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CALCULO II/ MAT-102

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA CURSOS BASICOS I/2019

Docente: Ing. Mario Delgadillo Zurita Auxiliar: Univ. Quispe Larico Javier

PRÁCTICA SEGUNDO PARCIAL FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES (DOMINIO Y LIMITES E ITERADOS) 1.- Representar el campo de existencia para a)

:

√ (

b)

)

R:

c) d) R:

| |

{

R:

| |

√ {

}

2. Averigua la existencia del límite:

3. Calcule los siguientes límites: a)

(

)

R:

√

b)

√

R:

4. Averiguar si existe el límite: (

)

R:

5. Analizar la continuidad: ( √ {

)

√

DERIVADAS PARCIALES 6. Dada la función hallar las primeras derivadas parciales. √

a)

b)

√

R:

√ (

√

R:

Página 1

√ )

(

√

)

}

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7. simplificar

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Si

8. si

( )

R:

demostrar que

9. Dada la ecuación

, probar que: (

)

10. Para la Composición de funciones 11. si

;

y

deducir una expresión abreviada para (

Demostrar:

12. Dada la función

, probar que:

13. Dada la función

, probar que:

, cumpla

)

(

)

)

14 simplificar la expresión dada:

( )

si

( )

R: 15. simplificar la expresión:

( )

si

donde la función es

diferenciable.

16. Hallar las derivadas de orden superior: si

(

17. Determinar

18. Demostrar que la función

)

R:

si

R:

√

Donde

cualquier número. Que satisfaga la ecuación de reducción

de calor: 19. Mostrar que z satisfaga la relación

( )

{

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satisfaga

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20. si

encontrar el valor simplificado de la expresión

21. si se conoce (

)

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(

, y además si

(

)

hallar una expresión reducida para:

)

[(

R:

22. Dada la Función

)

(

) ]

hallar el valor reducido de: R: (

23. Mostrar que satisfaga la relación:

24. Si

)

, hallar a)

v como funciones dos veces diferenciales de x,y

; b)

suponiendo que las ecuaciones definen u ó

R: a)

DERIVADAS PARCIALES IMPLÍCITAS 25. Dada las Ecuaciones: {

sabiendo que

hallar

26. Dada la ecuación, z se define como una función implícita de x , y determinar las derivadas

de la

siguiente expresión 27. Determine Si 28. si

para que verifique: hallar es función a la ecuación

halle el valor de c: 29. Si

R: , donde A ó B son constantes, demuestre, ó

R: C = A - B es solución a la ecuación

, donde

30. Si la función z esta dada por la ecuación son constantes. Demostrar que:

son constantes, demostrar

donde f es una función diferencial; a,b,c

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TRANSFORMACIONES DE ECUACIONES 31. considerando la ecuación de Laplace

donde

. Obtener la ecuación transformada de

Laplace en coordenadas polares aplicando el teorema de clairout. (Derivadas parciales cruzadas de segundo orden)

Donde

con el cambio de coordenadas polares

32. transformar 33. tomando

al cambiar las variables independientes

R:

por nuevas variables independientes,

ecuación: 35. tomando

por nueva función, transformar la siguiente

si:

R:

por nuevas variables independientes, transformar la siguiente ecuación: (

si: 36. tomando

, si

por nuevas variables independientes, transformar la siguiente ecuación: si:

34. tomando

por

√

por nuevas variables independientes,

ecuación:

)

(

√

) R:

por nueva función, transformar la siguiente

si:

R:

FUNCIONES HOMOGÉNEAS Y DIFERENCIAL TOTAL 37. demostrar que la función k-esimo orden

(

) es la función derivable

Satisfaga la relación: 38. efectuar el cambio de variable calcular

√ en la ecuación diferencial

en el sistema:

sabiendo que

y

R: 39. Demostrar que la diferencial dada es exacta y hallar la función f será la cual es diferencial total (

)

(

)

40. demostrar que la diferencial dada es exacta y hallar la función será la cual e diferencial total.

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(

)

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(

)

R:

GRADIENTE Y DERIVADA DIRECCIONAL Y PLANOS TANGENTES 41. Hallar la Gradiente de la superficie en el punto indicado. a)

en el punto

R:

b)

en el punto

42. Hallar la derivada de la función

en el punto

en dirección tangencial a esta.

