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Cálculo III

Prácticas

Ing. Cristina Yubero UNLZ-Facultad de Ingeniería

1

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Práctica N°1

Transformada de Laplace ˆ 1. Utilizando la definición de L (f (t)) =

∞

e−s.t f (t).dt encontrar F (s) = L (f (t))

0

1. f (t) = 1 { −1 si 0 < t < 2 2. f (t) = 1 si t > 2 { t si 0 < t < 1 3. f (t) = 1 si t > 1

2. Calcular F (s) = L (f (t)) 1. f (t) = 1 + 4e4t + t2 2. f (t) = 2. sin(3t) + 5. cos(5t) 3. f (t) = (et − e−t )2 4. f (t) = (t − 3)2

3. Calcular L (f (t) usando previamente una identidad trigomométrica conveniente 1. f (t) = sin(2t). cos(2t) 2. f (t) = cos2 (t) 3. f (t) = sin(3t + π)

4. Calcular L −1 (F (s)) 1. F (s) =

3 s5

2. F (s) =

(s + 1)2 s3

3. F (s) =

3 (s − 2)5

4. F (s) =

4s − 6 s2 + 25

5. F (s) =

3s2 − 2s + 7 (s + 3)(s − 1)2

6. F (s) =

s2 − 5s + 1 (s2 + 3)(s − 1)

5. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el Método de Laplace 1. y ′ + 4y = e4t 2. y ′′ − 6y ′ + 9y = t 3. y ′′ − y ′ = cos(t)

y(0) = 2 y(0) = 0 , y ′ (0) = 1 y(0) = 0 , y ′ (0) = 0 2

1er Cuatrimestre 2017

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Práctica N°1

6. Calcular F (s) ó f (t) según corresponda 1. f (t) = e5t sin(3t) 2. f (t) = t(et + e2t )2 3. f (t) = e3t (9 − 4t + 10 sin( π2 t) 4. F (s) =

s−3 (s − 2)2 + 1

s−6 s2 − 8s + 25 s 6. F (s) = 2 s + 4s + 5 5. F (s) =

7. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el Método de Laplace 1. y ′ − y = 1 + tet

y(0) = 0

2. y ′′ − 4y ′ + 4y = t2 e2t

y(0) = 1 , y ′ (0) = 0

8. Escribir f (t) en términos de U (t − a) y encontrar L (f (t)) en cada caso. { −2 1. f (t) = 2   2 2. f (t) = t2   1

si 0 < t < 3 si t > 3 si t < 1 si 1 < t < 3 si t > 3

9. Calcular F (s) ó f (t) según corresponda 1. f (t) = (t − 1)U (t − 1) 2. f (t) = sin(t)U (t − π/2) 3. f (t) = cos(2t)U (t − π) 4. F (s) =

e−2s s5

5. F (s) =

e−3s s2 (s − 1)

6. F (s) =

(1 + e−2s )2 s+2

10. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el Método de Laplace 1. y ′ − y = f (t) 2. y ′ + 2y = f (t)

3. y ′′ + 4y ′ = f (t)

{ 0 si 0 < t < 1 y(0) = 0,donde f (t) = 5 si t > 1 { t si 0 < t < 1 y(0) = 0, donde f (t) = 0 si t > 1 { 1 si 0 < t < 1 y(0) = 0, ,y ′ (0) = 1 donde f (t) = 0 si t > 1 3

1er Cuatrimestre 2017

TRANSFORMADA DE LAPLACE { 1 y(0) = 0, ,y ′ (0) = 1 donde f (t) = 0

4. y ′′ + 4y = f (t)

