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• Juan F Donoso

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1.  

Objetivos Determinar la forma de la superficie libre de un fluido incompresible en rotación, que se comporta como un sólido rígido, la cual debe satisfacer la ecuación de una parábola. Reconocer los efectos de la aceleración en los fluidos incompresibles.

2. Teoría general 2.1 Flujo incompresible Dependiendo del nivel variación de la densidad de un fluido este puede ser compresible o incompresible. La incompresibilidad es una aproximación y se dice que el flujo es incompresible si la densidad permanece aproximadamente constante a lo largo de todo el flujo es decir:

2.2 Rotación en un recipiente cilíndrico

En la figura 1 de la izquierda, el recipiente de anchura 2a está en reposo ω=0, por lo que la superficie del líquido es horizontal. Establecemos un sistema de referencia NO inercial (vinculado al observador en rotación) de modo que el eje de rotación es el eje Y y la superficie del líquido en reposo es el eje X.

Cuando el eje del recipiente se conecta a un motor de velocidad angular constante, la superficie del líquido cambia de forma. Vamos a determinar la ecuación que describe la forma de la superficie a partir de las fuerzas que se ejercen sobre las moléculas de fluido. Cada partícula de fluido tiene la misma velocidad angular y si esta velocidad angular es constante y después de los efectos transitorios iniciales el líquido se moverá como un cuerpo rígido junto con el recipiente. Desde el punto de vista del observador en rotación, las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m situada en su superficie, a una distancia x del eje de rotación, son 1

  

El peso, -mgj La fuerza centrífuga, mω2xi La fuerza R que ejercen las otras partículas de fluido sobre la partícula considerada

Figura 2: rotación de un fluido. Desde el punto de vista del observador no inercial, la partícula está en equilibrio, de modo que la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula debe ser cero: R-mgj+mω2xi=0 (2) La forma de la superficie del líquido en equilibrio será tal que R es perpendicular a la tangente a la curva en cada punto x. Como vemos en la figura 2:

Integrando (3) tenemos:

que es la ecuación de una parábola simétrica respecto del eje Y. El valor de la constante de integración C es diferente para distintas paraboloides de presión constante.

2

Para determinar la constante de integración C el punto más bajo de la parábola, supondremos que el líquido es incompresible. Comparando la situación inicial cuando la superficie del fluido es horizontal con la situación final, cuando la velocidad angular de rotación es ω.

Figura 3: rotación de un fluido incompresible. Observaremos, que el líquido se hunde por la parte cercana al eje de rotación y se eleva en la parte colindante con las paredes del recipiente. Para la superficie libre, reemplazando x = r = 0 e y = z , en la ecuación (4) tendremos que:

Donde hc es la distancia de la superficie libre al fondo del recipiente a lo largo del eje de rotación (figura 3). Por lo que la ecuación para la superficie libre será:

Donde es la distancia de la superficie libre al fondo del recipiente en el radio r. El volumen de un elemento de cascarón cilíndrico de radio r, altura , y espesor dr es dV=2πrzdr. Entonces el volumen del paraboloide formado por la superficie es: ∫

∫

(

)

Dado que la masa se conserva y la densidad en constante, este volumen debe ser igual al volumen original del fluido en el recipiente, el cual es:

Donde es la altura original del fluido inicialmente. Igualando los volúmenes se tiene que la altura del fluido a lo largo de la línea central del recipiente cilíndrico será: 3

por lo que la ecuación de la superficie libre será:

La altura vertical máxima se tiene donde r = R, y la diferencia máxima en las alturas entre el borde y el centro de la superficie libre. Evaluando cuando r = R y también r = 0 se tiene la diferencia máxima de alturas.

Considerando constante e integrando presiones entre los putos 1 y 2.

