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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE CHOTA Escuela Profesional: Ingeniería Civil

Mg. Lic. Fís Elmer Walmer Vásquez Bustamante

ESTÁTICA

=========================================================================================== PRÁCTICA CALIFICADA 02

G1

APELLIDOS Y NOMBRES:……………………………………………………………………………………………….… Fecha: 14 de julio de 2017 1. Determine la fuerza en cada elemento de la armadura Pratt para techo que se muestra en la figura. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión. 9,6 kN

10,5 kN

10,5 kN D

5,7 kN

5,7 kN B

2,4 m

F

H

3,8 m

3,2 m

3,2 m

3,8 m

SOLUCIÓN:

𝑨𝒙 𝑯𝒚

𝑨𝒚

Ecuaciones de equilibrio: ∑ 𝑀𝐴 = 0 ;

𝐻𝑦 (14) − 5,7(14) − 10,5(10,2) − 9,6(7) − 10,5(3,8) = 0 𝐻𝑦 (14) = 79,8 + 107,1 + 67,2 + 39,9 𝐻𝑦 =

294 = 𝟐𝟏 𝒌𝑵 14

∑ 𝐹𝑥 = 0 ;

𝐴𝑥 = 𝟎

∑ 𝐹𝑦 = 0 ;

𝐴𝑦 + 𝐻𝑦 − 5,7 − 10,5 − 9,6 − 10,5 − 5,7 = 𝟎

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ESTÁTICA

=========================================================================================== 𝐴𝑦 = −21 + 42 = 0

⇒

𝐴𝑦 = 𝟐𝟏 𝒌𝑵

NUDO A 𝑇𝑎𝑛𝛼 =

2,4 𝛼 = 𝑇𝑎𝑛−1 ( ) 7

𝑭𝑨𝑩

𝟐, 𝟒 𝒎 𝜶

𝜶

𝑭𝑨𝑪

2,4 7

𝛼 = 18,925°

𝟕𝒎

𝟐𝟏 𝒌𝑵

∑ 𝐹𝑦 = 0 ;

21 − 5,7 + 𝐹𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0

⇒

𝐹𝐴𝐵 =

−15,3 = −47,174 𝑘𝑁 𝑠𝑒𝑛18,925°

𝑭𝑨𝑩 = 𝟒𝟕, 𝟏𝟕𝟒 𝒌𝑵

∑ 𝐹𝑥 = 0 ;

𝐹𝐴𝐵 cos 𝛼 − 𝐹𝐴𝐶 = 0

⇒

(𝑪)

𝐹𝐴𝐶 = 47,174𝑐𝑜𝑠18,925° 𝑭𝑨𝑪 = 𝟒𝟒, 𝟔𝟐𝟒 𝒌𝑵

NUDO B

(𝑻)

𝐹𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐹𝐵𝐷 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0 𝑭𝑨𝑩 = 𝑭𝑩𝑫 = 𝟒𝟕, 𝟏𝟕𝟒 𝒌𝑵

(𝑪)

𝑭𝑨𝑩

𝜶 𝑭𝑩𝑫

𝐹𝐵𝐶 − 10,5 + 𝐹𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝐹𝐵𝐷 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0

𝜶

𝐹𝐵𝐶 = 10,5 + 𝐹𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝐹𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑭𝑩𝑪 = 𝟏𝟎, 𝟓 𝒌𝑵

𝑭𝑩𝑪

(𝑪)

NUDO C 𝟏𝟎, 𝟓 𝒌𝑵

𝑭𝑪𝑫

𝑇𝑎𝑛𝜃 = 𝟐, 𝟒 𝒎

𝜽 𝑭𝑨𝑪

𝜽

𝑭𝑪𝑬

𝟑, 𝟐 𝒎

2,4 3,2

2,4 𝜃 = 𝑇𝑎𝑛−1 ( ) 3,2 𝜃 = 36,87°

∑ 𝐹𝑦 = 0 ;

𝐹𝐶𝐷 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 10,5 = 0

⇒

𝐹𝐶𝐷 =

10,5 = 𝟏𝟕, 𝟓𝟎 𝒌𝑵 𝑠𝑒𝑛36,87°

(𝑻)

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ESTÁTICA

=========================================================================================== ∑ 𝐹𝑥 = 0 ;

𝐹𝐶𝐷 cos 𝜃 + 𝐹𝐶𝐸 − 𝐹𝐶𝐴 = 0

⇒

𝐹𝐶𝐸 = −17,50𝑐𝑜𝑠36,87° + 44,624

𝑭𝑪𝑬 = 𝟑𝟎, 𝟔𝟐𝟒 𝒌𝑵

(𝑻)

