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L Á C U C E L O R P

2da Edición. ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

JeTR

L Á C C UL E R O P CATEDRÁTICOS QUE PARTICIPARON EN LA ELABORACIÓN DE ESTA ANTOLOGÍA:

Ing. Patricio Ávila Rojas Ing. Francisco Javier Barrera González Ing. Leticia Iliana Blancas Cortés Ing. Martín Cruz Domínguez Ing. Alfonso Escamilla Silva Ing. Luís Eduardo García Hernández Ing. Víctor Hugo Pérez Muñoz Ing. Jesús Torralba Ramos Ing. Zenón Yáñez Barraza Ing. Jaime Zaragoza Hernández

DEMIA D A E AC M

S AT A EMÁTIC

2008, Apan, Hgo, México.

JeTR

Instituto Tecnológico Superior del Oriente del Estado de Hidalgo

Precálculo

TABLA DE CONTENIDOS. UNIDAD I ARITMÉTICA ______________________________________________

1

1. Los números naturales y los enteros ____________________________________ 2. Los números racionales y los números irracionales ________________________ 3. Los números racionales y los números irracionales ________________________ 4. Factorización ______________________________________________________ 5. Notación Científica o Notación Exponencial ______________________________ 6. Logaritmos ________________________________________________________

2 17 27 38 43 47

UNIDAD II ÁLGEBRA ________________________________________________

53

1. Conceptos básicos sobre álgebra ______________________________________ 2. Reducción de términos semejantes ____________________________________ 3. Productos notables _________________________________________________ 4. Cocientes notables _________________________________________________ 5. Teoría de exponentes y radicales ______________________________________ 6. Factorización ______________________________________________________ 7. Fracciones algebraicas ______________________________________________ 8. Clases de ecuaciones _______________________________________________ 9. Propiedades de las igualdades ________________________________________ 10. Procedimiento para resolución de una ecuación __________________________ 11. Ecuaciones literales de primer grado con una incógnita ____________________ 12. Sistemas de ecuaciones de primer grado _______________________________ 13. Ecuaciones simultaneas con tres incógnitas _____________________________ 14. Problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones de primer grado ____ 15. Ecuaciones de segundo grado _______________________________________

53 55 56 59 63 66 75 79 79 80 82 84 90 91 94

ITESA

Tabla de Contenidos

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Precálculo

UNIDAD III TRIGONOMETRÍA __________________________________________

99

1. Trigonometría de los números reales ___________________________________ 2. Funciones trigonométricas de números reales ____________________________ 3. Gráficas trigonométricas _____________________________________________ 4. Gráficas de las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante __________ 5. Medición de ángulos ________________________________________________ 6. Longitud de arco ___________________________________________________ 7. Trigonometría de los triángulos rectángulos ______________________________ 8. Funciones Trigonométricas de ángulos __________________________________ 9. Funciones trigonométricas inversas ____________________________________ 10. Ley de senos _____________________________________________________ 11. Ley de cosenos ___________________________________________________

99 103 107 109 111 114 115 119 121 122 125

UNIDAD IV GEOMETRÍA ANALÍTICA____________________________________ 129 1. Sistema rectangular de coordenadas cartesianas _________________________ 2. La línea recta ______________________________________________________ 3. Formas de la ecuación de la línea recta _________________________________ 4. Pendiente y ángulo de inclinación de una línea recta _______________________ 5. Relación del concepto de pendiente con los de paralelismo y perpendicularidad _ 6. Ecuación de la línea recta dado un punto y el valor de su pendiente ___________ 7. Ecuación de la línea recta en su forma pendiente-ordenada al origen __________ 8. Ecuación de la línea recta en su forma simétrica o canónica _________________ 9. Ecuación normal de una línea recta ____________________________________

129 130 130 132 133 134 136 137 138

ANEXOS___________________________________________ 148 Operaciones con fracciones ____________________________________________ Propiedades de los exponentes, raíces y logaritmos _________________________ Identidades trigonometrícas ____________________________________________ Formulario de geometría plana __________________________________________ Formulas de trigonometría _____________________________________________ Formulas para derivación ______________________________________________

ITESA

148 149 150 151 154 156

Tabla de Contenidos

Precálculo

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UNIDAD I

ARITMÉTICA

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES NÚMEROS REALES R

NÚMEROS IRRACIONALES

NÚMEROS RACIONALES Q

Q´

NÚMEROS ENTEROS Z

EL NÚMERO CERO 0

ENTEROS POSITIVOS Z+

ITESA

ENTEROS NEGATIVOS Z-

-1-

Aritmética

Precálculo

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1. Los números naturales y los enteros Los números naturales tienen origen en una necesidad tan antigua como las primeras civilizaciones: la de contar. El hombre empezó a representar las cantidades haciendo marcas en huesos, trozos de madera o piedra. Por cada objeto observado, colocaba una marca que le fuera familiar, así concibió la idea del número. Para contar también utilizó: los dedos de la mano, los de los pies, los brazos y las piernas. Mucho tiempo después, hacia 3300 a. De c., apareció la representación escrita de los números, paralelamente al nacimiento de la escritura, en Mesopotamia. En las primeras tablillas de arcilla que han revelado la escritura, aparecen signos específicos destinados a representar los números. En cada cultura se empleó una forma particular de representar los números. Por ejemplo, en la babilonia se usaban marcas en forma de cuña y en la egipcia ,jeroglíficos, que aún en nuestros días aparecen en las paredes y columnas de los templos. Las cifras que hoy utilizamos tienen su origen en las culturas hindú y árabe. Los números naturales son un conjunto de objetos estudiados en aritmética; tienen como operaciones fundamentales la adición, la sustracción, el producto y el cociente. El conjunto de los números naturales se identifica con la letra N, es decir: N = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...,+∞}

En la recta numérica se ubican de la siguiente forma:

Ha sido necesario ampliar el conjunto de los naturales para expresar cantidades que están antes del cero. Para ello añadimos un signo + o – a los naturales para incluir a los números negativos y también incorporamos el número cero. De esta manera han surgido el conjunto de los números enteros, que expresan valores que van de uno en uno, es ilimitado o infinito en sentido de los negativos ( − ∞ ) y en sentido de los positivos ( + ∞ ) y se representa con la letra Z, Z = {− ∞,...,−7,−6,−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6,7,...,+∞}

En la recta numérica se ubican de la siguiente forma:

ITESA

-2-

Aritmética

Precálculo

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1.1 Operaciones fundamentales (adición, sustracción, producto y cociente) Con los números naturales N se pueden realizar las cuatro operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) bajo la propiedad más importante de los sistemas numéricos: " La propiedad de Cerradura " que nos establece que la suma, la resta, la multiplicación y la división de dos números naturales tiene que dar como resultado otro número natural. Actividades A) Coloca números naturales del uno al nueve de manera que la suma horizontal sea 20 y la suma vertical sea 30.

1.1.1

B) Completa las casillas de la siguiente tabla con números naturales, cuando sea posible, y cuando no lo sea, explica el porque.

Signos de agrupación:

Imagínate que eres un emprendedor y decides iniciar un negocio para la fabricación de estuches para guardar CD’S. Si cobraras $ 100,000 por un pedido de 50,000 piezas y el costo de fabricación de todas fue $14,500. ¿Cuánto ganaste por pieza? 100,000 lo que cobraste los gastos de fabricación - 14,500 lo que ganaste por 50,000 piezas 85,500 85,500/50,000 piezas = $ 1.71

tu ganancia por pieza

Como puedes ver, para resolver el problema realizas dos operaciones, una resta: 100,000 menos 14,500 para obtener el total de tus ganancias y una división el ITESA

-3-

Aritmética

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resultado de la primera operación entre 50, 000 para calcular la ganancia por estuche. Otro caso de operaciones múltiples sería el de un importador que compra un lote de 80, 000 piezas de circuitos integrados especializados de a $ 12.45 c/u y de este lote se venden 73,000 piezas a $ 25.50 c/u. Los restantes son desechados por ser defectuosos ¿Obtuvo ganancia o pérdidas? ¿De cuánto? Para resolver este problema determinaremos cuanto se gastó en la compra de las 80,000 piezas, es decir el lote completo. Calculamos lo obtenido por la venta 73,000 circuitos en buen estado. Calculamos cuantas piezas se desecharon. Encontramos lo que costaron estas piezas y se lo restamos al total lo obtenido por la venta de los 73,000 circuitos en buen estado. Por último, restamos las pérdidas de las ganancias por la venta de los circuitos en buen estado. Si el resultado es positivo el importador tuvo ganancias por ese monto y si es negativo entonces fueron pérdidas. 80, 000 73,000 80, 000 7,000

x 12.45 x 25.50 - 73,000 x 12.45

= 996, 000 = 1,861,500 = 7,000 = 87,150

costo total de la importación del lote completo ganancia por la venta de los circuitos en buen estado. piezas defectuosas desechadas total de pérdidas por desecho

ganancia ó = [(73,000)(25.50 ) − (80,000)(12.45)] − [(80,000 − 73,000 )(12.45)] = pérdida = (1,861,500 - 996,000 ) − [(7,000)(12.45)] = 778,350 Como puedes observar en los ejemplos anteriores para hallar la solución a los problemas planteados, se realizan varias operaciones aritméticas. Para señalar de manera sencilla más de una operación y el orden en que deben de efectuarse se utilizan algunos símbolos llamados de agrupación. Estos son:

( ) El paréntesis

[ ] El corchete

{ } Las llaves

Se pueden emplear para: • Considerar una expresión como número único. Por ejemplo en nuestro primer problema: En la expresión (100,000-14,500)/50,000, la operación (100,000-14,500) es un número único ya que ésta puede sustituirse por el resultado de la operación que es 85,500.

