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• Darley Benitez

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NRC: 2508 Julio 2016.

Universidad de las Fuerzas Armadas Departamento de Eléctrica y Electrónica Circuitos Eléctricos.

CAPÍTULO 4 TEOREMA DE CIRCUITOS SECCIÓN 4.5 Y 4.6 TEOREMA DE THEVENIN Y NORTON 4.33. Determinar el circuito equivalente de Thevenin, como se ve por la resistencia de 5 ohmios. A continuación, calcular la corriente que fluye a través de la resistencia de 5 ohmios.

Primero hallamos la Rth. 𝑅𝑇ℎ = 10[Ω] + 10[Ω] = 20[Ω]

Hallamos el Vth. 4[A]=𝐼1 4=

𝑉1 = 𝑉1 = 40[𝑉] 10[Ω] 𝑉1 = 𝑉𝑇ℎ 𝑉𝑇ℎ = 40[𝑉]

Circuito equivalente de Thevenin. 𝐼1 = 𝐼 −40 + 20𝐼1 + 5𝐼1 = 0 25𝐼1 = 40 40

8

𝐼 = 25 = 5 = 1,6[𝐴]

4.34. Diseñe un problema que ayude a entender a otros estudiantes sobre el equivalente de Thevenin en el circuito.

V = 40 [V];

R1 = 10 [Ω];

R2 = 40 [Ω];

R3 = 20 [Ω]

40 − 𝑣1 𝑣1 𝑣1 − 𝑣𝑜 =3+ + 10 40 20 160 − 4𝑣1 = 120 + 𝑣1 + 2𝑣1 − 2𝑣𝑜 7𝑣1 − 2𝑣𝑜 = 40 3+

𝑣1 − 𝑣𝑜 =0 20

𝑣𝑜 − 𝑣1 = 60 v1 = 32 [V] vo = Vth = 92 [V] Rth = 28 [Ω] 4.35. Aplique el teorema de Thevenin para hallar v0 en el problema 4.12.

Aplicamos el circuito abierto en la incógnita v0 y hallamos la Rth apagando todas las fuentes independientes.

𝑅𝑇ℎ =

6 ∗ 3 12 ∗ 4 18 48 + = + = 5[Ω] 6 + 3 12 + 4 9 16

Encendemos las fuentes para encontrar Vth, con la aplicación de nodos.

Nodo 1: 12 −

12 − 𝑣1 𝑣1 = 6 3

12 + 12 − 𝑣1 = 2𝑣1 𝑣1 = 8[𝑉] Nodo 2: 19 − 𝑣2 𝑣2 =2+ 4 12 (19 − 𝑣2 ) = 4(24 + 𝑣2 ) 𝑣2 =

33 [𝑉] 4

𝑣𝑇ℎ = 𝑣1 − 𝑣2 𝑣𝑇ℎ = 8 −

33 = −0,25[𝑉] 4

Para calcular 𝑣0 en la R1, utilizamos el circuito con la resistencia equivalente, eliminando el circuito abierto. 𝑣0 =

5(−0,25) = −0,125[𝑉] 5+5

4.36. Resuelva para la corriente i en el circuito de la Fig.4.103 usando el teorema de Thevenin. (Sugerencia: encontrar el equivalente de Thevenin por la resistencia de 12[Ω].

−50 + 10𝑖1 + 30 = 0 10𝑖1 = 20 𝑖1 = 2[𝐴] −30 + 40𝑖2 = 0 𝑖2 =

3 4

𝐼𝑛 = 𝑖1 − 𝑖2 = 2 −

3 = 1,25[𝐴] 4

𝑅𝑡ℎ =

10 ∗ 40 = 8[Ω] 50

𝑉𝑡ℎ = 𝐼𝑛 ∗ 𝑅𝑡ℎ = 10[𝑉 ] 𝑖=

𝑉𝑡ℎ = 0,5[𝐴] 𝑅𝑡ℎ + 12

4.37. Halle el equivalente de Norton respecto a los terminales a-b en el circuito.

𝑅𝑒𝑞1 = 20[Ω] + 40[Ω] 𝑅𝑒𝑞1 = 60[Ω] 𝑅𝑒𝑞2 =

60[Ω] ∗ 12[Ω] 60[Ω] + 12[Ω]

𝑅𝑒𝑞2 = 10[Ω] 𝑅𝑒𝑞2 = 𝑅𝑁 𝑅𝑁 = 10[Ω]

Para obtener la corriente de Norton aplicamos transformación de fuente y hacemos cortocircuito entre las terminales y obtenemos el siguiente circuito equivalente: 𝑉𝑠 = 𝐼𝑠 𝑅 𝑉𝑠 = 2[𝐴] ∗ 40[Ω] 𝑉𝑠 = 80[𝑉]

𝑖1 = 𝐼𝑁 60𝑖1 + 80 − 120 = 0 60𝑖1 = 40 𝑖1 =

2 3

𝑖1 = 666.67[𝑚𝐴] 𝐼𝑁 = 666.67[𝑚𝐴]

4.38. Aplicar Thevenin y encontrar Vo.

Apagamos la fuente de corriente y de tensión. Sacamos el Rth donde se encuentra la incógnita.

𝑅𝑒𝑞1 = 16 + 4 = 20Ω

𝑅𝑒𝑞2 = 𝑅𝑒𝑞1 ll 5 =

20 ∗ 5 = 4Ω 25

𝑅𝑒𝑞3 = 𝑅𝑒𝑞2 + 1 = 5Ω 𝑅𝑇𝐻 = 5Ω

𝑖1 = 3𝐴 25𝑖2 − 48 + 12 = 0 𝑖2 = 1.44𝐴 𝑉5Ω = 7.2𝐴 (𝑉5Ω + 12) ll 𝑉𝑜 𝑉𝑜 = 19.2[𝑉] 4.39. Obtener el equivalente de Thevenin en a-b.

𝑖1 = −3[𝐴] −24 + 25𝑖1 + 30 = 0 25𝑖1 = −6 𝑖1 = −.024[𝐴] −5𝑖1 − 16𝑖2 + 𝑣𝑜 = 0 −5 ∗ −0.24 − 16 ∗ −3 + 𝑣𝑜 = 0 1.2 + 48 + 𝑣𝑜 = 0

𝑣𝑜 = −49.2[𝑉 ] 20||5 + 16 20 ∗ 5 + 16 = 20 [𝛺] 25 4.40. Encuentre Thevenin en a-b.

−70 + 10𝑘 ∗ 𝑖1 + 𝑣𝑡ℎ = 0 −𝑣𝑡ℎ + 20𝑘 ∗ 𝑖1 + 4𝑣𝑜 = 0 −𝑣𝑡ℎ + 20𝑘𝑖1 + 4𝑖1 ∗ 10𝑘 = 0 60𝑘 − 𝑣𝑡ℎ = 0 𝑣𝑡ℎ = 60[𝑉 ] 𝑖1 = 1[𝑚𝐴] −70 + 10𝑘𝑖1 + 1 = 0 𝑖1 =

69 1000

𝑖1 = 6.9[mA] 𝑣𝑜 = 6.9 ∗ 10 = 69[𝑉 ] −1 + 20𝑘𝑖2 + 276 = 0 𝑖2 = −

275 20𝑘

𝑖2 = −0.014[𝐴 ] 𝑖1 = 𝑖0 = 𝑖2 𝑖𝑜 = −0.14 − 6.9 𝑖𝑜 = −0.021[𝐴] 𝑅𝑡ℎ =

1 0.0206

𝑅𝑡ℎ = 48.54[𝛺 ] 𝑉𝑡ℎ = 60[𝑉]

4.41. Encuentra los equivalentes de Thevenin y Norton en los terminales a-b del circuito.

𝑅𝑇𝐻 =

(6 + 14) ∗ 5 6 + 14 + 5

𝑅𝑇𝐻 = 4[𝛺 ] −6𝑖1 + 20𝑖2 + 5𝑖3 = 14 20𝑖2 + 5𝑖3 = 20

(1)

𝑖2 − 𝑖3 = 3

(2)

7 𝑖2 = [𝐴] 5 8 𝑖3 = − [𝐴] 5 𝑉𝑇𝐻 = 𝑖3 ∗ 𝑅

𝑉𝑇𝐻 = −8[𝑉 ] 𝑅𝑁 = 𝑅𝑇𝐻 = 4[𝛺 ] 𝐼𝑁 =

𝑉𝑇𝐻 −8 = 𝑅𝑁 4

𝐼𝑁 = −2[𝐴]

4.43. Encuentre el equivalente de Thevenin mirando el los terminales a-b del circuito y resuelva para ix.

Para encontrar RTh se apagan las fuentes y encontramos un la resistencia equivalente del circuito. RTh = (10||10) + 5 RTh = 10[Ω]

Para encontrar VTh se hace un circuito abierto en los terminales a-b. Va = 5 ∗ 2 = 10[V] 20 VTh = = 10[Ω] 2 −Va + Vb + VTh = 0 VTh = 0 [V]

4.44. Para el circuito de la figura, obtener el equivalente de Thevenin en los siguientes terminales. a) a-b b) b-c

Obtenemos el resistor equivalente de Thevenin 𝑅𝑇ℎ en a-b. 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅5 = 𝑅𝑒𝑞1 3 + 2 + 5 = 10[𝛺] 𝑅𝑒𝑞1 × 𝑅4 10 × 4 = = 2.85 𝑅𝑒𝑞1 + 𝑅4 14

2.85 + 1 = 3.85[𝛺 ] = 𝑅𝑇ℎ Encontramos 𝑉𝑇ℎ Usamos el análisis de mallas 10 + 24 + 14𝑖 = 0 𝑖=1 𝑉𝑇ℎ = 𝑖𝑅 𝑉𝑇ℎ = 1 × 4 = 4[𝑉] Obtenemos el resistor equivalente de Thevenin 𝑅𝑇ℎ en b-c.

𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅4 = 𝑅𝑒𝑞2

𝑅𝑒𝑞2 × 𝑅5 9 × 5 = = 3.21[𝜴] = 𝑅𝑇ℎ 𝑅𝑒𝑞2 + 𝑅5 13

Encontramos 𝑉𝑇ℎ

Obtenemos un circuito equivalente. Aplicamos el análisis nodal en el nodo 𝑉0 . 𝑖1 + 𝑖2 = 𝑖3 24 − 𝑉0 𝑉0 +2= 9 5 𝑉0 = 15 = 𝑉𝑇ℎ

4.45. Encontrar el equivalente de Thevenin del circuito de Fig. 4.112 como se ve mirando en los terminales a y b.

Para encontrar la resistencia de Thevenin: 𝑅𝑇𝐻 = 𝑅𝑒𝑞 =

(6 + 6) ∗ 4 = 4 [𝛺] (6 + 6) + 4

Para encontrar VTH en a-b: Transformación de fuente: 𝑉1 = 4 ∗ 6 = 24 [𝑉] Divisor de tensión: 𝑉𝑇𝐻 =

4 ∗ 24 = 6 [𝑉] 16

Entonces: {

𝑉𝑇𝐻 = 6 [𝑉] 𝑅𝑇𝐻 = 4 [𝛺]

Circuito equivalente:

4.46. Usando la Fig. 4.113, diseñar un problema para ayudar a otros estudiantes a entender mejor Norton. Encontrar el equivalente de Norton en el circuito de la figura.

