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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS

ECUACIONES DIFERENCIALES MAT-207 PRACTICA SEGUNDO PARCIAL I-2017 DOC. ING. GUILLERMO ESPINOZA AUX. UNIV. JOSUE PAYE CHIPANA

GRUPO:F

PRACTICA 2 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN n Wronskiano y formula de Abel 1) Sabiendo que la E.D. y  4 xy  Q X  y  0 , admite dos soluciones tales que su cociente es igual a x, determinar la función Q X  y resolver la ecuación. Resp:

Q X   4 x 2  2 y  c1e  x  c2 xe x 2

2

2) En la E.D.: x 2 y  5 xy    X  y  0 ,determinar   X  si se conoce que:

y1 X  y2  X 



1 ln x

Resp:   X   9

3) Para la E.D.

x

2



 2 x  2 y  P X  y  2 xy  2 y  0 , determinar P X  si se

conoce que: W y1 , y2 , y3   x 2e x

Resp: P X   x 2

4) Demostrar que el Wronskiano de las funciones x , x  , x  es:

1 W x

    3

1

1

      1    1    1

5) Si y1 X  , y 2  X  son soluciones de la E.D. homogénea:





x1  x ln x  y  1  x 2 ln x y  x  1 y  0 .Determinar el W  y1 , y2 , y3   

Resp: W  y1 , y 2 , y3   ce x  ln x 

1  x

6) Sean y1 , y 2 dos soluciones de P X  y  Q X  y  R X  y  0 en un intervalo abierto I en el que P X  , Q X  , R X  son continuas. Sea W  W y1 , y2  . Demuestre:

P X 

dW  y1 P X  y2   y2 P X  y1 dx

~1~

x

7) Verificar si las funciones: y1 X   x ; y2 X   x

et 2 t dt

t  0

son

linealmente independientes en su intervalo de definición. Determinar el Wroskiano. Resp: Son linealmente independientes, W  xe x Resolver las siguientes ecuaciones ordinarias de orden superior y iv   2 y  y  0 8) Resp: y  c1  c2 x  cosx   c3  c4 x senx 

y iv   y  y  0

9)

  3   3  x   c4 sen x  c3 cos   2   2  Resp: y  c1 cossenx  c2 sensenx

Resp: y  c1  c2 x  e

10) y  tg x  y  cos2 x  y  0 Hallar el operador anulador de: 11)

f t   senbt  cosat 







x 2





 Resp: DD  2 D  1 D  2 D  5 D  4 D

Resp: D 4  2 a 2  b 2 D 2  a 2  b 2



2



2 2 2  16 12) f t   tet  cos2 t Resolver las siguientes ecuaciones ordinarias de orden superior 13) y  4 y  3 y  4 xe3 x  8e x cos 2 x 2

3

2

2

Resp: y  c1e3 x  c2 e x  xe3 x  x 2 e3 x  e x cos2 x   e x sen2 x 

1 Resp: y  e  x c1 cos x  c2 senx  e  x lnsenx  x cos x  e senx t 15) y  2 y  y  e arctgt  1 1 Resp: y  c1e t  c2te t  e t t 2  1 arctgt   te t ln t 2  1 2 2 x e 16) y   2 y   y  ; y0   1, y0   0 4  x2    x Resp: y  e x  xarcsen   4  x 2  x  1 2   1 x ln 4 x 17) x 3 y  xy  y  x ln x Resp: y  c1 x  c2 x ln x  c3 x ln 2 x  24 8 4 tg ln3 x  2    18)  3 x 3  6 x 2  4 x   y   5 3 x 2  4 x   y   46 x  4   9 3 3x  2   14)

y  2 y  2 y 

x









Resp:

y  c1e 2t sen2t   c2 e 2t cos2t   con t  ln3x  2

e 2t e 2t  1  sen2t  lncos t   cos2 t  sen2t  t  sen2t  2 2  2 





1  x2 yiv  1  xy  y  1  x3  2 2 Resp: y  c1  x  1  c2  x  1ln x  1  2   c3 ln x  1  c4  ln  x  1 

19)



 



1 3 144 x  1

20) Resolver la E.D.: x 2 y  x2 x  3 y  x 2  3x  3 y  6  x 2 e x sabiendo que una solución de la ecuación homogénea es de la forma x a e bx

~2~





Resp: y  c1 xex  c21 x3e x  e x x 2  2 21)

y  y 

1 7ctgx  8tgx y  y   0 3

Resp: 2 4 4 1      senx2tgx3  ctgx3   cos x  tgx3  4ctgx3        1 2csc x  2senx 22) tg  x  y  2 y  tg  x  y  Resp: ysenx  c1  c2 x  cos 2 x 2 ctgx

y  c1 cos x  c2 senx 

3K 4

ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES DE ORDEN n Resolver las siguientes ecuaciones ordinarias de orden superior 23)

 y2   y2  1

Resp: y  c3  c2 x  senx  c1 

24) xyy  x y  yy

Resp: y  k1e k2 x

2

25)

y1  ln y y  1  ln y  y  0

26)

yy  yy 

2

1 1  ln y y  c1  c2 e x Resp: y  c1

Resp: c1 x  c2 

2

y 2   y y 2

27) x 3 y    y  xy 

 c2 x   1  c1 x 

Resp: y  x ln 

2







28) Resolver la ecuación diferencial: 1  x 4 xyy  yy  x y  2x 4 yy , 2

con los cambios de variable t  x , v  ln y Resp: y  k1e k2arcsen x  TRANSFORMADA DE LAPLACE Determinar la transformada de Laplace de las siguientes funciones: 2

