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L3: PÉNDULO SIMPLE Y PÉNDULO REVERSIBLE- M LABORATORIO DE FÍSICA III INFORME

Presentado a: CRISTIAN ACEVEDO

Presentado por: GERSON ARLEY MORENO PINTO- 2142791. JULIÁN ANDRÉS CARREÑO PORRAS- 2132418. PAULA MERCEDES PADILLA AZAÍN- 2132453.

GRUPO: B1A SUBGRUPO: 01

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE FÍSICA BUCARAMANGA 28 DE JULIO DE 2016

INTRODUCCIÓN

El péndulo de Kater tiene una ventaja con respecto a otros métodos gravimétricos de tipo pendular (péndulo matemático, péndulo simple), se basa en que para la medida de la aceleración de la gravedad “g”, no es necesario determinar ni el centro de gravedad ni el centro de oscilación del péndulo. La práctica se basa en la comparación de métodos como el péndulo de Kater y el péndulo matemático a la hora de hallar el valor de la aceleración de la gravedad.

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL Estudiar y analizar el movimiento de un péndulo simple y de un péndulo reversible de Katar como ejemplos de movimiento armónico simple; con el fin de determinar, de manera experimental, la aceleración de la gravedad del periodo de oscilación. OBJETIVOS ESPECÍFICOS  Comprobar que, para un péndulo simple, el periodo de oscilación depende de la longitud “L” del péndulo y de aceleración de la gravedad para pequeños ángulos de oscilación.  Determinar el valor de la longitud reducida del péndulo reversible o compuesto, es decir, la distancia comprendida entre sus dos ejes de oscilación; además de efectuar la comprensión de su definición.  Comparar los valores de la aceleración de la gravedad otorgados por el análisis del péndulo simple y reversible con el valor generalmente aceptado, determinando después de ello, las posibles fuentes de error.

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1. MARCO TEÓRICO

1) ECUACIONES DEL M.A.S  Posición: La posición de una partícula que sigue un movimiento armónico simple (M.A.S), también denominada elongación, viene determinada por la distancia x a la posición de equilibrio. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el metro (m). Se trata de una función sinusoidal (seno o coseno), que depende del tiempo x = f(t). X(t) =A⋅sin(ω⋅t+φ 0 ) Donde X(t) es posición respecto al tiempo, A es amplitud, W, frecuencia angular y φ0 su ángulo de fase.  Velocidad: La velocidad instantánea determina la variación de posición que tiene el cuerpo en cada instante de tiempo t. Se define como la derivada de la posición respecto al tiempo. v=dx/dt Para obtener la expresión de la velocidad hemos de tener en cuenta que dependerá de si expresamos la posición como seno o como coseno. V(t) = −A⋅ω⋅sin(ω⋅t+φ'0)  Aceleración: La aceleración instantánea determina la variación de velocidad que tiene el cuerpo en cada instante de tiempo t. Se define como la derivada de la velocidad respecto al tiempo. a=dv/dt a(t) = −A⋅ω2⋅cos(ω⋅t+φ'0) 2) PÉNDULO MATEMÁTICO Es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría. El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse. Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo θ sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del senθ será muy próximo al valor de θ expresado en radianes (senθ ≈ θ, para θ suficientemente pequeño), y la ecuación ________________________________________________________________________________ 3

diferencial del movimiento se reduce a una que es idéntica a la ecuación diferenc ia l correspondiente al M.A.S, refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo cuya ecuación es: 𝐿 𝑇 = 2𝜋√ [1] 𝑔 Levando al cuadrado la expresión anterior, se obtiene: 𝑇2 =

4𝜇2 𝐿 𝑔

[2]

Figura 1: Péndulo simple en movimiento armónico simple con oscilaciones pequeñas. Fuente: El péndulo simple. Universidad Autónoma de Madrid, Laboratorio de Física general. (2005)

3) PÉNDULO REVERSIBLE Existen varias realizaciones del “péndulo reversible”, inventado por Henry Kater en 1815. Todos ellos se basan en un péndulo físico (típicamente una barra) que puede oscilar alrededor de cualquiera de dos puntos de suspensión O y O’, como se ilustra esquemáticame nte en la Figura 1. Lo que se busca es una distribución de masa para la cual los períodos de oscilación respecto de los puntos de suspensión O y O ‘sean iguales. Esto se consigue ajustando la posición de las masas M1 y M2, lo que cambia el momento de inercia del péndulo respecto al eje de giro. Una posible realización de este péndulo se muestra esquemáticamente en la parte derecha de la figura 2.

