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• Gonzalo Salinas Pericón

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ARGUMENTOS, DEDUCCIONES O RAZONAMIENTOS Un argumento o razonamiento es un conjunto de fórmulas denominadas premisas P 1 , P 2 , P 3 , . . . . . , P n  y supuestas siempre verdaderas y otra fórmula llamada conclusión Q, cuya verdadad se sigue de la verdad de las premisas. Se simboliza de cualquiera de las siguientes fromas:

P1 P2 P1, P2, P3, . . . . . , Pn  Q

o

P1, P2, P3, . . . . . , Pn  Q

o

P3  Pn Q

Un argumento se reconoce como válido (deducción correcta), cuando no existe el caso de que la conclusión sea falsa y las premisas verdaderas. Si se diera el caso mencionado el argumento es no válido, o como se dice una falacia

Ejemplo 1. (Regla de separación "Modus ponens")

P2 Q P1 p→q

p

P2:

p

V V

V

No existe el caso en que siendo las premisas verdaderas

V

F

F

la conclusión sea falsa

F

V

V

F

F

V

Q:

q

q

p→q

P1:

Nota. La validez de un argumeto no depende de los valores de verdad ni del contenido de las afirmaciones que aparecen en él, sino de la forma particular en que se estructura. EJERCICIOS Ejercicio 1. Determinar la validez de los siguientes argumentos comparando su estructura con la estudiada en el ejemplo 1 Si el 6 es un número par, entonces es divisible entre 2. El 6 es un número par Por lo tanto es divisible entre 2 Si el número 7 es par, entonces es divisible entre 2 El siete es un número par Por lo tanto es divisible entre 2 Si las vacas vuelan, tenemos que usar sombreros grandes Las vacas no vuelan Por lo tanto, no tenemos que usar sombreros grandes

Ejercicio 2. En el caso de que alguno de los razonamientos del ejercicio 1 no corresponda a la estructura validada, verificar mediante una tabla si la nueva estructura es válida o no. Ejercicio 3. (Regla de silogismo) Analiza la validez del siguiente razonamiento Si un hombre es soltero, es infeliz Si un hombre es infelíz, entonces muere pronto Si un hombre es soltero, entonces muere pronto Ejercicio 4 (Regla del Modus tollens) Cuando piensas negativamente, Tus metas se escapan Pero tú alcanzas tus metas Por lo tanto, piensas positivamente

Ahora bien, las proposiciones P 1 , P 2 , . . . . . , P n son simultaneamente verdaderas, siempre y cuando

P 1 ∧ P 2 ∧. . . ∧P n es verdadera. Así el argumento P 1 , P 2 , P 3 , . . . . . , P n  Q es válido si y solo si Q es verdadera cuando P 1 ∧ P 2 ∧. . . ∧P n es verdadera, o de manera equivalente si la fórmula asociada al argumento P 1 ∧ P 2 ∧. . . ∧P n → Q es una tautología. Ejercicio 5. Demostrar si los siguientes razonamientos son válidos, empleando la fórmula asociada

 p ∨ q,  q  p

es lo mismo que p

Argumento



∨ q ∧  q → p Fórmula asociada

p ∨ q, q  p

 p ∨ q, p → r, q → s  r ∨ s Una vez terminados los ejercicios, realiza una lista de los argumentos válidos. Estos y otros que se presentan a continuación se denominan reglas del razonamiento natural y los emplearemos para validar razonamientos mas complejos.