ITESA

-4-

Aritmética

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•

Para sustituir el signo de multiplicación. Por ejemplo: 9 x 8 x 7 = (9 )(8)(7 ) = 9(8)(7 )

•

Para establecer o modificar el orden de las operaciones. Por ejemplo:

(8 + 6) / 7 = 14 / 7 = 2 Efectúa a continuación, con tu calculadora, los siguientes ejercicios, rodeando con un círculo cuál de las dos soluciones es la registrada. OPERACIÓN 2+3x5= 5-2x4= 2 + 5/ 3 = 3 – 4/ 3 = 2 – 32 =

Solución A 17 -3 3.6666... 1.6666... -7

Solución B 25 12 2.33333... - 0.33333... 1

¿Cómo es posible que den resultados distintos? En el caso de que los resultados obtenidos sean los de la solución B, la calculadora con la que trabajas decimos que es de tipo elemental, es decir, efectúa cálculos y operaciones según el orden en el que tecleas e introduces los datos en la máquina, de izquierda a derecha. Efectúa los siguientes ejercicios, primero mentalmente con las dos posibilidades que hay, y luego comprueba el resultado con tu calculadora para saber qué operación tiene prioridad si la suma o la multiplicación.

NO. Operación

1). 2 + 3 x 4 =

Por lo tanto... Efectúalo ¿Qué con la operación se calculadora hizo primero?

Hazlo mentalmente efectuando primero la primera operación.

Hazlo mentalmente efectuando primero la segunda operación.

Solución

Solución

Solución

Solución:

20

14

14

(*)

2). 3 x 4 + 2 = 3). 12 - 3 x 4 = 4).

3x4-2= ITESA

-5-

Aritmética

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2+3-2=

5).

6). 12 - 3 + 2 = 7).

2+8/2=

8).

8/2+2=

9). 12 - 8 / 2 = 10). 8 / 2 - 2 = 11). 2 x 6 / 3 = 12). 6 / 3 x 2 = 2 x 32

13).

14). 18 / 32 = 15).

2 + 32 =

16).

12 – 32 =

81

3

3

(**)

(*) Producto antes que suma ó (**) Potencia antes que resta. Comenta con tus compañeros lo que observas y ¿A que conclusión llegaste? Efectúa los siguientes ejercicios, primero mentalmente con las dos posibilidades que hay, y luego comprueba el resultado con tu calculadora para saber qué operación tiene prioridad.

No.

Hazlo mentalmente OPERACIÓ efectuando primero la N primera operación.

1) 2 + 3 x 4 =

Hazlo mentalmente efectuando primero la segunda operación.

Por lo tanto...

Efectúalo ¿Qué con la calculadora operación se hizo primero?

Solución

Solución

Solución

Solución:

20

14

14

(*)

2) 3 x 4 + 2 = ITESA

-6-

Aritmética

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3)

2-3x4=

4)

3x4-2=

5)

2+3-5=

6)

2-3+5=

7)

2+8/2=

8)

8/2+2=

9)

2-8/2=

10) 8 / 2 - 2 = 11) 2 x 6 / 3 = 12) 6 / 3 x 2 = 13)

2 x 32 =

14)

18 / 32 =

15)

2 + 32 =

16)

2 – 32 =

1

-7

-7

(**)

(*) Producto antes que suma ó (**) Potencia antes que resta. Comenta con tus compañeros lo que observas y ¿A que conclusión llegaste? Realiza sin calculadora los siguientes ejercicios. Trabajando con Naturales (N)

Trabajando con Enteros (Z)

1)

4·5/2=

21)

4·3-6·2-3=

2)

3·4-2+7=

22)

8·8+8·2-9=

3)

7·2+1-5=

23)

20 / 5 + 4 - 17 =

4)

5 + 20 / 5 =

24)

2 - 32 + 22 + 4 =

ITESA

-7-

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5)

8-3·2=

25)

70 / 10 + 7 - 42 =

6)

10 + 25/: 5 =

26)

42 / 7 - 3 · 4 + 1 =

7)

6+7-5·2-2+3=

27)

42 - 42 / 6 - 25 + 1 =

8)

12 - 5 · 2 + 5 =

28)

12 / 6 · 2 / 22 =

9)

5·5-5+5·5=

29)

8 + · (- 2) + 4 / 2 - 2 =

10)

7 - (- 3) · (- 2) =

30)

3+4-2·3·2+1=

11)

5 + 2 · 42 =

31)

4 · 5 / (- 2) - 10 + 19 =

12)

9 - 2 · 22 =

32)

2 - 32 · 5 + 21 · 2 + 20 =

13)

9 - 32 + 22 + 4 =

33)

2+3-5·4-7+3=

14)

4·5/2+9=

34)

2 - 32 + 22 + 2 · 4 =

15)

2 + 6 / 2 + 4 · (- 2)2 =

35)

2-5·3+3-2+3=

16)

7 · 3 + 8 / 2 - 7 · 2 - 22 + 32 =

36)

5·3+2·6-3=

17)

24 - 2 · 22 + 2 · 32 - 4 + 3 =

37)

(- 3) · 2 + 2 - 2 · 3 + 1 =

18)

8-·4+4/2-2=

38)

8 - 4 · 4 + 4 / 2 - 22 =

19)

16 - 5 · + · 22 =

39)

2 · (- 3) - (- 5) + (- 2)2 =

20)

33 - · 23 - 1 =

40)

(32)2 + 22 - 12 + 4 · 2 - 5 =

Ahora ¡La calculadora hará las funciones de maestro corrector! Coloca por orden de mayor a menor jerarquía, las siguientes funciones: SUMA, POTENCIA, RAÍZ, RESTA, PRODUCTO, COCIENTE. 1)_____________________________ 2)_____________________________ 3)_____________________________ 4)_____________________________ 5)_____________________________ 6)_____________________________ Esto que acabas de escribir es la Jerarquía de operaciones. ITESA

-8-

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1.1.2 Jerarquía de operaciones Para solucionar las expresiones aritméticas: Se resolverán el orden respetando la jerarquía de las operaciones: Primero multiplicaciones y divisiones Después adición y resta. 7 + 4 × 2 = 7 + 8 = 15

12 / 3 − 1 = 4 − 1 = 3

Primero se deben eliminar los signos de agrupación, remplazándolos por el valor de las operaciones de su interior, iniciando la eliminación de adentro hacia fuera. 3.

Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo +, los términos que estaban agrupados por él no cambian de signo.

4.

Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo -, los términos que estaban agrupados por él cambian de signo.

Ejemplo:

(72 / 8) + 3 − [4(5)/ (4 + 6)]

5 + {8 + [ (4 - 3) + (7 - 4) + 3 ] } = ↓

5 + 8 +   

1

↓ +

3+

↓

3  = 

9

↓ 5 +  8 + 

↓

+ 3 −  20  ↓

7  = 

/ 10  

↓ −2

12

↓ 5+

↓

↓

15 =

10

↓ 20

ITESA

-9-

Aritmética

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Ejemplo:

Ejemplo:

Simplifique aritmética:

la

siguiente

operación

–2 {– 4 [–3 + 5(8) – 3(2)]} = –2 {– 4 [–3 + 40 – 6]} = –2 {– 4 [31]} = –2 {– 124} = 248

2( 8 )[ (58 –18) ÷ (8 + 2) ] −9 = 2 (8 )[ 40 ÷ 10 ] –9 2 (8) [ 4 ] −9 2 (32) –9 64 - 9 = 55

Entonces: –2 {– 4 [–3 + 5(2 + 6) – 3(4 – 2)]} = 248

Se dan algunas fórmulas y se sustituyen las variables con cantidades aleatorias. Representa las operaciones necesarias para hallar el resultado con una expresión aritmética en tu calculadora. Considera la jerarquía de operaciones y los valores asignados a las variables. No. 1.

2.

3.

4.

T=

Sustitución 7 M = 82 5

2π w

T=

v=

GM t r

E=

q1

4πε 0 r

2

5.

1 1 f = p (1 / L ) +  E C

6.

n N = 2πn   e

7.

ITESA

Fórmula g M = r2 c

θ = arctan

n

a2 − y2 a2 − x2

Resultado 89.6

2π 25

0.2513

v=

34(25) 22

6.2158

E=

3 2 4π (5)(8)

7.46E-4

1 1 f = 2 (1 / 3) +   4 5 8 N = 2π 8   7

θ = arctan

- 10 -

8

12 2 − 52 12 2 − 4 2

0.7745

20.633

43.95°

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1.1.3 Postulados de campo Cerradura a)

para la suma si a y b son elementos de Z, entonces la suma también es elemento de N a, b ∈ Z ⇒ (a + b ) ∈ Z

por ejemplo: 3,5 ∈ Z ⇒ (3 + 5) = 8 ∈ Z

“Si sumas enteros obtienes enteros” .