𝐼 = 4𝐴 𝑅1 = 10Ω

𝑅2 = 10Ω 𝑅3 = 20Ω

𝑅𝑁 = 𝑅3 ∥ 𝑅1 + 𝑅2 𝑅𝑁 = 20 ∥ 10 + 10 𝑅𝑁 =

20 ∗ 20 = 10Ω 40

𝐼𝑁 𝑖1

𝑖2

Malla1 𝑖1 = 4[𝐴] Malla 2 10𝑖2 + 10𝑖2 − 40 = 0 𝑖2 = 20[𝐴] 𝑖2 = 𝐼𝑁 = 20[𝐴] 4.47. Obtener el equivalente de Norton y Thevenin del circuito en la Fig. 4.114 con respecto a los terminales a-b

−30 + 72𝑖 − 60𝑖2 = 0

72𝑖1 − 60𝑖2 = 30

𝑖2 = 2𝑣𝑥

(𝑖1 − 𝑖2) ∗ 60 = 𝑣𝑥 120𝑖1 − 121𝑖2 = 0 𝑖1 = 2.4 𝑖2 = 2.38 𝑣𝑥 = 𝑣𝑡ℎ = (0.01905) ∗ 60 = 1.1905[V ] Rth en a-b.

𝑣𝑥 = 1 72𝑖1 − 60𝑖2 = 0 𝑖3 = 2.1[A ]

𝐼𝑛 =

2𝑣𝑥 = 2 60𝑖2 − 60𝑖1 = −1 1 𝑅𝑡ℎ = 𝑅𝑛 = = 2.1

𝑖3 + 2 = 𝑖2 0.4762[Ω ]

𝑉𝑡ℎ 1.1905 = = 2.5[A ] 𝑅𝑡ℎ 0.4762

4.48. Determinar el equivalente de Norton en los terminales A -B para el circuito.

Realizamos la siguiente configuración entre a-b una fuente de corriente de un amperio

i0 = 1[A] 6-10-V=0 RN=RTh= V/1 V=4[V] RTh= 4[Ω] Para calcular la IN

I0=2 VTH=-10 I0+4I0 VTH= -12 [v] IN=V/R IN=3 [A]

4.49. Halle el equivalente de Norton observando dentro de los terminales a-b del circuito en la figura. Cuando V=40[V], I=3[A], R1=10[Ω], R2=40[Ω] y R3=20[Ω].

𝑅𝑛 = 𝑅𝑇ℎ = 28[Ω] En el nodo: 40 − 𝑉0 𝑉0 𝑉0 = 10 + + 10 40 20 𝑉0 =

40 [𝑉] 7

𝑖0 =

𝑉0 2 = 20 7

Pero: 𝐼𝑁 = 𝐼𝑠𝑐 = 𝑖0 + 3 = 3.286[𝐴] 4.50. Obtener el equivalente de Norton del siguiente circuito de la figura 4.116 en los terminales a-b. Use el resultado para hallar la corriente i.

Figura 4.116 Para calcular R de Norton

Apagamos las fuentes independientes.

𝑅𝑁 = 𝑅1 + 𝑅2 𝑅𝑁 = 4 [Ω] + 6[Ω] 𝑅𝑁 = 10[Ω] Para calcular 9i0I de Norton

Aplicamos análisis nodal 2[𝐴] +

12 − 𝑉1 𝑉1 = 6 4

48[𝐴] + 48 − 4𝑉1 = 6𝑉1 -10V1=-96 V1=9.6 [V] −𝐼𝑁 =

12 − (9.6) 6

𝐼𝑁 = −0.4 [𝐴] Calculamos I a partir de circuito resultante

−0.4[𝐴] + 4[𝐴] =

𝑉1 𝑉1 + 5[Ω] 10[Ω]

−4[𝐴] + 40[𝐴] = 2𝑉1 + 𝑉1 𝑉1 =

36 3

V1=12[V] 𝐼=

12[𝑉 ] 5

I=2.4[A]

4.51. Encontrar los equivalentes de Norton en los terminales. a) a-b

b)c-d

Figura 4.117 Calculamos los equivalente de Norton entre a-b

𝑅𝑁 =

𝑅1 ∗ 𝑅2 + 𝑅3 𝑅1 + 𝑅2

𝑅𝑁 =

6∗3 +2 9

𝑅𝑁 = 4[Ω] Para calcular I de Norton Aplicamos transformación de fuentes 𝐵1 =

120 6 ∗ 3 ∗ = 40[𝑉] 6 9

𝐵2 = 6 ∗ 2 = 12[𝑉]

-40+12+4I=0 𝐼=

28 4

IN=7[A] Para literal b)

𝑅𝑁 = 4 + 𝑅𝑁 =

6∗3 9

2∗6 = 1.5[Ω] 8

Vth=12 +I Vth=19 [V] 𝐼𝑁 = 𝐼𝑁 =

𝑉𝑡ℎ 𝑅𝑛

19 = 12.667[𝐴] 1.5

4.52. Para el modelo de transistor de la figura 4.118, obtenga el equivalente de Thevenin en las terminales a-b.

Figura 4.118 Resolución:

Voltaje de thevenin

Aplicamos analisi de mallas En la malla 1 𝑖0 = 𝑖1 −6 + 𝑖1 ∗ 3𝑘 = 0 −6 + 𝑖0 ∗ 3𝑘 = 0 𝑖0 =

6 3

𝑖0 = 2𝑚𝐴 En la malla 2 𝑖2 = −20𝑖0 𝑖2 = −20 ∗ 2 𝑖2 = −40𝑚𝐴

Voc=Vth=-40*2=-80V

Resistencia de thevenin

Ilustración 1Circuito para obtener la Resistencia de thevenin En la malla 1 𝑖0 = 𝑖1 𝑖0 = 0 En la malla2: 𝑖2 = −20𝑖0 𝑖2 = 0 En la malla 3 𝑖0 = 𝑖3 ENTONCES 𝑖0 = 𝑖0 =

𝑉 𝑅

1𝑉 2𝐾

𝑖0 = 0.5𝑚𝐴

𝑅𝑡ℎ =

𝑉0 1 = = 2𝑘𝛺 𝑖0 0.5𝑚𝐴

4.53. Encontrar los equivalentes de Norton de la figura del circuito 4.119

Figura 4.119 Para calcular IN calculamos el v en el nodo 18 − 𝑣 𝑉 𝑉 + 0.25 𝑉 = + 6 3 2 V=4[V]

𝑉 = 0.25𝑉 + 𝐼𝑁 2 𝐼𝑁 = 0.25𝑣 = 0.25(4) IN=1[A] Para calcular R de Norton

𝑉𝑜 = 2 ∗ 1 = 2[𝑉 ] 𝑉𝑎−𝑏 = 2 ∗

1 +𝑉 2

𝑉𝑎−𝑏 = 1 + 2 𝑅𝑡ℎ =

3[𝑉 ] 1[𝐴]

𝑅𝑡ℎ = 3[Ω]

4.54. Encontrar el equivalente de Thevenin entre las terminales a-b

𝑉𝑇ℎ = 𝑉𝑥 −3 + 1000𝑖0 + 2𝑉𝑥 = 0 3 = 1000𝑖0 + 2𝑉𝑥 = 0 (1) 𝑉𝑥 = −50 ∗ 40𝑖0 𝑉𝑥 = −2000𝑖0 (2) (2) en (1) 3 = 1000𝑖0 − 4000𝑖0 𝑖𝑜 = −1[𝑚𝐴] 𝑉𝑇ℎ = 𝑉𝑥 = 2[𝑉] Para calcular R de Thevenin

.

1[𝐴] = 40𝐼 +

𝑉𝑥 50

1) 𝑉𝑥 = 50(1 − 40𝐼) 2) 40𝐼 =

2𝑉𝑥 1𝑘

1 en 2 40𝐼 =

2(50(1 − 40𝐼 )) 1𝑘 I=1/60

Vx=(50(1-40(1/60)) Vx=16.667 𝑅𝑡ℎ = 𝑉𝑥 ∗ 1[𝐴] 𝑅𝑡ℎ = 16.667 ∗ 1 𝑅𝑡ℎ = 16.667 [Ω]

4.55. Obtener el equivalente Norton en los terminales del circuito de la figura.

NODO A

IN 80𝐼 +

𝑉𝑎𝑏 =1 50[Ω]

(1)

8𝐼 + 0.001𝑉𝑎𝑏 = 0

(2)

Para hallar 𝐼𝑁 .

Reemplazamos 2 en 1 −80 (

0.001𝑅𝑎𝑏 𝑟𝑎𝑏 )+ =1 8 50

−0.01𝑅𝑎𝑏 +

𝑅𝑎𝑏 =1 50

0.5𝑅𝑎𝑏 = 50

𝑅𝑎𝑏 = 100 𝐾Ω 80𝐼=−𝐼𝑁 𝐼𝑁 = −80𝐼 −2 + 8𝐼 = 0 𝐼=

1 4

𝐼𝑁 = −20𝑚𝐴

4.56. Usando el teorema de Norton encontrar V0

Calculamos R de Norton

𝑅𝑁 = 𝑅𝑁 =

𝑅1 ∗ 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4 𝑅1 + 𝑅2

12 + 24 𝑘 + 2𝐾 + 10𝑘 36 𝑅𝑁 = 20𝐾

Para calcular I de Norton

Aplicamos análisis de malla Malla 1. −36 + 36𝐾 (𝐼1) − 24𝐾 (𝐼2) = 0 36𝐾 (𝐼1) − 24𝐾 (𝐼2) = 36 Supermalla −24𝐾 (𝐼1) + 26𝐾 (𝐼2) + 10𝑘 (𝐼3) = 0 𝐼3 + 3[𝑚𝐴] = 𝐼2 Resolviendo el Sistema I3=IN=-0.003[A]

𝑉 𝑉 + = 3[𝑚𝐴] 20𝐾 1𝐾 V=0.2857

4.57. Determinar los equivalentes de Thevenin en el circuito de la figura 4.123

Figura 4.123 Calculamos R de Thevenin y Norton

Aplicamos análisis de nodos 0.5𝑉𝑥 + 1 =

𝑉1 𝑉1 − 𝑉𝑥 + 1) 10 2

𝑉1 − 𝑉𝑥 𝑉𝑥 𝑉𝑥 = + 2) 2 3 6 V1=10[V] Rth=RN=V1*1[A] Rth=RN=10 [Ω] Para calcular Vth 50 − 𝑉𝑥 𝑉𝑥 𝑉𝑥 − 𝑣1 = + 6 6 2 𝑉𝑥 − 𝑉1 𝑉1 + 0.5𝑉𝑥 = 2 2 Vth=V1=166367[V] IN=Vth/RN 𝐼𝑁 =

166,7 = 16.67[𝐴] 10

5.58. La red en la Fig. 4.124 modelos de un transistor bipolar amplificador de emisor común conectado a una carga. Encontrar la resistencia Thevenin visto por la carga.

