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• Aldo Luis Carnero Soria

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UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA

TEMA: SOLUCIONARIO DEL EXAMEN PARCIAL CURSO: ANÁLISIS ESTRUCTURAL I DOCENTE: ING. DOMINGUEZ MAGINO, MAURO ANTONIO ALUMNO: CARNERO SORIA, Aldo Luis

EXAMEN PARCIAL

PROBLEMA Nº 01

Para los sistemas mostrados se desea determinar

Solución: PASAMOS LOS DATOS A TONELADAS Y METROS Definimos las características principales de nuestro material. E = 2.2 × 106 tn /𝑚2 Asumimos las siguientes dimensiones para nuestra viga. A = 0.15 𝑚2 I=

0.30×0.503 12

=3.125× 10−3 𝑚4

Tenemos los datos suficientes para calcular AD ,

PASO 1.PASO 01

D1

D2

D3

D4

A

B

C

D

8m

5m

7m

10m

1.5

PASO 2.Para la figura A Y B no hay cargas . AD =

0 0 0 0

Sabemos que AD = ADS + 𝐾 D Ahora calcularemos ADS : ADS = ADL + ADR + ADT + ADP

PASO 3.*Cálculo de {𝐴DL}, se dará por la deformación de cargas siguientes. 1.- Para la FIG. (A), empotrando cada tramo de la viga y calculando la deformación debido al momento de 8 ton – m.

2.- Para la FIG. (B) empotrando cada tramo de la viga y calculando la deformación debido a la carga de 10 ton.

**Cálculo de {ADR }, esto se dará por los asentamientos. 1.- Para la FIG (A), empotrando cada tramo de la viga y calculando la deformación debido al asentamiento en B Y C de 1 cm.

Por Slope deflexión (en toneladas y metros). 0.30×0.503 I= =3.125× 12 E = 2.2 × 106 tn /𝑚2

10−3 𝑚4

𝐴 𝐷𝑅1

𝐴DR =

𝐴 𝐷𝑅2 𝐴 𝐷𝑅3 𝐴 𝐷𝑅4

=

−6.445 12.891 12.891 −6.445

2.- Para la FIG (B), empotrando cada tramo de la viga y calculando la deformación debido al asentamiento en B Y C de 1.5 cm.

ICD= I, E, ΔAB = 0.015m 𝐴 𝐷𝑅4 = -

6EI ΔDC L2

6(2.2 × 106 )(3.125× 10−3 ) (0.015) = = (8)2

𝐴DR

𝐴 𝐷𝑅1 𝐴 𝐷𝑅2 = = 𝐴 𝐷𝑅3 𝐴 𝐷𝑅4

-9.668

−9.668 19.336 19.336 −9.668

***Cálculo de {ADT }, esto se dará por los cambios de temperatura. 1.- Para la FIG (A), empotrando cada tramo de la viga y calculando la deformación debido al cambio de temperatura.

A

B

D

C

ADT1

ADT4

T3° T2°

T1° T2° ADT2

8m

ADT3

5m

7m 1.5

a = 𝟏𝟎−𝟓/°C, d= L/10 𝑻𝟏 °= 20 °C 𝑻𝟐 °= 50 °C 𝑻𝟑 °= 70 °C

10m

2.- Para la FIG (B), empotrando cada tramo de la viga y calculando la deformación debido al cambio de temperatura. A

B

D

C

ADT4

ADT1

T1° T3°

T2° T3° ADT2

8m

ADT3

5m

7m 1.5

10m

PASO 4.Cálculo de K se aplicará un desplazamiento unitario en los grados de libertad. Para ambos casos será el mismo.

Para D1= 1, Di≠1 = 0

IAB =I

,

E

S11 =

4 2.2 × 106 3.125× 10−3 ×1 4EIѲ = = L 8

S21 =

2EIѲ L

=

2 2.2 × 106 3.125× 10−3 ×1

S_31= 0 S_41= 0

Para D2= 1, Di≠2 = 0

8

3437.5

= 1718.75

Para D3= 1, 𝐷i≠3 = 0

Para D4= 1, 𝐷i≠4 = 0

Armamos la matriz de rigidez. 𝐾 = 3437.5 1718.75 0 0 1718.75 6875 1718.75 0 0 1718.75 6187.5 1375 0 0 1375 2750

PASO 5.Cálculo de D se aplicara un desplazamiento unitario en los grados de libertad. Para ambos casos será el mismo. Sabemos que AD = ADS + 𝐾 D =,𝐾-−1 (*𝐴𝐷 +- 𝐴𝐷𝑆 )

- Para la FIG (A),

D

.- Para la FIG (B),

PASO 6.Fuerzas en la barras. Cálculo de ,AM -se aplicará un desplazamiento unitario en todos los grados de libertad para cada una de las barras.

