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• Daniel Goicochea Briones

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CURSO: CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL

Tema : Sesión: 02

Instrucciones: Lea cuidadosamente cada problema y responda en forma ordenada, clara y precisa. Medidas de tendencia central y dispersión 1. De acuerdo con los registros de una empresa, el ausentismo por semana del personal de labor directa es de 25 personas en promedio, con una desviación estándar de 5. Con base en esto, conteste: a) ¿Entre qué cantidad se espera que usualmente varíe el número de personas que no acuden a trabajar por semana? b) Si en la última semana hubo 34 ausencias, ¿significa que pasó algo fuera de lo normal, por lo que se debe investigar qué sucedió y tomar alguna medida urgente para minimizar el problema? 2. De acuerdo con cierta norma, a una bomba de gasolina en cada 20 Litro se le permite una discrepancia de 0.2 Litro. En una gasolinera se hacen revisiones periódicas para evitar infracciones y ver si se cumplen las especificaciones (EI = 19.8, ES = 20.2). De acuerdo con los resultados de 15 inspecciones para una bomba en particular, la media y la desviación estándar de los 15 datos son 19.9 y 0.1, respectivamente. De acuerdo con esto, a) ¿Se puede garantizar que la bomba cumple con la norma? Argumente su respuesta. b) La desigualdad de Chebyshev y la regla empírica establecen la relación entre la media y la desviación estándar. Explique esta situación y señale si se aplica para el caso muestral, poblacional o para ambos. 3. Dos máquinas, cada una operada por una persona, son utilizadas para cortar tiras de hule, cuya longitud ideal es de 200 mm, con una tolerancia de ± 3 mm. Al final del turno un inspector toma muestras e inspecciona que la longitud cumpla especificaciones. A continuación se muestran las últimas 110 mediciones para ambas máquinas. 199.2 200.7 200.7 200.5 200.2 202.0 200.7 198.6 199.7 199.6 198.9 199.0

199.7 201.4 200.9 201.2 201.0 201.0 201.8 200.3 199.7 199.0 198.8 109.0

201.8 200.4 201.0 201.7 201. 4 201.5 200.5 198.5 199.0 198.7 198.7 198.7

202.0 201.7 201.5 201.2 201.4 201.6 200.5 193.2 198.4 200.5 199.2 199.1

201.0 201.4 201.2 201.2 201.1 200.6 200.8 199.6 199.1 198.4 199.3 200.3

201.5 201.4 201.3 200.5 201.2 200.1 200.3 198.2 198.8 199.2 199.7 200.5

200.0 200.8 200.9 200.1 201.0 201.3 200.7 198.4 198.3 198.8 197.8 198.1

199.8 202.1 200.7 201.4 200.6 200.6 199.5 199.0 198.9 190.5 199.9 198.3

199.6 199.4

199.0 198.7

199.7 198.5

198.9 198.7

199.2 198.6

197.9 198.5

200.3  

199.6  

a) Obtenga las medidas de tendencia central y con base en ellas señale si la tendencia central del proceso es adecuada. b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales. A partir de éstos decida si la variabilidad de los datos es aceptable. c) Obtenga un histograma e interprételo (tendencia central, variabilidad, acantilados, sesgos, etc). d) Con la evidencia obtenida antes, cuál es su opinión acerca de lo adecuado o no de la longitud de las tiras que se cortaron en el periodo que representan las mediciones. e) Utilizando el sesgo y curtosis estandarizadas, y la evidencia gráfica, ¿qué puede decir respecto a la normalidad de los datos? 4. En el caso del ejercicio anterior, considere que los primeros 55 datos (ordenados por renglón) corresponden a una máquina, y los últimos 55 a otra. Ahora conteste lo siguiente. a) Evalúe las dos máquinas en cuanto a su centrado (tendencia central) y con respecto a la longitud ideal (200). b) Analice la dispersión de ambas máquinas utilizando la desviación estándar y la regla empírica. c) Haga un histograma para cada máquina e interprete cada uno de ellos. d) De acuerdo con lo anterior, ¿cuál es el problema de cada máquina? e) Considere que cada máquina es operada por una persona diferente, y determine cuáles son las posibles causas de los problemas señalados en el inciso anterior y señale qué haría para corroborar cuáles son las verdaderas causas. 5. En un área de servicios dentro de una empresa de manufactura se realiza una encuesta para evaluar la calidad del servicio proporcionado y el nivel de satisfacción de los clientes internos. La encuesta consiste de 10 preguntas, y cada una de ellas evalúa diferentes aspectos del servicio proporcionado. Las respuestas para cada pregunta es un número entre 0 y 10. Para hacer un primer análisis de los resultados obtenidos se suman los puntos obtenidos de las 10 preguntas para cada cuestionario. A continuación se muestran los puntos obtenidos en 50 cuestionarios. 78 68 70 35 41

