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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE CIENCIA ECONOMICAS Y FINANCIERAS CARRERA DE ECONOMIA MATEMATICA FINANCIERA DOCENTE: LIC ESTEVEZ MARTINI, GINO AUXILIAR: UNIV. PEÑA MONTEALEGRE, ELIANA KATE Primer semestre de 2020

ANUALIDADES 1. Mariana hace depósitos periódicos de Bs. 1500 al final de cada semestre, durante 3 años. Calcular el valor acumulado de sus depósitos, si los intereses son de 11% capitalizable semestralmente. a) Analice las características del ejercicio b) Determine el resultado con fórmulas de interés compuesto c) Determine el resultado con la fórmula de anualidad. a) n = 3 años = 3*2 = 6 semestres R = 1500 al final de cada semestre i = 11% capitalizable semestralmente Co = ¿? M b) 1500 0

1500

0,5

0 ,11 M =1500 1+ 2

1500 1,5

1 −6

[ ( )]

−5

1500 2

0 , 11 0 , 11 +1500 1+ +1500+1500 1+ 2 2 M =7493,295463

[ ( )]

1500

1500

2,5 −3

[ ( )]

3

0 , 11 + 1500 1+ 2

[ ( )]

c) M =R

i n ) −1 m i m

[ ] [ ] (1+

−2

0 , 11 6 ) −1 2 M =1500 0 ,11 2 M =10332,07655 (1+

2. Belen se prestó dinero de una entidad bancaria, acordando pagar 6 cuotas bimestrales vencidas, cada una de Bs. 380. Si la tasa de interés de la operación fue de 2% capitalizable bimestral, ¿Cuál fue el valor del préstamo original? a) Analice las características del ejercicio b) Determine el resultado con fórmulas de interés compuesto c) Determine el resultado con la fórmula de anualidad. a) cuotas = 6 bimestral vencidas R = 380

[ (

+1500 1+

0

i = 2% capitalizable bimestral Co = ¿? Valor del préstamo original b) Co 0

380

380

380

380

380

380

1

2

3

4

5

6

0 , 02 Co=380 1+ 6

−6

[ ( )]

5

0 , 02 0 ,02 +380 1+ +380 1+ 6 6 Co=2253,634683

−4

[ ( )] [ ( )]

0 , 02 +380 1+ 6

−3

[ ( )]

0 ,02 +380 1+ 6

[ ( )]

c) i −n 1−(1+ ) m C=R i m

[ ] [ ]

0,02 −6 ) 6 Co=380 0,02 6 Co=2253,634683 1−(1+

3. Calcular el valor acumulado (valores finales) de: a) Bs. 500 mensualmente durante 4 años y 3 meses, a 10% compuesto mensualmente; b) Bs. 800 trimestrales durante 6 años y 3 meses a 141/4% compuesto trimestralmente, c) Bs. 1000 cada semestre durante 10 años a 12.23 % compuesto semestralmente. a) R = 500 mensualmente n = 4 años y 3 meses = 4*12 + 3 = 51 meses i = 10% compuesto mensualmente i n (1+ ) −1 m M =R i m

[ ] [ ] (1+

M =500

0,1 51 ) −1 12 0,1 12

M =31613,9457 b) R = 800 trimestrales n = 6 años y 3 meses = 6*12 + 3 = 75 meses i = 141/4% compuesto trimestralmente i n (1+ ) −1 m M =R i m

[ ]

−2

+380

M =800

[

(1+

0,3525 75 ) −1 4 0,3525 4

M =5106562,187 c) R = 1000 cada semestre n = 10 años = 10*2 = 20 semestres i = 12.23 % compuesto semestralmente M =1000

[

(1+

]

0,1223 20 ) −1 2 0,1223 2

]

M =37243,60057 4. Calcular los valores descontados (valores actuales) de las anualidades ordinarias siguientes. a) Bs. 500 mensualmente durante 4 años y 3 meses, a 10% compuesto mensualmente; b) Bs. 800 trimestrales durante 6 años y 3 meses a 141/4% compuesto trimestralmente, c) Bs. 1000 cada semestre durante 10 años a 12.23 % compuesto semestralmente. a) R = 500 mensualmente, n = 4 años y 3 meses = 4*12 + 3 = 51 meses i = 10% compuesto mensualmente i −n 1−(1+ ) m C=R i m