Fig 4.124 V1

Aplicamos análisis nodal 𝑉𝑠 − 𝑉 𝑉 + 𝑏𝑖𝑏 = 𝑅1 𝑅2 𝑅2 (

𝑉𝑠 − 𝑉 𝑏𝑖𝑏 𝑅1 )=𝑉 + 𝑅1 𝑅1

𝑉𝑠 − 𝑉 𝑏 𝑅1 𝑉𝑠 − 𝑉 𝑏𝑖𝑏 𝑅1 𝑉𝑠 − 𝑅2 ( 𝑅1 + 𝑖𝑏 𝑅1 ) + 𝑏 = 𝑅2 ( 𝑅1 + 𝑅1 ) 𝑖𝑏 𝑅1 𝑅2 𝑉𝑠 − 𝑉 𝑏 𝑅1 𝑉𝑠 − 𝑉 𝑏𝑖𝑏 𝑅1 𝑅2 ( 𝑅1 + 𝑖𝑏 ) 𝑉𝑠 − 𝑅2 ( 𝑅1 − 𝑅1 + 𝑅1 ) 𝑅2 𝑅1 𝑖𝑏 = 𝐼𝑁 = 𝑏

4.59. Determine los equivalentes de Thevenin y Norton en las terminales a-b del circuito de la figura 4.125.

Figura 4.125.

Figura a) Corriente de Norton

𝑖1 = 8[𝐴] −10𝑖1 + 30𝑖2 = 0 −10(8) + 30𝑖2 = 0 30𝑖2 = 80 𝑖2 = 2.66[𝐴] −50𝑖1 + 90𝑖3 = 0 −50(8) + 90𝑖3 = 0 90𝑖3 = 400 𝑖3 = 4.44[𝐴] 𝑖3 = 𝐼𝑁 + 𝑖2 𝐼𝑁 = 𝑖3 − 𝑖2 𝐼𝑁 = 4.44[𝐴] − 2.66[𝐴] 𝐼𝑁 = 1.78[𝐴] 𝑉𝑇ℎ = 𝐼𝑁 ∗ 𝑅𝑁 𝑉𝑇ℎ = 1.78[𝐴] ∗ 22.5[Ω] 𝑉𝑇ℎ = 40.05[𝑉]

Figura b) Resistencia de Norton y Thevenin 𝑅𝑒𝑞1 = 10[Ω] + 20[Ω]

𝑅𝑒𝑞1 = 30[Ω] 𝑅𝑒𝑞2 = 50[Ω] + 40[Ω] 𝑅𝑒𝑞1 = 90[Ω] 𝑅𝑁 = 𝑅𝑇ℎ =

30[Ω] ∗ 90[Ω] 30[Ω] + 90[Ω]

𝑅𝑁 = 𝑅𝑇ℎ = 22.5[Ω] 4.60. Encontrar Thevenin y Norton en los terminales a,b en el circuito de la figura4.126.

Figura 4.126.

.

𝑉 = 𝑖 ∗ 𝑅 = 12𝑉

𝑉 = 18 + 12 = 30𝑉 𝑅𝑒𝑞1 = 6 + 4 = 10Ω 𝑖=

𝑉 10 = = 2𝐴 𝑅 5

𝑖=

𝑉 30 = = 3𝐴 𝑅 10

𝑅𝑇𝐻 = 𝑅𝑁 = 3.33Ω 𝑉𝑇ℎ = 10𝑉 𝐼𝑁 = 3𝐴

4.61. Obtenga los equivalentes de thevenin y norton en los terminales a-b en el circuito de la figura4.127

Figura 4.127 Encontrarnos R de Thevenin y Norton Aplicamos transformación de delta a estrella 𝑅1 =

12 = 6/7[Ω] 14

𝑅2 =

12 = 6/7[𝛺] 14

𝑅3 =

36 = 36/7[𝛺] 14

𝑅𝑒1 = 2 +

6 18 𝐼𝐼 +2 7 7

𝑅𝑇ℎ𝑒 = 𝑅𝑁 =

15 6 + 𝐼𝐼 2 7 7

𝑅𝑇ℎ𝑒 = 𝑅𝑁 = 1.2[Ω]

Para calcular V de thevenin

Aplicamos análisis de malla Malla 1) −24 +

80 60 𝐼1 − 𝐼2 = 0 7 7

80 60 𝐼1 − 𝐼2 = 24 7 7 Malla 2) 12 +

80 60 𝐼2 − 𝐼1 = 0 7 7

80 60 𝐼2 − 𝐼1 = −12 7 7 Resolviendo el sistema I2 =-1.2 [A] Para el voltaje de thevenin 𝑉𝑡ℎ = 12 + 2𝐼2 𝑉𝑡ℎ = 12 + 2(−.12) 𝑉𝑡ℎ = 9.6[𝑉 ] IN=

9.6[𝑉] 1.2

IN=8[A]

4.62. Encuentre los equivalentes de thevenin en el circuito de la figura 4.128

Ya que no tiene fuentes independientes su voltaje es cero VTh=0 Para calcular R de thevenin

Análisis de nodal 1[𝐴] =

2𝑉𝑜 − 𝑉 𝑉 − 40 20

40=2Vo-V Nodo 2) 2𝑉𝑜 − 𝑉 𝑉 0.1𝑉 𝑉 − 𝑉𝑜 − = + 40 20 20 20 3Vo-1.2V=0 Resolviendo el sistema V0=10.53 Rth=3(Vo)*I Rth=31.5[Ω]

4.63. Encontrar el equivalente de Norton para el circuito de la figura 4.129.

Figura 4.129. Circuito para el problema 4.63. 𝐼𝑁 = 0[𝐴] Si 𝑣1 = 1[𝐴] entonces realizamos un divisor de tensión:

𝑉𝑜 = (

20 )𝑉 20 + 10 1

𝑉𝑜 = 𝐼𝑜 = 𝐼𝑜 =

2 [𝑉 ] 3

𝑉1 − 0.5𝑉𝑜 30

1 2 − (0.5 ∗ ) 30 3

𝐼𝑜 = −0.3[𝐴] 𝑅𝑁 =

𝑉1 1 = 𝐼𝑜 −0.3

𝑅𝑁 = −3.33. . [𝛺 ]

4.64. Obtenga los equivalentes de thevenin en los terminales a-b del circuito de la figura 4.130

1[V]

Figura 4.130 Como no hay una fuente independiente el Vth =0[V] Para calcular R de thevenin

.

Aplicamos analisi nodal 𝑉𝑥 1 − 𝑉𝑥 𝑉𝑥 𝑉𝑥 − 10( 2 ) = + 1 2 4 1 − 𝑉𝑥 𝑉𝑥 −4𝑉𝑥 = + 1 2 4 4 − 4𝑉𝑥 = 2𝑉𝑥 − 4𝑉𝑥 𝑉𝑥 = 1[𝑉] 𝐼 = 1[𝐴] Rth=V/I Rth=1[Ω]

4.65. Para el circuito mostrado en la Fig. 4.131, determine la relación entre Vo e Io.

Figura. 4.131

Aplicamos transformación de fuentes RTh = (12║4)+2 VTh = 32(12/16) RTh = 5 [Ω] VTh = 24[V]

24+R1(Io)+Vo=0 -24+5(Io)+Vo=0 Vo=24-5Io

CÁPITULO 5 AMPLIFICADOR OPERACIONAL SECCIÓN 5.3 AMPLIFICADOR OPERACIONAL IDEAL 5.8. Obtener 𝒗𝟎 para cada uno de los circuitos del amplificador operacional en la figura.

Para el circuito de la figura (a).

En el nodo 1: 𝑖1 = 𝑖2 1𝑚 =

𝑣1 − 𝑣2 2𝑘

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣1 = 𝑣𝑎 = 𝑣𝑏 = 0 𝑣2 = −2[𝑉] 𝑣0 = 𝑣2 = −2[𝑉] Para el circuito de la figura (b).

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣1 = 𝑣𝑎 = 1[𝑉] −𝑣𝑎 + 2 + 𝑣0 = 0 𝑣𝑎 − 2 = 𝑣0 1 − 2 = 𝑣0 𝑣0 = −1[𝑉] 5.9. Determine 𝒗𝟎 en cada uno de los circuitos de amplificador operacional.

(a)

(b)

En el circuito de la figura (a) tenemos: 4 − 𝑣0 = 0.001 2𝑘 𝑣0 = 2[𝑉] En el circuito de la figura (b) tenemos: −3 + 2 + 𝑣0 = 0

𝑣0 = 2[𝑉]

5.10. Halle la ganancia

𝒗𝟎 ⁄𝒗𝒔 del circuito de la figura.

10 ) 10 + 10 𝑣0 𝑣𝑠 = 2 𝑣0 =2 𝑣𝑠

𝑣𝑠 = 𝑣0 (

5.11. Usando la figura a continuación, diseñe un problema para ayudar a otros estudiantes a entender operadores ideales.

Encuentre 𝑖0 y 𝑣0 Para 𝑉 = 3[𝑉], 𝑅1 = 2[𝑘Ω], 𝑅2 = 8[𝑘Ω], 𝑅3 = 4[𝑘Ω], 𝑅4 = 10[𝑘Ω] y 𝑅5 = 4[𝑘Ω]

𝑣𝑎 = 𝑣𝑏 3 − 𝑣𝑎 𝑣𝑎 − 𝑣0 = 2𝑘 8𝑘 (1) 12 = 5𝑣𝑎 − 𝑣0 𝑣𝑎 − 𝑣0 𝑣0 + 𝑖0 = 8𝑘 4𝑘 3 − 𝑣𝑏 𝑣𝑏 = 5𝑘 10𝑘 6 = 3𝑣𝑏 (2) 𝑣𝑏 = 2[𝑉] (2) en (1): 12 − 4(2) = 2 − 𝑣0 𝑣0 = −2[𝑉] Para hallar 𝑖0 tenemos que: 4 2 + 𝑖0 = − 8𝑘 4𝑘 𝑖0 = −1[𝑚𝐴]

5.12. Calcular el valor relativo que el amplificador es ideal.

𝒗𝟎 ⁄𝒗𝒔 del circuito de la figura a continuación. Asuma

𝑣𝑎 = 𝑣𝑏 = 0 𝑣𝑠 − 𝑣𝑏 𝑣𝑏 − 𝑣0 = 5𝑘 25𝑘 𝑣𝑠 −𝑣0 = 5𝑘 25𝑘 5𝑣𝑠 = −𝑣0 𝑣0 = −5 𝑣𝑠

5.13. Halle 𝒗𝟎 e 𝒊𝟎 en el circuito de la figura.

𝑣1 = 𝑣2 Por el nodo 1 tenemos: 𝑖1 = 𝑖2 0 − 𝑣1 𝑣1 − 𝑣0 = 50𝑘 100𝑘 −2𝑣1 = 𝑣1 − 𝑣0 (1) 𝑣0 = 3𝑣1 Por el nodo 2 tenemos: 𝑖3 = 𝑖4 1 − 𝑣2 𝑣2 − 0 = 10[𝑘Ω] 90[𝑘Ω] 9 − 9𝑣2 = 𝑣2 10𝑣2 = 9 (2) 𝑣2 =