, se tiene la diferencia de

Tomando el punto 1 como origen donde la presión es Po y el punto 2 como cualquier punto la variación de presión será:

4

3. Conocimiento del equipo: 3.1 Esquema del equipo Las medidas representativas del equipo están representadas en las siguientes imágenes realizadas en Autodesk Inventor 2008

D

Donde: h= Altura del contenedor 15 [cm] = 6 [pulg] d= diámetro del contenedor 28 [cm] = 11 [pulg] 5

r1= Radio de la polea de la manivela 9.6 [cm] = 3.75 [pulg] r2= Radio de la polea del contenedor 4.5 [cm] = 1.75 [pulg]

3.2 Descripción del equipo El funcionamiento del equipo es muy sencillo de comprender debido a que se trata de una manivela a la que se la hace rotar manualmente, ésta manivela está unida a una polea la cual transmite el movimiento a través de una banda a otra polea de un diámetro menor con el objetivo de que haya un incremento de la velocidad con la que rota el recipiente contenedor de agua. Esto se lo utiliza para que las personas que manipulen éste mecanismo no tengan que mover la manivela tan rápido para alcanzar la velocidad del contenedor. Tiene una estructura que sirve para sostener unas varillas (medidores de profundidad) que pueden desplazarse verticalmente con el fin de poder medir la superficie del fluido que se crea al rotar el contenedor, son 10 varillas que permiten perfilar la forma creada por dicho movimiento. 3.3 Comparación de los equipos

Tlf/Fax: +034 946 55 15 35 www.dikoin.com / [email protected] El objetivo de este equipo es la visualización y estudio del paraboloide que se genera en un líquido cuando este es sometido a una rotación uniforme. 6

El equipo es autónomo y fácilmente ubicable en el laboratorio ya que no requiere ningún tipo de instalación. Se pueden utilizar líquidos de diferentes densidades para determinar la influencia de esta en la formación de la parábola. PRACTICAS REALIZABLES: Algunas de las prácticas y experiencias que se pueden realizar son las siguientes:  Estudio y determinación del paraboloide generado por un liquido sometido a rotación uniforme.  Estudio de las variaciones producidas en el paraboloide generado al cambiar su velocidad de giro.  Estudio de las variaciones producidas en el paraboloide generado al cambiar el fluido. DATOS TECNICOS Deposito:  Material: Metacrilato  Deposito cilíndrico de „w 300 x 200 mm.  Diámetro interior deposito cilíndrico „w 292 mm. Accesorios     

Medidor distancia eje horizontal con precisión de una decima de milímetro. Medidor de altura vertical con enclavamiento cada 10 mm. Motor Motor eléctrico de corriente continua 24 V DC Potencia 90 W.

Otros elementos  Visualizador digital programable.  Detector fotoeléctrico.  Regulador de velocidad. Dimensiones del equipo:  750 x 400 x 340 mm (espacio necesario) REQUERIMIENTOS  Alimentación 7

4 Teoría aplicada al equipo Las variaciones de presión en un fluido producidas por las fuerzas de inercia que ocurren en un sistema giratorio, pueden ser calculadas más ó menos de la misma manera que para un sistema sujeto a una aceleración lineal. El análisis en mas ligeramente complicado debido a que las fuerzas de inercia varían de un punto a otro. Por simplicidad limitaremos nuestra consideración a un fluido en reposo relativo a un sistema de coordenadas que gira con velocidad angular constante (w). Tres fuerzas de inercia se generan relativas a un sistema de coordenadas giratorio. La fuerza de inercia centrífuga, la fuerza de inercia de Coriolis, y la fuerza de inercia debida a la aceleración angular. Debido a que el fluido se asume estar en reposo, en el sistema de coordenadas la fuerza de Coriolis es igual a cero; y debido a que la velocidad angular es constante, la única fuerza actuante es la de inercia centrífuga.

Consideremos una partícula a una distancia r, desde el eje de rotación del sistema de coordenadas y si asumimos que el eje está alineado con el campo gravitacional, el cual apunta hacia abajo como se muestra en la figura; la fuerza de inercia centrífuga por unidad de masa apunta hacia afuera y está dada por la relación. ⃗⃗⃗⃗⃗ La fuerza gravitacional por unidad de masa es ⃗

Por lo tanto,

⃗⃗⃗⃗

⃗

La inclinación del vector de la fuerza de inercia en el plano z-r es:

8

Conocemos que las líneas de presión constante son proporcionales a la fuerza de inercia efectiva. La inclinación de una línea de presión constante es el plano z-r es por lo tanto la recíproca negativa de la inclinación definida por . De este modo obtenemos que la inclinación de una curva de presión constante es

Por lo que la ecuación de una superficie de presión constante se define con la siguiente expresión:

En la figura 4 se muestran las dimensiones consideradas para un determinado sistema de referencia, las cuales se considerarán en los cálculos de esta práctica.

z(-)

Figura 4: Dirección de la aceleración de una partícula que se mueve con MCU en un recipiente cilíndrico.