[ ] [ ] 0,1 −51 ) 12 0,1 12

1−(1+

C=500

C=20704,6725 b) R = 800 trimestrales, n = 6 años y 3 meses = 6*4 + 1 = 25 i = 141/4% compuesto trimestralmente = 0,3525 compuesto trimestralmente 0,3525 −25 1−(1+ ) 12 C=800 0,3525 12 C=14028,03021 c) R = 1000 cada semestre, n = 10 años = 10*2 = 20 semestres i = 12.23 % compuesto semestralmente 0,1223 −20 1−(1+ ) 2 C=1000 0,1223 2 C=11363,60403 5. Se estima que en el plazo de seis meses el precio de un viaje a Dubai costara Bs. 2830 Si desde hace mucho tiempo su intención es concretar este viaje y además decide que, concluido el primer mes hasta el vencimiento del sexto mes, ahorrara mensualmente una

[

]

[

]

suma constante de dinero en una cuenta bancaria que genera una tasa de interés de 8.5% capitalizable mensual, ¿Qué cantidad de dinero deberá depositar entre intervalos de depósito? n = 6 meses. M = 2830 R = ¿? i = 8.5% capitalizable mensual M R= i n (1+ ) −1 m i m 2830 R= 0,085 6 (1+ ) −1 12 0,085 12 R=463,3830142

[ ]

[

]

6. Un televisor que vale Bs. 700 se puede comprar con abonos mensuales durante 2 años. Calcular el abono mensual, si el comerciante cobra el 15% compuesto mensualmente, y el primer abono se vence dentro de un mes. M = 700 n = 2 años = 2*12 = 24 meses R = ¿? Mensual i = 15% compuesto mensualmente El primer abono vence dentro de un mes M R= i n (1+ ) −1 m i m 700 R= 0,15 24 (1+ ) −1 12 0,15 12 R=25,19

[ ]

[

]

7. Calcule el valor final de una operación en la que se invierte constantemente Bs. 2800 al final de cada bimestre, durante 8 años plazo y a una tasa de interés de 8.67% convertible bimestral. Asimismo, calcule el interés monetario que ha generado la transacción.

8. ¿Cuál es el valor actual de una anualidad vencida con rentas de 740 Bs semestrales, sujetas a un plazo de 12 años y a una tasa de interés de 3.14% capitalizable semestral? R = 740 Bs semestrales n = 12 años = 12*2 = 24 semestres i = 3.14% capitalizable semestral C=R

C=740

[

i m

−n

[ ] ( )

1− 1+

i m

0,0314 2 0,0314 2

(

1− 1+

−24

)

]

C=14702,69312 9. Vanessa ha depositado Bs. 1000 al final de cada año, durante los últimos 10 años, en un plan de ahorro para el retiro. Sus depósitos ganaron intereses a 8% capitalizable anualmente durante los primeros 3 años; a 10.25% capitalizable anualmente durante los 4 años siguientes, y 9% capitalizable anualmente durante los últimos 3 años, a) ¿Cuál es el valor acumulado de su plan de retiro?, b) ¿Cuáles son los intereses totales ganados en los 10 años? Rpta. a) 15521.97 b) 5521.97 10. Daniel compra un coche, pagando Bs. 1500 de enganche (es decir ahora) y Bs. 182.50 al final de cada mes durante 3 año. a) ¿Cuál fue el precio al contado del automóvil, si la tasa de interés sobre el préstamo es de 18% capitalizable mensualmente b) ¿Cuáles fueron los intereses totales sobre el préstamo? Rpta. a)6548.07 b)1521.93 n = 3 años = 3*12 = 36 meses, R = 182.50 final de cada mes, i = 18% capitalizable mensualmente 1500 182.5 0 C

182.5 13

1

C=182.5

[

(

0,18 12 0,18 12

1− 1+

36 −36

)

]

+1500 valor del auto=5048,074887+1500 valor del auto=6548,074887 b) I =Mcon intereses−¿ C

I =36∗182,5−5048,074887 I =1521,925113 11. Adriana deposita Bs. 100 cada tres meses, en una cuenta de ahorros que paga intereses de 6% capitalizable trimestralmente. Si hace su primer depósito el 1 de julio de 1993, calcular sus ahorros totales justo en el depósito de 1 de enero de 1996. Rpta. 1186.33 12. Nayetzi hace depósitos periódicos de Bs. 500 al final de cada semestre, durante 5 años, y después de Bs. 800 durante los tres años siguientes. Calcular el valor acumulado de sus depósitos, si los intereses son de 11% capitalizable semestralmente. Rpta. 14386.98 i = 11% capitalizable semestralmente I. R = 500 al final de cada semestre, n = 5 años = 5*2 = 10 semestres i n (1+ ) −1 m M =R i m

