• Author / Uploaded
• Felipe Pineda

Citation preview

Estudio y Diseño de Controladores Polinomiales RST aplicados a Plantas Lineales en Tiempo Discreto

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Ingeniería Electrónica Facultad de Ingeniería

Trabajo presentado por Martha L. Prieto M.

Director del Trabajo de Grado: Ing. José Jairo Soriano

Trabajo de grado presentado como requisito para optar por el título de Ingeniero Electrónico

Bogotá, Febrero de 2011

Hoja de Firmas

_______________________________ Director: Ing. José Jairo Soriano

_______________________________ Estudiante: Martha L. Prieto M.

________________________________

_____________________________

Jurado 1.

Jurado 2.

Resumen En este documento se presenta el estudio y diseño de controladores polinomiales RST aplicados a plantas lineales en tiempo discreto, así como un análisis comparativo con el diseño clásico de controladores PID (Proporcional, Integral, Derivativo) y su desempeño temporal. Este trabajo se realiza con el fin de exponer a profundidad los métodos de síntesis del regulador RST, vislumbrando sus alcances en comparación con controladores PID clásicos en cierto número plantas lineales en tiempo discreto, así como la automatización del cálculo y simulación del desempeño de reguladores RST mediante una herramienta Software desarrollada. El diseño de los controladores RST está basado en un método analítico que proporciona tres polinomios diferentes R, S y T calculados algebraicamente a partir de la función de transferencia discreta de la planta sin importar su orden, así como las dinámicas deseadas en regulación y seguimiento. Por su parte, el cálculo de los parámetros del controlador PID clásico está asociado al orden de los sistemas lineales a controlar, existiendo algunas expresiones y tabulaciones dadas experimentalmente para sistemas de órdenes bajos con características especiales (tiempos de retardo, índices de desempeño específicos, etc.). Con la ayuda del Benchmark Systems for PID controls presentado por los profesores K.J. Aström y T. Hägglund de la Lund University de Suiza (departamento de control automático) se seleccionaron plantas lineales e invariantes en el tiempo sobre las cuales se realizaron las pruebas y análisis de los desempeños de control. Este trabajo se compone de tres partes: (1) la presentación del algoritmo de control RST y sus métodos de síntesis que contemplan especificaciones de desempeño que se desean cumplir, (2) la selección y discretización de 8 sistemas lineales diferentes (con algunas variantes) basados en un documento de referencia presentado por K.J. Astrom y T Hägglund, el diseño de control PID clásico paralelamente con el diseño RST para entradas escalón unitario, y la obtención de índices mínimos de desempeño de ambos métodos para efectuar la comparación pertinente; y (3) el desarrollo de una herramienta software de tipo interactivo bajo la plataforma Matlab® que automatiza el cálculo de los polinomios R, S y T, que evidencia el comportamiento temporal del sistema en lazo cerrado y del esfuerzo de control empleado.

Índice general

CAPITULO 1 INTRODUCCIÓN ..............................................................................................................1 1.1 1.2 1.3

1.4 1.5

CONTEXTO GENERAL ..............................................................................................2 DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA..................................................................................3 OBJETIVOS ..............................................................................................................4 1.3.1 OBJETIVO GENERAL ...................................................................................................4 1.3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS .............................................................................................4 SOLUCIÓN PROPUESTA .............................................................................................5 CONTENIDO DEL TRABAJO .......................................................................................6

2

MARCO DE REFERENCIA ...................................................................................8

2.1

CONTROLADORES PID .............................................................................................8 2.1.1 ESTRUCTURA Y PRINCIPIO DE OPERACIÓN.......................................................................9 2.1.2 MÉTODOS DE SÍNTESIS DEL CONTROLADOR PID ............................................................12 2.1.2.1 Métodos de Ziegler y Nichols......................................................................................12 2.1.2.2 Método de asignación de polos....................................................................................15 2.1.3 SINTONÍA ÓPTIMA DE CONTROLADORES ......................................................................17 2.1.3.1 Índices de desempeño ..................................................................................................17 2.1.3.2 Sintonía óptima de controladores PID .........................................................................18 2.2 REGULADORES RST............................................................................................... 24 2.2.1 ESTRUCTURA Y PRINCIPIO DE OPERACIÓN.....................................................................24 2.2.2 MÉTODO DE SÍNTESIS DEL REGULADOR RST .................................................................29 2.2.2.1 Diseño de reguladores RST .........................................................................................33 y . ...................36 2.2.2.2 Comentarios relativos a la elección de los polinomios 2.2.2.3 Ecuación Diofantina ....................................................................................................39 2.2.2.4 Existencia y unicidad de un regulador RST causal y de mínimo grado .......................43 2.2.2.5 Elección del modelo de referencia ...............................................................................46 2.2.2.6 Configuraciones de síntesis del regulador RST ...........................................................50 2.2.2.7 Consideraciones para la síntesis de reguladores RST ..................................................68 3

MÉTODO PROPUESTO PARA EL ANÁLISIS COMPARATIVO ..................... 77

3.1

PRESENTACIÓN DE LOS CASOS DE ANÁLISIS............................................................ 78 3.1.1 DISCRETIZACIÓN DE LOS SISTEMAS..............................................................................81

3.2

3.3

DISEÑO DE CONTROL PID IDEAL CON FILTRO DERIVATIVO .................................... 83 3.2.1 REDUCCIÓN DE ORDEN DE SISTEMAS ...........................................................................84 3.2.2 DESARROLLO MATEMÁTICO PARA LA OBTENCIÓN DE PARÁMETROS PID ............................94 3.2.3 OBTENCIÓN DE PARÁMETROS PID MEDIANTE TABLAS ....................................................99 3.2.4 OPTIMIZACIÓN DE LOS PARÁMETROS PID UTILIZANDO MATLAB.....................................102 3.2.5 RESULTADOS DEL DISEÑO DE CONTROLADORES PID .....................................................105 SÍNTESIS DE REGULADORES RST ......................................................................... 116 3.3.1 DETERMINACIÓN DEL POLINOMIO .......................................................................116 3.3.2 REGULADOR RST SIN INTEGRADORES Y SIN CANCELACIÓN DE CEROS DE LA PLANTA ............118 3.3.3 REGULADOR RST SIN INTEGRADORES Y CON CANCELACIÓN DE CEROS DE LA PLANTA ..........120 3.3.4 REGULADOR RST CON INTEGRADORES, SIN CANCELACIÓN DE CEROS DE LA PLANTA ...........122 3.3.5 REGULADOR RST CON INTEGRADORES Y CON CANCELACIÓN DE CEROS DE LA PLANTA.........135 3.3.6 MÉTODO PROPUESTO PARA LA OPTIMIZACIÓN DE POLINOMIOS RST ...............................137 3.3.7 RESULTADOS DE LA SÍNTESIS DE REGULADORES RST ....................................................139

4

ANÁLISIS DE RESULTADOS Y DISCUSIÓN .................................................. 151

4.1

4.6 4.7 4.8 4.9

CASO 1: SISTEMA DE PRIMER ORDEN .................................................................... 152 4.1.1 CASO 1A SISTEMA DE PRIMER ORDEN CON INTEGRADOR ..............................................153 CASO 2 SISTEMA DE CUARTO ORDEN .................................................................... 154 CASO 3 SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN CON CERO EN SEMIPLANO DERECHO .......... 155 CASO 4 SISTEMA DE PRIMER ORDEN CON TIEMPO MUERTO .................................. 156 4.4.1 CASO 4A (TIEMPO MUERTO DE 0,5 SEG) ...................................................................156 4.4.2 CASO 4B (TIEMPO MUERTO DE 2 SEGUNDOS) .............................................................157 CASO 5 SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN CON TIEMPO MUERTO ............................... 158 4.5.1 CASO 5A (TIEMPO MUERTO DE 0,5 SEGUNDOS)..........................................................158 4.5.2 CASO 5B (TIEMPO MUERTO DE 2 SEGUNDOS) .............................................................159 CASO 6 MODOS RÁPIDOS Y LENTOS ...................................................................... 160 CASO 7 SISTEMA CONDICIONALMENTE ESTABLE .................................................. 161 CASO 8 SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN .................................................................. 162 DISCUSIÓN ........................................................................................................... 163

5

CONCLUSIONES ............................................................................................... 165

5.1 5.2

APORTES ............................................................................................................. 167 TRABAJO FUTURO ................................................................................................ 168

6

ANEXO ................................................................................................................... I

6.1 6.2 6.3 6.4

MANUAL DE USUARIO DE LA HERRAMIENTA RSTOOL.............................................. I MÍNIMOS REQUERIMIENTOS DE SOFTWARE .............................................. III INSTRUCCIONES DE INSTALACION ............................................................... III EJEMPLOS .......................................................................................................... IV

4.2 4.3 4.4

4.5

1

CAPÍTULO

1

Introducción Los sistemas de control realimentado inicialmente propuestos con control PID (Proporcional, Integral, Derivativo) han pasado de generación en generación por ser uno de los tipos de control más sencillos de diseñar y por resultar aplicable para la mayoría de los procesos de los cuales se desea el control automático. Múltiples versiones se han propuesto para acercarse a un desempeño óptimo de los sistemas, al buscar minimizar aspectos relevantes de las dinámicas como son tiempos de respuesta y máximo sobrepico, generando parámetros a partir de desarrollos matemáticos, tabulaciones, o iteraciones que proporcionen los valores adecuados para cada sistema. Sin embargo, existen otros tipos de control que generalmente no se describen con estructuras tan puntuales como las que ofrece el control PID (parámetros de ganancias P, I y D), que presentan usualmente funciones de transferencia con órdenes superiores y que en contraparte pueden proporcionar desempeños óptimos y potencialmente pueden ofrecer al diseñador un dominio de la forma de la respuesta dinámica, lo que podría solucionar problemas específicos de las señales controladas, tales como oscilaciones o formas irregulares en la curva de respuesta que puedan resultar inconvenientes según la naturaleza del proceso que se requiera controlar. Uno de estos tipos de control es el regulador polinomial RST conformado por tres , y que actúan sobre tres señales diferentes en el esquema polinomios típico de control realimentado, como son la entrada o referencia, la salida o variable de proceso, y la salida del restador de estas dos. Con estos polinomios se busca que la función de transferencia en lazo cerrado tenga un comportamiento previamente definido por el usuario. Los controles polinomiales anteriormente propuestos ajustan dos de estos polinomios básicamente, para lograr asignar polos en el modelo de transferencia en lazo cerrado, mientras que el regulador RST ofrece dos grados de libertad al diseñador de control, al configurar un polinomio más en la síntesis que permite determinar tanto los polos como los ceros de la planta a controlar.

CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN

2

En el presente capítulo se introduce el contexto general del diseño de reguladores polinomiales, donde se mencionan trabajos relacionados con el desarrollo del método, así como la utilidad de los sistemas de control realimentado; seguidamente se indica el problema que se desea resolver y se proponen ciertos objetivos a cumplir. Finalmente se describe globalmente la solución propuesta.

1.1 Contexto General El control PID ha sido implementado en versiones mecánicas, hidráulicas y neumáticas, hasta llegar a versiones electrónicas (analógicas y digitales) y ha sido adaptado a múltiples sistemas de control de entornos diversos (industrial, biológico, médico etc.), ampliando su cobertura en casi todos los ámbitos de control automático de procesos [MAZ02]. La obtención de los tres parámetros ajustables de controladores PID clásicos aplicados a plantas lineales, se presenta relativamente simple entretanto los sistemas a controlar exhiban comportamientos similares a sistemas sencillos o ya estudiados, sin embargo, algunas veces para producir resultados adecuados en casos donde los sistemas son de orden elevado o poseen alguna característica dinámica importante reflejada en su modelo matemático, se recurre a técnicas adicionales de sintonía fina de los parámetros. La adquisición de polinomios reguladores de tipo RST, mediante procedimientos algebraicos que incorporan la forma matemática de sistemas lineales sin importar su orden, permite obtener resultados favorables a partir del diseño preliminar ya que ofrece un desempeño de control específico a cada planta, con la posibilidad de administrar independientemente las dinámicas de seguimiento o regulación de los sistemas, admitir cancelaciones de ceros o la adición de integradores, lo que permite satisfacer múltiples requerimientos de control en cada dinámica. El profesor Ioan Doré Landau, Director de Investigación del Laboratorio de Automática de Grenoble y el Profesor Roland Longchamp, Director del Laboratorio de Control Automático del Instituto Federal de Tecnología en Lausana, Suiza, consideraron una clase particular de regulador digital cuyo diseño requiere la introducción de ceros y polos en el sistema de lazo cerrado [LAN98]. Para la obtención de dichos polos se estudiaron múltiples métodos y se abordó la síntesis de reguladores de esencia algebraica, especialmente de reguladores polinomiales RST aplicados a plantas modeladas en tiempo discreto [LON95]. Ambos autores, instauraron amplias referencias concernientes a la fundamentación teórica y algebraica de la obtención de polinomios R,S y T. Entre las aplicaciones de control RST se encuentra: el motor Peugeot, la máquina de doble torno, el proceso de galvanizado, etc.[LAN02]. La firma ADAPTECH [ADA01] implementó el paquete de aplicaciones WinPim+TR que permite adquirir y tratar los datos de los procesos, calcular y validar los modelos dinámicos; simular, analizar y optimizar reguladores RST (y tambien PID), probar los reguladores en tiempo real y aplicar este regulador sobre dispositivos programables [ADA02]. En Colombia, dentro de los estudios que se han adelantado sobre el tema se destaca el trabajo del Grupo de Investigación en Control Industrial de la Universidad del Valle (GICI) bajo la coordinación del docente José Miguel Ramírez Scarpetta [GIC01],

CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN

3

quienes ofrecen cursos en Instrumentación Industrial y Control de Procesos entre los que se encuentra el estudio de algoritmos RST y Autoajustables. De otra parte, en la sede Medellín de la Universidad Nacional de Colombia, el profesor Héctor Botero Castro trata tangencialmente la síntesis del regulador RST, destacando la importancia de un control ajustable en la industria, en el marco de un curso de control por computador [BOT04]. Por su parte, la línea de automática del proyecto curricular de Ingeniería Electrónica de la Universidad Distrital, tiene el interés de explorar estas temáticas de diseño y aplicaciones de reguladores algebraicos RST con el fin de incorporar formalmente estos contenidos en la formación de ingenieros con énfasis en control automático.

1.2 Descripción del problema El diseño algebraico de controladores es un método modernamente estudiado e incorporado en las técnicas de automatización de sistemas industriales; no obstante, existen pocos documentos que esbocen la utilidad de diseñar controles de tipo RST. El diseño de control PID clásico que generalmente se adapta bien a la mayoría de sistemas cuya naturaleza no requiere especificaciones de control muy exigentes, posee algunas dificultades especialmente cuando las plantas a controlar sean de orden superior a 2, posean tiempos de retardo importantes o presenten comportamientos de respuesta inversa. Comúnmente el camino para resolver estas inconveniencias empieza por una identificación y aproximación del sistema en uno más sencillo para facilitar el cálculo de los parámetros PID mediante tabulaciones o algunas de las formulas para plantas específicas, y luego por la sintonía fina mediante iteraciones, optimización, experimentación u otras técnicas. Por tratarse de un regulador polinomial el regulador RST aborda la función de transferencia de plantas de distintos órdenes, cuyas características estén reflejadas en la expresión matemática. Con esta expresión se logra obtener tres polinomios distintos R, S y T que configurados de una forma acertada abren la posibilidad de aproximar más el sistema en lazo cerrado a un sistema deseado con un comportamiento esperado por el diseñador de control. Esta naturaleza algebraica puede formalizarse fácilmente en un procedimiento automático programado, por la relativa sencillez de su implementación en software cuando se requiere una herramienta de control computacional, que es una de las necesidades apremiantes en industria. Todas las características anteriores hacen de los reguladores polinomiales RST una temática de interés en cuanto a Automatización y Control se refiere. Los artículos desarrollados recientemente [LAN95], [CAR02], [LIT01], [GHA09] sugieren un buen desempeño de estos reguladores aplicados en la industria; sin embargo por ser ésta una problemática de vanguardia tecnológica desarrollada en otras latitudes, han sido muy pocos los recursos bibliográficos encontrados a nivel nacional [BOT04], surgiendo así la necesidad de fomentar una profundización del tema. Es en este punto donde se propone el planteamiento de un primer estudio sobre el diseño y aplicaciones de los controladores polinomiales RST ofreciendo las bases de un posterior proyecto de investigación.

CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN

4

En ese orden de ideas, se busca resolver los siguientes cuestionamientos: ¿Qué métodos de síntesis, se han propuesto en la literatura para realizar un diseño sistemático con reguladores RST? ¿En qué casos una ley de control de tipo RST podrá aportar una alternativa de mejor desempeño que un control PID?

1.3 Objetivos Para proporcionar los datos sobre el estudio y diseño de reguladores RST aplicable a plantas lineales en tiempo discreto se formulan lo siguientes objetivos:

1.3.1 Objetivo General Realizar un compendio que enuncie la estructura y metodología de diseño de controladores polinomiales RST con aplicación a plantas lineales en tiempo discreto de hasta tercer orden en español, presentado un análisis comparativo de desempeño en cierto número de plantas paralelamente controladas con PID clásico, y el desarrollo de una herramienta software sobre Matlab de carácter académico, en la que se apliquen los algoritmos estudiados.

1.3.2 Objetivos Específicos Recopilar y adaptar al idioma español la literatura dispersa (encontrada generalmente en idioma francés) sobre reguladores polinomiales RST, presentando las técnicas de diseño algebraico que consideren presencia o no de integradores y/o cancelación de ceros, los teoremas y premisas a efectuar en el desarrollo de la síntesis de los reguladores. Incorporar en la concepción de los reguladores RST, aspectos de implementación práctica que influyen en el desempeño de los sistemas lineales en tiempo discreto controlados, como la exactitud en la interpretación del diagrama de bloques y la codificación de las ecuaciones de diferencia. Comparar el desempeño temporal y de estado estacionario de los reguladores RST con respecto a PID clásico, validando los resultados e identificando las ventajas y limitaciones del método algebraico al aplicarlos a ocho plantas lineales en tiempo discreto académicamente típicas que involucren tiempos muertos y constantes de tiempo de primer a tercer orden. Desarrollar una herramienta software de aplicación académica sobre Matlab junto con su respectivo manual de utilización, orientada a un usuario no experto, que facilite el cálculo de los polinomios y validación del desempeño de reguladores RST aplicando los algoritmos y casos estudiados, ampliando el alcance a plantas de orden superior.

CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN

5

1.4 Solución propuesta Para cumplir con los objetivos se proponen las siguientes tareas: (1) un estudio matemático de la ley de control RST identificando cuatro configuraciones principales que incluyen o no la presencia de integradores, así como cancelación de ceros de la planta. (2) síntesis de controladores PID y RST para un conjunto de referencia conformado por ocho plantas con dinámicas diversas, así como la optimización del desempeño de estos controladores, mediante herramientas computacionales a la luz de una figura de mérito que pondera el error y el esfuerzo de control en el tiempo, (3) un análisis comparativo de comportamiento de las soluciones logradas para el conjunto de plantas propuestas en términos de complejidad del cálculo y valor del índice de desempeño de un control PID con respuesta óptima versus un regulador de tipo RST clásico.(4) una discusión en torno a la aplicabilidad de reguladores RST en casos en donde se justifique su uso para lograr un mayor desempeño que el que se obtendría con control PID. (5) el desarrollo de una herramienta computacional bajo ambiente Matlab que facilite la síntesis automática y análisis grafico de desempeño de sistemas de control basados en reguladores algebraicos de tipo RST Cada uno de estos aspectos se a aborda en mejor detalle a continuación: 1) Para consolidar el estudio, se retoman los artículos y la teoría disponible para el análisis y sintonía de reguladores polinomiales y RST, identificando los algoritmos y los pasos necesarios para los cálculos, los requerimientos de control para obtener un regulador RST que se ajuste a las necesidades y plasmarlo como marco de referencia en español académico para facilitar su razonamiento. 2) Para el estudio comparativo se proponen las siguientes tareas: Selección de sistemas y discretización Considerar inicialmente ocho plantas de la Referencia de controladores PID de Aström discretizarlas con Transformada bilineal, invariante al paso para tener una representación común para síntesis PID y RST y seleccionar un control PID de arquitectura ideal discretizado por transformada bilineal. Sintonía del controlador PID: Inicializar con valores clásicos de sintonía que generan unos primeros resultados de desempeño y optimizarlo haciendo uso del Toolbox de optimización de Matlab buscando minimizar el índice de desempeño conjunto:

Síntesis del regulador RST: Inicializar con valores que sean razonables según el desempeño esperado usando como base la función de transferencia de la planta a controlar, optimizar el desempeño haciendo uso del Toolbox de optimización de Matlab buscando minimizar el índice de desempeño conjunto:

CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN

6

Nota: No se abordará en profundidad los aspectos de implementación sobre PLCs. Sólo se explicará lo necesario para indicar que se debe tener precaución a la hora de la implementación. 3) En cuanto a la realización del toolbox de automatización del cálculo, recurrir al programa Matlab y presentar una interfaz grafica en la que el usuario primeramente ingresa los datos de la planta, las especificaciones de control que desea establecer y la configuración que usara para los reguladores, de donde saldrá un primer resultado de polinomios R S y T; y a la vez puede recurrir a un ajuste fino de polos de lazo cerrado en un plano complejo observándose directamente los comportamientos temporales de la función de transferencia en lazo cerrado y del esfuerzo de control, y un cálculo en línea de los nuevos polinomios R S y T correspondientes al ajuste de los nuevos polos.

1.5 Contenido del Trabajo En este trabajo se presenta un esquema general de la síntesis de reguladores RST, con los algoritmos y procedimientos necesarios para obtener las expresiones matemáticas soportados con teoremas que cumplen con las leyes de control, seguidamente de un análisis comparativo de desempeño con controles PID, aplicados a ocho plantas lineales en tiempo discreto y finalmente un anexo correspondiente a un manual de usuario de la herramienta Matlab desarrollada que automatiza el cálculo de los polinomios R, S y T. El contenido del presente trabajo se encuentra entonces estructurado de la siguiente forma: En el Cap. 2 MARCO DE REFERENCIA, se presentan métodos clásicos de síntesis de controladores PID aplicados a plantas lineales en tiempo discreto y se enfatiza la sintonía orientada a desempeño óptimo. El método parte, en los casos en lo que sea necesario, de una reducción de orden del sistema, tipificando las plantas como estructuras de primer y segundo orden con y sin tiempo muerto. A partir de dichos modelos reducidos se procede a la sintonía de controladores PID de estructura Ideal con filtro derivativo con base en resultados reportados en la literatura orientados a desempeño óptimo bajo criterio ITAE inicialmente. Luego se muestran las técnicas de síntesis de reguladores RST, consideraciones para la elección del modelo de referencia que se desea implantar, el hallazgo del orden de los polinomios R S y T, y su posterior solución mediante técnicas algebraicas como matrices de Sylvester y divisiones sucesivas entre polinomios. En el Cap. 3. METODO PROPESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO, se detallan los pasos seguidos para lograr una comparación objetiva entre reguladores RST y controlador PID, aplicados en ocho plantas lineales en tiempo discreto de diversas dinámicas representativas desde la perspectiva académica, con el objetivo de ilustrar el desempeño temporal de los sistemas en lazo cerrado con respecto a una entrada escalón unitario, y las acciones de control con respecto a la misma entrada escalón unitario. Entre los pasos a seguir se detallan las técnicas utilizadas para el control de cada sistema y la optimización de los parámetros para conseguir un mínimo índice de desempeño,

CAPITULO 1. INTRODUCCIÓN

7

restringida a valores máximos y mínimos de la acción de control. Bajo estas condiciones de síntesis se procede al análisis comparativo de los resultados con las dos estructuras de control. En el Cap. 4 RESULTADOS EXEPERIMENTALES Y DISCUSION, se esboza la comparación encaminada a ampliar el panorama de características y desempeño de reguladores RST, aplicados a las ocho plantas lineales en tiempo discreto seleccionadas. En el Cap. 5 CONCLUSIONES, se enuncian los desenlaces del desarrollo y sus resultados, se exhibe el aporte de este proyecto y el trabajo futuro. En la sección ANEXO, se presenta la herramienta computacional RSTool, desarrollada bajo ambiente Matlab, la cual facilita la síntesis automática y el análisis gráfico de desempeño de sistemas de control basados en reguladores algebraicos de tipo RST. En dicha aplicación el usuario escoge la configuración del método de síntesis del regulador en función de si se considera o no el uso de integrador y la cancelación de ceros de la planta. Igualmente define en términos matemáticos la planta y el comportamiento deseado del sistema en lazo cerrado y visualiza en simulación los resultados obtenidos de comportamiento del sistema, lo que le permite ajustes en forma interactiva, a partir del movimiento de raíces del sistema que se desea implementar y las gráficas de respuesta ante entrada escalón y rampa.

8

CAPÍTULO

2

2 Marco de referencia

Entre los sistemas de control existentes, el regulador PID, aunque fue desarrollado en el primer cuarto del siglo veinte, es el más utilizado aún por su facilidad de ser adaptado a casi cualquier proceso y por ofrecer resultados favorables en la mayoría de los casos; sin embargo existen otros métodos de control que pueden ofrecer un mejor desempeño en situaciones donde el control PID no satisface las necesidades a la perfección. Tal es el caso del regulador RST, el cual es un sistema de control de naturaleza polinomial cuya síntesis aprovecha, en mejor medida que PID, los recursos algebraicos que ofrece el modelo matemático de los sistemas, ofreciendo un algoritmo de control más específico para cada proceso. El presente capítulo pretende contrastar los dos sistemas de control mencionados, abordando los aspectos más relevantes y generales del diseño de los mismos. Para esto se presenta la estructura, principio de funcionamiento y algunos métodos tradicionales de diseño de controladores PID (enfocado a la sintonía para obtener desempeño óptimo) y de reguladores RST aplicados a plantas lineales en tiempo discreto.

2.1 Controladores PID Los sistemas de control, cuyas variables de proceso deban medirse y comparase con valores deseados (control realimentado) tienen la cualidad de ajustar su respuesta transitoria y en estado estacionario para ofrecer un desempeño deseado [DOR05]. En general cualquier sistema de control realimentado puede ilustrarse de la siguiente forma: 

+ -











Figura 2.1 esquema funcional de un sistema de control con un regulador clásico

simboliza a la referencia o entrada, la acción de control y Donde es la función de transferencia del controlador y variable de proceso o salida; es la función de transferencia de la planta.

la

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

9

La función de transferencia de la planta racional propia de la forma:

puede expresarse como una función 2.1

Por su parte, la función de transferencia del controlador siguiente manera:

puede representarse de la 2.2

Como un cociente entre dos polinomios

y

.

La diferencia entre el valor deseado (referencia) y el valor medido (salida) de la variable de proceso, se conoce como error de regulación ( en laFigura 2.1) y es sobre el cual actúa el regulador PID para controlar los sistemas. Para entrar en detalle, se presenta la estructura y principio de operación de controladores PID, para luego entrar en los métodos de síntesis y obtención de sus parámetros.