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Figura 2: Péndulo reversible de Kater. Este péndulo puede oscilar de cualquiera de los puntos de suspensión O y O’. Consta de dos masas de posición variables. La primera permite una variación gruesa de la distribución de masas y por ende de los períodos respecto de O y O’. La segunda masa (la menor) sirve para realizar un ajuste fino de los períodos. Fuente: El péndulo de Kater. Disponible en: http://gimli.etsit.upm.es/.

El péndulo de Kater (péndulo reversible), es un tipo de péndulo físico o compuesto donde el periodo se define como: 𝐼 𝑇 = 2𝜋√ 0 [3] 𝑀𝑔ℎ Donde: M, es la masa total del péndulo; I0, es el momento de inercia respecto al eje de giro; g, es la aceleración de la gravedad y h, la distancia del centro de oscilación al centro de gravedad. (Figura 3).

Figura 3: Péndulo de Kater, representación de la distancia “h” del centro de oscilación al centro de gravedad. Fuente: Fuente: El péndulo de Kater. Disponible en: http://gimli.etsit.upm.es/. ________________________________________________________________________________ 5

Por el teorema de Steiner sabemos que: 𝐼0 = 𝐼𝐺 + 𝑀ℎ2 [4] Donde IG es el momento de inercia respecto a un eje paralelo al eje de giro, que pasa por el centro de masas: 𝐼𝐺 = 𝑀𝑘 2 [5] Y k, es el radio de giro de la barra alrededor del centro de gravedad. Sustituyendo I0 en la expresión del periodo [3], y con ayuda de las dos expresiones anteriores, obtenemos: 𝑘 2 + ℎ2 [ 6] 𝑇 = 2𝜋√ 𝑔ℎ Si comparamos ésta expresión con la del periodo de un péndulo simple: 𝐿 𝑇 = 2𝜋√ 𝑔 El periodo del péndulo compuesto sería igual al de un péndulo simple de longitud:

𝐿=

𝑘 2 + ℎ2 𝐼0 = ℎ 𝑀ℎ

[7]

Y, por tanto, ésta longitud se llama “longitud del péndulo simple equivalente”. Ésta última ecuación puede escribirse: ℎ2 − ℎ𝐿 + 𝑘 2 = 0 [8] Y resuelta proporciona dos valores de h: h1 y h2, para los cuales el sistema tiene periodos iguales de oscilación. Los valores de h, soluciones de la ecuación de segundo grado, deben verificar: ℎ1 + ℎ2 = 𝐿 [9] experimento tiene por objeto encontrar dos posiciones O y O' a un lado y otro del c. de g. de la barra para los cuales el péndulo oscile con el mismo periodo, T0 (Figura 4).

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La distancia entre O y G es h1 y entre O' y G es h2; por tanto, la distancia OO' es la suma de h1 y h2 que es “la longitud L del péndulo simple equivalente”. Conocida L podremos calcular el valor de la aceleración de la gravedad.

Figura 4: Péndulo de Kater. Fuente: Fuente: El péndulo de Kater. Disponible en: http://gimli.etsit.upm.es/.

2. RESULTADOS Y ANÁLISIS PÉNDULO SIMPLE 1. Complete la tabla 1. L[cm] 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

t [s] 41,08 38,68 36,17 33,62 31,21 28,22 25,20 21,96 18,055 13,10

T[s] 2,054 1,934 1,809 1,681 1,560 1,411 1,260 1,098 0,903 0,655

T2 [s2 ] 4,219 3,740 3,271 2,827 2,435 1,991 1,588 1,206 0,815 0,429

Tabla 1: Longitud del péndulo simple en función del tiempo para 20 oscilaciones. ________________________________________________________________________________ 7

2. Represente gráficamente T2 (ordenada) frente a L (abscisa).

Gráfica 1: L (m) vs T2 (s) 4,5 4 3,5

T2 (s)

3 2,5 2

1,5 1 0,5 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

L (m)

Gráfica 1: Representación del cuadrado del periodo de oscilación, en s 2 en función de la longitud del péndulo, en metros. Fuente: Autores.