[ ] [ ]

0,11 10 ) −1 2 M =500 0,11 2 M =6437,676894 Durante 3 años (alcanzando el periodo temporal de M2) n = 3*2 = 6 semestres i n M 1=M (1+ ) m 0,11 6 M 1=6437,676894[1+ ] 2 M 1=8876,544478 II. R = 800, n = 3 años = 3*2 = 6 semestres i n (1+ ) −1 m M 2=R i m (1+

[ ] ( ) [ ]

0,11 6 −1 2 M 2=800 0,11 2 M 2=5510,440826 valor acumulado de sus depósitos=M 1+ M 2=8876,644478+5510,440826=14386,9853 1+

13. Para saldar una deuda con 12% de interés compuesto semestralmente, Leonardo conviene en hacer 15 pagos de Bs. 400 al final de cada semestre, y un pago final de Bs. 292.39 seis meses después. ¿De cuánto es la deuda? 14. Una anualidad que se paga al final de cada mes paga Bs. 200 durante 2 años, después Bs. 300 al siguiente año, y luego Bs. 400 por los 2 años siguientes. Calcular el valor

descontado de estos pagos a 10% capitalizable mensualmente. valor descontado = C, 10% capitalizable mensualmente I. . R = 200 al mes, n = 2 años = 2*12 = 24meses C 1=200 C 1=4334,170967 II.

[

(

0,1 12 0,1 12

1− 1+

−24

)

]

. R = 300, n = 1 año = 12 meses, 36 meses han pasado 0,1 −12 12 Ci=300 0,1 12 Ci=3412,352528 en el mes 24 Calculando al mes 24 (actualizando)

[

C 2=Ci(1+

(

1− 1+

)

]

i −n ) m

0,1 −24 ) 12 C 2=2796,114226 al inicio( hoy) . R = 400, n = 2 años = 24 meses, 60 meses han pasado C 2=3412,352528(1+

III.

0,1 −24 1− 1+ 12 Cii=400 0,1 12 Cii=8668,341934 almes 36 0,1 −36 C 3=8668,341934(1+ ) 12 C 3=6429,653376 C 1+C 2+C 3=4334,170967+2796,114226+6429,653376 Valor descontado = 13559,93857

[

(

)

]

15. Una serie de pagos trimestrales equivalente a Bs. 3500 ha generado un valor actual de Bs. 16028.98 y se ha empleado una tasa de interés del 12% capitalizable trimestralmente en este contexto. ¿Cuál es el tiempo total de la operación que se necesita para realizar estos pagos? Rpta. 5 16. Se debe acumular un fondo de Bs 8000 con pagos semestrales de Bs. 200. Si el fondo gana intereses de 12% capitalizables semestralmente, calcular la cantidad de depósitos necesarios. Rpta. 21 M = 8000, n=??, R = 200, i = 12% capitalizables semestralmente M∗i m log ( +1) R n= i log (1+ ) m 8000∗0,12 2 log ( +1) 200 n= 0,12 log (1+ ) 2

17. n=21 semestresUn hombre muere y deja una fortuna de Bs. 100000 a su mujer. El dinero se invierte a 12% capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos mensuales de Bs. 1500 recibirá la viuda? Rpta. 110 18. Una empresa compra una máquina de Bs. 30000, pagando Bs. 5000 de enganche y Bs. 5000 al final de cada año. Si el interés es de 10% capitalizable anualmente. ¿Cuántos pagos completos se deben hacer? Rpta. 7 i = 10% capitalizable anualmente R = 5000 al final de cada año C = 30000 C1 = 25000 C∗i m −log (1− ) R n= i log (1+ ) m

30000∗0,1 1 −log (1− ) 5000 n= 0,1 log (1+ ) 1 n=7,272540897 años 19. Una pareja desea acumular Bs. 10000 haciendo depósitos de Bs. 800 al final de cada semestre, en una cuenta de ahorros que gana intereses de 9% capitalizable semestral. a) ¿Cuántos depósitos totales deben hacer? b) ¿Qué deposito adicional incluido en el momento del ultimo deposito completo será necesario para llevar la cuenta de ahorros a Bs. 10000? Rpta. a) 10 b) 169.43 Bs.