NUDO E ∑ 𝐹𝑥 = 0 ;

𝑭𝑫𝑬 = 𝟎

𝑭𝑫𝑬

∑ 𝐹𝑦 = 0 ; 𝑭𝑪𝑬

𝐹𝐸𝐺 − 𝐹𝐶𝐸 = 0

⇒

𝑭𝑬𝑮 = 𝟑𝟎, 𝟔𝟐𝟒

(𝑻)

𝑭𝑬𝑮

Por la simetría de la armadura, se tiene: 𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐹𝐻 = 47,174 𝑘𝑁

(𝐶)

𝐹𝐵𝐶 = 𝐹𝐹𝐺 = 10,50 𝑘𝑁

(𝐶)

𝐹𝐴𝐶 = 𝐹𝐺𝐻 = 44,624 𝑘𝑁

(𝑇)

𝐹𝐶𝐷 = 𝐹𝐷𝐺 = 17,50 𝑘𝑁

(𝑇)

𝐹𝐷𝐵 = 𝐹𝐷𝐹 = 47,174 𝑘𝑁

(𝐶)

𝐹𝐶𝐸 = 𝐹𝐸𝐺 = 30,624 𝑘𝑁

(𝑇)

2. Determine las reacciones en los apoyos A y C de la estructura mostrada en la figura. 18°

45 kN/m

1,8 m

9,81 kN/m

15 m

9m

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ESTÁTICA

=========================================================================================== SOLUCIÓN: Analizamos el equilibrio de la estructura: 𝟔𝟕𝟓 𝑵

18°

𝑨 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟖° 𝟕, 𝟓 𝒎

𝑨 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟖°

𝟒, 𝟓 𝒎

𝑨

𝟏, 𝟖 𝒎

𝟕, 𝟓 𝒎

𝟖𝟖, 𝟐𝟗 𝑵

𝟒, 𝟓 𝒎

𝑪𝒙 𝑪𝒚

Aplicamos ecuaciones de equilibrio: ∑ 𝑀𝐶 = 0 ;

−𝐴 𝑐𝑜𝑠18°(15) − 𝐴 𝑠𝑒𝑛18°(10,8) + 765(7,5) + 88,29(4,5) = 0 𝐴=

−(5 062,5 + 397,305) −(15𝑐𝑜𝑠18° + 10,8𝑠𝑒𝑛18°) 𝐴=

− 5459,805 − 17,603

𝑨 = 𝟑𝟏𝟎, 𝟏𝟔𝟑 𝒌𝑵 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ;

𝐶𝑦 + 𝐴𝑐𝑜𝑠18° − 675 = 0 𝐶𝑦 = 675 − 310,163𝑐𝑜𝑠18° 𝑪𝒚 = 𝟑𝟖𝟎, 𝟎𝟏𝟕 𝒌𝑵

∑ 𝐹𝑥 = 0 ;

−𝐶𝑥 + 𝐴𝑠𝑒𝑛18° − 88,29 = 0 𝐶𝑥 = 310,163𝑠𝑒𝑛18° − 88,29 𝑪𝒙 = 𝟕, 𝟓𝟓𝟔 𝒌𝑵

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ESTÁTICA

=========================================================================================== 3. Calcule la fuerza de los miembros CE, DE y DF de la cercha de soporte cubierta que soporta nieve de acuerdo a cargas mostradas en la figura. 1 KN 2 KN 2 KN 2 KN 1 KN

J H F D

2,62 m

B 0,46 m

I A

E

C

2,40 m

2,40 m

G

2,40 m

2,40 m

SOLUCIÓN

𝑨𝒙 𝑰𝒚

𝑨𝒚

Ecuaciones de equilibrio: ∑ 𝑀𝐴 = 0 ;

𝐼𝑦 (9,6) − 1(9,6) − 2(7,2) − 2(4,8) − 2(2,4) = 0 𝐼𝑦 (9,6) = 9,6 + 14,4 + 9,6 + 4,8 𝑰𝒚 =

∑ 𝐹𝑥 = 0 ;

38,4 = 𝟒 𝒌𝑵 9,6

𝑨𝒙 = 𝟎 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ;

𝐴𝑦 + 𝐼𝑦 − 1 − 2 − 2 − 2 − 1 = 0

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ESTÁTICA

=========================================================================================== 𝑨𝒚 = −4 + 8 = 𝟒 𝒌𝑵