Lo cual significa que el 3 y el 5 pertenecen al conjunto de los números enteros y el resultado de la suma de 3 mas 5 que es ocho también es un número entero. b)

para la multiplicación Si a y b son elementos de los enteros Z, entonces el producto también es elemento de los naturales, y a y b les llamamos factores, el símbolo que emplearemos será un punto a media altura o los factores entre paréntesis, con objeto de que no se confunda con la letra x.

a, b ∈ Z ⇒ (a ⋅ b ) ∈ Z

Por ejemplo:

ó 7,4 ∈ Z ⇒ (7 ⋅ 4) = 28 ∈ Z

a, b ∈ Z ⇒ (a )(b ) ∈ Z

ó

“ Si multiplicas enteros obtienes enteros”

7,4 ∈ Z ⇒ (7 )(4) = 28 ∈ Z

Conmutativo a)

Para la suma Si a y b son números enteros, el orden en que se sumen no afecta el resultado. Por ejemplo:

a, b ∈ Z ⇒ a + b = b + a

ITESA

3,2 ∈ Z ⇒ 3 + 2 = 2 + 3

- 11 -

Aritmética

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b)

Para la multiplicación Si a y b son números enteros, el orden en que se multipliquen no afecta el resultado.

a, b ∈ Z ⇒ a ⋅ b = b ⋅ a

Por ejemplo:

4,3 ∈ Z ⇒ 4 ⋅ 3 = 3 ⋅ 4 12 = 12 Asociativo a)

Para la suma Si a, b y c son tres números enteros, es igual que a la suma de a y b se le sume el valor c, a que a la suma de b y c, se le sume a. a, b, c ∈ Z ⇒ (a + b ) + c = a + (b + c )

Por ejemplo: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9) 6 + 9 = 4 + 11 15 =15

b)

Para la multiplicación Si a, b y c son tres números enteros, es igual que al producto de a con b se multiplique por c, a que al producto de b con c se multiplique por a. a, b, c ∈ Z ⇒ (a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c )

Por ejemplo: 4 . (2 . 9) = (4 . 2) . 9 4. 18 = 8.9 72 =72

Distributivo a)

A la izquierda a, b, c ∈ Z ⇒ a ⋅ (b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c

Por ejemplo: (2)(6 + 5) = (2)(6)+(2)(5) ( 2 )(11) = 12 + 10 22

ITESA

- 12 -

=

22

Aritmética

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b)

A la derecha a, b, c ∈ Z ⇒ (a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c

Por ejemplo: (3+9)(4) = (3)(4)+(9)(4)

De acuerdo con este postulado podemos convertir un producto de sumas en una suma de productos.

(12)(4) = 12 + 36 48 = 48

Identidad a)

Para la suma La suma de cualquier elemento de Z y el cero es el mismo elemento, por lo que al número cero le llamamos el elemento identidad para la suma. a∈Z ⇒ a+0 = a

b)

Por ejemplo: 6∈Z ⇒ 6+0 = 6

Para la multiplicación El producto de cualquier elemento de Z y el uno es el mismo elemento, entonces el número uno es el elemento identidad para la multiplicación. a ∈ Z ⇒ a ⋅1 = a 3 ∈ Z ⇒ 3 ⋅1 = 3

c)

La multiplicación con el 1 y la suma con el 0, son conmutativas.

a∈Z ⇒ a+0 = 0+a = a

4∈Z ⇒ 4+0 = 0+ 4 = 4

a ⋅1 = 1 ⋅ a = a

4 ⋅1 = 1 ⋅ 4 = 4

Por ejemplo: Inversos a)

Para la suma Para todo a existe otro elemento de Z, -a, llamando el inverso para la suma, tal que la suma de los dos es 0. a ∈ Z ⇒ a + (− a ) = 0

ITESA

Por ejemplo si a = 7 el inverso para la suma es -a = -7 porque 7 + (− 7 ) = 0

- 13 -

Aritmética

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b) Para la multiplicación

1 Para todo, existe otro elemento Z,   , llamando el inverso de la a multiplicación de modo que el producto de los dos es 1. 1 a ∈ Z,a ≠ 0 ⇒ a ⋅  = 1 a

1.2 Reglas de los signos Para resolver cualquier operación con productos y cocientes es necesario aplicar las leyes de los signos.

1.2.1 Reglas de los signos para la suma La idea intuitiva que tenemos de la adición o suma es la de añadir o agregar. Los números que se agregan se llaman sumandos y el resultado, suma. Ejercicio Completa la tabla de la derecha. Considera los puntos negros como pesos que tienes y los blancos son los pesos que debes.

Por lo tanto del ejercicio anterior podemos resumir las observaciones con la siguiente tabla: Regla de los signos en la suma. Leyenda Ejemplo (+) + (+) = + (+) + (-) = ? (-) + (+) = ?

(-) + (-) = -

ITESA

La suma de dos números positivos es positiva. La suma de un número positivo y otro negativo tiene resultado incierto. Se restan y queda el signo del número con mayor valor absoluto. La suma de dos números negativos es negativa.

- 14 -

Si nos entregan dinero, tendremos más dinero (+5) + (+3) = (+ 8) El resultado depende de dos valores: Lo que tengo y la deuda. ¿Es mayor la deuda? Seguiré teniendo deuda, resultado negativo ¿Tengo dinero suficiente? Seguiré teniendo dinero, resultado positivo (+5) + (-3) = +2 ; (-5) + (+3) = - 2 Si tengo una deuda y contraigo otra deuda, tendré una deuda mayor. (-5) + (-3) = (-8)

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c) Realiza manualmente las siguientes operaciones y después comprueba con calculadora. Ejercicio 1) − 20 + 10 − 8 − 5 2) 3+8+9+ 6 3) − 5 + 6 − 2 + 8 − 10 4) − 33 + 35 + 19 − 15 − 10 5) − 20 + 40 − 10 − 10 6) − 47 + 89 − 2 + 47 − 89 + 2 7) (13 − 14) − (15 − 81) + 34 8) − (− 25 + 8 − 3) + (23 − 35 + 7 ) 9) − (− 7 ) − (− 2 ) − (− 7 ) + (− 10 ) 10) 3(3 − 4 + 5 − 6 ) − 5(10 − 5)

solución -23 26 -3 -4 0 0 99 15 6 -31

Las reglas de los signos para la multiplicación.

El producto de signos iguales es positivo.

(+ )(+ ) = (+ )

(− )(− ) = (+ )

El producto de signos contrarios es negativo.

(+ )(− ) = (− )

(− )(+ ) = (− )

Ejemplos:

Ejemplos:

(+ 3)(+ 4) = (+ 12)

(− 3)(+ 5) = (− 15)

(+ 3)(+ 4) = (+ 12)

(+ 2)(− 6) = (− 12)

d) Realiza manualmente las siguientes operaciones y comprueba con calculadora después.

1) 2) 3) 4) 5)

ITESA

Ejercicio (4)(− 6)(− 2) = (− 3)(− 5)(− 2)(− 1) = (10)(− 10)(2) = − 3{− 2(− 7 )(− 5)} − [(− 8)(− 5)][(− 7 )(2)(− 3)]

- 15 -

solución 48 30 -200 210 -1680

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Las reglas de los signos para la división. El cociente de signos iguales es positivo.

(+ ) = (+ ) (+ )

El cociente de signos contrarios es negativo.

(− ) = (+ ) (− )

(+ ) = (− ) (− )

(− ) = (− ) (+ )

Ejemplos:

Ejemplos:

(+ 15) = (+ 5) (+ 3)

(+ 21) = (− 3) (− 7 )

(− 32) = (+ 4) (− 8)

(+ 35) = (− 5) (− 7 )

Realiza manualmente las siguientes operaciones y comprueba con calculadora después.

1) 2) 3) 4) 5)

ITESA

Ejercicio − 81 = 9  − 36  − =  −4  63 = −9  − 12  −   6   8  − 6  − (− 2) (− 3) − 2  3  

- 16 -

solución -9

-9 -7 2 -28

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e) Los números racionales y los números irracionales Números Reales El conjunto de números racionales y el de los irracionales constituye el conjunto de los números reales.

2.1 Concepto de número racional Un número racional es aquel que puede representarse como el cociente de dos números enteros. También se les conoce como quebrados y se dividen en dos tipos: fracciones propias e impropias. Las fracciones propias son aquellas denominador. Por ejemplo: − 7 , 5 9 10

cuyo numerador es menor que su

Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que su denominador. Por ejemplo: − 12 , 25 9 10 A veces algunas cantidades se expresan con una parte entera y una fraccionaria a este tipo de números se les llama números Mixtos. Por ejemplo:

4 2 − 3 ,8 5 7

Conversión de una fracción impropia en una mixta Se divide el numerador entre el denominador. Si el cociente es exacto, éste representa los enteros, si no es exacto, se añade al entero un a fracción que tenga por numerador el residuo y por denominador el divisor. Ejemplo:

34 5

6 5 34 4

34 4 =6 5 5

Encuentra por simple inspección los enteros contenidos en: Ejercicio 1) 12 = 3 2) 115 = 35

ITESA

Solución 4

3

2 = 7

No, Ejercicio 6) 318 = 90 7) 93 = 30

- 17 -

Solución 48 3 90 1 3 10

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3) 4) 5)

21 = 3 174 = 52 108 = 12

7

3

8) 9)

18 52

9

10)

215 = 73 401 = 88 112 = 11

69 73 49 4 88 2 10 11 2

Conversión de una fracción mixta a una fracción impropia Se multiplica el entero por el denominador, al producto se añade el numerador y esta suma se parte por el denominador Ejemplo:

5

2 (5)(3) + 2 17 = = 3 3 3

Convierta las siguientes fracciones mixtas a fracciones impropias.