9 [𝑉] 10

Ecuación (2) en (1): 𝑣0 = 3 ∗

9 10

𝑣0 = 2.7[𝑉 ] Por ley de corriente de Kirchhoff tenemos que: 𝑖0 + 𝑖5 + 𝑖2 = 0

𝑖0 = −𝑖5 − 𝑖2 𝑖0 = −

0 − 𝑣0 𝑣1 − 𝑣0 − 10[𝑘Ω] 100[𝑘Ω]

100[𝑘Ω]𝑖0 = 10𝑣0 − 𝑣1 + 𝑣0 100000𝑖𝑜 = 11(2.7) −

9 10

𝑖0 = 288[𝜇𝐴]

5.14. Determine el Voltaje de salida 𝒗𝟎 , en el siguiente circuito.

Aplicando transformación de fuente: 2 ∗ 5 = 10𝑉 𝑣1 − 10 𝑣1 − 𝑣2 𝑣1 − 𝑣0 + + =0 5 20 10 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑣2 = 0 40 = 7𝑣1 − 2𝑣0 Ecuación nodo 1 𝑣2 − 𝑣1 𝑣2 − 𝑣0 + =0 20 10 𝑣1 − 2𝑣0 Ecuación nodo 2 1 en 2: 𝑣0 = −2.5 𝑉

SECCIÓN 5.4 AMPLIFICADOR INVERSOR 5.15. a) Determinar la relación

𝒗𝟎 ⁄𝒊 . Es en el circuito de amplificador operacional de la 𝒔

siguiente figura. b) Evaluar la relación para 𝑹𝟏 = 𝟐𝟎[𝒌𝛀], 𝑹𝟐 = 𝟐𝟓[𝒌𝛀] y 𝑹𝟑 = 𝟒𝟎[𝒌𝛀]. a)

𝑖𝑠 = 𝑖1 𝑖𝑠 =

0 − 𝑣1 𝑣1 =− 𝑅1 𝑅1

𝑣1 = −𝑖𝑠 𝑅1

𝑖𝑠 = 𝑖2 + 𝑖3 −

𝑣1 𝑣1 𝑣1 − 𝑣0 = + 𝑅1 𝑅2 𝑅3

𝑣0 1 1 1 = 𝑣1 ( + + ) 𝑅3 𝑅2 𝑅3 𝑅1 𝑣0 = −𝑖𝑠 𝑅1 𝑅3 (

1 1 1 + + ) 𝑅2 𝑅3 𝑅1

𝑣0 𝑅1 𝑅3 = −( + 𝑅1 + 𝑅3 ) 𝑖𝑠 𝑅2 b) 𝑣0 20 ∗ 40 = −( + 20 + 40) 𝑖𝑠 25

𝑣0 = −92[𝑘Ω] 𝑖𝑠

5.16. Use la figura siguiente y diseñe un problema que ayude a los estudiantes a entender mejor los amplificadores inversores operacionales.

Nodo 𝑉𝑎 𝑖𝑥 = 𝑖1 10 ∗ (

0.5 − 𝑉𝑎 𝑉𝑎 − 𝑉0 )=( ) ∗ 10 5 10 1 − 2𝑉𝑎 = 𝑉𝑎 − 𝑉0 (1) 1 = 3𝑉𝑎 − 𝑉0

Divisor de voltaje: 𝑉𝑎 = 𝑉𝑏 𝑉𝑎 =

8 𝑉 8+2 0

(2) 𝑉0 =

10 𝑉 8 𝑎

(2) en (1): 1 = 3𝑉𝑎 − 𝑉0 8 ∗ 1 = (3𝑉𝑎 −

10 𝑉)∗8 8 𝑎

24𝑉𝑎 − 10𝑉𝑎 = 8 14𝑉𝑎 = 8 (3) 𝑉𝑎 = (4) 𝑖𝑥 =

8 14

0.5 − 𝑉𝑎 5

(3) en (4): 𝑖𝑥 =

8 0.5 − 14 5

𝑖𝑥 = −0.0142 [𝑚𝐴] Nodo 𝑉0 : 𝑖𝑦 + 𝑖1 = 𝑖2 𝑖𝑦 = 𝑖2 − 𝑖1 𝑖𝑦 =

𝑉0 − 𝑉𝑎 𝑉𝑎 − 𝑉0 − 2 10 𝑉0 =

10 𝑉 8 𝑎

10 10 𝑉𝑎 − 𝑉𝑎 𝑉𝑎 − 8 𝑉𝑎 8 (5) 𝑖𝑦 = − 2 10 (3) en (5) 𝑖𝑦 = 0.08571 [𝐴]

𝒗 5.17. Calcule la ganancia 𝟎⁄𝒗𝒊 cuando el interruptor de la figura está en la: a) posición 1 b) posición 2 c) posición 3.

a) 𝑣0 𝑅2 =− 𝑣𝑖 𝑅1 𝑣0 12 =− 𝑣𝑖 5 𝑣0 = −2.4 𝑣𝑖 b) 𝑣0 80 =− 𝑣𝑖 5 𝑣0 = −16 𝑣𝑖 c) 𝑣0 2000 =− 𝑣𝑖 5 𝑣0 = −400 𝑣𝑖

5.18. En referencia al circuito de la figura siguiente, halle el equivalente de Thevenin a la izquierda de las terminales a-b.

𝑉0 = 𝑉𝑇ℎ 𝑉0 = − 𝑉0 = −

𝑅𝑓 ∗𝑉 𝑅1 𝑖

10𝑘 ∗ 7.5 10𝑘

𝑉0 = −7.5[𝑉] 𝑉𝑇ℎ = 𝑉0 = −7.5[𝑉] 𝑅𝑇ℎ = 0[Ω]

5.19. Determine 𝒊𝟎 en el circuito de la figura siguiente.

𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓. 𝐹𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 =

750𝑚 = 3.75 ∗ 10−4 [𝐴] 2𝑘

𝑅𝑒𝑞 = 2𝑘||4𝑘 =

4 [𝑘Ω] 3

4 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓. 𝐹𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 = 3.75 ∗ 10−4 ∗ 𝑘 = 0.5[𝑉] 3 𝑉𝑠𝑎𝑙 = −0.5 (

3 ∗ 10𝑘 ) = −0.9375[𝑉] 16𝑘

Aplicando nodos hallamos 𝑖0 . −

𝑉𝑠𝑎𝑙 𝑉𝑠𝑎𝑙 + 𝑖0 = 10𝑘 2𝑘

−𝑉𝑠𝑎𝑙 + 10𝑘𝑖0 = 5𝑉𝑠𝑎𝑙 10𝑘𝑖0 = 6𝑉𝑠𝑎𝑙 𝑖0 = 5.635 ∗ 10−4 [𝐴]

5.20. En el circuito de la figura siguiente, calcule 𝒗𝟎 si 𝒗𝒔 = 𝟐[𝑽]

Nodo a: 9 − 𝑣𝑎 𝑣𝑎 − 𝑣0 𝑣𝑎 − 𝑣𝑏 = + 4𝑘 8𝑘 4𝑘 18 − 2𝑣𝑎 = 𝑣𝑎 − 𝑣0 + 2𝑣𝑎 − 2𝑣𝑏 (1) 18 = 5𝑣𝑎 − 𝑣0 − 2𝑣𝑏 Nodo b: 𝑣𝑎 − 𝑣𝑏 𝑣𝑏 − 𝑣0 = 4𝑘 2𝑘 (2) 𝑣𝑎 = 3𝑣𝑏 − 2𝑣0 𝑠𝑖: (3) 𝑣𝑏 = 𝑣𝑠 = 2[𝑉] (3) en (1): 18 = 5𝑣𝑎 − 𝑣0 − 4 (4) 24 = 5𝑣𝑎 − 𝑣0 (3) en (2): (5) 6 = 𝑣𝑎 + 2𝑣0

Resolviendo la ecuación (4) y (5) tenemos: 𝑣𝑎 = 𝑣0 =

50 [𝑉] 11

8 = 0.7276[𝑉] 11

5.21. Calcule 𝒗𝟎 en el circuito del amplificador operacional de la figura siguiente.

𝑉𝑎 = 𝑉𝑏 = 1[𝑉] 3 − 𝑉𝑎 𝑉𝑎 − 𝑉0 = 4 10 2 𝑉𝑎 − 𝑉0 = 4 10 𝑉0 = −4[𝑉]

5.22. Diseñe un amplificador inversor con una ganancia de -15.

𝑖1 = 𝑖2

𝑣𝑖 − 𝑣1 𝑣1 − 𝑣0 = 𝑅1 𝑅𝑓 𝑣1 = 𝑣2 = 0[𝑉] 𝑣𝑖 𝑣0 =− 𝑅1 𝑅𝑓 𝑠𝑖 𝐴𝑣 =

𝑣0 𝑣𝑖

𝑅𝑓 𝑣𝑜 =− 𝑣𝑖 𝑅1 𝐴𝑣 = −

𝑅𝑓 𝑅1

𝐴𝑣 = −15 −15 = − 15 =

𝑅𝑓 𝑅1

𝑅𝑓 𝑅1

𝑠𝑖 𝑅𝑓 = 150[Ω] 𝑦 𝑅1 = 10[Ω] 15 =

150 10

Entonces si cumple: 15 = 15

5.23. Encontrar

𝒗𝟎 ⁄𝒗𝒔 .

𝑣𝑠 − 0 0 − 𝑣0 = 𝑅1 𝑅𝑓 𝑅𝑓 𝑣0 =− 𝑣𝑠 𝑅1

5.24. En el circuito que aparece en la figura halle k en la función de transferencia de tensión 𝒗𝟎 = 𝒌𝒗𝒔 .

𝑉1 = 𝑉2 Aplicamos LCK en el nodo 1 y tenemos: 𝑉1 𝑉1 − 𝑣𝑠 𝑉1 − 𝑣0 + + =0 𝑅1 𝑅2 𝑅𝑓 (1) (

1 1 1 𝑣𝑠 𝑣0 + + ) 𝑉1 − = 𝑅1 𝑅2 𝑅𝑓 𝑅2 𝑅𝑓

Aplicamos LCK en el nodo 2 y tenemos:

0 − 𝑉2 𝑣𝑠 − 𝑉2 + =0 𝑅3 𝑅4 𝑉2 𝑣𝑠 − 𝑉2 = 𝑅3 𝑅4 (

1 1 𝑣𝑠 + ) 𝑉1 = 𝑅3 𝑅4 𝑅4

Por división de tensión, tenemos: (3) 𝑉1 = (

𝑅3 ) ∗ 𝑉𝑠 𝑅3 + 𝑅4

Reemplazando (3) en (1): (

1 1 1 𝑅3 𝑣𝑠 𝑣0 ) ∗ 𝑉𝑠 − + + )( = 𝑅1 𝑅2 𝑅𝑓 𝑅3 + 𝑅4 𝑅2 𝑅𝑓

𝑅3 𝑅3 𝑅4 𝑅3 1 ) − ] ∗ 𝑣𝑠 𝑣0 = 𝑅𝑓 [( + − )( 𝑅1 𝑅𝑓 𝑅2 𝑅3 + 𝑅4 𝑅2 𝑘=

𝑣0 𝑣𝑠

𝑅3 𝑅3 𝑅4 𝑅3 1 )− ] 𝑘 = 𝑅𝑓 [( + − )( 𝑅1 𝑅𝑓 𝑅2 𝑅3 + 𝑅4 𝑅2

SECCIÓN 5.5 AMPLIFICADOR NO INVERSOR 5.25. Calcule en el circuito operacional de la figura

Figura 5.25. Circuito de amplificador operacional Solución: Marcando los nodos en los extremos de los resistores obtenemos:

Figura 5.25.1. Circuito marcado los nodos de los resistores.