2.1.1 Estructura y principio de operación El principio de operación del control PID se basa en procurar la disminución del error entre la referencia y la salida del sistema, calculándolo (realizando la diferencia o resta) y ejecutando acciones correctoras sobre él. Estas acciones son básicamente tres: Una acción proporcional

que suministra una salida proporcional al error

: 2.3

Donde se introduce una ganancia de ajuste que entre mayor sea, para un mismo valor del error, mayor será también la acción que se aplicará sobre el sistema para que aumente su valor de salida (en sistemas lineales). Es decir que el aumento de la aumenta el valor de la salida reduciendo el error en estado ganancia proporcional estacionario. No obstante, aunque la acción proporcional por si sola puede controlar cualquier planta estable, tiene un desempeño limitado en cuanto a la posibilidad de anular el error en estado estacionario, porque puede llegar a inestabilizar el sistema si es demasiado grande. Una acción integral que suministra una salida proporcional al error acumulado en el tiempo 2.4

La constante de tiempo integral es el tiempo requerido para que la acción integral contribuya a la salida del controlador en una cantidad igual a la acción proporcional. Esta acción permite eliminar el error de estado estacionario, pero puede comprometer la estabilidad de los sistemas en algunos casos. Una acción derivativa que entrega una salida proporcional a la variación del error en un diferencial de tiempo :

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

10

2.5

Donde la constante de tiempo derivativo es el tiempo requerido para que la acción derivativa contribuya a la salida del controlador en una cantidad igual a la acción proporcional Esto permite que la acción de control actúe de forma rápida antes de que el error aumente demasiado. La desventaja que presenta esta acción es que puede amplificar señales de ruido y saturar los controladores. Usualmente se incorpora un filtro pasa bajos antes del bloque derivativo para compensar este problema. Las combinaciones entre estas acciones, así como las formas de operación entre si, conocidas como arquitecturas, conforman toda una familia de controladores PID y (Ec. 2.2), clásico, que en términos del cociente entre dos polinomios pueden representarse de la siguiente forma: 2.6

Como una función de transferencia de hasta segundo orden que puede contener (o no) un integrador [MAZ02]. Las configuraciones de control P, PI, PD y PID por ejemplo, son variaciones del PID que excluyen a alguno de sus componentes como su nombre lo indica. Las siguientes gráficas [ROB10] ilustran el comportamiento de sistemas de control en estas cuatro configuraciones, ante entradas escalón y con valores específicos de sus parámetros: Entrada

Entrada Variable de proceso

0

1

2

3

4

5

6

7

Entrada

Variable de proceso

t

0

1

2

3

4

5

6

7

Entrada Variable de proceso

Variable de proceso

Figura 2.2 Gráficas de respuesta de configuraciones de control P, PI, PD y PID

t

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

11

Algunas veces, un control proporcional (P) es suficiente para lograr un comportamiento estacionario que responda más rápidamente que el sistema por si solo en lazo abierto, sin embargo en algunas aplicaciones, su limitación para anular el error de estado estacionario exige que se introduzca una acción integral (PI), esto es realizable si no se ve comprometida la estabilidad del sistema. Por otro lado cuando se requiere que la variación en la salida sea corta, se incluye una acción derivativa (PI o PID). Las formas de operación entre las acciones de control PID contemplan arquitecturas como la ideal, serie y paralela entre otras. En la arquitectura ideal se propone un controlador en el que las acciones proceden de forma independiente con respecto al error, pero la ganancia proporcional contribuye al tiempo integral y al tiempo derivativo por igual, como puede verse en la expresión matemática siguiente: 2.7

Donde representa a la acción de control que se aplicará sobre la planta. Por lo (señal tanto, la función de transferencia del controlador en términos de su entrada de error) y su salida (señal de control) es: 2.8

En esta expresión puede verse que los ceros del controlador se ven afectados si varía cualquiera de los dos términos o En la arquitectura paralela las acciones proceden con el error de forma independiente, y luego se suman como lo indica la siguiente ecuación: 2.9

Cuyo equivalente en el dominio de la frecuencia es: 2.10

En esta expresión también puede verse que los ceros del controlador se ven afectados si varía cualquiera de los dos términos o El controlador PID de arquitectura serie es un controlador en el cual, en el dominio del tiempo, la acción integral y la derivativa interactúan para procesar la señal del error de la siguiente forma: 2.11

Cuyo equivalente en el dominio de la frecuencia es: 2.12

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

12

En esta expresión puede verse que uno de los ceros del controlador depende sólo de el otro sólo de

y

Las ecuaciones 2.8, 2.10 y 2.12 que hacen mención a la función de transferencia continua de controladores PID con arquitectura ideal, paralelo y serie respectivamente, pueden representarse como un cociente entre polinomios de hasta segundo orden con integrador, tal como se plantea en la ecuación 2.6, de la siguiente forma: Función de transferencia del controlador PID ideal: 2.13 Función de transferencia del controlador PID paralelo: 2.14

Función de transferencia del controlador PID serie: 2.15

En resumen, para implementar un controlador PID, una vez escogida la configuración y la arquitectura a utilizar, se deben determinar los tres parámetros que intervendrán en el proceso dado. Tales son ganancia proporcional , tiempo integral y el tiempo derivativo . A continuación se verán algunos métodos de obtención de dichos parámetros

2.1.2 Métodos de síntesis del controlador PID Existen varios métodos de obtención de los parámetros PID, se enunciarán algunos, que son los más usuales, entre los que se encuentran los métodos propuestos por Ziegler y Nichols y un método de síntesis por asignación de polos. 2.1.2.1 Métodos de Ziegler y Nichols Se consideran los métodos propuestos por Ziegler y Nichols (Z-N) en 1942, obtenidos de forma experimental y se mencionará una variación propuesta por otros diseñadores. Los métodos de Z-N son los de lazo abierto (curva de reacción de proceso) y de lazo cerrado (oscilación sostenida). El objetivo de desempeño en lazo cerrado es lograr una atenuación rápida del sobrepico, en lo que Z-N llamaron respuesta con razón de decaimiento de un cuarto (quarter-decay ratio response) la que se ilustra en la figura siguiente:

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

CAMBIO DE LA ENTRADA

13

A= MAGNITUD DEL MAXIMO SOBREIMPULSO B= MAGNITUD DEL SEGUNDO SOBREIMPULSO P= PERIODO O TIEMPO ENTRE LOS DOS SOBREIMPULSOS SUCESIVOS RAZON DE DEACIMIENTO = B/A EN DONDE B=A/4

Figura 2.3 Razón de decaimiento de un cuarto

MÉTODO DE LAZO ABIERTO BASADO EN CURVA DE REACCIÓN DE PROCESO Mediante un experimento en lazo abierto se puede obtener una curva de reacción de proceso que típicamente tiene una forma sigmoidal que puede aproximarse por un modelo del tipo primer orden con tiempo muerto como el siguiente: donde

El experimento consiste en: 1. Llevar la planta a un punto de operación constante, es decir, aplicar una entrada en forma de escalón. 2. Registrar la salida hasta que estabilice. La curva que se obtiene es típicamente similar a la ilustrada en la siguiente figura:

Figura 2.4 Respuesta al escalón o curva de reacción en lazo abierto de la planta

Los parámetros del modelo de primer orden con tiempo muerto pueden obtenerse a partir de las siguientes expresiones: Ganancia estática: 2.16

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

14

Constante de tiempo: 2.17 Tiempo muerto: 2.18 A partir de estos valores Ziegler y Nichols propusieron la siguiente tabla:

Tabla 2.1 Parámetros de ajuste según el método de curva de reacción de proceso (Z-N)

Mediante la curva de reacción de proceso, otros diseñadores de control han implementado otras tablas de parámetros con el fin de mejorar el desempeño para ciertas plantas, tal es el caso de la tabla propuesta por Cohen y Coon en 1953 [BEN06] que es también muy utilizada:

Tabla 2.2 Parámetros de ajuste según el método de curva de reacción (C-C)

Una limitación importante de este método es que en sistemas que en lazo abierto son inestables (que presenten integradores por ejemplo) esta prueba no puede realizarse, ya que la curva obtenida ya no tendría la forma sigmoidal que se requiere para dar los valores de los parámetros PID. Para ello debe recurrirse a otros métodos. Por otra parte, la respuesta temporal del sistema en lazo cerrado al aplicar el controlador . [ROD02] PID obtenido mediante este método, depende mucho de la relación

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

15

METODO DE LAZO CERRADO BASADO EN OSCILACION SOSTENIDA Es un procedimiento que se lleva a cabo en lazo cerrado de la siguiente forma: 1. Utilizando la acción proporcional, se inicia con una ganancia pequeña, y se incrementa hasta que el sistema en lazo cerrado empiece a oscilar de forma lineal. que conduce al sistema a oscilación 2. Se registra la ganancia crítica última sostenida y el periodo de dicha oscilación. 3. Se ajustan los parámetros según la siguiente tabla

Tabla 2.3 Parámetros de ajuste según método de oscilación

Estos métodos presentan ciertas limitaciones dada su naturaleza experimental, ya que dependen totalmente del comportamiento en lazo abierto de las plantas, además de que se debe tener cuidado con la arquitectura PID que se va a implementar (ideal, serie, paralelo etc.) y realizar las conversiones respectivas; 2.1.2.2 Método de asignación de polos La asignación de polos es un método de diseño de controladores, utilizado cuando se requiere que el sistema en lazo cerrado cumpla con algunas especificaciones de desempeño determinadas por un modelo de referencia. Se presenta a continuación el procedimiento y como puede ajustarse un controlador PID mediante este método. Retomando las funciones de transferencia del controlador y de la planta dadas en la sección anterior (ecuaciones 2.1 y 2.2), donde: y

Se expresan y los grados de los polinomios asociados. La función de transferencia en lazo cerrado en términos de estos polinomios se escribe con la ecuación: 2.19

Lo que se pretende es hallar la función , tal que la relación sea igual al polinomio característico de una función de transferencia de lazo y no tienen factores comunes puede cerrado deseada. Suponiendo que generarse un sistema de ecuaciones posible de solucionar con métodos algebraicos conocidos.

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

16

El sistema de ecuaciones es el siguiente: 2.20 Considerando a los polinomios de la forma extendida:

2.21

Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones representado en una matriz:

2.22

Este sistema de ecuaciones tiene solución siempre y cuando se cumplan ciertos requerimientos: y son ASIGNASIONDE POLOS SISO: considerando el caso en que coprimos y que sus grados están determinados por , sea un polinomio arbitrario de grado ; entonces existen polinomios y , tales que cumplan con la ecuación 2.20. de grados Nota 1. El lema anterior establece las condiciones bajo las cuales existe solución para el problema de asignación de polos, asumiendo un controlador propio ( ). Pero y cuando se requiere un controlador estrictamente propio los grados de deberían ser y respectivamente, de esta forma el grado del polinomio será [CHI01]. Esto quiere decir que el orden del polinomio es de dimensión Nota 2. No están permitidas cancelaciones de polos con ceros inestables entre el controlador y la planta, ya que estas cancelaciones aparecerán como factor en la relación y por lo tanto, también deben aparecer como factor en para que la ecuación 2.20 se cumpla. No obstante el polinomio característico de lazo cerrado debe elegirse estable, para lo cual este factor debe serlo también. Sólo de esta forma el sistema en lazo cerrado nominal tiene garantía de ser internamente estable. Con este método se puede hallar un controlador de cualquier tipo, pero para obtener un control PID clásico, la planta debe ser (por lo menos aproximadamente) modelada por

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

17

una función de transferencia de hasta segundo orden, puesto que para un modelo de mayor orden el controlador resultante no será, generalmente un controlador PID definido como un sistema de hasta segundo orden con o sin integrador, como se expresa se presentan en términos de los coeficientes , en la ecuación 2.6, donde , y , , y según la arquitectura que se utilice, ya sea ideal (2.13), paralelo (2.14), serie (2.15) entre otras.

2.1.3 Sintonía óptima de controladores La sintonía óptima de controladores busca ajustar los parámetros para que cumplan de mejor manera con ciertos requerimientos de desempeño. Se presenta a continuación la naturaleza de los índices de comportamiento que comúnmente se busca que sean satisfechos, y luego algunas tablas de sintonía que ajustan los parámetros de controladores PID para cumplir con ciertos criterios de desempeño. 2.1.3.1 Índices de desempeño Los índices de desempeño son medidas cuantitativas del comportamiento de un sistema en términos de sus especificaciones importantes; para lograr que un control diseñado sea óptimo se busca que el sistema alcance un valor mínimo de estos índices dentro de un tiempo límite , elegido de forma que logren alcanzar valores estacionarios (típicamente el tiempo de asentamiento del sistema). La forma general de los índices de desempeño, se presenta por medio de una integral como se muestra a continuación:

Donde es una función del error, la entrada, la salida, la acción de control y/o del tiempo, obteniendo así múltiples índices posibles de la combinación de las variables del sistema. Lo que se busca con ellos es introducir una variable que sirve para el cálculo de los parámetros del controlador. Algunos ejemplos de índices de desempeño son los siguientes: La integral del cuadrado del error ISE que se ajusta para lograr que el error cuadrático medio sea el menor posible, se expresa: 2.23

La integral de la magnitud absoluta del error IAE, que se ajusta para lograr que la magnitud media del error sea el menor posible. Se escribe: 2.24

Al índice anterior se le incorpora la variable del tiempo para reducir la contribución del error inicial que generalmente es de un valor grande. El índice se ajusta para lograr que la magnitud media del error en el tiempo sea mínima. Se denomina ITAE y es el siguiente:

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

18

2.25

Una forma de ajustar los parámetros de controladores PID teniendo en cuenta estos índices de desempeño es aplicando el teorema del valor final en la transformada de Laplace de la función de la siguiente forma: 2.26

Teniendo la ecuación de mínimo en donde

se obtiene la siguiente ecuación: 2.27

De esta forma se pueden calcular los parámetros de PID, despejándolos de la función . Esta metodología generalmente resulta compleja y requiere de tiempo para ser desarrollada, dependiendo del índice que se utilice y de la función de transferencia de la planta, funciones que en definitiva están inmersas dentro de la función . Existen formas más sencillas para encontrar los parámetros PID que minimicen estos índices. Se obtienen recurriendo a tablas de sintonía óptima desarrolladas a lo largo de la historia para plantas que presentan características específicas, o también acudiendo a funciones de búsqueda de valores críticos de señales (en este caso valores mínimos), soportadas en programas como Matlab. Se verán a continuación algunas de las más usadas. 2.1.3.2 Sintonía óptima de controladores PID Un sistema de control se optimiza cuando alguno de los índices anteriormente mencionados se hace mínimo, sin embargo el desempeño óptimo depende directamente del índice de comportamiento que se seleccione. Existen formas de obtener los parámetros de un controlador PID a partir de procedimientos que conllevarían a obtener una respuesta de lazo cerrado óptima algunas de ellas son las siguientes: COEFICIENTES OPTIMOS DE LAZO CERRADO Este procedimiento es tomado del libro de Richard Dorf, el cual consiste en obtener un sistema de lazo cerrado para entrada escalón representado de la forma: 2.28

Y para entrada rampa de la forma: 2.29

Estas funciones de transferencia tienen error de estado estacionario nulo para entrada escalón y rampa respectivamente y existen algunas tablas que proporcionan los coeficientes óptimos para diferentes criterios. A continuación se presentan tablas de coeficientes basados en criterio ITAE para entrada escalón y otra para entrada rampa.

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

19

La tabla siguiente considera funciones de transferencia desde primer hasta sexto orden para entrada escalón [DOR05]:

Tabla 2.4. Coeficientes óptimos basados en criterio ITAE para entrada escalón

El criterio ITAE es comúnmente utilizado para optimizar los sistemas de control minimizando el error de estado estacionario en un tiempo determinado porque tiene a minimizar los errores que persisten en el tiempo, suprimiéndolos en mayor proporción conforme el tiempo en que se presenten sea mayor. La siguiente tabla considera funciones de transferencia desde segundo hasta quinto orden para entrada rampa:

Tabla 2.5. Coeficientes óptimos basados en criterio ITAE para entrada rampa

La siguiente figura muestra las respuestas para entrada escalón, empleando los , en diferentes ordenes. coeficientes óptimos ITAE para un tiempo normalizado de

Figura 2.5. Respuesta ante entrada escalón de sistemas en lazo cerrado con coeficientes óptimos ITAE

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

20

Una de las maneras para ajustar los parámetros de controladores PID mediante estas tablas de sintonía, consiste en tomar la función de transferencia en lazo cerrado y realizar una comparación de términos con la del sistema en lazo cerrado con coeficientes óptimos (deseada), similarmente como se haría con el método de asignación de polos anteriormente descrito, desarrollando el sistema de ecuaciones 2.20 posiblemente representado por la matriz 2.22, es decir que el polinomio característico podría escogerse con éstos coeficientes del sistema en lazo cerrado deseado óptimos y determinar el valor de con base en especificaciones del tiempo de respuesta deseado para el sistema. Éste método de sintonía puede en buena medida ajustar los parámetros PID para obtener una respuesta deseada al poder intervenir con el polinomio característico del sistema en lazo cerrado, sin embargo no es muy evidente predecir el efecto del numerador del sistema resultante en la respuesta temporal. Por otro lado éste desarrollo en tiempo continuo no permite fácilmente tener en cuenta el efecto de tiempos muertos de los sistemas, para lo cual muchas veces se recurre a tablas de sintonía de controladores para plantas que han mostrado comportamientos de tiempo muerto.

TABLAS DE SINTONIA ÓPTIMA Las siguientes tablas de sintonía hacen referencia a controladores PID de arquitectura ideal para sistemas de primer y segundo orden con tiempo muerto y son retomadas del Handbook of PI and PID controller Tunning Rules de Aidan O´Dwyer en su segunda edicón [DWY06]: Para sistemas de primer orden con tiempo muerto cuya estructura se representa de la siguiente forma:



+ -









Figura 2.6 controlador ideal para un sistema de primer orden con tiempo muerto

Se tiene una serie de reglas de sintonía de los parámetros para los múltiples criterios. Las que se presentan en la siguiente tabla son algunas de las existentes, que se utilizan para minimizar el criterio ITAE:

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

21

Regla

Observaciones

Mínimo ITAE -Murril (1967) -pags. 358-363

Modelo: método 5

Mínimo ITAE -Rovira et al. (1969)

Modelo: método 5

Mínimo ITAE -Wang et al. (1995a)

Modelo: método 1

Mínimo ITAE -Sadeghi y Tych. (2003) Minimo ITAE modificado -Cheng y Hung Minimo ITAE modificado -Smith(2003)

Modelo: método 1

Modelo: método 12

1.26

0.308

Modelo: método 1

Tabla 2.6 Parámetros de controlador PID ideal para minimizar criterio ITAE en sistemas de primer orden con tiempo muerto

Para sistemas de segundo orden con tiempo muerto que se representan de la siguiente forma con controlador PID ideal:



+ -





Figura 2.7 controlador ideal para un sistema de segundo orden con tiempo muerto



CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

22

Se muestran las siguientes reglas de minimización de criterio ITAE: Regla Mínimo ITAE -Sung et al (1996) Mínimo ITAE -Sung et al (1996)

Observaciones Modelo: método 9

Modelo: método 9

Ó

Ó

Con

Ó

Ó

Tabla 2.7 parámetros de controlador PID ideal para minimizar criterio ITAE en sistemas de segundo orden con tiempo muerto

Estas tablas permiten la sintonía óptima de controladores PID bajo ciertos requerimientos de la planta, del índice de desempeño, de la configuración y de la

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

23

arquitectura del controlador PID a utilizar. Son realmente útiles ya que proporcionan los parámetros de forma directa con respecto a los parámetros de la planta. Éste Handbook es sin duda una gran referencia de diseño de controladores puesto que recopila múltiples plantas y a su vez, diversas arquitecturas de PID que puedan satisfacer algún criterio desempeño o que obedezcan a lo propuesto por algún diseñador. METODOS COMPUTACIONALES PARA ENCONTRAR VALORES OPTIMOS Para encontrar los parámetros de control PID que proporcionen un desempeño óptimo se puede recurrir a técnicas computacionales que proporcionan los despejes necesarios cuando resulta compleja la resolución manual, u otros que por medio de iteraciones suministran valores óptimos de parámetros PID al minimizar los criterios. Tal es el caso del Toolbox de optimización del programa Matlab que utiliza funciones de búsqueda de parámetros de funciones que conduzcan a valores críticos de señales (máximos mínimos etc.) y permite restringirlas a ciertos límites o condiciones [CAL05]. Una de esas funciones que permite introducir límites y restricciones a los valores de los parámetros es la función fmincon la cual se explicará mas adelante, que permite una minimización con restricciones de funciones no lineales de varias variables. La función a minimizar en este caso es uno de los índices de desempeño (IAE ITAE ISE etc.) que devuelve un valor que refleja qué tan cerca se está de las especificaciones impuestas al sistema de control. Los límites que se pueden introducir hacen referencia a los valores máximos y mínimos de los valores que la función fmincon ajusta para que el índice de desempeño sea y mínimo, los cuales para nuestro caso son los tres parámetros de control PID ( ). Por otro lado, las restricciones pueden hacer referencia por ejemplo a valores (condición que resulta muy importante para no límites de la acción de control saturar los actuadores con valores de controladores que sobrepasan las condiciones de energía con las que se cuenta en la realidad de los procesos), u otras condiciones que sean propias de cada sistemas de control específicamente. Para utilizar esta función de optimización el usuario debe establecer la función objetivo (índice de desempeño) para que se realicen los cálculos, determinar los parámetros a ajustar (parámetros del PID) e implementar los límites y las restricciones que hayan a lugar. Cabe recordar que el anterior procedimiento, involucra aspectos iterativos muy difícilmente soportados matemáticamente, pero que resuelven en una manera completa y acertada con las especificaciones, el problema de control de procesos industriales.

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

24

2.2 Reguladores RST Los reguladores RST constituyen un algoritmo de control recientemente estudiado e implementado por sus alcances, puesto que su síntesis se basa en la asignación de polos, y su resolución es puramente algebraica, que aprovecha de mejor manera la expresión matemática de la planta en tiempo discreto y que proporciona un controlador de dos grados de libertad al intervenir tanto con los polos de la función de transferencia en lazo cerrado, como con sus ceros. Además propone una estructura alternativa a la clásica como se verá a continuación. Prácticamente la totalidad del desarrollo planteado a continuación está soportado en el capítulo 10 del libro Commande numérique de systèmes dynamiques de Roland Longchamp [LON06], por ser el uno de los más completos en la descripción de la síntesis reguladores RST 2.2.1

Estructura y principio de operación

La estructura clásica de un sistema de control realimentado (por ejemplo un control PID) en tiempo discreto, se representa en la siguiente figura:



+ -











Figura 2.8 Esquema funcional de un sistema de control con un regulador PID clásico en tiempo discreto

es la función de transferencia discreta del controlador que igualmente puede representarse de la siguiente forma: 2.30

De forma similar al dominio continuo, denota la función de transferencia discreta de la planta y es una función racional propia: 2.31

El algoritmo de control clásico se puede describir por la ecuación polinomial:

De donde resulta la ley de control: 2.32 Cuando se establece un controlador PID clásico se rige por esta ley. De esta forma se aprecia claramente que el polinomio pondera por igual tanto a la señal de referencia como a la salida del sistema .

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

25

La función de transferencia discreta del sistema en lazo cerrado se puede representar por la siguiente ecuación, en términos de los polinomios y del controlador y de la planta: y 2.33

El regulador RST generaliza a la estructura clásica, implementando dos polinomios y distintos en lugar del único polinomio . Se tiene entonces la ley de control: 2.34 De esta forma, no existe una comparación directa entre y que genere el error ; el esquema funcional de la Figura 2.1 se sustituye por el de la siguiente figura.

Figura 2.9 esquema funcional de un sistema de control con un regulador RST

Sustituyendo por se busca la función de transferencia en lazo cerrado y se tiene que: resultante. Agrupando los términos

Con lo cual la relación de entrada-salida queda:

Expresión que puede ser llevada a la forma: 2.35

En donde los polinomios y se ajustan con el fin de facilitar la asignación de polos del sistema en lazo cerrado, mientras que , se ajusta para facilitar la ubicación de ceros en lazo cerrado. Una comparación entre las expresiones de lazo cerrado 2.33 y 2.35 (PID y RST, respectivamente) hace resaltar una diferencia importante: en el numerador y en el denominador de 2.33 aparece mientras que el numerador de 2.35 contiene el polinomio que está ausente del denominador. En la arquitectura clásica PID, los ceros en lazo cerrado son iguales a los ceros de (ceros de la planta) y de (polinomio común de ponderación). En cambio, en un control RST, es posible asignar . Así, se introduce un ceros de lazo cerrado por medio del polinomio adicional grado de libertad adicional al numerador de la función de transferencia en lazo cerrado.

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

26

El regulador RST se denomina algunas veces como regulador de dos grados de libertad1, ya que como consecuencia de la expresión 2.35 y como se ilustra en la y la variable de proceso se filtran a través de dos siguiente figura, la entrada y distintas: funciones de transferencia + -

Figura 2.10 Regulador RST bajo la estructura llamada “de tres ramas”

La formulación de dos grados de libertad tiene como objetivo tratar de satisfacer simultáneamente los problemas de un buen seguimiento a los cambios en la señal de referencia (o entrada) y un buen rechazo a perturbaciones [ALF09]. El polinomio

se escoge mónico de grado

de acuerdo con la expresión: 2.36

Por su parte el polinomio

de grado

puede escribirse como: 2.37

Y el polinomio

de grado

descrito por la ecuación: 2.38

La ley de control 2.34 del regulador RST despejando a forma:

puede expresarse de la 2.39

La propiedad causal de la función de transferencia que relaciona a y requiere que ; y la causalidad de la función de transferencia entre y requiere que . Frecuentemente se selecciona ; del mismo modo que . Esto sólo es realizable si el tiempo de cálculo y conversión es despreciable frente al período de muestreo. Entonces, para efectos prácticos se tiene que: 2.40 En ese caso la expresión 2.39, en términos de sus expresiones extendidas, se convierte en: 2.41

1

Se definen también los grados de libertad de un sistema de control como el número de funciones de transferencia de lazo cerrado que pueden seleccionarse de manera independiente [ALF09]

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

27

En potencias negativas de y después de haber multiplicado a los dos miembros de esta se obtiene: igualdad por

En el dominio temporal, introduciendo el operador de retardo

:

De donde, finalmente se obtiene la siguiente ecuación de diferencias: 2.42

El código con el que se implementa el regulador RST se basa directamente en esta ecuación. Un error, que es necesario evitar a toda costa dado su carácter frecuentemente letal, es el implementar el regulador directamente según la fórmula 2.39, calculando y y

luego sustrayendo las señales

, como lo muestra la Figura 2.10.,

puesto que las funciones de transferencia y necesariamente la propiedad de estabilidad BIBO [LON06].

no poseen

Cuando el tiempo de cálculo y ejecución del algoritmo es igual al período de muestreo , se coloca deliberadamente un excedente de polos de valor 1 en las funciones de transferencia que relacionan a con ya con , debido a que se hace necesario un retardo de al menos un periodo para almacenar el dato en la salida del elemento; por lo tanto, es necesario sustituir la ecuación 2.40 por la expresión: 2.43 La ecuación 2.41 se escribe entonces: 2.44

De donde en potencias negativas de

Y con el operado de retardo

se obtiene:

se tiene:

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

28

De donde finalmente se obtiene la siguiente expresión en el dominio temporal: 2.45

Y de esta forma, el código del regulador RST se basa en esta ecuación. Se considera ahora el sistema de control para la dinámica de regulación, en la cual la entrada es constante (nula) y una perturbación analógica que actúa de manera aditiva sobre la salida, tal como se muestra en la siguiente figura:

+

RST

+

Figura 2.11 Estructura de un sistema de control con dinámica de regulación y regulador RST

La influencia de la perturbación sobre la salida puede expresarse de la siguiente manera: 2.46

Colocando

se obtiene: 2.47

Por lo tanto, la dinámica de regulación del RST es equivalente a una dinámica de regulación clásica, es decir, el algoritmo RST se comportaría como en la arquitectura clásica ya que no habría contribución por parte del polinomio . Teniendo presente la necesidad de rechazar perturbaciones, puede considerarse la presencia de efectos integradores con lo cual el polinomio puede expresarse de la forma: 2.48 En donde el polinomio incluye al factor integrador . A veces estos integradores se encuentran bajo el nombre de compensador de perturbación, en donde es su tipo o clase. es mónico entonces Si el polinomio transferencia asociada a la regulación la forma:

también lo es. La función de queda entonces expresada de

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

29

2.49

Y de manera similar la relación

puede escribirse como: 2.50

De esta forma, las condiciones de causalidad imponen que .

y

En una forma más general de ajuste, el polinomio puede tener ceros para compensar los polos de la perturbación, se propone entonces un conjunto del polinomio el cual no es necesariamente igual a , en este caso debe expresarse de la forma: 2.51 El polinomio debe escogerse en forma apropiada dependiendo de la perturbación que deba rechazarse.

2.2.2 Método de síntesis del regulador RST El método de síntesis de reguladores RST basa su procedimiento en la resolución de sistemas de ecuaciones similares a los descritos en la sección 2.1.2.2 que habla del método de diseño de controladores por asignación de polos, donde se busca igualar la suma de productos ente polinomios a un polinomio característico de una función de transferencia de lazo cerrado deseada. La siguiente figura muestra la estructura de un controlador RST: RST

Figura 2.12 principio de la síntesis algebraica del controlador RST

La función de transferencia de sistema de control con dinámica de seguimiento sin integrador, en donde se aprecia la participación de polinomios , y es la que está descrita por la ecuación 2.35: 2.52

Donde el polinomio es un polinomio de pre-compensación, el polinomio es un polinomio de realimentación y el polinomio es el polinomio común de regulación, y la planta se representa por la relación . Se calculan los polinomios , y del regulador RST que permitan que la función de de un transferencia en lazo cerrado sea igual a una función de transferencia modelo de referencia, otorgado por el usuario:

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

30

2.53

En donde es una función racional propia, el polinomio es mónico y sus ceros están dentro del círculo unitario.Se darán las indicaciones sobre una escogencia adecuada de en las páginas siguientes. La siguiente figura ilustra éste principio de síntesis: RST

Figura 2.13 principio de la síntesis algebraica del controlador RST

De donde se obtiene la ecuación: 2.54

En la síntesis de un regulador clásico por el método de asignación de polos, los polos del sistema en lazo cerrado se colocan típicamente en lugares que permiten satisfacer especificaciones sobre el amortiguamiento del régimen transitorio. Debido a la estructura de la arquitectura clásica, este posicionamiento se limita a algunas regiones del plano complejo y las especificaciones no siempre pueden cumplirse. El enfoque involucra un aspecto empírico para el posicionamiento fino de polos, difícil de transcribir bajo una forma algebraica. El alcance del regulador RST generaliza considerablemente la síntesis asociada a la asignación de polos, pues es posible distribuir tales polos, que son las raíces del , en forma arbitraria2 en el plano complejo. Además, el grado de polinomio no es necesariamente igual al de (el cual es como se estableció en la sección 2.1.2.2), en realidad se selecciona generalmente un modelo de referencia más simple con un polinomio de grado inferior. Dado que 3 el regulador RST tiene dos grados de libertad , los ceros en lazo cerrado, es decir las raíces del polinomio , en cierta medida pueden también ser ubicados a voluntad en el plano complejo [LON06]. Las especificaciones de desempeño temporal que deben cumplirse en forma común a todos los sistemas de control, son típicamente las asociadas a máximo sobrepico y tempo de respuesta en lazo cerrado. Se deduce de la síntesis del regulador RST que el amortiguamiento del régimen transitorio en sistemas de seguimiento depende directamente de los polos del modelo de . referencia

2

En práctica típicamente se acota la región de ubicación de polos de acuerdo con las especificaciones de desempeño consideradas en el diseño. 3 El regulador RST se denota algunas veces como regulador de dos grados de libertad puesto que la entrada , la variable de proceso se filtran a través de dos funciones de transferencia y distintas.

