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pPráctica N˚ 1: Distribuciones de probabilidad

1

β α/2

α/2 0.2667

0.4

0.5333

0.2

Distribuciones de probabilidad
OBJETIVOS Definir que es una variable aleatoria Definir y aplicar el concepto de Esperanza Matemática. Definir y aplicar el concepto de varianza. Aplicar las principales distribuciones de probabilidades a temas relacionados con Ingeniería Industrial.



TEMAS A TRATAR

Variables Aleatorias Esperanza matemática y varianza. Distribución binomial, poisson y normal.



DURACIÓN DE LA PRÁCTICA

Una sesión (2 horas).



MARCO TEÓRICO

1. Variable aleatoria Son todas aquellas magnitudes donde cada uno de los valores que pueda tomar, en un sistema de referencia o población, tiene asociada una cierta probabilidad de ocurrencia. Definición: Se denomina variable aleatoria, a una variable estadística definida en un espacio muestral Ω. Una variable aleatoria X es una función definida en W tal que a cada elemento ωi ∈ Ω le asocia el número real x = X(ωi), ver en la figura de la izquierda.

Ing. Ferly Urday Luna

El dominio de la variable aleatoria X es el espacio muestral W y el rango es un subconjunto de los números reales que se denotará por RX, siendo, RX = {x ∈ ℜ / x = X(ω), ω∈Ω } 2. Variable aleatoria discreta La función X es una variable aleatoria discreta, si el rango de X es contable (finito o infinito numerable). Una V.A. discreta asume cada uno de sus valores con cierta probabilidad que denotaremos por PX(Probabilidad inducida por X). En efecto si e rango de la variable aleatoria X es el conjunto finito de números, RX = {1;2;...;Xn} y si B = {xi} es un evento en RX, entonces: P(xi) = P[X = xi] = P[ω ∈ Ω / X(ω) = xi]; ∀ i = 1;2;3;….. Ejemplo 1 Sea Ω el espacio muestral de lanzar al aire una moneda tres veces consecutivas, esto es, Ω = {SSS, SSC, SCS, CSS, SCC, CSC, CCS, CCC}. Si X se define en Ω como “el número de caras obtenidas”, entonces, X es una variable aleatoria cuyo rango es el conjunto: RX = {0;1;2;3;4}. En efecto, X = 0; corresponde al elemento elemental {SSS}. X = 1; corresponde a los elementos elementales {SSC}, {SCS}, {CSS}. X = 2; corresponde a los elementos elementales {SCC}, {CSC}, {CSS}. X = 3; corresponde al elemento elemental {CCC}. P[X = 0] = P({SSS}) = 1/8 P[X = 1] = P({SSC o SCS o CSS}) = 3/8 P[X = 2] = P({SCC o CSC o CSS}) = 3/8 P[X = 3] = P({CCC}) = 1/8 Ejemplo 2 Consideremos el experimento de lanzar dos dados y observar los números que aparecen en las caras superiores. Encuentre la función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria y grafique para: a) X: suma de los números que aparecen en las caras superiores de los dos dados. b) X: diferencia de los números que aparecen en las caras superiores de los dos dados. c) X: máximo de los dos números que aparecen en las caras superiores de los dos dados. d) Calcular para cada caso P[2 < X ≤ 5]. Solución: El espacio muestral asociado al experimento es: (1-1) (1-2) (1-3) (1-4) (1-5) (1-6) (2-1) (2-2) (2-3) (2-4) (2-5) (2-6) ={(i;j) / i = 1; 2; 3; 4;5;6} Ω = (3-1) (3-2) (3-3) (3-4) (3-5) (3-6) (4-1) (4-2) (4-3) (4-4) (4-5) (4-6) j = 1; 2; 3; 4;5;6 (5-1) (5-2) (5-3) (5-4) (5-5) (5-6) (6-1) (6-2) (6-3) (6-4) (6-5) (6-6) a) En este experimento los posibles valores de x(ω) = i + j, donde ω = {i;j} son 2; 3; 4;...;12.

Ing. Ferly Urday Luna

Tenemos que x = 2 corresponde al evento (1-1) con probabilidad 1/36, esto es, P[x = 2] = P[(1-1)] = 1/36. Resolviendo por analogía para los demás casos, llegamos a la siguiente distribución de probabilidad. xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 pi ó f (xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Gráfica de la Distribución x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Distribución de probabilidad 7/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 0

P(X)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

La grafica de una distribución de probabilidades discreta se denomina gráfica de bastones, que consiste en segmentos verticales continuos o punteados de longitud proporcional a la probabilidad respectiva en cada valor xi de la variable (Observar el grafico de arriba) Cálculo de P[2 < X ≤ 5] Para encontrar esta probabilidad se debe hallar: 5 2 3 4 9 1 + + = = f ( x i ) = f (3) + f (4) + f (5) = ∑ 36 36 36 36 4 x i =3 Realice Ud. los puntos (b); (c) y (d) del ejemplo 2. Función de distribución acumulada de la variable aleatoria discreta. F(x) = P[X ≤ x] Ejemplo 3.- Hallar la función de distribución acumulada del punto (a) del ejemplo 2 x