Práctica N°1

si 0 < t < 1 si t > 1

Respuestas Ejercicio 1 1. L (1) =

1 con s > 0 s

2. L (f (t)) =

2e−2s − 1 s

3. L (f (t)) =

1 − e−s s2

Ejercicio 2 1. F (s) = 2. F (s) =

1 4 2 + + s s − 4 s3 s2

6 5s + 2 + 9 s + 25

3. F (s) =

1 2 1 − + s−2 s s+2

4. F (s) =

9 6 2 − 2+ 3 s s s

Ejercicio 3 1. F (s) =

s2

2 + 16

2. F (s) =

1 s + 2s 2s2 + 8

3. F (s) =

−3 s2 + 9

Ejercicio 4 1. f (t) =

1 8t4

2. f (t) = 1 + 2t + 3. f (t) =

t2 2

t4 e2t 8

6 sin(5t) 5 ( ) 5 −3t 1 t 5. f (t) = e +e + 2t 2 2 4. f (t) = 4 cos(5t) −

√ √ 2 8 5 6. f (t) = − cos( 3t) + √ sin( 3t) + et 7 7 7 3 4

1er Cuatrimestre 2017

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Práctica N°1

Ejercicio 5 1. y(t) =

15e−4t + e4t 8

2. y(t) =

2 + 3t − e3t (2 + 9t) 27

3. y(t) =

−2 + et + cos(t) − sin(t) 2

Ejercicio 6 1. F (s) =

3 (s − 5)2 + 9

2. F (s) =

1 2 1 + + 2 2 (s − 2) (s − 3) (s − 4)2

3. F (s) =

4 9 − + s − 3 (s − 3)2

5π (s − 3)2 +

π2 4

4. f (t) = e2t (cos(t) − sin(t)) 5. f (t) = e4t (cos(5t) −

2 sin(5t)) 5

6. f (t) = e−2t (cos(t) − 2 sin(t))

Ejercicio 7 1. y(t) =

−2 + et (2 + t2 ) 2

2. y(t) = e2t (1 − 2t +

t4 ) 12

Ejercicio 8 1. f (t) = 4U (t − 3)-2U (t) 2. f (t) = 2 + U (t − ( ) −8s2 + 6s − 2 −3s e s3

1)(t2

F (s) =

4e−3s − 2 s

− 2)+U (t − 3)(1 −

t2 )

2 F (s) = + e−s s

(

−s2 + 2s + 2 s3

) +

Ejercicio 9 1. F (s) = e−s

1 s2

2. F (s) = e−πs/2 3. F (s) = e−πs

s2

s2

s +1

s +4

4. f (t) = U (t − 2)

(t − 2)4 24

5. f (t) = U (t − 3)(2 − t + e−t+3 ) 6. F (t) = e−2t (1 + 2e4 U (t − 2) + e8 U (t − 4)) 5

1er Cuatrimestre 2017

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Práctica N°1

Ejercicio 10 1. y(t) = 5U (t − 1)(−1 + et−1 ) 2. y(t) =

2t − 1 + e−2t 5 − 2t + 3e−2t+2 + U (t − 1) 4 4

3. y(t) =

1 − cos(2t − 2) 1 − cos(2t) + U (t − 1) 4 4

4. y(t) =

3 + 4t + e−4t+4 4t + 3 + 5e−4t − U (t − 1) 16 16

6

1er Cuatrimestre 2017

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Práctica N°1

Aplicaciones Ejercicio 1 El circuito de la figura está formado por una fuente, un resistor y un inductor. En el instante inicial la corrientte que circula por el circuito es nula y la fuente proporciona 10 Volts durante los primeros 5 segundos. Datos: R=2 Ω , L=1 Henry 1. Escribir f (t) en términos de la función salto unidad. 2. Plantear la ecuación diferencial que permite encontrar la corriente que circula en el circuito. 3. Resolver utilizando el Método de Laplace. 4. Utilizando MatLab resolver utilizando el Método de Laplace. 5. Graficar i(t)

Ejercicio 2 El circuito de la figura está formado por una fuente, un resistor y un capacitor. En el instante inicial la corrientte que circula por el circuito es i(0) = 0.4Amper y la fuente proporciona 200 Volts durante los primeros 30 segundos. Datos: R=1000 Ω , C=0.005 farads 1. Escribir f (t) en términos de la función salto unidad. 2. Plantear la ecuación diferencial que permite encontrar la corriente que circula en el circuito. 3. Resolver utilizando el Método de Laplace. 4. Graficar i(t)

7

1er Cuatrimestre 2017

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Práctica N°1

Ejercicio 3 En el instante inicial no circula corriente en el circuito de la figura y la fuente proporciona 200 Volts . Datos: R1=R2=10Ω , L1=L2=1 Henry 1. Escribir f (t) en términos de la función salto unidad. 2. Plantear el sistema de ecuaciones diferenciales que permite encontrar las corrientes i1 (t) e i2 (t) que circulan en el circuito. 3. Resolver el sistema utilizando MatLab. 4. Graficar i1 (t) e i2 (t)

8

1er Cuatrimestre 2017

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Práctica N°1

Respuestas Ejercicio 1 1-f (t) = 10(U (t) − U (t − 5)) 2-f (t) = 2i(t) + i′ (t) ( ) ( ) 3-i(t) = 5U (t − 5) e10−2t − 1 + 5 1 − e−2t 4-Resolución con Matlab

5- Gráfico de i(t)

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1er Cuatrimestre 2017

SUCESIONES

Práctica N°2

Sucesiones 1. Hallar los cuatro primeros términos de las siguientes sucesiones 2n + 3 (n − 1)! ( π) 2. a(n) = sin n 4 { } 1 3. 2n−1 2 n>1

con n > 1

1. a(n) =

4. a1 = 1,

an+1 =

  3 5. an = n + 3  n2

con n > 1

1 3 − an

si n

es

si n

es

par impar

2. Calcular el límite de las sucesiones cuyo término general se dá o determinar su divergencia 1. a(n) =

2n √ 6n − 5 n

2. a(n) = n3 e−2n 3 √ n − n2 + 1 √ √ 4. a(n) = n + 1 − n 3. a(n) =

3. Determinar si las siguientes sucesiones son crecientes o decrecientes 1. a(n) =

3n − 1 5 − 4n

2. a(n) =

n! 3n

3. a(n) =

(2n)! 5n

4. a(n) =

2n n!