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

31

Con el fin de satisfacer condiciones de máximo sobrepico y tiempo de respuesta, las raíces del polinomio deberán pertenecer a una región específica del plano Z, como la sombreada en la siguiente figura: 1

1

Re

Figura 2.14 Región de desempeño en la que deben situarse las raíces del polinomio desempeño temporal

para garantizar

En esta figura el círculo concéntrico dentro del círculo unitario está asociado a una especificación de tiempo de respuesta (respuesta más rápida hacia el interior) y la forma cardioide corresponde a una restricción asociada a la especificación de máximo sobrepico (a mayor sobrepico, mayor área del cardioide). La zona sombreada corresponde a una solución que tiene en cuenta en forma conjunta especificaciones de tiempo de respuesta y máximo sobrepico. Usualmente las especificaciones mencionadas de respuesta transitoria no admiten error de estado estacionario de posición. del modelo de referencia se expresa bajo la forma La función de transferencia siguiente, en donde se resaltan sus ceros y sus polos 2.55

Con relación al análisis de error de estado estacionario, para el caso de entrada escalón unitario, la transformada z de la entrada es . Para obtener error de estado estacionario de posición nulo, aplicando teorema de valor final, se debe cumplir la expresión: 2.56 Expresando

en términos de la función de transferencia

se obtiene: 2.57

Y reemplazando

por la transformada Z del escalón unitario: 2.58

De donde se obtiene: 2.59

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

32

Si esta igualdad se infringe existe error de estado estacionario de posición, incluso en presencia de un integrador. Esto se debe a que el proceso de síntesis encamina a la función de transferencia en lazo cerrado a ser igual al modelo de referencia . Para el caso de entrada rampa, la diferencia está dada por: salida

entre la entrada

y la 2.60

De donde aplicando nuevamente el teorema de valor final: 2.61

De donde, simplificando resulta: 2.62

Recurriendo a la regla de Bernoulli-L’ Hospital: 2.63

Obteniendo: 2.64

Teniendo en cuenta que: 2.65

Despejando

de 2.65 y reemplazando en 2.64 se obtiene 2.66

De donde, teniendo en cuenta que

, entonces: 2.67

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

33

Luego de esto, remplazando la expresión genérica del modelo de referencia 2.55 en 2.67 da como resultado: 2.68

Aplicando propiedades de logaritmos se tiene: 2.69

De donde derivando se obtiene: 2.70

Y desarrollando el límite se tiene que 2.71

Entonces la condición de que el error de estado estacionario de velocidad sea nulo es equivalente a: 2.72

Los ceros del modelo de referencia deben seleccionarse según esta igualdad con el fin de garantizar error de estado estacionario de velocidad nulo. Igualmente debe cumplirse la condición . En general, para escoger los ceros del modelo de referencia, se plantea un sistema de ecuaciones que dependerá de la función de transferencia discreta de la entrada y de unas consideraciones que serán vistas más adelante. Con relación a la robustez, es posible desde el momento mismo en que se dimensiona un regulador RST, analizar la robustez asociada a un cálculo de los márgenes de ganancia y fase. Sin embargo, la solución general en la que se llega a la síntesis de un regulador RST que proporcione los márgenes convenientes sigue siendo un problema abierto en la actualidad; se documenta solo alguna información incipiente [LON06]. 2.2.2.1 Diseño de reguladores RST El modelo de referencia sistema en lazo cerrado

generalmente es de un orden inferior al del ; con el fin de comprobar la igualdad entre estas

funciones como se enuncia en la ecuación 2.54, deben existir simplificaciones de ceros con polos en la expresión. Por lo tanto se calculan los polinomios y que causan estas simplificaciones.

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

Para empezar, el polinomio

34

se descompone en dos factores:

Un factor , que será un factor común con el polinomio para obtener simplificaciones en la función de transferencia en lazo cerrado Un factor que no tiene ningún factor común con por lo tanto no podría cancelarse de la función de transferencia de lazo cerrado.

y

El polinomio se representa entonces de la forma: 2.73 Se llama al miembro de la derecha de esta igualdad una factorización espectral de . Se proporcionará información sobre la selección de en la siguiente sección. De esta forma, la función de transferencia en lazo cerrado 2.35 presenta la siguiente ecuación: 2.74

Dado que no tiene factores comunes con ; por lo tanto todas las raíces de tendrá con esta forma el polinomio es un factor de

tampoco los deben ser raíces de . De , el cual toma la forma: 2.75

Todas las raíces del polinomio pertenecen ; dado que , sus raíces deben pertenecer a la relación . Como ninguna raíz de puede ser raíz de dado que por hipótesis y son coprimos, entonces todas las raíces de . De esta forma se concluye que es un factor de , lo que se pertenecen a puede expresar de la siguiente forma: 2.76 La relación 2.74, después de las sustituciones 2.75 y 2.76 queda expresada de la siguiente manera: 2.77

Simplificando

de ambos miembros de la expresión se tiene que: 2.78

Se deduce de esta ecuación que el polinomio es igual a .

es igual al polinomio

y que

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

Se propone un polinomio

35

que ponderará a los dos: 2.79 2.80

El factor frecuentemente se encuentra bajo el nombre de polinomio observador y matemáticamente tiene como objetivo completar los polos que faltan en la dinámica en lazo cerrado para lograr un sistema de ecuaciones de igual número de incógnitas que de expresiones. Esto se verá reflejado en la resolución de las ecuaciones más adelante. y contienen a ambos En resumen, los polinomios polinomios y como factores. La función de transferencia en lazo cerrado se simplifica matemáticamente por los polinomios obtener el modelo de referencia

y

para

: 2.81

De donde, reemplazando los valores de y planteó en las expresiones 2.79 y 2.80 se tiene:

con lo que se

2.82

Simplificando se llega nuevamente a: 2.83

Cuando se incluye un integrador, se sustituye a la igualdad 2.54 se convierte en:

con

. De esta forma, 2.84

Todo el planteamiento anterior sigue siendo válido con De esta forma puede verse que las raíces de son raíces de se traduce en:

en lugar de . , lo que 2.85

De esta forma la ecuación 2.80 debe modificarse del siguiente modo: 2.86 Que es la ecuación mediante la cual se calcularán los polinomios forma general.

,

y

de

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

2.2.2.2 Comentarios relativos a la elección de los polinomios

36

y

.

Por el principio mismo de la síntesis del regulador RST, matemáticamente los polos del sistema en lazo cerrado son los mismos polos del modelo de referencia , es decir, las raíces de . Los polos generan modos y es importante disminuir la influencia de los modos parásitos que se derivan de las raíces de y de , puesto que se superponen a los realmente deseados (los cuales son resultantes de ). Cuando un polo de una función de transferencia cualquiera es las raíces de cercano, pero no igual a uno de sus ceros , no hay simplificación matemática de los y . Entonces subsiste un modo en la salida de la función de factores transferencia [LON06]. : El coeficiente , es proporcional a la diferencia

es un tanto más pequeño que el polo más cercano a cero. No obstante, el componente temporal del modo puede adquirir una gran importancia según el valor de , por ejemplo si . En el contexto de la síntesis del regulador RST se busca la simplificación de los y . Por lo tanto la ubicación de las raíces de estos polinomios es polinomios significativa para garantizar una disminución aceptable de los componentes temporales de los métodos parásitos. El polinomio observador es fijado por el usuario y sus raíces necesariamente deben estar dentro del círculo unitario; no obstante, esta condición generalmente no es suficiente. se someten en la práctica a condiciones severas Los métodos parásitos debidos a de amortiguamiento absoluto y relativo para que su disminución temporal sea más rápida que la de los modos deseados. Típicamente, las raíces de se eligen en la región de desempeño de la Figura 2.14 (la intersección del cardioide, con el círculo concéntrico al unitario). denominado Frecuentemente, se selecciona un polinomio observador respuesta de tiempo mínimo; indica el grado de . No obstante, la dinámica asociada al polinomio observador es tomada dos o tres veces más rápida que la que se origina del modelo de referencia. En otros términos, las raíces del polinomio observador, en amplitud, se escogen dos á tres veces menores que la raíz más pequeña de . Entonces la señal parásita procedente del polinomio observador simplemente es una suma ponderada de impulsos unitarios que aparecen en los instantes de muestreo Las raíces del polinomio también deben estar dentro del círculo unitario. Una restricción adicional consiste en imponer condiciones de amortiguamiento absoluto y también pertenecerían a la región sombreada relativo. En ese caso, las raíces de de la Figura 2.14.

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

37

Cabe recordar, que plantas de fase no mínima poseen por definición uno de sus ceros sobre o por fuera del círculo unitario. La incorporación de estos ceros en el conjunto de debe rechazarse (como se mencionó en la sección las raíces del polinomio 2.1.2.2), ya que conducen a inestabilidad. Por lo tanto deben ser raíces de necesariamente y como , deben también ser ceros del modelo de referencia. En la síntesis del regulador RST examinada hasta a ahora, la atención se centró en la implementación en sistemas de seguimiento. Para la dinámica de regulación en presencia de una perturbación constante y una entrada igual a 0 (por superposición) se tiene: RST

D-A

+ +

A-D

Figura 2.15 esquema funcional del sistema de regulación

Esta perturbación actúa de manera aditiva y se introduce previamente a la planta como se muestra en la figura, de donde, realizando las conversiones al dominio discreto respectivas, se obtiene un esquema como el que se presenta en la siguiente figura:

+ +

Figura 2.16 Dinámica de regulación de un sistema de control con regulador RST "a tres ramas"

La función de transferencia de la dinámica de regulación en lazo cerrado es: 2.87

Teniendo en cuenta la factorización espectral 2.73 y dado que la síntesis propuesta garantiza la igualdad se tiene que: 2.88

De esta forma, la respuesta en regulación contiene los mismos modos de la respuesta seguimiento derivados de los polos en lazo cerrado, es decir las raíces de , a los cuales se adicionan los modos generados de las raíces de . Estos modos parásitos estarán presentes incluso en el caso ideal matemático, puesto que el polinomio no se encuentran fuera del se simplifica en la expresión. Si las raíces del polinomio círculo unitario, se suprime la estabilidad BIBO.

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

38

Cuando la perturbación varía sustancialmente, las raíces del polinomio característico del sistema de regulación en lazo cerrado varían, de esta forma no se simplifica y por lo tanto, existen modos parásitos adicionales, el polinomio debidos al polinomio , que se adjuntan a los modos deseados. Estos modos parásitos son generalmente más importantes que en sistemas de seguimiento, ya que proceden de polinomios que no se simplifican matemáticamente. Por otra parte, cuando se trata de provocar una simplificación de ceros de la planta, es preferible que sean ceros que estén en la región de desempeño de la Figura 2.14. Entonces, es el polinomio quién debe ser determinado con la resolución de la (Ec. 2.80). Dado que , el grado de ecuación de diofantina y no es (inferior al de ), y el numero de incógnitas a determinar, es entonces (inferior a ), por lo tanto pueden evaluarse más pocos coeficientes. La resolución de la ecuación diofantina requiere menos tiempo de cálculo, lo que es importante, en particular en la aplicación instantánea de la síntesis del regulador en un esquema de control adaptativo [LON95].Sin embargo la función de transferencia entre la entrada y la acción de control, que se calcula fácilmente eliminando de las igualdades

y

es de la forma: 2.89

Y como

y

se tiene: 2.90

De donde, simplificando se tiene: 2.91

El polinomio aparece en el denominador de esta función de transferencia, es decir que los modos que se derivan de siempre afectaran a . En el caso que se quieren cancelar sean negativos la afectación a la particular donde los ceros señal influirá de la siguiente manera: Se genera un modo parásito igual a la señal , lo que genera una agitación de la señal que tomará valores positivos (cuando es par) y negativos (cuando es impar), los cuales se van amortiguando en el tiempo (acercando a valor cero conforme ). Este amortiguamiento se presenta en menor proporción cuando y puede decirse que entre más cerca se esté de 1, la señal se atenúa menos. Cuando el cero está ubicado en , ésta señal es constante en amplitud y no se atenúa. En las condiciones matemáticas ideales en las que

y el polinomio

no es un factor del polinomio , ningún modo parásito afectaría a No obstante, esto es cierto sólo en los instantes de muestreo; los modos en

.

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

39

generados por influyen en la salida analógica entre los instantes de muestreo, de tal forma que después del filtrada de la señal de control por la planta, la agitación producida por el modo se transforma en pequeñas oscilaciones que afectan a la salida controlada entre los instantes de muestreo. Éste comportamiento es conocido como efecto campana. Con lo anterior se puede concluir que hay simplificación matemática de los polinomios y en la dinámica de seguimiento, de en la dinámica de regulación y de en la función de transferencia . Además, en condiciones reales donde el modelo la planta difiere moderadamente del proceso físico, existen unos y . modos parásitos debidos a los polinomios Por otro lado, como el denominador de las funciones de trasferencia es de la forma , común para todas, asignar los polos para controlar el régimen de transición en seguimiento soluciona simultáneamente el problema del amortiguamiento del régimen de transición en regulación. Esto sigue siendo cierto con un integrador, donde se sustituye por . Con el fin de dominar la amortiguación del régimen de transición simultáneamente en y pertenezcan a una todas las situaciones, es importante que las raíces de dominio como la región sombreada de la Figura 2.14. 2.2.2.3 Ecuación Diofantina Sean los polinomios dados y los polinomios desconocidos y . La igualdad polinomial siguiente se llama ecuación diofantina, identidad de Aryabhatta o también identidad de Bezout: 2.92 La relación 2.21 de la anterior sección, y las relaciones 2.80 y 2.86, en las cuales es necesario determinar los polinomios y , son ecuaciones diofantinas. La cuestión de la existencia de una solución se describe en el teorema siguiente pero antes de pasar a su enunciado y demostración, es útil recordar la definición del máximo y , el cual es un polinomio que divide a común divisor entre dos polinomios y al mismo tiempo. El máximo común divisor de y es un polinomio tal que es un divisor común de y y es divisible por cualquier común divisor de y . El máximo común divisor de y se denota de la forma . Teorema 2.1 Sean y polinomios cuyos coeficientes son números reales. Entonces la ecuación diofantina 2.92 posee una solución y si y solamente si el máximo común divisor de y es un factor de . Demostración Para demostrar el teorema se introduce un método de cálculo del máximo común divisor de dos polinomios denominado algoritmo de Euclides.

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

Para simplificar la escritura, el argumento y esta demostración. Se ponen entre y el residuo se denota como de

40

se omite de los polinomios a lo largo de .el valor es el cociente de la división : 2.93

Si un polinomio divide entre y se puede dividir entre [],el máximo común divisor de y es idéntico al máximo común divisor de y : 2.94 Dividiendo

entre

se tiene: 2.95

Por lo tanto: 2.96 Continuando de esta manera y mediante la recopilación de los resultados se tiene:

2.97

De donde se obtiene 2.98 Cabe señalar que : los residuos de las divisiones poseen grados cada vez más pequeños hasta que el proceso pueda detenerse en un número finito de etapas con una división sin residuo. Se denota el primer entero es nulo: tal que el residuo 2.99 De donde se obtiene: 2.100 El máximo común divisor de un polinomio distinto de cero y el polinomio nulo es, desde luego ; 2.98 y 2.100 implican que el máximo común divisor de los polinomios y es el último residuo no nulo de las divisiones polinomiales: 2.101 Los polinomios

y

ahora están escritos en factor del máximo común divisor

: 2.102

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

41

Entonces: 2.103 Se concluye que el máximo común divisor de

y

es un factor de .

Recíprocamente, se trata de demostrar que hay una solución a la ecuación diofantina. Para ello, se toma de la ecuación 2.97 que: 2.104 Que se expresa como una combinación lineal de los polinomios

y

.

El factor anterior a 2.104 queda de la forma: 2.105 Que sustituyendo en 2.104 da: 2.106 Reorganizando da como resultado: 2.107 en este caso, es una combinación de lineal de los polinomios y . Llevando es una combinación de lineal de los a cabo todas estas sustituciones, se deduce que polinomios y : 2.108 se asume como un factor de polinomio : 2.109 Multiplicando a ambos miembros de 2.108 por

se tiene: 2.110

Por lo tanto se construye una solución Se indican

y

y

.

soluciones de la ecuación diofantina, de tal forma que: 2.111

Para el caso donde y es un polinomio cualquiera, constituyen también una solución:

, dónde 2.112

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

42

En otros términos, si existe una solución y , un infinito de otras soluciones y . pueden encontrarse en las que se añaden o retiran múltiplos de Entre todas las posibles soluciones, se puede encontrar una de grado mínimo, tal que el grado de es inferior al grado de [LON06]: 2.113 Dado que los grados de los polinomios y están siendo determinados, una manera de solucionar la ecuación diofantina consiste en igualar los coeficientes de los términos de los polinomios de mismo grado y , este procedimiento se denomina algoritmo de Euclides. Se deriva un sistema de ecuaciones algebraicas lineales que producen los coeficientes desconocidos de los polinomios y . Otro método de solución aplicable cuando el algoritmo de síntesis resulta ser complejo, dados los órdenes de los polinomios, se recurre a la solución matricial de las mismas y para ello se define la matriz de Sylvester. En el contexto de la síntesis del regulador RST, el sistema lineal asociado a la ecuación diofantina 2.86, generalmente presenta la siguiente forma: 2.114

Se obtiene la siguiente matriz que describe al sistema de ecuaciones:

2.115 Observamos en la matriz que la primera columna incluye los coeficientes del polinomio ; el segundo se obtiene a partir de la primera por desfase de una posición hacia abajo, la tercera se desprende de la segunda al desplazarla una posición. Las otras columnas se construyen de la misma manera con los coeficientes del polinomio ; la selección de los grados de los La matriz es cuadrada de orden polinomios y (que para este caso son y ) es vital para resolver la matriz de Sylvester y se estudiarán con mucho detenimiento en los párrafos siguientes. La resolución de 2.115 se puede efectuar mediante eliminación de Gauss o mediante una factorización normal de la matriz de Sylvester.

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

43

Como se mencionó anteriormente el algoritmo de Euclides, de esencia polinomial se adapta muy bien a esta clase de problemas ya que exige menos operaciones que los métodos de matrices. Las operaciones involucradas en el método basado en el algoritmo de Euclides pueden ser reunidas en forma de matriz, conduciendo a un algoritmo de Euclides extendido, por lo demás, este algoritmo genera una solución de grado mínimo. Es especialmente rápido, porque saca el beneficio pleno de la naturaleza polinomial del problema, y goza de un buen acondicionamiento numérico. 2.2.2.4 Existencia y unicidad de un regulador RST causal y de mínimo grado de un regulador RST se deriva de 2.86; los polinomios y El polinomio se proporcionan por la ecuación 2.80. Los polinomios y se . Los polinomios y no tienen ningún factor en escogen mónicos y común: el máximo común divisor de y es de grado nulo y el Teorema 2.1 y . permite afirmar que existe una solución y son una solución de 2.86 y En presencia de un integrador, los polinomios . Basta decir que en este caso, y son las incógnitas. Los polinomios y que constituyen el segundo miembro de la ecuación diofantina pueden ser cualesquiera (salvo que, como ya se mencionó, todas sus raíces están al interior del círculo unitario). o Sabemos que existe un infinito de soluciones y que, para una de ellas, en presencia de un integrador. El teorema siguiente revela que esta solución particular de grado mínimo permite construir un regulador RST que cumple las condiciones de causalidad dadas hasta ahora Teorema 2.2 Existe un regulador RST tal que desigualdades:

y

si se respetan las siguientes 2.116 2.117

Cuando se inserta un integrador, existe un regulador RST tal que la desigualdad 2.116y la desigualdad siguiente están satisfechas: 2.118 Demostración Al multiplicar a los dos miembros de 2.80 por

, obtenemos: 2.119

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

44

De esta forma: 2.120 Suponiendo que se cumplen las condiciones se tiene que:

, igual que

y que

Entonces puede decirse que: 2.121 Las igualdades 2.120 y 2.121 proporcionan:

Y despejando

se deduce que: 2.122

Por otra parte, dado que

el grado de

es: 2.123

Partiendo ahora de 2.116; teniendo en cuenta que , se puede escribir:

Añadiendo

y

y después de una reorganización se tiene: 2.124

Que reemplazando por 2.123 se tiene que:

Bajo la hipótesis de la desigualdad 2.117, y reorganizándola se tiene que: 2.125 Entonces se puede determinar que: 2.126 Por otro lado combinando 2.120 y 2.125 se tiene: 2.127 Que teniendo en cuenta la ecuación 2.121 se tiene: 2.128 0

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

45

O, de manera equivalente: 2.129 Como satisface.

y

, la condición de causalidad

y

se

La demostración del Teorema 2.2 ajusta el grado del polinomio según la fórmula 2.122; dado que se tiene , se obtiene: 2.130 En presencia de un integrador, hacemos luego:

; donde 2.131 0

Teorema 2.3 El grado del polinomio Además, los polinomios

vale o, en presencia de un integrador y , son únicos.

.

Demostración Un resultado básico de álgebra lineal que es útil recordar contempla que según el descrito de la teorema de Rouché [ROU10], el sistema de ecuaciones lineales siguiente forma: 2.132 En donde se indica

al rango de la matriz

, tiene solución si y sólo si:

Por otra parte, se obtiene una solución única si y sólo si: 2.133 El regulador RST es causal, implicando que ; de dónde se deduce que . Esto significa que el número máximo de ecuaciones a solucionar es . Por otro lado el sistema lineal 2.115 que escribimos bajo la forma compacta , incluye ecuaciones para resolver la ecuación diofantina 2.80 y las incógnitas, agrupadas en el vector , son los coeficientes de los polinomios y . El sistema de ecuaciones incluye el mismo número de ecuaciones que de incógnitas. Por lo tanto se presenta la siguiente igualdad: 2.134 Que despejando a

se obtiene que:

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

46

2.135 Que el rango de la matriz sea igual al de una solución, y como además el rango de vale de la solución de .

garantiza la existencia de al menos , se demuestra la unicidad

Cuando el tiempo de cálculo y conversión es despreciable frente al período de muestreo . Intercambiando la desigualdad 2.116 con una igualdad en la se toma declaración del Teorema 2.2, éste planteamiento da como resultado que y que . De igual forma cambiando la desigualdad 2.117 con una igualdad se tiene: 2.136 En presencia de integradores tenemos: 2.137 De la misma forma se puede constatar que en realidad: , además de que la desigualdad 2.118 queda de la forma:

y 2.138

La otra alternativa que se adopta cuando el tiempo de cálculo y conversión es igual al período de muestreo, es en la cual, los órdenes de los polinomios se eligen de la o cuando hay presencia de siguiente forma: integradores, como se indicó en la sección 2.2.2.1. Un razonamiento idéntico al de las líneas anteriores da como resultado que para cuando se esté en esta posición, las desigualdades 2.116, 2.117 y 2.118 deben respectivamente intercambiarse con las siguientes igualdades [LON06]: 2.139 2.140 2.141 Teniendo en cuenta el retardo adicional que se requiere para la escritura de los datos. 2.2.2.5 Elección del modelo de referencia es generalmente de orden poco elevado, que garantice El modelo de referencia globalmente las características deseadas en lazo cerrado. La selección precisa depende de la aplicación, no obstante, el numerador del modelo de referencia denotado como , indica que debe siempre contener los ceros de la planta que no se simplifican. Es ciertamente útil recordar la absoluta necesidad que todas las que estén sobre o por fuera del círculo unitario sean raíces de a fin raíces de de evitar la inestabilidad.

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

47

Para una entrada cualquiera, pero conocida, el teorema siguiente manifiesta la forma en que los ceros del modelo de referencia, incluidos en el polinomio , pueden calcularse resolviendo una segunda ecuación diofantina, que depende de la función de transferencia de la entrada, como se introdujo en la sección 2.2.2.1. Teorema 2.4 la transformada Z racional propia de una entrada conocida. Sea Su denominador se descompone en factores bajo la forma dónde es un polinomio mónico y sus raíces están al interior del círculo unitario sobre o al exterior del círculo unitario. Los polinomios y y las raíces de no tienen ningún factor común, así como los polinomios y . El polinomio satisface la ecuación: 2.142 Bajo la siguiente hipótesis:

Demostración Teniendo en cuenta de

eliminando

se tiene:

Realizando la sustitución tiene:

y realizando la suma de fracciones se

De donde reemplazando

se obtiene la expresión: 2.143

Los polos de esta expresión deben poseer estrictamente módulos más pequeños que 1 (o la posible excepción de un polo simple igual a 1). Todas las raíces de y de estan al interior del círculo unitario. Por otro lado las raíces de están sobre o a el exterior del círculo unitario y deben ser raíces de con el fin de poderse simplificar. Es decir, debe ser igual al polinomio polinomio de tal forma que . Y dado que

se tiene:

multiplicado por otro 2.144

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

48

Y reorganizando se obtiene la siguiente ecuación diofantina: 2.145 La cual tiene los polinomios

y

que desempeñan el papel de incógnitas.

Para evaluar el error de estado estacionario se obtiene la siguiente expresión con la ecuación 2.143:

De donde remplazando con la ecuación 2.144 se tiene que

Y simplificando se obtiene la siguiente hipótesis: 2.146

De todas las soluciones de la ecuación 2.142, hay una de grado mínimo donde . El siguiente teorema es una condición suficiente para satisfacer la desigualdad 2.116, respetando la causalidad del regulador RST. Teorema 2.5 , entonces el polinomio de grado mínimo Si asegurando la solución de la ecuación 2.150 es tal que causalidad del regulador RST. Demostración La hipótesis del teorema puede escribirse del siguiente modo (omitiendo el factor 1 sique siendo válida la expresión):

Sacando partido de la desigualdad

De donde sumando y a la vez restando al factor

Como forma:

y

Donde reorganizando se tiene que:

se tiene:

se obtiene:

la ecuación queda de la siguiente

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

49

Quedando demostrado el teorema. Teorema 2.6 El polinomio

es de grado

y único

Demostración Se deduce de la segunda ecuación diofantina 2.142 con la condición que que: 2.147 Por otro lado, como

y si

entonces:

Por lo tanto, la igualdad 2.147 puede ser satisfecha sólo sí: 2.148 El sistema lineal 2.115, descrito por la matriz de sylvester pero escrito bajo la forma compacta , contiene entonces ecuaciones. Las incógnitas, y ,por lo reunidas en el vector , son los coeficientes de los polinomios tanto se tiene que:

Concluyendo en que: 2.149 Las relaciones 2.147 y 2.148 dan como resultado que de donde , por lo tanto se tiene que: 2.150 Cuando se desea una implementación estándar del regulador RST, basta con reemplazar la desigualdad planteada en el Teorema 2.5 por una igualdad: 2.151 Por otra parte, en la situación en la que todo el período de muestreo se dedica a los cálculos y las conversiones, en el Teorema 2.5 se intercambia la inecuación con la igualdad siguiente: 2.152 Se tiene en cuenta, en conclusión, que el numerador del modelo de referencia depende es solución de la ecuación diofantina 2.142 que implica al de la entrada ya que polinomio en el denominador de esta señal. Por lo tanto, un cambio en la entrada requiere normalmente una adaptación del polinomio .

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

50

Con respecto al denominador del modelo de referencia siguiente forma:

podemos plantear la

2.153 Donde el polinomio es mónico y de grado 1 ó 2 en la medida que se rechacen o toleren algunas oscilaciones de la salida, respectivamente: 2.154 2.155 En estas expresiones, los coeficientes o y se seleccionan de tal modo que se cumplan las condiciones de amortiguamiento absoluto y relativo. Frecuentemente se requiere al factor en , que causa un retardo de períodos de muestreo, sin embargo, en lugar de imponer polos en el origen, generalmente es preferible introducir polos no nulos que generan modos que se amortiguan más fácilmente, estos polos son las raíces de un polinomio auxiliar colocado en el denominador de la modelo de referencia, que toma la forma: 2.156 Normalmente, los módulos de las raíces de son dos o incluso tres veces más pequeños que los de , además el polinomio auxiliar permite, tanto la introducción de raíces nulas y no nulas, o una fusión de ambas filosofías. 2.2.2.6 Configuraciones de síntesis del regulador RST El objetivo de la presente sección es resumir las anteriores ecuaciones en forma de cuadros que describirán las configuraciones posibles, en las cuales se puede realizar a síntesis de reguladores RST dependiendo de la aplicabilidad de las mismas, acompañando todo ello de ejemplos. Cabe recordar que se tiene en cuenta una implementación estándar en la que el tiempo de conversión y ejecución de algoritmo es pequeño en comparación al tiempo de muestreo, por lo tanto las desigualdades vistas, se toman como igualdades. Para comenzar se examina el caso simple donde no se simplifica ningún cero de la planta. Por lo tanto:

es entonces un factor de

:

Además:

La ecuación diofantina sin integrador se escribe de la siguiente forma:

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

51

El proceso de síntesis de regulador RST sin integradores y sin cancelación de ceros de la planta ,se resume en la tabla siguiente donde se recopilaran los datos que se deben conocer para empezar a realizar la síntesis, las ecuaciones que se pueden resolver para conocer los órdenes de los polinomios que se implementaran, los parámetros que hacen parte de las dos ecuaciones diofantinas que se plantean para encontrar los valores de los polinomios en cuestión , las matrices a desarrollar para final mente encontrar los , y que se van a implementar: polinomios DATOS , definir CONDICIONES: 1. 2. 3. , de grado 1 o 2 (determinar los coeficientes para una 4. respuesta deseada): a. b. , de donde 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. RESOLVER ECUACION DIOFANTINA 1 (HALLAR ): Dimensión de la matriz de RESOLVER ECUACION DIOFANTINA 2 (HALLAR Dimensión de la matriz de ENCONTRAR

y

):

:

Tabla 2.8 Síntesis de regulador RST sin integrador y sin simplificación de ceros de la planta

EJEMPLO 2.1 Con

, la función de transferencia de un sistema de control de posición es:

El cero del sistema a controlar vale ; Aunque se encuentra dentro del círculo unidad, es demasiado próximo de para ser simplificado. Dada la importancia práctica de este ejemplo, se expresa de manera simbólica así:

Se tiene:

Dada una entrada en forma se escalón unitario:

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

52

2.157 De donde se obtienen los siguientes polinomios, dada una factorización espectral del polinomio : 2.158 Para determinar el grado del polinomio

se recurre a la Tabla 2.8: 2.159

Ya que Se escogerá

, el polinomio , por lo tanto:

puede ser de grado

o de grado

.