3. Obtenga por el método de mínimos cuadrados el valor de la pendiente y de la ordenada en el origen de la recta que mejor se ajusta a los puntos representados en la gráfica anterior. A partir del método de mínimos cuadrados se obtiene que el valor de la pendiente y el valor de la intersección con la variable dependiente de la recta, se calcula por medio del número de datos tomados (n), de la sumatoria del producto entre los datos de la variable “x” y “y”, el cuadrado de los datos de la variable independiente y de las sumatorias de datos, tanto de la variable dependiente y de la independiente. Se tomará el cuadrado del periodo de oscilación como función de la longitud del péndulo. Valor de la pendiente 𝑚=

(10 ∗ 15,8401) − (5,5 ∗ 22,521) 𝑛 ∑ 𝑥𝑦 − ∑ 𝑥 ∑ 𝑦 ; 𝑚 = ; 𝑚 = 4,1861 2 (10 ∗ 3,85) − (5,5)2 𝑛 ∑ 𝑥 2 − (∑ 𝑥)

Valor de la ordenada en el origen de la recta

𝑏=

∑ 𝑦 ∑ 𝑥 2 − ∑ 𝑥 ∑ 𝑥𝑦 𝑛 ∑ 𝑥 2 − (∑ 𝑥)2

;𝑏 =

(22,521 ∗ 3,85) − (5,5 ∗ 15,8401) ; 𝑏 = −0,0503 (10 ∗ 3,85) − (5,5)2

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4. Trace sobre el gráfico la recta de regresión obtenida.

Gráfica 2: L (m) vs T2 (s) 4,5 y = 4,1861x - 0,0503

4

3,5

T2 (s)

3 2,5

2 1,5 1 0,5

0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

L (m)

Gráfica 2: Representación del cuadrado del periodo de oscilación, en s 2 en función de la longitud del péndulo, en metros junto a su línea de tendencia y la ecuación de la recta. Fuente: Autores.

5. Determine el valor de g a partir del valor de la pendiente obtenida. Compare con el valor aceptado g=9,8 m/s2 . Justifique diferencia. El valor de la pendiente obtenida es de 4,1861 y se calcula la aceleración de gravedad utilizando siguiente fórmula: 𝑇2 = 𝑔=

4𝜋 2 4𝜋 2 ∗ 𝐿; 4,1861 = 𝑔 𝑔 4𝜋 2 = 9,431 𝑚⁄ 2 𝑠 4,1861

%𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 =

9,431 − 9,8 = 3,77% 9,8

Este valor se debe a las distintas causas de error que pudieron haber afectado la práctica de laboratorio, se puso a oscilar el sistema con ángulos mayores a 10° y las fórmulas utilizadas para la determinación de g se basa en oscilaciones pequeñas, falta de precisión al momento de tomar el tiempo de las 20 oscilaciones y por consiguiente el periodo. ________________________________________________________________________________ 9

PÉNDULO REVERSIBLE 1. Llene la tabla 2 con los datos y cálculos indicados. X2 [cm] 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

nT1[s] 19,97 20,49 19,25 19,49 19,02 19,32 19,58 19,22 19,73 19,87 19,84 20,36 20,4 20,92

20,07 20,24 19,43 19,82 19,32 19,38 19,54 19,22 19,76 19,84 19,78 20,39 20,4 20,92

T12 [s2 ] 4,008 4,147 3,742 3,863 3,675 3,744 3,826 3,694 3,899 3,942 3,918 4,151 4,162 4,376

T1prom 2,002 2,036 1,934 1,965 1,917 1,935 1,956 1,922 1,975 1,985 1,979 2,037 2,040 2,092

nT2[s] 19,72 20,31 19,58 19,62 19,58 19,64 20,03 19,92 19,91 19,74 20,04 20,5 20,41 20,42

T22 [s2 ] 3,944 4,094 3,996 3,94 3,903 3,863 4,018 3,954 3,954 3,904 4,024 4,196 4,151 4,18

T2prom 1,986 2,023 1,999 1,985 1,976 1,965 2,004 1,988 1,988 1,976 2,006 2,048 2,037 2,045

20 20,16 20,4 20,08 19,93 19,67 20,06 19,85 19,85 19,77 20,07 20,45 20,34 20,47

Tabla 2: Péndulo reversible. Períodos de oscilación T 1 y T2 alrededor de los bordes H 1 y H2, respectivamente, como función de la distancia x 2 entre la masa m2 y el borde H1 para 10 oscilaciones.