𝑭𝑫𝑭 𝜶 𝒉

𝜽

𝑭𝑪𝑬 𝟒 𝒌𝑵

𝑭𝑫𝑬

𝜶 𝟗, 𝟔 𝒎

𝟐, 𝟒 𝒎

𝟐, 𝟒 𝒎 𝒉 = (𝟐, 𝟔𝟐 − 𝟎, 𝟒𝟔) 𝒎 = 𝟐, 𝟏𝟔 𝒎 𝜶 = 𝑻𝒂𝒏

𝒚

𝒙

𝜶

𝜽

−𝟏

𝒚 = (𝟎, 𝟒𝟔 + 𝟎, 𝟓𝟒)𝒎 = 𝟏 𝒎

𝒙 = 𝟐, 𝟒𝒕𝒂𝒏𝜶

𝟐, 𝟏𝟔 ( ) = 𝟏𝟐, 𝟔𝟖° 𝟗, 𝟔

𝒙 = 𝟐, 𝟒𝒕𝒂𝒏𝟏𝟐, 𝟔𝟖° = 𝟎, 𝟓𝟒 𝒎

𝜽 = 𝑻𝒂𝒏−𝟏 (

𝟐, 𝟒 ) = 𝟔𝟕, 𝟑𝟖° 𝟏

𝟐, 𝟒𝟎 𝒎

∑ 𝑀𝐷 = 0 ;

𝐹𝐶𝐸 (𝑦) + 1(2,4) − 4(2,4) = 0 𝑭𝑪𝑬 =

∑ 𝐹𝑥 = 0 ;

9,6 − 2,4 = 𝟕, 𝟐 𝒌𝑵 1

𝐹𝐶𝐸 + 𝐹𝐷𝐹 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐹𝐷𝐸 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 𝐹𝐷𝐸 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝐹𝐶𝐸 − 𝐹𝐷𝐹 𝑐𝑜𝑠𝛼

∑ 𝐹𝑦 = 0 ;

(𝑻)

(1)

4 − 1 − 2 + 𝐹𝐷𝐹 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝐹𝐷𝐸 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 𝐹𝐷𝐸 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −1 − 𝐹𝐷𝐹 𝑠𝑒𝑛𝛼

(2)

Dividiendo (1) entre (2), se tiene:

𝐹𝐷𝐸 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐹𝐶𝐸 − 𝐹𝐷𝐹 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝐹𝐷𝐸 𝑐𝑜𝑠𝜃 −1 − 𝐹𝐷𝐹 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝐹𝐶𝐸 − 𝐹𝐷𝐹 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑇𝑎𝑛𝜃 = −1 − 𝐹𝐷𝐹 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑇𝑎𝑛67,38° (−1 − 𝐹𝐷𝐹 𝑠𝑒𝑛12,68°) = 7,2 − 𝐹𝐷𝐹 𝑐𝑜𝑠12,68° 2,4(−1 − 0,22𝐹𝐷𝐹 ) = 7,2 − 0,976𝐹𝐷𝐹 −1 − 0,22𝐹𝐷𝐹 = 3 − 0,407𝐹𝐷𝐹 (0,407 − 0,22)𝐹𝐷𝐹 = 3 + 1 4 (𝑪) 𝑭𝑫𝑭 = = 𝟐𝟏, 𝟑𝟗 𝒌𝑵 𝑜, 187 En (1), se tiene: 𝐹𝐷𝐸 =

7,2 − 21,39𝑐𝑜𝑠12,68° = −14,792 𝑘𝑁 𝑠𝑒𝑛67,38° 𝑭𝑫𝑬 = 𝟏𝟒, 𝟕𝟗𝟐 𝒌𝑵 (𝑪)

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ESTÁTICA

=========================================================================================== PRÁCTICA CALIFICADA 02 G2 APELLIDOS Y NOMBRES:.……………………………………………………………………………………………….… Fecha: 14 julio de 2017 1. Determine la fuerza en cada elemento de la armadura para ventilador de techo que se muestra en la figura. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión. 1,5 m

1,5 m

1,5 m

1,5 m

1,5 m

1,5 m

2 kN E

2 kN

2 kN

2 kN

2 kN 2m

F

D

1 kN B

1 kN H I

SOLUCIÓN

𝑨𝒙 𝑰𝒚

𝑨𝒚

Ecuaciones de equilibrio: ∑ 𝑀𝐴 = 0 ;

𝐼𝑦 (9) − 1(9) − 2(7,5) − 2(6) − 2(4,5) − 2(3) − 2(1,5) = 0 𝐼𝑦 (9) = 9 + 15 + 12 + 9 + 6 + 3 𝐼𝑦 =

∑ 𝐹𝑥 = 0 ;

𝐴𝑥 = 𝟎

54 = 𝟔 𝒌𝑵 9

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ESTÁTICA

=========================================================================================== ∑ 𝐹𝑦 = 0 ;

𝐴𝑦 + 𝐼𝑦 − 1 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 − 1 = 𝟎 𝐴𝑦 = −6 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 𝟔 𝒌𝑵

