ecuación:

Figura 6.92 Para el problema 6.77.

d 2v ⫹ 5v ⫽ ⫺2f (t) dt 2

6.78 Diseñe una computadora analógica para simular d 2vo dt

2

⫹2

dvo ⫹ vo ⫽ 10 sen 2t dt

donde vo(0)  2 y vo(0)  0.

6.82 Diseñe un circuito con amplificador operacional de manera que vo ⫽ 10vs ⫹ 2

冮 v dt s

donde vs y vo son la tensión de entrada y la tensión de salida, respectivamente.

Problemas de mayor extensión 6.83 El laboratorio en el que usted trabaja dispone de gran número de capacitores de 10 ␮F con capacidad nominal de 300 V. Para diseñar un bloque de capacitores de 40 ␮F con capacidad de 600 V, ¿cuántos capacitores de 10 ␮F se necesitan y cómo los conectaría?

6.84 Un inductor de 8 mH se usa en un experimento de potencia de fusión. Si la corriente que circula por el inductor es i(t) ⫽ 5 sen2 ␲t mA. t ⬎ 0, halle la potencia suministrada al inductor y la energía almacenada en él en t ⫽ 0.5 s.

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252

Capítulo 6

Capacitores e inductores

6.85 Un generador de onda cuadrada produce una tensión de la forma de onda que se presenta en la figura 6.94a). ¿Qué tipo de componente de circuitos se necesita para convertir esa forma de onda de tensión a la forma de onda triangular de corriente que aparece en la figura 6.94b)? Calcule el valor del componente, suponiendo que está inicialmente descargado.

i (A) 4

0

1

3

2

4

t (ms)

b)

Figura 6.94 Para el problema 6.85.

v (V) 5 0

1

2

3

−5 a)

4

t (ms)

6.86 Un motor eléctrico puede modelarse como una combinación en serie de un resistor de 12 ⍀ y un inductor de 200 mH. Si una corriente i(t)  2te10t A fluye por la combinación en serie, halle la tensión entre los extremos de la combinación.

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