Al tener no se hace necesario un operador de retardo para compensar el orden de los polinomios, por lo tanto: 2.160 Por lo tanto el polinomio

es: 2.161

Se define el orden del polinomio

como: 2.162

Por otro lado se tiene el orden del polinomio auxiliar ecuación diofantina que dará solución al polinomio :

, que hace parte de la 2.163

Se tienen los valores de la ecuación diofantina 1 de la Tabla 2.8 que es de la forma: 2.164 Y reemplazando con los valores del caso, queda de la forma: 2.165 Para que la ecuación diofantina 1 tenga solución, la matriz debe ser de dimensión , es decir de dimensión 3: 2.166

Cuya resolución da como resultado: 2.167

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

De donde, el polinomio

53

queda definido de la siguiente forma: 2.168

El polinomio

se define de la siguiente manera: 2.169

Se establece el polinomio

con respuesta exacta: 2.170

Con lo cual, el polinomio

queda definido de la siguiente forma: 2.171

El grado de

es: 2.172

El grado de

, se determina según al ecuación 2.135 2.173

La ecuación diofantina para encontrar los polinomios

y

es: 2.174

De donde: 2.175 O de forma polinomial: 2.176

Para que la ecuación diofantina 2 tenga solución, la matriz debe ser de dimensión , es decir de dimensión 4:

2.177

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

54

De donde, realizando la resolución simultánea de ecuaciones se llega a:

2.178

De esta forma se tiene la ecuación del regulador RST:

De dónde:

Se deriva la relación siguiente, lista para codificarse:

Con

,

y

(polos en lazo cerrado) de se puede Imponiendo unos ceros de establecer un , generando un polinomio observador que ya no tiene respuesta exacta. La siguiente figura muestra la ubicación de los polos de modelo de referencia, y la raíz de

Raíces de Raíces de

Figura 2.17 ubicación de las raíces de

y de

La siguiente figura muestra la respuesta ante entada escalón de la acción de control y del sistema en lazo cerrado:

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

55

(a)

(b) Figura 2.18 (a) respuesta escalón de acción de control. (b) respuesta escalon de sistema en lazo cerrado con regulador RST sin integrador y sin cancelación de ceros

Se realiza un análisis de error de estado estacionario de posición mediante análisis del la ganancia estática del sistema en lazo cerrado de la siguiente manera:

De donde

Lo que garantiza error de estado estacionario de posición nulo (Ec. 2.59). No obstante, el controlador diseñado en las líneas anteriores no está en condiciones de se eliminar el error de estado estacionario de velocidad. Por lo tanto, el polinomio modifica para corregir este defecto. La función de transferencia discreta de una entrada rampa es la siguiente:

Recurriendo a la Tabla 2.8 se tiene que:

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

El polinomio

56

está constituido por el polinomio

,

Al tener se hace necesario un operador de retardo para compensar el orden de los polinomios, por lo tanto: 2.179 Por lo tanto el polinomio

es: 2.180

Al cual es añadido el polinomio auxiliar

Los grados de los polinomios

y

:

son, respectivamente:

De donde

La ecuación diofantina 1 se escribe: De donde:

La matriz de Sylvester asociada a esta ecuación es de orden

: 2.181

Cuya resolución da como resultado: 2.182

De donde, el polinomio

queda definido de la siguiente forma: 2.183

El grado del polinomio observador se hace cero:

Y

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

57

y ya obtenidos, siguen siendo los mismos, bajo la condición La polinomios de que el polinomio auxiliar se haga igual al polinomio observador antes obtenido , es decir que . Por lo tanto el polinomio , se escribe:

En el caso concreto ya considerado en la primera parte del ejemplo, se incorpora un , de tal Cero adicional en el modelo de referencia, con un valor de forma que:

O de la misma forma:

La parte inferior de la siguiente figura muestra claramente que la adición de este cero anula el error de estado estacionario de velocidad.

(a)

(b) Figura 2.19 (a) respuesta del sistema en lazo cerrado sin modificar T(z) ante entrada rampa (b) respuesta ante entrada rampa del sistema en lazo cerrado con T(z) modificado

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

58

Realizando el análisis de error de estado estacionario de velocidad, en primer lugar se tiene que:

luego, para evaluar la segunda condición, se tiene que la suma de las inversas de los es: ceros evaluados en

Y de la misma forma la suma de las inversas de los polos evaluados en

es:

Tomando los números decimales completos se llega a que ambos resultados e sumatorias son iguales, lo que significa que se garantiza error de estado estacionario de velocidad. Se examina la situación donde se trata de provocar una simplificación de ceros de la quién debe ser determinado con la ayuda de la planta. Es entonces el polinomio como en el algoritmo anterior ecuación de diofantina, y no El procedimiento de síntesis del regulador RST con simplificación de ceros, sin integrador, se resume la siguiente tabla. DATOS , definir CONDICIONES: 1. 2. 3. 4. , de grado 1 o 2 (determinar los coeficientes para una respuesta deseada): a. b. 5. , de donde 6. 7. 8. 9. 10. 11. RESOLVER ECUACION DIOFANTINA 1 (HALLAR ): Dimensión de la matriz de RESOLVER ECUACION DIOFANTINA 2 (HALLAR Dimensión de la matriz de ENCONTRAR

y

y

):

:

Tabla 2.9 Síntesis de regulador RST sin integrador y con simplificación de ceros de la planta

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

59

EJEMPLO 2.2 Se toma en consideración el ejemplo anterior, pero simplificando el cero cercano a , iniciativa que no es perjudicial en principio, puesto que este cero se encuentra dentro del círculo unitario. Dada una entrada en forma se escalón unitario: 2.184 De donde se obtienen los siguientes polinomios, dada una factorización espectral del polinomio : 2.185 Para determinar el grado del polinomio

se recurre a la tabla donde: 2.186

Ya que , el polinomio puede ser de grado se escoge el grado con lo cual el polinomio queda:

o de grado

Se tiene:

Al tener no se hace necesario un operador de retardo para compensar el orden de los polinomios, por lo tanto: 2.187 Por lo tanto el polinomio

es: 2.188

Se define el orden del polinomio

como: 2.189

Por otro lado se tiene el orden del polinomio auxiliar : ecuación diofantina que dará solución al polinomio

, que hace parte de la 2.190

Se tienen los valores de la ecuación diofantina 1 de la Tabla 2.8 que es de la forma: 2.191 Y reemplazando con los valores del caso, queda de la forma: 2.192

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

60

Para que la ecuación diofantina 1 tenga solución, la matriz debe ser de dimensión , es decir de dimensión 3: 2.193

Cuya resolución da como resultado: 2.194

De donde, el polinomio

queda definido de la siguiente forma: 2.195

Con esta manera de establecer el regulador:

Para un polinomio observador a respuesta exacta:

Además:

Así:

La ecuación diofantina 2 se escribe:

Para que la ecuación diofantina 2 tenga solución, la matriz debe ser de dimensión , es decir de dimensión 3: 2.196

De donde, realizando la resolución simultánea de ecuaciones se llega a:

2.197

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

61

Finalmente:

Con

, se obtiene el regulador RST:

Entonces:

La ecuación que debe codificarse es pues:

La respuesta escalón del sistema en lazo cerrado y la salida del controlador se trazan en la siguiente figura, en el caso y , el polinomio se encuentra intacto en el denominador de la función de transferencia : el modo de efecto campana , está cerca provocó una fuerte agitación a causa de ser negativo, además el cero , el cual no se amortigua muy bien a través de tiempo. de

(a)

(b) Figura 2.20 (a)esfuerzo de control (b) respuesta ante entrada paso de un sistema regulado por un algoritmo RST con simplificación de un ceros negativo de la planta cercano a 1.”Efecto campana”.

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

62

Después de que el proceso se filtra por la planta, la agitación de la campana se transforma en pequeñas oscilaciones que afectan a la salida del sistema entre los instantes de muestreo. Un caso extremo de la configuración anterior se produce cuando se simplifican todos los ceros del sistema a controlar. Esto es posible sólo para la condición en que todos los ceros estén dentro del círculo unitario o que pertenezcan a la región sombreada de la Figura 2.14. Por lo tanto:

El coeficiente tiene:

es el coeficiente del término de mayor grado en el polinomio

. Se

La ecuación diofantina que debe solucionarse es así:

, se puede ver que la matriz de Sylvester del sistema de ecuaciones Como algebraicas lineales es triangular:

2.198 Para lo cual la solución de la ecuación diofantina 2 es más sencilla. Se trata finalmente el caso donde se incorpora un integrador en el regulador RST; se admite una simplificación de ceros de la planta, cubriendo la clase de situaciones extremas donde no hay simplificaciones y dónde se simplifican todos los ceros. El procedimiento se resume la siguiente tabla: DATOS , definir CONDICIONES: 1. 2. 3. , de grado 1 o 2 (determinar los coeficientes para una respuesta deseada): a. b. 4. , de donde 5.

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

63

6. 7. 8. 9. 10. RESOLVER ECUACION DIOFANTINA 1 (HALLAR Dimensión de la matriz de

RESOLVER ECUACION DIOFANTINA 2 (HALLAR Dimensión de la matriz de

ENCONTRAR

y

):

y

):

:

Tabla 2.10 Síntesis de regulador RST con integrador y con simplificación de ceros de la planta

EJEMPLO 2.3 Un sistema de control de velocidad, con un de transferencia siguiente:

se representa por la función

Para observar el efecto de utilizar integradores se calculan las dimensiones de un regulador RST, en primer lugar sin integrador, y sin simplificación de ceros de la planta (puesto que la planta no posee ceros), para luego proceder al cálculo de los reguladores con integrador. Se tiene:

Dada una entrada en forma se escalón unitario: 2.199 De donde se obtienen los siguientes polinomios, dada una factorización espectral del polinomio : 2.200 Para determinar el grado del polinomio , se tiene en cuenta que se va a realizar una implementación estándar, ya que el tiempo de cálculo y ejecución del algoritmo no ocupa la totalidad del tiempo de muestreo, por lo tanto la desigualdad asociada al orden de éste polinomio, presentada en la Tabla 2.10, se cambia con la siguiente igualdad: 2.201

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

Ya que siguiente forma:

, el polinomio

64

debe ser de grado

por lo tanto tendrá la 2.202

Al tener no se hace necesario un operador de retardo para compensar el orden de los polinomios, por lo tanto: 2.203 Se define el orden del polinomio

como: 2.204

Por otro lado se tiene el orden del polinomio auxiliar : ecuación diofantina que dará solución al polinomio

, que hace parte de la 2.205

Se tienen los valores de la ecuación diofantina 1 de la Tabla 2.8, que es de la forma: 2.206 Reemplazando con los valores del caso, queda de la forma: 2.207 Se impone una condición de un factor de

, y se obtiene: 2.208

De donde, el polinomio

queda definido de la siguiente forma: 2.209

El grado del polinomio

queda de la forma: 2.210

Por lo tanto el polinomio exacta:

queda definido de la siguiente forma, con respuesta 2.211

Con lo cual, el polinomio

queda definido de la siguiente forma: 2.212

Además, ya que por el momento no hay integradores, ni cancelación de ceros el grado , por lo tanto: del polinomio

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

65

Por lo tanto:

La ecuación diofantina 2, se escribe:

De donde, al realizar la solución simultánea de ecuaciones se tiene:

Resulta la ecuación del regulador RST:

Por lo tanto:

La respuesta del sistema en lazo cerrado se observa en la siguiente figura:

(a)

(b) Figura 2.21 (a) esfuerzo de control y (b) respuesta ante entrada escalón del sistema de control de velocidad, con regulador RST sin integrador y sin simplificación de ceros de la planta

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

66

Ahora, se inserta una perturbación dada por un par resistente constante (con una función de transferencia de tipo escalón), como el que fue presentado en la Figura 2.15. La función de transferencia discreta normalizada de la perturbación tiene la siguiente forma:

Con el fin de rechazarla, ya que presenta un orden de 1, se inserta un integrador de tipo . La planta, representada por la función de transferencia siguiente:

Sin simplificación de ceros de la planta, puesto que ésta última no posee ceros, se tienen los siguientes polinomios:

Dada una entrada en forma se escalón unitario: 2.213 De donde se obtienen los siguientes polinomios, dada una factorización espectral del : polinomio 2.214 Para determinar el grado del polinomio

, se recurre a la tabla donde: 2.215

Ya que siguiente forma:

, el polinomio

debe ser de grado

por lo tanto tendrá la 2.216

Al tener no se hace necesario un operador de retardo para compensar el orden de los polinomios, por lo tanto: 2.217 Se define el orden del polinomio

como: 2.218

Por otro lado se tiene el orden del polinomio auxiliar ecuación diofantina que dará solución al polinomio :

, que hace parte de la 2.219

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

67

Se tienen los valores de la ecuación diofantina 1 de la Tabla 2.8 que es de la forma: 2.220 Y reemplazando con los valores del caso, queda de la forma: 2.221 Para un factor de

se obtiene: 2.222

De donde, el polinomio

queda definido de la siguiente forma: 2.223

NOTA. Como puede verse, éste procedimiento no ha sido afectado por la presencia de un integrador , por lo tanto, la síntesis hasta este punto es la misma que para el caso anterior donde aún no se insertan integradores.

No obstante, el grado del polinomio

queda de la forma: 2.224

Por lo tanto el polinomio respuesta exacta:

queda definido de la siguiente forma, al proponer una 2.225

Con lo cual, el polinomio

queda definido de la siguiente forma: 2.226

Además:

Se toma

en lugar de

, ya que en este caso no se cancelan ceros de la planta.

Por lo tanto:

La ecuación diofantina se escribe:

De donde, realizando la solución simultánea de ecuaciones se obtiene:

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

68

Resulta de esta forma, la ecuación del regulador RST:

De donde:

El código se basa directamente en la ecuación siguiente:

En la figura siguiente se muestra la respuesta ante la perturbación, del sistema controlado por Regulador RST sin integrador, y la respuesta ante la perturbación, con integrador en el regulador, para evidenciar cómo el integrador de tipo 1 contribuye al rechazo de la perturbación de tipo escalón:

(a)

(b) Figura 2.22 Respuesta ante perturbación de tipo escalón del sistema en regulación (a) sin integrador en el regulador RST (b) con integrador de tipo 1

Se observa que al implementar el control RST con un integrador tipo 1, la planta está en la capacidad de rechazar la perturbación de tipo escalón, para que no se vea afectada la respuesta dinámica del seguimiento a la referencia, en presencia de la perturbación. 2.2.2.7 Consideraciones para la síntesis de reguladores RST Se ofrece a continuación una serie de comentarios relativos a la síntesis de reguladores RST que pueden servir de gran aporte para realizar la implementación para ciertas

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

69

especificaciones de control que se requieran. Se aportan ejemplos de polinomios R S y T no convenientes, consideraciones de la implementación física de los reguladores RST, la influencia de integradores y observaciones sobre la magnitud de la acción de control. POLINOMIOS R, S Y T NO CONVENIENTES A continuación se ilustrarán dos ejemplos sencillos que muestran escogencias de polinomios que no son aplicables por su inconveniencia práctica, dejándose ver inaceptables generalmente: EJEMPLO 2.4 Si se fija:

Y tenemos y

El número es el coeficiente del término de grado más elevado en el polinomio sea mónico. su presencia es necesaria para que La función de transferencia en lazo cerrado se escribe:

, no existe retro-alimentación de la variable de proceso; es una solución Como en lazo abierto que presenta simplificación entre los polos y los ceros la planta, no obstante, presenta los inconvenientes intrínsecos de un control en lazo abierto pudiendo verse catastrófico en la realidad. Puesto que el modelo de la planta es distinto de la función de transferencia del sistema real, debido a fluctuaciones y errores de modelamiento, las dimensiones del regulador RST calculadas sobre la base del modelo , pero aplicadas al proceso físico , conducen a la función de transferencia en lazo cerrado real:

Se observa que el régimen transitorio contiene modos divergentes cuando la planta es sobre o por fuera del círculo unitario) o de fase no mínima inestable (raíces de sobre o por fuera del círculo unitario). (ceros de

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

70

EJEMPLO 2.5 Si se fijan:

Se obtiene

es el coeficiente que aparece en el término de mayor grado Nuevamente el número en el polinomio . La función de transferencia en lazo cerrado está dada por:

Dado que , la configuración del regulador es clásica, representada por la ecuación 2.32. Aunque se realice un intercambio de información la variable de proceso, el régimen de transición puede contener modos indeseables cuando el regulador se inserta en el mundo real. Para compensar esto sólo es posible incluir un integrador con . la elección del polinomio IMPLEMENTACION FÍSICA DE REGULADORES RST , en la cual se basa la síntesis, es distinta de la Realmente, la planta , esto se debe a fluctuaciones y a errores de planta física modelamiento. El sistema en lazo cerrado físico es descrito por la función de transferencia raíces de raíces de

la cual no tiene simplificaciones y cuyos polos son las . Estas raíces pueden ser más numerosas que las e incluso, puede no existir ninguna raíz en común.

En estas circunstancias, los polinomios característicos en lazo cerrado nominal y real no son próximos y las consecuencias pueden verse críticas, por ejemplo en casos donde los polos en lazo cerrado reales no estén necesariamente dentro del círculo unitario, haciendo que las y estén perjudicando la estabilidad. raíces de los polinomios Teorema 2.7 Sea un regulador RST con integrador cuyas dimensiones fueron calculadas mediante el modelo de la planta . La implementación de este regulador sobre la , proporciona entonces, para la dinámica de planta real seguimiento, la siguiente función de transferencia: 2.227

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

71

Demostración La función de transferencia real del sistema de seguimiento, dividiendo todo entre el factor se puede escribir de la siguiente forma:

De donde, factorizando

se obtiene:

Al multiplicar y dividir por

en el término de la derecha se tiene:

Reemplazando

Como

Cancelando el factor

por

en el numerador y reemplazando

y

por

:

esta última expresión pasa a ser:

se tiene: 2.228

La ecuación diofantina 2.51, al despejar

Y multiplicando por

se tiene

se reemplaza por:

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

Y dividiendo entre

De donde reemplazando

72

a ambos lados de la igualdad se tiene la ecuación:

por

se tiene:

2.229

Al llevar 2.229 en 2.228 conseguimos la expresión deseada:

Realizando las multiplicaciones y reorganizando, la función de transferencia real de la dinámica de seguimiento nos queda de la siguiente forma:

Quedando demostrado el teorema: Esto significa que en presencia de incertidumbres, la función efectiva de transferencia multiplicado por un factor distinto de la unidad, es igual al modelo de referencia el cual produce la diferencia entre las inversas de las funciones de Transferencia real y nominal . , la función de transferencia en lazo cerrado real Se tiene en cuenta que, si es distinta del modelo de referencia . No obstante, gracias al factor que introduce un integrador, se permite cancelar todo error permanente , afectando de este modo favorablemente al montaje en seguimiento. Cuando las funciones de transferencia y son cercanas, en respuesta a un modelamiento suficientemente fino, los polinomios y difieren poco y tenemos que las raíces de están alrededor de las raíces , de y de . Los polinomios y realmente establecidos son distintos de los polinomios calculados, especialmente debido a la cuantificación sobre los coeficientes de y estos polinomios. Tales errores son mucho más pequeños que los que se producen sobre la planta y pueden por lo tanto despreciarse.

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

73

INFLUENCIA DE UN INTEGRADOR Existen dos diferencias importantes entre un integrador incorporado en un regulador RST y el término integral colocado en una arquitectura clásica, por ejemplo un regulador PID numérico. La primera reside en el hecho que un integrador en un regulador RST no elimina los errores permanentes de seguimiento. Efectivamente, si el modelo de referencia no se , este error permanente se propaga elige de modo que el directamente sobre el sistema en lazo cerrado aun en presencia de un integrador. Por otra parte, la introducción de un término integral en un regulador clásico afecta generalmente la respuesta dinámica y permanente del montaje en seguimiento, incluso después del retoque de los parámetros del regulador sin integrador. Teóricamente éste no es el caso insertando un integrador en un regulador RST puesto que solamente el modelo de referencia establece el comportamiento en sistemas de seguimiento. En la práctica sin embargo, según el criterio de Nyquist los márgenes de estabilidad se ven comprometidos con la adición de integradores. Además, el montaje en seguimiento es influido sobre todo por este elemento en la situación habitual donde el modelo de la planta empleado en la síntesis, es distinto de la planta física físico, de donde con , se escribe la función de transferencia en lazo cerrado:

Evidentemente, si

, la diferencia

proveniente de los errores de

modelamiento es algo difusa cuando tiende a : el factor multiplicador del modelo de referencia es igual a la unidad. Este resultado es comúnmente utilizado para eliminar las pequeñas diferencias permanentes, debido a errores de modelado. Se concluye que los efectos integradores pueden influir positivamente en montaje de regulación. , un cálculo de la diferencia entre la entrada En concreto, cuando y la salida de da como resultado:

De donde realizando la suma entre fracciones y remplazando a

se tiene:

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

Sabemos que la diferencia es igual a un polinomio aparece en la factorización espectral :

74

donde

Para evaluar el error de estado estacionario de forma que:

Sea una entrada en forma de salto unidad:

Entonces se tiene que:

Si el proceso de control contiene un integrador, pero el regulador RST posee letra , este límite es, obviamente, cero. Por el contrario, si el sistema no contiene ningún integrador es necesario contar con para eliminar el error de estado estacionario. Consideremos ahora una entrada rampa en tiempo discreto:

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

75

En consecuencia:

Un rápido examen de esta expresión muestra que el error de estado estacionario de velocidad existe cuando el circuito incluye un integrador, es decir, un integrador en el proceso y o de un integrador en el sistema y . También notamos que el error de estado estacionario de velocidad desaparece con dos integradores en el lazo cerrado.

AMPLITUD DE LA ACCION DE CONTROL La amplitud de la acción de control es muy importante ya que la banda de transmisión en lazo cerrado es grande. Un análisis cuantitativo se efectúa teniendo en cuenta que: 2.230

Por otra parte 2.231

La eliminación de

proporciona: 2.232

Se coloca para hacer un análisis en régimen armónico. El módulo es igual al cociente de la amplitud de la acción de control y el tamaño de entrada. Este cociente se evidencia especialmente bien en un diagrama de Bode, como lo muestra la siguiente figura.

CAPITULO 2. MARCO DE REFERENCIA

76

-3

Figura 2.23 funciones de transferencia armónicas de la planta y del modelo de referencia en dB

la frecuencia de corte en lazo cerrado, que fija la banda de transmisión . Sea Para entradas en las que la frecuencia se acerca a la amplitud puede ser sustancial, causando grandes esfuerzos de control. Esta amplitud aumenta con la frecuencia de corte .

77

CAPÍTULO

3

3 Método propuesto para el análisis comparativo

Se consideran a continuación los casos de sistemas lineales propuestos sobre los cuales se hará la síntesis de controladores PID clásico y RST, para un posterior análisis comparativo de los algoritmos de control en cada uno. Se presentan los pasos seguidos para diseñar el controlador PID con enfoque en desempeño óptimo y luego la síntesis de reguladores RST para cada caso. Ya que el presente estudio va dirigido a sistemas lineales en tiempo discreto, se mostrará el método de discretización de los sistemas para cada caso y se procederá a la implementación en simulación de los controladores en tiempo discreto. La evaluación de los algoritmos de control se hará con base en las consideraciones de mínimo error y mínimo esfuerzo de control posible, contempladas en el índice de desempeño según la expresión: 3.1

Donde representa al valor del error (considerado como la diferencia entre la entrada y la variable de proceso) y representa al valor de la acción de control (o valor de salida del controlador). El factor de ponderación posibilita la elección de dar más validez a uno o a otro en la posterior optimización, dependiendo de la aplicación o de la pertinencia de los valores. La esencia de plantear este índice consiste en obtener unos parámetros que proporcionen una respuesta temporal óptima, sin comprometer el valor del esfuerzo de control que se necesite para lograrlo, en otras palabras, que se encuentre dentro de unos límites que permitan que el sistema pueda ser físicamente implementable para evitar la saturación del controlador.

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

78

3.1 Presentación de los casos de análisis Con el objetivo de evaluar características de la síntesis de control polinomial RST con respecto a la de PID clásico aplicado a sistemas lineales en tiempo discreto se seleccionaron cierto número de plantas, cuyas funciones de transferencia son las más usuales y describen ampliamente las posibles dinámicas que pueden encontrarse en procesos reales [AST08], entre los que se enumeran: sistemas de primer y segundo orden, con y sin tiempo muerto, algún sistema con características de respuesta inversa, sistema de primer orden con integrador y algunos sistemas de orden superior. se procederá a la discretización de los modelos, puesto que el analisis se basa en sistemas lineales en tiempo discreto. Los casos de análisis fueron referenciados del BENCHMARK DE SISTEMAS PARA CONTROLADORES PID y son los que se enumeran a continuación. CASO 1: SISTEMA DE PRIMER ORDEN 3.2

Es una de las aproximaciones más simples que se pueden hacer del comportamiento dinámico de un sistema; ejemplos de ello son: el motor eléctrico de corriente continua, circuitos de tipo RC y RL, mezclas entre dos fluidos, dinamómetros y el termómetro de mercurio entre otros. [UDS01]. y la constante de tiempo Para nuestro análisis se escogerá la ganancia tendremos la función de transferencia: 3.3 Caso 1 CASO 1a: SISTEMA DE PRIMER ORDEN CON INTEGRADOR 3.4

Su característica principal es el hecho de que poseen un polo en el origen y el modo de respuesta es divergente es decir que en presencia de perturbaciones este tipo de sistemas no tienden hacia algún valor estacionario, por lo tanto deben estar siempre bajo control. Los sistemas de llenado de tanques por ejemplo pueden modelarse con este tipo de funciones; allí el sistema de control se encargaría de mantener el nivel de líquido en un valor deseado y evitaría situaciones en las cuales el líquido se derrame o se agote [FLO06]. Para trabajar con este modelo se escoge la ganancia y la constante de tiempo donde tendremos la función de transferencia del caso 1 que es la siguiente: 3.5 Caso 1a

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

79

CASO 2: SISTEMA DE CUARTO ORDEN 3.6

Este es un sistema de cuatro polos que están espaciados un cierto parámetro . Al factor de espaciamiento fue adjudicado un valor intermedio que podría describir un comportamiento dinámicamente complejo pero ilustrativo, así como el tiempo de muestreo fue considerado como un factor del polo mas critico que se genera a partir de este factor:

De tal forma que nos queda la función de transferencia del caso 2 de la siguiente forma 3.7 Caso 2 CASO 3: SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN MAS CERO EN SEMIPLANO DERECHO 3.8

Al presentar uno de sus ceros parte real positiva, este tipo de sistemas se denominan de fase no mínima, y una de sus características es que la respuesta del sistema cambia en algún momento de signo. Por esta razón a este tipo de sistemas también se les conoce como de respuesta inversa [FLO06] Para trabajar con este sistema se escoge un factor intermedio de espaciamiento del cero:

Con la constante de tiempo del sistema función de transferencia del caso 3 asi:

y la ganancia

nos queda la 3.9 Caso 3

CASOS 4 Y 5: SISTEMAS CON TIEMPO MUERTO En situaciones reales cuando se modifica el valor de alguna variable no se observa de inmediato el efecto de dicho cambio sobre la respuesta dinámica del sistema. Es decir, puede transcurrir un cierto tiempo hasta que el sistema empieza a responder. Si por ejemplo se quiere modificar la concentración de alimentación a un reactor se dice que transcurriría un cierto tiempo hasta que las variables que caracterizan la conducta dinámica el reactor (concentración por ejemplo) empiecen a modificar su valor en relación al que tenían antes del cambio. Para tener en cuenta esta dinámica se escogieron sistemas de primer y segundo orden con tiempo muerto, con tiempos de retardo comparable con la constante de tiempo de los sistema, par ello se escogieron dos valores:

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

80

CASO 4: SISTEMA DE PRIMER ORDEN CON TIEMPO MUERTO 3.10

Que se subdivide en dos casos que presentan dos valores distintos de tiempo muerto: Caso 4a: que tomando la ganancia función de transferencia del caso 4a nos queda:

y la constante de tiempo

la

3.11 Caso 4a Caso 4b: que tomando la ganancia la función de transferencia del caso 4a nos queda:

y la constante de tiempo 3.12 Caso 4b

CASO 5: SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN CON TIEMPO MUERTO 3.13

Igualmente para obtener un tiempo de retardo comparable con la frecuencia de oscilación del sistema se escogieron dos valores: Caso 5a:

que, tomando la ganancia

y la constante de amortiguamiento de la siguiente forma:

, la frecuencia natural la función de transferencia queda 3.14 Caso 5a

Para emplear un tiempo de muestreo adecuado, este se calcula como múltiplo de la frecuencia de oscilación del sistema Caso 5b

de igual forma tomando la ganancia

y la constante de amortiguamiento queda de la siguiente forma:

, la frecuencia natural la función de transferencia 3.15 Caso 5b

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

81

CASO 6: MODOS LENTOS Y RAPIDOS 3.16 Caso 6 La dinámica de este sistema presenta una constante de tiempo rápida con una , y una constante de tiempo rápida con una ganancia moderada de ganancia de . Las reglas de sintonización comunes, basadas en la respuesta al escalón, normalmente no proporcionan una buena sintonía debido a la dificultad de obtener una buena estimación de la ganancia y de la constante de tiempo general [BEN08]. CASO 7: SISTEMA CONDICIONALMENTE ESTABLE 3.17 Caso 7 Es un sistema que por presentar un polo en el origen, muestra un desempeño inestable en lazo abierto, su dinámica puede resultar interesante debido al orden que presenta. CASO 8: SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN 3.18

Es un sistema utilizado frecuentemente para caracterizar sistemas de control en general. , una frecuencia Para trabajar con un sistema de este tipo se escogió una ganancia y un factor de amortiguamiento , de tal forma que la función de transferencia del caso 8 nos queda: 3.19 Caso 8

3.1.1 Discretización de los sistemas A continuación se procederá a la discretización de los sistemas, obteniendo las funciones de transferencia de cada uno de los casos en el dominio Z o discreto. La aproximación que se utilizará es la TRANSFORMACIÓN BILINEAL que mapea del plano s al plano z mediante la siguiente relación: 3.20

Donde

es el tiempo de muestreo de la señal continua.

