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• Maria Cristina Ticona

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (UNIVERSIDAD DEL PERU, DECANA DE AMERICA)

FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL

PRACTICAS – CICLO 2011-1

CURSO

:

MATEMATICA -III

PROFESOR

:

GONZALES CHAVEZ, máximo g.

SEMESTRE ACADEMICO

:

2011 - 1

1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO 2. APLICACIONES: APLICACIONES GEOMETRICAS ,TRAYECTORIAS ORTOGONALES , MEZCLAS QUIMICAS , CIRCUITOS ELECT. ,etc. 3. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR . 4. SUCESIONES Y SERIES 5. SERIES DE POTENCIA 6. SERIE DE TAYLOR 7. TRANSFORMADA DE LAPLACE

-1-

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

2

ECUACIONES ECUACIONESDIFERENCIALES DIFERENCIALES ORDINARIA DE PRIMER ORDEN. ORDINARIA DE PRIMER ORDEN. RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES

y  f  x  g  y  VARIABLES VARIABLES SEPARABLES SEPARABLES

y  f  x / y  HOMOGENEA HOMOGENEA

Mx  Ny EXACTA EXACTA

y  f  x  y  0 LINEAL LINEAL HOMOGENEA HOMOGENEA

y  f  x  y  g  x  LINEAL LINEALNO NO HOMOGENEA HOMOGENEA

y  f  x  y  g  x  y NO NOLINEAL LINEAL BERNOULLIE BERNOULLIE

n

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

3

RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES I ) Variables Separables dx  x  F  x  G  y  dy

dy  y  F  x  G  y  dx 1)

dy 0 dx

2)

dy 3 dx

3)

dx 0 dy

4)

dx 4 dy

5)

dy x dx

6)

dy y dx

7)

dx x dy

8)

dx y dy

9)

dy  senx dx

10)

dy  cos y dx

11)

dx  cos x dy

12)

dx  seny dy

14)

dy cos y  dx x

15)

dx cos x  dy y3

16)

dx seny  dy x2

13)

dy senx  dx y

17)

dy   x  1 y  2 dx

20)

dx   x  1  y  1 dy





23)

y   xy 3 1  x 2

26)

e x  y dx  e y  x dy  0

12

18) 21)

dy  dx dx  dy

x  y  1 y 3 x y3

19)

dy x  dx  x  1 y  2 

22)

dx x  dy  x  1  y  2 

24)

y x ln x  y  0

25)

1  cos x  y sen 2 y

27)

y   1  x  y 2  xy 2

28)

tg x

dy  2y  a dx

29)  x 2 y 2  x 2  y 2  1 dy   xy  x  dx

30)

x cos 2 y dx  tan y dy  0

31) tan x sen 2 ydx  cos 2 x cot ydy  0

32)

x 3dy  xydx  x 2 dy  2 ydx

33)  e y  1 cos xdx  e y  senx  1 dy

34)  x 3 dy  y 3 dx  y  x 3 dy

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

4

II ) Reducibles a Variables Separables CAMBIOS DE VARIABLE u  x  y ; u  xy ; u  xy 1 ; u  x 1 y ; Otros 1) y   y  x 

2) y  sen  y  x 

3

5) y   x  2 y 

2

13) 16)

y  ln  3 x  4 y 



x 2 yy   tg x 2 y 2  xy 2



14)

y 

11) x 2 y   e xy

y   e

y x

8)

y  3e 2 y  x 

2 12) x y  f  xy 

 2 y  3x   y  x  3  y  15)  5x  3 y   y  x  1

17) 2 yy  y 2  x 2  2 x

m n 18) x y  xy  y   x

 y  y  y  2 y cos 2   dx  x cos 2  dy  0 2   x   x   x 



20)

x 2 y  ln  xy 

4)

x 2 sen 

19) 

21)

 2 y  4x  3y  x 

y  ln  x  y 

2 6) y  sen  x  y  1 7)

2 9) x y  sen  xy  10)

y 

3)



 x   x    x   2 xsen 2   y cos 2   dx  2 x cos 2  dy  0  y   y    y  

 xy  2 xy ln

2

y  y ln y    2 x 2 ln y  x  y  0

23)  senx  tg (2 x  y ) y   2tg (2 x  y )  0

22)





x 2 yy   cos x 2 y 2  xy 2

24) ln x  y 2  2 yxy 

25) e x  y 2  2 ye  x y 

26) cos x  y 2  2 y csc( x ) y 

27) x 3  y 3  3 yx 2 y 

28) cos x  y 3  y 2 csc( x) y 

29) y   2 x  y 2

31) e x  y 2  2 ye  x y 

30) y   x 2  x  3  y 32) cos x  y 2  2 y csc( x ) y 

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

5

III ) Homogéneas dy dy  y  F  x / y  ;  y  F  y / x  dx dx 1)

dy x  dx x  y

2)

dy x y  dx y

3)

dy x  4 y  dx 3y dy 2 x  3 y  8) dx 3x  2 y

dy x  dx 3x  2 y dy x  y  7) dx x  y 4)

dy y  dx x  y

dy y  dx 2 x  3 y dy 2 y  5 x  9) dx 2 x  3 y

5)

6)

10)

y  y / x  sen  y / x  11)

y   y / x  e y / x 

12)

y  y / x  ln( y / x)

13)

y  y / x  sen  x / y  14)

y   y / x  e x / y 

15)

y  y / x  ln( x / y )

16)

y  x / y  sen  y / x  17)

y   x / y  e y / x 

18)

y  x / y  ln( y / x)

19)

dy xy  x 2  dx y2

21)

dy 2 xy  2 dx x  y 2

22)

dy x  xe y x  y dx

dy x 3  y 3  dx y2x 2 xy  y 3x 2  y 2

24)

2 xy  y 2  y 2 xy  x 2

25)

ydx  x  x 2  y 2 dy

26)

ydx  x ln y / x   2 dy  0

27)

x 2 x 2  y 2   y ( x 2  2 y 2 ) y   0

28)

 3x



20) 23)



 2 y 2  y   2 xy

2

29)  2 xy  y 2  dx  2 x 2 dy  0

30)  x 4  y 4  dx  2 x 3 ydy

31)

x 2 y   4 x 2  7 xy  2 y 2

32)

xdy  y  x 2  y 2 dx

33)

2 xy  y 2  y 2 xy  x 2

34)

y  sec( y / x)  y / x

35)

y   y / x  sen  y / x  36)



y    y / x  e y / x 

IV ) Reducibles a Homogéneas



37)

y   y / x  ln( y / x)

 ax  by  c  dx  ey  f  

y  F 

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

dy x  y  dx x  1 dy x  2  4) dx x  2 y dy x  y  2  7) dx x3 dy x  y  1  10) dx x  y dy 2 x  y  5  13) dx 6 x  5 y  4

6

dy 2 x  5 y  dx x3 dy x  5  5) dx 6 x  y dy 2 x  4 y  3  8) dx x2 dy x  y  2  11) dx x y dy 2 y  9 x  1  14) dx 6 x  5 y  3

1)

dy 4 x  y  dx x  1 dy 4 x  5  6) dx x  2 y dy 2 x  5 y  3  9) dx x6 dy x y  12) dx x  2 y  3 dy 2  3 y  4 x  15) dx 6 x  5 y  9

2)

3)

16)

dy  x  y  sen   dx  x  1

19)

 x  2 y dy  sen   dx  x  y

22)

 4 x  3 y  2  dx   5x  4 y  1 dy  0

23)  5 x  2 y  1 dx   2 x  y  1 dy  0

24)

(tg x  c tg y  3) sec 2 x  y (3 tg x  c tg y  1) cos c 2 y

25)

26)

17)

dy 2 xx53 y e dx

20)

dy x 3 y e dx

2

28)

y  

30)

 2 y  3 x y    x 5  

V ) Exactas 1) dy  dx  0

dy  4 x  y  tan   dx  x 1 

21)

 3x  4 y dy  tan   dx  4 x  3 y

2 x y

 2 x  3 y  4  dx   3x  1 dy  0  y  x   x  2

18)

1

(6 x  y  12)  y (6 x  y  12)

27)  xy 2  y  dx  xdy  0  y 2  3x 2 y   3  2 x  3xy 

29)

y   

31)