(

√

R:

) que pertenece también a la circunferencia

R:

43. halle el vector direccional a la superficie dada, en sentido de ⃑⃑⃑⃑⃑ √

a)

si

b)

si

44. Hallar la derivada direccional de la función la curva de intersección de las superficies R:

⃑

en el punto (1,1,-1) en la dirección de la tangente a y el plano en el punto (2,-1,14)

√

45. Sea la función , hallar la derivada direccional de la función en el punto (2,-1,1) en la dirección tangente a las curvas de intersección de las superficies: y en el punto (1,3,2) en la dirección en que disminuya. 46. si C es la curva de intersección de las superficies direccional de

y

halle la derivada

en el punto (2,1,6) a lo largo de la curva C. R:

⃑

√

47. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie S, que es ortogonal a la recta tangente en (2,1,6) a la curva de intersección de las superficies R:

si

√

48. escribir las ecuaciones del planos tangentes y rectas normales, a las superficies en los puntos indicados. en el punto P(1,2,-1)

R:

49. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie

que contiene a la recta de intersección de

los planos: {

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50. Determinar el plano tangente a la superficie en el punto (

la esfera 51. la superficie

que es paralelo al plano Tangente a √ ) R:

√

es cortada por la curva

√

√

√

en el punto (-1,1,3), ¿ cuál

es el Angulo formado entre la normal a la superficie y la tangente a la curva ? 52. Determinar la ecuación del plano tangente a la superficie R:

que sea perpendicular a los planos:

53. Sea S una superficie de ecuación por el punto (1,1,2) que P pasa el plano y la superficie que origina las curvas de intersección con S respectivamente. Hallar la ecuación del plano que pasa por las tangentes de dichas curvas del punto dado. R: APLICACIONES DE DERIVADAS PARCIALES Extremos relativos y matrices Hessiana 54. Hallar los extremos relativos a las siguientes funciones: a)

R:

b)

R:

55. Calcular los extremos relativos de la siguiente función: (√

)

56. Determinar el menor y mayor valor de la función

en el interior a la circunferencia

57. un disco circular tiene la forma de la región acotada por la circunferencia de qué grado es la temperatura de cualquier punto (x,y) del disco si encontrar los puntos más caliente y más frio del disco. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 58. usando multiplicadores de Lagrange, hallar los extremos condicionados: R: P(0,0,0): Min. Condicionado

con la condición

59. usando multiplicadores de Lagrange, hallar los extremos condicionados:

con la condición

R:

(

) Min. Condicionado

PROBLEMAS DE APLICACIÓN Página 6

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60. Hallar las dimensiones de un envase cilíndrico sin tapa que debe contener 1000π litros de agua, de modo que en su fabricación se requiera la menor cantidad de materia. R: Radio =10 , Altura = 10 61. Encontrar las dimensiones de un triángulo de área mínima que puede circular a la elipse: √

R: Área

62. Hallar la mínima distancia que existe entre el origen de coordenadas y el cono: √

R:

63. Hallar la mínima distancia entre

y

64. Hallar los Puntos de la elipse {

R: {

( √ ( √

(

R:

√

más cercano y lejano del eje OX.

√ ))

(

√ ))

65. En un embudo cónico, el radio de base es 3[u] y la altura es de 4 [u], este está lleno de agua. En el embudo se sumerge una bola. ¿Cuál será el radio de bola, para que el volumen del agua desplazada del embudo por la parte sumergida de la bola sea la mayor posible?

R:

66. Trazar la normal a la elipse:

de modo que la distancia entre el origen de coordenadas y la normal

pedida sea mayor posible.

R: |

|

67. En un cono de altura H y de radio R e pide inscribir un paralelepípedo de base cuadrada de mayor volumen, hallar las dimensiones de este paralelepípedo

R:

68. Se construye un recipiente cilíndrico recto de radio 5 pies con tapas en forma de cono en los extremos del cilindro. Si el volumen total es de √ , calcular H del cilindro y la altura h de cada una de las tapas conicas de manera que el área se la superficie total de recipiente sea la menor posible.( sugerencia , aplicar multiplicadores de Lagrange) R:

√

√

69. El cono es cortado por un plano que está más próximo y más lejano del origen.

en una curva C. encontrar los puntos de la curva C

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CALCULO II MAT-102 SEGUNDO PARCIAL

Carimbo de Presentación: Solo en la primera página (manuscrito o computarizado). UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERÍA CURSOS BÁSICOS MAT-102 Grupo A

Univ. ………………..

………………….. ………………………

( A. Paterno)

( A. materno)

( Nombres)

Docente: Ing. Mario Delgadillo Zurita Auxiliar: Univ. Quispe Larico Javier

Realice 20 ejercicios de la Practica y la entrega de las Practica es el Día del examen.

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Q (Inicial A. Paterno)

C.I.: 9XXXXXX LP