No, Ejercicio 1) 1 4 = 5 2) 2 6 = 5 3) 3 7 = 4 4) 1 8 = 3 5) 3 8 = 7

Ejercicio 21 5 32 5 31 4 25 3 59 7

No, Ejercicio 6) 3 15 = 8 7) 3 12 = 11 8) 7 16 = 8 9) 5 9 = 8 10) 1 3 = 4

Solución 123 8 135 11 135 8 77

8 13 4

Fracciones equivalentes. Se pueden considerar dos casos: Caso 1. Reducir una fracción a otra equivalente de denominador dado, cuando el nuevo denominador es múltiplo del primero. Para hallar el numerador se multiplica el numerador del quebrado dado por el cociente que resulta de dividir los dos denominadores. Ejemplo: ITESA

- 18 -

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Convertir ¾ en quebrado de denominador 24,

3 (3)(6) 18 = = 4 24 24 Reduzca las siguientes fracciones: No Ejercicio solución No. Ejercicio . 2/4 6) 1) 1 2 = = 2 4 15 45 2/6 7) 2) 1 2 = = 3 6 9 36 3) 2 4/12 8) 1 = = 3 12 10 40 4) 3 5/25 9) 11 = = 5 25 20 100 5) 2 6/21 10) 2 = = 7 21 9 27

solución 6/45 8/36 4/40 55/100 3/27

Caso 2. Reducción de una fracción a otra de denominador menor divisor del primero. El denominador de la nueva fracción será dado. Para hallar el numerador se divide el numerador de la fracción por el cociente que resulta de dividir los dos numeradores. Ejemplo: Convertir 15/24 en un quebrado equivalente de denominador 8 15 15 / 3 5 = = 24 8 8 Reduce, por simple inspección: No Ejercicio solución . 1) 2 1/2 = 4 2 2) 4 2/3 = 6 3

ITESA

No. Ejercicio

solución

6)

5/9

7)

- 19 -

10 = 18 9 8 = 22 11

4/11

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Precálculo

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3) 4) 5)

4 = 8 2 6 = 10 5 9 = 24 8

1/2

8)

3/5

7)

3/8

10)

32 = 24 3 20 = 34 17 78 = 180 30

4/3 10/17 13/30

2.1.4 Simplificación de fracciones Simplificar una fracción es convertirla en otra fracción equivalente cuyos términos sean menores. Para simplificarla se dividen sus dos términos sucesivamente por los factores comunes que tengan. Ejemplo:

28 36 Primero dividimos entre tres numerador y denominador Reducir a su mínima expresión:

28 2 14 2 7 7 1

36 18 9 3 1

2 2 3 3

Por lo tanto

28 2⋅2⋅7 2 2 7 1 7 ⋅1 7 = = ⋅ ⋅ ⋅ = 1 ⋅1 ⋅ = 36 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 2 2 3 3 3⋅3 9

así

28 7 = 36 9 Reduce a su más simple expresión No Ejercicio solución . 1) 1/2 54 108 2) 54 9/16 96 3)

ITESA

72 144

1/2

No.

Ejercicio

solución

6)

162 189 114 288

6/7

343 539

7/11

7) 8)

- 20 -

19/48

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Precálculo

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4) 5)

84 126 99 165

2/3

7)

3/5

10)

121 143 306 1452

11/13 51/242

2.2 Fracciones comunes y decimales 2.2.1 Conversión de una fracción común en un número decimal Podemos convertir una fracción a decimal si dividimos el numerador entre el denominador. Esto se puede realizar para cualquier fracción que se tenga. Ejemplo: Se quiere convertir a decimal la fracción 2.5 2 5. 0

5 2

Empezaremos a dividir el numerador entre el denominador. Como resultado obtenemos 2 con un residuo de 1 .a este último se le añade un cero a la derecha tendremos 10 entre 2 que me da 5 y no queda ningún residuo. Así la fracción propuesta es igual al decimal 2,5

1 0 0

Veamos otro ejemplo, queremos convertir a decimal la fracción 2/3

0. 6 6 3 2. 0 0 2 0 2 0 2

ITESA

Se divide el numerador entre el denominador. En este caso no se puede resolver 2 entre 3, entonces se le aumenta un punto decimal y un cero al 2. Se divide ahora 20 entre 3 nos dará 6 con residuo 2, se coloca un cero automáticamente al lado del residuo y volvemos a dividir 20 entre 3 lo cual nos dará 6 con residuo 2. Podemos darnos cuenta que se repetirá siempre lo mismo entonces decimos que es un decimal periódico puro y es 0,6

- 21 -

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2.2.2 Conversión de una fracción decimal en una fracción común. Se tienen posibilidades, una para cada tipo de decimal estudiado. a) Decimales Finitos: Se coloca el número sin coma decimal como numerador y en el denominador se coloca 1 seguido de tantos ceros como decimales tenga el número en su forma decimal. Ejemplo: Queremos llevar 1.17 a fracción. Vemos que este número tiene dos decimales. Entonces colocaremos todo el número sin coma decimal como numerador y en el denominador se colocará un 1 seguido de dos ceros (uno por cada decimal). 117 100 b) Decimales Periódicos Puros: Se formara primero un número mixto, se separará la parte entera y la parte decimal ira como numerador y en el denominador se colocaran tantos nueves como decimales tenga el periodo del decimal. Ejemplo: Se tiene el número periódico 2,283. El período (o lo que se repite) son los tres números 283. Separamos la parte entera de la parte decimal. A la parte decimal la colocamos como numerador sobre un denominador formado por tres 9 (uno por cada decimal). Nótese que es un número mixto. 283 2 999 c) Decimales Periódicos Mixtos: Vayamos directamente a un ejemplo. Tenemos un decimal periódico mixto el 5.246, el 2 es la parte que no se repite y 46 es se repite infinitas veces. Son dos los decimales que se repiten. Es un solo decimal el que no se repite. Separamos la parte entera de la decimal. Parte entera 5 parte decimal .246 En el numerador restare toda la parte decimal menos la parte que no se repite. En el denominador colocare un 9 por cada número que se repite y un 0 por cada número que no se repite. (246 − 2) = 5 244 5 990 990 Efectuamos la resta y llegamos a este número mixto que se presenta. Podemos aún simplificar la parte fraccionaria. 244 122 ⋅ 2 122 2 122 =5 =5 ⋅ =5 5 990 495 ⋅ 2 495 2 495 ITESA

- 22 -

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Una vez simplificado podríamos llevarlo a su forma fraccionaria aún, para lo cual seguiremos el procedimiento de llevar un número mixto a fracción.

5.246 = 5

122 622 = 495 495

2.3 Suma y resta con números racionales Hay dos casos: d) La suma o resta de fracciones con igual denominador e) La suma o resta con diferente denominador

2.3.1 Suma o resta de fracciones con igual denominador Las fracciones constan de dos números. El número superior es llamado numerador. El número inferior es llamado denominador. Numerador denominador Para sumar dos fracciones con el mismo denominador, suma los numeradores y coloca el resultado sobre el denominador común. Ejemplo:

5 7 −5+7 2 − + = = 6 6 6 6 Efectúa las siguientes fracciones:

a) b) c) d) e)

ITESA

2/4 + 1/4 = 3/4 4/2 + 1/2 = 5/2 2/6 + 1/6 = 3/6 2/8 + 3/8 = 5/8 1/9 + 5/9 = 6/9

f) g) h) i) j)

- 23 -

2/7 + 2/7 = 4/7 6/2 + 1/2 =7/2=3 1/2 2/8 + 1/8 =3/8 2/5 + 1/5 =3/5 7/10 + 2/10 =9/10

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Precálculo

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2.3.2

Suma o resta con diferente denominador

Para sumar fracciones con diferentes denominadores: a) b) c) d)

Encuentra el mínimo común múltiplo (MCM) de las fracciones Renombra las fracciones para obtener el MCM Suma los numeradores de las fracciones Simplifica la fracción

Ejemplo: Encuentra la suma de

2 3 (2)(12) + (3)(9) 24 + 27 51 3 ⋅17 3 17 17 17 + = = = = = ⋅ = 1⋅ = (9)(12) 9 12 108 108 3 ⋅ 36 3 36 36 36 ó

2 ⋅12 3 ⋅ 9 24 27 51 3 ⋅17 3 17 17 17 + = + = = = ⋅ = 1⋅ = 9 ⋅12 12 ⋅ 9 108 108 108 3 ⋅ 36 3 36 36 36 Efectúa las siguientes operaciones: a) b) c) d) e)

4/15 + 2/5 = 2/3 2/4 + 3/8 = 7/8 5/6 + 3/4 = 19/12 4/5 + 1/10 = 9/10 2/20 + 5/8 = 29/40

f) g) h) i) j)

1/15 + 5/8 = 83/120 1/20 + 3/8 = 17/40 3/4 + 1/2 = 5/4 2/4 + 1/2 = 1 1/15 + 5/10 = 17/30

2.4 Multiplicación con números racionales Para realizar esta operación: a) Multiplicaremos los numeradores de las fracciones y colocaremos el resultado en el numerador. b) Multiplicaremos los denominadores de las fracciones y colocaremos el resultado en el denominador Ejemplos:

3 7 3 ⋅ 7 21 ⋅ = = 8 5 8 ⋅ 5 40

5 1 5 ⋅1 5 ⋅ = = 3 4 3 ⋅ 4 12

Efectúa las siguientes operaciones: ITESA

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Precálculo

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1  5  3  15 =1 e)    = 14  7  2  14 5  13  2  26 f)    = =1 21  7  3  21

 3  5  15    =  8  2  16  2  3  6 d)    =  7  11  77

c)

2.4.1 Multiplicación de una fracción por un número. Para hallar una fracción de un número se multiplica la fracción por dicho número. Entendamos la operación mediante un problema. Un campo mide 2000 metros cuadrados. ¿Cuántos metros cuadrados tiene 1/4 del campo? ¿Y 3/4 del campo?. Dividimos el campo en cuatro partes y cada parte (1/4) tendrá 500 metros cuadrados. Y 3/4 tendrá 3 partes, es decir, 1500 metros cuadrados.