NUDO A

𝟓 𝒌𝑵 𝑭𝑨𝑩

𝜶

𝑇𝑎𝑛𝛼 =

𝟐𝒎 𝑭𝑨𝑩

𝑭𝑨𝑪

𝐹𝐴𝐶 =

𝜶 𝟒, 𝟓 𝒎

𝑭𝑨𝑪

5 2 = 𝐹𝐴𝐶 4,5 (5)(4,5) 2

𝑭𝑨𝑪 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟓 𝒌𝑵

(𝑻)

𝟔 𝒌𝑵

2 𝛼 = 𝑇𝑎𝑛−1 ( ) 4,5

𝑠𝑒𝑛𝛼 =

𝛼 = 23,962°

𝑭𝑨𝑩 =

5 𝐹𝐴𝐵

5 = 𝟏𝟐, 𝟑𝟏𝟏 𝒌𝑵 𝑠𝑒𝑛23,962°

(𝑪)

NUDO B ∑ 𝐹𝑦 = 0 ; −2 − 𝐹𝐵𝐷 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝐹𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝐹𝐵𝐶 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0 𝑭𝑩𝑪 𝜶 𝜶

𝑭𝑨𝑩

(𝐹𝐴𝐵 + 𝐹𝐵𝐶 − 𝐹𝐵𝐷 )𝑠𝑒𝑛𝛼 = 2

𝜶

(1)

∑ 𝐹𝑥 = 0 ; −𝐹𝐵𝐷 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝐹𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐹𝐵𝐶 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0

𝑭𝑩𝑫

𝐹𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠𝛼 = (𝐹𝐵𝐷 + 𝐹𝐵𝐶 )𝑐𝑜𝑠𝛼 𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐵𝐷 + 𝐹𝐵𝐶

(2)

Reemplazando (2) en (1) (𝐹𝐵𝐷 + 𝑭𝑩𝑪 + 𝐹𝐵𝐶 − 𝐹𝐵𝐷 )𝑠𝑒𝑛𝛼 = 2 (2𝐹𝐵𝐶 )𝑠𝑒𝑛𝛼 = 2

𝑭𝑩𝑪 =

2 = 𝟐, 𝟒𝟔𝟐 𝒌𝑵 2𝑠𝑒𝑛23,962°

(𝑪)

Reemplazando valores en (2): 𝑭𝑩𝑫 = 12,311 − 2,462 = 𝟗, 𝟖𝟒𝟗 𝒌𝑵

(𝑪)

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ESTÁTICA

=========================================================================================== NUDO D ∑ 𝐹𝑥 = 0 ; 𝐹𝐷𝐸 𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝐹𝐵𝐷 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0 𝐹𝐷𝐸 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝐹𝐵𝐷 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑭𝑫𝑬

𝐹𝐷𝐸 = 𝟗, 𝟖𝟒𝟗 𝒌𝑵

𝜶

𝜶

(𝑪)

∑ 𝐹𝑦 = 0 ; 2 − 𝐹𝐷𝐶 + 𝐹𝐷𝐸 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝐹𝐵𝐷 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0

𝑭𝑩𝑫 𝑭𝑫𝑪

𝐹𝐷𝐶 = 2 + 9,849𝑠𝑒𝑛𝛼 − 9,849𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑭𝑫𝑪 = 𝟐 𝒌𝑵

(𝑪)

NUDO C 𝑭𝑫𝑪

𝑭𝑩𝑪 𝜶 𝑭𝑨𝑪

2 𝑇𝑎𝑛𝜃 = ( ) 1,5

𝑭𝑪𝑬

2 𝜃 = 𝑇𝑎𝑛−1 ( ) = 53,13° 1,5

𝟐𝒎

𝜽 𝑭𝑪𝑮

𝜽 𝟏, 𝟓 𝒎

∑ 𝐹𝑦 = 0 ; −𝐹𝐷𝐶 + 𝐹𝐶𝐸 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝐹𝐵𝐶 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 0 𝐹𝐶𝐸 =

𝐹𝐷𝐶 + 𝐹𝐵𝐶 𝑠𝑒𝑛𝛼 2 + 2,462𝑠𝑒𝑛23,962° = 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛53,13° 𝑭𝑪𝑬 = 𝟑, 𝟕𝟓𝟎 𝒌𝑵

(𝑻)

∑ 𝐹𝑥 = 0 ; −𝐹𝐴𝐶 + 𝐹𝐶𝐺 + 𝐹𝐶𝐸 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐹𝐵𝐶 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0 𝐹𝐶𝐺 = 𝐹𝐴𝐶 − 𝐹𝐶𝐸 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝐹𝐵𝐶 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 11,25 − 3,75𝑐𝑜𝑠53,13° − 2,462𝑐𝑜𝑠23,962° 𝑭𝑪𝑮 = 𝟔, 𝟕𝟓𝟎 𝒌𝑵