20. Calcular la tasa de interés capitalizable trimestralmente con la que depósitos de Bs. 250 al final de cada 3 meses acumularan Bs. 5000 en 4 años. Rpta. 11.60% i = ¿? capitalizable trimestralmente, R = 250 al final de cada 3 meses, M = 5000, n = 4 años = 4*4 = 16 trimestres i 16 (1+ ) −1 4 5000=250 i 4 calculadora i=0,1160353277

[ ]

baly 2 ( n+1 )∗h+12 i M n−1 = ∗h , h= −1 m 2 ( n+1 )∗h+12 R∗n h=¿ ( n+ 1 )∗0,03+12 i = ∗0,03 4 2 ( n+1 )∗0,03+12 i=0,116037298 21. Usted pide Bs. 1600 a una empresa y conviene en pagar Bs. 160 mensuales durante 12 meses. Calcule la tasa nominal compuesta mensualmente y la tasa efectiva que le cobran. Rpta. 35.07%. 41.29%

[ [

]

[ ]

]

22. Una compañía de seguros pagará Bs. 80000 a un beneficiario, o bien hará pagos mensuales de Bs. 1000 durante 10 años ¿Qué tasa de interés está usando la compañía de seguros? Rpta. 8.70% 23. Un automóvil usado se vende en Bs. 600 al contado, o con Bs. 100 de enganche y Bs. 90 mensuales durante 6 meses. Calcular la tasa de interés capitalizable mensual si el comprador lo adquiere con el plan de crédito y la tasa efectiva. Rpta. 26.93%, 30.52 % 24. El propietario de un inmueble desea alquilar esta propiedad cobrando un pago anticipado de Bs. 3850 para todo un año. Un potencial inquilino plantea al dueño la posibilidad de cerrar la transacción, pero bajo la condición de que le sea permitido pagar 8 cuotas bimestrales, haciendo efectivo el primer pago inmediatamente. Si el costo del dinero es de 12% capitalizable bimestral y el dueño del inmueble acepta esta oferta, ¿Cuál es el valor de las cuotas bimestrales que deberá cobrar el propietario del inmueble? 25. Juana depositó Bs. 200 al principio de cada mes, durante 5 años, en una cuenta que paga intereses de 10.5% compuesto mensualmente. ¿Cuánto hay en su cuenta al final de 5 años? Rpta. 15831.10

[

i m

n+ 1

( ) M =R

[

C=R 1+

1+

−1 −1

i m

i m

−n +1

( )

1− 1+

i m

]

]

26. Un coche usado se vende en Bs. 9550. Brent desea pagarlo en 18 abonos mensuales, el primero pagadero la fecha de la compra. Si se cobra el 18% compuesto mensualmente, calcular la magnitud del pago mensual.

27. Una póliza de seguro de vida permite la opción de pagar cuatro primas anuales por adelantado, o mensualmente por adelantado. Si la prima mensual es de Bs. 15 ¿Qué prima anual sería equivalente, a 12% capitalizable mensualmente? Rpta. 170.51 28. Una deuda de Bs. 1000 con intereses de 18% capitalizable mensualmente se va a pagar durante 18 meses, con pagos mensuales iguales, el primero de los cuales se vence hoy. Calcular el pago mensual. Rpta. 62.86 29. Una persona de 40 años deposita Bs. 1000 al principio de cada año, durante 25 años, en una cuenta registrada de ahorros para el retiro, que paga intereses a 9% capitalizable anualmente. A partir de su 65avo. cumpleaños, hace 15 retiros anuales iguales del fondo al principio de cada año. Durante este periodo, el fondo paga a 7% capitalizable anualmente. Calcular la cantidad de cada retiro. Rpta. 9473.53 30. ¿A qué tasa de interés con capitalización mensual, de 15 cuotas mensuales anticipadas de Bs 320 se acumularan un monto de Bs 6835,12? 31. Una tienda ofrece un reloj en venta por Bs. 55 al contado, o Bs. 5 mensuales durante 12 meses. ¿Qué tasa nominal capitalizable mensualmente carga en realidad la tienda en el plan de créditos, si el primer pago se hace de inmediato? Rpta. 19.48% 32. Calcular el valor descontado de una anualidad ordinaria diferida 3 años y 6 meses, que paga Bs. 500 semestrales durante 7 años, si el interés es a) 17% anual compuesto semestralmente, b) 7% anual compuesto semestralmente. 33. En el 55 aniversario del Sr. Suárez, la familia decide vender su casa y mudarse a un apartamento. Obtiene Bs. 80000 de la venta de la casa, e invierten ese dinero en un fondo que paga 9% capitalizable anualmente. En el 65avo aniversario del Sr. Suarez, hacen el primero de 15 retiros iguales, que consumirán el fondo durante 15 años. ¿Cuál es la cantidad de cada retiro? Rpta. 21555.41 34. Calcular el valor de 4 rentas bimestrales a ser pagadas a partir del octavo bimestre suponiendo que el valor actual de la transacción fue de Bs. 150000 y se aplicó una tasa del 16% capitalizable bimestral. 35. La tienda de muebles XYZ vende un sofá cama en Bs. 900. Se puede comprar sin pagos durante 3 meses, y al final del tercer mes se hace el primero, y se continúa hasta hacer un total de 18 pagos. Calcular el monto de cada pago, si los intereses son 18% capitalizable mensualmente. Rpta. 59.16 36. Los depósitos son de Bs. 100 mensuales durante 3 años, nada por 2 años y después Bs. 200 mensuales durante 3 años. Las tasas de interés comienzan en 8% capit5alizable mensualmente y caen a 6% capitalizable mensualmente en la fecha del primer depósito de Bs. 200. Calcular el valor acumulado en el momento del último depósito de Bs. 200. Rpta. 13566.11