Como podemos observar tenemos un amplificador operacional seguidor de tensión por lo cual:

𝑉𝑏 = 3.7 𝑣 3.7 − 𝑣𝑎 𝑉𝑎 37 5𝑣𝑎 37 3 37 = ; − = 𝑣𝑎 ; ∗ = 𝑣𝑎 ; 𝑣𝑎 = 𝑣𝑜 = = 2.31 𝑣 12 20 6 3 6 8 16

5.26. Usando la Fig. 5.64, designar un problema para ayudar a otro estudiante a entender mejor los amplificadores operacionales no inversores.

Figura 5.64. Circuito para el problema 5.26. Solución:

𝑉1 = 4 𝑉 𝑉2 = 6/(6 + 2) ∗ 𝑉𝑜 𝑉2 = 0.75 𝑉𝑜 𝑆𝑒𝑎 𝑉1 = 𝑉2 = 4[𝑉] 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 4 = 0.75𝑉𝑜 𝑉𝑜 = 5.33 𝑉 𝑖𝑜 =

𝑉𝑜 3𝑘

𝑖𝑜 = 1.78 𝑚𝐴 . 5.27. Encontrar Vo en el amplificador operacional de la figura.

Figura 5. Circuito para problema 5.27 El circuito que se presenta tiene un seguidor de tensión, por lo que el voltaje que ingrese será el mismo que saldrá, para el voltaje que ingresa lo encontraremos mediante un divisor de tensión.

𝑉24 =

24 ∗ 7.5 = 4.5 [𝑉] 24 + 16

Por lo que el voltaje que sale o V2 es igual a 4.5 V y con este voltaje realizamos un nuevo divisor de tensión en la resistencia de 12.

𝑉12 = 𝑉𝑜 =

12 ∗ 4.5 = 2.7 [𝑉] 12 + 8

5.28. Encuentre en el circuito amplificador operacional de la figura. 5.66.

Ffigura 5.66. Circuito para el ejercicio 28. Por se amplificador operacional no inversor.

𝑉𝑜 = (1 +

50𝑘 ) ∗ 0.4 10𝑘

𝑉𝑜 = 2.4 [𝑉] 𝐼𝑜 = 2.4/20𝑘 1.2 ∗ 10−4

5. 29. Determine la ganancia de voltaje en el amplificador de la figura.

(𝑉𝑖 − 𝑉1) 𝑉1 = ; (1) 𝑅1 𝑅2 −

𝑉2 𝑉2 − 𝑉𝑜 = ; 𝑅1 𝑅2

(2)

1 𝑒𝑛 2 𝑦 𝑉1 = 𝑉2 𝑉𝑜 𝑅2 = 𝑉𝑖 𝑅1

5.30. En el circuito que aparece en la figura 5.68 halle potencia absorbida por el resistor de 20 kΩ.

𝑉𝑜 = 𝑉𝑎 = 1.2 𝑅𝑒𝑞30𝐼𝐼20 = 𝑉𝑥 =

600 = 12 𝑘𝛺 50

12 ∗ 1.2 = 0.2 𝑉 60 + 12

𝑖𝑥 =

0.2 = 1 ∗ 10−5 𝐴 20000

5.31. Para el circuito encuentre ix.

𝑉𝑎 = 𝑉𝑜 4𝑚 +

𝑉𝑜 − 𝑉1 𝑉1 𝑉1 − 𝑉𝑜 – = 12𝑘 3𝑘 6𝑘

144 = 21𝑉1 − 9𝑉𝑜 𝑉1 − 2𝑉𝑜 = 0 𝑖𝑥 =

𝑉𝑜 6𝑘

𝑖𝑥 = 727 [𝑛𝐴]

5.32. Calcular Ix y Vo en el circuito de la figura 5.70 Encontrar en poder dispersado en el resistor de 60 k.

Figura 5.70. Sadiku

𝑉𝑎 = 𝑉𝑏 = 4 [𝑚𝑉 ] −

𝑉𝑎 𝑉𝑎 − 𝑉𝑥 = 10𝑘 50𝑘

𝑉𝑥 = 6𝑉𝑎

𝑉𝑥 = 24[𝑚𝑉 ]

𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑂ℎ𝑚 𝐼𝑥 =

𝑖𝑉𝑜 =

24[𝑚𝑉 ] = 0.6 [𝑢𝐴] 40𝑘

60𝑘 = 0.4[𝑢𝐴] 90𝑘 (0.6)[𝑢𝐴] 𝑖𝑟60𝑘 = 0.2[𝑢𝐴] 𝑉𝑜 = 𝑖𝑣𝑜 ∗ 𝑅30𝑘 𝑉𝑜 = 12 [𝑚𝑉 ] 𝑃 = 𝑖60𝑘. 𝑘 ∗ 𝑅

𝑃 = (0.2[𝑢𝐴])2 ∗ 60𝑘 𝑃 = 2.4 [𝑛𝑊 ]

5.33. Remítase al circuito del amplificador operacional de la figura. Calcule y la potencia que disipa el resistor de [ ].

Análisis en el nodo 1:

0 − 𝑉1 𝑉1 − 𝑉𝑜 = 2𝑘 1𝑘 3 𝑉𝑜 = 𝑉1 2

𝑉1 = 𝑉2 = 4[𝑉 ] 𝑉𝑜 =

3 ∗ 4 2

𝑉𝑜 = 6[𝑉 ]

𝑖𝑥 =

𝑉1 − 𝑉𝑜 1𝑘

𝑖𝑥 =

4— 6 1𝑘

𝑖𝑥 = −2[𝑚𝐴] 𝑝=

𝑉𝑜 2 3𝑘

𝑃=

36 3𝑘

𝑃 = 12 [𝑚𝑊 ]

5.34. Dado el circuito mostrado en la figura exprese Vo en terminos de V1 y V2

𝑉1−𝑉𝑖𝑛 𝑅1

+

𝑉1−𝑉𝑖𝑛 𝑅2 𝑅3

= 0 Ecuación 1

𝑉𝑎 = (𝑅3+𝑅4 𝑉𝑜) Ecuación 2

1 en 2 𝑉1 − 𝑉𝑎 = 𝑉𝑎 (1 +

𝑅1 𝑅1 𝑉2 − 𝑉𝑎 = 0 𝑅2 𝑅2

𝑅1 𝑅1 ) = 𝑉1 + 𝑉2 𝑅2 𝑅2

𝑅3𝑉𝑜 𝑅1 𝑅1 (1 + ) = 𝑉1 + 𝑉2 𝑅3 + 𝑅4 𝑅2 𝑅2 𝑉𝑜 =

𝑅3 + 𝑅4 𝑅1 (𝑉1 + 𝑉2) 𝑅1 𝑅2 𝑅3 (1 + 𝑅2)

𝑉𝑜 =

𝑅3 + 𝑅4 (𝑉1𝑅2 + 𝑉2) 𝑅3(𝑅1 + 𝑅2)

5.35. Diseñar un amplificador no inversor con una ganancia de 7,5.

𝑉1 = 𝑉2 = 6[𝑉 ] 𝐼1 = 𝐼2 𝑉𝑜 − 𝑉2 𝑉2 = 5𝑘 20𝑘 4𝑉𝑜 − 4𝑉2 = 𝑉2 𝑉𝑜 = 7.5[𝑉 ]

5.36. En relación con el circuito que se muestra en la figura5.73, halle el equivalente de Thevenin en las terminales a-b. (Sugerencia: Para hallar RTh aplique una fuente de corriente io y calcule vo.)

𝑽𝒕𝒉 =𝑽𝒂𝒃 (𝟏 +𝑹𝟐/𝑹𝟏)𝑽𝒔

No inversora está conectada a tierra V1=V2=0 No pasa voltaje ni corriente en R1 Y R2 Vo=0

𝑅𝑡ℎ =

𝑉𝑜 =0 𝑖𝑜

SECCIÓN 5.6. AMPLIFICADOR SUMADOR 5.37. Determine la salida del amplificador sumador de la figura 5.74.

𝑉𝑜 = − [

𝑅𝑓 𝑅𝑓 𝑅𝑓 ∗ 𝑉1 + ∗ 𝑉2 + ∗ 𝑉3] 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑉𝑜 = −3 𝑉

5.38. Diseñe un problema para ayudar a los estudiantes a entender mejor la suma de amplificadores operacionales. Calcule la tensión de salida debida al amplificador sumador que aparece en la figura.

Aplicamos la siguiente formula de amplificador operacional.

𝑉𝑜 = − [

𝑅𝑓 𝑅𝑓 𝑅𝑓 ∗ 𝑉1 + ∗ 𝑉2 + ∗ 𝑉3] 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑉𝑜 = −120 𝑚𝑉

5.39. Para el amplificador operacional de la Fig.5.76, determine el valor de forma para que

Como el circuito es un amplificador operacional sumador utilizamos su fórmula.

2 𝑣2 1 ) + − 10𝑘 20𝑘 50𝑘 5𝑉2 −16.5 = 10 + −1 2 𝑉2 = 3[𝑉 ]

𝑉𝑜 = −50𝑘 (

5.40. Referente al circuito mostrado en la figura 5.77, determine vo en los terminales de Vt y V2.

Figura 5.77. Circuito para el ejercicio 5.40

𝑁𝑜𝑑𝑜 𝑏: 𝑖4 = 𝑖𝑜 𝑣𝑜 − 𝑣𝑏 =0 50

𝑁𝑜𝑑𝑜 𝑎: 𝑉2 − 𝑉𝑎 𝑉1 𝑣𝑜 + = − 100𝑘 100𝑘 200𝑘 2𝑉2 + 2𝑉10 − 𝑉𝑜 𝑉𝑜 = − (

200𝑘 200𝑘𝑉2 ) 𝑉1 + 100𝑘 100𝑘

𝑉𝑜 = −(2𝑉2 + 2𝑉1)

5.41. Un amplificador promediador es un sumador que proporciona una salida igual al promedio de las entradas. Aplicando valores adecuados de entrada y resistor de retroalimentación, puede obtenerse.

Con el uso de un resistor de retroalimentación de 10 kΩ, diseñe un amplificador promediador con cuatro entradas.

Amplificador promediador con cuatro entradas

𝑉𝑜 = − [

𝑅𝑓 𝑅𝑓 𝑅𝑓 ∗ 𝑉1 + ∗ 𝑉2 + ∗ 𝑉3] 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅𝑓 = ¼ 𝑅1 𝑅𝑖 = 40𝑘Ω 𝑅𝑓 = 10𝑘Ω

5.42. Un amplificador sumador de tres entradas tiene resistores de entrada con 𝑹𝟏 = 𝑹𝟐 = 𝑹𝟑 = 𝟕𝟓[𝒌𝛀]. Para producir un amplificador pro mediador. ¿Qué valor del resistor de retroalimentación se necesita?