REGLAS DEL CÁLCULO NATURAL CONJUNCION ELIMINACION

CONJUNCION INTRODUCCION

DISYUNCION INTRODUCCION

A∧B A

A

A A∨B

B A∧B SILOGISMO

A→B

IDENTIDAD

CARGA DE PREMISA

A

A

A

B→A

B→C A→C CONMUTATIVA

ASOCIATIVA

DISTRIBUTIVA

A ∧ B ∧ C

A ∧ B ∨ C

B∧A

A ∧ B ∧ C

A ∧ B ∨ A ∧ C

CONMUTATIVA

ASOCIATIVA

DISTRIBUTIVA

A∨B

A ∨ B ∨ C

A ∨ B ∧ C

B∨A

A ∨ B ∨ C

A ∨ B ∧ A ∨ C

A∧B

IDEMPOTENCIA∧

IDEMPOTENCIA∨

A∧A

A∨A

A

A

ABSORCIÓN

ABSORCIÓN

A ∧ A ∨ B A ∨ A ∧ B A

A

MODUS PONENS

MODUS TOLLENS

A→B

A→B

A→B

A

B

 B → A

B

CONTRARECÍPROCA

A

DOBLE NEGACIÓN

CONTRADICCIÓN

TOLLENDO PONENS

 A

A ∧ A

A∨B

A

B

B A

IMPLICACION/DISYUNCION

LEY DE MORGAN

LEY DE MORGAN

A→B  A∨B

 A ∨ B  A ∧ B

 A ∧ B  A ∨ B

DILEMA

A∨B A→C B→D C∨D INTRODUCCION (↔)

A→B B→A

ELIMINACIÓN

(↔)

ELIMINACIÓN (↔)

A↔B A→B

A↔B B→A

A↔B EJEMPLOS DE ARGUMENTOS Y PROCEDIMIENTOS DEMOSTRATIVOS

1. Bicondicional o doble implicación Un líquido es un ácido si y solo si colorea de azul el papel tornasol rojo. Un líquido colorea de azul el papel tornasol rojo si y solo si contiene iones de hidrógeno libres. Por tanto, Un líquido es un ácido si y solo si contiene iones de hidrógeno libres.

2. Dilema o Silogismo disyuntivo: O Juan y José tienen la misma edad, o Juan es mayor que José. Si Juan y José tienen la misma edad, entonces Pedro y juan no tienen la misma edad. Si Juan es mayor que José, entonces Juan es mayor que maría. Por lo tanto, o Pedro y Juan no tienen la misma edad o Juan es mayor que María.

3. Morgan Modus tollens Si juan cometió el crimen, es que no estaba en el apartamento de la víctima o salió antes de las 11. Si salió antes de las 11, entonces el portero lo vió. Él estaba en el apartamento y el portero no lo vió. Por lo tanto, Juan no cometió el crimen

4. Introducción de la disyunción q∨t q→r r t∨s

5. Premisa auxiliar p∨q → r s → r ∧ t s∨u p→u 6. Demostración indirecta t → s s∨p f → t s → e s∨f p→m t  e∨m 7. El siguiente razonamiento no es válido, dar una asignación de valores de verdad que demuestre su invalidez p ∨ q q r→p r PRÁCTICA Determinar la validez de los siguientes razonamientos empleando las reglas derivadas del cálculo natural:

1. P1 :Si hago mis tareas, aprendo la lección P2 :Si no tengo que salir hoy día, entonces hago mis tareas P3 :No aprendo la lección a menos que quiera estudiar P4 :Si no quiero aplazarme, necesariamente no tengo que salir hoy día P5 :Pero no voy ha estudiar. Q :Me vale!!, me aplazo 2. P1 :Una de dos: o x es menor que z, o bien x es igual a z P2 : Si x es igual a z, necesariamente z no es igual a 5 P3 :Si x no es igual a 4, entonces no ocurre que x sea menor que z y z sea igual a 5 P4 : Pero, z es igual a 5 Q : Luego x es igual a 4 3. P1 : O la lógica es dificil o no le gusta a muchos estudiantes P2 : Si la matemática es fácil, entonces la lógica no es dificil Q : Si a muchos estudiantes les gusta la lógica, la matemática no es fácil 4. P1 :Si Cristina está en lo cierto, entonces Marcos está equivocado P2 :Si Marcos está equivocado, entonces Pablo también está equivocado P3 :Si Pablo está equivocado, entonces las mujeres son más inteligentes P4 :Las mujeres no son más inteligentes o estos hombres son tontos P5 :Cristina está en lo cierto Q : Estos hombres son tontos

5. p → r Teorema de Leibniz q → s p ∧ q → r ∧ s 6. p → q ∨ r r q → s ∨ t  s ∧ t p 7. P1 :Todo número entero o es primo o es compuesto P2 :Si es compuesto, es un producto de factores primos, y si es un producto de factores primos es divisible por ellos P3 :Pero si el número entero es primo, no es compuesto aunque es divisible por si mismo y por la unidad,sinembargo también es divisible por números primos.