Para el sistema de coordenadas referenciales consideradas en esta práctica, se tiene que una condición de frontera es: obteniendo que y de esta manera se tiene la ecuación:

9

Con esto se puede concluir que la superficie libre de un fluido incompresible en rotación es un paraboloide de radio conocido, pero profundidad desconocida, lo que es objetivo de la práctica encontrar dicha magnitud. El término puede calcularse directamente sabiendo la velocidad angular del recipiente.

y el radio

Desplazando el sistema de coordenadas al vértice del paraboloide formado por el líquido, se tiene que el volumen sobre el eje del radio es el mismo antes y durante la rotación, donde el segundo corresponde al valor de la mitad del volumen del cilindro circunscrito en el paraboloide. Entonces el volumen se presenta la expresión [1].

De acuerdo con la figura4 se tiene que corresponde al valor de z cuando r=R, es decir el radio del recipiente obteniéndose la siguiente expresión:

Remplazando la expresión [2] en la expresión [1] se tiene que:

A partir de la figura 4 puede determinarse la expresión [3] para el cálculo de

.

es decir,

10

5 Procedimiento de la práctica La directiva a ser tomada en la práctica es fijar una altura constante de 0.1 [m] de agua para diferentes valores de rpm cuidando siempre de que los mismos no produzcan derramamiento del fluido. La velocidad de la mesa puede medirse tomando el tiempo, y el número de revoluciones con un cronómetro, y con la ayuda de una marca blanca en el borde del plato de la mesa; o usando las escalas exteriores del disco estroboscópico. Los medidores de profundidad deben colocarse exactamente sobre la superficie del agua y para completar el experimento debe tomarse sendas mediciones de las distancias desplazadas y de este modo representar la curva completa que muestra la forma de la superficie libre del líquido. Sus coordenadas deben compararse con los valores obtenidos teóricamente. En éste punto hay que hacer hincapié en el hecho de que se requiere analizar la posición a la que se halla el mínimo del paraboloide para escoger adecuadamente los medidores de profundidad que se emplearan; de manera similar se debe calcular un valor de rapidez “límite” en el cual la altura del paraboloide es igual a la del recipiente, esto para evitar derramar el fluido. Estos datos se recopilan en los siguientes resultados obtenidos a partir de la adecuada manipulación de las expresiones [2] y [3]

Es decir que la ω del recipiente debe ser menor a 24 revoluciones en 10 segundos para que el mínimo del paraboloide ocurra dentro del recipiente.

Es decir que la ω del recipiente debe ser menor a 17 revoluciones en 10 segundos para que el agua no se derrame. Gracias a estos resultados ahora sabemos que debemos escoger un número de revoluciones n menor a 17 por cada 10 segundos.

5.1 Cuadro de datos Aceleración de la gravedad g Diámetro interior del recipiente D Altura del líquido h Altura de la barra del medidor H Relación de velocidades I

9.8 [m/s²] 0.26 [m] 0.1 [m] 0.21 [m] (9.6/4.5) = 2.13 11

Temperatura de trabajo T

23 [°C]

Se usara un tiempo común para que el recipiente gire n revoluciones. Este tiempo es de 10 segundos. Para todas las rpm de medición: Distancias radiales de los medidores de profundidad Medidor r (m) 1 0,01 2 0,02 3 0,03 4 0,04 5 0,05 6 0,06 7 0,07 8 0,08 9 0,09 10 0,1

6 Ejemplo de cálculo: Par los consecuentes cálculos se ha tomando como referencia la base del perfil que contiene a los medidores de profundidad es decir a 0.21 [m] desde la base del disco estroboscópico. 

Primero vamos a determinar la velocidad angular del recipiente: Tenemos el número de vueltas y el tiempo medido mediante un cronómetro.

