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• Javier Nicolas Quintanilla Flores

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Práctica N˚ 6: Capacidad del proceso &DUDFWHUtVWLFD

  

7LHPSR

6

      ;OBJETIVOS Comprender el significado de la capacidad del proceso. Calcular la capacidad del proceso. Comparar los índices de capacidad con los valores recomendados con la práctica de las principales empresas que realizan el control estadístico de procesos.



TEMAS A TR ATAR Capacidad potencial del proceso. Capacidad real del proceso. Resolución de casos tipo.

 D URACIÓN

DE LA PRÁCTICA

Dos sesiones (4 horas).

MARCO TEÓRIC O  

1. Introducción Una vez hayamos comprobado que el proceso está bajo control, estaremos interesados en saber si es un proceso capaz, es decir, si cumple con las especificaciones técnicas deseadas. Para determinar si un proceso es o no capaz haremos uso de herramientas gráficas (histogramas, gráficos de control, y gráficos de probabilidad). También utilizaremos los llamados índices de capacidad, que vendrán determinados por los cocientes entre la variación natural del proceso y el nivel de variación especificada. En principio, para que un proceso sea considerado capaz, su variación actual no debería representar más del 75% de la variación permitida. 2. Capacidad del proceso La capacidad real de un proceso no se puede calcular sino hasta que las gráficas X y R han logrado obtener la mejora óptima de la calidad sin necesidad de hacer una conside-

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rable inversión en equipo nuevo o en adaptación de éste. La capacidad del proceso es igual a 6 σ 0 cuando el proceso está bajo control estadístico. La capacidad de procesos es la medida de la variación total de un proceso, comparada contra sus especificaciones. Entre los principales usos de este concepto se encuentran los siguientes: ¾ ¾ ¾ ¾

Ayudar a modificar o rediseñar un proceso. Auxiliar en la especificación de los requerimientos que debe cumplir el equipo. Asistir para la selección del mejor proveedor Predecir si el producto cumplirá con las especificaciones.

Para entender la capacidad del proceso, se puede tener en cuenta el siguiente gráfico:

Y - AXIS

Proceso ideal de manufactura en estado de control estadístico

X - AXIS

Recordemos que la capacidad del proceso = 6ı Donde 6ı = Desviación estándar de proceso Bajo control estadístico, es decir sin cambios ni desviaciones repentinas. Ejemplo aplicativo Si σ 0 = 0.038, entonces la capacidad del proceso es 6(0.038) = 0.228 Con frecuencia es necesario obtener la capacidad del proceso mediante un procedimiento rápido, en vez de usar las gráficas X y R. Para emplear este tipo de método se da por sentado que el proceso está bajo control estadístico, lo que puede o no ser el caso en la realidad. El procedimiento es el siguiente: a. Tome 20 subgrupos, cada uno de tamaño 4, con un total de 80 mediciones.

b. Calcule la desviación estándar de la muestra, s, de cada uno de los subgrupos. c. Calcule, la desviación estándar promedio de la muestra, s = ¦ s / g = ¦

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s/20

d. Calcule el valor de la desviación estándar de la población.

σ 0 = s / C4 en donde c4 se localiza en la tabla B y su valor para n = 4 es de 0.9213 e. La capacidad del proceso será igual a 6 σ 0 . No hay que olvidar que mediante esta técnica no se obtiene la capacidad real del proceso, por lo que habrá que recurrir a ella sólo si las circunstancias justifican su empleo. Por otra parte, es posible emplear más de 20 subgrupos para lograr mayor exactitud. PROBLEMA ILUSTRATIVO Se está empezando a poner en marcha un nuevo proceso y la suma de las desviaciones estándar muestra de 20 subgrupos, cada uno de tamaño 4, es de 84. Calcule la capacidad del proceso.

s=

¦ s = 84 = 4.2

20 g 4. 2 s = 4.56 σ0 = = c4 0.9213 6σ 0 = (6)(4.56 ) = 27.4 La capacidad del proceso también se puede obtener mediante el rango. Se supone que existe un control estadístico del proceso. El procedimiento es el siguiente. 1) Tome 20 subgrupos, cada uno de tamaño 4, y un total de 80 mediciones. 2) Calcule el campo de valores, R, de cada subgrupo. 3) Calcule el campo promedio, R =

¦ R / g = ¦ R / 20 .