1 1⋅ 2000 2000 1 de 2000 es ⋅ 2000 = = = 500 4 4 4 4 3 3 ⋅ 2000 6000 3 de 2000 es ⋅ 2000 = = = 1500 4 4 4 4 Resuelve estos ejercicios: a) 1/7 de 14 es b) 3/5 de 500 es

c) 3/8 de 160 es d) 1/3 de 90 es

2.4.2 Multiplicación de fracciones Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores para formar el numerador del producto, y se multiplican los denominadores para formar el denominador de producto. Una fracción de fracción es igual al producto de ambas fracciones. Ejemplo: 2/3 de 1/2 de círculo = 2/6=1/3 Hemos multiplicado las dos fracciones:

ITESA

2 1 2 ⋅1 2 1 ⋅ = = = 3 2 3⋅ 2 6 3

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Precálculo

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Resuelve los siguientes problemas: a) b)

1/3 x 2/5 = 2/15 2/3 x 1/7 = 2/21

c) d)

3/4 x 1/5 = 3/20 1/8 x 4/9 = 1/8

1. La primera etapa de un proceso de manufactura de latas de conserva consiste en una banda transportadora con una longitud de 25 m. Una lata ha recorrido a las 2 horas los 5/11 del trayecto. ¿Cuántos m le faltan para terminar la etapa? 2. A Ana le asignaron resolver la cuarta parte de un problemario de matemáticas y a Toño una sexta parte. ¿Cuánto reunieron entre los dos? a) ¿Cuántos minutos son 2/3 de 1/2 hora? 4. Una persona pinta una habitación en 5 horas. ¿Qué parte de la habitación pinta en 1 hora? b) Se esta construyendo una carretera y un camión de carga tiene la capacidad de 18 1/3 toneladas de arena ¿Cuántos viajes tiene que hacer el tractor para acarrear 550 toneladas? c) Una máquina para su sistema de enfriamiento ocupa ¾ del nivel total de un tanque de agua con una capacidad de 50 m3 por día, ¿cuantos litros de agua gastará en treinta días?

2.5 División con números racionales Para dividir fracciones tenemos que seguir la regla del “sándwich”: d) se multiplican los extremos y se coloca el resultado en el numerador e) se multiplican los medios y se coloca el resultados en el denominador Ejemplo:

5 4 = 5 ⋅ 2 = 10 3 4 ⋅ 3 12 2 Encuentra lo que se pide en el siguiente problema. En una institución de educación superior se ha organizado una campaña de reforestación. En el cuadro siguiente, el coordinador de la campaña ha presentado un resumen de la cantidad de alumnos y alumnas inscritos para plantas álamos, eucaliptos y otros:

ITESA

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Álamos Eucaliptos Otros

Alumnos 5 5 6

Alumnas 6 4 5

De acuerdo con los datos escribe la razón entre entre: f) El número de alumnos que plantarán álamos y el total de alumnos y alumnas inscritos. g) El número de alumnos que plantaran eucaliptos y el total de alumnos inscritos. h) El número de alumnas que plantarán álamos y el total de alumnos y alumnas inscritas. i) El número de alumnas que plantarán eucaliptos y el total de alumnos y alumnas inscritas. j) El número de alumnas que plantarán otros árboles y el total de alumnas inscritas. k) El número de alumnos que plantarán eucaliptos y otros y el total de alumnos inscritos. l) El número de alumnos y alumnas que plantarán eucaliptos y álamos el total de alumnos inscritos.

3.

Los números racionales y los números irracionales

3.1 Concepto de número racional Antes de definir a los números reales, resulta necesario presentar a los números racionales y los irracionales ya que son parte fundamental para definir a los números reales. Todo número que puede expresarse como el cociente de dos números enteros es un número racional.

13 11  2 Q =  ,−7,− ,− ,8,... 11 16  3 Todo número que no puede expresarse como el cociente de dos números enteros es un número irracional. Los números irracionales se definen para darle solución a todos aquellos problemas cuyos resultados numéricos no se pueden expresar como el cociente de dos números enteros por que son cantidades infinitas no periódicas en su parte decimal. Ejemplos de este tipo de números:

ITESA

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Precálculo

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El conjunto de los números irracionales puede expresarse así:

{

}

Q´= − ∞,...,− 11,−π ,− 8,−e,− 7 ,− 6 ,− 5 ,− 3, − 2 ,0, 2 , 3 , 5 , 6 , 7,e, 8 , π , 10 ,...,+∞

En la recta numérica se pueden representar tomando como referencia a los números racionales. En los números irracionales se tienen problemas con la propiedad de cerradura, razón por la cual se definen a los números reales.

El conjunto de números racionales y el de los irracionales constituye el conjunto de los números reales. Los números reales se establecen como un campo que engloba a los números naturales, enteros, racionales e irracionales para no tener problemas con la propiedad de cerradura al realizar alguna operación básica con los sistemas numéricos antes mencionados; es decir la suma, la resta, la multiplicación y la división de dos números reales tiene que dar como resultado otro número real. De acuerdo a lo anterior el conjunto de los números reales en se representa de la siguiente manera: R

En la recta numérica se ubican de la siguiente forma:

De donde el diagrama general de la relación entre los sistemas numéricos hasta los números reales es el siguiente. Donde: R Reales Q Racionales Q´ Irracionales Z Enteros N Naturales

ITESA

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Precálculo

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Observaciones: 1.- Los números naturales están contenidos en los enteros. 2.- Los números enteros están contenidos en los racionales. 3.- Los números racionales son totalmente diferentes a los irracionales. 4.- Los números reales son la unión de los números naturales, enteros, racionales, e irracionales. 5.- Los números reales son la unión de los números racionales e irracionales ya que los naturales enteros están contenidos en los racionales.

3.2 Potencias: operaciones y propiedades. La potencia es una forma corta de expresar el producto de factores iguales. El nombre de cada una de la potencia va a depender del número de veces que se repita el número, cuadrado, cubo, etc. Para leer una potencia nombramos el número de la base y el número del exponente separados por la expresión “elevado a”

3.2.1 Potencia de un número. Potencia de un número es un modo abreviado de escribir un producto de un Exponente número por sí mismo. 3 5 = 5⋅5⋅5 Base

En la expresión de la potencia de un número consideramos dos partes: La base es el número que se multiplica por sí mismo. El exponente es el número que indica las veces que la base aparece como factor.

Una potencia se escribe tradicionalmente poniendo el número base de tamaño normal y junto a él, arriba a su derecha se pone el exponente, de tamaño más pequeño. Para nombrar o leer una potencia decimos primeramente el número base, después decimos lo referente al exponente. Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... enésima potencia".

3.2.2. Producto de potencias de la misma base. Si queremos multiplicar dos potencias de la misma base, por ejemplo, 43 * 45 hacemos el siguiente razonamiento: 43 = 4 * 4 * 4 y 45 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4, luego 43 * 45 = (4 * 4 * 4) * (4 * 4 * 4 * 4 * 4) = 48 = 43+5 ITESA

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Precálculo

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En general: El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la suma de los exponentes de los factores am * an = am+n Resuelve los siguientes productos en forma de potencia:

a) b) c) d) e)

23 * 27 = 35 * 33 = 55 * 53 = 2-3 * 25 = 3-5 * 3-3=

f) g) h) i)

5-5 * 53 = 2 * 24 * 25 = 42 * 44 * 43 = 8*8*84 =

3.2.3 Cociente de potencias de la misma base. Si se quiere dividir dos potencias de la misma base, por ejemplo, 75 / 74 hacemos el siguiente razonamiento: 75 = 7 * 7 * 7 * 7 * 7 y 4 7 =7*7*7*7 luego

75 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 ⋅ 7 7 7 7 7 7 = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 1 ⋅1 ⋅1 ⋅1 ⋅ 7 74 7⋅7⋅7⋅7 7 7 7 7 En general: El cociente de dos potencias de la misma base equivale a otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la resta de los exponentes. am / an = am-n Resuelve los siguientes productos en forma de potencia: a) 83 / 87 f) 5-5 /53 b) 95 / 93 g) 2 / 24 / 25 5 3 c) 5 / 5 h) 42 /44 / 43 d) 2-3 /25 i) 84/85/84 -5 -3 e) 1 / 1

ITESA

- 30 -

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Precálculo

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3.2.4 Potencia de exponente 0. Una potencia de exponente 0 vale 1.

53 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = = 1∴ 53 5 ⋅ 5 ⋅ 5 53 = 53−3 = 50 = 1 3 5

3.2.5 Potencia de exponente negativo Una potencia de exponente negativo equivale al inverso de esa potencia con exponente positivo. 1 1 5 −2 = 2 = 5 25

3.2.6 Potencia de una potencia. La potencia de una potencia equivale a una potencia simple cuya base es la misma y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

(2 ) = (2 )(2 )(2 ) = (2 ⋅ 2)(2 ⋅ 2)(2 ⋅ 2) = 2 2 3

2

2

2

2 + 2+ 2

= 2 6 = 2 3( 2 )

En general: La potencia de una potencia es otra potencia de la misma base cuyo exponente es el producto de los exponentes (am)n = am*n Resuelve los siguientes ejercicios y calcula su potencia: 4.

(2 ) = 3 4

5.

(5 ) ⋅ (2 ) (2 ) 2 2

3 2 2 3

( )

3

=

1 32 6. 4 = 3 4

3.2.7 Potencia de un producto. La potencia de un producto equivale al producto de potencias cuyas bases son cada uno de los factores y cuyo exponente es el mismo.

(2 ⋅ 7 )3 = (2 ⋅ 7 )(2 ⋅ 7 )(2 ⋅ 7 ) = 2 ⋅ 7 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ 2 ⋅ 7 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅ ⋅7 ⋅ 7 = 23 ⋅ 73 En general, la potencia de una potencia es otra potencia de la misma base cuyo exponente es el producto de los exponentes (ab)n = anb n ITESA

- 31 -

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Precálculo

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Resuelve los siguientes ejercicios: 1.

(2 ⋅ 8)4

2.

(5 ⋅ 3 ) ⋅ (2 ) (2 ⋅ 3) 2

3 2

3 2

2

3

3.