78 84 87 42 42

82 75 77 34 45

85 78 82 44 42

81 76 84 49 35

86 76 48 34 38

80 82 49 30 39

73 85 39 43 42

84 91 39 31 43

78 80 43 34 29

a) Calcule las medidas de tendencia central, de dispersión a los datos anteriores y dé una primera opinión acerca de la calidad en el servicio. b) Realice el histograma e interprételo con cuidado. c) ¿Qué es lo más destacado que observa en el histograma?

d) ¿Tendría alguna utilidad hacer un análisis por separado de cada una de las preguntas? Explique. e) ¿Hay normalidad en los datos? Argumente. 6. El peso que deben contener ciertas bolsas de detergente es de 750 g, con una tolerancia de ± 5 g. Se desea verificar si es razonable suponer que la distribución del peso es normal. Para ello, se toma una muestra aleatoria de 25 productos, se pesan y se obtienen los siguientes datos: 750.0 749.3 752.5 748.9 749.9 748.6 750.2 748.4 747.8 749.3 749.6 749.0 747.7 748.3 750.5 750.6 750.0 750.4 752.0 750.2 751.4 750.9 752.4 751.7 750.6 7. En la elaboración de una bebida se desea garantizar que el porcentaje de CO2 (gas) por envase esté entre 2.5 y 3.0. Los siguientes datos fueron obtenidos del monitoreo del proceso: 2.61

2.62

2.65

2.56

2.68

2.51

2.56

2.62

2.63

2.57

2.6

2.53

2.69

2.53

2.67

2.66

2.63

2.52

2.61

2.6

2.52

2.62

2.67

2.58

2.61

2.64

2.49

2.58

2.61

2.53

2.53

2.57

2.66

2.51

2.57

2.55

2.57

2.56

2.52

2.58

2.64

2.59

2.57

2.58

2.52

2.61

2.55

2.55

2.73

2.51

2.61

2.71

2.64

2.59

2.6

2.64

2.56

2.6

2.57

2.48

2.6

2.61

2.55

2.66

2.69

2.56

2.64

2.67

2.6

2.59

2.67

2.56

2.61

2.49

2.63

2.72

2.67

2.52

2.63

2.57

2.61

2.49

2.6

2.7

2.64

2.62

2.64

2.65

2.67

2.61

2.67

2.65

2.6

2.58

2.59

2.65

2.5

2.65

2.57

2.55

2.64

2.66

2.67

2.61

2.52

2.65

2.57

2.52

2.56

2.6

2.59

2.56

2.57

2.66

2.64

 

 

 

 

 

a) Realice un análisis exploratorio de estos datos (obtenga un histograma y vea el comportamientos de los datos obtenidos). b) Estime con una confianza de 95%, ¿cuál es el CO2 promedio por envase? c) Se supone que μ debe ser igual a 2.75. Dada la evidencia, ¿es posible rechazar tal supuesto? d) Con los datos anteriores, estime con una confianza de 95% la desviación estándar del proceso. e) De los datos muestrales se observa que el mínimo es 2.48 y el máximo 2.73, ¿por qué el intervalo obtenido en el inciso b) tiene menor amplitud? Probabilidad Clásica 8. El departamento de una negociación comercial informo que el 30% de sus ventas son en efectivo, el 30% se paga con cheque en el momento de la adquisición y 40% son a crédito. Se tiene que el 20% de las compras son en efectivo, el 90% en cheque y el 60% de las compras son a crédito son por más de 1000 soles. Usted acaba de realizar una compra de 1500 soles. ¿Cuál es la probabilidad de que haya pagado en efectivo? 9. Manufacturera Cumbre compra determinada pieza a tres proveedores A, B y C. El proveedor A suministra el 60% de las piezas, B el 30% y C el 10%. Se sabe que las calidades