4) Calcule el valor de la desviación estándar de la población Donde d, se obtiene de la tabla B y si n = 4, su valor es de 2.059 5)

La capacidad del proceso será igual a 6 σ 0 . El empleo de más de 20 subgrupos permitirá mejorar la exactitud. Se puede elegir entre usar el método de la desviación estándar o el del rango. Hay que construir un histograma para representar gráficamente la capacidad del proceso. En realidad se necesita un mínimo de 50 mediciones para armar un histograma. Por lo tanto, los histogramas que se obtuvieron a partir de los mismos datos utilizados para calcular la capacidad del proceso deberán bastar para lograr una adecuada representación del proceso en ese momento. PROBLEMA ILUSTRATIVO Un proceso no. satisface en un momento determinado las especificaciones Rock- well-C. Calcúlela capacidad del proceso lomando como báselos valores del rango, de 20

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subgrupos, cada uno de tamaño 4. Los datos, son:7, 5, 5, 3, 2, 4, 5, 4, 7,5,7,3,4, 7,5, 5 y 7.

R=

¦ R = 103 = 5.15

20 g 5.15 R σ0 = = = 2.50 d 2 2.059 6σ 0 = (6 )(2.5) = 15.0 La capacidad del proceso y la tolerancia se combinan para formar mi índice de capacidad, el cual se define de la manera siguiente:

Cp =

USL − LSL 6σ 0

Dónde:

Cp = Índice de la capacidad USL − LSL = Especificación superior – especificación anterior o tolerancia.

6σ 0 = Capacidad del proceso Si el índice de la capacidad es 1.00, está presente una situación como la del caso II del que se habló en la sección anterior; si el índice es mayor que 1.00, se trata de una situación como la del caso I, algo que si se desea que esté presente; si la relación es inferior a 1.00, existe una situación como la del caso 111, lo que es indeseable. PROBLEMA ILUSTRADO Supóngase que en el caso del problema sobre las dimensiones del ojo de la cerradura las especificaciones son 6.50 y 6.30. Calcule el índice de la capacidad antes de mejorar la calidad σ 0 = 0.038 y después de mejorarla σ 0 = 0.030 .

(

)

(

)

Cp =

USL − LSL 6.50 − 6.30 = = 0.88 6(0.038) 6σ 0

Cp =

USL − LSL 6.50 − 6.30 = = 1.11 6(0.030 ) 6σ 0

En el caso del problema ilustrativo el mejoramiento de la calidad dio por resultado un índice de capacidad deseable (caso I). Con frecuencia, el índice de capacidad mínimo se fija en 1.33. En el caso de un valor inferior a este, los ingenieros de diseño deberán solicitar la respectiva aprobación del departamento de fabricación antes de que el producto pase al departamento de producción. La mayoría de las compañías consideraran que un índice de capacidad de 1.33 como estándar o norma consagrado por la práctica, caso en el que es deseable contar con valores mayores. Otra medida de la capacidad es la relación de capacidad, definida de la manera siguiente:

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Cr =

6σ 0 USL − LSL

La única diferencia entre ambas medidas es el cambio de numerador y denominador. Ambas sirven para lo mismo; sin embargo, se interpretan de manera distinta. El estándar o norma consagrada por la práctica es de 0.75 con valores deseados aún más pequeños. En ambos casos, el estándar consagrado por la práctica se define con una tolerancia de So0. Para evitar una errónea interpretación por parte de las dos partes, se tendrá que estar seguro de cuál de las medidas de la capacidad del proceso es la que se está empleando. En este libro se utilizará el índice de capacidad. Mediante el concepto del índice de capacidad se puede medir la calidad, siempre y cuando el proceso esté centrado. Cuanto mayor sea el índice de la capacidad, mejor será la calidad. Se deberán desplegar los esfuerzos necesarios para obtener un índice de capacidad lo más grande posible. Lo anterior se logra mediante especificaciones realistas y esforzándose continuamente por mejorar la capacidad del proceso. El Índice de la capacidad no constituye en sí una medida del desempeño del proceso en función del valor nominal o meta. Esta medición se obtienen mediante Cpb que se define como:

Cpk =

Z (Min ) 3

En donde Z(Min) es el valor mínimo de

(

)

(

)

Z (USL ) = USL − X / σ o Z(LSL ) = X − LSL / σ PROBLEMA ILUSTRATIVO Calcule el valor Cpt para el caso del problema ilustrativo (USL = 6.50 LSL = 6.30) y

σ = 0.030 considerando que el promedio es de 6.45 6.50 − 6.45 = 1.67 σ 0.030 X − LSL 6.45 − 6.30 Z (LSL ) = = = 5.00 σ 0.030 Z (Min ) 1.67 = = 0.56 C pt = 3 3 Z (USL ) =

USL − X

=

Calcule el valor de Cpt si el promedio es de 6.40

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6.50 − 6.40 = 3.34 σ 0.030 X − LSL 6.45 − 6.30 Z (LSL ) = = = 3.34 σ 0.030 Z (Min ) 3.34 = = 1.11 C pt = 3 3 Z (USL ) =

USL − X

=

Esta forma de calcular Cpt es un poco complicada. Sirve para ejemplificar la relación con los valores Z vinculados a la curva normal. En muchos paquetes de software se incluye un impreso de toda esta información. Una ecuación más sencilla sería la siguiente:

C pt =

{(

)(

Min USL − X o X − LSK 3σ

)}

Se ilustran los valores Cp, y Cpk de un proceso que está centrado y de otro que está descentrado (1s), correspondientes a cada uno de los tres casos. Respecto a Cp y Cpk se puede comentar lo siguiente: 1. El valor de Cp no cambia cuando cambia el centro del proceso. 2. Cp — Cpk cuando el proceso se centra. 3. Cpk siempre es igual o menor que Cp, 4. El valor Cpk = 1.00 es un estándar o norma consagrado por la práctica. Indica que en ese proceso se está obteniendo un producto que satisface las especificaciones. 5. El valor Cpk menor que 1.00 es indicación de que mediante el proceso se está obteniendo un producto que no satisface las especificaciones. 6. El valor Cp, menor que 1.00 es indicación de que el proceso no es capaz. 7. Si Cpk es cero es indicación de que el promedio es igual a uno de los límites de la especificación. 8. Un valor Cpk negativo indica que el promedio queda fuera de las especificaciones.

‡ACT IVIDADES

DE LA PRÁCTICA

1. El peso neto (en onzas) de un producto blanqueador en polvo va a monitorearse con cartas de control x y R , utilizando un tamaño de la muestra de n = 5. Los datos de 20 maestras preliminares son los siguientes: Número de x1 x3 x2 x4 muestra 1 15.8 16.3 16.2 16.1 2 16.3 15.9 15.9 16.2 3 16.1 16.2 16.5 16.4 4 16.3 16.2 15.9 16.4