Figura. Amplificador Sumador

𝑣𝑎 = 0[𝑉] 𝑆𝑖 𝑣𝑜 = 𝑣1 = 𝑣2 = 𝑣3 𝑆𝑖 𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅3 = 75 [𝑘Ω]

𝑖 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖3 𝑣𝑎 − 𝑣𝑜 𝑣1 − 𝑣𝑎 𝑣2 − 𝑣𝑎 𝑣3 − 𝑣𝑎 = + + 𝑅𝑓 𝑅1 𝑅2 𝑅3 −

𝑣𝑜 𝑣1 𝑣2 𝑣3 = + + 𝑅𝑓 𝑅1 𝑅2 𝑅3 −

𝑣𝑜 3𝑣1 = 𝑅𝑓 𝑅1

𝑅𝑓 = − 𝑅𝑓 = −

𝑅1 3

75 [𝑘Ω] 3

∴ 𝑅𝑓 = 25[𝑘Ω]

5.43. Un amplificador sumador de cuatro entradas tiene𝑹𝟏 = 𝑹𝟐 = 𝑹𝟑 = 𝑹𝟒 = 𝟖𝟎[𝒌𝛀]. ¿Qué valor del resistor de retroalimentación se necesita para convertirlo en un amplificador promediador?

𝑅1 = 𝑅2 = 𝑅3 = 𝑅4 = 80[𝑘Ω] 𝑣𝑜 =

𝑅𝑓 𝑅𝑓 𝑅𝑓 𝑅𝑓 𝑣1 + 𝑣2 + 𝑣3 + 𝑣4 𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 𝑅𝑓 𝑅𝑜 𝑅𝑓 =

=

1 4

𝑅𝑜 80 [𝑘Ω] = 4 4

∴ 𝑅𝑓 = 20 [𝑘Ω]

5.44. Demuestre que la tensión de salida 𝑽𝒐 del circuito de la figura es.

Figura.5.78 para el problema 5.44. 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵

Aplicamos LKC en nodo A: 𝑖1 = 𝑖2 0 − 𝑉𝐴 𝑅4 − 𝑉𝑜 = 𝑅3 𝑅4 𝑉𝑜 = (

1 1 + ) 𝑉𝐴 ∗ 𝑅4 𝑅3 𝑅4

Aplicamos LKC en nodo B: 𝑖3 + 𝑖4 = 0 𝑉1 − 𝑉𝐵 𝑉2 − 𝑉𝐵 + =0 𝑅1 𝑅2 𝑉1 𝑉2 1 1 + = ( + ) 𝑉𝐵 𝑅1 𝑅2 𝑅2 𝑅3 𝑉𝐵 = (

𝑅2 𝑅3 𝑉1 𝑉2 ) + 𝑅2 + 𝑅3 𝑅1 𝑅2

Reemplazo 𝑉𝐵 en 𝑉𝑜

∴ 𝑉𝑜 =

(𝑅3 + 𝑅4 ) (𝑅 𝑉 + 𝑅1 𝑉2 ) 𝑅3 (𝑅1 + 𝑅2 ) 2 1

5.46. El uso de sólo dos amplificadores operacionales, diseñar un circuito para resolver.

−𝑣𝑜𝑢𝑡 = −𝑣𝑜 = −𝑣𝑜 =

𝑣1 − 𝑣2 𝑣3 + 3 2

𝑣1 1 1 + (−𝑣2 ) + (𝑣3 ) 3 3 2

𝑅𝑓 𝑅1

𝑣1 +

𝑅𝑥 𝑅2

(−𝑣2 ) +

𝑅𝑓 𝑅3

𝑣3

Sea 𝑅3 = 1,5𝑅𝑓 y 𝑅1 = 𝑅2 = 3,5𝑅𝑓 Para encontrar −𝑣2 , necesitamos un inversor. Si 𝑅𝑓 = 15[𝑘Ω] entonces tendremos:

Figura. Circuito solución del problema 5.46. =43

SECCIÓN 5.7. AMPLIFICADOR DIFERENCIADOR 5.47. El circuito de la figura es un amplificador diferencial, encontrar 𝑽𝒐 dado 𝑽𝟏 = 𝟏 y 𝑽𝟐 = 𝟐.

Figura 9. Circuito para el problema 5.47

Dado que es un amplificador diferencial se puede aplicar la ecuación para dicho amplificador de dónde. 𝑅1 = 2[𝑘Ω]

𝑅2 = 30[𝑘Ω]

𝑅3 = 2[𝑘Ω]

𝑅4 = 20[𝑘Ω]

𝑉1 = 1[𝑉]

𝑅1 ) 𝑅2 𝑅2 𝑉𝑜 = ∗ 𝑉2 − ∗𝑉 𝑅3 𝑅1 1 𝑅1 ∗ (1 + ) 𝑅4 𝑅2 ∗ (1 +

2 ) 30 30 𝑉𝑜 = ∗2− ∗2 2 2 2 ∗ (1 + ) 20 30 ∗ (1 +

∴ 𝑉𝑜 = 14,09[𝑉]

𝑉2 = 2[𝑉]

5.48. El circuito de la Fig. 5.80 es un amplificador diferencial impulsado por un puente. Encuentra 𝒗𝒐 .

Figura 5.80. Circuito para el ejercicio .5.48.

 Al realizar una resistencia equivalente obtenemos: 𝑅𝑒𝑞1 = 20[𝑘Ω] + 80[𝑘Ω] = 100 [𝑘Ω]

Figura 5.81. Circuito con una resistencia equivalente para el ejercicio .5.48.

 Encontramos otra resistencia equivalente: 60 ∗ 100 𝑅𝑒𝑞2 = 40 + ( ) = 77,5[𝑘Ω] 160

Figura 5.82. Circuito con una resistencia equivalente para el ejercicio .5.48.

 Encontramos la corriente que fluye por la parte interior del circuito.

𝑖=

10[𝑚V] = 1,3 ∗ 10−7 [𝐴] 77,5[𝑘Ω]

 Encontramos la tensión para los resistores 60[𝑘Ω] y el de 100[𝑘Ω]. 𝑣 = (1,3 ∗ 10−7 [𝐴])(37,5[𝑘Ω]) = 4,83 ∗ 10−3 [𝑉]  Encontramos la tensión para el resistor 80[𝑘Ω].

En el nodo 1 𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 10[𝑚] − 𝑣1 𝑣1 𝑣1 − 𝑣2 = + 40[𝑘] 10[𝑘] 20 [𝑘] 7𝑣1 − 2𝑣2 = 10[𝑚] (1) En el nodo 2 𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 𝑣1 − 𝑣2 𝑣2 =0+ 20 [𝑘] 80[𝑘] 2𝑣1 − 𝑣2 = 0 (2) Entonces: 𝑣1 = 3,33[𝑚V] 𝑣2 = 6,66[𝑚V]

Por lo tanto:

𝑖𝑅80[𝑘Ω] =

𝑣2 6,66[𝑚V] = 80[𝑘Ω] 80[𝑘Ω]

𝑖𝑅80[𝑘Ω] = 8,32 ∗ 10−8 [𝐴] 𝑣𝑅80[𝑘Ω] = (8,32 ∗ 10−8 [𝐴])(4,83 ∗ 10−3 [𝑉]) 𝑣𝑅80[𝑘Ω] = 4,02 ∗ 10−10 [𝑉]

En el nodo 3

𝑣1 − 10[𝑚] 𝑣1 𝑣1 − 4,02 ∗ 10−10 + + =0 10[𝑘] 30[𝑘] 20[𝑘] 𝑣1 = 5,45 ∗ 10−3 [V]

 Encontramos la corriente que atraviesa 𝑅20 .

𝑖20 =

(5,45 ∗ 10−3 )(4,02 ∗ 10−10 ) = 2,72 ∗ 10−7 [𝐴] 20 ∗ 103

 Para finalizar encontramos la tensión de 𝑣𝑜 que es la misma tensión del resistor de 𝑅20 . 𝑣𝑜 = (4,02 ∗ 10−10 ) − (2,72 ∗ 10−7 ) ∴ 𝑣𝑜 = −0,02[V]

5.49. Diseñe un amplificador de diferencia de modo que se tenga una ganancia de 4 y una resistencia de entrada de modo común de 20 [kΩ] en cada entrada.

Si

𝑅2 𝑅1

= 4 entonces 𝑅2 = 4𝑅1

Y 𝑅1 = 𝑅3 = 20[𝑘Ω], 𝑅2 = 𝑅4 = 40[𝑘Ω]

𝑅1 ) 𝑅2 𝑅2 𝑣𝑜 = ∗ 𝑣2 − ∗𝑣 𝑅 𝑅1 1 𝑅1 ∗ (1 + 3 ) 𝑅4 𝑅2 ∗ (1 +

𝑣𝑜 = 4

(1 + 0,25) ∗ 𝑣 − 4𝑣1 (1 + 0,25) 2

∴ 𝑣𝑜 = 4(𝑣2 − 𝑣1 )

 Entonces se tendrán los siguientes valores: 𝑅1 = 𝑅3 = 20[𝑘Ω] 𝑅2 = 𝑅4 = 40[𝑘Ω] 𝑣𝑜 = 4(𝑣2 − 𝑣1 )

5.50. Diseñe un circuito para amplificar al doble la diferencia entre dos entradas. a) Use sólo un amplificador operacional.

𝑣𝑜 =

𝑅1 (𝑣 − 𝑣1 ) 𝑅2 2 𝑅2 =2 𝑅1

Si 𝑅2 = 20[Ω] y 𝑅1 = 10[Ω] ∴ 𝑣𝑜 = 2(𝑣2 − 𝑣1 )

5.52. Diseñar un circuito amplificador de tal manera que 𝒗𝒐 = 𝟒𝒗𝟏 + 𝟔𝒗𝟐 − 𝟑𝒗𝟑 − 𝟓𝒗𝟒 Todas las resistencias deben estar en un rango de 20 [kΩ] a 200 [kΩ].

SECCIÓN 5.8. CIRCUITO AMPLIFICADOR TIPO CASCADA 5.54. Determine el voltaje transferido

𝒗𝒐 ⁄𝒗𝒔 en el circuito abierto, cuando el radio es 𝑹 =

𝟏𝟎[𝒌𝛀] .