de las piezas dependen del proveedor y, que A, B y C tienen tasas de defecto de 2.5%, 1% y 2% respectivamente. Las partes se usan en uno de los principales producto de la fábrica. a) Cuál es la probabilidad de que el producto de la fábrica contenga una pieza defectuosa. b) Cuándo se encuentra una pieza defectuosa ¿Qué proveedor es la fuente más probable? 10.Una empresa manufacturera tiene plantas en Lima y Arequipa. La planta de Lima produce el 40% de la producción total, con un 10% de la tasa de defectos. La planta de Arequipa tiene una tasa de defectos del 20%. Si sólo se encuentra que una unidad es defectuosa. ¿es más probable que provenga de Lima o de Arequipa? 11.La compañía Delta ha recibido varias quejas debido a que sus botellas no van bien llenas. Una queja fue recibida hoy pero el gerente de producción no puede identificar cuál de las dos plantas A o B llenó esta botella. ¿Cuál es la probabilidad de que la botella mal llenada haya salido de la planta A

% de producción total A B

55 45

% de faltante en botellas 3 4

Distribución de Probabilidad Binomial 12.Una cadena grande de tiendas compra cierto tipo de dispositivo electrónico de un fabricante. El fabricante indica que el porcentaje de defectuosos es de 3%. a) inspector de la cadena elige 20 artículos al azar de un cargamento ¿Cuál es la probabilidad de que haya a lo más dos artículos defectuosos? b) El inspector de la cadena elige 10 artículos al azar de un cargamento ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un artículo defectuoso? 13.En la empresa SAVA S.A. se realiza la producción de tornillos para motores diesel por parte de una máquina automática italiana. Esta máquina dependiendo de factores externos produce el 1% de tornillos defectuosos. El Ingeniero jefe del área de Control de Calidad selecciona en forma aleatoria 18 tornillos al azar de la producción: a. Cuál es la probabilidad de que exista a los más 3 defectuosos. b. Cuál es la probabilidad de que exista por lo menos 3 defectuosos. c. Cuál es la probabilidad de que haya entre 2 y 4 defectuosos inclusive. d. Hallar la media y Varianza 14.Se conjetura que hay impurezas en 30% de los pozos de agua potable de cierta comunidad aledaña a una actividad minera. Para obtener algún conocimiento del problema se determina que debería realizarse algún tipo de prueba. Es muy costos probar todos los pozos del área por lo que se eligieron 10 aleatoriamente para la prueba. a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres pozos tengan impurezas, considerando que la conjetura es cierta? b. ¿Cuál es la probabilidad de que más de tres pozos tengan impurezas?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que más de dos pozos, pero menos o igual a 5 pozos tengan impurezas? 15.Un proceso de producción de partes trabaja con un porcentaje promedio de defectos de 5%. Cada hora se toma una muestra aleatoria de 18 artículos y se prueban. Si la muestra contiene más de un defecto el proceso deberá detenerse. a) Calcule la probabilidad de que el proceso se detenga debido al esquema de muestreo. b) De acuerdo con lo contestado en a) ¿considera que el esquema de muestreo es adecuado o generará demasiadas interrupciones? 16.Un fabricante de calculadoras electrónicas desea estimar la proporción de unidades defectuosas producidas, para ello toma una muestra aleatoria de 250 y encuentra 25 defectuosas. Con base en esto el fabricante afirma que el porcentaje de calculadoras defectuosas que se produce es de 10%, ¿es real esta afirmación? Argumente su respuesta. 17.El almacenero del laboratorio reporta que de las treinta puntas de un dosificador electrónico de reactivos, el 20% están malogradas, él desea saber la probabilidad de que: a) Estén malogradas 4 puntas de prueba. b) Ninguna punta esté malograda c) A lo más 3 puntas están malogradas d) Más de 2 puntas estén malogradas e) Hallar la media y Varianza Distribución de Probabilidad de Poisson 18.En un paradero de mina, se determinó que los trabajadores en horas no punta llegan aleatoriamente a una tasa promedio de 24 trabajadores por hora. Se desea calcular las siguientes probabilidades: a. Cuál es la probabilidad de que lleguen exactamente 20 trabajadores durante esa hora? b. Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 15 trabajadores durante esa hora? c. Cuál es la probabilidad de que lleguen menos de 15 trabajadores durante esa hora? d. Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 18 trabajadores durante esa hora? 19.Un ingeniero Jefe del Área de Control de Calidad de la empresa Coca Cola, realiza un examen de control respecto al agua que está utilizando para la elaboración de Gaseosas. Este líquido contiene ciertas bacterias no nocivas para la salud a razón de 5 bacterias por cm3. Si toma una muestra de 1 cm3, calcular las siguientes probabilidades a. Cuál es la probabilidad que la muestra no contenga bacteria alguna? b. Cuál es la probabilidad de que en ½ cm3 haya por lo menos 2 bacteria? c. Cuál es la probabilidad de que en 2 cm3 haya a lo más 8 canterías? 20.Se ha observado que las cajas de cerveza Pilsen se toman de los estantes de cierto supermercado a razón de 10 cajas por hora durante el periodo de mayor venta. a) ¿Cuál es la probabilidad que se saque al menos una caja durante los primeros 6 minutos de un periodo mayor de venta? b) ¿Cuál de que se saque a lo más 5 cajas en un periodo de 30 minutos?