 2 y  x y     x 1 

2

3

Mdx  Ndy  0  M x  N y 2) xdy  ydx  0

3) ydy  xdx  0

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

4) 6)

 x  2  dy   y  1 dx  0  2 x  1 dy   2 y  3 dx  0





2 8) 2 y  x dy  2 xydx  0

7

5)  2 y  1 dy   3 x  2  dx  0

 yx 9)  2 y

2

7)

2

 1 dy   xy 2  2  dx  0  x 3  dy  3 x 2 ydx  0

10)  2 x  y  dy   x  2 y  3 dx  0 11)  2 y  1 dy   3 x  2  dx  0 12) 14)

sen  x  dx  cos  y  dy  0

e x dy   1  ye x  dx  0

sen  y  dx  cos  y  dy  0

13)

e x dy   x  ye x  dx  0

15)

16)

 y  e  dy   x  ye  dx  0

18)

(e x sen y )  2 y sen x )dx  (e x cos y  2 cos x )dy  0

19)

(sen y  y sen x  1 / x)dx  ( xcocy  cos x  1 / y )dy  0

20)

(2 y sen x cos x  y 2 sen x) dx  (sen 2 x  2 y cos x) dy  0

21)

( 2 ye 2 x  2 x cos y ) dx  (e 2 x  x 2 sey ) dy  0

22)

(2 xy  1  ln x)dx  x 2 dy  0

23)

(ln x  2)dy  ( y / x  6 x )dx  0

24)

y 3 sen 2 xdx  3 y 2 cos 2 xdy  0

25)

( y / x  ln y )dx   x / y  ln x  dy  0

x

26) Hallar



x

cos xdy   ysenx  dx  0

17)

M  x, y 

M  x, y  dx  xe

xy

para que la ecuación diferencial  2 xy  1 / y  dy  0 , sea exacta

27) Hallar el valor de k para que la ecuación diferencial  2 x  ysen xy   ky 4 dx   20k 2 y 3  xsen xy  dy  0 , sea exacta 28) Hallar

N  x, y  para

   

que la ecuación diferencial

y x  2 x x 



 dx  N  x, y  dy  0

y 

sea exacta

VI) Reducibles a Exactas.

Factor integrante : 1)

2 ydx  xdy  0

u  x, y   u ( x )

; 2)

u  x, y   u ( y ) 3 xydx  x 2 dy  0

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.









2 2 3) 3xy  y dx  x  xy dy  0



4) ydx  2 x  ye 6)

5)

(sec x  y tg x )dx  dy  0

7)

ysenxdx  cos x  y 3 cos x dy  0



8

 dy  0

cos xdx  senysenxdy  0



8) ydx  2 x  ye



y

y

9)  xy 3  x  dx  x 2 y 2 dy  0

10)  x 2  xy dx  xydy  0

11)  4 x 2 y  2 / 3 y 3  dx   x3  xy 2  dy  0

12)

 dy  0

VII) En las siguientes ecuaciones diferenciales encuentre un factor integrante de la forma x

m

, resuelva la ecuación.

yn

1)  2 y 2  6 xy  dx   3xy  4 x 2 dy  0

2)  2 y / x  dx   y 2 / x 2  1dy  0

3) 12  5 xy  dx   6 x / y  2 x 2  dy  0

4)









y

2

 xy  dx  x 2 dy  0

2 2 3 2 5) 2 y  3x y dx  3x  5 x y dy  0 6)

VII)Hallar Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales









2 2 1) 3 xy  y dx  x  xy dy  0

2)  2( x  y  sec 2 x  tg xdx  tg xdy  0 3)  x  xy 2 ln x  dx  xdy  0

4)

(1  xy )dx  x (1 / y  x)dy  0

5)

6)

dx  ( x / y  sen y )dy  0

(3 x 2 ln x  x 2  y )dx  xdy  0

VII ) Lineal

y   yP x   Q x 

1) y   xy  0

2) y   xy  x

3) y   xy  senx

4) y   ysenx  0

5) y   ysenx  x

6) y    x  1 y  x

7) y   x 1 y  0

8) y   x 1 y  x 2

9) y   x 2  1

1

yx

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

9

10)  x 2  1 dy   x 3  xy  x  dx

11)

y   ytgx  sec x  2 x cos x

12)

(1  x) y   x 2  y

13)

y   2 x  xy

14)

dy 1  dx x sen y  2 sen 2 y

15)

dy 3  xy  dx 2x 2

16)

( y  cos 2 x)dx  cos xdy  0

17)

xy   3 y  x 4

18)

y   1  3 y tg x

19)

y   x  e 2x

VIII ) Bernoulli

y  yP  x   Q x  y n

1) y   xy  xy 2

2) y   x 2 y  xy 3

3) y   xy  xy 3

4) y   xy  y 2 senx

5) y   ysenx  x 2 y 3

6) y   x 2  1

7)

( 2 sen x ) y   y cos x  (sen x  x cos x ) y 3  0

8)

3 y 2 y   y 3 /( x  1)  8( x  1)

2

dy

y

2

2

y  xy 2

9) y   y tg x  sec x; y  0

10) 3 y 2 y  y 3 /( x  1)  ( x 2  1) 12) y   y tg x  y cos x  0 14) dx  x  x 17) 1  y    1  y

1



15)

11)

(3x 2 )dx   x 3  y  1 dy

13)

ydx  (3x  y 3  y 2 ) dy

dy 2 y   x3 dx x

sen y  xy y 

18)

16)

y  y / 2x  x / y 3

sec 2 xdx  tg 3 xdy   y tg xdy

RESOLVER LAS ECUACIONES DIFERENCIALES y   ( x  y) 2

1)  x  y  y   x arctg y / x 

2)

3) ( x  y)  x  y  dx  x( x  2 y) dy  0

4) ( x 3  y 3 )dx  3 xy 2 dy  0

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

5) 3  x 2 y  e y  dx  ( x 3  xe y 2 y) dy  0 7) 8)

10

6) ( y ln( y )  e xy )dx  (1/ y  x ln( y ))dy  0

( 2 x sen y cos y  x 2 sen y ) dy  (sen 2 y  2 x cos y ) dx  0, x (0)  3



 x   x    x    2 y cos 2   dx  x cos 2  dy  0 2   y   y    y 

2  x sen



10)  x  4 y  dx   5 y  2 x  dy  0

9)  x  7 dx   y  x  dy  0



11)

 x  y  dx   y  x  dy  0

12)

13)

xdy   x sen x  y  dx

14)  3x 2  y dx   x 2 y  x  dy  0

15)  x 4  x  y dx  xdy  0 17)  x

2







 1 y   xy  x  x dy  0 3

cos xy   y sen x  1

19)

2 xy ln  y  dx  x 2  y 2



y 2  1 dy  0

16)  y 2  2 xy dx  x 2 dy  0 18) 20)

dy 2 y x 3  y    x tan 2  dx x y  x 

y   y cot x  2 cos x

21)  x  y  1 dx   y  x  2 dy  0

22)  x  4 y  1 dx   y  2 x  1 dy  0

23)  2 x  3 y  4 dx   2 x  3 y  dy  0

24)  x  y  9 dx   y  2 x  7  dy  0

25)