Todos los casos serán sometidos a esta aproximación por ser una de las más eficaces para discretizar los sistemas continuos puesto que la región de estabilidad transformada al plano z coincide con el círculo unitario, con lo que la característica de estabilidad no se verá afectada por la discretización.

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

82

Se resumen las transformaciones para cada caso en la siguiente tabla. Nota: todos los tiempos de muestreo se ajustaron en el valor

Caso

Función de Transferencia continua

s

Función de Transferencia discreta

1

1a

2

3

4a

4b

5a

5b

6

7

8 Tabla 3.1 Discretización de los casos de análisis mediante Transformación bilineal

Con estas funciones de transferencia discretas se someten los modelos al diseño de controladores PID y RST.

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

83

3.2 Diseño de control PID ideal con filtro derivativo El ajuste de los parámetros de los controladores PID para cada caso, se realiza inicialmente en el dominio continuo para adoptar las técnicas vistas en las secciones anteriores y luego se discretizan tanto las plantas como el controlador para obtener las respuestas en tiempo discreto. Cabe mencionar que los parámetros obtenidos ene esta sección servirán como valores iniciales que serán sometidos a evaluación de desempeño óptimo mediante la herramienta de optimización de Matlab, para obtener los parámetros que generaran la mejor respuesta bajo el índice de comportamiento definido previamente como , donde sera inicialmente definido en e comparables en magnitud y de esta forma 0.9 para obtener valores de facilitar a la herramienta de optimización la búsqueda de valores mínimos4. Para el análisis comparativo se acoge la estructura ideal con filtro derivativo, puesto que es una de las más comunes a nivel teórico y presenta a ecuación siguiente: 3.21

Ya que la síntesis PID es sencilla de desarrollar con modelos de hasta segundo orden, en los casos donde las plantas son de orden superior a dos se plantea un procedimiento de reducción de orden. Luego de esto se proponen dos técnicas de sintonía para la obtención de los coeficientes iniciales , y : En sistemas que sean descritos mediante funciones de transferencia de primer orden, primer orden con integrador y segundo orden se propone el desarrollo matemático del sistema de ecuaciones compuesto por la igualación de los coeficientes con valores deseados (método de asignación de polos) que minimicen el índice de desempeño ITAE inicialmente; esto se realizará con base en unos coeficientes de desempeño ITAE óptimo que propone Richard Dorf en su libro Sistemas de control moderno. En sistemas que sean descritos con funciones de transferencia de primer y segundo orden con tiempos muertos, la obtención de coeficientes se realiza mediante las tablas dadas en el Handbook of PI and PID Controller tuning rules [DWY06], obtenidas para estructura ideal del PID y para minimizar el índice de desempeño ITAE en principio. Luego esta síntesis se procede a la implementación en los sistemas en tiempo discreto en simulación, para lo cual se usan las funciones de transferencia discreta, de cada uno de los casos, dadas en la Tabla 2.1; el controlador por su parte también debe discretizarse. El equivalente del controlador en el dominio discreto se expresa de la siguiente forma:

4

El índice ITAU suele ser un valor creciente respecto del tiempo de evaluación de la integral, por otro lado si bien se busca que el ITAE sea el mas pequeño o cercano a cero posible, no siempre puede esperarse que el esfuerzo de control para lograrlo sea el mas pequeño.

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

84

Utilizando transformada bilineal para la parte proporcional y la integral, y aproximación mediante diferencias hacia atrás para la parte derivativa. La función de transferencia del controlador queda escrita de la siguiente forma: 3.22

Para la parte proporcional y la integral, la aproximación bilineal se usa frecuentemente por su simplicidad y su cercana relación con la señal de tiempo continuo , mientras que para la parte derivativa, la aproximación por diferencias hacia atrás es la que mejores ya que la aproximación resultados proporciona para todos los valores posibles de bilineal por ejemplo, para valores de pequeños, exhibe comportamientos de efecto campana. que se obtienen de estos procedimientos para Los valores de los parámetros , y cada caso, serán sometidos a una optimización mediante la herramienta de optimización de MATLAB (fmincon) la cual se describirá mas adelante.

3.2.1 Reducción de orden de sistemas Para el presente análisis, se tomaron tres casos de plantas (casos 2, 6 y 7) que presentan modelos de cuarto orden y uno de los casos (caso 3) en particular presenta un cero en semiplano derecho del dominio continuo. A estos casos se les aplica el procedimiento de reducción de orden. Una vez desarrollado el método de reducción para cada caso, se presentarán las graficas correspondientes a la respuesta ante entrada escalón del modelo original y del modelo simplificado, además se empleará un índice que permite cuantificar la calidad del modelo simplificado con mayor objetividad. El índice seleccionado es el denominado VAF, que representa la varianza en porcentaje entre dos señales temporales. Este índice el cual se define mediante la ecuación 3.23, es ampliamente utilizado en el ámbito de identificación de sistemas dinámicos [VER00]. Cuando el valor del índice es más cercano al 100% mayor es la precisión del modelo simplificado 3.23

Donde

hace referencia al valor del modelo original, y

al modelo simplificado

Se utiliza un método de simplificación de sistemas lineales visto en el libro de Sistemas de control moderno de Richard Dorf [DOR05] que pretende hacer coincidir lo mejor posible la respuestas en frecuencia tanto de la función de transferencia original como de la función de transferencia de orden reducido que desea obtenerse; de modo que si se tiene la función de transferencia de orden elevado: 3.24

La función de transferencia de orden reducido es:

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

85

3.25

La constante de ganancia Los coeficientes y

es la misma para el sistema original y el aproximado.

se obtienen trabajando con los siguientes valores: y

Donde

y son los polinomios del numerador y del denominador de la relación , respectivamente.

También se definen los valores: 3.26

Y 3.27

Donde hasta el número requerido para resolver los coeficientes . desconocidos para del sistema de ecuaciones Para el caso 2: SISTEMA DE CUARTO ORDEN se tiene la ecuación 3.7 en tiempo continuo: 3.28

Que se reduce a un modelo de segundo orden con tiempo muerto. El sistema reducido (excluyendo al tiempo muerto que se determinara más adelante) tendría la forma: 3.29

Haciendo la división

, se obtiene 3.30

Y 3.31

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

Entonces tendremos que los valores

y

86

son:

Donde Donde Donde Así mismo los valores

Se busca la igualdad . se obtiene:

y

:

. Para ello se obtienen los valores correspondientes a

Que reemplazando por los valores anteriormente hallados, da como resultado: 3.32 Del mismo modo para

se obtiene:

Que reemplazando por los valores anteriormente hallados, da como resultado: 3.33

De donde, igualando los términos

(Ec.3.32 Ec.3.33) se tiene: 3.34

Para

se tienen:

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

De donde, reemplazando los valores respectivos de

87

se tiene que: 3.35

De igual forma para

se obtiene la siguiente expresión:

Donde, remplazando los valores respectivos de

se obtiene que 3.36

De la igualdad Por lo tanto

, entre las ecuaciones 3.35 y 3.36, se deduce que , teniendo esto, se deduce de la ecuación 3.34 que

Por lo tanto la ecuación 3.7 se puede reemplazar con un sistema de segundo orden: 3.37

Apoyándonos mediante simulación del sistema para determinar el valor del tiempo de retardo más cercano se obtiene el siguiente resultado: 64 (s+1)(s+2)(s+4)(s+8) bloque original de caso 2 1

Step

0.590451363s2+1.583991075s+1

Transport Delay

Scope

Bloque reducido

figura 3.1 diagrama de bloques del CASO 2 en el editor de Matlab Simulink

El tiempo muerto se obtiene mediante ensayo y error en la asignación del valor del Transport Delay comparando con la gráfica de la respuesta temporal, dando como mejor respuesta la del tiempo muerto (time delay) de valor 0,295.

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

88

Figura 3.2 parámetros del retardo definido en el sistema de segundo orden con tiempo muerto obtenido de la reducción de CASO 2

Con la siguiente respuesta ante un escalón unitario:

Figura 3.3 respuestas ante entrada escalón del sistema de cuarto orden y su aproximación a un sistema de segundo orden con tiempo muerto

La grafica azul es la original y la roja la obtenida mediante la reducción de orden. La función de transferencia reducida del Caso 2 queda de la siguiente forma: 3.38

Analizando la calidad de la señal simplificada, con respecto a la señal original del caso 2 mediante el índice VAF y utilizando la ecuación 3.23, se obtuvo un valor de 99.9907%, lo que significa que la función de transferencia de orden reducido (Ec.3.38) caracteriza de forma adecuada al modelo del caso 2. Con esta función de orden inferior es con la que se procederá la obtención inicial de los parámetros del controlador PID con filtro derivativo. Para el caso 6: MODOS LENTOS Y RAPIDOS tomado de la ecuación 3.16 se tiene la función de transferencia de orden superior:

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

89

Que puede aproximarse a un sistema de primer orden cuyo modelo seria: 3.39

Se obtiene de la división

que: 3.40

Y: 3.41

Entonces tendremos que los valores

Así mismo los valores

Para

y

son:

son:

se tiene

De donde reemplazando por los respectivos valores de

se tiene que: 3.42

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

Y del mismo modo para

90

:

De donde, reemplazando por los respectivos valores de

se tiene que: 3.43

Se tiene que

(igualando las ecuaciones 3.42 y 3.43), se obtiene de donde por lo tanto la función de transferencia simplificada del caso 6 queda: 3.44

Mediante simulación se visualiza el comportamiento temporal de ambas funciones 100

1.5s+0.55

s2 +20s+100

s2 +1.05s+0.05

Bloque 1

Bloque 2

Bloque original del caso 6

Step

Scope

11 7.406486046s+1 bloque reducido

Figura 3.4 diagrama de bloques del CASO 6 en Matlab Simulink5.

De donde se obtienen las respuestas ante entrada escalón se evalúan en la figura siguiente: Step Response

12

10

Amplitude

8

6

4

2

0

0

50

100

150

Time (sec) de transferencia original y reducida del CASO 6 figura 3.5 respuestas ante entrada escalón de las funciones

5

Imágenes tomadas de Matlab Simulink

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

91

La grafica azul es la señal original y la roja es la obtenida mediante la reducción de orden. Verificando la calidad de la señal simplificada, con respecto a la señal original del caso 6, mediante el índice VAF (ecuación 3.23), se obtuvo un valor de 81.662%, lo que significa que la función de transferencia de orden reducido (Ec.3.44) puede caracterizar de forma adecuada al modelo del caso 6. Este modelo es el que se utilizará mas adelante para realizar el diseño inicial del control PID con filtro derivativo Para el caso 7: SISTEMA CONDICIONALMENTE ESTABLE cuya ecuación es:

Se puede aproximar a un sistema de primer orden con integrador cuyo modelo seria: 3.45

Se obtienen de la división

: 3.46 3.47

Entonces tenemos que los valores

Así mismo los valores

Para

se tiene:

y

y

son:

son:

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

92

se tiene entonces que:

Reemplazando con los valores respectivos de

3.48 Del mismo modo para

Se tiene que: 3.49 Se tiene que de donde del caso 7 es:

y se deduce de las ecuaciones 3.48 y 3.49 que , por lo tanto la función de transferencia reducida 3.50

Mediante simulación se visualiza el comportamiento temporal de ambas funciones

1 s bloque Integrador

s2 +12s+36

1

s2 +2s+1

s+36

Bloque 1

Bloque 2

Bloque original del caso 7

Step Scope

1

1 s

1.39471s+1

Bloque Integrador

bloque reducido

Figura 3.6. Diagrama de bloques del CASO 7 en Matlab Simulink

Con la cual se obtienen las siguientes curvas: Step Response 35

30

Amplitude

25

20

15

10

5

0

0

5

10

15

20

25

30

35

dos(sec) funciones de transferencia de Caso 7 (original y Figura 3.7 respuesta ante entrada escalón de lasTime reducción)

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

93

La grafica azul es la original y la roja la obtenida mediante la reducción de orden. Verificando la calidad de la señal simplificada, con respecto a la señal original del caso 3, mediante el índice VAF (ecuación 3.23), se obtuvo un valor de 99.998%, lo que significa que la función de transferencia de orden reducido (Ec. 3.50) puede caracterizar de forma apropiada al modelo del caso 7. Este modelo reducido es el que se utilizará en el siguiente apartado para obtener los parámetros iniciales del controlador PID con filtro derivativo que se implementará. El caso 3: SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN MAS CERO EN SEMIPLANO DERECHO que tiene la ecuación en tiempo continuo:

Se puede asumir, para un diseño preliminar, como un sistema de segundo orden con un retardo, el cual se determinará mediante simulación en Matlab Simulink: -0.5s+1 s2 +2s+1 Caso 3

Step2 1 Scope

Scope1

s2 +2s+1

Transport Delay

Caso 3 simplificado

Figura 3.8. Diagrama de bloques de Caso 3 en Matlab Simulink

Mediante ensayo y error se llegó a que el retardo se presenta en el valor 0.443 s:

K Ts

K (z-1)

-K-

1

Figura 3.9 parámetros del tiempo muerto planteado

Cuya -Krespuesta ante entrada escalón es la siguiente: -K-

du/dt

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

94

Figura 3.10. Respuesta ante entrada escalón de caso 3 original y su aproximación

La grafica azul es la original y la roja la obtenida mediante la aproximación Verificando la calidad de la señal simplificada, con respecto a la señal original del caso 3, mediante el índice VAF (ecuación 3.23), se obtuvo un valor de 99.775%, lo que significa que la función de transferencia de orden reducido que se presenta a continuación, puede caracterizar de forma apropiada al modelo del caso 3:

Este modelo aproximado es el que se utilizará en el siguiente apartado para obtener los parámetros iniciales del controlador PID con filtro derivativo que se implementará.

3.2.2 Desarrollo matemático para la obtención de parámetros PID El presente desarrollo matemático tiene una fundamentación similar al método de asignación de polos donde se aproximará la función de transferencia en lazo cerrado a un polinomio deseado, el cual cumple con las especificaciones de tiempo de respuesta y máximo sobrepico que ofrecen la tablas de sintonía óptima para criterio ITAE con entrada paso, (Tabla 2.4) vistas en la sección 2 del presente documento. Para empezar, se definirán por este método los parámetros de control PID para los sistemas que presentan función de transferencia de primer orden, después funciones de transferencia de primer orden con integrador, y luego sistemas de segundo orden (ya sean los originalmente propuestos o los que hayan sido simplificados) a) SISTEMAS DE PRIMER ORDEN (aplicable para casos 1 y 6 reducido)

En primer lugar se propone un control PI complejidad de cálculos:

, para no entrar en mucha

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

95

El sistema en lazo cerrado da como resultado: 3.51

Que es de la forma:

Aproximación 1: Despreciando

quedaría:

Siguiendo las especificaciones de la Tabla 2.4 de respuesta óptima ITAE para entrada escalón suministrada [DOR05], se busca aproximarse al siguiente modelo: 3.52

Igualando 3.51 con 3.52 tenemos que

De donde remplazando a la expresión anteriormente hallado se tiene que:

De donde despejando

Este valor de obtener

que acompaña a

en términos de

se tiene que

se reemplaza en la definición de

en términos de

donde

, para luego

de donde se obtiene la siguiente expresión: 3.53

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

Y reemplazando a

en términos de

en la definición de

96

se llega a: 3.54

Donde la frecuencia natural se considera con base en condiciones de máximo sobrepico de 2% y tiempo de respuesta de 5 constantes de tiempo:

De donde se establece la frecuencia como: 3.55

Quedan determinados los parámetros y del controlador PID en términos del polinomio óptimo ITAE, el parámetro derivativo se establecen inicialmente con valor , pero queda sujeto a evaluación por parte del algoritmo de optimización cero ( al que se someterá el sistema más adelante. La inserción del filtro derivativo se hará de forma en que el factor determina la frecuencia de corte del filtro pasabajos como una décima parte del valor del tiempo derivativo, es decir un De esta forma los valores de los parámetros para los casos 1 y 6 reducido se presentan en la siguiente tabla: MODELO DE LA PLANTA Caso 1

VALORES

Caso 6 (reducido)

Tabla 3.2 Parámetros de controlador PID para los casos 1 y 6 obtenidos mediante desarrollo matemático

b) SISTEMAS DE PRIMER ORDEN CON INTEGRADOR (aplicable para casos 1a y 7 reducido):

, para no entrar en mucha Primeramente se propone un control P complejidad de cálculos, y para no añadir más integradores al sistema:

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

97

El sistema en lazo cerrado da como resultado: 3.56

Que es de la forma:

Siguiendo las especificaciones de la Tabla 2.4 de respuesta óptima ITAE para entrada escalón, se busca aproximarse al siguiente modelo: 3.57

Igualando 3.56 con 3.57 tenemos que

Y reorganizando se tiene que:

Entonces igualando los términos que acompañan a se tiene:

Reorganizando se tiene que: 3.58 Donde considerando las especificaciones de tiempo de respuesta de 5 constantes de tiempo y máximo sobrepico del 2% se tiene: 3.59

Queda determinado el parámetro del controlador PID en términos del polinomio y Optimo ITAE, los otros parámetros se establecen inicialmente con valores de , pero son sujetos a evaluación por parte del algoritmo de optimización al que se someterá el sistema mas adelante. Nuevamente, la inserción del filtro derivativo se hará de forma en que el factor N determina la frecuencia de corte del filtro pasabajos como una decima parte del valor del tiempo derivativo, es decir un

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

98

Los parámetros del controlador PID para los casos 1a y 7 reducido, se presentan en la siguiente tabla: MODELO DE LA PLANTA Caso 1a

VALORES

Caso 7 (reducido)

Tabla 3.3 Parámetros de controlador PID para los casos 1a y 7 obtenidos mediante desarrollo matemático

c) SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN (aplicable para caso 8):

Primeramente se propone un control PI de cálculos:

, para no entrar en mucha complejidad

El sistema en lazo cerrado da como resultado: 3.60

Siguiendo las especificaciones de la Tabla 2.4 de respuesta óptima ITAE para entrada escalón, y despreciando se busca obtener el siguiente modelo: 3.61

Igualando 3.60 con 3.61 tenemos que

El cual, remplazándolo en el término que acompaña a , e igualando 3.60 con 3.61 se tiene:

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

Despejando

99

se tiene:

Que reemplazándolo en la ecuación

para despejar

se obtiene 3.62

Y luego colocando a

en términos de

y

se tiene: 3.63

Igualando los términos que acompañan a

se tiene:

Donde 3.64

De esta forma quedan determinados los parámetros y del controlador PID en términos del polinomio Optimo ITAE, el parámetro derivativo se establece inicialmente con valor cero ( , pero queda sujeto a evaluación por parte del algoritmo de optimización al que se someterá el sistema mas adelante. La inserción del filtro derivativo se hará de forma en que el factor N determina la frecuencia de corte del filtro pasabajos como una décima parte del valor del tiempo derivativo, es decir un Los parámetros de controlador PID para el caso 8 se presentan en la siguiente tabla: MODELO DE LA PLANTA Caso 8

VALORES

Tabla 3.4 Parámetros de controlador PID para el caso 8 obtenidos mediante desarrollo matemático

3.2.3 Obtención de parámetros PID mediante tablas Para los casos en los que los sistemas presentan comportamientos de tiempo muerto, tales como los casos 2(reducido), 3 ,4(a y b) y 5(a y b), se recurre a la sintonía de los

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

100

controladores PID mediante las tablas que ofrece el Handbook of PI and PID Controllers Tuning Rules [DWY06]. Para cada función de transferencia se cita la tabla escogida: Para los casos 4a y 4b, los cuales se representan mediante una función de transferencia de primer orden con tiempo muerto se tiene el sistema representado por la siguiente figura:



+ -







Figura 3.11 controlador ideal con filtro derivativo para un sistema de primer orden con tiempo muerto

Se propone la siguiente regla de sintonía6: Regla Tavakoli and Tavakoli (2003)

Observaciones

Mínimo ITAE

De esta forma los parámetros del controlador PID de los casos 4a y 4b se presentan en la siguiente tabla: MODELO DE LA PLANTA Caso 4a

VALORES

Caso 4b

Tabla 3.5 Parámetros de controlador PID para los casos 4a y 4b obtenidos mediante tablas.

Para los casos 2(reducido), 5a y 5b, los cuales se representan mediante una función de transferencia de segundo orden con tiempo muerto representado por la siguiente figura: 6

La tabla mencionada es la que se calcula para control PID de arquitectura ideal con filtro derivativo para sistemas de primer orden del Handbook of PI and PID Controllers Tuning Rules pag 187

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

+

-



101





Figura 3.12 controlador ideal con filtro derivativo para un sistema de segundo orden con tiempo muerto

Se propone la siguiente tabla de sintonía7: Regla

Observaciones

Hang et al.(1994)

Los parámetros del controlador PID de los casos 2 (reducido), 3, 5a y 5b se presentan en la siguiente tabla: MODELO DE LA PLANTA Caso 2 (reducido)

VALORES

Caso 3

Caso 5a

Caso 5b

Tabla 3.6 Parámetros de controlador PID para los casos 2, 3, 5a y 5b obtenidos mediante tablas.

De esta forma se hallaron los parámetros de controladores PID para cada caso y se toman como valores preliminares que serán sujetos a un reajuste por parte del procedimiento de optimización para proporcionar el mejor desempeño posible, dentro de las condiciones que se verán a continuación.

7

La tabla mencionada es la que se calcula para control PID de arquitectura ideal con filtro derivativo para sistemas de primer orden del Handbook of PI and PID Controllers Tuning Rules pag 338

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

102

3.2.4 Optimización de los parámetros PID utilizando Matlab El Toolbox de optimización de Matlab es un compendio de funciones que realizan un proceso de búsqueda del valor mínimo o máximo de una función, denominada función objetivo. Para el presente documento la función objetivo que se busca minimizar es la función y de esta forma, encontrar los valores de y que proporcionen el valor mínimo hallado. Se plantea la posibilidad de realizar una minimización con restricciones, las cuales para este caso de estudio, establecen un límite al valor de la acción de control, la cual no debe sobrepasar el valor de 10 volts para una entrada de 1 volt. Para lograr este objetivo se utiliza la función de minimización del Toolbox de optimización fmincon. Teniendo en cuenta las consideraciones de sintaxis examinadas en el servicio de ayuda de Mathworks [CAL05], se implementará el siguiente código para cada uno de los casos, utilizando los parámetros del controlador PID obtenidos mediante cálculos o tablas de las dos secciones anteriores, como los valores iniciales para la realización de las iteraciones de optimización. La función fmincon tiene variadas formas de ser invocada en Matlab; la que se propone para el presente estudio es la siguiente: 

encuentra el valor de que minimiza a la función De esta forma la función objetivo llamada , que es una función de y que tiene como valores iniciales al vector . Los valores y , se establecen como vectores nulos ya que no se busca resolver inecuaciones lineales y/o ecuaciones lineales de la forma específicamente. Se establecen los limites inferiores ( ) y superiores ( ) para el vector . Esta búsqueda esta sujeta a que se cumplan unas desigualdades no lineales o contempladas en la función , todo lo anterior teniendo en cuenta los parámetros de optimización especificados en una estructura llamada , la cual se detallara mas adelante. es el valor de la función objetivo evaluada en el vector , y bandera que indica la condición de salida o finalización de la función

es una .

Para el problema que se ha planteado, la función fmincon proporcionara las optimizaciones de los parámetros de control PID obtenidos matemáticamente o mediante tablas para los casos en cuestión, se describen los parámetros de la siguiente forma, las cuales serán comunes para todos los casos: y .y los valores iniciales Los valores del vector son los parámetros son los obtenidos matemáticamente o mediante tablas en cada uno de los casos como se estableció en las secciones inmediatamente anteriores. será la función cuyo factor de La función objetivo ponderación dependerá de la magnitud de los valores e , para lograr que sean valores comparables que generen un valor de pequeño, esto debido a que dependiendo de la dinámica del sistema en lazo cerrado, el índice puede alcanzar valores muy elevados en comparación a los del índice .

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

103

,y son conjuntos vacíos ya que por el momento no se plantean Los valores ecuaciones o inecuaciones lineales que deban cumplirse, por lo tanto se denotan con el símbolo en la sintaxis de la función. El valor

que es el límite inferior de los valores del vector se definirá con el valor para indicar que sea el valor mínimo positivo que puedan tomar los y , por su parte el valor se define con el valor que, coeficientes bajo la sintaxis de Matlab, hace alusión a un valor infinito positivo. Este planteamiento y . se realiza con el fin de obtener siempre valores positivos de La función que es la que contiene las ecuaciones e inecuaciones no lineales que deban cumplirse se define de la siguiente manera por efectos de comparación con cero: 

3.65

Donde es la función que describe la acción de control, la cual depende de forma no lineal de los parámetros y de la siguiente forma: Teniendo en cuenta la ley de control para PID (Ec. 2.32) donde:

Se tiene la ley de control en el dominio temporal de la forma: 3.66 Donde se introduce el operador de retardo . Los coeficientes de los polinomios y son de segundo orden y se pueden escribir, respectivamente, de la siguiente forma: 3.67

Por lo tanto la ecuación 3.66 puede escribirse de la siguiente forma: 3.68

La ecuación 3.22 que describe la función de transferencia discreta del controlador PID ideal con filtro derivativo es la siguiente:

De donde, realizando la respectiva representación en ecuaciones de diferencia de las acciones del controlador PID en tiempo discreto se tiene que: 3.69

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

104

y , teniendo en cuenta el método de Para obtener los coeficientes discretización usado para cada acción, se obtienen los siguientes valores [astrom]:

3.70

Realizando una comparación de términos con los coeficientes de los polinomios se tienen los siguientes valores para los coeficientes,

y

3.71

Por lo tanto queda definida la función de la expresión 3.68 reemplazando los coeficientes y por su valores obtenidos en 3.70, la cual depende no linealmente de los coeficientes y Se desea limitar el valor absoluto máximo de a 10 (por ello se tiene el valor de -10 en la expresión 3.65). Es decir que la magnitud de la salida del controlador no podrá ser mayor a 10 volts en los instantes de muestreo. La estructura

se define de la siguiente forma:

De donde el parámetro salida de la función.

en

indica que no se muestra ningún valor a la

El valor en , define una tolerancia de finalización permitida para el vector de , el parámetro también en define una tolerancia de ; esta definición ofrece de finalización permitida para la función objetivo una solución con cierto grado de exactitud, que es el que ofrece Matlab por defecto. Si se aumenta este valor se encontrará una solución más rápidamente, pero será menos exacta, al contrario, si se disminuye, la solución será mucho más exacta pero se requerirán de mas iteraciones en la función de optimización. El parámetro en indica que la función usará un algoritmo de media escala, entre los que están el método de programación cuadrática secuencial (SQP), muy usado en la minimización con restricciones [capitulo 5pdf]. De esta forma se configuró la función fmincon que permite ajustar los valores de , obtenidos mediante procedimientos matemáticos o tablas, para tener un y desempeño optimo de la salida y el esfuerzo de control, sujeto a restricciones de máximo esfuerzo de control de 10 volts.

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

105

3.2.5 Resultados del diseño de controladores PID Los resultados del diseño de controladores PID y la optimización de los parámetros del controlador PID para cada uno de los casos se presentan en una tabla característica de cada caso, donde además se muestran paralelamente, las respuestas ante entrada escalón de la salida del sistema en lazo cerrado y del esfuerzo de control, luego de ello se mostraran los resultados de los índices de desempeño antes y después de optimizar los parámetros PID y las características dinámicas de máximo sobrepico y tiempo de respuesta de los sistemas en lazo cerrado. Para el caso 1 que es sun sistema de primer orden se obtuvo el siguiente compendio de resultados: DATOS CALCULADOS



1.4

1.2

DATOS ÓPTIMOS



Step Response

1.2 1.1

Step Response

1

Amplitude

1

0.9 0.8

0.8

0.7 0.6

0.6 0.5

0.4

0.4 0.2

CASO 1

0.3 0

0

1

2

3

4



2.6

2.4

5

6

7

8

9

10

0.2

0

Time (sec)

1

2

3

4



Step Response

10 9

5

6

7

8

9

10

6

7

8

9

10

Time (sec) Step Response

8 2.2

Amplitude

7 2

6 1.8

5 4

1.6

3 1.4

2 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Time (sec)

1

0

1

2

3

4

5 Time (sec)

,

,

Tabla 3.7 parámetros de controlador PID y respuestas ante entrada escalón del caso 1

De donde podemos observar el efecto de la optimización de los parámetros del controlador PID obtenido mediante el desarrollo matemático propuesto en la sección 3.2.2.