(𝑻)

Por la simetría de la armadura, se tiene: 𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐻𝐼 = 12,311 𝑘𝑁

(𝐶)

𝐹𝐷𝐶 = 𝐹𝐹𝐺 = 2 𝑘𝑁

(𝐶)

𝐹𝐴𝐶 = 𝐹𝐺𝐼 = 11,250 𝑘𝑁

(𝑇)

𝐹𝐷𝐸 = 𝐹𝐸𝐹 = 9,849 𝑘𝑁

(𝐶)

𝐹𝐵𝐶 = 𝐹𝐺𝐻 = 2,462 𝑘𝑁

(𝐶)

𝐹𝐶𝐸 = 𝐹𝐸𝐺 = 3,750 𝑘𝑁

(𝑇)

𝐹𝐵𝐷 = 𝐹𝐹𝐻 = 9,849 𝑘𝑁

(𝐶)

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ESTÁTICA

=========================================================================================== 2. En la siguiente estructura en equilibrio se tiene una barra doblada ABC, la cual pesa 330 N, determine las componentes de reacción en los apoyos A y C 900 N/m

400 N

300 N/m 3m

1,5 m

4,5 m

4m

SOLUCIÓN: Dividimos el peso total de la barra doblada ABC en forma proporcional a su longitud: Barra AB:

Barra BC:

330 𝑁 … … … … … … 11 𝑚 𝑥 ………………6 𝑚 𝑥=

(330𝑁)(6𝑚) = 180 𝑁 11 𝑚

330 𝑁 … … … … … … 11 𝑚 𝑥 ………………5 𝑚 𝑥=

(330𝑁)(5𝑚) = 150 𝑁 11 𝑚

𝟐𝟎𝟐𝟓 𝑵 𝟒𝟎𝟎 𝑵

𝐴𝑥 𝐴𝑦

𝟑𝟎𝟎𝟎 𝑵

𝟐𝟐𝟓 𝑵 𝟏𝟖𝟎 𝑵

1,5 𝑚

53° 37° 1,5 𝑚 𝟏𝟓𝟎 𝑵

37°

𝐶𝑦 1,5 𝑚

1,5 𝑚

2,5 𝑚

0,5 𝑚

2𝑚

2𝑚

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ESTÁTICA

=========================================================================================== Aplicamos ecuaciones de equilibrio: ∑ 𝑀𝐴 = 0 ;

𝐶𝑦 (10) − 3000𝑠𝑒𝑛53°(8) − 150(8) − 3000𝑐𝑜𝑠53°(1,5) − 400(6) + 225(5,5) − 180(3) −

2025(1,5) = 0 𝐶𝑦 (10) = −27815,4198 𝐶𝑦 =

−27815,4198 = −𝟐𝟕𝟖𝟏, 𝟓𝟒 𝑵 10

∑ 𝐹𝑥 = 0 ;

𝐴𝑥 − 3000𝑐𝑜𝑠53° = 0

𝐴𝑥 = 3000𝑐𝑜𝑠53° = 𝟏𝟖𝟎𝟓, 𝟒𝟓 𝑵 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ;

𝐴𝑦 − 2025 − 180 + 225 − 400 − 3000𝑠𝑒𝑛53° − 150 + 2781,54 = 0 𝐴𝑦 = 𝟐𝟏𝟒𝟒, 𝟑𝟕 𝑵

3.

Una armadura para piso se carga en la forma que muestra la figura. Determine la fuerza en los elementos FI, HI y HJ.

4 KN

2 KN

0,8 m

0,8 m B

0,8 m E

D

0,8 m G

2 KN

2 KN

3 KN

4 KN

0,8 m

0,8 m H

1 KN

L

J

0,4 m A

C

F

K

I

SOLUCIÓN

𝐾𝑥 𝐴𝑦

𝐾𝑦

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ESTÁTICA

=========================================================================================== Ecuaciones de equilibrio: ∑ 𝑀𝑘 = 0 ;

−𝐴𝑦 (4,8) + 2(4,8) + 4(4) + 4(3,2) + 3(2,4) + 2(1,6) + 2(0,8) = 0 𝐴𝑦 (4,8) = 9,6 + 16 + 12,8 + 7,2 + 3,2 + 1,6 𝑨𝒚 =

∑ 𝐹𝑥 = 0 ;

50,4 = 𝟏𝟎, 𝟓 𝒌𝑵 4,8

𝒌𝒙 = 𝟎 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ;