26)

xy   y 

y2  x2

27)  x 2  3 y 2  y   2 xy  0 29) 31)



y y  x  y cos  y   x cos  0 x x  3 y    4 x  y  2

xdy  ydx 

2 y 2  3 x 2 dx

28) xy x 2  y 2 dy   x 3  y 2 x 2  y 2 dx 30)  4 x 2  xy  y 2  y    x 2  xy  4 y 2   0 32)

y    x  y  1

2

33)  5 x 3 y 2  2 y  dx   3x 4 y  2 x  dy  0

34)  2 xy 2  3 y 3  dx   7  3xy 2  dy  0

35)

y   y sen x  xe cos x

36)

y   y tg x  sec x

37)

y   sen x   x cos y  x

38)

y   y cos x  sen x cos x

39) 1  x 2  y   xy  x 2 y 2  0

40)

y  cos x  2 sen x  y3 x cos x  sen x

41)





y  x 5  x tg y  sen 2 y

42)

cos xy   y sen x  y 2  0

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

11

43)  x 2  y  2 x 3 y  1  2 x 2  y 2

44)

y   y cos x  y 2 cos 2 x

45)

y   y cos x  y 3 sen 2 x

46)

y   y cos x  y 6 sen x

47)

x 3 dy  3 x 2 dx  2 cos ydy

48)

xy   y  2 y 4 x 6

49)

y   y 3 1  2 xy 2 

50)

xy   y  y n x a

52)

yy   y 2 tg x  cos 2 x

1

51)  x 2 y  y 3  dy  xdx

53) Determine el valor de k de modo que las siguientes ecuaciones sean exactas









i ) y 3  kxy 4  2 x dx  3xy 2  20 x 2 y 3 dy  0

















ii ) 2 x  ysenx  ky 4 dx  20 xy 3  xsen( xy ) dy  0

iii ) 6 xy  cos y dx  kx y  xsen( y ) dy  0 3

2

2

I ) En las siguientes E.D.O. i)Hallar la Solucion General ii)Graficar la Familia de Soluciones ( Curvas integrales) iii)Graficar una Solucion Particular que pase por (x0,y0) iv)Hallar el dominio donde se cumple el Teorema de existencia y unicidad Osea donde las soluciones existen y son unicas v)Que ecuaciones diferenciales tienen soluciones SINGULARES ( indicar en cada caso cuales y cuantas soluciones SINGULARES tienen) 1)

y  x ,(x0,y0)=

(0,0)

2)

y   y ,(x0,y0)=

3) y   2 y 2 3 , (x0,y0)= (0,0) 5)

y  xy 3  x  1

12

, (x0,y0)= (0,0)

(0,0)

4) y  6)

x  y ,

 yx

yx ln x  y  0

7) y   2 y 2 3 , (x0,y0)= (2,y0)

8) y 

dy 2x  e y 9) , (x0,y0)= (1,0)  y dx xe

10)

(x0,y0)= (3,3) , (x0,y0)= (3,3)

, (x0,y0)= (0,0)

 yx

, (x0,y0)= (5,y0)

 x  seny  dx  cos ydy  0 ,

(x0,y0)= (1,0)

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

12

dy 2x  e y 11) , (x0,y0)= (x0,1) 12)  x  seny  dx  cos ydy  0 ,  y dx xe (x0,y0)= (x0,2) 2 14) y  sen  x  y  1 13) xy   x 2  y 2  y , (x0,y0)= (  ,0)

(x0,y0)= (  ,0) 15)

x 2 y  2 y ( x  y ) ,

(x0,y0)= (1, y0)

16)

y  y tan x  y 2 cos x  0 , (x0,y0)= (x0 ,1)

Importante. Para que “Verifiquen” sus respuestas utilizar los graficadores

GEOMETRIA ANALÍTICA 1) Hallar la ecuacion de todas las curvas que tienen la propiedad de que

“ todas las rectas tangentes en cualquier punto (x,y) de la curva , pasa tambien por el punto (0,-y)”. (x,y)

Dar dos ejemplos Osea dos curvas que cumplan la propiedad indicada en cualquier punto (x,y) . Este punto puede ser (2,4)

(0,-y)

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

13

2) Hallar la ecuacion de todas las curvas que tienen la propiedad de que “ todas las rectas tangentes en cualquier punto (x,y) de la curva , pasa tambien por el punto (-2x, 0)”.Graficar la familia de curvas 3) Hallar la ecuacion de todas las curvas que tienen la propiedad de que “ todas las rectas tangentes en cualquier punto (x,y) de la curva , pasa tambien por el punto (2x,0)”. 4) Hallar la ecuacion de todas las curvas que tienen la propiedad de que el punto de tangencia es punto medio del segmento tangente entre los ejes coordenados. 5) Una curva pasa por el origen en el plano XY , al primer cuadrante. El area bajo la curva de (0, 0) a (x, y) es un tercio del area del rectangulo que tiene esos puntos como vertices opuestos. Encuentre la ecuacion de la curva. (Rta.: y = cx2) 6) Hallar la ecuacion de todas las curvas que tienen la propiedad de que la distancia de cualquier punto al origen, es igual a la longitud del segmento de normal entre el punto y el intercepto con el eje X. (Rpta.: y2 = ±x2 + c) 7) Encontrar las curvas para las cuales la tangente en un punto (x, y) tiene interceptos sobre los ejes X y Y cuya suma es 2(x + y) (Rpta: xy=c) 8) Hallar la ecuacion de todas las curvas del plano XY que tienen la propiedad de que el triangulo formado por la tangente a la curva, el eje X y la recta vertical que pasa por el punto de tangencia siempre tiene un area igual a la suma de los cuadrados de las coordenadas del punto de tangencia. (Rpta.: ln |y| = 2/15 arctan ( 4y+x )/  15x) 9) Hallar la ecuacion de todas las curvas del plano XY que tienen la propiedad de que la razon del segmento interceptado por la tangente en el eje OY al radio vector, es una cantidad constante k. (Rpta.: y = 1/2 (Cx1-k – 1) /(C x 1+k )

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

14

10) Hallar la ecuacion de todas las curvas del plano XY que tienen la propiedad de que la longitud de la perpendicular bajada del origen de coordenadas a la tangente es igual a la abscisa del punto de contacto. (Rpta.: x2 + y2 = Cx) 11) Hallar la ecuacion de todas las curvas del plano XY para las cuales la longitud del segmento interceptado en el eje Y por la normal a cualquiera de sus puntos es igual a la distancia desde este punto al origen de coordenadas. (Rpta.: y = 1/2 (Cx2 – 1/C )) 12) Hallar la ecuacion de todas las curvas del plano XY que tienen la propiedad de que la porcion de la tangente entre (x, y) y el eje X queda partida por la mitad por el eje Y .(Rpta.: y2 = Cx)

TRAYECTORIAS ORTOGONALES I ) Averiguar si las siguientes curvas son ORTOGONALES 1)

y  x ; x2  y 2  9

2)

3 x  4 y  5 ; x 2  y 2  16

y

y





 

 

 x

x 





























 

 







3)

y  4  x2

; y  x2

4)

y2  4  4x ; y2  4  4x







GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

15 y 

y 











x 

x



































 

 



5)

x  y 9 2

2



;



yx  3

6)

; x2  y 2  4x

x2  y2  4 y

y

y

















x 















x























 

 

 



II ) Averiguar si la curva es ORTOGONAL a las curvas 1)

yx ;

x2  y 2  9 x2  y 2  4

2)

x 2  y 2  16 ; 3x  4 y  5

yx

y 

y 



 

  x

 

x 

















































2 3) y  4  x

;

y  x2 y  4x2

2 4) y  4  4 x

;

y2  4  4x y2  1 2x

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

16 y

y 















x

x 









































 

 

y  2x

5)

x  1/ 2 y  1

;

2

2



2

;

6) x  y  4 x 2

2

x2  y2  4 y

x 2  1/ 2 y 2  4

x2  y2  2 y

y  y











 x 



















x



































III) Hallar las TRAYECTORIAS ORTOGONALES de las FAMILIA de CURVAS. LAS FAMILIAS DE CURVAS dF dG F(x,y,c1)=0 y G(x,y,c2)=0 son ORTOGONALES si : dx . dx  1 1)

y  c1 x

5)

y  c1  x 2

2) 3 x  4 y  c1

3)

y  c1 x 2

y  c1 x 3

4)

6)

x2  y 2  r 2

7)

8) 2 x 2  y 2  4c1 x

9)

y   x  c1 

10) y  c1 cos x

11) c1 x 2  y 2  1

12) 2 x 2  y 2  c12

13) x 2  y 2  c1 x 3

14) y  c1e  x

15) y  e c1 x

16) y  c1 1  x 2

17) y 

x 1  c1 x

18) y 

2

1  c1 x 1  c1 x

2x 2  y 2  a 2



19) y 

1 c1  x



1

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

17

IV) Hallar las TRAYECTORIAS ORTOGONALES de cada FAMILIA de CURVA y encuentre elementos de cada familia Las curvas que pasen por el punto indicado (graficar) 1)

x 2  cy 2  1 ;  2 ,1

4)

y 2  c 1  x 2 ;   2 ,5





x 2  cy  y 2 ;  3 ,1

2)