( )

5 2 32 (3 ⋅ 5)4 2

3

4) Virus y computadoras Un virus de computadoras no es una enfermedad sino un programa de computadora. Algunos son programas muy cortos que se copian así mismos una y otra vez hasta llenar completamente la memoria de la computadora. Esto significa que la computadora no responderá ante ningún otro programa a menos que limpiemos por completo la memoria eliminando el virus. El virus demon10 es un programa que hace diez copias de si mismo en un segundo y se detiene. Después, cada una de esas diez copias produce otras diez copias de esta manera, al cabo de dos segundos ya habrá 10 *10 copias de virus. ¿Cuántas copias habrá después de un minuto? 5) Las ondas de radio Las ondas de radio, como la luz, son un tipo de radiación electromagnética que viaja a próximamente 3* 10 8 m/s. Si tu salón de clases está a 3 km de la estación de radio más cercana, ¿cuánto tiempo tardarán las ondas en llegar de la estación de radio al salón? 1) Distancia de la tierra a la estrella más cercana La estrella más próxima a la tierra está a una distancia de 3 *10 17 m. Si una nave viaja a una velocidad de 300 km./s (aproximadamente un milésimo de la velocidad de la luz) y el astronauta tiene 20 años al iniciar el viaje que edad tendrá al llegar?

3.3 Radicación a) La raíz cuadrada de un número es cada uno de los factores iguales en que se descompone ese número. b) El radical n a indica que se debe extraer la raíz enésima al número a. c) La cantidad afectada por un radical es el radicando. d) El índice es el número colocado en la parte superior izquierda del radical para indicar la clase de raíz que se debe extraer del radicando. e) El índice 2 no suele anotarse indicando que la raíz es cuadrada.

ITESA

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Realice los siguientes ejercicios y compruebe los resultados 1) 6) 1 = 49 = 2)

4 =

7)

25 =

3)

16 =

8)

81 =

4)

9 =

9)

100 =

5)

36 =

10)

64 =

3.3.1 Raíz de un producto Observa las siguientes operaciones:

4× 9 36 6

=

4+9

4 9 = 2x3

13 3.06

= 6

¿=?

4+ 9 =? 2 + 3 ≠

5

Realiza las siguientes operaciones y concluye: Multiplicación

16 × 4

¿=?

25× 49 ¿=?

3

8 × 27

ITESA

¿=?

3

Suma

División

16 4

16 + 4

¿=?

16 + 4

16 4

¿=?

16 4

25 4 9

25 + 49

¿=?

25 + 4 9

25 49

¿=?

25 49

8 + 27

¿=?

8 27

¿=?

8 3 27

3

3

8 + 3 27

- 33 -

3

3 3

8 27

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3.3.2 Suma y resta de radicales Para sumar y restar radicales se escriben unos a continuación de otros con el signo + para la suma y – para la resta se reducen radicales semejantes Ejemplo. Sumar:

5 2 ,3 3 ,6 2 ,5 3 , 3

y

2

5 2 +3 3 +6 2 +5 3 + 3 + 2 = 5 2 +6 2 + 2 +3 3+5 3+ 3 =

(5 + 6 + 1)

2 + (3 + 5 + 1) 3 =

12 2 + 9 3 Efectúa las siguientes operaciones con radicales:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Ejercicio 2 2 +3 2 + 2 6 3 −8 3 + 2 3 6 − 3 6 − 11 6 3 2 + 2 5 −5 2 +3 3 7 −3 3 + 2 7 +5 2 7 + 28 + 3 7 − 2 5 7 + 63 − 28 − 4

Solución =6 2 =0 = − 13 6 =−2 2 +5 5 =5 7 + 2 3 =7 7 −2 2 =2 7

5 3 2 7

3.3.3 Reducción de radicales de distinto índice a radicales equivalentes de mismo índice Para transformar un radical en uno equivalente: • Se multiplica el índice del radical por la cantidad que convenga • Se eleva a esa potencia el radicando Ejemplo. Transforma

3 en radicales equivalentes 3 5 = 6 52 = 9 53 = 12 54

Para reducir dos o más radicales a otros radicales equivalentes de mismo índice:

• •

ITESA

Se halla el mínimo común múltiplo de los índices de los radicales, es el índice común de los radicales. Se eleva el radicando a la potencia que resulta al dividir el índice común entre el índice de radical primitivo.

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Ejemplo. Reducir a radicales del mismo índice •

2, 3 2 .

Como los índices 2 y 3 son primos entre sí, el radical debe tener como índice el producto de los índices de los dos radicales, 2X3 seis.

2 = 6 23 3

2 = 6 22

Reduce los radicales siguientes a otros equivalentes. No.

Ejercicio

1)

3, 3 2 , 4 2

2)

5, 3 5, 2

3)

3 , 5 27

4)

3

4, 5, 5 6

5)

5

1, 3 27 , 9

solución 12

36 , 12 2 4 , 12 23 6

53 , 6 5 2 , 6 2 3 10

30

35 , 10 27 2

410 , 30 515 , 30 66

30 6 30

1 , 2710 , 30 915

3.3.4 Raíz de un radical Para extraer la raíz de un radical: a. Se multiplican los índices de los radicales y el producto es el índice del nuevo radical. b. Se simplifica el radical, cuando esto es posible.

ITESA

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Por ejemplo: 1

3

11

1

1 3 ⋅ 5 =  (5)2  = 5 2 3 = 5 6 = 6 5  

Simplifique los siguientes radicales: No. Ejercicio solución

No. Ejercicio solución

1)

6)

3

8

7)

4 5

2

5

2)

3

3)

3

4

8)

4 3

7

4)

3 4

3

9)

6 3

8

5)

3

81

10)

3 3 3

27

3

Ejercicio 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

ITESA

solución

3 8 − 5 32 24 − 5 6 + 486 5 5 − 2 45 + 3 80

= −14 2

=6 6 = 11 5 = 14 − 6 5

(3 − 5 ) (2 7 − 3 5 ) ( 5 − 3)( 5 + 3) (2 + 3 5 )( 5 − 3) (3 2 + 2 3 )( 3 − 4 2 ) (3 + 2 2 ) (2 8 − 18 ) 2

2

= 73 − 12 35

= −4 = 9−7 5 = −5 6 − 18

2

= 12 2 + 17

=2

2

11.

3 5− 3

12.

3 2 2−5 3

3 3 15 + 22 22 15 6 6 2 =− − 71 71

=

- 36 -

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13. 14. 15. 16. 17. 18.

1 5− 3

5 3 + 2 2 = −1

=

2 −1 1− 2 3 −1 2 − 12 9 7− 3 4 3+ 5 2 5 + 15 − 20

=−

9 7 9 3 + 4 4 = 3− 5

=

= 15

19. 3 20 − 250 + 5 − 3 40 20. 3 2

= 7 5 − 11 10

( )

ITESA

1 2

= 18

- 37 -

1

4

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4. Factorización. 4.1 Descomposición en factores primos Descomponer un número en sus factores primos es convertirlo en un producto indicado de números primos.

Regla para descomponer un número primo compuesto en sus factores primos. Se divide el número entre el menor de sus divisores primos; el cociente se divide también entre el menor de sus divisores primos y así sucesivamente con los demás cocientes, hasta hallar un cociente primo, que se dividirá por sí mismo. Ejemplos: d) Descompongamos al 204 en sus factores primos: Procedemos a dividir el número 204 entre su menor divisor primo 2, y el cociente de ambos se volverá a dividir entre el menor de sus divisores primos y así sucesivamente hasta hallar un cociente primo. 204 ÷ 2 = 102 102 ÷ 2 = 51 51 ÷ 3 = 17 Entonces 204 es igual al producto de 2 x 2 x 3 x 17 Por lo tanto los factores primos de 204 son 2, 3 y 17. e) Descomponer al 25,230 en sus factores primos: 25,230 ÷ 2 = 12,615 12,615 ÷ 3 = 4,205 4,205 ÷ 5 = 841 841 ÷ 29 = 29 Entonces 25,230 es igual a: 2 x 3 x 5 x 29 x 29 Por lo tanto sus factores primos son 2, 3, 5 y 29. ITESA

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Máximo Común Divisor El máximo Común Divisor de dos o más números es el mayor número que los divide a todos exactamente. Se designa por las iniciales M.C.D. Ejemplos: Los números 18 y 24 son divisibles entre 2, entre 3 y entre 6. ¿Hay algún número mayor que 6 que divida a 18 y a 24 en conjunto? No. Entonces, 6 es el M.C.D. de 18 y 24. Los números 60, 100 y 120 son divisibles entre 2, 4, 5, 10 y 20. No hay ningún número mayor que 20 que los divida a los tres en conjunto, entonces 20 es el M.C.D. de 60, 100 y 120. Cuando no es fácil hallar el M.C.D. por simple inspección, éste puede hallarse rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los números dados entre un factor común, los cocientes nuevamente entre un factor común y así sucesivamente hasta que los cocientes sean primos entre sí. El M.C.D. es el producto de los factores comunes. Ejemplos: Hallar el M.C.D. de 208, 910 y 1,690. 208 104 8

910 1,690 455 845 35 65

2 13 .