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

106

Para el caso 1a que es un sistema de primer orden con integrador se obtienen las siguientes respuestas ante entrada escalón de 1 volt. DATOS CALCULADOS



1.4

1.4

1.2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.2

0.2

CASO 1a

Step Response

0.4

0.4

0



Step Response

Amplitude

Amplitude

1.2

DATOS ÓPTIMOS

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



Time (sec) Step Response 1.2

1

0

1

2

3

4



9 8

5

6

7

8

9

10

Time (sec) Step Response

7 6

0.8

5

0.6 4 3

0.4

2

0.2 1

0

0 -1

-0.2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Time (sec)

Time (sec)

,

,

Tabla 3.8 parámetros PID y respuestas ante entrada escalón caso 1a

De donde se observa que utilizando el máximo esfuerzo de control disponible, se obtiene un control optimo con un criterio de desempeño mucho menor que el logrado con el desarrollo matemático propuesto.

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

107

El siguiente es el caso 2 que es un sistema de cuarto orden sometido a reducción de orden para el cálculo de los parámetros PID mediante las tablas propuestas en el handbook de PI y PID. Se observa el desempeño antes y después de optimizar dichos parámetros DATOS CALCULADOS



1.4

1.2

DATOS ÓPTIMOS

1.4

1.2

1

0.8

0.8

Amplitude

1

CASO 2

0.6

0.4

0.2

0.2

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20



Time (sec) Step Response

16 14

Step Response

0.6

0.4

0



Step Response

0

2

4

6

8



10 9

10

12

14

16

18

20

14

16

18

20

Time (sec) Step Response

8

12 7

10 Amplitude

6

8 5

6

4

4

3

2

2 1

0 -2

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

2

4

6

8

10

12

Time (sec)

Time (sec)

,

Tabla 3.9 parámetros PID y respuestas ante entrada escalón caso 2

,

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

108

El caso 3 que es un sistema de segundo orden con respuesta inversa presenta las siguientes graficas de respuesta temporal antes y después de optimizar los paraemtros del controlador PID obtenidos mediante las tablas (al haber aproximado inicialmente el sistema a uno de segundo orden con tiempo muerto). DATOS CALCULADOS



2

DATOS ÓPTIMOS



Step Response 1.2 1

Step Response

1.5 0.8 0.6

1

0.4

0.5 0.2 0

0

-0.2

-0.5

CASO 3

-0.4

-1

-0.6

0

2

4

6

8

10

12

14

16



15

0

2

4

6

10 9

8

10

12

14

16

Time (sec)



Time (sec) Step Response

Step Response

8

10

7 6

5

5 4

0

3 2

-5

1

-10

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Time (sec)

Time (sec)

,

Tabla 3.10 parámetros PID y respuestas ante entrada escalón caso 3

,

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

109

Para los casos en que se tiene un sistema de primer orden con tiempo muerto se presentan las dos tablas siguientes; allí se evidencian las respuestas ante entrada escalón de 1 volt. Y el esfuerzo de control necesario para lograr un desempeño optimo: DATOS CALCULADOS



1.4

1.2

DATOS ÓPTIMOS

1.4

1.2

1

0.8

0.8

Amplitude

1

CASO 4a

0.6

0.4

0.2

0.2

0

0

2

4

6

8

10

12



0

Amplitude

2

4

3.5

1.8

3

1.6

2.5

1.4

2

1.2

1.5

1

1

0.8

0

2

4

6

8

10

12

Time (sec)

0.5

2

4



Time (sec) Step Response 2.2

Step Response

0.6

0.4

0



Step Response

0

6

8

10

12

Time (sec) Step Response

2

4

6

8

10

12

Time (sec)

,

Tabla 3.11 parámetros PID y respuestas ante entrada escalón caso 4a

,

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

DATOS CALCULADOS



1 0.9

110

DATOS ÓPTIMOS

Step Response



1.4

1.2

Step Response

0.8 1

0.7

Amplitude

0.6

0.8

0.5 0.6

0.4 0.4

0.3 0.2

0.2

CASO 4b

0.1 0

0

0

5

10

15

20

25



Time (sec) Step Response

1

0

5



2.2

2

10

15

20

25

15

20

25

Time (sec) Step Response

0.9 1.8

Amplitude

0.8

1.6

1.4

0.7 1.2

0.6 1

0.8

0.5

0.4

0

0

5

10

15

20

25

5

10 Time (sec)

Time (sec)

,

Tabla 3.12 parámetros PID y respuestas ante entrada escalón caso 4b

,

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

111

Para los casos en los que se tienen sistemas de segundo orden con tiempo muerto se presentan las dos siguientes tablas donde se muestran las respuestas ante entrada escalón de 1 volt, antes y después de optimizar los parámetros obtenidos mediante las tablas dadas en la sección 3.2.3: DATOS CALCULADOS



1.4

1.2

DATOS ÓPTIMOS

1.4

1.2

1

0.8

0.8

Amplitude

1

CASO 5a

0.6

0.4

0.2

0.2

0

0

2

4

6

8

10

12



0

1.4

2

4



Time (sec) Step Response

1.5

Step Response

0.6

0.4

0



Step Response

1.15 1.1

6

8

10

12

8

10

12

Time (sec) Step Response

1.05 1.3 1

Amplitude

1.2

0.95

1.1

0.9 0.85

1

0.8 0.9 0.75 0.8

0.7

0.7 0.65 0

2

4

6

8

10

12

Time (sec)

0

2

4

6 Time (sec)

,

Tabla 3.13 parámetros PID y respuestas ante entrada escalón caso 5a

,

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

DATOS CALCULADOS



1.4

DATOS ÓPTIMOS

Step Response

1.2

1

0.8

0.8

Amplitude

1

0.6

0.4

0.2

0.2

0 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

 Step Response

0

1.4

1.1

1

1.2

0.9

1

0.8

0.8

0.6

0.4

0.5

0

2

4

6

8

10 Time (sec)

12

14

16

18

20

,

4

6

8

10

12

14

16

18

20

12

14

16

18

20

Time (sec) Step Response

0.7

0.6

0.2

2



Time (sec)

1.6

Step Response

0.6

0.4

0



1.4

Amplitude

CASO 5b

Amplitude

1.2

112

0.4

0

2

4

6

8

10 Time (sec)

Tabla 3.14 parámetros PID y respuestas ante entrada escalón caso 5b

,

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

113

Para el siguiente caso que es un sistema con modos rápidos y lentos, se tienen las respuestas net entrada escalón antes y después de optimizar los parámetros PID obtenidos mediante la reducción de orden de sistema, al aproximarlo a un sistema de primer orden se calcularon los parámetros como se vio en la sección 3.2.2. DATOS CALCULADOS



1.4

1.2

DATOS ÓPTIMOS

1.4

1.2

1

0.8

0.8

Amplitude

1

CASO 6

0.6

0.4

0.2

0.2

0

0

0.16

Amplitude

0.14



10

20

30

40

50

60

70

80

2

4

6

8



10

10

12

14

16

18

20

12

14

16

18

20

Time (sec) Step Response

8

6

0.1

4

0.08

2

0.06

0

-2

0

0

Time (sec) Step Response

0.12

0.04

Step Response

0.6

0.4

0



Step Response

10

20

30

40 Time (sec)

50

60

70

80

,

0

2

4

6

8

10 Time (sec)

Tabla 3.15 parámetros PID y respuestas ante entrada escalón caso 6

,

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

114

El siguiente sistema que se presenta como condicionalmente estable, muestra las siguientes graficas de respuesta antes y después de optimizar los parámetros de un control P inicialmente calculado mediante el desarrollo matemático de la sección 3.2.2. aquí se evidencia que el algoritmo de optimización modifico los valores de los parámetros P y D para obtener un desempeño optimo DATOS CALCULADOS



1.4

CASO 7

Amplitude

1.2

DATOS ÓPTIMOS

1.4

1.2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

5

10



0.6

0.5



Step Response

15

20

25

30

0

35

Time (sec) Step Response

6

5

0

Step Response

5



10

15

20

25

30

35

Time (sec) Step Response

0.4 4

0.3 3

0.2 2

0.1 1

0

0

-0.1

-0.2

0

5

10

15 Time (sec)

20

25

30

35

,

-1

0

5

10

15

20

Time (sec)

Tabla 3.16 parámetros PID y respuestas ante entrada escalón caso 7

25

30

35

,

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

115

El siguiente es un caso de segundo orden cuyos parámetros iniciales se calcularon mediante desarrollos matemáticos, se observa el esfuerzo de control necesario para obtener una respuesta optima: DATOS CALCULADOS



1.4

1.2

DATOS ÓPTIMOS



Step Response 1.3 1.2

Step Response

1.1

1

1 0.9

0.8 0.8

0.6

0.7 0.6

0.4

0.5

CASO 8

0.2 0.4

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

10



1.1

1

1

2

3

4



Time (sec)

Step Response

6

5

5

6

7

8

6

7

8

9

10

Time (sec) Step Response

4 0.9

3 0.8

2 0.7

1 0.6

0

0.5

0.4

-1

-2 0

1

2

3

4

5 Time (sec)

6

7

8

9

10

,

0

1

2

3

4

5 Time (sec)

Tabla 3.17 parámetros PID y respuestas ante entrada escalón caso 8

9

10

,

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

116

3.3 Síntesis de reguladores RST Teniendo en cuenta la metodología vista en la sección 2.2, se procede a detallar los algoritmos de síntesis de reguladores RST, con sus configuraciones posibles, para ser implementados en cada uno de los casos. Se analizará la necesidad y las implicaciones de cancelar ceros de la planta y de añadir integradores en la síntesis del regulador RST. A fin de encontrar unos polinomios RST que puedan ofrecer un desempeño óptimo en lazo cerrado, las especificaciones de tiempo de respuesta y máximo sobrepico a cumplir, serán las que se generaron con la optimización de controladores PID para cada uno de los casos. Estas especificaciones se verán reflejadas en el polinomio dominante del modelo de referencia y luego se procederá a la formulación de las ecuaciones diofantinas que darán como resultado los polinomios , y posteriormente al para cada caso. polinomio NOTA: La resolución de los sistemas de ecuaciones generados y presentados de la forma matricial , puede hacerse mediante procedimientos de solución simultanea de ecuaciones ó mediante propiedades matriciales donde, encontrando la inversa de la matriz y multiplicándola por el vector , se hallan los valores del vector de la siguiente manera: 3.72 Ya que éste procedimiento es común para todos los sistemas de ecuaciones que se generen en adelante, por lo tanto los sistemas de ecuaciones se dejaran expresados en forma simbólica y matricial, y luego se visualizarán las soluciones con respecto a los valores particulares de cada caso. Cabe recordar que se utilizara una implementación estándar del regulador RST donde el tiempo de cálculo y conversión en pequeño en comparación al tiempo de muestreo. Se presentarán los casos y la síntesis en forma simbólica y se organizaran en tablas, para agrupar los aspectos más relevantes del diseño en plantas que se puedan representar de maneras similares, luego de ello se presentaran los resultados de la síntesis en cada caso, mostrando los polinomios RST generados.

3.3.1 Determinación del polinomio Para establecer el polinomio , que hace parte del denominador del modelo de referencia y determina la dinámica del sistema en lazo cerrado, se escoge preferiblemente entre polinomios de primer y segundo orden, a los cuales es posible definir fácilmente, condiciones de tiempo de respuesta y máximo sobre pico. Se propone acudir a los coeficientes de la Tabla 2.4 (coeficientes óptimos ITAE para entrada escalón), que proporcionan una salida con índice ITAE pequeño en principio, y constituyen una elección relativamente apropiada [DOR05]. En los casos donde se toma (primer orden), el polinomio tiene la forma . Se puede tomar la siguiente función de transferencia8: 3.73 8

Ec.2.28 con coeficientes de la Tabla 2.4 para sistemas de primer orden

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

117

Se realiza la discretización por aproximación bilineal, de donde se obtiene: 3.74

Con un tiempo de muestreo del denominador) de 3.74 es:

se tiene que el polinomio característico (polinomio 3.75

Polinomio mediante el cual se determinará un comportamiento de primer orden, para los sistemas en lazo cerrado de cada uno de los casos, dependiendo del tiempo de respuesta requerido para cada caso de análisis, de la siguiente forma: 3.76

En los casos en que (segundo orden), el polinomio tiene la forma . Se puede tomar la siguiente función de transferencia9: 3.77

Se realiza la discretización por aproximación bilineal, de donde se obtiene: 3.78

Con un tiempo de muestreo del denominador) de 3.78 es:

se tiene que el polinomio característico (polinomio 3.79

Polinomio mediante el cual se determinará un comportamiento de segundo orden para los sistemas en lazo cerrado de cada uno de los casos, dependiendo del tiempo de respuesta requerido para cada caso de análisis, de la siguiente forma: 3.80

Se propone utilizar para ambos polinomios, el tiempo de repuesta que se obtuvo mediante simulación en cada caso, con la implementación de los controladores PID óptimos, cuyos datos se presentaron en la sección 3.2.5

9

Ec.2.28 con coeficientes de la Tabla 2.4 para sistemas de segundo orden

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

118

3.3.2 Regulador RST sin integradores y sin cancelación de ceros de la planta En situaciones donde no es posible o favorable cancelar ceros de la planta, ya sea por encontrarse sobre o por fuera del círculo unitario, por la carencia de ceros en la planta o por la inconveniencia de un efecto campana en la salida de la acción de control, se adopta el siguiente procedimiento para realizar la síntesis del regulador RST: Se calculan las dimensiones de un regulador RST sin integrador en las plantas que ya lo poseen en su modelo matemático (recurriendo a la Tabla 2.8), para los casos que se enumeraran a continuación. Se tiene una entrada en forma de escalón unitario, cuya función de transferencia discreta es: 3.81 De donde se obtienen los siguientes polinomios, mediante una factorización espectral del polinomio : 3.82 El caso 1a es el de un sistema de primer orden con integrador, por lo tanto no es estrictamente necesario colocar un integrador en la síntesis del regulador RST. La función de transferencia discreta del caso 1a, se escribe de manera simbólica para realizar los procedimientos de síntesis. La representación simbólica puede verse en la siguiente tabla: FUNCION DE TRANSFERENCIA DISCRETA NOMINAL CASO 1a SISTEMA DE PRIMER ORDEN CON INTEGRADOR

FUNCION DE TRANSFERENCIA DISCRETA SIMBÓLICA

Tabla 3.18 representación simbólica del caso 1a

Para este sistema, se tiene el siguiente compendio de resultados: CONDICIONES:

Dimensión de la matriz Dimensión de la matriz

RESULTADOS:

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

119

Tabla 3.19 resumen del procedimiento de síntesis de reguladores RST sin integrador y sin cancelación de ceros de la planta del caso 1a

Con estos valores se procede a la formulación de las ecuaciones diofantina 1 y diofantina 2, teniendo en cuenta ambos polinomios y , respectivamente. La ecuación diofantina 1, queda expresada en términos de ambos polinomios siguiente forma:

de la 3.83

Ó

La ecuación puede expresarse de la siguiente forma matricial: 3.84

Por otro lado, la ecuación diofantina 2 se escribe de la siguiente forma: 3.85 ó

Para que la ecuación diofantina 2 tenga solución, la matriz debe ser de dimensión , es decir de dimensión 4, y se escribe de la siguiente manera:

3.86

El valor del polinomio se ubica con un módulo de 2.5 veces más , que en el caso de pequeño que el de la raíz más pequeña en magnitud de es 0, por lo tanto queda de la forma: 3.87 Mientras que en el caso de

es: 3.88

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

De esta forma, los polinomios expresados:

,

y

120

para el caso 1a, van a quedar

3.3.3 Regulador RST sin integradores y con cancelación de ceros de la planta En el siguiente análisis se procederá al diseño de reguladores RST con simplificación de ceros de la planta en los casos en los que sea posible. El caso 7 que es un sistema condicionalmente estable, posee un integrador en su expresión y su función de transferencia discreta se escribe de la siguiente forma: 3.89

Se tiene que los ceros del sistema están ubicados en: 3.90

El modelo simbólico de este sistema puede representarse de la siguiente forma: 3.91

Puede verse que es viable cancelar los ceros ubicados en y ya que no tienen parte real negativa y no ocasionaran un efecto campana en la salida. Por lo tanto la función de transferencia simbólica puede expresarse de la forma siguiente: 3.92

O de la siguiente forma, ya que 3.93

Con esta función de transferencia simbólica se resume la obtención de parámetros en la siguiente tabla:

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

CONDICIONES:

121

RESULTADOS:

Dimensión de la matriz Dimensión de la matriz

Tabla 3.20 resumen del procedimiento de síntesis de reguladores RST sin integrador y con cancelación de 2 ceros de la planta del caso 7

Con estos valores se procede a la formulación de las ecuaciones diofantina 1 y diofantina 2 que contempla la Tabla 2.9, teniendo en cuenta ambos polinomios y , respectivamente. La ecuación diofantina 1, que es la siguiente para esta configuración (Tabla 2.9):

Queda expresada en términos de ambos polinomios de la siguiente forma: 3.94 Ó

La ecuación diofantina 1 puede expresarse en forma matricial de la siguiente manera: 3.95

Por otro lado, la ecuación diofantina 2 para la configuración presente (Tabla 2.9) es:

Se escribe de la siguiente forma: 3.96

ó

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

122

Para que la ecuación diofantina 2 tenga solución, la matriz debe ser de dimensión , es decir de dimensión 6, y se escribe de la siguiente manera:

3.97

Como puede verse, el número de ecuaciones a solucionar es más pequeño, en comparación a la configuración de síntesis de reguladores RST sin integrador y sin cancelación de ceros. se ubica con un modulo 2.5 veces más El valor del polinomio pequeño que el de la raíz más pequeña en magnitud de , que en el caso de es 0, por lo tanto queda de la forma: 3.98 Mientras que en el caso de

es: 3.99

Una vez obtenidos los coeficientes de van a quedar expresados de la forma:

los polinomios

y

del caso 7

3.3.4 Regulador RST con integradores, sin cancelación de ceros de la planta Aunque la respuesta dinámica de los sistemas de seguimiento, teóricamente no se ve afectada con la presencia de integradores, es importante recordar que es necesario agregarlos cuando la planta no los posea, dado que el modelamiento presenta diferencias con el sistema real, lo que genera en la práctica, error de estado estacionario de posición. Para corregir el problema de este error se introduce un integrador de orden 1 en el diseño de los reguladores RST.

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

123

En situaciones donde no es posible o favorable cancelar ceros de la planta, ya sea por encontrarse sobre o por fuera del círculo unitario, por la carencia de ceros en la planta, o por la inconveniencia de un efecto campana en la salida de la acción de control, se adopta el siguiente procedimiento para realizar la síntesis del regulador RST: Dada una entrada en forma de escalón unitario: 3.100 De donde se obtienen los siguientes polinomios, mediante una factorización espectral : del polinomio 3.101 Como el procedimiento descrito en la Tabla 2.10 es el que se aplica en los siguientes casos de análisis, se presentarán los resultados en forma simbólica, organizados en forma de tabla para que sean más comprensibles. Para el caso 1 se tiene la siguiente tabla: SISTEMA CON FUNCION TRANSFRENECIA DISCRETA DE PRIMER ORDEN FUNCION DE TRANSFERENCIA DISCRETA NOMINAL CSO1: SISTEMA DE PRIMER ORDEN

FUNCION DE TRANSFERENCIA DISCRETA SIMBÓLICA

De donde se obtienen las siguientes condiciones CONDICIONES:

RESULTADOS:

Dimensión de la matriz Dimensión de la matriz

NA NA Tabla 3.21 resumen del procedimiento de síntesis de reguladores RST con integrador, sin cancelación de ceros de la planta del caso 1

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

124

Con estos resultados se procede a la formulación de las ecuaciones diofantina 1 y diofantina 2. De este modo la ecuación diofantina 1 es la siguiente: 3.102 Para solucionar el sistema de ecuaciones se tiene: 3.103

La ecuación diofantina 2, para encontrar los polinomios

y

es: 3.104

Por lo tanto: 3.105

De esta forma, los polinomios

y

van a quedar expresados de la forma: 3.106

El valor de

se escogerá de la siguiente forma: 3.107

Los resultados del controlador RST se muestran a continuación:

Las funciones de transferencia discreta de los casos 3 y 8, que son sistemas de segundo orden, se escriben de una forma simbólica que es común, para proceder a realizar los procedimientos de síntesis. La representación simbólica puede verse en la siguiente tabla: SISTEMAS CON FUNCIONES DE TRANSFRENCIA DISCRETA DE SEGUDO ORDEN FUNCION DE TRANSFERENCIA DISCRETA NOMINAL CASO 3: SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN CON RESPUESTA INVERSA

FUNCION DE TRANSFERENCIA DISCRETA SIMBÓLICA

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

125

FUNCION DE TRANSFERENCIA DISCRETA NOMINAL CASO 8: SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

Tabla 3.22 representación simbólica de los casos 3 y 8

Para estos dos sistemas, se tiene el siguiente compendio de resultados: CONDICIONES:

RESULTADOS:

Dimensión de la matriz Dimensión de la matriz

Tabla 3.23 resumen del procedimiento de síntesis de reguladores RST con integrador y sin cancelación de ceros de la planta de los casos 3 y 8

Con estos valores se procede a la formulación de las ecuaciones diofantina 1 y y diofantina 2, teniendo en cuenta ambos polinomios , respectivamente. La ecuación diofantina 1, queda expresada en términos de ambos polinomios de la siguiente forma: 3.108 Ó

La ecuación puede expresarse de la siguiente forma matricial: 3.109

El valor del polinomio se ubica con un modulo 2.5 veces más pequeño que el de la raíz más pequeña, en magnitud, de , que en el caso de es 0, por lo tanto queda de la forma: 3.110 Mientras que en el caso de

es:

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

126

3.111

De esta forma, la ecuación diofantina 2 se escribe: 3.112 ó

La matriz asociada a la ecuación diofantina 2 se escribe de la siguiente manera:

3.113

y

para los casos 3 y 8 van a quedar

Caso 8

Caso 3

De esta forma, los polinomios expresados:

Las función de transferencia discreta del caso 2, que es un sistemas de cuarto orden, se escriben una forma simbólica que es común, para realizar los procedimientos de síntesis. SISTEMAS REPRESENTADOS POR FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DISCRETA DE CUARTO ORDEN FUNCION DE TRANSFERENCIA DISCRETA FUNCION DE TRANSFERENCIA DICRETA NOMINAL SIMBÓLICA CASO 2: SISTEMA DE CUARTO ORDEN

Tabla 3.24 representación simbólica del caso 2

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

127

De donde se obtiene la siguiente tabla de condiciones: CONDICIONES:

RESULTADOS:

Dimensión de la matriz Dimensión de la matriz

Tabla 3.25 resumen del procedimiento de síntesis de reguladores RST con integrador y sin cancelación de ceros de la planta del caso 2

Con estos valores se procede a la formulación de las ecuaciones diofantina 1 y diofantina 2 que contempla la Tabla 2.10, teniendo en cuenta ambos polinomios y , respectivamente. La ecuación diofantina 1, queda expresada en términos de ambos polinomios de la siguiente forma: 3.114 Ó

La ecuación diofantina 1 puede expresarse de la siguiente manera:

3.115

El valor del polinomio se ubica con un modulo de 2.5 veces más pequeño que el de la raíz más pequeña en magnitud de , que en ambos casos es 0, por lo tanto es: 3.116 De este modo, la ecuación diofantina 2 se escribe de la siguiente forma:

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

128

3.117

ó

La matriz asociada a la ecuación diofantina 2 se escribe de la siguiente manera:

3.118

De esta forma, los polinomios de la forma:

y

para el caso 2 van a quedar expresados

Para el caso 4a, se tiene la función de transferencia discreta de orden elevado siguiente: CASO 4a SISTEMADE PRIMER ORDEN CON TIEMPO MUERTO FUNCION DE TRANSFERENCIA NOMINAL

F.T. SIMBÓLICA

Tabla 3.26 representación simbólica para el caso 4a

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

129

Se evalúan las condiciones en la siguiente tabla CONDICIONES:

RESULTADOS:

Dimensión de la matriz Dimensión de la matriz

Tabla 3.27 resumen del procedimiento de síntesis de reguladores RST con integrador y sin cancelación de ceros de la planta del caso 4a

Con estos valores se procede a la formulación de las ecuaciones diofantina 1 y y diofantina 2, teniendo en cuenta ambos polinomios , respectivamente. La ecuación diofantina 1 en forma matricial, queda expresada de la siguiente forma, en términos de ambos polinomios:

3.119

La raíz del polinomio se ubica con un modulo de 2.5 veces más pequeño que el de la raíz más pequeña en magnitud de , que en ambos casos es 0, por lo tanto queda de la forma: 3.120

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

130

De este modo, la ecuación diofantina 2 en forma matricial, se escribe de la siguiente forma: 3.121

De esta forma, los polinomios expresados de la forma:

y

para el caso 4a, van a quedar

Para el caso 4b se tiene la función de transferencia de orden elevado siguiente: CASO 4b SISTEMADE PRIMER ORDEN CON TIEMPO MUERTO FUNCION DE TRANSFERENCIA NOMINAL

F.T. SIMBÓLICA

Tabla 3.28 representación simbólica del caso 4b

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

131

Con la cual se evalúan las condiciones y se obtiene la siguiente tabla: CONDICIONES:

RESULTADOS:

Dimensión de la matriz Dimensión de la matriz

Tabla 3.29 resumen del procedimiento de síntesis de reguladores RST con integrador y sin cancelación de ceros de la planta del caso 4b

Por las dimensiones que resultan de estos cálculos, se presentan los datos en forma matricial resumida. Es importante recordar que por la presencia de retardos en los dos y , se tiene polinomios posibles que la magnitud de los ceros más pequeños se encuentra en 0 en ambos casos, por lo tanto la raíz del polinomio observador asociado es . 3.122

Donde,

para

De esta forma, los polinomios expresados de la forma:

. y

para el caso 4b, van a quedar

3.123

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

132

Para el caso 5a se tiene la siguiente función de transferencia de orden elevado: CASO 5a SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN CON TIEMPO MUERTO FUNCION DE TRANSFERENCIA NOMINAL

F.T. SIMBÓLICA

Tabla 3.30 representación simbólica del caso 5a

Con la que se evalúan las condiciones y se obtiene la siguiente tabla: CONDICIONES:

RESULTADOS:

Dimensión de la matriz Dimensión de la matriz

Tabla 3.31 resumen del procedimiento de síntesis de reguladores RST con integrador, sin cancelación de ceros de la planta del caso 5a

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

133

Con estos valores se procede a la formulación de las ecuaciones diofantina 1 y y diofantina 2, teniendo en cuenta ambos polinomios , respectivamente. La ecuación diofantina 1 en forma matricial, queda expresada de la siguiente forma, en términos de ambos polinomios:

3.124

La raíz del polinomio se ubica con un modulo de 2.5 veces más , que en ambos casos es 0, pequeño que el de la raíz más pequeña en magnitud de por lo tanto queda de la forma: 3.125 Así, la ecuación diofantina 2 en forma matricial, se escribe de la siguiente forma: 3.126

De esta forma, los polinomios y para el caso 5a, van a quedar expresados de la forma: Para el caso 5b se tiene la siguiente función de transferencia de orden elevado:

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

134

CASO 5b SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN CON TIEMPO MUERTO FUNCION DE TRANSFERENCIA NOMINAL

F.T. SIMBÓLICA

Tabla 3.32 representación simbólica del caso 5b

De donde se obtienen los siguientes valores CONDICIONES:

RESULTADOS:

Dimensión de la matriz Dimensión de la matriz

Tabla 3.33 resumen del procedimiento de síntesis de reguladores RST sin integrador y sin cancelación de ceros de la planta del caso 5b

Por las dimensiones que resultan de estos cálculos, se presentan los datos en forma matricial resumida. Cabe recordar que por la presencia de retardos en los dos y , se tiene polinomios posibles que la magnitud de los ceros más pequeños se encuentra en 0 en ambos casos, por lo tanto la raíz del polinomio observador asociado es . 3.127

Donde,

para

.

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

De esta forma, los polinomios

y

135

van a quedar expresados de la forma:

3.3.5 Regulador RST con integradores y con cancelación de ceros de la planta El caso 6 que no posee integradores en su expresión y su función de transferencia discreta se escribe de la siguiente forma: 3.128

Se tiene que los ceros del sistema están ubicados en: 3.129

El modelo simbólico de este sistema puede representarse de la siguiente forma: 3.130

Puede verse que es viable cancelar el cero ubicado en , ya que no tiene parte real negativa. Por lo tanto la función de transferencia simbólica puede expresarse de la forma siguiente: 3.131

Con esta función de transferencia simbólica se resume la obtención de parámetros en la siguiente tabla:

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO CONDICIONES:

136

RESULTADOS:

Dimensión de la matriz Dimensión de la matriz

Tabla 3.34 resumen del procedimiento de síntesis de reguladores RST sin integrador y con cancelación de 1 cero de la planta del caso 6

Con estos valores se procede a la formulación de las ecuaciones diofantina 1 y diofantina 2 que contempla la Tabla 2.8, teniendo en cuenta ambos polinomios y , respectivamente. La raíz del polinomio se ubica con un modulo de 2.5 veces más , que en ambos casos es 0, pequeño que el de la raíz más pequeña en magnitud de por lo tanto queda de la forma: 3.132 La ecuación diofantina 1, que es la siguiente para esta configuración (Tabla 2.9):

Queda expresada en términos de ambos polinomios de la siguiente forma: 3.133 Ó

La ecuación diofantina 1 puede expresarse en forma matricial de la siguiente manera:

3.134

Por otro lado, la ecuación diofantina 2, que es la siguiente para la configuración presente (Tabla 2.10):

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

137

Se escribe de la siguiente forma: 3.135

ó

La matriz asociada a la ecuación diofantina 2 se escribe de la siguiente manera:

3.136

Una vez obtenidos los coeficientes de quedar expresados de la forma:

los polinomios

y

van a

De esta forma, quedan determinados de manera simbólica los polinomios R S y T para cada uno de los casos, dependiendo de sus distintas configuraciones.