2. Trace en una misma gráfica T1 2 y T2 2 como funciones de X2 . Utilice papel milimetrado y escalas apropiadas. Gráfica 3: X2 (m) vs T12, T22 (s) 4,5 4,4

4,376

T1 2 , T2 2 (s)

4,3 y = 1,7179x2 - 1,527x + 4,267

4,2 4,147 4,094

4,1 4

4,008 3,944

3,9

4,018

3,996 3,94

3,903

3,863

3,863

3,8 3,7

4,024 3,954 3,954 3,942 3,899 3,904 3,918

3,826 y = 4,2948x2 - 4,0399x + 4,7018

3,744

3,742

4,196 4,18 4,151 4,162 4,151

3,694

3,675

3,6 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

X2 (m) Gráfica 3: Representación del cuadrado de los periodos de oscilación T 1 2 y T2 2 , en s2 en función de X2, en m. Fuente: Autores.

________________________________________________________________________________ 10

0,9

3. Analice las dos curvas obtenidas. ¿En qué punto o puntos se interceptan? Igualamos las ecuaciones que describen las dos curvas y obtenemos las raíces del polinomio, las cuales son los puntos de intercepción. y = 1,7179x2 - 1,527x + 4,267 y = 4,2948x2 - 4,0399x + 4,7018 1,7179x2 - 1,527x + 4,267 = 4,2948x2 - 4,0399x + 4,7018 Punto1= (0,225; 4,01) Punto2= (0,754; 4,09) 4. Con el valor Tprom2 obtenido de las curvas y la ecuación, halle: 𝑔=

4𝜋 2 𝑑 𝑇𝑝𝑟𝑜𝑚 2

Ecuación 1: X2 (m) vs T2 2 (s) 1,717𝑥 2 − 1,527𝑥 + 4,267 Ecuación 2: X2 (m) vs T1 2 (s) 4,2948𝑥 2 − 4,0399𝑥 + 4,7018

Si se iguala la ecuación 1 y la ecuación 2, se obtiene que: −2,5778𝑥 2 + 2,5129𝑥 − 0,4348 = 0 De la ecuación anterior se halla los puntos críticos, de ese modo, se obtiene: 𝑥 1 = 0,2248951807 𝑥 2 = 0,7502309349 Al reemplazar x1 y x2 en las ecuaciones 1 y 2, respectivamente, encontramos dos valores que representan el cuadrado del periodo de oscilación: 𝑇1 2 = 4,010427214 (𝑠) 𝑇2 2 = 4,088255004 (𝑠) El promedio de éstos dos valores se calcula como: 𝑇𝑝𝑟𝑜𝑚 2 = 4,049341109 (𝑠) Al sustituir el anterior valor de periodo de oscilació n promedio, en la ecuación proporcionada por el enunciado del literal 4 de la práctica guía, donde d representa la distancia entre los bordes como un valor de 0,994 (m), se obtiene el valor de la aceleración de la gravedad. ________________________________________________________________________________ 11

El dato calculado es: 𝑔 = 9,652 (𝑚/𝑠 2 ). 5. Calcule la aceleración de la gravedad en el lugar de la experiencia a partir de la expresión de la fórmula de Bessel y los valores de T1 2 y T2 2 obtenidos de los puntos de intersecció n de las curvas. 𝑔 = 8𝜋 2

(ℎ1 + ℎ2) (𝑇1 2 + 𝑇2 2 )

Sea h1 y h2 los puntos críticos x1 y x2 respectivamente, de la ecuación: −2,5778𝑥 2 + 2,5129𝑥 − 0,4348, enunciada en el literal anterior. Así, h1= 0,2248951807 y h2= 0,7502309349. De ese modo se tiene que el valor de la aceleración de la gravedad se calcula como: 𝑔 = 8𝜋 2

(0,2248951807 + 0,7502309349) (4,010427214 + 4,088255004) 𝑔 = 9,507 (𝑚/𝑠 2 ).