𝑅

𝑅

𝑅

𝑅

𝑉1 = − ( 𝑉𝑠 + 𝑉𝑜 ) 𝑉1 = −𝑉𝑠 − 𝑉𝑜 𝑅 𝑉𝑜 = (1 + ) 𝑉1 𝑅 𝑉𝑜 = 2𝑉1 = 2(−𝑉𝑠 − 𝑉𝑜 ) 3𝑉𝑜 = −2𝑉𝑠

∴

𝑉𝑜 𝑉𝑠

= −0,6667

5.55. En un cierto dispositivo electrónico, un amplificador de tres etapas que se desea, cuya ganancia de tensión en general es de 42 dB. Las ganancias de voltaje individuales de las dos primeras etapas deben ser igual, mientras que la ganancia de la tercera debe ser igual a ¼ de cada uno de los dos primeros. Calcule el voltaje ganancia de cada uno. Tensión en general:

𝐴 = 42[𝑑𝐵] 20 log10 𝐴 = 2,1 𝐴 = 102,1 𝐴 = 125,89

𝐴1 = 𝐴2 = 𝑉 1 𝐴3 = 𝑉 4 𝐴 = 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴=𝑉∗𝑉∗

𝐴=

𝑉 4

𝑉3 4

3

𝑉 = √503,572 𝑉 = 7,96 ∴ 𝐴1 = 𝐴2 = 7,96 1 𝐴3 = (7,96) 4 ∴ 𝐴3 = 1,99

5.56. Usando la fig 5.83 diseñar un problema para ayudar a otro estudiante a entender mejor los amplificadores en cascada

Figura 6. Circuito 5.83 amplificadores en cascada

Figura 7. Circuito con valores para realizar cálculos

 En un amplificador inversor: 𝑉𝑜 = −

𝑅𝐴 𝑣 𝑅𝐹1 𝑖

 En cascada: 𝑉𝑜 = (− 𝑉𝑜 = (− ∴

𝑅𝐴1 𝑅𝐴 ) (− 2 ) 𝑣𝑖 𝑅𝐹1 𝑅𝐹2

50 50 ) (− ) 𝑣𝑖 10 30

𝑉𝑜 10 = ⁄3 𝑣𝑖

84

5.57. Halle 𝒗𝒐 en el circuito del amplificador operacional de la figura.5.84.

𝑣1 = − 𝑣1 = −2𝑣𝑠1

𝑣2 = −

100 100 𝑣 𝑠2 − 𝑣 50 100 𝑠1

𝑣2 = −2𝑣𝑠2 − (−2𝑣𝑠1 ) 𝑣𝑜 = (1 +

100 )𝑣 50 2

𝑣𝑜 = 3𝑣2 ∴ 𝑣𝑜 = 6𝑣𝑠1 − 6𝑣𝑠2

5.58. Calcule 𝒊𝒐 en el circuito del amplificador operacional de la figura.5.85.

50 𝑣 25 𝑠1

85

𝑉1 =

3∥5 ∗ (0,6) 1+3 ∥5

𝑉1 = 0,3913 [𝑉]

 Es el voltaje de salida del primer amplificador operacional. 0,3913 0,3913 𝑉𝑂 = −10 ( + ) 5 2 𝑉𝑂 = −2,739 [𝑉] 𝑖𝑂 =

0 − 𝑉𝑂 4[𝑘Ω]

∴ 𝑖𝑂 = 0,685[𝑚𝐴]

5.59. En el circuito del amplificador operacional de la figura 5.86. Determine la ganancia en tensión vo/vs. Adopte R =10 kΩ.

86

Ilustración 2 circuito amplificador operacional 5.86

Ilustración 3circuito amplificador operacional resolución por nodos

Nodo 1

Nodo 2

20 ∗ (

𝑖1 = 𝑖2

𝑖3 = 𝑖4

0 − 𝑣𝑠 𝑣𝑠 − 𝑉1 = 10 20

𝑉1 − 0 0 − 𝑣0 = 10 40

−𝑣𝑠 𝑣𝑠 − 𝑉1 )=( ) ∗ 20 10 20

𝑉1 −𝑣0 40 ∗ ( ) = ( ) ∗ 40 10 40

−2𝑣𝑠 = 𝑣𝑠 − 𝑉1 (𝟏)

− 𝟑𝒗𝒔 = −𝑽𝟏

4𝑉1 = −𝑣0 (𝟐)

(2) en (1) −3𝑣𝑠 = −𝑉1 −3𝑣𝑠 =

𝑣0 4

𝒗𝟎 = −𝟏𝟐 𝒗𝒔

5.60. Calcule vo/vi en el amplificador operacional de la figura 5.87

𝑽𝟏 = −

𝒗𝟎 𝟒

87 Ilustración 4Circuito amplificador operacional 5.87

Ilustración 5Circuito amplificador operacional resuelto por nodos y divisor

Divisor

Nodo 1 𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3

𝑉1 =

𝑣𝑖 0 − 𝑉1 0 − 𝑣0 = + 5 10 4

(𝟐)

10 (𝑣 ) 10 + 2 0 𝑽𝟏 =

𝑣𝑖 −𝑉1 −𝑣0 20 ∗ ( ) = ( − ) ∗ 20 5 10 4 (𝟏)

𝟏𝟎 (𝒗 ) 𝟏𝟐 𝟎

(2) en (1)

𝟒𝒗𝒊 = −𝟐𝑽𝟏 − 𝟓𝒗𝟎

4𝑣𝑖 = −2( 4𝑣𝑖 = −

10 𝑣 ) − 5𝑣0 12 0

10 𝑣 − 5𝑣0 6 0

𝒗𝟎 −𝟏𝟐 = = −𝟎. 𝟔𝑽 𝒗𝒊 𝟐𝟎

5.61. Determine vo en el circuito de la figura 5.88.

Ilustración 6Circuito amplificador 5.88

Ilustración 7Circuito amplificador resuelto por nodos

88 𝑉𝑎 = 0 0.4 − 0 0 − 𝑉𝑏 = 10 20 𝑉𝑏 = 0.8𝑉

𝑉𝑐 = 0 𝑉𝑏 − 𝑉𝐶 −0.2 − 𝑉𝑐 𝑉𝑐 − 𝑉0 + = 20 10 40 2𝑉𝑏 − 0.8 = −𝑉0 𝑉0 = 2.4𝑉

5.62. Obtenga la ganancia en tensión de lazo cerrado vo/vi del circuito de la figura 5.89.

Ilustración 8Circuito amplificador 5.89

Ilustración 9Circuito amplificador operacional resuelto por nodos

89 𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 𝑣𝑖 − 𝑣1 𝑣1 − 𝑣2 𝑣1 − 𝑣0 = + 𝑅1 𝑅2 𝑅𝑓

𝑣1 = 0𝑉 𝑣𝑖 𝑣2 𝑣0 =− − 𝑅1 𝑅2 𝑅𝑓 𝑣2 𝑣𝑖 𝑣0 =− − 𝑅2 𝑅1 𝑅𝑓 (𝟏 )

𝒗𝟐 = −

𝑹𝟐 𝑹𝟐 𝒗𝒊 − 𝒗 𝑹𝟏 𝑹𝒇 𝟎

Aplicando divisor de voltaje: 𝑣0 = (𝟐)

𝑅4 𝑣 𝑅3 + 𝑅4 2

𝒗𝟐 =

𝑹𝟑 + 𝑹𝟒 𝒗𝟎 𝑹𝟒

Reemplazamos 2 en 1 y obtenemos: 𝑅3 + 𝑅4 𝑅2 𝑅2 𝑣0 = − 𝑣𝑖 − 𝑣0 𝑅4 𝑅1 𝑅𝑓 𝑅3 + 𝑅4 𝑅2 𝑅2 𝑣0 + 𝑣0 = − 𝑣𝑖 𝑅4 𝑅𝑓 𝑅1 𝑣0 ( 𝑣0 (

𝑅3 + 𝑅4 𝑅2 𝑅2 + ) = − 𝑣𝑖 𝑅4 𝑅𝑓 𝑅1

𝑅𝑓 𝑅3 + 𝑅𝑓 𝑅4 + 𝑅4 𝑅2 𝑅2 ) = − 𝑣𝑖 𝑅4 𝑅𝑓 𝑅1

𝑹𝟐 𝑹𝟒 𝑹𝒇 𝒗𝟎 =− 𝒗𝒊 𝑹𝟏 (𝑹𝒇 𝑹𝟑 + 𝑹𝒇 𝑹𝟒 + 𝑹𝟒 𝑹𝟐 )

5.63. Determine la ganancia vo/vi del circuito de la figura 5.90.

Ilustración 10Circuito amplificador 5.90

𝑣1 −𝑣2 𝑣0 = − 𝑅1 𝑅2 𝑅3

90

𝑣2 𝑣𝑖 𝑣0 + =− 𝑅5 𝑅6 𝑅4 (𝟏)

𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝟎 + =− 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝑹𝟑

(𝟐) 𝒗𝟐 = 𝑹𝟓 (−

𝒗𝒊 𝒗𝟎 − ) 𝑹𝟔 𝑹𝟒

2 en 1 𝒗𝒊 𝒗𝟎 𝒗𝟏 𝟓(− 𝑹𝟔 − 𝑹𝟒 ) 𝒗𝟎 + =− 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝑹𝟑 𝑹𝟏 𝑹𝟒 𝒗𝟎 𝑹𝟏 𝑹𝟓 − 𝑹𝟒 𝑹𝟔 = 𝑹 𝑹 𝒗𝒊 1− 𝟐 𝟒 𝑹𝟑 𝑹𝟓

5.64. En referencia al circuito del amplificador operacional que se presenta en la figura 5.91, halle vo/vs.

Ilustración 11Circuito amplificador operacional5.91

Ilustración 12Circuito amplificador realizado por nodos

Nodo1

Igualamos 1 = 2

Nodo2

𝑖4 + 𝑖5 = 𝑖6 𝑣𝑠 𝐺1 + 𝑣0 𝐺4 = 𝑣𝑠 𝐺2 + 𝑣0 𝐺3 𝑣 𝐺 + 𝐺𝑣1 = −𝑣0 𝐺3 𝑣𝑠 𝐺1 = −𝐺𝑣1 − 𝑣0 𝐺4 𝑣 𝐺 − 𝑣 𝐺 = 𝑣 𝐺 − 𝑣 𝐺𝑠 2 𝑠 1 𝑠 2 0 3 0 4 (𝟐) 𝒗 𝑮 + 𝒗𝟎 𝑮𝟑 = −𝑮𝒗𝟏 (𝟏) 𝒗𝒔 𝑮𝟏 + 𝒗𝟎 𝑮𝟒 = −𝑮𝒗𝑣𝟏 (𝐺 − 𝐺 ) = 𝑣 (𝐺 − 𝐺 ) 𝒔 𝟐 𝑠 1 2 0 3 4 𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3

𝒗𝟎 (𝑮𝟏 − 𝑮𝟐 ) = 𝒗𝒔 (𝑮𝟑 − 𝑮𝟒 )

91

5.65. Halle vo en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.92.

Ilustración 13Circuito amplificador operacional5.92

Para la salida del primer amplificador operacional tenemos:

𝑣1 = 6𝑚𝑉 − 0 = 6𝑚𝑉

Para la salida del segundo amplificador operacional tenemos un amplificador inversor:

𝑣2 = −

30 ∗ 0.006 = −18𝑚𝑉 10

Para el último amplificador operacional observamos que es un amplificador no inversor por lo que aplicamos la fórmula:

92

𝑣0 = (1 +

8 27 ) ∗ −0.018 = − = −21.6𝑚𝑉 40 1250

5.66. Para el circuito de la figura 5.93, halle vo.

Ilustración 14Circuito amplificador operacional5.93

Ilustración 15Circuito amplificador operacional resuelto por nodos

Nodo1 (𝟏)

𝒗𝟏 = 𝒗𝟐 = 𝒗𝟑 = 𝒗𝟒 = 𝟎𝑽 4 − 𝑣1 𝑣1 −𝑣01 − 20 40 8 − 2𝑣1 − 𝑣1 + 𝑣01 = 0

(𝟐)

−𝒗𝟏 +𝒗𝟎𝟏 = −𝟖𝑽

Reemplazamos de 1 en 2 entonces: (𝟑)

Nodo 2

𝒗𝟎𝟏 = −𝟖𝑽

𝑣3 − 𝑣0 𝑣01 − 𝑣3 6 − 𝑣3 2 − 𝑣3 − + + + =0 100 20 25 10 (𝟒)

93

− 𝒗𝟑 + 𝒗𝟎 + 𝟓𝒗𝟎𝟏 − 𝟓𝒗𝟑 + 𝟐𝟒 − 𝟒𝒗𝟑 + 𝟐𝟎 − 𝟐𝟎𝒗𝟑 = 𝟎

Reemplazamos 1 y 3 en 4 entonces 𝒗𝟎 = −𝟒𝑽

5.67. Obtenga la salida vo en el circuito de la figura 5.94.

Ilustración 16Circuito amplificador operacional 5.94

Ilustración 17Circuito amplificador operacional resuelto por formulas

En la figura C1 es un amplificador seguidor de tensión por lo que el voltaje que ingresa para C3 es el mismo de la fuente que se encuentra en C1. El amplificador en el recuadro 3 es un amplificador inversor por lo que aplicando la fórmula se tiene.