5) y  tg 2 x  c;   8 ,0

3)

x  y  ce y ;  0,5

6)

y  ce 2 x  3 x ;  0 ,3

V) Hallar a para que las FAMILIAS sean ORTOGONALES y 3  cx y

x 2  ay 2  c1

2

VI) Averiguar sí la FAMILIA de PARABOLAS es “así mismo ORTOGONAL” : y  4cx 4c 2

2

Utilizar los graficadores para que pueda interpretar mejor los resultados obtenidos

MEZCLAS QUIMICAS I) Caso 1.Un tanque contiene V0 galones de agua , la cual tiene a libras de sal. Otra solución de b libras de sal por galón , se agrega al tanque a la velocidad b libras /gal. de c gal/min. La solución “bien” mezclada sale del tanque a una velocidad de d gal/min. c gal/m. i) Hallar la cantidad de sal que hay en el tanque en el tiempo t. V0 d gal/m. a (dos casos: c=d y c d ) ii) Hallar la cantidad de sal en el tanque al final de 20 minutos II) Con las condiciones del problema anterior , hallar la cantidad de sal , cuando el tanque tenga 250 galones de agua. ademas :

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

18

1) V0 =160 ; a =18 libras 2) V0 = 180 ; a = 9 libras de 3) V0 = 100; a =10 libras de de sal ; b =7 libras de sal ; b = 5 libras de sal ; b =5 libras de sal/gal; c =10 gal/min. ; sal/galón ; c = 9 gal/min. ; sal/galón ; c = 6 d =6 gal/min. d = 3 gal/min. gal/min ; d=4 gal/min.

III) Un tanque contiene V0 galones de agua , la cual contiene a libras de sal. Otra solución de b libras de sal por galón ,se agrega a la velocidad de c gal/min. simultáneamente , la solución “bien” mezclada sale del tanque a d gal/min. i) Hallar la cantidad de sal que hay en el tanque en el tiempo t. ii) Hallar la cantidad de sal en el tanque al final de 40 minutos. iii) Hallar la cantidad de sal ,cuando el tanque tenga 50 galones . ademas : 1)V0 = 120 ; a = 6 libras de sal ; b = 8 libras de sal/galón ; c = 6 gal/min; d= 8 gal/min 2)V0 = 220 ; a =12 libras de sal;b =4 libras de sal/galón ; c = 10 gal/min;d =16 gal/min 3)V0 = 380; a = 8 libras de sal; b = 10 libras sal/galón ; c = 5 gal/min ; d = 10 gal/min

IV) Un tanque contiene 50 litros de agua. Al tanque entra salmuera que contiene k gramos de sal por litro , a razon de 1.5 litros por minuto. La mezcla bien homogenizada, sale del tanque a razon de un litro por minuto. Si la concentracion es 20 gr/litro al cabo de 20 minutos. Hallar el valor de k. (Rpta.: k = 47,47)

V) Un tanque contiene 100 galones de salmuera; 3 galones de salmuera la cual contiene 2 libras de sal/gal , entran al tanque cada minuto. La mezcla asumida uniforme sale a una velocidad de 2 gal/min. Si la concentracion es de 1,8 libras de sal/gal. de salmuera al de cabo de 1 hora, Calcular las libras de sal que habian inicialmente en el tanque. (Rpta.: 118,08 libras)

VI) Un tanque tiene 160 galones de agua pura .Una solución con 3 libras de sal por galón entra a 3 gal/min y sale a 3.5 gal/min i) Encuentre la concentración de sal en el tanque en cualquier tiempo. ii) Encuentre la concentración de sal cuando el tanque tenga 30gal. de agua salada iii)Encuentre la cantidad de agua en el tanque cuando se tenga la máxima concentración de sal iv) Determine la máxima cantidad de sal presente en cualquier tiempo.

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

19

VII )Un tanque contiene 500 galones de salmuera. Al tanque fluye salmuera que contiene 2 libras de sal por galon, a razon de 5 galones por minuto y la mezcla bien homogenizada, sale a razon de 10 galones por minuto , la cantidad maxima de sal en el tanque se obtiene a los 20 minutos. Cual era la cantidad de sal inicial en el tanque? (Rpta.: 375 libras)

VIII ) El Aire que contiene 30% de oxigeno puro pasa a traves de un frasco que contiene inicialmente 3 galones de oxigeno puro. Suponiendo que la velocidad de entrada es igual a la de salida; hallar la cantidad de oxigeno existente despues de que 6 galones de aire han pasado por el frasco. (Rpta.: 1,18 galones)

IX )Un tanque tiene inicialmente 100 galones de agua pura. Una salmuera que con 1/2 libra de sal/gal. fluye al interior del tanque a una rapidez de 2 gal/min. y la mezcla bien homogenizada sale del tanque con la misma velocidad. Despues de 10 minutos el proceso se detiene y se introduce al tanque agua pura con una rapidez de 2 gal/min. abandonando el tanque a la misma velocidad. Determinar la cantidad de sal en el tanque cuando han pasado un total de 20 minutos. (Rpta.: 7,34 libras)

X ) El aire de un teatro de dimensiones 12×8×4 mt.3 contiene 0,12% de su volumen de CO2. Se desea renovar en 10 minutos el aire, de modo que llegue a contener solamente el 0,06% de CO2. Calcular el numero de mt.3 por minuto que deben renovarse, suponiendo que el aire exterior contiene 0,04% de CO2. (Rpta.: 53,23 mt.3 de aire/minuto)

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

20

XI)Caso 2. Un colorante solido disuelto en un liquido no volatil, entra a un tanque a una velocidad V1 gal. /min. , con una concentracion de a1 libras /gal. La solucion bien homogenizada sale del tanque a una velocidad de V2 gal./min. La cual entra a un segundo tanque del que sale posteriormente a una velocidad de V3 gal/min. Inicialmente el primer tanque Q1 tenia P1 libras de colorante disueltas en Q1 galones de solucion y el segundo tanque P2 libras de colorante disueltas en Q2 galones de solucion. Encontrar dos ecuaciones que determinen V3 gal/m. las libras de colorante presentes en cada tanque en cualquier tiempo t.

a1 libras /gal. V1 gal/m. V2 gal/m.

P1

Q2

P2

XII )Un deposito contiene 50 galones de salmuera en las que estan disueltas 25 libras de sal. Comenzando en el tiempo t = 0, entra agua al deposito a razon de 2 gal./min. y la mezcla sale al mismo ritmo para entrar a un segundo deposito que contenia inicialmente 50 galones de agua pura. La salmuera sale de este deposito a la misma velocidad . Cuando contendra el segundo deposito la mayor cantidad de sal? (Rpta.: cuando t = 25 minutos)

XIII )Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. Se encuentra que la tasa a la cual C se forma varia con las cantidades instantáneas de los químicos A y B presentes. La formación requiere 2lb. de A por cada libra de B. Sí 10lb. de A y 20lb. de B están presentes inicialmente, y si 6lb. de C se forman en 20minutos ; Encontrar la cantidad del químico C en cualquier tiempo.

A

C

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

21

Formulación Matemática Sea x=x(t) la cantidad en libras de C formadas en el tiempo t en horas. Luego dx / dt es la tasa (o´ razon de cambio ) de la formación de C . Para formar x=x(t) lb. de C, necesitamos (2x / 3lb.) de A y (x / 3lb.) de B, puesto que se necesita que el químico A sea el doble de B. Por tanto, la cantidad de A presente en el tiempo t cuando se forman x=x(t) lb. de C es 10 - 2x/3, y la cantidad de B en este tiempo es 20 - x/3. Por tanto la ecuación diferencial es:

dx / dt = K [10 - (2x/3)] . [20 - (x/3)]; Cantidad de A presente en el tiempo t

Cantidad de B presente en el tiempo t

XIV ) En una reacción química de segundo orden , el numero de gramos X de un compuesto obtenido combinando dos sustancias químicas  y  , se rige por dX  k    X    X  dt en los casos    y   

. Solucione la ecuación .

Donde K es la constante de proporcionalidad.





X

XV ) Dos sustancias químicas A y B se combinan para forman un compuesto C . La reacción que resulta entre las dos sustancias químicas es tal que por cada gramo de A se usan 4 gramos de B . Se observa que se forman 30 gramos del compuesto en 10 minutos. Determine la cantidad de C en un instante cualquiera si la rapidez de la reacción es proporcional las cantidades de A y B restantes y si en un principio hay 50 gramos de A y 32 gramos de B. ¿ Que cantidad de compuesto C hay después de 15 minutos ? Interprete la solución cuando t se aproxima al infinito.