6. Compare el valor de g obtenido por los dos métodos con el valor generalmente aceptado (g= 9,81m/s2 ). %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 =

|𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 | ∗ 100 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜

Método 1 𝑔 = 9,652 (𝑚/𝑠 2 ) %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 =

|9,810 − 9,652| ∗ 100 9,810

%𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 1,61% Método 2 𝑔 = 9,507(𝑚/𝑠 2 ) %𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 =

|9,810 − 9,507| ∗ 100 9,810

%𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 3,09% 7. Indique las posibles fuentes de error.  La medida del tiempo con el cronómetro, no se puede marcar el tiempo exacto de las oscilaciones.  La fuerza del viento que produce una fuerza de fricción en esta práctica.  La distancia medida entre las masas puede tener cierto rango de exactitud. ________________________________________________________________________________ 12

8. Defina el concepto de radio de giro. El radio de giro describe la forma en la cual el área transversal o una distribución de masa se distribuye alrededor de su eje centroidal. Se define como la distancia desde el eje de giro hasta un punto en donde se puede suponer que se concentra toda la masa del cuerpo, de manera que el momento de inercia permanezca invariable. 𝐼 = 𝑚𝐾 2 Donde I es la inercia, m es la masa del cuerpo y K, el radio de giro; así: 𝐼 𝐾=√ 𝑚 9. Demuestre que el valor mínimo de la función T= f(h) se presenta cuando h=K. Cuando se deriva una función y se iguala a cero, se dice que esta función es un máximo o un mínimo; en éste caso, obtendremos que:

ℎ2 + 𝑘 2 𝑇 = 2𝜋√ 𝑔ℎ 𝑑𝑇 = 𝑑ℎ

2𝜋

𝑑𝑇 = 𝑑ℎ

2ℎ(𝑔ℎ) − (ℎ2 + 𝐾 2 )𝑔 𝑔 2 ℎ2 2

𝜋

√ℎ2 + 𝐾 2 √𝑔ℎ

2𝑔ℎ2 − 𝑔ℎ2 − 𝑔𝐾 2 𝑔 2 ℎ2 √ℎ2 + 𝐾 2 √𝑔ℎ

ℎ2 − 𝐾 2 𝑑𝑇 ℎ2 = 𝑑ℎ √ℎ2 + 𝐾 2 √𝑔ℎ 𝜋

𝑑𝑇 𝜋 √𝑔ℎ(ℎ2 − 𝐾 2 ) = =0 𝑑ℎ ℎ2 ∗ √ℎ2 + 𝐾 2 𝜋√𝑔ℎ ∗ ℎ2 − 𝜋√𝑔ℎ ∗ 𝐾 2 = 0 ________________________________________________________________________________ 13

𝜋√𝑔ℎ ∗ ℎ2 = 𝜋√𝑔ℎ ∗ 𝐾 2 ℎ2 = 𝐾 2 ℎ = 𝐾; 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜. 10. ¿Qué se entiende por longitud reducida del péndulo compuesto? Se entiende como la distancia entre sus dos ejes de oscilación, un péndulo simple cuyo periodo sea igual al de un péndulo compuesto recibe el nombre de péndulo simple equivalente y su longitud reducida del péndulo compuesto. 11. ¿Qué interés práctico presenta el péndulo de Kater? PÉNDULO DE KATER

Figura 5: Péndulo de Kater. Fuente: Péndulo reversible de Kater. S. Gil y E. Rodríguez. Física recreativa.