Respuestas Ejercicio 1 } { 9 11 1. 5, 7, , 2 6

{√ 2.

} √ 2 2 , 1, − ,0 2 2

} { 1 1 1 1 3. , , , 2 8 32 128

{ } 1 2 5 4. 1, , , 2 5 13

{

2 5. 3, 4, 3, 3

Ejercicio 2 1, lim a(n) = n
∞

1 3

2. lim a(n) = 0 n
∞

3. Diverge

10

4. Diverge

1er Cuatrimestre 2017

}

SUCESIONES

Práctica N°2

Ejercicio 3 1. {a(n)} es Creciente 2. {a(n)} es Creciente 3. {a(n)} es Creciente 4. {a(n)} es Decreciente

11

1er Cuatrimestre 2017

SERIES-NUMÉRICAS

Práctica N°3

Series Numéricas 1. Determinar la convergencia de las siguientes series numéricas. En caso se ser convergentes hallar su suma 1.

∞ ∑ n=1

2.

∞ ∑ n=1

n n+2 √

n 2n2 + 3

3.

∞ 2n ∑ 2n n=0 5

4.

∞ 3n ∑ 2n n=1 4

5.

∞ ∑

5.3−2n .7n+1

n=2

2. Usar el criterio de comparación por paso al límite para determinar la convergencia de las siguientes series 1.

∞ ∑ n=0

n4

n + 3n2 + 2

∞ ∑

3n5 3 n=2 n + 2n − 3 √ ∞ 5 10n + 4n20 + n2 ∑ 3. n10 + 2n4 n=1 2.

4.

∞ (n3 − 3n)4 ∑ 18 5 n=1 n + 5n

3. Analizar la convergencia de las siguientes series alternadas 1.

∞ (−1)n ∑ n=1 n ln(n)

2.

∞ (−1)n n ∑ 2n n=1

∞ (−1)n−1 ln(n) ∑ n n=1 ( ) ∞ ∑ 5 n 4. (−1) cos n n=1

3.

4. Probar que la serie

∞ (−1)n ∑ es condicionalmente convergente n n=1

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1er Cuatrimestre 2017

SERIES-NUMÉRICAS

Práctica N°3

Respuestas Ejercicio 1 1. Diverge 2. Diverge 3.

∞ 2n ∑ 25 = 2n 23 n=0 5

4.

∞ 3n ∑ 3 = 2n 4 13 n=1

5.

∞ ∑

5.3−2n 7n+1 =

n=2

1715 18

Ejercicio 2 1. Converge

2.Diverge

3.Converge

4.Converge

Ejercicio 3 1. Converge

2.Converge

3.Converge

4.Diverge

Ejercicio 4 Demostración

13

1er Cuatrimestre 2017

SERIES DE POTENCIAS

Práctica N°4

Serie de Potencias 1. Dadas las siguientes series de potencias indicar su centro, radio e intervalo de convergencia 1.

∞ (4x)n ∑ n=0 n + 2

2.

∞ n2 xn ∑ n n=0 2

3.

∞ (x − 1)n ∑ 2 n=0 n + 5

4.

∞ (−1)n+1 (x − 2)n ∑ (n + 1)! n=0

5.

∞ (−1)n (x + 2)2n ∑ n5 4n n=1

6.

∞ (4x − 2)n 5n ∑ n! n=0

7.

∞ (−1)n+1 xn ∑ n n=2 4 ln(n)

2. La serie

∞ ∑

cn (x − 2)n tiene radio de convergencia 3. ¿Qué se puede decir de

n=0

la convergencia de las siguientes series? 1.

∞ ∑

cn 4n

n=0

2.

∞ ∑

cn (−1)n 2n

n=0

3.

∞ ∑

cn (−1)n 3n

n=0 ∞ ∑

3. La serie

cn (x − 1)n converge para x = 3 y diverge para x = −2. ¿Qué se

n=0

puede decir de la convergencia de las siguientes series? 1.

∞ ∑

cn 3n

n=0

2.

∞ ∑

cn (−1)n 2n

n=0

3.