𝐴 𝑦 + 𝑘𝑦 − 2 − 4 − 4 − 3 − 2 − 2 − 1 = 0 𝒌𝒚 = −10,5 + 18 = 𝟕, 𝟓 𝒌𝑵

𝐹𝐻𝐽

0,8 𝛼 = 𝑇𝑎𝑛−1 ( ) 0,4

𝛼 0,4 𝑚

𝛼 = 63,435°

𝛼 𝐹𝐻𝐼 0,8 𝑚

𝐹𝐹𝐼

∑ 𝑀𝐻 = 0 ;

−𝐴𝑦 (3,2) + 2(3,2) + 4(2,4) + 4(1,6) + 3(0,8) + 𝐹𝐹𝐼 (0,4) = 0 𝐹𝐹𝐼 (0,4) = 10,5(3,2) − 2(3,2) − 4(2,4) − 4(1,6) − 3(0,8) 𝑭𝑭𝑰 =

∑ 𝐹𝑦 = 0 ;

8,8 = 𝟐𝟐 𝒌𝑵 0,4

(𝑻)

𝐴𝑦 − 2 − 4 − 4 − 3 − 2 + 𝐹𝐻𝐼 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0 𝐹𝐻𝐼 𝑐𝑜𝑠63,435° = −𝐴𝑦 + 2 + 4 + 4 + 3 + 2 𝑭𝑯𝑰 =

∑ 𝐹𝑥 = 0 ;

−10,5 + 15 = 𝟏𝟎, 𝟎𝟔𝟐 𝒌𝑵 𝑐𝑜𝑠63,435°

(𝑪)

𝐹𝐹𝐼 − 𝐹𝐻𝐼 𝑠𝑒𝑛𝛼 − 𝐹𝐻𝐽 = 0 𝐹𝐻𝐽 = 𝐹𝐹𝐼 − 𝐹𝐻𝐼 𝑠𝑒𝑛63,435° 𝑭𝑯𝑱 = 22 − 10,062𝑠𝑒𝑛 63,435° = 𝟏𝟑 𝒌𝑵

(𝑪)

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ESTÁTICA

=========================================================================================== PRÁCTICA CALIFICADA 02 G3 APELLIDOS Y NOMBRES:.……………………………………………………………………………………………….… Fecha: 14 julio de 2017 1. Determine la fuerza en cada elemento de la armadura Howe para techo que se muestra en la figura. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión. 600 lb

D 600 lb

600 lb

6 pies

F

B 300 lb

300 lb

6 pies

A C

8 pies

8 pies

H

G

E

8 pies

8 pies

SOLUCIÓN:

𝐻𝑥 𝐴𝑦

𝐻𝑦

Ecuaciones de equilibrio: ∑ 𝑀𝐻 = 0 ;

−𝐴𝑦 (32) + 300(32) + 600(24) + 600(16) + 600(8) = 0

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ESTÁTICA

=========================================================================================== 𝐴𝑦 (32) = 9600 + 14400 + 9600 + 4800 𝐴𝑦 =

38400 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒍𝒃 32

∑ 𝐹𝑥 = 0 ;

𝐻𝑥 = 𝟎

∑ 𝐹𝑦 = 0 ;

𝐴𝑦 + 𝐻𝑦 − 300 − 600 − 600 − 600 − 300 = 𝟎 1200 + 𝐻𝑦 − 2400 = 0

NUDO A:

⇒

𝐻𝑦 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒍𝒃

∑ 𝐹𝑦 = 0; 𝐴𝑦 − 300 − 𝐹𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛37° = 0 𝐹𝐴𝐵

300 lb

𝟑𝟕°

𝐹𝐴𝐶

1200 − 300 = 𝐹𝐴𝐵 𝑠𝑒𝑛 37° (𝑪)

𝟏 𝟒𝟗𝟓, 𝟒𝟕𝟔 𝒍𝒃 = 𝑭𝑨𝑩

∑ 𝐹𝑥 = 0; 𝐹𝐴𝐶 − 𝐹𝐴𝐵 𝑐𝑜𝑠37° = 0 𝑭𝑨𝑪 = (1495,476) 𝑐𝑜𝑠37° = 𝟏 𝟏𝟗𝟒, 𝟑𝟒𝟎 𝒍𝒃

NUDO C:

∑ 𝐹𝑦 = 0; 𝑭𝑩𝑪 = 𝟎 𝐹𝐵𝐶

∑ 𝐹𝑥 = 0; −𝐹𝐴𝐶 + 𝐹𝐶𝐸 = 0 𝐹𝐴𝐶

𝐹𝐶𝐸

𝑭𝑪𝑬 = 𝟏 𝟏𝟗𝟒, 𝟑𝟒𝟎 𝒍𝒃

(𝑻)