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x5 16.6 16.4 16.3 16.2

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

16.1 16.1 16.1 16.2 16.3 16.6 16.2 15.9 16.4 16.5 16.4 16.0 16.4 16.0 16.4 16.4

16.1 15.8 16.3 16.1 16.2 16.3 16.4 16.6 16.1 16.3 16.1 16.2 16.2 16.2 16.0 16.4

16.4 16.7 16.5 16.2 16.4 16.4 15.9 16.7 16.6 16.2 16.3 16.3 16.4 16.4 16.3 16.5

16.5 16.6 16.1 16.1 16.3 16.1 16.3 16.2 16.4 16.3 16.2 16.3 16.3 16.5 16.4 16.0

16.0 16.4 16.5 16.3 16.5 16.5 16.4 16.5 16.1 16.4 16.2 16.2 16.2 16.1 16.4 15.8

a) Establecer las cartas de control x y R , usando estos datos. ¿El proceso manifiesta control estadístico? b) Estimar la media y la desviación estándar del proceso. c) ¿El peso de llenado parece seguir una distribución normal? d) Si las especificaciones son 16.2 ± 0.5, ¿qué conclusiones se sacarían acerca de la capacidad del proceso? e) ¿Cuál es la fracción probable de las cajas producidas con este proceso que posiblemente se localizarán abajo del límite inferior de la especificación de 15.7 onzas? 2. Se toman muestras de n = 6 artículos de un proceso de manufactura en intervalos regulares. Se mide una característica de la calidad que tiene una distribución normal y se calculan los valores x y S para cada muestra. Después de analizar 50 subgrupos, se tiene 50

50

¦x

i

= 1000 y

i =1

a) b) c) d)

e)

¦S

i

= 75

i =1

Calcular los límites de control de las cartas de control x y S. Suponer que todos los puntos de ambas canas se localizan dentro de los límites de control. ¿Cuáles son los límites de tolerancia natural del proceso? Si los límites de la especificación son 19 ± 4.0. ¿a qué conclusiones se llega respecto de la habilidad del proceso para producir artículos que cumplen con las especificaciones? Suponiendo que si un artículo excede el límite superior de la especificación puede reprocesarse. y que si está abajo del límite inferior de la especificación debe desecharse, ¿qué porcentaje de desecho y reprocesamiento está produciendo ahora el proceso? Si el proceso estuviera centrado en µ = 19.0. ¿cuál sería el efecto sobre el porcentaje de desecho y reprocesamiento?

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3. Se mantienen cartas de control x y R para una importante característica de la calidad. El tamaño de la muestra es n = 7; se calculan x y R para cada muestra. Después de 35 muestras se ha encontrado que 35

¦x

35

= 7805

i

¦R

y

i

i =1

= 1200

i =1

a) Establecer las cartas x y R utilizando estos datos. b) Suponiendo que ambas cartas indican control, estimar la media y la desviación estándar del proceso. c) Si la característica de la calidad tiene una distribución normal y si las especificaciones son 220 ± 35, ¿el proceso puede cumplir con las especificaciones? Estimar la fracción disconforme. d) Suponiendo que la varianza permanece constante, decir dónde deberá localizarse la media del proceso para minimizar la fracción disconforme. ¿Cuál sería el valor de la fracción disconforme bajo estas condiciones? 4. Se toman muestras de tamaño n = 5 de un proceso de manufactura cada hora. Se mide una característica de la calidad, y se calculan x y R para cada muestra. Después de analizar 25 muestras, se tiene 25

25

¦ xi = 662.50

y

i =1

¦R

i

= 9.00

i =1

La característica de la calidad sigue una distribución normal. a) Encontrar los límites de control para las cartas x y R. b) Suponer que ambas cartas exhiben control. Si las especificaciones son 26.40 ± 0.50, estimar la fracción disconforme. c) Sí la media del proceso fuera 26.40, ¿cuál sería la fracción disconforme resultante? 5. Se toman muestras de n = 5 unidades de un proceso cada hora. Los valores x y R para una característica de la calidad particular están determinados. Después de colectarse 25 muestras, se calcula x = 20 y R =4.56. a) ¿Cuáles son los límites de control tres sigma para x y R ? b) Ambas cartas muestran control. Estimar la desviación estándar del proceso. c) Suponer que la salida del proceso tiene una distribución normal. Si las especificaciones son 19 ± 5, ¿a qué conclusiones se llega respecto de la capacidad del proceso? 6. Se mantienen cartas de control para x y R para la resistencia a la tensión de un sujetador metálico. Después de analizar 30 muestras de tamaño n = 6, se encuentra que 30