∞ ∑

cn (−1)n 5n 2−n

n=0

4. Dada la serie de potencias

∞ (−1)n+1 (x − 2)2n ∑ n2 4n n=1

1. Determinar el intervalo de convergencia 2. Determinar la derivada de la serie de potencias e indicar su intervalo de convergencia 3. Determinar la integral de la serie de potencias e indicar su intervalo de convergencia 14

1er Cuatrimestre 2017

SERIES DE POTENCIAS

5. Dada la serie de potencias

∞ ∑

Práctica N°4

− 3)n n2 4n

n (x

(−1)

n=1

1. Determinar el intervalo de convergencia 2. Determinar la derivada de la serie de potencias e indicar su intervalo de convergencia 3. Determinar la integral de la serie de potencias e indicar su intervalo de convergencia

Respuestas Ejercicio 1 1. Centro x = 0, Radio R =

1 Intervalo I = [−1/4, 1/4) 4

2. Centro x = 0, Radio R = 2 Intervalo I = (−2, 2) 3. Centro x = 1, Radio R = 1 Intervalo I = [0, 2] 4. Centro x = 2, Radio R = ∞ Intervalo I = (−∞, ∞) 5. Centro x = −2, Radio R = 2 Intervalo I = [−4, 0] 1 6. Centro x = , Radio R = ∞ Intervalo I = (−∞, ∞) 2 7. Centro x = 0, Radio R = 4 Intervalo I = (−4, 4) Ejercicio 2 1.Diverge

2.Converge

3.No se sabe

Ejercicio 3 1. Converge

2.Diverge

3. No se sabe

Ejercicio 4 1. Intervalo de convergencia I = [0, 4] 2.

∞ 2(−1)n+1 (x − 2)2n−1 ∑ n4n n=1

3.

∞ (−1)n+1 (x − 2)2n+1 ∑ +C (2n + 1)n2 4n n=1

ID = [0, 4] II = [0, 4]

Ejercicio 5 1. Intervalo de convergencia I = (0, 6] 2.

∞ (−1)n (x − 3)n−1 ∑ 3n n=1

3.

∞ (−1)n (x − 3)n+1 ∑ +C n(n + 1)3n n=1

ID = (0, 6) II = [0, 6]

15

1er Cuatrimestre 2017

FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS

Práctica N°5

Desarrollo de funciones como series de potencias ∞ ∑

1 con intervalo de convergencia | x |< 1, hallar la 1−x n=0 representación como serie de potencias de las siguientes funciones y determinar su intervalo de convergencia 1. Sabiendo que

xn =

3 1 1. f (x) = . Valuando la serie hallada en x = ,determinar el valor de la serie numérica 1 − x4 3 ∞ ∑ 1 4n−1 n=0 3 1 x . Valuando la serie hallada en x = ,determinar el valor de la serie numérica 2 9+x 3 ∞ (−1)n ∑ 4n+3 n=0 3

2. f (x) =

x3 . Valuando la serie hallada en x = 1,determinar el valor de la serie numérica x + 10 n ∞ ∑ (−1) n+1 n=0 10

3. f (x) =

Desarrollo en serie de Mc Laurin 2. Hallar la serie de Mc Laurin de las siguientes funciones 1. f (x) = x2 ln(1 − 4x2 ) 2. f (x) = cos(x2 ) ( 2) x 3. f (x) = arctan 9

3. Dada la función f (x) = e−x

2

1. Hallar el desarrollo en serie de Mc Laurin de f (x) ˆ 2 2. Hallar el desarrollo en serie de Mc Laurin de e−x dx 3. Hallar el desarrollo en serie de Mc Laurin de

´1 0

e−x dx 2

4. Indicar el valor aproximado de la integral utiizando los cuatro primeros términos de la serie hallada en 3.

( 4

4. Dada la función f (x) = x arctan

x2 9

)

1. Hallar el desarrollo en serie de Mc Laurin de f (x) 2. Valuando la serie hallada en x = 1,determinar el valor de la serie numérica (

ˆ

) 2

∞ ∑ n=0

(−1)n (2n + 1)92n+1

x dx 9 ( 2) ´ 1/3 4 x 4. Hallar el desarrollo en serie de Mc Laurin de 0 x arctan dx 9 3. Hallar el desarrollo en serie de Mc Laurin de

16

x4 arctan

1er Cuatrimestre 2017

FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS

Práctica N°5

Respuestas Ejercicio 1 ∞ ∑

1. f (x) =

3x4n

I = (−1, 1)

n=0

∞ ∑ n=0

1 243 = 34n−1 80

2. f (x) =

∞ (−1)n x2n+1 ∑ 9n+1 n=0

I = (−3, 3)

3. f (x) =

∞ (−1)n xn+3 ∑ 10n+1 n=0

I = (−10, 10)

∞ (−1)n ∑ 3 = 4n+3 8 n=0 3 ∞ (−1)n ∑ 1 = n+1 11 n=0 10

Ejercicio 2 ∞ ∑

4n x2n+2 n

I = (−1/2, 1/2)

∞ (−1)n x4n ∑ (2n)! n=0

I = (−∞, ∞)

1. f (x) =−

n=1

2. f (x) =

∞ ∑

3. f (x) =

n=0

(−1)n x4n+2 (2n + 1)92n+1

I = [−3, 3]

Ejercicio 3 1. f (x) = 2. 3. 4.