M.C.D. = 2 x 13 = 26

208, 910 y 1,690 tenían el factor común 2. Los dividimos entre 2 y obtuvimos los cocientes 104, 455 y 845. Estos cocientes tenían el factor común 13, los dividimos entre 13 y obtuvimos los cocientes 8, 35 y 65 que no tienen ningún divisor común. El M.C.D. es 2 x 13 =26. Hallar el M.C.D. de 208, 910 y 1,690. 3,430 2,450 980 4,410 343 245 98 441 49 35 14 63 7 5 2 9 ITESA

10 7 7

- 39 -

M.C.D =10 x 7 x 7 =490

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Mínimo Común Múltiplo. Mínimo Común Múltiplo: Mínimo común múltiplo de dos o más números es el menor número que contiene un número exacto de veces a cada uno de ellos. Se designa por las iniciales m.c.m. Ejemplos: a) El número 36 contiene exactamente a 9 y a 6; 18 también contiene exactamente a 9 y a 6. ¿Hay algún número menor que 18 que contenga a 9 y a 6 en conjunto? No. Entonces 18 es el m.c.m. de 9 y 6. b) El número 60 es divisible entre 2, 3 y 4; 48 también, 24 también y 12 también. Como no hay ningún número menor que 12 que sea divisible entre 2, 3 y 4 tendremos que 12 es el m.c.m. de 2, 3 y 4 Cuando no es fácil hallar el m.c.m. por simple inspección, éste puede hallarse rápidamente dividiendo cada uno de los números dados entre su menor divisor; lo mismo se hace con los cocientes hasta obtener que todos los cocientes sean 1. El m.c.m. es el producto de todos los divisores primos. Ejemplos: a) Hallar el m.c.m. de 60 y 190. Primero se dividen los números 60 y 190 simultáneamente por el mínimo factor común de ambos y con los cocientes se procede de la misma forma hasta llegar a obtener la unidad en ambos números. Tenemos: 60 30 15 5 1

190 2 95 2 95 3 95 5 19 19 m.c.m. = 22 x 3 x 5 x 19 = 1440 1 b) Hallar el m.c.m. de 360, 480, 500 y 600. 360 180 90 45 45 45 15 5 1

ITESA

480 240 120 60 30 15 5 5 1

500 600 250 300 125 150 125 75 125 75 125 75 125 25 125 25 25 5 5 1

2 2 2 2 2 3 3 5 5 5 1 - 40 -

m.c.m. = 25 x 32 x 53 = 36,000

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Ejercicios: 1. ¿Cuál será la menor longitud de una varilla de acero que se puede dividir en pedazos de 8 cm., 9 cm. o 15 cm. de longitud sin que sobre ni falte nada y cuantos pedazos de cada longitud se podría sacar de esa varilla? Procedemos a calcular el m.c.m. de 8, 9 y 15. 8 4 2 1

9 9 9 9 3 1

15 15 15 15 5 5 1

2 2 2 3 3 5 m.c.m. = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 360

Las longitudes de cada varilla serán: 360 ÷ 8 = 45 360 ÷ 9 = 40 360 ÷ 15 = 24 Respuesta: 360 cm.; 45 de 8, 40 de 9 y 24 de 15. 2. Hallar la menor capacidad posible de una cisterna que se pueda llenar en un número exacto de minutos abriendo simultáneamente tres llaves que vierten: la 1ra, 10 m3 por hora; la 2da, 12 m3 por hora y la 3ra, 30 m3 por hora, y cuántas horas tardaría en llenarse. Por simple inspección vemos que la menor capacidad posible de esta cisterna será la suma de los tres volúmenes que logran las llaves abiertas en una hora. Tendremos : 10 + 12 + 30 = 52 Esto se logrará en 1 hora Respuesta: 52 m3; 1 hora.

3. ¿Cuál es la menor capacidad de un estanque que se puede llenar en un número exacto de segundos por cualquiera de tres llaves que vierten: la 1ra, 2 litros por segundo; la 2da, 30 litros en 2 segundos y la 3ra, 48 litros en 3 segundos? La 1ra llave vierte 2 litros por segundo. La 2da llave 30 litros en 2 segundos, es decir 30 ÷ 2 = 15 15 litros por segundo. La 3ra llave 48 litros en 3 segundos, es decir 48 ÷ 3 = 16 16 litros por segundo. ITESA

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Procedemos a hallar el m.c.m. de 2, 15 y 16. 2 15 16 2 1 15 8 2 1 15 4 2 1 15 2 2 1 15 1 3 1 5 1 5 1 1 1 m.c.m. = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 240 Respuesta: 240 litros. 1) Dos cordeles de 36 metros y 48 metros de longitud se quieren dividir en partes iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada parte? Procedemos a calcular el M.C.D. de 36 y 48. 36 48 18 24 9 12 3 4

2 2 3 M.C.D. = 2 x 2 x 3 = 12

Respuesta: 12 metros. 2) Se tienen tres terrenos de 3,675, 1,575 y 2,275 metros cuadrados de superficie respectivamente y se quieren dividir en parcelas iguales. ¿Cuál ha de ser la superficie de cada parcela para que el número de parcelas de cada una sea la menor posible? Procedemos a calcular el M.C.D. de 3,675, 1,575 y 2,275 3,675 1,575 2,275 735 315 455 147 63 91 21 9 13

5 5 7

M.C.D. = 5 x 5 x 7 = 175 Respuesta: 175 metros cuadrados.

ITESA

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5 Notación Científica o Notación Exponencial. Notación científica es un formato de como escribir los números grandes o pequeños de tal forma que puedan manejarse con facilidad. En algunos casos lo podemos nombrar como notación exponencial. La notación exponencial es basada en usar potencia teniendo como base el 10. La ecuación general es la siguiente: A X 10x Donde: A = numero mayor que la unidad y menor que 10 X = es el exponente de 10. Escribir números en la notación exponencial tiene sus ventajas. 1. Para trabajar con números grandes o números pequeños se pueden escribir usando notación exponencial en una forma más manejable para facilitar los cálculos. a) También los números expresados en notación exponencial pueden ser usados con mayor facilidad en las computadoras, y calculadoras. Ejemplo: Escribe en Notación Científica la siguiente cantidad 4142618. 1. Coloca el punto decimal hasta dejar una sola cifra entera a la izquierda. 4.142618 a) Cuenta el número de dígitos por encima del cual se corrió el punto decimal hacia la izquierda y ese será el valor de x = 6. 106 b) Multiplica el resultado del paso 1 por el paso 2 para escribir la forma estándar de la notación científica. 4142618. = 4.142618 X 10 6 Ejemplo: Si queremos realizar la siguiente operación: (0. 00000000000000000000000663 x 30, 000, 000,000) ÷ 0.00000009116

ITESA

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Es incomodo trabajar con esas cantidades, por eso es mucho más fácil hacer la conversión a notación científica y la expresión anterior se vera así: (6.63 x 10¯24 x 3.0 x 1010) ÷ 9.116 x 10¯8 Ejemplos: a) 0.00087 en notación científica es: 8.7 x 10¯4 b) 9.8 en notación científica es: 9.8 x 100 (toda expresión elevada a cero es igual a la unidad) c) 23, 000,000 en notación científica es: 2.3 x 107 d) 0.000000809 en notación científica es: 8.09 x 10-7 e) 4.56 en notación científica es: 4.56 x 100 f) 250, 000, 000,000 en notación científica es: 2.50 x 1011 Exprese las siguientes cantidades en notación científica o decimal: 1) 29,190,000,000 2) 0.00000000459 3) 428.5 x 109 4) 208.8 x 10¯11 5) 28,000 6) 405,000 7) 0.000000423 8) 4) 0.000401 9) 3,030,000 10) 0.00000000000687 11) 40,300 12) 0.00019 13) 55,000,000,000,000 14) 3.54 x 1012 15) 4104 x 10¯16 16) 206.1 x 107 17) 0.0000495 x 10¯16 18) 0.00000227 x 1019 19) 786 x 10¯22

ITESA

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En operaciones de multiplicación con notación científica hay que seguir las leyes de los exponentes para realizar las operaciones. 1.

Cuando se multiplican dos números se multiplicando los coeficientes y se suman los exponentes. Por ejemplo: (4.3 x 106 ) (2 x 102 ) = 8.6 x 106+2 = 8.6 x 108 (4.3 x 106 ) ( 2 x 10-2 )= 8.6 x 104 2. Cuando se divide dos números, se dividen los coeficientes y los exponentes se restan. Por ejemplo: 4.2 x 106 / 2 x 102 = 2.1 x 104 4.2 x 106 / 2 x 10-2 = 2.1 x 108 3.

Cuando se mueve el punto decimal en el coeficiente una posición a la izquierda se tiene sumar uno al exponente. Por ejemplo: 42 x 106 = 4.2 x 107 4200 x 106 = 4.2 x 109 42 x 10-6 = 4.2 x 10-5

4. Cuando se mueve el punto decimal en el coeficiente una posición a la derecha, tiene que restar uno al exponente. Por ejemplo 0.42 x 106 = 4.2 x 105 0.000043 x 106 = 4.3 x 101 0.42 x 10-6 = 4.2 x 10-7 5. Cuando esta sumando o restando dos números en notación científica necesita igualar los exponentes de ambas cantidades y luego puede sumar los coeficientes de tal forma que ambas estén con los mismos exponentes. 4.2 x 106 + 6.4 x 105 = 4.2 x 106 + 0.64 x 106 = 4.84 x 106 4.2 x 10-6 + 6.4 x 10-5 = 0.42 x 10-5 + 6.4 x 10-5 = 6.82 x 10-5 9.2 x 1011 + 9.4 x 1010 = 9.2 x 1011 + 0.94 x 1011 = 10.14 x 1011 = 1.014 x 1012 4.2 x 106 - 6.4 x 105 = 4.2 x 106 - 0.64 x 106 = 3.56 x 106 4.2 x 10-6 - 6.4 x 10-5 = 0.42 x 10-5 - 6.4 x 10-5 = -6.38 x 10-5 1.2 x 1011 - 9.4 x 1010 = 1.2 x 1011 + 0.94 x 1011 = 0.26 x 1011 = 2.6 x 1010

ITESA

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Ejercicios. Encontrar el resultado de: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

8.20 ´ 104 - 3.6 ´ 103 = (3.5 ´ 102) ´ (5.00 ´ 103) = (6.0 ´ 106)/ (1.5 ´ 102) = 8 X 10-3 / 2 X 10.-2 = (8.41 X 103) + (9.71 X 104) = (5.11 X 102) - (4.2 X 102) =

7. 8. 9. 10. 11. 12.

(8.2 X 102) + (4.0 X 103) = (6.3 X 10-2) - (2.1 X 10-1) = 123,876.3 = 1,236,840. = 4.22 = 0.000000000000211=

En conclusión si queremos trabajar con cantidades muy grandes: 1 mol = 602,200,000,000,000,000,000,000 átomos o bien cantidades muy pequeñas 1 Dalton = 0.000,000,000,000,000,000,000,00165 g? debemos utilizar la notación científica como una herramienta útil para realizar las operaciones.