¦x i =1

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30 i

= 12870

y

¦R

i

i =1

= 1350

a) Calcular los límites de control para la carta R. b) Suponiendo que la carta R muestra control, estimar los parámetros µ y σ . c) Si la salida del proceso tiene una distribución normal, y si las especificaciones son 440 ± 40, ¿el proceso puede cumplir con las especificaciones? Estimar la fracción disconforme. 7. Un proceso está bajo control con x = 100, S = 1.05 y n = 5. Las especificaciones del proceso son 95 ± 10. La característica de la calidad tiene una distribución normal. a) Estimar la capacidad potencial. b) Estimar la capacidad real.

EJERCICIOS 1. Se colectan muestras de tamaño n = 5 de un proceso cada media hora. Después de colectar 50 muestras, se calculan x = 20.0 y S = 1.5. Suponer que ambas cartas indican control y que la característica de la calidad tiene una distribución normal. a) b) c)

Estimar la desviación estándar del proceso Encontrar los límites de control para las cartas x y S. Si la media del proceso se corre a 22. ¿cuál es la probabilidad de concluir que el proceso continúa bajo control?

2. Uno de los parámetros de nos pieza que se está produciendo en un torno tiene especificaciones 100 ± 10. El análisis de las cortas de control indica que el proceso está bajo control con x = 104 y R = 9.30. En las cartas de control se usan muestras de tamaño n = 5. Si se supone que la característica sigue una distribución normal, ¿la media puede localizarte (mediante el ajuste de la posición de la herramienta) de tal modo que la totalidad de la salida cumpla con las especificaciones? ¿Cuál es la capacidad presente del proceso? 3. Van a establecerse cartas x y R para controlar la resistencia a la tensión de una pieza metálica. Suponer que la resistencia a la tensión sigue una distribución normal. Se colectan 30 muestras de tamaño n = 6 piezas en un periodo de tiempo con los siguientes resultados: 30

¦x i =1

a) b)

30 i

= 6000

y

¦R

i

= 150

i =1

Calcular los límites de control para x y R Ambas cartas muestran control. Las especificaciones de la resistencia a la tensión son 200 ± 5. ¿A qué conclusiones se llega respecto de la capacidad del proceso?

4. Los datos siguientes se colectaron de un proceso de manufactura de fuentes de poder. La variable de interés es el voltaje de salida, y n =5.

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Número de muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x

R

103 102 104 105 104 106 102 105 106 104 105 103 102 105 104 105 106 102 105 103

4 5 2 11 4 3 7 2 4 3 4 2 3 4 5 3 5 2 4 2

a) Calcular las líneas centrales y los límites de control apropiados para controlar la producción futura. b) Suponer que la característica de la calidad tiene una distribución normal. Estimar la desviación estándar del proceso. c) ¿Cuáles son los límites de tolerancia natural tres sigma aparentes del proceso? d) ¿Cuál sería la estimación de la fracción disconforme del proceso si las especificaciones para la característica fueran 103 + 4? e) ¿Qué enfoques pueden sugerirse para reducir la fracción disconforme? 5. Un proceso está bajo control con x = 75 y S = 2. Las especificaciones del proceso son 80 ± 8. El tamaño de la muestra es n = 5. a) Estimar la capacidad potencial. b) Estimar la capacidad real.

 CUESTIONARIO 1. 2. 3.

¿Qué es la capacidad del proceso? ¿En qué condiciones se puede calcular la capacidad del proceso? ¿Cuál es el procedimiento para encontrar la indica de capacidad real de un proceso?

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4.

¿Cuáles son los valores consagrados por la práctica para el Cp y el Cpk?

Š REFEREN CI AS

BIBLIOGRÁFICAS

Duncan, Acheson. Control de calidad y estadística industrial. Editorial Alfaomega 1989 Montgomery, D. Control Estadístico de la Calidad. Ed. LIMUSA WILEY. 2005 Besterfield, Dale H. Control de la calidad. Pearson Educación 1994

DOCUMENTOS Ninguno

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