´

∞ (−1)n x2n ∑ n! n=0

I = (−∞, ∞)

∞ (−1)n x2n+1 ∑ +C n=0 (2n + 1)n!

e−x dx = 2

´1 0

´1 0

e−x dx = 2

∞ ∑

n=0

e−x ≃ 2

(−1)n (2n + 1)n!

26 35

Ejercicio 4 1. f (x) =

∞ ∑ n=0

(−1)n x4n+6 (2n + 1)92n+1

I = [−3, 3]

( ) (−1)n 1 2. = arctan 2n+1 9 n=0 (2n + 1)9 ( 2) ∞ ´ ∑ (−1)n x4n+7 x 3. x4 arctan dx = +C 2n+1 9 n=0 (2n + 1)(4n + 7)9 ( 2) ∞ ´ 1/3 4 ∑ x (−1)n 4. 0 x arctan dx = 8n+9 9 n=0 (2n + 1)(4n + 7)3 ∞ ∑

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1er Cuatrimestre 2017

SERIES DE FOURIER

Práctica N°6

Series de Fourier Sea f una función suave a trozos definida para −L 6 x 6 L, entonces la Serie de Fourier asociada a la función es: ( nπx ) ( nπx )] a0 ∑ [ an cos + bn sin Sf (x) = + 2 L L n=1 ( ) 1 ´L nπx donde an = f (x) cos para n > 0 L −L L ) ( 1 ´L nπx bn = para n > 1 f (x) sin −L L L ∞

1. Hallar la serie de Fourier de las siguientes funciones en el intervalo indicado 1. f (x) = −x + 3 si −2 6 x 6 2 { 0 si − 5 < x < 0 2. f (x) = 2 si 0 < x < 5 3. f (x) = e−2x si { 1−x 4. f (x) = 1 { −x 5. f (x) = 1 + x2

−2 6 x 6 2 si − 1 < x < 0 si 0 < x < 1 si − 1 < x < 0 si 0 < x < 1

2. Dadas las siguientes funciones, utilizar el teorema de convergencia para: a. Determinar la serie de Fourier de las funciones b. Graficar la serie en el intervalo indicado   2x si − 3 6 x < −2 1. f (x) = 0 si − 2 < x < 1   2 x si 1 6 x 6 3   si − 4 6 x < −2 −2 2 2. f (x) = 1 + x si − 2 < x < 2   0 si 2 6 x 6 4   −x + 2π si − 2π 6 x < −1 3. f (x) = 0 si − 1 < x < 1   2 x si 1 6 x 6 2π

x2 3. Sea f (x) = para −π 6 x 6 π.Hallar la serie de Fourier asociada a f (x) y 2 evaluar la serie obtenida en un valor apropiado para encontrar la suma de las siguientes series numéricas. 1.

∞ 1 ∑ 2 n=1 n

2.

∞ (−1)n ∑ n2 n=1

18

1er Cuatrimestre 2017

SERIES DE FOURIER

Práctica N°6

4. Dadas las siguientes funciones periódicas a. Graficar la función b. Graficar la serie de Fourier asociada a f c. Hallar la serie de Fourier asociada a f { −2 si − 3 < x < 0 1. f (x) = con f (x + 6) = f (x) 2 si 0 < x < 3 { x3 si − 1 < x < 0 2. f (x) = con f (x + 2) = f (x) 0 si 0 < x < 1 { 2 si − 1 < x < 0 3. f (x) = con f (x + 2) = f (x) x + 1 si 0 < x < 1 { x2 si − 1 < x < 0 4. f (x) = con f (x + 2) = f (x) x − 1 si 0 < x < 1 5. Analizar la paridad de las siguientes funciones y hallar la serie de Fourier asociada en el intervalo indicado 1. f (x) = −x 2. f (x) = −x2

si −2 6 x 6 2 si −1 6 x 6 1

3. f (x) = x3 + x si

−1 6 x 6 1

Series de Fourier en senos y cosenos Sea f una función suave a trozos definida para 0 6 x 6 L, entonces la Serie de Fourier en cosenos asociada a la[ función es )] ( nπx ( nπx ) ∞ a0 ∑ 2 ´L f (x) cos Sf (x) = + an cos donde an = para n > 0 2 n=1 L L 0 L Sea f una función suave a trozos definida para 0 6 x 6 L, entonces la Serie de Fourier en senos asociada[a la función es ( nπx )] ( nπx ) ∑ 2 ´L Sf (x) = bn sin donde bn = f (x) sin para n > 1 L L 0 L