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

22

XVI ) Dos sustancias químicas A y B se combinan para forman un compuesto C . La rapidez ó velocidad de la reacción es proporcional al producto de las cantidades de instantáneas de A y B que no se han convertido en la sustancia química C . Inicialmente hay 40 gramos de A y 50 gramos de B y por cada gramo de B se usan 2 gramos de A .Se observa que se forman 10 gramos de C en 5 minutos ¿ Que cantidad de compuesto C hay en 15 minutos ? ¿Cuánto queda de las sustancias químicas A y B después de un tiempo largo ? ¿ Cuál es la cantidad limite de C después de un tiempo largo ?

XVII )Dos sustancias químicas A y B se combinan para forman un compuesto C . La rapidez ó velocidad de la reacción es proporcional al producto de las cantidades de instantáneas de A y B que no se han convertido en la sustancia química C . Inicialmente hay 100 gramos de A y 50 gramos de B y por cada gramo de B se usan 2 gramos de A . Se observa que se forman 10 gramos de C en 5 minutos ¿ Que cantidad de compuesto C hay en 15 minutos ? ¿Cuánto demorara en formarse la mitad de la sustancia C ? ¿Cuánto queda de las sustancias químicas A y B después de un tiempo largo ? ¿ Cuál es la cantidad limite de C después de un tiempo largo?

XVIII ) En una reacción química de tercer orden , el numero de gramos X de un

compuesto obtenido combinando tres sustancias químicas  , , , se rige por dX  k    X    X    X  dt

Solucione la ecuación .

CIRCUITOS ELECTRICOS

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

23

I) En el circuito RL R=Resistencia (ohms) L=Inductancia (henries) E=Fuerza electromotriz(voltios) i(t)=Corriente electrica (amperios) di R E  i dt L L

HALLAR LA CORRIENTE ELECTRICA “i(t)” EN CUALQUIER TIEMPO t

II) En el circuito RL ( figura anterior) ,hallar “ i(t)”.Donde 1) R=50 ohms L=1 henries E=5 voltios

2)R=10 ohms L=0.5 henries E=3sen2t voltios

3)R=10 ohms L=4 henries E=100sen200t v.

III) En el circuito RC R=Resistencia (ohms) C=Capacitancia (faradios) E=Fuerza electromotriz(voltios) i(t)=Corriente electrica ( amperios) dq q E   dt RC R

y

i

dq dt

HALLAR : “ q(t)” la carga electrica y “i(t)”

IV) En el circuito RC ( fig. anterior) ,hallar “ i(t)” y la carga “q(t)” 1)R=10 ohms 2)R=100 ohms C=5.10-4 faradios C=0.5 faradios E=100 voltios E=400Cos2t v.

3)R=200 ohms C=10-6 faradios E=400sen2t v.

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

24

I) Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300° F. tres minutos después , su temperatura es de 200° F. ¿Cuánto demorara en enfriarse hasta una temperatura ambiente de 70° F ? II )Un termómetro se saca de una habitación, en donde la temperatura del aire es de 70° F, al exterior , en donde la temperatura es de 10° F. después de ½ minuto el termómetro marca 50° F. ¿Cuánto marca el termómetro cuando t=1 minuto? ¿Cuánto tiempo demorara el termómetro en alcanzar los 15° F ? III ) Una barra metálica a una temperatura de 100° F. Se pone en un cuarto a una temperatura constante de 0° F. Sí después de 20 minutos la temperatura de la barra es de 50° F. Hallar : a ) El tiempo que necesitara la barra para llegar a una temperatura de 25° F. b ) La temperatura de la barra después de 10 minutos. IV ) Un cultivo tiene una cantidad N0 de bacterias. Para t=1 hora , el numero de bacterias medido es 3/2N0 . Sí la rapidez de multiplicación es proporcional al numero de bacterias presentes , determine el tiempo necesario para que el numero de bacterias se triplique. V) Se sabe un cultivo de bacterias .Crece a una velocidad proporcional a la cantidad presente . después de 1 hora , se observan en el cultivo 1,000 familias de bacterias y después de cuatro horas 3,000 familias. Hallar a) Una expresión para el numero de familias de la bacteria presentes en el cultivo en un momento t b) El numero de familias de bacterias que había originalmente en el cultivo. VI) El Radío se descompone en rayos alfa , suponiendo que la rapidez de descomposición es proporcional a la cantidad presente en cualquier tiempo y que en 664 años se ha perdido el 25 % de la cantidad original. ¿ cual es la vida media del Radió ? VII) Se sabe que la población de un país aumenta a una rapidez proporcional al numero de habitantes actuales del país . Sí después de 2 años la población se ha duplicado y después de 3 años la población es de 20,000 habitantes. Hallar el numero de habitantes que había inicialmente en el país . VIII) Una cierta sustancia radiactiva tiene una vida media de 38 horas . Encontrar que tiempo toma el 90 % de la radiactividad para disiparse.

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

25

I ) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de 2do orden con Coeficientes constantes

1) y   y  0

2) 3 y   y

3) y   y   30 y

4) y   2 y   8 y  0

5) y   9 y  54

6) y   y   54

7) y   4 y   4 y  x  6

8) y   3 y   y  4 x  5

9)

10)

11)

y   2 y   2 y  5e 6 x

12) 2 y   7 y   5 y  29

14)

y   6 y   9 y   xe 4 x

15)

16) y   y   y  x sen x

17)

y   2 y   5 y  e x sen x

18) y   25 y  20 sen 5 x

19)

20)

13)

y   y   12 y  e 4 x

y   25 y  6 sen x

y   y  x 2 e x  5

22) y   y  

y  e x  sen 3x  cos 3 x  4

y   2 y   y  x 3  4 x

y   2 y   3 y  4e x  9

21)

y   4 y  cos 2 x

y   2 y   y  x 2 e  x

23)

y   y    sen x  4 cos x 

24)

y   6 y   8 y  3e  2 x  2 x

25)

y   4 y  4 cos x  3 sen x  8

26)

y   3 y   10 y  xe x  x

27)

y   y  e x  2  3x cos 2 x 

28) 30) 32) 34) 36) 38) 40)

y   y  9  e  x  x 2 sen x

29) 31) 33) 35) 37) 39) 41)

y   y  sec x y   y  sen x

y   y  tg x y   y  sec x tg x

y   y  sec 2 x y   9 y  9 x e

3x

y   3 y   2 y  sen e x y   2 y   2 y  e x sec x

y   y  cos 2 x

  

y   3 y   2 y  1 1  e x y   3 y   2 y  e 3 x 1  e x y   2 y   y  e x 1  x 2 y   2 y   y  e x ln x

  

II ) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de 3do orden con Coeficientes constantes

1) 3 y  y  0

2) y  y

3) y  y 5) y  2 y  y  0 7) y   2 y   y  10 9) y   2 y   y  xe x 11) y   3 y   3 y   x 3 13) y   y   y  x sen x 15) 2 y   9 y   12 y   5 y  2 17) y   y   y   e x  sen 3x  cos 3x 

4) y  2 y  y  0 6) y   3 y   3 y  y  0 8) y   y   12 y   5 y  0 10) y   2 y   y  x sen x 12) y   3 y   3 y   x 3  sen x 14) y   2 y   y  x  1 16) 2 y   9 y   12 y   5 y  5 18) y   y   e x   sen x  4 cos x 

GONZALES CHAVEZ , Máximo g. 19) 21) 23)

26

y   6 y   3e  2 x  2 x y   3 y   10 y   xe

x

20) 22) 24)

x

y   y   tg x

y   8 y   4 cos x  3 sen x  8 y   y   e x  2  3 x cos 2 x 

y   y   sec x

III ) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de Cauchy - Euler xy   y   0

1)

x 2 y   2 y  0

2)

4)

4 x 2 y   y  0

5) x 2 y   2 xy   4 y  0

7) 25 x 2 y   25 xy   y  0 9) x 2 y   3xy   2 y  0 11) xy   y   x 13) x 2 y   xy   y  x

3)

xy   y   0

6)

x 2 y   5 xy   3 y  0

8) 4 x 2 y   4 xy   y  0 10) x 2 y   5 xy   4 y  x 4 12) x 2 y   2 xy   2 y  x 4 e x 14) x 2 y   2 xy   2 y  x 3 ln x

1)Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales a) 2 y  2 x  1 dx   x  y  4  dy  0

b) xy  2  x 2   2 x  1 y  y 2

2)Resolver la ecuación diferencial sabiendo que

u  x, y   3 xy 2

 x 1   2   dx    y  dy  0 xy   y

, Factor integrante

3) Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia y   x  c   c , c  IR ; 2

2

2

Hallar las curvas de las familias que pasen por el punto (2,0) 4)¿Qué condiciones debe cumplir el factor integrante u  x, y  , para que sea de la forma u( x, y )  u xy  ?. Dar un ejemplo de una ecuación diferencial que tenga un factor integrante de la forma u( x, y )  u xy 

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

27

5)Un tanque contiene 100 galones de salmuera; 3 galones de salmuera la cual contiene 2 libras de sal/gal , entran al tanque cada minuto. La mezcla asumida uniforme sale a una velocidad de 2 gal/min. Si la concentracion es de 1,8 libras de sal/gal. de salmuera al de cabo de 1 hora, Calcular las libras de sal que habian inicialmente en el tanque.

prof.: GONZALES CHAVEZ, máximo gerardo.