2

29)

f t   cos t

30)

f t  

31)

f t   a t 1 t 

32)

f t    sent







Resp: F s  

1 t





s s2  7 Resp: F s   2 s  9 s2  1

3



 s

Resp: F s  

a s  ln a 1 Resp: F s   s 1  e s





33)

f t   sgn t 2  1

34)

f t   6t  t  t  6

35)

f t  

1  2e s 3 s 2  6e  e 6 s    s 

Resp: F s   Resp: F s  

e 3t sen2t t

2 3  12e 3s  s

Resp: F s  

~3~



s



 s  3  arctg  2  2 



36) L e ax



t  2 ax ... 0 0 0 e f x dx t t

Resp:

F s  a  s  a n

37) Hallar la transformada de:

s Resp: F s  

2

 16 2 e  s  4e 2 s  4e 3s s 2  16 2

Calcular la transformada inversa de:

 s   2  s 1

38) F s   arctg

 s2  9   2  s  25 

39) F s   ln

Resp: f (t ) 

 3  2 t sen  cosh t  t 2 2  

Resp: f (t ) 

2 2 cosh5t   cosh3t  t t

Resolver las siguientes ecuaciones mediante la transformada de Laplace: 40) y  6 y  12 y  8 y  2(t  2) 2 e 2(t 2) ; y2   1, y2  0, y2  0 Resp: yt   e 2 ( t 2 )  2e 2 ( t 2 ) (t  2)  e 2 ( t 2 ) (t  2) 2  41)

y  4 y  4 y  2 (t  2)  (t  1)  (t  2) ;

y1  y1  0 1

7

1 2 ( t 2 ) e (t  2) 2 30 

Resp: yt    (t  2)  (t  2)e 2 ( t 2 )   (t  2) 4 4  42)

y  y 

1 ; 2  cost 

y0   y0   0



Resp: yt   sent t 



43)

y  y 

44)

y  y 

1

4  tg 2 t   

;

4  tg t / 2   2  cost   arctg   cost  ln  3 3 3    

y   y   0

2  2tg t   1  arctg k ; 3 3  

y0   y0   y0   0 ; k es constante

~4~

Resp: yt   tsent  45)

y  4 y  f (t )

  2 1  2sentarctg 2tg t   1      cost ln2  sent  ln 2 3 3  6  

 5  sen2t ; 2  t  2 ; f (t )    5  0; t   t  2 2 

y0   2, y0   1

Resp:   5  1        1   5  1  y t    sen 2t  2 cos 2t   t   2 t   cos 2t  sen 2t    t    2 t   cos 2t  sen 2t    t   8  2  2  8  2 2 2     

46)

y  2 y  3 y  1  t  t  1 ;  2t

1 Resp: yt   

9 t





y0   y0   0

 1  t t 1  1  t 2 t 1   t 1  t 2 t 1  t     3     1e     3 e3t        t 1 t 1 36  t t 1  3  t t 1  4  t  

5 t 1



47) Si y  4 y   9  t 2  7  3 t  6 con las condiciones:

y0   2, y0   0 Determinar y1 48)

Resp: y1 

y0  1, y2  2

y  ty  y  1 ;

1 1  cos2  sen2 4 4 Resp: yt   2t  1

49) ty  2 y  ty  sent  cos t ; y 0   2

Resp: yt  

5 sent 1 1  cos t  sent 2 t 2 2

50) Deducir la expresión de la función f t  en la ecuación integral: t

f t   t  2  cos2 t  2 sen2  2t  f  d 2

0

8 3

Resp: f t   5  4t  10t 2  t 3 

1 4 t 3

51) Determinar yt  si: t

0

0

t





2  y  t   d    cos 3   t   d  3 y ; y0  1

52) Determinar f t 





1 3t 4e  1  (t ) 3 de la expresión, si se admite que L1 1   t  Resp: yt  

~5~

t

 f   f t   d  2 f    2 sent  6  t  6 cost  6 t  6  2 cost  3 t  3 1

0

Resp:

f t   2 t   cost  3 (t  3) f t   cost  3 (t  3)

53) Resolver la ecuación integral:

1  (t ) f  t   d   2t 0 2t t

f t  

54) Deducir la expresión completa de  t 



t

Resp: f t    (t ) en la ecuación integral



tt   senh(t )   e   e   t   d 0

Resp: t   2C  1et  C (t )

55) Resolver:  1 1 x  t  1x  tx  ln   t dt  ; x2   , x2      2 2

Resp: xt  

1 ( t  2 ) e 2

56) Resolver la ecuación integral:





s

F S ds  



0

cos t dt  0 a2  t 2 Resp: f t  

~6~

 2a

t cos t