6. Para las siguientes funciones, definidas en el semiintervalo [0,L] a. Hallar la extensión par de f para [-L,L] b. Hallar la serie en cosenos de f c. Hallar la extensión impar de f para [-L,L] d. Hallar la serie en senos de f { x si 0 < x < 1 1. f (x) = 1 si 1 < x < 2 { 0 si 0 < x < π 2. f (x) = cos(x) si π < x < 2π

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1er Cuatrimestre 2017

SERIES DE FOURIER

Práctica N°6

Respuestas Ejercicio 1 1. a0 = 6

an = 0

bn =

4(−1)n nπ

2. a0 = 2

an = 0

bn =

2[1 − (−1)n ] nπ

3. a0 =

e4 − e−4 4

4. a0 =

5 2

5. a0 =

11 6

an =

an =

4(−1 + e8 )(−1)n e4 (16 + n2 π 2 )

−1 + (−1)n n2 π 2

an =

−1 + 3(−1)n n2 π 2

bn =

bn =

(−1 + e8 )nπ(−1)n e4 (16 + n2 π 2 )

(−1)n nπ

bn =

(−1)n − 1 2[(−1)n − 1] + nπ n3 π 3

Ejercicio 3 Sf =

∞ 2(−1)n π2 ∑ + cos(nx) 6 n=1 n2

1.

∞ 1 ∑ π2 = 2 3 n=1 n

2.

∞ (−1)n ∑ −π 2 = n2 12 n=1

Ejercicio 4 ∞ 4[1 − (−1)n ] ∑ nπx sin( ) nπ 3 n=1 ( ) ( ) ∞ 1 ∑ 6[1 − (−1)n ] 3(−1)n 6 (−1)n 2. Sf = − + − 2 2 cos(nπx)+ 3 3 − sin(nπx) 8 n=1 n4 π 4 n π n π nπ

1. Sf =

∞ −1 + (−1)n 7 ∑ −1 3. Sf = + cos(nπx)+ sin(nπx) 2 2 4 n=1 n π nπ ( ) ∞ −1 + 3(−1)n ∑ 1 2[1 − (.1)n ] (−1)n − 1 4. Sf = − + cos(nπx)+ + sin(nπx) 12 n=1 n2 π 2 n3 π 3 nπ

Ejercicio 5 ∞ 4(−1)n ∑ nπx sin( ) 2 n=1 nπ

1. Impar, Sf =

∞ −4(−1)n 1 ∑ cos(nπx) 2. Par,Sf = − + 3 n=1 n3 π 3 ( ) ∞ ∑ 12(−1)n 4(−1)n 3. Impar,Sf = sin(nπx) − n3 π 3 nπ n=1

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1er Cuatrimestre 2017

SERIES DE FOURIER

Práctica N°6

Igualdades trigonoméricas cos(kπ) = (−1)k sin(kπ) = 0 ( ) ( ) (2k + 1)π (2k + 1)π (x)cos =0 sin = (−1)k 2 2 Integrales ´ x cos(wx) sin(wx) x sin(wx) = − + w w2 ´ x sin(wx) cos(wx) x cos(wx) = + w w2 ´ 2 (−2 + w2 x2 ) cos(wx) 2x sin(wx) x sin(wx) = − + w3 w2 ´ 2 (−2 + w2 x2 ) sin(wx) 2x cos(wx) x cos(wx) = + w3 w2 ´ 3 x(−6 + w2 x2 ) cos(wx) 3(−2 + w2 x2 ) sin(wx) x sin(wx) = − + w3 w4 ´ 3 3(−2 + w2 x2 ) cos(wx) x(−6 + w2 x2 ) sin(wx) x cos(wx) = + w4 w3 ´

´ ´

cos(x) cos(wx) =

− cos(wx) sin(x) + w cos(x) sin(wx) −1 + w2

cos(x) sin(wx) =

w cos(x) cos(wx) + sin(x) sin(wx) −1 + w2

eax (a cos(wx) + w sin(wx)) a2 + w 2 ´ ax eax (−w cos(wx) + a sin(wx)) e sin(wx) = a2 + w 2 eax cos(wx) =

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ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Práctica N°7

Ecuaciones Diferenciales Parciales 1. Dada u(x,y) calcular

∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2u , , 2, 2, y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x∂y ∂y∂x

