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Primer Gu´ıa de Procesamiento Digital de Se˜ nales by M.C. Sergio Gonz´alez 7 de marzo de 2018

. 1.- Determine si las siguientes se˜ nales son peri´odicas y en caso afirmativo, determine su periodo fundamental: (a) cos(0,01πn) (b) cos(π 30n 105 ) (c) cos(3πn) (d) sen(3n) (e) 3cos(5πt + π/6) (f) 2ej(n/6−π) (g) 3cos(5n + π/6) 2.- La se˜ nal discreta en el tiempo x[n] se define en la ecuaci´on (1) como:  n  1 + 3 , −3 ≤ n ≤ −1 x[n] = 1, 0≤n≤3   0, otro caso

(1)

(a) Determine sus valores y dibuje la se˜ nal x[n] (b) Dibuje las se˜ nales que se obtienen si: 1. Primero reflejamos x[n] y luego desplazamos la se˜ nal resultante en cuatro muestras. 2. Primero desplazamos x[n] cuatro muestras y luego reflejamos la se˜ nal resultante. (c) Dibuje la se˜ nal x[−n + 4] (d) Compare los resultados del inciso (b) y (c) y deduzca la regla para obtener la se˜ nal x[−n + k] a partir de x[n] (e) Exprese la se˜ nal x[n] en funci´ on de δ[n]

1

3.- De la siguiente se˜ nal x[n] representada en (2),   −1 ≤ n ≤ 2 1, x[n] = 1/2, 3 ≤ n ≤ 4   0, otro caso Dibuje cada una de las siguientes se˜ nales: (a) x[n − 2] (b) x[4 − n] (c) x[n + 2] (d) x[n]µ[2 − n] (e) x[n − 1]δ[n − 3] (f) la parte par de x[n] (g) la parte impar de x[n] 4.- Determine la parte par e impar de las siguientes se˜ nales: (a) x[n] = µ[n] − µ[n − 4] (b) x(t) = sen(3πn) 5.- Considere la se˜ nal discreta Pınf δ[n − 1 − k]. x[n] = ´k=3 Determine los valores de los enteros M y n0 de tal modo que x[n] se exprese como: x[n] = µ[M n − n0 ] 6.- Demuestre que (a) δ[n] = µ[n] − µ[n − 1] 7.- Determine la potencia y la energ´ıa de las siguientes se˜ nales: (a) 5µ[n] (b) 5ej2πn (c) 5ej5πn (d) 2µr [n] 8.- Determine si los siguientes sistemas son I.T. (a) y[n] = x[n] − x[n − 2] (b) y[n] = 2x[n] (c) y[n] = 2nx[n] (d) y[n] = x[n]sen(w0 n)

2

(2)

9.- Determine si los siguientes sistemas son lineales. (a) y[n] = x[n] − x[n − 2] (b) y[n] = 2x2 [n] (c) y[n] = 2nx[n] (d) y[n] = 3x[n] + 2 10.- Descomponga la siguiente se˜ nal en una suma de impulsos ponderados. x[n] = { 1 2 3 0 2 3} ↑

11.- Determine la salida y[n] de un sistema LTI en reposo con una respuesta al impulso: h[n] = (1/3)n µ[n], Si la entrada es x[n] = 2µ[n] 12.- Determine la respuesta al impulso para la conexi´on en cascada de dos sistemas LTI que tienen respuesta al impulso: h1 [n] = (1/3)n µ[n], h[n] = (1/9)n µ[n],

13.- Determine la soluci´ on homog´enea y la respuesta del sistema a la entrada nula de los sistemas discretos mostrados en las ecuaciones (3) y (4). Considere que y[−1] = 5, y[−2] = 0, seg´ un corresponda: 1 y[n] + y[n − 1] = x[n] 2

(3)

y[n] + y[n − 1] − 2y[n − 2] = 4x[n]

(4)

13.- Determine la soluci´ on particular de los sistemas discretos mostrados en las ecuaciones (7) y (6): 1 y[n] + y[n − 1] = x[n] 2

(5)

y[n] = (5/6)y[n − 1] − (1/6)y[n − 2] + x[n]

(6)

Para la funci´ on x[n] = µ[n]

Para la funci´ on x[n] = 2n µ[n] 14.- Determine la soluci´ on completa de la ecuaci´on diferencial dada por: 1 y[n] + y[n − 1] = x[n] 2 Para la funci´ on x[n] = µ[n]

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