𝑉03 = −

𝑅𝑓 80 ∗ 𝑉𝑖 = − ∗ 0.3 = −1.2𝑉 𝑅𝑖 20

El amplificador del recuadro 2 es un seguidor de tensión por lo que el voltaje que sale por este, es el mismo que ingresa, por lo tanto este voltaje es de 0.7 V. En el recuadro final C4 tenemos un amplificador sumador por lo que aplicando la fórmula se tiene que.

𝑅𝑓 𝑅𝑓 80 80 𝑉0 = − ( ∗ 𝑉1 + ∗ 𝑉2 ) = ( ∗ −1.2 + ∗ 0.7) = 0.4𝑉 𝑅𝑖 𝑅2 40 20

94

5.68. Halle vo en el circuito de la figura 5.95, suponiendo que Rf =∞ (circuito abierto).

Ilustración 18Circuito amplificador operacional 5.95

Si 𝑅𝑓 = ∞ Por ser amplificador operacional inversor. 𝑣𝑎 = −

15 ∗ 15 = −45𝑚𝑉 5

Como la salida del amplificador operacional es la entrada del amplificador operacional no inversor entonces:

6 𝑣0 = (1 + ) ∗ −45 = −99𝑚𝑉 5

5.69. Repita el problema anterior con Rf =10kΩ

Ilustración 19Circuito amplificador operacional con 10kΩ

En el nodo a:

15𝑚 − 𝑣𝑎 𝑣𝑎 − 𝑣𝑐 𝑣𝑎 − 𝑣0 = + 5𝑘 15𝑘 10𝑘 𝑣𝑎 = 𝑣𝑏 = 0 15𝑚 − 0 0 − 𝑣𝑐 0 − 𝑣0 = + 5𝑘 15𝑘 10𝑘 𝑣𝑐 𝑣0 −3𝑢 = + 15𝑘 10𝑘

(𝟏)

− 𝟗𝟎𝒎𝑽 = 𝟐𝒗𝒄 + 𝟑𝒗𝟎

En el nodo d:

𝑣0 − 𝑣𝑑 𝑣𝑑 = 6𝑘 2𝑘 𝑣0 − 𝑣𝑑 = 3𝑣𝑑 𝑣𝑑 = 𝑣𝑐

(𝟐)

𝒗𝟎 − 𝟒𝒗𝒄 = 𝟎

Dos ecuaciones dos incógnitas:

𝑣𝑐 = −

𝒗𝟎 = −

9 𝑉 140

𝟗 𝑽 = −𝟎. 𝟐𝟓𝟕𝟏𝑽 = −𝟐𝟓. 𝟕𝟏𝒎𝑽 𝟑𝟓

5.70. Determine vo en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.96.

95

96

Ilustración 20Circuito amplificador operacional 5.96

Amplificador A 𝑣𝐴 = −

30 30 ∗1− ∗2 10 10

𝑣𝐴 = −9𝑉 Amplificador B 𝑣𝐵 = −

20 20 ∗3− ∗4 10 10

𝑣𝐵 = −14𝑉

Ilustración 21Circuito reducido amplificador

𝑣𝑏 =

60 ∗ −14 = −2𝑉 60 + 10 𝑖1 = 𝑖2

𝑣𝐴 − 𝑣𝑏 𝑣𝑎 − 𝑣0 = 20 40 2𝑣𝐴 − 2𝑣𝑏 = 𝑣𝑎 − 𝑣0 𝑣𝑏 = 𝑣𝑎 = −2𝑉 −18 + 4 = −2 − 𝑣0 𝒗𝟎 = 𝟏𝟐𝑽

5.71. Determine vo en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.97.

97

Ilustración 22Circuito amplificadoroperacional5.97

Ilustración 23Circuito amplificador operacional resuelto por formulas

Amplificador 1

𝑣2 = − 𝒗𝟐 = −

𝑅𝑓 𝑣 𝑅𝐴 𝑖

𝟐𝟎 ∗ 𝟏. 𝟓 = −𝟔𝑽 𝟓

Amplificador2:

𝒗𝟏 = 𝟐. 𝟐𝟓𝑽 𝑣3 = (1 + 𝑣3 = (1 +

50 )𝑣 30 1

50 ) 2.25 30

𝑣3 = 6𝑉

Amplificador 3 sumador:

𝑅𝑓 𝑅𝑓 𝑣0 = − ( ∗ 𝑣1 + ∗ 𝑣2 ) 𝑅𝑖 𝑅2 𝑣0 = − (

100 100 ∗ 𝑣2 + ∗ 𝑣3 ) 40 80

𝑣0 = − (

100 100 ∗ 𝑣2 + ∗ 𝑣3 ) 40 80

100 100 𝑣0 = − ( ∗ −6 + ∗ 6) 40 80 𝑣0 = 7.5𝑉

5.72. Halle la tensión de carga 𝑽𝑳 en el circuito de la figura5.98.

Ilustración 24Circuito amplificador operacional5.98

𝑉𝑎 = 𝑉𝑏 = 1.8𝑉 𝑉𝑎 𝑉𝐿 = 100 250 2.5 ∗ 𝑉𝑎 = −𝑉𝐿 𝑉𝐿 = −2.5 ∗ 1.8 𝑽𝑳 = −𝟒. 𝟓𝑽

5.73. Determine la tensión en la carga𝑽𝑳 en el circuito de la figura5.99.

Ilustración 25Circuito amplificador 5.99

98

99 Ilustración 26Circuito amplificador resuelto por nodos

𝑎 = 𝑏 = 𝑉1 = 1.8𝑉

𝑖1 = 𝑖2

0 − 𝑉1 𝑉1 − 𝑉2 = 10 50 −5𝑉1 = 𝑉1 − 𝑉2 −6𝑉1 + 𝑉2 = 0 𝑉2 = 6𝑉1 𝑉2 = 6 ∗ 1.8 = 10.8𝑉 𝑽𝟐 = 𝑽𝑳 = 𝟏𝟎. 𝟖𝑽

5.74. Halle io en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.100.

Ilustración 27Circuito amplificador operacional por nodos

AMPLIFICADOR1

AMPLIFICADOR 2

𝑖1 = 𝑖2

𝑖3 = 𝑖4

0.9 − 0 0 − 𝑉1 = 10 100

0.6 − 0 0 − 𝑉2 = 1.6 32

𝑉1 = −9𝑉

𝑉2 = −12𝑉

𝑖0 = 𝑖0 =

𝑉1− 𝑉2 20

−9 + 12 20

𝑖0 = 0.15𝑚𝐴

10 0

CÁPITULO 6 CAPACITORES E INDUCTORES SECCIÓN 6.2. CAPACITOR 6.1. Si el voltaje a través de un amplificador es de 7,5-F es corriente y la energía.

6.2. Un capacitor de 50µF tiene una energía de w(t) =10 Determine la corriente que circula por él.

377t J.

encontrar la

10 1

6.3. Diseñe un problema para el mejor entendimiento de cómo trabajan los capacitores para los estudiantes. En 5 s, la tensión en un capacitor de 40 mF cambia de 160 a 220 V. Calcule la corriente promedio por el capacitor.

6.4. Una corriente de 4 sin 4t fluye a través de un capacitor de 5-F. Halle la tensión v(t) a través del capacitor dado que v(0) = 1 V.

6.5. El voltaje que pasa por un capacitor es de 4-µF como se muestra en la Fig. 6.45. Encuentre la corriente en la gráfica.

10 2

6.6. La forma de onda de la tensión de la figura 6.46 se aplica en un capacitor de 30 µF. Diagrame la forma de onda de la corriente que circula por él.

Para este ejercicio establecemos la fórmula de la corriente

Analizamos el par ordenado en cada punto del plano cartesiano, calculamos la pendiente en cada punto con:

Aplicando

10 3

Graficando 5

6

5

4 2

0

0

0 -2 -4

Categoría 1

-6

-5 T

6.7. En t=0, la tensión en un capacitor de 50 mF es de 10 V. Calcule la tensión del capacitor para t >0 cuando la corriente 4t mA fluye por él.

6.8. Un capacitor de

tiene la tensión entre terminales:

Si el capacitor tiene una corriente inicial de 2[A], halle: a) Las constantes A y B Cuando

Cuando

10 4

b) La energía almacenada en el capacitor en t=0 [s]

c) La corriente del capacitor en t>0

6.9.La corriente que circula por un capacitor de 0.5 F es 6(1 -

) A.

Determine la tensión y la potencia en t = 2 s. Suponga v(0) = 0.

En t=2

6.10. La tensión a través de un capacitor de 2 mF se muestra en la figura. Determine la corriente que circula por el capacitor.

10 5

10

6.11. Un capacitor de 4 mF tiene la forma de onda de corriente que se muestra en6 la figura. Suponiendo que el boceto de la forma de onda de voltaje v (t). v (0)=10 V.

𝑣=

1 𝑡 ∫ 𝑖𝑑𝑡 + 𝑣(0) 𝐶 0

Para 0 < t < 1 𝑣=

𝑡 1 ∫ 40 ∗ 10−3 𝑑𝑡 = 10𝑡 [𝑘𝑉] 4 ∗ 10−6 0

𝑣(1) = 10[𝑘𝑉]

Para 1 < t < 2 𝑣=

1 𝑡 ∫ 𝑣 𝑑𝑡 + 𝑣(1) = 10 𝑘[𝑉] 𝐶 0

Para 2 < t < 3 𝑣=

𝑡 1 ∫ (−40 ∗ 10−3 ) 𝑑𝑡 + 𝑣(2) = −10𝑡 + 30 [𝑘𝑉] 4 ∗ 10−6 2

Entonces: 10𝑡[𝑘𝑉], 𝑉(𝑡) = { 10[𝑘𝑉], −10𝑡 + 30[𝑘𝑉],

0