Si t = 10 s y n = 15 [rev]



Determinación de la posición del vértice del paraboloide formado por el fluido en rotación. *



+

*

+

Determinación de la profundidad de cada medidor de profundidad, que marca la distancia entre la barra del medidor, eje de referencia, y la superficie libre del fluido en rotación. Para el primer medidor: 12

Se obtiene un número negativo ya que se está tomando como referencia a la barra que sostiene a los medidores de profundidad por lo que el signo negativo indica que la distancia es hacia abajo. Para poder graficar la paraboloide se sumara la distancia de 0.21 m al resultado de la profundidad de cada medidor para calcular los puntos de la paraboloide con respecto al fondo del recipiente. 

Para el cálculo del error relativo ε, se supone un valor real para z5=-0.14[m] | | | | | | | |

7 Cuadro de resultados Medición

Rapidez angular (ω) [rps]

1

1,5

2

1

3

0,7

Radio r [m]

Altura teórica de agua (z) [m]

0 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0 0,03 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 0 0,03 0,05 0,06 0,07

-0,148 -0,144 -0,141 -0,137 -0,132 -0,126 -0,119 -0,111 -0,103 -0,1270 -0,125 -0,122 -0,120 -0,117 -0,114 -0,111 -0,107 -0,1183 -0,117 -0,116 -0,115 -0,113

Altura real de agua (z) [m]

Error relativo (ε)[%]

13

0,08 0,09 0,1

-0,112 -0,110 -0,108

8 Gráficos Los gráficos que se muestran a continuación muestran el perfil del paraboloide del líquido, en este caso agua, formado al girar el recipiente que contiene al mismo, tomando como referencia la base del perfil que contiene a los medidores de profundidad es decir a 0.21 [m] desde la base del disco estroboscópico.

z vs r 0.000 0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

-0.020 -0.040

z [m]

-0.060 1.5 [rps] -0.080

1 [rps] 0.7 [rps]

-0.100 -0.120 -0.140 -0.160

r [m]

9 Conclusiones y recomendaciones  

A una altura inicial de agua constante, cuando la rapidez angular del recipiente contenedor varía, el mínimo del paraboloide generado sube o baja respecto al fondo del recipiente; sube si la rapidez angular disminuye y baja si la misma se incrementa. Al asumir al fluido como un fluido incompresible no se está tomando en cuenta esfuerzos cortantes que se pueden generar, es decir se está tratando al fluido casi como 14

  

si fuera un cuerpo rígido. No se toman en cuenta deformaciones internas por corte o esfuerzos cortantes ya que se lo trata como que si fuese un cuerpo sólido. La forma del paraboloide dependerá de la velocidad angular al cuadrado y de ningún otro parámetro si se consideran condiciones estables, mas al no tenerlas existirá una deformación del paraboloide, es decir no se presentara una figura exacta o similar. Se recomienda gestionar la adquisición de un dispositivo que pueda generar la rapidez angular deseada para la realización de la práctica ya que la estabilización y obtención de la misma estará sujeta a considerables errores humanos. Se recomienda nivelar perfectamente las superficies de contacto entre la plataforma y el recipiente que contiene el fluido, tratando de posicionar a la mesa perpendicular a dirección de la fuerza gravitacional, para evitar variaciones en las condiciones de superficie libre.

10 Bibliografía      

Mecánica de Fluidos; Fundamentos y Aplicaciones;Yunus A. Çengel, Jhon M. Cimbala; Mc Graw Hill; páginas: 99-103.Biblioteca digital (Juan Donoso) Mecánica de los fluidos; Victor L. Streeter; McGraw-Hill; cuarta edición; 1970; pág. 81-82;pdf. (José Calluguillin) JACOME victor; Laboratorio de Fluidos Guia de Ensayos; EPN; págs. 49-51. Biblioteca personal (Juan Donoso) http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/circular2/fluido.htm http://www.fisicarecreativa.com/informes/infor_especial/Liquidos_acelerados.pdf; págs.1-6.(Kenny Villafuerte) http://es.scribd.com/doc/35929678/Superficie-de-un-liquido-en-rotacion (José Charco)

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