NUDO G: (El análisis en este nudo es el mismo que el nudo C)

∑ 𝐹𝑦 = 0; 𝑭𝑭𝑮 = 𝟎

𝐹𝐹𝐺

𝐹𝐺𝐸

𝐹𝐺𝐻

∑ 𝐹𝑥 = 0; −𝐹𝐺𝐸 + 𝐹𝐺𝐻 = 0 𝑭𝑨𝑪 = 𝑭𝑪𝑬 = 𝐹𝐺𝐻 = 𝐹𝐺𝐸 = 𝟏 𝟏𝟗𝟒, 𝟑𝟒𝟎 𝒍𝒃

(𝑻)

(𝑻)

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ESTÁTICA

=========================================================================================== NUDO B:

∑ 𝐹𝑦 = 0; 1495,476𝑠𝑒𝑛37° + 𝐹𝐵𝐸 𝑠𝑒𝑛37° + 𝐹𝐵𝐷 𝑠𝑒𝑛37 − 600 = 0 𝐹𝐵𝐷

𝐹𝐵𝐸 + 𝐹𝐵𝐷 =

600 lb

𝐹𝐵𝐷 𝑠𝑒𝑛37°

600 − 1495,476𝑠𝑒𝑛37° = −498,492 𝑠𝑒𝑛37°

∑ 𝐹𝑥 = 0; 1495,476𝑐𝑜𝑠37° − 𝐹𝐵𝐸 𝑐𝑜𝑠37° + 𝐹𝐵𝐷 𝑐𝑜𝑠37° = 0

𝟑𝟕°

1495,476𝑐𝑜𝑠37°

𝐹𝐵𝐸 𝑠𝑒𝑛37°

1495,476𝑠𝑒𝑛37°

𝐹𝐵𝐷 𝑐𝑜𝑠37°

1 495,476 𝑙𝑏 𝟑𝟕°

(1)

−𝐹𝐵𝐸 + 𝐹𝐵𝐷 =

−1495,476𝑐𝑜𝑠37° = −1495,476 𝑐𝑜𝑠37°

(2)

Sumando (1) y (2);

𝟑𝟕°

𝐹𝐵𝐸 𝑐𝑜𝑠37°

2𝐹𝐵𝐷 = −1993,968

𝐹𝐵𝐶 = 0

⇒

𝑭𝑩𝑫 = −𝟗𝟗𝟔, 𝟗𝟖𝟒 𝒍𝒃 = 𝟗𝟗𝟔, 𝟗𝟖𝟒 𝒍𝒃(𝑪)

En (1) 𝑭𝑩𝑬 = −498,492 − (−996,984) = 𝟒𝟗𝟖, 𝟒𝟗𝟐 (𝑪)

𝐹𝐸𝐹

𝐹𝐵𝐸

𝟑𝟕°

𝐹𝐵𝐸 𝑐𝑜𝑠37°

𝐹𝐸𝐶

𝐹𝐸𝐷

𝟑𝟕°

𝐹𝐸𝐹 𝑠𝑒𝑛37°

𝐹𝐵𝐸 𝑠𝑒𝑛37°

NUDO E:

∑ 𝐹𝑦 = 0; 𝑭𝑬𝑫 − 𝑭𝑬𝑭 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟕° − 𝑭𝑩𝑬 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟕° = 𝟎 𝐹𝐸𝐷 = (498,492)𝑠𝑒𝑛37° + (498,492)𝑠𝑒𝑛37° 𝑭𝑬𝑫 = 𝟔𝟎𝟎 𝒍𝒃 (𝑻)

𝐹𝐸𝐹 𝑐𝑜𝑠37° 𝐹𝐸𝐺

Por simetría de la armadura, se tiene: 𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐹𝐻 = 1 495,476 𝑙𝑏

(𝐶)

𝐹𝐵𝐷 = 𝐹𝐷𝐹 = 996,984 𝑙𝑏

(𝐶)

𝐹𝐴𝐶 = 𝐹𝐺𝐻 = 1 194,340 𝑙𝑏

(𝑇)

𝐹𝐵𝐸 = 𝐹𝐸𝐹 = 498,492 𝑙𝑏

(𝐶)

𝐹𝐵𝐶 = 𝐹𝐹𝐺 = 0

𝐹𝐶𝐸 = 𝐹𝐸𝐺 = 1 194,340 𝑙𝑏

(𝑇)

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Mg. Lic. Fís Elmer Walmer Vásquez Bustamante

ESTÁTICA

=========================================================================================== 2. Determine las reacciones en los apoyos de las siguiente barra de eje quebrado 2 kN/m 3 kN