3.3.6 Método propuesto para la optimización de polinomios RST A continuación se proponte un procedimiento de optimización de reguladores RST, utilizando el Toolbox de MATLAB, teniendo en cuenta las mismas restricciones para el valor máximo que pueda tomar la acción de control (10 volts) que se utilizó para lograr la optimización de los parámetros PID contemplada en la sección 3.2.4. El procedimiento consiste en que la función de optimización buscará minimizar los mismos criterios ITAE e ITAU en presencia de restricciones, modificando los , que de forma subsecuente generará nuevos valores de coeficientes del polinomio los polinomios R S y T mediante los cálculos vistos en las secciones anteriores.

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

138

Teniendo en cuenta las consideraciones de sintaxis examinadas en el servicio de ayuda de Matlab [CAL05], se implementará el siguiente código para cada uno de los casos, propuestos en cada caso, como los valores iniciales para utilizando los polinomios la realización de las iteraciones de optimización. La función fmincon se invocará de la siguiente manera: 

encuentra el valor de que minimiza a la función De esta forma la función objetivo llamada , que es una función de y que tiene como valores iniciales al y , se establecen como vectores nulos ya que no se vector . Los valores busca resolver inecuaciones lineales y/o ecuaciones lineales de la forma específicamente. Se establecen los limites inferiores ( ) y superiores ( ) para el vector . Esta búsqueda está sujeta a que se cumplan unas desigualdades no lineales o contempladas en la función , todo lo anterior teniendo en cuenta los parámetros de optimización especificados en una estructura llamada , la cual se detallara mas adelante. es el valor de la función objetivo evaluada en el vector , y bandera que indica la condición de salida o finalización de la función

es una .

Para el problema que se ha planteado, la función fmincon proporcionara los valores óptimos de los coeficientes del polinomio que generará polinomios R S y T mediante síntesis. Se describen los parámetros de la siguiente forma, las cuales serán comunes para todos los casos: .(es Los valores del vector son los miembros del vector que describe al polinomio decir sus coeficientes) y los valores iniciales son los que se establecieron para cada caso. La función objetivo será la función tendrá un factor , para hacer que los valores comparables que den un valor de pequeño.

e

que en principio sean valores

Los valores , y son conjuntos vacíos ya que por el momento no se plantean ecuaciones o inecuaciones lineales que deban cumplirse, ni límites inferiores ni en la sintaxis de superiores a los coeficientes, por lo tanto se denotan con el símbolo la función. La función que es la que contiene las ecuaciones e inecuaciones no lineales que deban cumplirse se define de la siguiente manera por efectos de comparación con cero: 

3.137

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

139

es la función que describe la acción de control, la cual se calcula de la Donde siguiente forma, teniendo en cuenta la ley de control para reguladores RST (Ec.2.42) donde:

a 10 (por ello se tiene el valor de Se desea limitar el valor absoluto máximo de 10 en la expresión 3.137). Es decir que la magnitud de la salida del controlador no podrá ser mayor a 10 volts en los instantes de muestreo. La estructura

se define de la siguiente forma:

De donde el parámetro salida de la función.

en

indica que no se muestra ningún valor a la

El valor en , define una tolerancia de finalización permitida para el , el parámetro también en define una tolerancia vector de de finalización permitida para la función objetivo de ; esta definición ofrece una solución con cierto grado de exactitud, que es el que ofrece Matlab por defecto. Si se aumenta este valor se encontrará una solución más rápidamente, pero será menos exacta, al contrario, si se disminuye, la solución será mucho más exacta pero se requerirán de mas iteraciones en la función de optimización. en indica que la función usará un algoritmo de media El parámetro escala, entre los que están el método de programación cuadrática secuencial (SQP), muy usado en la minimización con restricciones [CAL05]. De esta forma se configuró la función fmincon que permite ajustar los valores de del polinomio , propuestos en un principio de manera experimental, para tener un desempeño optimo de la salida y el esfuerzo de control, sujeto a restricciones de máximo esfuerzo de control de 10 volts.

3.3.7 Resultados de la síntesis de Reguladores RST Se recopilan los resultados de la síntesis de reguladores RST en tablas para cada uno de y y las respuestas los casos, donde se muestran los polinomios ante entrada escalón de los sistemas en lazo cerrado y de la acción de control, luego se presentan los datos de la respuesta dinámica, tales como el máximo sobre impulso, el tiempo de respuesta y los índices de desempeño ITAE e ITAU, antes y después de la optimización del polinomio propuesta en la sección anterior.

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

140

El caso 1, cuya síntesis de reguladores RST se realizo con integrador y sin cancelación de ceros de la planta tiene las siguientes respuestas: DATOS CALCULADOS



1

0.9

DATOS ÓPTIMOS

Step Response

0.9

0.8

0.7

0.7

Amplitude

0.8

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0

1

2

3

4



10

9

5

6

7

8

9

Step Response

0.6

0.5

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

6

7

8

9

10

Time (sec) Step Response

Time (sec)

10

Step Response

9

8 8

7 7

Amplitude

CASO 1

0.6

0.2



1

6

6

5 5

4 4

3 3

2 2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

10

Time (sec)

Time (sec)

,

Tabla 3.35 polinomios RST y respuestas ante entrada escalón del caso 1

,

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

141

Para el caso 1a cuyos reguladores RST se calcularon sin integrador y sin cancelación de ceros de la planta se obtuvo la siguiente tabla de respuestas: DATOS CALCULADOS



1.4

CASO 1a

Amplitude

1.2

DATOS ÓPTIMOS

Step Response 1.4

1.2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

8 7



1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

10



0

Step Response

1

2

3

4

Time (sec) Step Response

5

6

7

8

9

10

6

7

8

9

10

Time (sec) Step Response

10

8

6 5

6

Amplitude

Amplitude

4 3 2

4

2

1 0

0

-1 -2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Time (sec)

10

-2

0

1

2

3

4

5 Time (sec)

,

,

Tabla 3.36 polinomios RST y respuestas ante entrada escalón del caso 1a

El orden del polinomio se escogió de valor 2, ya que al realizar la síntesis con el polinomio de grado 1, aunque se obtiene una respuesta deseada, la acción de control sobrepasa el límite de los 10 volts, lo que al realizar la optimización, perjudica la respuesta (tiempo de respuesta más lento) ya que el valor del esfuerzo de control se reduce a los 10 volts máximo.

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

142

Para el siguiente caso, el cual es un sistema de cuarto orden y cuya síntesis se realizo sin integrador y sin cancelación de ceros de la planta, se obtuvo la siguiente tabla de respuestas ante entrada escalón de 1 volt: DATOS CALCULADOS



1.4

1.4

1.2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

10





Step Response

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0

20

0

Step Response

2

4

6

8

Time (sec) Step Response

10

12

14

16

18

20

14

16

18

20

Time (sec) Step Response

12

10

8

8

6

Amplitude

Caso 2

1.2

DATOS ÓPTIMOS

4

6

4

2 2

0

-2

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

-2 0

2

4

6

8

10

12

Time (sec)

Time (sec)

,

Tabla 3.37 polinomios RST y respuestas ante entrada escalón del caso 2

,

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

143

Para el siguiente caso que es un sistema con respuesta inversa, se obtuvo la siguiente tabla de respuestas ante entrada escalón de 1 volt, antes y después de optimizar el y realizando la síntesis sin integrador y sin cancelación de ceros de la polinomio planta: DATOS CALCULADOS

DATOS ÓPTIMOS



Step Response 1.2

1.2 1 0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

Amplitude

1 0.8

Caso 3

0.2

0.2

0

0

-0.2

-0.2

-0.4

-0.4

-0.6

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Step Response

-0.6

0

2

4

6

8

9

10

8

9

7

8

12

14

16

7

6

Amplitude

10

Time (sec) Step Response

Time (sec) Step Response

6

5

5

4

4 3

3 2

2 1

1 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Time (sec)

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Time (sec)

,

Tabla 3.38 polinomios RST y respuestas ante entrada escalón del caso 3

,

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

144

Para los casos en los que se tienen sistemas de primero orden con tiempo muerto, se tienen las dos tablas siguientes, con los resultados ante entrada escalón de 1 volt, antes y respectivos, realizando la síntesis de después de optimizar los polinomios reguladores RST con integrador y sin cancelación de ceros de la planta: DATOS CALCULADOS

DATOS ÓPTIMOS



Step Response 1

1.4

0.9 1.2

Step Response

0.8 0.7

1

0.6 0.8

0.5 0.6

0.4 0.3

0.4

Caso 4a

0.2 0.2

0.1 0

0

0

2

4

6

8

10

12

0

2

4

6

8

10

12

Time (sec) Step Response

Time (sec) Step Response

10

2.5

9 8 7 2

6 5 4 1.5

3 2 1 1

0

2

4

6

8

10

12

Time (sec)

0

0

2

4

6

8

10

12

Time (sec)

,

Tabla 3.39 polinomios RST y respuestas ante entrada escalón del caso 4a

,

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

DATOS CALCULADOS

145

DATOS ÓPTIMOS

Step Response



1.4

1 0.9

1.2

Step Response

0.8

1

Amplitude

0.6

0.8

0.5

0.6

0.4 0.3

0.4

0.2

0.2 0.1 0

0

5

10

15

20

0

25

0

5

Time (sec) Step Response

1

12

0.95

10

0.9

8

0.85

4

0.75

2

0

5

10

15

20

25

6

0.8

0.7

10 Time (sec) Step Response

Amplitude

Amplitude

Caso 4b

0.7

15

20

25

Time (sec)

0

0

5

10

15

20

25

Time (sec)

,

Tabla 3.40 polinomios RST y respuestas ante entrada escalón del caso 4b

,

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

146

Para los casos en los que se tienen sistemas de segundo orden con tiempo muerto, se tienen las dos tablas siguientes, con los resultados ante entrada escalón de 1 volt, antes y respectivos, realizando la síntesis de después de optimizar los polinomios reguladores RST con integrador y sin cancelación de ceros de la planta: DATOS CALCULADOS

DATOS ÓPTIMOS

Step Response



1.4

1 0.9

1.2

Step Response

0.8

1

0.7

Amplitude

Amplitude

0.6 0.5

0.8

0.6

0.4

Caso 5a

0.3

0.4

0.2

0.2 0.1 0

0

2

4

6

8

10

12

0

0

2

4

Time (sec) Step Response

6

8

10

12

8

10

12

Time (sec) Step Response 15

1

0.9

10

0.8

5 0.7

0 0.6

-5

0.5

0.4

0

2

4

6

8

10

12

Time (sec)

-10

0

2

4

6 Time (sec)

,

Tabla 3.41 polinomios RST y respuestas ante entrada escalón del caso 5a

,

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

DATOS CALCULADOS

147

DATOS ÓPTIMOS



Step Response

1.4

1 0.9

1.2

Step Response

0.8

1

Caso 5b

0.7 0.6

0.8 0.5

0.6

0.4 0.3

0.4

0.2

0.2

0.1 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0

0

2

4

6

8

Time (sec) Step Response

10

12

14

16

18

20

12

14

16

18

20

Time (sec) Step Response

1

15 0.9

10

0.8

Amplitude

0.7

5 0.6

0.5

0

0.4

-5

0.3

0.2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Time (sec)

-10

0

2

4

6

8

10 Time (sec)

,

,

Tabla 3.42 polinomios RST y respuestas ante entrada escalón del caso 5b

NOTA: puede verse que existe una oscilación en la señal temporal de la acción de control con la optimización del polinomio , esto se debe a que el algoritmo de optimización arrojó un polinomio con raíces negativas, lo que significa que en el , el cual hace parte del denominador de la función de transferencia polinomio , genera el modo oscilatoria amortiguado que se vio en la anterior tabla.

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

148

Para el caso 6 que es un sistema con modos rápidos y lentos, se presenta la siguiente tabla de respuestas ante entrada escalón de 1 volt. Antes y después de la optimización realizando la síntesis de reguladores RST sin integrador y con del polinomio cancelación de ceros de la planta. DATOS CALCULADOS

DATOS ÓPTIMOS



Step Response

1

1.4

0.9 1.2

Step Response

0.8 1

0.7 0.6

0.8

0.5 0.6

0.4 0.4

0.3

Caso 6

0.2 0.2

0.1 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Time (sec) Step Response

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Time (sec) Step Response

0.7

8 0.6

6 0.5

4 0.4

2 0.3

0 0.2

-2 0.1

-4 0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Time (sec)

-6 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Time (sec)

,

Tabla 3.43 polinomios RST y respuestas ante entrada escalón del caso 6

,

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

149

Para el siguiente caso que es un sistema condicionalmente estable (posee un integrador), se presenta la siguiente tabla antes y después de la optimización del polinomio realizando la síntesis de reguladores RST sin integrador y con cancelación de ceros de la planta: DATOS CALCULADOS

DATOS ÓPTIMOS



Step Response 1.4

1 0.9

1.2

Step Response

0.8 1

0.7 0.6

0.8

0.5 0.6

0.4 0.4

0.3 0.2

Caso 7

0.2

0.1 0

0

5

10

15

20

25

30

35

0

Time (sec) Step Response

0

5

10

15

20

25

30

35

Time (sec)

3.5

Step Response 7

3

6 2.5

5

2

4

1.5

3

1

2

0.5

1 0

0

-1 -0.5

0

5

10

15

20

25

30

35

-2

Time (sec)

0

5

10

15

20

25

30

Time (sec)

,

Tabla 3.44 polinomios RST y respuestas ante entrada escalón del caso 7

,

35

CAPITULO 3: METODO PROPUESTO PARA EL ANALISIS COMPARATIVO

150

Para el siguiente caso que es un sistema de segundo orden, se presenta la siguiente tabla antes y después de la optimización del polinomio realizando la síntesis de reguladores RST con integrador y sin cancelación de ceros de la planta: DATOS CALCULADOS

DATOS ÓPTIMOS



Step Response

1.1

1 0.9

1

Step Response

0.8

0.9 0.7

0.8

Amplitude

0.6 0.5

0.7

0.4

0.6 0.3

0.5

Caso 8

0.2 0.1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.4

0

1

2

3

4

Time (sec)

5

6

7

8

9

10

6

7

8

9

10

Time (sec) Step Response

Step Response 2

15

1.8 10

1.6

5

1.4

1.2

0

1 -5

0.8

-10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5 Time (sec)

Time (sec)

,

Tabla 3.45 polinomios RST y respuestas ante entrada escalón del caso 8

151

CAPÍTULO

4

4 Análisis de Resultados y Discusión

Para realizar un análisis comparativo de desempeño entre controladores PID y RST, se parte del mejor comportamiento que se puede obtener con control PID, tomando en consideración los resultados obtenidos con control PID óptimo. Por otro lado se considera el desempeño que ofrece la síntesis de reguladores RST, diseñados a partir de los resultados del desempeño logrado con controladores PID óptimos, en la determinación del polinomio . Se presenta a continuación el compendio de resultados de la síntesis de controladores PID y reguladores RST en cada uno de los casos, presentando los valores obtenidos en el procedimiento de optimización de los parámetros PID y paralelamente, se presentarán los valores de los polinomios R, S y T. Con el fin de facilitar el análisis comparativo, para cada uno de los 8 casos de plantas considerados, se presentará una tabla de resultados y gráficas de respuesta temporal que mostrarán paralelamente las respuestas en lazo cerrado ante entrada paso con controladores PID óptimos y con reguladores RST.

CAPITULO 4. ANALISIS DE RESULTADOS Y DISCUSION

152

4.1 Caso 1: sistema de primer orden La respuesta temporal del caso 1, ante entrada escalón de magnitud 1 voltio, se presenta en la siguiente tabla, realizando un paralelo entre las respuestas al implementar control PID óptimo (visto en la sección 3.2.5) y RST diseñado a partir de los resultados temporales del control PID óptimo. Se puede observar que la respuesta temporal del control PID óptimo y RST sin optimizar, generan respuestas iguales para este caso de primer orden, con mismo sobre pico, tiempo de respuesta y mismo esfuerzo de control. PID ÓPTIMO



1.2 1.1

RST SIN OPTIMIZAR



Step Response 1

0.9

Step Response

1 0.8

0.9 0.7

Amplitude

0.8 0.7 0.6

0.6

0.5

0.5 0.4

0.3

0.3 0.2

0.2

0

1

2

3

4



10 9

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

6

7

8

9

10

Time (sec) Step Response

Time (sec) Step Response

10

9

8

8

7

7

Amplitude

CASO 1

0.4

6 5

6

5

4 4

3 3

2 2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5 Time (sec)

Time (sec)

Tabla 4.1 polinomios RST y control PID, respuestas ante entrada escalón del caso 1

CAPITULO 4. ANALISIS DE RESULTADOS Y DISCUSION

153

4.1.1 Caso 1a Sistema de primer orden con integrador Las respuestas del caso 1a ante entrada escalón de magnitud e 1 voltio, muestra que aunque el tiempo de respuesta en RST resultó ser aproximadamente igual al de PID óptimo con un sobre pico, el esfuerzo máximo de control disminuyó aproximadamente un 17%: PID ÓPTIMO



1.4

1.4

1.2

1

0.8

0.8

Amplitude

1

0.6

0.4

0.2

0.2

0

0

1

2

3

4



9 8

5

6

7

8

9

10

Time (sec) Step Response

Step Response

0.6

0.4

0



Step Response

0

1

2

3

4



8 7

5

6

7

8

9

10

8

9

10

Time (sec) Step Response

6

7 5

6 4

5

Amplitude

CASO 1a

Amplitude

1.2

RST SIN OPTIMIZAR

4

3 2

3 1

2 0

1 -1

0 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

Time (sec)

Time (sec)

,

Tabla 4.2 polinomios RST y control PID, respuestas ante entrada escalón del caso 1a

,

CAPITULO 4. ANALISIS DE RESULTADOS Y DISCUSION

154

4.2 Caso 2 sistema de cuarto orden Este caso ante entrada escalón de 1 voltio, mientras que la respuesta temporal con PID presenta un sobrepico menor y un tiempo de respuesta más corto, con RST se presenta una disminución de un 10% aproximadamente en el esfuerzo máximo de control: DATOS ÓPTIMOS



1.4

CASO 2

Amplitude

1.2

DATOS CALCULADOS

Step Response

1.2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

2

4

6

8



10 9



1.4

10

12

14

16

18

20

0

0

Time (sec) Step Response

10



Step Response

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Time (sec) Step Response

8

8 7

6 Amplitude

6 5

4

4

2

3 2

0 1 0

0

2

4

6

8

10 Time (sec)

12

14

16

18

20

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Time (sec)

Tabla 4.3 polinomios RST y control PID, respuestas ante entrada escalón del caso 2

16

18

20

CAPITULO 4. ANALISIS DE RESULTADOS Y DISCUSION

155

4.3 Caso 3 sistema de segundo orden con cero en semiplano derecho Para este caso, ante entrada escalón de 1 voltio, se tiene que el esfuerzo de control ha disminuido en un 10% aproximadamente para RST; sin embargo a pesar de imponer un modelo de referencia, se observa que ante la imposibilidad de cancelar el cero ubicado en semiplano derecho (que en dominio discreto se encuentra fuera del círculo unitario), éste sigue imponiendo una respuesta inversa del sistema: PID ÓPTIMO



1.2 1

Step Response

Step Response 1.2 1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

-0.2

-0.2

-0.4

-0.4

-0.6

-0.6

0

2

4

6



10 9

8

10

12

14

16

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Time (sec) Step Response

Time (sec)

Step Response

9 8 7

8 7

6

6

5

Amplitude

CASO 3

RST SIN OPTIMIZAR

5 4

4 3

3 2

2 1

1 0

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0

2

4

6

8

10

12

Time (sec)

Time (sec)

Tabla 4.4 polinomios RST y control PID, respuestas ante entrada escalón del caso 3

14

16

CAPITULO 4. ANALISIS DE RESULTADOS Y DISCUSION

156

4.4 Caso 4 Sistema de primer orden con tiempo muerto Esta sección se subdivide en los dos casos particulares, escogidos como sistemas de primer orden más tiempo muerto:

4.4.1 Caso 4a (tiempo muerto de 0,5 seg) En este caso vamos a encontrar en la respuesta con reguladores RST, una disminución del esfuerzo de control de un 34% aproximadamente ante entrada escalón con respecto a la de control PID. PID ÓPTIMO



1.4

1.2

RST SIN OPTIMIZAR

Step Response

Step Response

1 0.9 0.8

Amplitude

1

0.7 0.6

0.8

0.5 0.6

0.4 0.3

CASO 4a

0.4

0.2 0.2

0.1 0

0

2

4



4

3.5

6

8

10

12

0

0

2

4

Time (sec) Step Response

6

8

10

12

8

10

12

Time (sec) Step Response 2.5

3

2 2.5

2

1.5

1.5

1

0.5

0

2

4

6 Time (sec)

8

10

12

1

0

2

4

6 Time (sec)

Tabla 4.5 polinomios RST y control PID, respuestas ante entrada escalón del caso 4a

CAPITULO 4. ANALISIS DE RESULTADOS Y DISCUSION

157

4.4.2 Caso 4b (tiempo muerto de 2 segundos) Ante entrada escalón de 1 voltio, puede verse que el esfuerzo máximo de control disminuye casi en un 50% con reguladores RST. En contraparte, es importante resaltar las dimensiones de estos polinomios que se observan a continuación: PID ÓPTIMO



1.4

1.2

RST SIN OPTIMIZAR

Step Response

Step Response 1 0.9

0.7 0.6

Amplitude

0.8

0.6

0.5 0.4

0.4

0.3 0.2

0.2

0.1 0

0

5



2.2

2

10

15

20

25

0

Time (sec) Step Response

0

5

10

15

20

25

15

20

25

Time (sec) Step Response

1

0.95 1.8

1.6

0.9

Amplitude

CASO 4b

0.8 1

1.4

1.2

0.85

0.8 1

0.8

0.75

0

5

10

15 Time (sec)

20

25

0.7

0

5

10 Time (sec)

Tabla 4.6 polinomios RST y control PID, respuestas ante entrada escalón del caso 4b

CAPITULO 4. ANALISIS DE RESULTADOS Y DISCUSION

158

4.5 Caso 5 Sistema de segundo orden con tiempo muerto Esta sección se subdivide entre los dos casos particulares escogidos como ejemplos de sistemas de segundo orden con tiempo muerto:

4.5.1 Caso 5a (tiempo muerto de 0,5 segundos) Ante entrada escalón de 1 voltio, se puede ver que se logra casi el mismo desempeño con ambos controladores, con cierta disminución (5%) del esfuerzo máximo de control en la caso RST. puede verse que los órdenes de los polinomios son elevados: PID ÓPTIMO



1.4

1.2

RST SIN OPTIMIZAR

Step Response

Step Response 1 0.9 0.8 0.7 0.6

0.8

Amplitude

Amplitude

1

0.6

0.5 0.4 0.3

CASO 5a

0.4

0.2

0.2 0.1

0

0

0

2

4



1.15 1.1

6

8

10

12

0

2

4

6

8

10

12

Time (sec) Step Response

Time (sec) Step Response

1

0.9

1.05 1

0.8

0.95 0.7

0.9 0.85

0.6

0.8 0.75

0.5

0.7 0.65

0.4

0

2

4

6

8

10

12

0

2

4

6

8

Time (sec)

Time (sec)

Tabla 4.7 polinomios RST y control PID, respuestas ante entrada escalón del caso 5a

10

12

CAPITULO 4. ANALISIS DE RESULTADOS Y DISCUSION

159

4.5.2 Caso 5b (tiempo muerto de 2 segundos) En este caso, ante entrada escalón de 1 voltio, puede verse que se logra un desempeño similar, con una pequeña disminución (5% aproximadamente) del esfuerzo máximo de control en el caso RST: PID ÓPTIMO



1.4

1.2

RST SIN OPTIMIZAR

Step Response

Step Response 1

0.8

1

Amplitude

0.7 0.8

0.6 0.6

0.5 0.4

0.4

0.3 0.2

0.2 0

0.1 0

2

4

6

8



1.1

1

10

12

14

16

18

20

Time (sec) Step Response

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

12

14

16

18

20

Time (sec) Step Response

1

0.9 0.9

0.8 0.8

0.7

Amplitude

Amplitude

CASO 5b

0.9

0.7

0.6

0.5

0.6

0.4

0.5

0.3 0.4

0

2

4

6

8

10 Time (sec)

12

14

16

18

20

0.2

0

2

4

6

8

10 Time (sec)

Tabla 4.8 polinomios RST y control PID, respuestas ante entrada escalón del caso 5b

CAPITULO 4. ANALISIS DE RESULTADOS Y DISCUSION

160

4.6 Caso 6 Modos rápidos y lentos Para este caso, ante entrada escalón de 1 voltio, se puede observar la disminución importante del esfuerzo de control con reguladores RST y una notable disminución en el esfuerzo de control conservando el tiempo de respuesta: PID ÓPTIMO



1.4

CASO 6

Amplitude

1.2

RST SIN OPTIMIZAR

Step Response

Step Response

1.4

1.2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

2

4

6

8



10

8

10

12

14

16

18

20

0

0

2

4

6

8

Time (sec) Step Response

10

12

14

16

18

20

12

14

16

18

20

Time (sec) Step Response

0.7

0.6

0.5 6

0.4 4

0.3 2

0.2 0

0.1 -2

0

2

4

6

8

10 Time (sec)

12

14

16

18

20

0

0

2

4

6

8

10 Time (sec)

Tabla 4.9 polinomios RST y control PID, respuestas ante entrada escalón del caso 6

CAPITULO 4. ANALISIS DE RESULTADOS Y DISCUSION

161

4.7 Caso 7 Sistema condicionalmente estable En este sistema ante entrada escalón de 1 voltio, se observa un desempeño similar con una disminución del esfuerzo de control de aproximadamente un 45% con reguladores RST: PID ÓPTIMO



1.4

CASO 7

1.2

RST SIN OPTIMIZAR

Step Response

Step Response 1.4

1.2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

6

5

0

5



10

15

20

25

30

0

35

0

5

10

15

20

25

30

35

30

35

Time (sec) Step Response

Time (sec) Step Response

3.5

3

2.5

4 2

3 1.5

2 1

1

0.5

0

-1

0

-0.5

0

5

10

15 Time (sec)

20

25

30

35

0

5

10

15

20

25

Time (sec)

Tabla 4.10 polinomios RST y control PID, respuestas ante entrada escalón del caso 7

CAPITULO 4. ANALISIS DE RESULTADOS Y DISCUSION

162

4.8 Caso 8 Sistema de segundo orden Para este caso ante entrada escalón de 1 voltio, se tiene que el desempeño es similar, con una notable disminución del esfuerzo de control: PID ÓPTIMO



1.3 1.2

RST SIN OPTIMIZAR

Step Response

Step Response 1 0.9

1.1

0.8

1 0.7

Amplitude

0.9 0.8

0.6 0.5

0.7 0.4

0.6

0.3

CASO 8

0.5

0.2

0.4

0

1

2

3

4



6

5

5

6

7

8

9

10

Time (sec) Step Response

0.1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Time (sec)

Step Response 2

1.8

4

1.6 3

1.4 2

1.2 1

1

0

0.8

-1

-2

0

1

2

3

4

5 Time (sec)

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

Time (sec)

Tabla 4.11 polinomios RST y control PID, respuestas ante entrada escalón del caso 8

8

9

10

CAPITULO 4. ANALISIS DE RESULTADOS Y DISCUSION

163

4.9 Discusión Los resultados expuestos en la presente sección, muestran en primer lugar en común disminuciones en los esfuerzos máximos de control que se generan al implementar reguladores RST comparativamente con controladores PID. Esto permite, bajo las restricciones consideradas en el presente estudio, que pueda utilizarse el máximo esfuerzo para lograr aun mejores desempeños como se planteó en la sección 3.37. Esto deja ver como primera medida, que el uso de reguladores RST podría ayudar a solucionar los problemas de control con menor energía. Los casos más contundentes en los que se evidencia este comportamiento son los de control RST de los casos 6 y 7 (sistema con modos lentos y rápidos y sistema condicionalmente estable respectivamente). Se pudo encontrar que en la mayoría de los casos controlados con reguladores RST, se presentó alguna disminución del máximo esfuerzo de control necesario para lograr desempeños comparables con los de PID óptimo, aun mas cuando se presentó alguna cancelación de ceros reales (Casos 6 y 7), ya que tanto estos ceros como las raíces del polinomio (polinomio del denominador del modelo de referencia) al encontrarse en el denominador de la función de transferencia entre la acción de control y la entrada generan modos que se amortiguan rápidamente (por encontrase en la región de desempeño) y ponderan al valor máximo del esfuerzo de control en el tiempo. En segundo lugar, puede evidenciarse el dominio que puede tener el diseñador sobre el comportamiento de la respuesta dinámica en lazo cerrado con reguladores RST, mientras que con controladores PID, si bien se puede establecer un máximo sobrepico y un tiempo de respuesta, la forma de la señal de Salida vs. Entrada podría presentar características no esperadas, tales como oscilaciones o comportamiento irregular en la curva de respuesta (como en los casos 4b, 5a, 5b, 6 y 8 controlados con PID óptimo). Esto se debe a que se tiene una cierta autonomía sobre la ubicación de los polos de la función de transferencia en lazo cerrado con control PID, no obstante el comportamiento debido a los ceros del sistema puede no dominarse. Por su parte, por ser un controlador con dos grados de libertad, el regulador RST extiende al menos en cierta medida, el dominio sobre los ceros del sistema en lazo cerrado al definir el numerador del modelo de referencia con los ceros de la planta que no es posible a partir de aspectos como el modelo de la cancelar, y el cálculo del polinomio entrada y de la planta. El polinomio debe tener especial atención a la hora del diseño de reguladores RST ya que es el polinomio sobre el cual se impone la dinámica de seguimiento con las condiciones de tiempo de respuesta y máximo sobre impulso. Es a partir de este polinomio que se determina la respuesta dinámica por ser el polinomio dominante del denominador del modelo de referencia y por tanto los valores de los polinomios R S y T. Para la escogencia del grado del polinomio se puede tener en cuenta que al establecer un orden de el esfuerzo de control necesario es más grande que para , llegando incluso a sobrepasar los límites impuestos a la acción de control, un ya que con un se introducen una raíz adicional que pondera de forma más significativa a la señal del esfuerzo de control en el tiempo. Si estas raíces presentan parte real negativa, se pondrá de manifiesto un efecto campana en la salida del sistema y unas oscilaciones alternadas en la señal de la acción de control como se mostro en los casos 5a, 5b y 8 al optimizar el polinomio (sección 3.3.7), ya que este polinomio

CAPITULO 4. ANALISIS DE RESULTADOS Y DISCUSION

164

hace parte del denominador de la función de transferencia discreta de la acción de control con respecto a la entrada (junto con los ceros que se cancelan de la planta). Los casos del presente estudio donde se justifica verdaderamente la síntesis de reguladores RST son los casos de mayor orden (2, 6 y 7) y especialmente aquellos en los que fue posible cancelar ceros de la planta (6 y 7) que estuviesen en la región de desempeño, las plantas con tiempos muertos (casos 4 y 5) presentan un buen desempeño con disminución de la energía, pero la implicación más importante estriba en el orden de los polinomios y el numero de ecuaciones a solucionar, lo que hace compleja la síntesis. En los casos de orden menor, especialmente en el caso 1 (sistema de primer orden) por ejemplo se logro casi igual desempeño con controlador PID óptimo que con RST, se deja a apreciación del diseñador si para casos de este orden selecciona uno u otro camino de diseño de controladores, todo dependerá de la aplicación y la disposición para realizar la síntesis, teniendo en cuenta las observaciones anteriores.