21.En un estudio por parte del Ministerio de Transporte y Comunicaciones (MTC), se ha determinado que en la carretera panamericana con destino a Lima, hay en promedio de 18 accidentes por semana (7 días), calcular las siguientes probabilidades: a. Cuál es la probabilidad de que en una semana no haya ningún accidente. b. Cuál es la probabilidad de que en dos semanas haya 10 accidentes. c. Cuál es la probabilidad de que en 1semana ocurra menos de 15 accidentes. REGLA: (aproximación de la distribución Binomial a la distribución Poisson) Si en una distribución binomial, n es grande (n ≥ 100) y la probabilidad de ocurrencia es pequeña (p ≤ 0.05), aproximar la distribución Binomial a la distribución Poisson, calculando ( λ = np).

22.En un estudio de Control de Calidad de determino que el 0.01% de los relojes producidos por una empresa Taiwanesa son defectuosos. a. Cuál es la probabilidad de que un pedido de 1000 relojes exista exactamente un reloj defectuoso? b. Cuál es la probabilidad de que en el mismo pedido de 1000 relojes existan al menos dos defectuosos? 23.Un Jefe sanitario realiza una inspección en un centro educativo; sobre la calidad del agua que consumen los estudiantes y que contiene un promedio de 4 bacterias por cm3 a) Hallar la probabilidad de que el inspector no encuentre bacteria alguna en 0.5 cm3 de agua. b) Hallar la probabilidad de que el inspector no encuentre bacteria alguna en 1 cm3 de agua. c) Hallar la probabilidad de que el inspector encuentre a lo más 2 bacterias en 1 cm 3 de agua. 24. En un proceso productivo de tornillos el 0.8% son defectuosos. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un lote de 1000 tornillos contenga uno o más defectuosos? b. Cuál es la probabilidad de que en este mismo lote exista exactamente 4 tornillos defectuosos? Distribución de Probabilidad Normal 25.El tiempo requerido para ensamblar una pieza mecánica es una variable aleatoria cuya distribución es aproximadamente normal con media 12.9 minutos y una desviación estándar de 2.0 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que el ensamblado de una pieza mecánica cualquiera tarde? a) Al menos 11.5 minutos? b) Entre 11.0 y 14.8 minutos? c) ¿A lo más 12 minutos?

26.Los focos de alumbrado eléctrico producidos por una compañía eléctrica tienen una distribución normal cuya media de 1000 horas y una desviación estándar de 50 horas. Determinar la probabilidad de que: a) Un foco tomado al azar se queme en menos de 950 horas b) Un foco se queme entre 900 y 1200 horas c) Un foco sed queme en menos de 990 horas 27.EL contenido de la botella de jugo de naranja llenadas por una máquina automática tiene una distribución aproximadamente normal con media de 63.9 onzas y desviación estándar de 0.25. Encontrar la probabilidad de que: a) Una botella contenga menos de 64 onzas de jugo de naranja b) Una botella contenga al menos 63.75 onzas de jugo de naranja 28.Un análisis realizado al contenido de grasa de jamones determina que en cada corte de 5 onzas de jamón se tiene en promedio 12.34 gramos de grasa si se asume que la cantidad de grasa tienen distribución normal con desviación estándar de 0.8 gramos. a) Qué porcentaje de cortes de jamón de 5 onzas tiene un contenido de grasa entre 10.2 gramos y 12.5 gramos. b) Qué porcentaje de cortes de jamón de 5 onzas tienen más de 14 gramos de grasa.