3m

3m

3m

SOLUCIÓN: Analizamos el equilibrio de la estructura: 𝟑 𝒌𝑵

𝟒 𝒌𝑵

𝟑 𝒌𝑵

𝑪𝒚

𝟒𝒄𝒐𝒔𝟑𝟕°

𝟒𝒔𝒆𝒏𝟑𝟕°

𝟑𝟕°

𝑨𝒙 𝟒𝒎

𝑨𝒚

𝟐𝒎

𝟏𝒎

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ESTÁTICA

=========================================================================================== Aplicamos ecuaciones de equilibrio: ∑ 𝑀𝐴 = 0 ;

𝐶𝑦 (7) − 4(2,5) − 3(4) − 3(6) = 0 𝐶𝑦 (7) = 10 + 12 + 18 𝐶𝑦 =

∑ 𝐹𝑥 = 0 ;

40 = 𝟓, 𝟕𝟏𝟒 𝒌𝑵 7

−𝐴𝑥 + 4𝑠𝑒𝑛37° = 0 𝐴𝑥 = 4𝑠𝑒𝑛37° = 𝟐, 𝟒𝟎𝟕 𝒌𝑵

∑ 𝐹𝑦 = 0 ;

𝐴𝑦 − 4𝑐𝑜𝑠37° − 3 − 3 + 𝐶𝑦 = 0 𝐴𝑦 = 4𝑐𝑜𝑠37° + 3 + 3 − 5,714 = 𝟑, 𝟒𝟖𝟏 𝒌𝑵

3. Una armadura para piso se carga en la forma que muestra la figura. Determine la fuerza en los elementos CF, EF y EG.

4 KN

2 KN

0,8 m

0,8 m B

0,8 m E

D

0,8 m G

2 KN

2 KN

3 KN

4 KN

0,8 m

0,8 m H

1 KN

L

J

0,4 m A

C

F

K

I

SOLUCIÓN

𝐾𝑥 𝐴𝑦

𝐾𝑦

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ESTÁTICA

=========================================================================================== Ecuaciones de equilibrio: ∑ 𝑀𝑘 = 0 ;

−𝐴𝑦 (4,8) + 2(4,8) + 4(4) + 4(3,2) + 3(2,4) + 2(1,6) + 2(0,8) = 0 𝐴𝑦 (4,8) = 9,6 + 16 + 12,8 + 7,2 + 3,2 + 1,6 𝑨𝒚 =

∑ 𝐹𝑥 = 0 ;

50,4 = 𝟏𝟎, 𝟓 𝒌𝑵 4,8

𝒌𝒙 = 𝟎 ∑ 𝐹𝑦 = 0 ;

𝐴 𝑦 + 𝑘𝑦 − 2 − 4 − 4 − 3 − 2 − 2 − 1 = 0 𝒌𝒚 = −10,5 + 18 = 𝟕, 𝟓 𝒌𝑵

0,8 𝛼 = 𝑇𝑎𝑛−1 ( ) 0,4

𝛼 0,4 𝑚

𝐹𝐸𝐺

𝛼 = 63,435°

𝛼 0,8 𝑚

𝐹𝐸𝐹 𝐹𝐶𝐹

∑ 𝑀𝐸 = 0 ;

−𝐴𝑦 (1,6) + 2(1,6) + 4(0,8) + 𝐹𝐶𝐹 (0,4) = 0 𝐹𝐶𝐹 (0,4) = 10,5(1,6) − 2(1,6) − 4(0,8) 𝑭𝑪𝑭 =

∑ 𝐹𝑦 = 0 ;

10,4 = 𝟐𝟔 𝒌𝑵 0,4

(𝑻)

𝐴𝑦 − 2 − 4 − 4 − 𝐹𝐸𝐹 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0 𝐹𝐸𝐹 𝑐𝑜𝑠63,435° = 𝐴𝑦 − 2 − 4 − 4 𝐹𝐸𝐹 =

10,5 − 10 = 1,118 𝑘𝑁 𝑐𝑜𝑠63,435°

𝑭𝑬𝑭 = 𝟏, 𝟏𝟏𝟖 𝒌𝑵 ∑ 𝐹𝑥 = 0 ;

(𝑻)

𝐹𝐶𝐹 + 𝐹𝐸𝐹 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 𝐹𝐸𝐺 = 0 𝐹𝐸𝐺 = −𝐹𝐶𝐹 − 𝐹𝐸𝐹 𝑠𝑒𝑛63,435° 𝐹𝐸𝐺 = −26 − 1,118𝑠𝑒𝑛 63,435° = −27 𝑘𝑁 𝑭𝑬𝑮 = 𝟐𝟕 𝒌𝑵

(𝑪)