165

CAPÍTULO

5

5 Conclusiones

Analizando la estructura, principio de operación, proceso de síntesis y desempeño comparativo de los reguladores RST aplicados a plantas en tiempo discreto, se obtuvieron las siguientes conclusiones como resultado del estudio realizado: Los reguladores RST son polinomios que van más allá de la estructura de control clásica PID, implementando una en la que se filtran de manera distinta las señales de la entrada (o referencia) y la salida (o variable de proceso) de los sistemas de control realimentado, para ofrecer respecto a controladores PID, un grado de libertad adicional a la síntesis10. La estructura RST tiene como ventaja el permitir en cierta medida, la ubicación de ceros y de polos de un modelo de referencia escogido por el diseñador, lo cual impone la dinámica del sistema en lazo cerrado, haciendo el diseño más sistemático. Conviene mencionar que los controladores PID clásicos (o de un grado de libertad) pueden considerarse como un caso particular de reguladores RST, en donde el es igual a , haciendo que la ponderación tanto para la entrada como polinomio para la salida sea la misma y el procedimiento de diseño sea similar al considerado en la sección 2.1.2.2 como método de asignación de polos. Cuando se desea implementar un controlador PID de dos grados de libertad, se adopta el mismo esquema funcional que ofrece el regulador RST (Figura 2.9) y se asigna un factor de peso del valor de la referencia [véase ALF09], el cual impone una diferencia entre la función de transferencia entre la entrada y la acción de control y la función de y transferencia entre la salida y la acción de control (en forma análoga respectivamente) para lograr especificar las dinámicas de seguimiento y regulación de forma independiente, pero conservando la estructura general PID (proporcional integral y derivativa).

10

Controladores PID de un grado de libertad o clásicos, ya que existen controladores PID de dos grados de libertad [ALF09], los cuales también pueden considerarse como casos particulares de reguladores RST.

CAPITULO 5 CONCLUSIONES

166

Con relación al modelo de referencia en los controladores RST, éste debe ser escogido de tal forma que garantice error de estado estacionario nulo, para entrada escalón, rampa o de cualquier tipo, ya que si esto no se cumple, no basta la adición de integradores para anular estos errores, a diferencia en general del caso PID. Tal comportamiento se debe al hecho de que en los controladores RST se cuenta con polinomios que filtran (ponderan) de manera distinta las señales de referencia y salida. Parte de lo mencionado en la sección anterior, sobre el dominio de la señal de respuesta dinámica del sistema tiene que ver con esto, ya que un buen desempeño se logra con una escogencia adecuada del modelo de referencia. En lo que respecta al modelo de la planta, éste juega un papel fundamental en la síntesis de reguladores RST, pues es el que hace parte de la ecuación diofantina para encontrar los polinomios y , evidencia los ceros que se van a cancelar y harán parte del (polinomio común de regulación) y también hace parte del numerador polinomio (polinomio de del modelo de referencia, mediante el cual se calcula el polinomio pre-compensación); no obstante, si existen errores de modelado que generen error de estado estacionario, ésto puede remediarse con la inserción apropiada de integradores en el polinomio . Con reguladores RST, ocurre un efecto oscilatorio presente en la señal de la acción de control vs. la entrada, cuando se intentan cancelar ceros con parte real negativa, o cuando el modelo de referencia tiene alguno de sus polos con parte real negativa. El denominado efecto campana producido por el denominador del modelo de referencia tiende a ser amortiguado rápidamente puesto que en un principio se estableció que los polos del modelo de referencia deben cumplir con especificaciones de amortiguamiento absoluto y relativo (Figura 2.14); mientras que el amortiguamiento del efecto campana debido a la cancelación de ceros negativos, depende directamente de la cercanía que tengan con el origen del círculo del plano z. Los integradores en la síntesis de reguladores RST, tienen el mismo efecto que tendrían en los controladores PID, salvo que la respuesta dinámica del sistema en lazo cerrado no cambia con la inserción de los mismos (resultan enmascarados en el modelo de referencia ya que si se aumenta el orden del integrador los órdenes de los polinomios R S y T aumentará el mismo número de veces), puesto que como se mencionó anteriormente, la respuesta dinámica dependerá sólo del modelo de referencia al que debe asemejarse el sistema de lazo cerrado con la presencia de los polinomios R, S y T. La metodología propuesta para el análisis comparativo, en principio busca dar los resultados de un diseño preliminar de reguladores RST frente a un diseño óptimo de control PID, para observar qué tantas posibilidades tienen estos reguladores de ofrecer desempeños óptimos como los que ofreció el control PID en cada uno de los casos y de qué manera podría ser conveniente la implementación de reguladores RST en las diferentes plantas. Se pudo encontrar que en la mayoría de los casos se presentó una disminución del máximo esfuerzo de control necesario para lograr estos desempeños, aun mas cuando se presentó alguna cancelación de ceros, esto muestra un potencial importante de los reguladores al utilizar menos energía máxima que la que requeriría un controlador PID óptimo. Esta particularidad se debe a la ubicación de raíces (polos del modelo de referencia y ceros que se cancelan de la planta), en la región de desempeño, lo que genera una disminución del esfuerzo de control en el tiempo debido a la multiplicación por valores menores que 1 y cercanos a 0 (de cierta forma).

CAPITULO 5 CONCLUSIONES

167

Para sistemas de orden bajo, la síntesis e implementación de reguladores RST, puede resultar conveniente en la medida en que se obtienen buenos resultados con limites de energía mas pequeños y se desee un comportamiento que pueda ser establecido con el modelo de referencia. Sin embargo, comparativamente con la simplicidad de los controladores de tipo PID, en estos casos la síntesis de reguladores RST puede resultar compleja para el diseñador o desgastante a nivel computacional, sobre todo en los casos donde los tiempos muertos, en el dominio discreto sugieren órdenes muy elevados. Las ventajas más evidentes se muestran en la síntesis de reguladores RST con cancelación de ceros, ya que se logra un buen desempeño, con un comportamiento deseado e impuesto por el modelo de referencia, y con un esfuerzo de control más pequeño, además de disminuir el orden de los polinomios y por ende las ecuaciones a resolver para hallarlos (dimensión de las matrices de Sylvester asociadas a las ecuaciones diofantinas 1 y 2).

5.1 Aportes Asimilando los conceptos encontrados en su mayoría en francés, básicamente del libro de Longchamp [LON06], e incorporándolos en el español, se aporta estudio en detalle del método de síntesis de reguladores RST, donde se contemplan las consideraciones iniciales para el diseño tales como el modelo de referencia que se desea implementar y las características que debe cumplir en principio, la obtención de los polinomios mediante ecuaciones diofantinas que pueden ser desarrolladas mediante divisiones algebraicas sucesivas o realizando métodos de solución de matrices. También se contemplan las consideraciones de la implementación física de reguladores RST tales como la implicación de trabajar con modelos matemáticos que distan del modelo real por imprecisiones en la discretización o el modelado, las observaciones sobre la necesidad de incorporar integradores para rechazar perturbaciones y para anular errores de estado estacionario en la implementación física del controlador. La implicación de la cancelación de ceros de la planta, donde se aclara cuáles son convenientes y cuáles no son convenientes para cancelar, a pesar de la ventaja que ofrece con respecto a la simplificación de las ecuaciones de obtención de los polinomios. El análisis comparativo de sistemas de seguimiento en 8 casos con dinámicas diferentes que pueden describir a la mayoría de los procesos comúnmente encontrados en literaturas, de cuyos resultados se muestra que mediante el desarrollo matemático de controladores polinomiales RST, pueden obtenerse desempeños comparables con los que se obtiene con controladores PID óptimos, al aplicarse conocimientos en álgebra, o se adopta la programación de los algoritmos en herramientas de software. El procedimiento propuesto para la optimización de los reguladores RST, en donde la , resulta más flexible para función objetivo que comprende las raíces del polinomio efectos de optimización que por ejemplo, intentar modificar los coeficientes de los polinomios R, S y T; en primer lugar porque se modifica un polinomio en lugar de tres; por otro lado, porque la cantidad de coeficientes que se van a modificar en el polinomio , varían de dos (en caso de ser de primer orden) a tres (en caso de ser de segundo orden), mientras que los órdenes de los polinomios R, S y T en ocasiones presentan ordenes elevados, lo que aumenta significativamente la cantidad de coeficientes a modificar. Por otro lado, al resultar pertinente escoger un polinomio adecuado, de forma tal que garantice unos requerimientos deseados y si esto se logra mediante algoritmos de optimización, el cálculo de los polinomios R S y T que lleven al sistema

CAPITULO 5 CONCLUSIONES

168

en lazo cerrado a comportarse como el modelo de referencia, se vuelve mecánico y genera unos polinomios que llevaran al sistema a comportarse de forma optima. El desarrollo de una herramienta computacional interactiva bajo ambiente Matlab que automatiza el cálculo de reguladores RST en plantas en tiempo discreto, cuyo manual se encuentra como anexo en el presente documento. En dicha herramienta se pueden ingresar los datos de la planta (modelo matemático den tiempo discreto), configurar los , la inserción o no de integradores y la cancelación o no parámetros del polinomio de ceros de la planta. También pueden visualizarse allí las respuestas en tiempo discreto ante entrada escalón o rampa y la respuesta ante perturbaciones del sistema. Igualmente puede modificarse en línea la ubicación de las raíces del polinomio de forma manual o mediante la optimización propuesta, donde se calculan nuevamente los polinomios RST y se visualiza en línea la respuesta temporal. La redacción en curso de dos artículos técnicos, uno para revista indexada nacional (por ejemplo Revista de Ingeniería de la Universidad Nacional de Colombia o Universidad de Antioquia) y el segundo para el Congreso Colombiano de Automática a realizarse en el mes de Octubre del presente (fecha límite de envío Abril 30 de 2011) orientados a: 1) Para Revista: Diseño y Análisis Comparativo de Desempeño de Controladores Polinomiales RST de Plantas Lineales 2) Para Congreso: Presentación de RSTool: Una Herramienta para la síntesis Automática de Controladores Polinomiales RST.

5.2 Trabajo futuro Una vez desarrollado el estudio de base sobre los métodos de síntesis y análisis comparativo de desempeño de controladores polinomiales RST, se generan diversas alternativas de trabajo futuro que podrían ampliar y dar continuidad al trabajo realizado. En primer lugar, se podría considerar el adoptar las herramientas de síntesis de reguladores RST dadas en el presente trabajo para complementar el sumario de resultados obtenidos con su aplicación en diferentes plantas en tiempo discreto que no están contemplados en el presente estudio. Por otro lado podría explorarse la implementación de reguladores RST a nivel industrial, teniendo en cuenta que estos algoritmos son susceptibles de ser ejecutados por dispositivos programables de control, teniendo en cuenta los aspectos de implementación física consideradas en la sección 2.2.2.7. Con esto se podría evaluar que tan eficientes son estos controladores en el ámbito físico real. Por otro lado se pueden implementar nuevos métodos que optimicen los polinomios RST, sin embargo habría que tener en cuenta, que es necesario que los polinomios y , que se encuentran dentro del polinomio no sean susceptibles de modificación, ya que podrían arruinar la capacidad de cancelación de ceros de la planta o de implementación de integradores. Por lo tanto se podría buscar la manera de , y . optimizar los polinomios El presente trabajo podría anidarse a uno de identificación para diseñar reguladores RST autoajustables de mayor desempeño, de esta forma con el registro de las variaciones que se puedan presentar en las dinámicas de los procesos y con ello en el modelo, se calculen de manera automática los polinomios RST, teniendo en cuenta que con una

CAPITULO 5 CONCLUSIONES

169

identificación de los sistemas de manera más precisa, se pueden obtener Reguladores RST que se adapten cada vez mejor a los procesos.

170

BIBLIOGRAFIA [LAN98] LANDAU I.D, The R-S-T Digital Controller Design and ApplicationsControl Engineering Practice vol. 6, 1998. pp 155-165 [LON06] LONGCHAMP Roland, Commande numérique de systèmes dynamiques, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, Suisse Ed 2, 2006 [LAN02] LANDAU, I.D, Robust R-S-T Digital Control and Open Loop System Identification. A Brief Review IEEE, Advanced Process Control, Workshop, Vancouver, 2002. http://www.dlnet.vt.edu/repository/previewRepository/EE000000/EE004000/EE 004006/DISK1/DLNET-09-12-20020292/resources/Distinguished%20lecturers/1000/Tutorial-2-Vancouver.pdf [ADA01] ADAPTECH, model identification and digital control http://www.adaptech.com/Ang/menu_a.html [ADA02] ADAPTECH, Guide d'intégration d'un régulateur RST sur cibles programmables. Régulations et Asservissements performants et robustes www.adaptech.com/Fra/Telechargement/download/guide%20RST.pdf [GIC01] GRUPO DE INVESTIGACIÓN EN CONTROL INDUSTRIAL GICI , Universidad Del Valle, Facultad De Ingeniería , Escuela de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, extension docente http://gici.univalle.edu.co/extension.html#Extensión%20Docente [AST08] ASTROM, K.J., HAGGLUND, T. Benchmark Systems for PID Controls. Department of Automatic Control University Lund Sweden. 2008 [4 noviembre 2009] [ROB10] Control de estabilización [en línea] QUAV [consulta 5 de febrero de 2010] [MAZ02] MAZONE V. Controladores PID. 2002 Universidad Nacional De Quilmes [consulta mar 2010] [DOR05]

DORF, E.C., sistemas de Control Moderno, (2005) cap 5.. pp 244-276

[ROU10] CURSO DE MATEMATICAS [consultado 12 ago 2010]

,

[LAN95] LANDAU ID., REY D., KARIMI A., VODA A.y FRANCO A., A Flexible Transmission system as a benchmark for Robust Digital Control, European journal of Control (1995),pp 77-26 www.epfl.ch/webdav/site/la/users/139973/public/EJC%20Benchmark/LRKVF9 5.pdf [GHA09 ] GHARSALLAOUI Hajer, AYADI Mounir, BENREJEB Mohamed, BORNE Pierre, Flatness-based Control and Conventional RST

171

Polynomial Control of a Thermal Process, Int. J. of Computers, Communications & Control, Vol. IV (2009), No. 1, pp. 41-56.< www.journal.univagora.ro/download/pdf/345.pdf> [CHE01] CHEN Chi-Tsong, Analog an Digital Control System Design,Capitulo 10 Implementation -linear Algebraic Method, Sounders College Publishing pags 385-400 [DWY06] DWYER A. Handbook of PI and PID Controller Tuning Rules (2 edicion ). (2006), cap 4, pp 154-258 [BEN06] BENNETT J., BHASIN A, GRANT J, CHUNG W. STEWARDS L: EDGE III A,, MIENTEL K, RAO R, SABA K. PID Tuning Via Classical Methods fecha: 10/19/2006 [consultado 20 mar 2010] [ALF09] ALFARO V. ARRIETA O. VILANOVA R. Control de Dos Grados de Libertad (2-GdL) aplicados al Benchmark de sistemas para controladores PID, Revista Iberoamericana de Automática e Informática Industrial RIAI, Vol 6, Num 2 Abril 2009, pp 59-67.< http://recyt.fecyt.es/index.php/RIAII/article/viewFile/5502/4685> [consultado octubre 2010] [VER00] Verdult.V. y M. Verhaegen (2000). Identification of multivariable linear parameter-varying systems based of subspace teqniques. In Proceedings of the 39 th IEEE Conference on Decision and Control. 2, 1567-1572 [FLO06] FLORES Antonio. Respuesta Dinámica de Sistemas Lineales de Primer Orden [Agosto 29, 2006] Universidad Iberoamericana-Santa Fe.

[CAR02] CARMONA Jean Claude, noise reduction in ventilation ducts, LSIS UMR CNRS 6168 Marselle, 2002. [LIT01] LITRICO Xavier, GEORGE Didier, TROUVAT Jean Luc, Modelling and Robust Control of a dam River System, database of irrigation canals France.

[ROD02] RODIRGUEZ PECHARROMAN Ramón, Control Digital, Universidad Pontificia de Comillas, Madrid, capitulo 7 diseño de reguladores digitales por síntesis de polinomios, 2002 [CAL05] CALVENTE Juan. Optimización de circuitos basaos en simulaciones con CADENCE desde el entorno MATLAB. Universidad de Sevilla, biblioteca de ingeniería, proyectos de fin de fin de carrera. Capitulo 5 , la función fmincon. 2005. capitulo 5 [UDS01] Apuntes De Control Distribuido 05-06 Depto. Ingeniería de Sistemas y Automática Universidad de Sevilla Tema 3 Sistemas dinámicos lineales de primer orden.

I

6 Anexo 6.1 Manual de Usuario de la herramienta RSTool El siguiente es un manual del usuario de la herramienta desarrollada RSTool, la cual automatiza el cálculo de los polinomios RST aplicados a plantas lineales en tiempo discreto. En dicha herramienta se pueden ingresar los datos (modelo) de la planta, , la inserción o no de integradores configurar los parámetros del polinomio deseado y la cancelación o no de ceros de la planta. También pueden visualizarse allí las respuestas en tiempo discreto ante entrada escalón o rampa y la respuesta ante perturbaciones (de tipo escalón o rampa) del sistema. Igualmente puede modificarse en línea la ubicación de las raíces del polinomio de forma manual o mediante la optimización propuesta, donde se calculan nuevamente los polinomios RST y se visualiza en línea la respuesta temporal.

A continuación se mostrará un esquema de funcionamiento de la herramienta, los requerimientos de software necesarios para que el programa pueda ejecutarse y finalmente, un ejemplo de cálculo de reguladores RST. Primeramente se presenta un esquema en el cual se definen cuatro módulos principales de funcionamiento de la herramienta, un primer modula de ENTRADA DE DATOS en el cual se establecieron cuatro entradas principales: Los datos de la PLANTA entre la que se determinan los CEROS que se quieren cancelar La selección de la REFERENCIA entre tipo ESCALÓN o tipo RAMPA Los coeficientes del POLINOMIO DESEADO El orden del integrador. El segundo módulo se refiere a los METODOS u operaciones que realiza la herramienta internamente para encontrar los polinomios RST El tercer módulo hace referencia a la parte de SIMULACION en la que se observan las respuestas temporales ante entrada escalón o rampa, de la variable de proceso o salida y de la acción de control. El cuarto modulo hace referencia a la posibilidad de ajustar el polinomio obtener desempeños más acordes a los deseados en la dinámica de seguimiento.

para

II

Entrada de datos

Planta

Ceros a cancelar

Tipo de entrada

Polinomio deseado

Orden del integrador

Rampa

Escalón

Métodos

Determinación de órdenes de polinomios

Resolución de ecuación diofantina 2 [ y ]

Resolución de ecuación diofantina 1 [ ]

Cálculo de



Simulación

Respuesta Escalón Acción de control

Respuesta Escalón Salida del sistema en lazo cerrado

Respuesta Rampa Acción de control

Ajuste del polinomio

Ajuste manual en el plano Z

Ajuste por optimización

Respuesta Rampa Salida del sistema en lazo cerrado

III

6.2

MÍNIMOS REQUERIMIENTOS DE SOFTWARE

Para ejecutar este GUI es necesario tener instalado MATLAB® 7 o superior. Para los procedimientos de cálculo de parámetros óptimos es necesario contar con el Toolbox de optimización (por la utilización de la función fmincon)

Requerimientos generales: Computador con un reloj de procesador de mínimo 750 MHz. Mínimo 256 Mega Bytes de memória RAM o superior. (Recomendado 1 Giba Byte). Mínimo una tarjeta de video de 128 Mega Bytes Súper VGA (1024 x 800). Unidad de CD-ROM (para la instalación desde CD). Teclado y ratón.

6.3

INSTRUCCIONES DE INSTALACION

Inserte el CD en su PC, extraiga los archivos de “RSTool.rar” en su carpeta de trabajo de MATLAB®, usualmente (C:\...\MATLAB\workspace). Para añadir el directorio del RST_Tool a Matlab® digite en la ventana de comandos: addpath(c:\...\MATLAB\workspace\RSTool\)

IV

6.4 EJEMPLOS En esta sección se mostrara un ejemplo del uso del toolbox RST para el análisis de una planta caracterizada en tiempo discreto. Suponga que desea hallar los polinomios R S y T que sirvan para controlar el sistema descrito por el siguiente proceso:

Para lo cual se plantea el siguiente polinomio dominante (el cual cumple con las segundos con especificaciones de que se deseen, para este caso se imponen ): un

Empezamos con la ejecución del toolbox digitando en la ventana de comandos de MATLAB® el comando RST, que mostrará la siguiente ventana del programa:

Una vez iniciado el toolbox, se procede con el PASO 1 en el cual se pide ingresar los datos; los datos de la planta en tiempo discreto se pueden cargar al software de dos formas, en forma manual o a través de variables cargadas en el espacio de trabajo o workspace.

V

1) Para cargar manualmente los datos se pueden seleccionar dos maneras, en el modulo de ENTRADA DE DATOS; de la forma numerador/denominador o de la forma ganancia, ceros, polos y se escriben como se muestra a continuación:

Por defecto se encuentra en la forma numerador/denominador. Cuando se han ingresado los datos se pulsa el botón ACEPTAR 2) Para usar las variables del workspaces deben tener unos nombres específicos como los son ‘numerador’ para el numerador de la planta de tiempo discreto, ‘denominador’ para el denominador, ‘tiempo_muestreo’ que es el tiempo de muestreo de la planta en segundos, ‘polinomio_deseado’ para el polinomio P(z) que determina la respuesta del sistema en lazo cerrado. Tanto el numerador, denominador y polinomio deseado son arreglos fila con los coeficientes de los polinomios. Para usar esta opción se pulsa en el RSTool ‘Archivo’ y luego ‘Importar datos’ y el software buscara las variables con las condiciones antes mencionadas (deben estar definidas todas las variables anteriormente mencionadas, de no ser así se generará un cuadro de error). Nuevamente se pulsa ACEPTAR Una vez se pulsa ACEPTAR, la planta se muestra en el modulo de RESULTADOS en la parte derecha de la ventana, de la siguiente forma:

VI

El PASO 2 consiste en ingresar el polinomio que puede hacerse como se menciono anteriormente mediante el espacio de trabajo, o también de forma manual:

Nuevamente se pulsa ACEPTAR. Nota. Existe un ejemplo pre-grabado que se puede cargar en el RSTool, para ello se pulsa ARCHIVO y luego ABRIR y en el menú se pulsa el archivo Ejemplo1/OK. En el PASO 3 se puede seleccionar la referencia o entrada de tipo escalón o de tipo rampa (se encuentra en tipo entrada escalón por defecto y normalizadas con ganancias de 1 voltio)

El PASO 4 consiste en la escogencia de ceros de la planta que se van a cancelar (si se desean cancelar ceros de la planta), para ello se pulsa la opción CON CANCELACION DE CEROS para que se visualicen los ceros de la planta (Nota: previamente se tiene que cargar la planta y pulsado el botón ACEPTAR del paso 1)

Allí se seleccionan los ceros de la planta que van a ser cancelados, para este caso escogimos los ceros con parte real positiva que están dentro del circulo unitario del plano Z.

VII

Luego de ello se selecciona (si se desea) la opción CON INTEGRADOR DE ORDEN y se digita el numero del orden (tipo o clase) del integrador que se incorporara en la síntesis del regulador RST. Para el presente ejemplo no se introducirán integradores porque el sistema que es CONDICIONALMENTE ESTABLE posee un integrador en su función de transferencia. Al pulsar el botón CALCULAR se pueden observar en el recuadro RESULTADOS la , el modelo de referencia y en el último recuadro los planta ingresada polinomios calculados R S y T

VIII

Si se desea observar la respuesta temporal del sistema controlado con RST se pulsa el botón SIMULAR, allí se abrirá una ventana como la siguiente:

Se presenta en primer lugar un plano Z con la posición de los polos dominantes del modelo de referencia (raíces del polinomio deseado P en rojo) y en azul las Raíces del , y cuatro graficas de comportamiento del sistema. Las polinomio observador graficas de la primera columna muestran el comportamiento frente a una entrada tipo escalón, la segunda columna el comportamiento frente a una entrada rampa. En cuanto a las filas, la primera muestra el comportamiento de la salida del sistema y la segunda fila el comportamiento de la acción de control. En la parte inferior izquierda de la ventana se muestran los valores de ITAE, ITAU y el tiempo de evaluación para el cálculo de estos índices. Existen dos formas de ajuste de las raíces del polinomio para lograr un mejor desempeño del sistema en lazo cerrado, con este ajuste se calculan nuevos polinomios R S y T. 1) La primera forma de ajuste consiste en mover las raíces del polinomio P manualmente en el plano Z, lo que irá modificando en línea tanto las respuestas temporales como los valores de los polinomios R S y T y los índices de desempeño, para permitirle al usuario verificar los desempeños con estos ajustes

IX

Si se desea restaurar los valores iniciales,se pulsa el boton ARCHIVO en la opcion RECARGAR. Para visualizar los polinomios RST se pulsa el boton VER en la opción POLINOMIOS RST, donde se abrira el siguiente cuadro

X

2) La segunda forma consiste en seleccionar en la ventana la opción AJUSTAR POLINOMIO POR OPTIMIZACION en la pestaña de TIPO DE AJUSTE. De esta forma la ventana pasara a tener la siguiente forma:

Vemos que ha desaparecido el plano Z y se ha abierto una zona de ingreso de datos, donde se ingresara en primer lugar el TIEMPO de evaluación de la señal para la optimización en segundos, luego el valor de la RESTRICCION de máximo esfuerzo de control y el valor de ALPHA es la ponderación en porcentaje, de los índices de desempeño ITAE e ITAU para conformar el índice de comportamiento J que es: J = alpha*ITAE + (1 - alpha)*ITAU Una vez se realiza esta configuración, se pulsa el botón OPTIMIZAR el cual generara el nuevo polinomio P optimo, y con él se calcularan los nuevos polinomios RST y se observaran las respuestas temporales producidas por el proceso de optimización. Para el presente ejemplo se establecerá un TIEMPO de evaluación de 25 segundos, con una RESTRICCION de 10 voltios, y un ALPHA de 90% y se obtienen los siguientes resultados:

XI

Allí se visualizara de nuevo el plano Z con la ubicación de las raíces optimizadas del polinomio P, así como los nuevos valores de los índices ITAE e ITAU, y la conformación del polinomio con estas raíces óptimas. A su vez se observan las respuestas temporales después de optimizar los polinomios. Los polinomios RST generados son:

Para observar con más detalle alguna de las graficas se puede pulsar el respectivo botón ZOOM que generará ventana nueva con más opciones de trabajo sobre las señales. Para visualizar las respuestas ante perturbaciones de tipo escalón o rampa, basta con pulsar alguno de los botones (PERTURBACION DE TIPO ESCALON ó PERTURBACION DE TIPO RAMPA) en la parte inferior de la ventana. Podemos las observar que al ajustar manualmente la ubicación de la raíz del polinomio respuestas ante perturbaciones también se modifica.

XII

Esta fue una descripción general de uso de la herramienta RSTool, la cual ayudara al usuario en el cálculo de reguladores RST de implementación estándar, para plantas de ordenes diferentes y con la posibilidad de configurar el algoritmo de síntesis del regulador RST que se considere más apropiado (SIN Y CON INTEGRADOR, SIN Y CON CANCELACION DE CEROS DE LA PLANTA) además de poder ajustar de dos ), para obtener formas distintas al polinomio dominante del modelo de referencia ( una dinámica de seguimiento que se adapte mas a la necesidades del usuario.