La principal ventaja de este péndulo, para medir la gravedad, comparada con la de un péndulo físico de la época es que no era necesario conocer previamente a su medida el centro de masas del mismo. Bastaba con encontrar para qué disposición de las masas desplazables, los períodos de oscilación en ambas cuchillas se igualaban aproximadamente. Hoy en día la medición de la gravedad sobre la superficie de la tierra se realiza por medio de acelerómetros absolutos o de caída libre de una masa testigo y relativos o de muelle metálico que hacen oscilar una masa. ________________________________________________________________________________ 14

12. ¿Por qué una de las masas del péndulo de Kater debe ser considerablemente mayor que la otra? La importancia de tener la diferencia de masas es asegurar que el centro de masa se encuentre localizando en la mitad de los dos pivotes. La función de la masa mayor es descentralizar los centros de masa del péndulo con relación a cada uno de los ejes de giro; así, las distancias entre el borde y centro de masa de cada caso serán significativamente distintos, obteniendo una mejor aproximación al valor de la aceleración de la gravedad. 3. OBSERVACIONES

 En el momento de poner a oscilar los péndulos, la amplitud inicial la tomamos “a ojo”, es decir, no tenemos una medida exacta de la amplitud inicial de los péndulos, cosa que interviene en los resultados y respectivos cálculos.  Cuando el péndulo simple se hace oscilar el movimiento en ocasiones no se hizo en dos dimensiones, sino por cuestiones que se salen de las manos, el péndulo tenia movimie nto de izquierda a derecha y en contadas ocasiones de atrás hacia adelante, movimiento que influye negativamente en la toma del tiempo y los cálculos que se hacen con él.  La toma del tiempo se realizó manualmente, por ende, el tiempo tiene un error manual cometido por las personas que lo tomaban y otro error que es el error propio del cronómetro.

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4. CONCLUSIONES

 El período de un péndulo sólo depende de la longitud de la cuerda y el valor de la gravedad, que en este caso es una constante. Debido a que el período es independiente de la masa, se concluye que todos los péndulos simples que tengan igual longitud, en el mismo sitio oscilan con períodos iguales.  La longitud de la cuerda de un péndulo simple es directamente proporcional a su periodo de oscilación, es decir, entre más grande sea la longitud, más grande va a ser el periodo del movimiento, esto se concluye a partir del análisis de la gráfica 2, (T2 vs L), donde T está dado en s2 y L en metros. Así, se cumple la ecuación respectiva al péndulo simple que nos dice que el periodo es igual al producto de 2𝜋 por la raíz de la longitud sobre el valor de la aceleración de la gravedad.  En la práctica del péndulo reversible, se concluye que, el periodo T de oscilación, representa una relación inversamente proporcional a la distancia del centro de masa al eje en el cual está suspendido, hasta cierto punto donde T muestra una relación proporcional a esta distancia. Se puede observar este comportamiento en la gráfica 3, pues ésta se comporta de forma parabólica.  Al obtener el valor de la aceleración de la gravedad mediante los dos métodos utilizados en la práctica experimental, se puede establecer cierto grado de desfase entre cada uno de ellos al ser comparados con el valor de la gravedad generalmente aceptado; esto debido a que no es ajeno encontrar errores en la toma de datos durante el desarrollo de cada prueba; ellos, son consecuencia de la falta de exactitud. Por ejemplo, en el momento de hacer oscilar el péndulo, no se pudo establecer de forma clara que los ángulos de oscilación hayan sido menores a 10°, al no serlo, los datos serán propensos a equivocación, por otro lado, en el momento de toma de distancias, es apropiado nombrar errores de paralaje que claramente influyeron en la toma de datos erróneos.

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BIBLIOGRAFÍA

 ALONSO M., FINN E. Física. Volumen I. Ed. Fondo Educativo Interamericano.  RESNICK R., HALLIDAY D. Física, Parte I. Compañía Editorial Continental S.A.  S. GIL., E. RODRÍGUEZ. Péndulo Reversible de Kater. Física Recreativa. Disponib le en: . Consulta: 26 de junio de 2016.  El Péndulo Simple. (2005). Laboratorio de Física Genera- Primer curso (Mecánica). Universidad Autónoma de Madrid. Disponible en: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/rdelgado/docencia/FISICA_ITI/PRACTICA S/Pendulo-Simp.pdf>. Consulta: 26 de junio de 2016.  Péndulo de Kater. Disponible en: . Consulta: 25 de junio de 2016.  BARCO H., ROJAS E. (1996). Física general para estudiantes de Ingenier íaOscilaciones y Movimiento Ondulatorio. Faculta de Ciencias y Administrac ió n; Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales. Disponible en: Consulta: 28 de junio de 2016.

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ANEXO

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