 Duración del examen 110 minutos  El desarrollo de la prueba es con lapicero

1)Resolver las ecuaciones diferenciales 3x a ) y  x  y  1 2

3

b)

y  xy 2  y 2

2 ) Se bombea aire con un contenido de 0.04% de dióxido de carbono a una habitación cuyo volumen es 3,000 pei3.La rapidez con que el aire se bombea es 2,500 pei3/min. después el aire circula y se bombea hacia fuera con la misma rapidez. Si hay una concentración inicial de 0.1% de dióxido de carbono. Hallar: a)La cantidad de dióxido de carbono en cualquier instante. b) la concentración después de 15 minutos. 3 )Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de Hipérbolas que se abren en la dirección del eje Y, con vértice en ( 1, 1)

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

28

4)Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia x 2  y 2  2cy  25

5)Resolver

y   y   x 2  1  3 xe x

prof.: GONZALES CHAVEZ, Máximo Gerardo.

2)Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales a) y   x  2 y 

2

b) y  x  2  dx   3 x  3 y  1 dy  0 c ) x   xy   y  1  x 2

2) Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia a )3 x  y  cx, c  IR ; (2,1) b) x   y  c   c , c  IR ;(0,1) 2

2

2

2

2

En cada caso hallar las curvas de las familias que pasen por el punto indicado 3)Resolver la ecuación diferencial  ey    2 x 3 y  dx  x 4 1  y  dy  0  x 

4)Sea la E.D. :

M  x, y  dx  N  x, y  dy  0

a)¿Qué condiciones debe cumplir el factor integrante para que sea de la forma u( x, y)  u xy  ?, dar un ejemplo

u  x, y 

,

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

29

b)¿Qué condiciones debe cumplir el factor integrante u x, y  , para que sea de la forma u ( x, y )  g  x  h( y) ?, dar un ejemplo

prof.: GONZALES CHAVEZ, Máximo Gerardo.

I I) Escribir los cinco, primeros términos de la sucesión cuyo termino II general es an 1) an 

1 2n  1

2) an 

  1 n n 2 4) an 

3  1 5) an 

n 1

7) 10)

an  10  1

  1 3) an 

3 4n  2

5n

n 1

n 6) an 

n 1

4

n

9) an  10 n

8) an  10n

1 k 1n n

n 1 11) an    

an  

k 1

n

n

12)

2

n n k 12 n

an  

De los ejemplos anteriores averiguar que sucesiones son : i)Monotonas ( creciente ó decreciente) ; ii) Acotadas ( inferior y superior)

II) Averiguar si la sucesiones son convergentes ó divergentes : 1)

an 

10 n 1

4)

an 

n2  1 2n

1 2) an  3 2 n

5) an 

7) an  ne  n 10) an  13)

7n 2 n 1

11) n 1

14)

an 

1 5n  6

n2  3 4n 2  1

9) an  10 n 1 n

n 1 n

an  20  2 3

an 

6) an 

8) an  n 3e  n

n n 1

an  20  1

3)

n

ln n n

12)

an 

15)

an  20  3 2 

n

GONZALES CHAVEZ , Máximo g. 16)

an  e n ln n  1

19)

an  



n   n   1

17)

30

an  1 5 n 

n

n

20)

an  n n

18)

a n  21 n

21)

an 

n2   sen  2n  1  n

III ) Dar una expresión para él término n-ésimo. Luego averiguar si la sucesión converge ó diverge. 1)

 1, 2 ,7 ,14 , 23

1 1 4 9

2) 1, , ,

3 4 5 6 3 5 7 9

1 2

1 1 4 8

6)  , , ,

7) 2,1  ,1  ,1  ,1  

1 5

8) 1  ,1  ,1  ,1 

10)

7 7 7 ...

11) a1  2, an 1  2an  1

7,

1 3

3)

7 7,

1 4

1 2

3 4

7 8

2 3 4 5 , , , , 3 4 5 6 1 1 2 3

5) 2 ,1, , , 

4) 2 , , , , 

1 2

1 , 16

15  16

9) 1, x,

2 4 8 ,  9 27 81

x 2 x3 x 4 x5 , , ,  2 6 24 120

12) a1  2, a n 1  1  1 n 2  a n

13) Se deja caer una pelota desde una altura inicial de 15m. Sobre una losa de concreto Cada vez que rebota , alcanza una altura de 2/3 de la altura anterior. Determine qué altura alcanza en su tercer y en su enésimo rebotes. 14) Un paciente ingiere 15 mg.(miligramos)de un medicamento al día. Sí el 80% del fármaco acumulado es eliminado diariamente por las funciones corporales, escribir los primeros 6 términos de la sucesión {an},donde an es la cantidad de medicamento presente en el cuerpo del paciente inmediatamente después de la enésima dosis. 15)

Interés compuesto. Sea la sucesión de termino general n Donde P es el capital invertido, an el balance tras n r   an  P  1   12   meses de interés compuesto y r la tasa anual de interés. La sucesión {an} ¿es convergente? Explicar la respuesta.

16) Inversión. Se depositan $100 al comienzo de cada mes a una tasa anual de interés 12% compuesto mensualmente. El balance después de n meses es an =100(101)[1.01n-1] Hallar los 6 primeros términos de la sucesión y el balance a los 5 años. 17) Inversiones estatales. Un programa del gobierno que ha costado a los contribuyentes 2.5000 millones de dólares este año se va a recortar un 20% anual en los años venideros. Calcular los presupuestos de los 4 primeros años y una expresión para los presupuestos de ese programa tras n años.

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

31

18) Inflación. Sí la tasa anual de inflación es 4.5% y el precio medio de un automóvil Es hoy $16,000.El precio medio de un automóvil dentro de n años será Pn=$16,000(1.045)n. Calcular el precio medio en los próximos 5 años.

I) Hallar la suma de las siguientes series : 1 2 n 1 n  n 

1)



2)

1



4) n1 1  n  n  2 n 2 n 1  9 n 1 3n 1

10)

13)

4n 2  1



3)

2n  1

1



4  2 n 1

n 1

11n

11)

14)



2



1

n 3 n

n 13

1

6) n1 2n  1 2n  5 1 n 7 n  n 

9)



2



1





n



5) n1 n 2  n  2 2 1 2 n 4 n  3n

 n  3  n  3 n  4  

n 1

3n    1 2 n  n 1 5n 1 

8) 





2





7)





 7 n  12

n 1



1 4 n 1

12)



n 1n



15) 

n7

1 2

 6n  8

4 n    1 n 6 n 7 n 1

II) Si el gobierno invierte S/100´000,000 extras en la economía. Suponiendo que cada negocio y cada individuo ahorra el 20% de sus ingresos y gasta el resto, de modo que de los cien millones iniciales el 80% es vuelto a gastar por individuos y negocios. De esa cantidad, el 80% es gastado nuevamente y así sucesivamente. Calcular el efecto multiplicador generado por el gobierno III) El país invierte 800 millones de soles adicionales en la economía. Se Supone que cada empresa y cada persona ahorra el 8% de sus ingresos y gasta el resto, de modo que de los 800 millones de soles iniciales el 92% es vuelto a gastar por las empresas y personas. De esa cantidad, el 92% es gastado nuevamente y así sucesivamente. ¿Calcular el efecto multiplicador generado por esta acción.