Q :Por consiguiente, todo número entero es divisible por números primos. 8. p → q, q →  r → s, p ∧ r  s 9. p → q ∨ r, q → r, r → s  p → s 10. p ∨ q ∧ r,  t, p ∨ q → s ∨ t,  p  r ∧ s x  5 ∨ x  y x  3 ∨ z  2 → z  x ∨ y  1 x  y → z  2 11. x  5 → x  3 z  x → x  4 y  1 → x  3 ∨ z  2 x  4 x ≠ 1 ∧ x  1 x  1 → x  1 ∨ x  1 12.

y  3 ∨ y  3 y  3 → y ≠ x y  3 → y ≠ x  y  x ∨ x  1

13. Si no ocurre que si un objeto flota en el agua entonces es menos denso que el agua; entonces se puede caminar sobre el agua. Si un objeto es menos denso que el agua, entonces puede desplazar una cantidad de agua igual a su propio peso. Si puede desplazar una cantidad de agua igual a su propoio peso, entonces el objeto flotará en el agua. Pero no se puede caminar sobre el agua. Por tanto, un objeto flotará en el agua si y solo sí es menos denso que el agua.

14. P 1 : z → y → x P 2 : v → y → x P 3 :  z ∧ v →  u ∨ t P 4 :  u → s ∧  t → r P 5 : p → s ∧ q → r P 6 : y → x Q :  p ∨ q 15. P 1 : p ∨ q →  s → r P 2 : p ∧ t →  u → s P 3 : p → t Q : r → u 16. ¿Cuál de las siguientes proposiciones:

aJuan es amigo de Pepe b Pepe llega tarde

Es una consecuencia lógica del conjunto de premisas descrito abajo?: No llueve y, sin embargo, hace sol Si no llueve, hace sol sólo si la partida es el viernes y, o Juan es amigo de Pepe o Pepe no llega tarde. O Juan es amigo de Pepe y Pepe llega tarde, o hace sol. No ocurre que la partida sea el viernes haciendo sol, a menos que llueva o Juan sea amigo de Pepe.

17. Demuestra la validez de los siguientes razonamientos por la demostración indirecta (reducción al absurdo)

a.

p→q

x ≠ 1 ∧ x  1

r→p

x  1 → x  1 ∨ x  1

 r → s   r ∧ t

b.

y  3 ∨ y  3 y  3 → y ≠ x

t∨s

y  3 → y ≠ x

q∨u

 y  x ∨ x  1

z → y → x v → y → x  z ∧ v →  u ∨ t c.

 u → s ∧  t → r p → s ∧ q → r  y → x  p ∨ q

18. Formalizar el siguiente argumento y empleando el ”método de deducción natural ” responder y demostrar las preguntas propuestas: Si alguien bebe whisky, no conduce auto Si no conduce auto, no provoca accidentes No bebe cerveza a menos que provoque un accidente Bebe whisky a. ¿Es consecuencia lógica de las premisas anteriores que ”bebió cerveza ”? b. Y, ¿La afirmación de que ”no provoca accidentes”?

19. Demostrar que el siguiente argumento no es válido, empleando los supuestos valores de verdad de las premisas y conclusión

p → q∨r q → p s → r p→s 20. Demostrar, empleando los supuestos valores de verdad de las premisas y conclusión, que ”Un niño recibe un caramelo, solo si llora” no es una consecuencia lógica del conjunto de premisas: El niño no llora, pero se ríe. Si no llora, ríe solo si tiene un juguete. No ocurre que tenga un juguete riéndose, a menos que reciba un caramelo.

21. Determinar la validez de los siguientes razonamientos: a. P 1 : a →  c ∨ d P 2 : b →  c ∨ d P 3 : m ∧ n → a ∨ b P 4 :  m → s P 5 :  n → r P 6 : p → s ∧ q → r P7 : c ∧  d Q : p → q b. (Sugerencia: Traduce al lenguaje formal empleando solo 4 proposiciones) Si una persona siempre se guía por su sentido de obligación, entonces deberá quitarse algunos placeres de la vida, y si esa persona está guiada solo por sus intereses, su concepto de amistad dejará mucho que desear. Las personas siempre están guiadas por su sentido de obligación o solo por sus intereses. Si una persona siempre está guiada por su sentido de la obligación, entonces entenderá adecuadamente el concepto de amistad. Y si está guiada solo por sus intereses, entonces no dejará ningún placer sin probar. Por lo tanto, una persona deberá quitarse algunos placeres de la vida, si tiene claro el concepto de amistad