37. Le ofrecen a usted un préstamo de Bs. 10000 sin pagos durante 6 meses, y después Bs. 600 mensuales durante 1 año y 500 mensuales durante el año siguiente. ¿Qué tasa anual efectiva de interés cobra este préstamo? Rpta. 20.86% 38. Un niño de 8 años hereda Bs. 1000000. La ley establece que se ponga ese dinero en una cuenta hasta que llegue a los 18 años. Sus padres deciden que el dinero debe pagarse en rentas iguales de Bs. 276963.65, y el primer pago se haga cuando cumpla la edad de 18. Calcular el número de pagos que recibirá si el fondo paga intereses de 10% capitalizable anualmente. Rpta. 20 39. Se hacen depósitos de Bs. 100 al final de cada trimestre, en una cuenta bancaria, durante 5 años. Calcular el valor acumulado de esos pagos, considerando una tasa de 6% capitalizable mensualmente. Rpta. 2314.08 40. Se hacen depósitos de Bs. 100 al final de cada trimestre, en una cuenta bancaria, durante 5 años. Calcular el valor acumulado de esos pagos, considerando una tasa de 6% capitalizable anualmente. Rpta. 2304.96 41. Se deben hacer pagos de Bs. 1000 al final de cada medio año, durante los 10 años siguientes. Calcular su valor descontado, si el interés es de 12% compuesto trimestralmente. Rpta. 11386.59 42. Se deben hacer pagos de Bs. 1000 al final de cada medio año, durante los 10 años siguientes. Calcular su valor descontado, si el interés es de 12% compuesto anualmente. Rpta. 11629.86 43. Una ciudad debe reunir Bs. 500000 durante los 20 años próximos, para liberar una emisión de bonos. ¿Qué pago se necesitará al final de cada 6 meses, si gana un interés de 7% anual compuesto mensualmente? Rpta. 5843.61 44. El Sr. Castro pidió préstamo de Bs. 10000. Debe pagarlos en cantidades iguales al final de cada mes., durante los 5 años siguientes. Calcular los pagos mensuales, si el interés es 10% capitalizable anualmente. Rpta. 210.36 10000=R R=

[

1− (1+ 0,1 )−5 0,1 10000

]

0 5 ) −1 m i m

[ ] (1+

45. Juan compro un automóvil usado que costo Bs. 6000. Convino en pagar Bs. 250 al final de cada mes, durante el tiempo que sea necesario. Calcular la cantidad de pagos completos. Rpta. 28

C=R

i m

−n

[ ] ( ) [ ] ( )

1− 1+

i m

1− 1+

600=250

i m

−n

i m

46. Se necesita Bs. 50 mensuales durante 18 meses, para pagar un préstamo de Bs. 800. ¿Qué tasa nominal compuesta semestralmente se está cobrando? Rpta. 15.74% R = 50 mensualmente, n= 18 meses, C = 800

M =R

i n ) −1 m i m

[ ] [ ] (1+

i 3 (1+ ) −1 2 M =50 i 2

Caso vencido

Caso anticipado