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

32

IV) A una partícula que se mueve en línea recta, se le aplica una fuerza, de modo que cada segundo la partícula recorre solo la mitad de la distancia que ha recorrido en el segundo anterior. Sí la partícula recorre 20 cm. en el primer segundo. ¿qué distancia total recorrerá la partícula?

V) Determine la convergencia ó divergencia de las siguientes series : 1 2 n 1 n n!  n! 4)  n n 1 2

n3 n n 1 2



7)

   n   2 



2 5)  n sen n 1

n

n   n 1 2n  1  

3) 

2) 



8)



n2

10)

 n  1   n 1  n 

13)

 n 1   2  n 1 n  1 



5

n

11)

2

3n

n   n 1 n  1  





n 2

2

 1   n



1

 n ln

6)

n 9) n1arcsen 





n2 n 1  n  1 !  1  n n 1 ln  n  1 



1) 

n

1  n  1 ln  n  n 1



12)

n

15)



1 ln n

n 2

1



14)



n  arctg 

 1   n

17)

n!  n n 1 n

18)

2n  5 n 1 n

19)

n 2  5n 4 n 1 5n  2 n

20)

n3 n  5n 2 n 1 4n

21)

6 6  n n  2  n 1

22)

3n  1 n 1 2 n  1

23)

3

16)

25) 28) 31)





n 1



 



n2 1  n 1 4n  1  ln n  n 1 n n  2 





n 1

n2  1 4n  n  1 5

26) 29) 32)

n 2







1



n 2

n 1 2



1  n  2  ln n  ln  n  1 

5

n 2

1 n 1 3

1 n 1  2n  1 ! 



24) 27)

n 1

 n  1

n 1





n 1 



 ne

n

n 1 

1

 n ln n 2

5 2

30)

arctg 2 n 2 n  1

33)





 

n 1

n

2

2n  1 n2



GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

33

VI) Determine la convergencia ó divergencia de las siguientes series. Si converge indicar : i)Convergencia absoluta ; ii)Convergencia condicional 1)



 n 1

  1 n

2)

n 2 n!



5)    1 n 

n   2 n 1 

n 1



9)    1 n   n 1

n   n 1

n

6)

15)

   1

n

n 1

   1

n

n 1



ln n n n2



   1

23)

  1 n  n 1  n  1 n  1

25)

   1

n

n 1

n

n 1

n2  1 4n  n  1 5



  1 n  n n 1 ln  n  1 

   1

16)

   1



ne  n



n

n 1 

n2

3

n



24)

  1  n  1    n  n 1

n

n 1



 n 1



n 2

arcsen n 

n2

n

  1 n

2n  1 n

2

5 n

  1 n n! 5n 1

n

   n 2 sen n   2  1

n 5

n

n3  1 arctg 2 n2  1

  1 n

n  1   n

   1 

n2

20)

22)

26)



2n

n 1

   1

17)

 1  n 1  2n  1 !



n 1

n2

n2  1





14)    1

  1 n n!

n 1

   1 

1

n



8)

11)

n3n  5n 2 4n



6

n



4)

n 1

13)

19)

  1 n n 2  n 1  n  1! 

7)    1

nn

n  2  n 1 6



n

  1 n n!

n 1

3n  1 2n  1

21)





n







3)

2n

n 1

10)

12)

18)



  1 n n 3

3n

2   1 n 4  5n  5n  2n n 1 



ln n

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

34

I) En cada una de las siguientes series hallar i)El conjunto de convergencia ii)El conjunto de divergencia iii) El radio de convergencia 

1)  x



2)  2 x

n

n 0





3)   x  3

n

n 0

n0



xn

3x n n n 1 2

5)  2n

6) 

n 1 

9)  n n  1 4 x  7 

7)

14)

17) 19)



3n  1

 2n  1x

10)

n

n 1



n 1

ln n xn n2



n

n

x

  n  1 n 1



 n 1





 x  2 n





8)

2n

n 1





 n n  1 x  2

 2 x  5 n 2n

n 1

xn



15)

 x  1  n 1  2n  1 !

n2

3

13)

n2  1 n



 3x  2 n n2 n



 n 2

xn n3  1

5



arctg 2 n x 2 n2 n  1



16)

18)

 3x  1 n  n 1  n  1 n  1

20)

  1 n x n  n 1  n  1 n  2 

n 1

n

n 0

12)





II) expresar las siguientes funciones como serie de Maclaurin 1 1 x

1)

f  x 

4)

f  x 

7)

f  x   sen x

10)

1

1  x  x  2

f  x  e x

2)

f  x 

1 1  5x

5)

f  x 

x2

8)

f  x   sen 2 x

11)

1  x  3

f  x  ex

2

n

n 0

n

n 0

11)



4)   3x  2 

n

1

3)

f  x 

6)

f  x 

9)

f  x   x sen x

12)

1  x2 x2

1  x   x 2

f  x   e x

2



GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

35

f  x   ln 1  x 

13)

14)



f  x   ln 1  x 2



III ) Expresar las siguientes funciones como serie de Taylor en 1 ,a  4 1 x

1 , a  2 1  5x

4)

f  x 

 2

5)

f  x   cos x, a 

,a  2

6)

f  x   cos x, a 

f  x   sen x, a 

 2

8)

f  x  ex , a  1

f  x   sen x, a 

 3

10)

f  x   e x , a  1

11) f  x   sen x, a 

 4

12)

f  x  ex , a  1 2

1)

f  x 

2)

f  x   cos x, a 

3)

f  x 

7) 9)

13)

1 1  x2

f  x   ln 1  x  , a  1

14)

 4 

3

2





f  x   ln 1  x 2 , a  2

IV) Hallar los seis primeros términos no nulos de la serie de Maclaurin de las funciones 1)

f  x   1  x5

2)

f  x   x 2  x  1

3)

f  x   tg x

4)

f  x   sec x

3

V) Hallar (aproximadamente) 1

1)

2  sen x dx

1

2)

0

sen x  x dx 0

3)

f  x   e  0.2

V) Hallar en serie de potencia la solución de: 1) y  y  0

2)

y   y  0

3)

y   y

a

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

36

4) 2 y  y  0

5)

y   xy  0

6)

y   x 2 y

7) y   y  0

8)

y   y   0

9)

y   y 

10)

11)  x  1 y  y  0

y   x 2 y   xy  0

13)

 x  2 y  xy  y  0

13)  x 2  1 y  4 xy  2 y  0

14)

 x 2  1 y  6 y  0

15)  x 2  2 y   xy  y  0

15)

y    x  1 y   y  0

17)

18)  x  1 y  xy  y  0 y(0)=-2 ; y ´(0)=6

y   xy    x  2  y  0

19)  x  1 y   2  x  y   y y(0)=2 ; y ´(0)=-1

I ) Utilizando la definición hallar la Transformada de Laplace de las siguientes funciones  1 , 0  x  1 1 x  1 ,

1)

f (x)

3)

f ( x)  e x

2) 4)

 x , 0 x4 4 x  1 ,

f(x)

f ( x )  e 2 x 5

5)

f ( x )  xe 4 x

II ) Utilizando la propiedades de la funcion escalon unitario , hallar la Transformada de Laplace de las siguientes funciones :  1 , 0  x  1 1 x  1 ,

2)

f(x) 

 4 , 0 x2 2 x  0,

4)

f (x)

 x , 0 x4 4 x  1 ,

6)

f(x)

1)

f (x)

3)

f(x)

5)

f(x)

 1 , 0  x  3 3 x  1 ,  x , 0  x 1 1 x  1 ,

 2x  1 , 0  x  1 1 , 1 x 

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

37

 x2 , 0  x  1

7)

f(x)

9)

f(x)

 1 ,

8)

1 x

 0 , 0  x  3 2  sen x , 3 2  x  cos x , 0  x   2 0 ,  2 x 

11)

f(x)

13)

 1 , 0  x 1  f ( x )   ex ,1 x  4  0 , 4 x 

  x  3 2 , 0  x  1

f(x)

1 , 

1 x

 sen x , 0  x  2 0 , 2  x 

10)

f(x)

12)

f (x) 