1.- Para la FIG (A) TRAMO AB IAB = I D1 =1

m1

A

m2

1

D2 =1

4EI L

2EI L

2EI L

4EI L

A

B

A

B

B D3 =1

8m

D4 =1

0

0

0

0

A

B

A

B

AM = AML + AMD D

0 m1 = + 0 m2

4𝐸𝐼 𝐿 2𝐸𝐼 𝐿

2𝐸𝐼 𝐿 4𝐸𝐼 𝐿

0 0 0 0

2.204 × 10−3 −1.658 × 10−3 −1.395 × 10−3 2.291 × 10−3

0 m1 3437.5 1718.75 0 = + 0 m2 1718.75 3437.5 0 0 ton − m m1 = 1.911 ton − m m2

0 0

2.204 × 10−3 −1.658 × 10−3 −1.395 × 10−3 2.291 × 10−3

2.- Para la FIG (B); (En este caso no cambia la figura) TRAMO AB IAB = I m1 0 3437.5 = + m2 0 1718.75

1718.75 3437.5

0 0

0 0

4.326 × 10−3 −0.528 × 10−3 −6.063 × 10−3 6.047 × 10−3

m1 0 ton − m = m2 −5.620 ton − m

1.- Para la FIG (A) TRAMO BC IBC = 1.5 I

D1 =1

m3

8 ton-m

m4

B

D2 =1

0

0

4EI L

2EI L

B

C

B

C

C D3 =1

5m

7m 1.5

D4 =1

2EI L

4EI L

0

0

B

C

B

C

AM = AML + AMD

D

−1.167 AML1 = −2.5 AML2 AM = AML + AMD D 0

−1.167 m3 = + −2.5 m4 0

−1.167 m3 0 = + −2.5 m4 0

4𝐸(1.5𝐼) 𝐿 2𝐸(1.5𝐼) 𝐿

2𝐸(1.5𝐼) 𝐿 4𝐸(1.5𝐼) 𝐿

3437.5 1718.75 0 1718.75 3437.5 0

0 0

2.204 × 10−3 −1.658 × 10−3 −1.395 × 10−3 2.291 × 10−3

−1.911ton − m m3 = 10.145 ton − m m4

2.- Para la FIG (B) TRAMO BC IBC = 1.5

I

2.204 × 10−3 −1.658 × 10−3 −1.395 × 10−3 2.291 × 10−3

D1 =1

10 ton

m3

m4

B

D2 =1

0

0

4EI L

2EI L

B

C

B

C

C D3 =1

5m

7m 1.5

AM = AML + AMD

D4 =1

2EI L

4EI L

0

0

B

C

B

C

D

−17.014 AML1 = 12,153 AML2 AM = AML + AMD D 0 −17.014 m3 = + 12.153 m4 0

4𝐸(1.5𝐼) 𝐿 2𝐸(1.5𝐼) 𝐿

m3 −17.014 0 = + m4 12.153 0

2𝐸(1.5𝐼) 𝐿 4𝐸(1.5𝐼) 𝐿

0 0

3437.5 1718.75

4.326 × 10−3 −0.528 × 10−3 −6.063 × 10−3 6.047 × 10−3

4.326 × 10−3 −0.528 × 10−3 −6.063 × 10−3 6.047 × 10−3

1718.75 3734.5

0 0

m3 −17.014 −12.236 ton − m = + m4 12.153 −23.550 ton − m

m3 −5.62 = m4 11.397

1.- Para la FIG (A) TRAMO CD ICD = I

D1 =1

m5

m6

C

D

D2 =1

0

0

0

0

B

C

B

C

D3 =1

10m

D4 =1

4EI L

2EI L

2EI L

4EI L

B

C

B

C

AM = AML + AMD 0 0 0 m5 = + 0 m6 0 0

0 m5 0 = + 0 m6 0

D

4𝐸𝐼

2𝐸𝐼

𝐿 2𝐸𝐼

𝐿 4𝐸𝐼

𝐿

𝐿

0 2750 0 1375

2.204 × 10−3 −1.658 × 10−3 −1.395 × 10−3 2.291 × 10−3

1375 2750

2.204 × 10−3 −1.658 × 10−3 −1.395 × 10−3 2.291 × 10−3

m5 −10.15 ton − m = m6 0 ton − m

2.- Para la FIG (B). (No cambia el gráfico) TRAMO CD ICD = I

0 m5 0 = + 0 m6 0

0 2750 0 1375

−11.40ton − m m5 = 0 ton − m m6

1375 2750

4.326 × 10−3 −0.528 × 10−3 −6.063 × 10−3 6.047 × 10−3

PASO 7.Dibujamos el momento flector.

DMF

B' A 1.- DMF para la FIG (A). m1 = m2 0ton − m 1.911 ton − m m3 = m4 −1.911ton − m 10.15 ton − m m5 = m6 −10.15 ton − m 0 ton − m

T3° T2°

1.0 cm B

8 ton-m

C

T1° T2°

D

1.0 cm C' FIG (A) 8m

5m



1.5 

10m

7m



10.15 4.67 1.91 0

0 3.33

PASO 7.Dibujamos el momento flector.

DMF

10 ton A

B

T1° T3°

C

1.5 cm B'

T2° T3°

D

1.5 cm C'

FIG (B)

2.- DMF para la FIG (B)

8m

5m



1.5 

m1 = m2 0 ton − m 5.620 ton − m

7m



11.40

5.62

m3 −5.62 = m4 11.40 m5 = m6 −11.40 ton − m 0 ton − m

0

0

29.16