ITESA

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6. Logaritmos. 6.1 Concepto de logaritmo Para poder entender este tema empecemos planteando algunos problemas y buscando su solución y veamos para que sirven estos elementos matemáticos. a) En un criadero de conejos cada hembra tiene cinco crías cada tres meses de gestación, si contamos a la cría de una sola pareja, indicar cuantos conejos habrá en cinco períodos de cría.

1er Período 2do Período 3er Período 4to Período 5to Período 5

5 + 5 = 10

10 + 5 = 15 15 + 5 = 20 20 + 5 = 25

¿Qué hacemos para calcular la cantidad de conejos en cada período?, Sencillamente a la cantidad de crías del período anterior le sumamos cinco. Si llevamos estos datos a un par de ejes cartesianos de manera que los períodos se ubiquen sobre las abscisas y la cantidad de crías en las ordenadas, a partir del gráfico, podemos indicar la cantidad de crías que tendrían en cualquier período. Siendo "x" el número de períodos y "C(x)" la cantidad de crías ¿Cómo expresaríamos con una ecuación la cantidad de crías en función del tiempo (períodos)?. Los períodos sucesivos los encontramos sumando el anterior 5, o sea multiplicamos en número del período por cinco. C(x) = 5 x b) Supongamos que ahora analizamos un cultivo de bacterias, las que se reproducen cada 0,2 seg. (se dividen por la mitad). Completemos el cuadro de los primeros cinco período.

1er Período 2do Período 3er Período 4to Período 5to Período 2

2x2=4

4x 2=8

8 x 2 = 16 16 x 2 = 32

¿Qué se hace para calcular la cantidad de bacterias en cada período? Nuevamente utilizamos la cantidad de individuos del período anterior, sólo que esta vez lo multiplicamos por 2.

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Si llevamos estos datos a un par de ejes cartesianos de manera que los períodos se ubiquen sobre las abscisas y la cantidad de bacterias en las ordenadas, a partir del gráfico, podemos indicar la cantidad de estos microbios que habría en cualquier período. La diferencia con el anterior es que debemos tener en cuenta que partimos de un individuo (que al partirse se convierte en dos). En este caso la ecuación matemática a la que responde la división de las bacterias es diferente a la anterior de los conejos. Sigamos utilizando a la x para indicar el número del período. En el primer período tenemos 2, en el segundo 2 . 2 = 22 , en el tercero 2 . 2 . 2 = 23, si generalizamos tenemos que en el período "n" el número de bacterias es 2 n. Así que la ecuación es: C(x) = 2x Volvamos al problema de los conejos. Si tenemos 125 crías ¿cuántos períodos han pasado? Utilizando la ecuación que encontramos: 5x = 125, despejemos, x = 125 / 5 = 25. Necesitamos 25 períodos. Si tenemos 512 bacterias ¿Cuántos períodos han pasado? Utilicemos la ecuación: 2x = 512 Evidentemente el problema se complica un poco. Para encontrar la respuesta a esta cuestión debemos hallar el exponente al que está elevado Primero recordemos algo: Cuando viste potencia se dijo que: "la base (a) elevada al exponente (b) nos da como resultado igual que multiplicar "b" veces "a" ab = a1. a2. a3. a4 ... ab = C Ejemplo

7 3 = 6.6.7 = 343

Ahora estamos buscando el exponente al que está elevado, número que pusiste en la fórmula para hallar la cantidad de bacterias, para ello nos vemos obligados a buscar una operación matemática que no conocías, el logaritmo. Por definición: Log a C = b únicamente si a b = C (Se lee " logaritmo en base a de C ") De allí que para calcular el período en que tenemos 512 bacterias necesitamos conocer el exponente al que hemos elevado a "2". Entonces: ITESA

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2 2 • 23 • 2 4 = 2 (2 + 3 + 4) = 2 9

Resolvamos:

6.2 Propiedades de los logaritmos El "producto de potencias de igual base" es una propiedad que nos indica que podemos sumar las potencias cuando operamos con multiplicaciones de este tipo. Como trabajamos con potencias al aplicar logaritmos, traslademos esta propiedad al tema que estamos tratando. Si tenemos una multiplicación y aplicamos logaritmos se transformará en este se trasformará en suma. log (a * b) = log a + log b En cuanto a la división, como las potencias se restan, al aplicar logaritmos se transforman en resta. log (a/b) = log a – log b En "potencia de potencia", las potencias se multiplican. Por eso, cuando aplicas logaritmo a un número elevado a una potencia, el exponente pasa multiplicando al logaritmo de la base. log a b = b (log a) En cuanto a la raíz, que es una potencia fraccionaria, la fracción baja para multiplicar al logaritmo. La fracción es una división entre enteros, así que el denominador, en realidad, está dividiendo. 1 b

1 b

x = a → x = a ⇒ log x = log a = b

1 log a b

6.3 Logaritmos de base diez Logaritmos de base diez: Cuando escribimos la palabra "log" y no aclaramos de que base se trata, se toma (por convención o acuerdo) que la base es diez. En tu calculadora vas a encontrar una tecla que dice log. Esta tecla halla automáticamente el logaritmo de base diez.

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101 = 10 10 = 100

log10 = 1 log100 = 2

103=1000

log1000 = 3

2

• Cambio de base El concepto de cambio de base deriva de la definición de logaritmo. Pongamos un ejemplo para entender mejor el procedimiento. x = log2 32 (por definición de logaritmo) 2x = 32 (aplicamos logaritmo, recuerden que sucede con la potencia) x . log 2 = log 32 (despejamos x) x =

Hemos cambiado la base del logaritmo que aplicamos a la operación trasformándola en una división del logaritmo de la base y el logaritmo del número. En este caso, al principio estaba en base dos y la cambiamos a base diez.

Generalizando:

6.5 Logaritmo Neperiano o Natural. Los logaritmos son operaciones matemáticas ampliamente usadas, es por eso que los hallamos en las calculadoras científicas. Entre todos los números que se pueden emplear como base encontramos dos que son los más difundidos: 20) logaritmo de base 10 de x, simbolizado como Log(x) 21) logarítmo natural de x, simbolizado como ln (x) El logarítmo Neperiano o Natural tiene como base al número e = 2,718281828 . Ejemplo: Ln 2 es resultado es la potencia a la que tienes que elevar a e para que te de 2. Si tenemos el valor del logaritmo neperiano y queremos saber el valor del número al que le hemos efectuado esta operación también utilizamos la calculadora: Antiguamente los logaritmos eran utilizados para resolver cuentas extremadamente grandes, con el advenimiento de la calculadora hoy se les utiliza para resolver ecuaciones solamente. Pero eso no quiere decir que se les utilice menos sino que se han agilizado los cálculos y ustedes no tienen que perder tiempo resolviendo cuentas.

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Ejercicios 1) Justifique los siguientes valores:

e) log 2 0.5 = −1

a ) log 2 4 = 2

f ) log 2 0.25 = −2

b) log 3 27 = 3

g ) log 2 0.125 = −3

c) log 2 16 = 4

h) log 6 216 = 3

d ) log 5 125 = 3

i ) log1000 = 3

2) Resolver aplicando las propiedades de logaritmos. a) log[(5)(3)] = log 5 + log 3

[

]

b) log (2 ) (3) = 3 log 2 + log 3 3

7 c) log   = log 7 − log 3 3  (2 )(3)  d ) log   = 5(log 2 + log 3 − log 4 )  4  5

e) log

3 .5 1 = (log 3 + log 5) − log 2 2 2

3) Cambio de base:

a) log2 5 =log 5 / log 2

c) log3 7 = log 7 / log 3

b) log32 =log 2 / log 3

d) log5 24 = log 24 / log 5

4) Ecuaciones:

a ) log 2 + log 2 4 = 3; x = 2 b) log x 8 + log x 2 = 2; x = −4; x = 4

(

)

c) log 2 x 3 − 4 = 2; x = 2,3 y − 1

d ) log( x + 1) + log(x − 2) = 0; x = 3 e) log 5 x − log( x − 1) = 1; x = 2 5)

Para determinar la edad de una roca la ciencia actualmente ha podido desarrollar una técnica basada en la concentración de material radiactivo en su interior. Cuanto más joven es la roca mayor concentración de material t radiactivo encontraremos. C(t) = k. 3 – es la fórmula que se utiliza, donde C (t) representa la concentración del material radiactivo, t el tiempo transcurrido medido en cientos de años y "k" la concentración del elemento en el momento de formarse la roca. Si k = 4500 • ¿Cuánto tiempo debe haber pasado para que hallemos una concentración de 1500?

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Rta. t = 1

•

¿Qué concentración tendríamos al cabo de dos siglos? Rta. 1,7 .10 – 92

•

¿ En qué tiempo se acabaría este material ? Rta. La ecuación no tiene como resultado el número cero, por lo que teóricamente siempre quedaría un mínimo resto de material radiactivo.

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UNIDAD II: ALGEBRA CONCEPTOS BASICOS SOBRE ALGEBRA Álgebra: Es la rama de las matemáticas que estudia las cantidades consideradas del modo más general posible Ejemplo: Representa la suma de dos números cualquiera: Representación de una suma específica 1+3 Representación de una resta específica 43-7

Notación Algebraica

Números conocidas)

Representación de una suma en modo general a+b Representación de una resta en modo general c-d (Para

cantidades

Letras (Para cantidades conocidas (literales) y desconocidas (incógnitas) Variable: Valor que cambia. Dependiente Tipos de Variable Independiente

Constante: Valor que no cambia, no se altera o no se modifica.

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Signos de operación

Signos del álgebra

Adición Sustracción Multiplicación División Potencia Radicación = > < != >= 0, y hacia la derecha a favor de las manecillas del reloj, para que t