1. u(x,y) = ex.y 2. u(x,y) = (x + y)2 +

1 y−3

3. u(x,y) = x3 + y ln(x)

2. Encontrar u(x,y) para las siguiente EDP 1.

∂u ∂u = ∂x ∂y

2. ux + uy = u 3. x.ux − y.uy = 0 4. y.ux − x.uy = 0 5. ux + (1 + y 2 ).u = 0

3.Encontrar u(x,y) para las siguiente EDP con condiciones iniciales {

u(0, 0) = 1 ux (0, 0) = 3 { u(1, −1) = 2 2. 3y 2 ux − .uy = 0 con uy (1, −1) = −2 1. ux + 3.uy = 0 con

4. Encontrar u(x,y) para las siguiente EDP de 2do orden 1. uxx = uxy {

u(0, 0) = 1 uy (0, 0) = 1/2

2. uxy − u = 0 con 3. uyy − .ux = 0

Respuestas Ejercicio 2 1. u(x,y) = keα(x+y) . 2. u(x,y) = ke(α−1)x+αy 3. u(x,y) = k| x.y |α 4. u(x,y) = k.eα(x

2 +y 2 )/2

5. u(x,y) = k.e−(1+y

2 ).x

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1er Cuatrimestre 2017

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Práctica N°7

Ejercicio 3 1. u(x,y) = e3x−y . 2. u(x,y) = 2e−(x+y

3 )/3

.

Ejercicio 4 1. u(x, y) = k1 eαx + k2 eα(x+y) 2. u(x, y) = e2x+y/2 3. Analizamos los siguientes casos: • α = 0 resulta u(x, y) = k1 eαx + k2 y.eαx • α > 0 llamaremos α = p2 resulta u(x, y) = ep x (k1 epy + k2 e−py ) 2

• α < 0 llamaremos α = −p2 resulta u(x, y) = e−p x (k1 cos(py) + k2 sin(py)) 2

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ECUACIÓN DEL CALOR

Práctica N°8

La ecuación de Calor En una barra recta, delgada con densidad y área constante podemos considerar que la conducción del calor es en una sola dirección. La ecuación de calor unidimensional es: ∂u ∂2u = c2 2 ∂t ∂x Esta ecuación no determina a la función temperatura u(x, t) de forma única. Para la unicidad de la solución, que esperamos en modelos de los fenómenos físicos, necesittamos las condiciones en la frontera o borde de la barra y las condiciones iniciales.

1. Plantear las condiciones iniciales y de borde para cada una de las siguientes situaciones 1. Barra delgada de longitud L si los extremos se mantienen a temperatura cero , siendo la tempertura inicial en la sección transversal f (x) 2. Barra delgada de longitud L si los extremos se mantienen aislados, siendo la tempertura inicial en la sección transversal f (x) 3. Barra delgada de longitud L con el extremo izquierdo a temperatura T1 y el extremo derecho a temperatura T2 siendo la tempertura inicial en la sección transversal f (x)

2. Resolver la ecuación unidimensional de calor para los siguientes casos 1. Barra delgada de longitud L si los extremos se mantienen a temperatura cero , siendo la tempertura inicial en la sección transversal f (x) 2. Barra delgada de longitud L si los extremos se mantienen aislados , siendo la tempertura inicial en la sección transversal f (x)

3. Se tiene una varilla delgada, de longitud L = 4 con coeficiente de difusividad térmica c2 = 1. Sus extremos se mantienen aislados y en el instante inicial, la temperatura en un punto x de la varilla es f (x) = −x2 + 8 Se sabe que u(x, t) es la temperatura en un instante t de un punto x de la varilla y satisface la Ecuación de Calor y tiene la siguiente expresión:

siendo:

∞ ( nπx ) A0 ∑ 2 u(x, t) = + .e−(cnπ/L) t An cos 2 L n=1 ( nπx ) 2 ´L An = f (x)cos dx con n > 0 L 0 L

1. Plantee las condiciones iniciales y las condiciones de frontera 24

1er Cuatrimestre 2017

ECUACIÓN DEL CALOR

Práctica N°8

2. Calcule los coeficientes An 3. Exprese u(x, t) 4. El gráfico muestra la temperatura de la varilla al cabo de un segundo , es decir, u(x, 1), determinar para ese instante el sentido de circulación de calor a lo largo de la varilla. 5. Determinar en que posición de la varilla la temperatura es 2° C

4. Se tiene una varilla delgada, de longitud L = 2 con coeficiente de difusividad térmica c2 = 1.44. Sus extremos se mantienen a cero grado centígrado. En el instante inicial la temperatura en un punto x de la varilla es f (x) = −2x + 20 Se sabe que u(x, t) es la temperatura en un instante t de un punto x de la varilla y satisface la Ecuación de Calor y tiene la siguiente expresión: u(x, t) =

∞ ∑

Bn sin

( nπx )

n=1

siendo:

Bn =

L

( nπx ) 2 ´L f (x)sin dx con L 0 L

.e−(cnπ/L)

2t

n>1

1. Plantee las condiciones iniciales y las condiciones de frontera 2. Calcule los coeficientes Bn 3. Exprese u(x, t) 4. El gráfico muestra la temperatura de la varilla al cabo de un segundo , es decir, u(x, 1), determinar para ese instante el sentido de circulación de calor a lo largo de la varilla. 5. Determinar en que puntos de la varilla la temperatura superior a 0.4° C

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1er Cuatrimestre 2017

ECUACIÓN DEL CALOR

Práctica N°8

Respuestas Ejercicio 1 1. u(x,0) = f (x).

u(0,t) = 0

2. u(x,0) = f (x).

ux (0,t) = 0

ux (L,t) = 0

3. u(x,0) = f (x).

u(0,t) = T1

u(L,t) = T2

u(L,t) = 0

Ejercicio 2 ( nπx ) 2 ´L f (x)sin dxcon n > 1 L L 0 L n=1 ( nπx ) ( nπx ) ∞ A0 ∑ 2 ´L 2 f (x)cos + An cos .e−(cnπ/L) t conAn = dxcon n > 0 2. u(x, t) = 2 L L 0 L n=1 1. u(x, t) =

∞ ∑

Bn sin

( nπx )

.e−(cnπ/L) t conBn = 2

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1er Cuatrimestre 2017

VARIABLE COMPLEJA

Práctica N°9

Variable Compleja 1. Expresar en forma polar los siguientes números complejos 1. z1 = 3 + 3i √ 2. z2 = −1 + 3i √ 3. z3 = −2 3 − 2i √ 3 3 4. z4 = − - i 2 2

2. Determinar gráfica y analíticamente los complejos z = x + yi que verifican: 1. Re(z) < 1 2. −1 < Re(z) 6 2 3. | z − 2i |= 3 4. | z + 2i |=| z + 1 − 2i | 5. | z + 5i |6| z − 1 + 3i |

3.Determinar la región del plano z definida por: 1. | z − 2 − i |< 3 2. 1 0, y > 0} 2. S = {(x, y) ∈ Cx = y} 3. S = {(x, y) ∈ Cx = 0}

6. Un punto P se mueve en sentido contrario al movimiento de las agujas de un reloj en un círculo en el plano z con centro en el origen y radio unitario. ¿Cómo se moverá su imagen P’ en el plano w al aplicarle w = f (z) = z 3 ?

7. ¿En qué se transforma la región rectangular S de vértices : (0,0); (a,0); (a,b); (0,b) del plano z al aplicarle w = f (z) = z 2 ? 27

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VARIABLE COMPLEJA

Práctica N°9

8. Expresar cada función en la forma w = f (z) = u(x, y) + i.v(x, y) 1. f (z) = z − 3i 2. f (z) = z 3 − 2z 3. f (z) =

1 1−z

9. Determinar si las siguientes funciones son analíticas 1. f (z) = z 2. f (z) = z 2 − iz 2z + 1 z z 4. f (z) = Re(z) 3. f (z) =

5. f (z) =

z+i z−i

10. Dada la función u(x, y) = x2 − y 2 + x 1. Verificar que u(x, y) es armónica 2. Encontrar la función conjugada v(x, y) 3. Escribir f (z) = u(x, y) + iv(x, y)

11. Dada la función u(x, y) = x3 − 3xy 2 1. Verificar que u(x, y) es armónica 2. Encontrar la función conjugada v(x, y) 3. Escribir f (z) = u(x, y) + iv(x, y)

Respuestas Ejercicio 1 √ π 1. z1 = 3 2.e 4 i 2. z2 = 2.e

2π 3 i

3. z3 = 4.e

11π 6 i

4. z4 =

√

3.e

5π 3 i

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1er Cuatrimestre 2017

VARIABLE COMPLEJA

Práctica N°9

Ejercicio 2 1. x < 1 2. −2 < x 6 2 3. x2 + (y − 2)2 = 9 4. y =

x 1 + 4 8

5. y > −

x 15 + 8 16

Ejercicio 8 1. u(x, y) = x

v(x, y) = y − 3

2. u(x, y) = x3 − 3xy 2 − 2x 3. u(x, y) =

1−x (1 − x)2 + y 2

v(x, y) = 3x2 y − y 2 − 2y v(x, y) =

y (1 − x)2 + y 2

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