 0 , 0  x  2  cos x ,  2  x



x2 , 0  x  2 f ( x )   x 1 , 2  x  3  7 , 3 x  

14)

III ) Utilizando propiedades , hallar la Transformada de Laplace de las siguientes funciones : 1)

f ( x)  e x

2)

f ( x )  e  2 x 5

3)

4)

f ( x )  2x 4

5)

f ( x )  x5

6) f ( x )  4 x  67

7)

f ( x )  x2  6x  3

8)

f ( x )  e x7

9)

f ( x )  xe 4 x

f ( x )   x  1

10)

f ( x )   2 x  1

3

13)

f ( x )  1 e2x





16)

f ( x )  4 x 2  16 x  9

17)

f ( x )  cos x cos 2 x

18)

f ( x )  6 x 2  sen 3x

19)

f ( x )  sen 2 x cos 2 x

2

11) f ( x )  1 e 4 x



14)

f ( x )  ex  e x



2

3

12)

f ( x )  x2  e4x

15)

f ( x )  cos 2 2 x

IV) Hallar la Transformada de Laplace de las siguientes funciones :





1)

L 1 t 3

4)

L e t  e t cos t







2)

L 1  e 2 x

5)

L t 2 t 4











3)

L x 2  xe x

6)

L e 2 x  sen x





GONZALES CHAVEZ , Máximo g. 

x





0



t 7) L   e cos tdt 



x





0



x t 8) L   te dt 

 x  L   t sen tdt   0 

10)

38

 x  L  sen t cos x  t  dt   0 

11)



x





0



9) L  x  sen tdt   x  L  x  te t dt   0 

12)

IMPORTAMTE. Hallar la Transformada de Laplace de la funcion periodica

V) Hallar la Transformada Inversa de Laplace : 1

 s2  1

4)

L1 

7)

L1 

10)



2



s

 s 2  4



L1 



 1  2) L  ln s  1   

 1  3) L  2  arctg 2   

4 1  5) L  ar cot s 

 1  6) L  ar cot 3 



 s  4





s 3

 1  1) L  arctg s   



 2

1

8)  



 3



 s 2  9 

11)



L1 

s





1

 s 2  4





 2

s

9)  

s 9  L1  s ln  s  4 

12)



 1 s2  4 ln 2  s 1   s

L1 

1  L1  s 2 arctg  s 

VI ) Resolver las siguientes ecuaciones Diferenciales sujeta a las condiciones iniciales que se indican : 1) y   y  1, y  0  0

2) y   y  sen t , y 0  0

3)

4) y   5 y   4 y  0 ,

5) y   6 y   13 y  0 ,

6) y   6 y   9 y  t ,

7)

8)

9) y   2 y   5 y  1  t ,

y  0   0 , y  0   0

10)

y   4 y   4 y  t 3 ,

y  0   0 , y  0   0

2 y     3 y    3 y   2 y  e t ,

y  0  0 , y  0   0 , y  0  1

y  0   0 , y  0  3

y    4 y   4 y  t 3 e 2t ,

y  0   0 , y  0   0

11)

y   4 y  e  4t , y  0   2

y  0   0 , y  0   1

y  0  0 , y  0  4

y   2 y   y   2 y  sen t , y  0  0 , y  0  0 , y  0  1

GONZALES CHAVEZ , Máximo g. 12)

39

2 y  4   y  0 , y  0   1   y 0 

13)

y   y  f  t  , y  0  0 , donde

15)

y  0   0  y  0

14)

 0

f (t )   

, 0  t 1 5 , 1 t

y   2 y  f  t  , y  0  0 , donde

16)

 t

f (t )   

, 0  t 1   1 , 1 t

17)

 sen x , 0  x  2 0 , 2  x 

19)

 1 ,

22)

 0 , 0  x  2  cos x ,  2  x

21)

 1 , 0  x 1  f ( x )   ex ,1 x  4  0 , 4 x 

y   2 y  f  t  , y  0  0 , donde   x  3 2 , 0  x  1

f(x)

1 x

y   2 y  f  t  , y  0  0 , donde

y   2 y  f  t  , y  0  0 , donde f(x) 

 x2 , 0  x  1

f(x)

y   2 y  f  t  , y  0  0 , donde f(x)

 cos x , 0  x   2 0 ,  2 x 

y   2 y  f  t  , y  0  0 , donde

y   y  f  t  , y  0   0 , donde 1

f(x)

20)

y  0  0  y  0 

f (t )  

, 0  t 1 0 , 1 t

y   2 y  f  t  , y  0  0 , donde

18)

2 y  4   y  t , y  0   0  y 0

1 , 

23)

1 x

y   2 y  f  t  , y  0  0 , donde 

x2 , 0  x  2 f ( x )   x 1 , 2  x  3  7 , 3 x  

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

40

 Duración del examen 110 minutos  El desarrollo de la prueba es con lapicero

1 ) Hallar la Transformada de Laplace de las siguientes funciones :  x t  L a)  x  te dt   0 

 1  et t

,

b) L

  

2) Hallar la Transformada Inversa de Laplace : a)



L1 



1



 3

; 

 s 2  9 

b) L

1



1 2  s arctg  s 

3)Hallar los valores de x para los cuales la serie converge 

 k 1

  1 n k 2 k  x  1 / 2 k ek

4) Hallar 

 0

x cos xt x2  1

dx

prof.: GONZALES CHAVEZ, máximo gerardo.

 Duración del examen 110 minutos  El desarrollo de la prueba es con lapicero

1 ) Expresar como serie de Maclaurin ( 4 puntos ) f  x   x  sen 2 x  e 3 x

Resolver de tres formas diferentes : definición de Taylor , por medio de una ecuación diferencial y por sustitución.

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

41

2) Hallar (aproximadamente con 4 cifras decimales) 1 2

a)

dx

 1 x

3

; b )e

1 2

( 4 puntos )

0

3) Resolver las ecuaciones diferenciales ( 4 puntos ) a ) y  y  2  9 x  e 2 x

b) y   2 y   2 y  e x tanx c) x 2 y   2 xy   2 y  x 3 ln x

4)a) Hallar en serie de potencia la solución de ( 8 puntos ) y   xy    x  2  y  0

prof.: GONZALES CHAVEZ, máximo gerardo.

 Duración del examen 110 minutos  El desarrollo de la prueba es con lapicero 1. Hallar. 1

 e s 2  a) L  s 2  4   

b) L

1



 29     s  4 



 s ln 

4 puntos

2)A una partícula que se mueve en línea recta, se le aplica una fuerza, de modo que cada segundo la partícula recorre solo la tercera parte de la distancia que ha recorrido en el segundo anterior. Sí la partícula recorre 60 cm. en el primer segundo. ¿qué distancia total recorrerá la partícula? 2 puntos

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

42

3)Averiguar si las series son convergentes ó divergentes : 3n  a)    n 1 6 n  1  



2 n 1

n  b)    n 1 1  2n  



1   sen   n 1 2n  1  n

2 3n



c) 

( 6 puntos ) 3n n 1 n 1 5 

4)a) Hallar la suma de la series :



b)Hallar los valores de x para los cuales la serie converge 

 k 1

  1 k k 4 k  x  1 / 5 k 7k

prof.: GONZALES CHAVEZ, Máximo Gerardo.

 Duración del examen 110 minutos  El desarrollo de la prueba es con lapicero 1 ) Se bombea aire con un contenido de 0.05% de dióxido de carbono a una habitación cuyo volumen es 7,000 pei3.La rapidez con que el aire se bombea es 3,000 pei3/min después el aire circula y se bombea hacia fuera con la misma rapidez. Si hay una concentración inicial de 0.3% de dióxido de carbono. Hallar: a)La cantidad de dióxido de carbona en cualquier instante. b) la concentración después de 20 minutos. ( 4 puntos ) 2 )Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas que se abren en la dirección de la recta x=3, con vértice en ( -3, 5 ) ( 3 puntos ) 3 ) Hallar La Transformada de Laplace de f (x)  x , 0  x 1  f ( x)   e x , 1  x  4  2x , 4 x 

( 3 puntos )

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

43

4)Averiguar si las series son convergentes ó divergentes : 5n   n 1 6 n  2  



n 2

a)  

1 n

 5n  b)    n 1 1  3n  



( 6 puntos )

5) Hallar la suma de las siguientes series : a)

2 n    1 4 n b)  n 15 9 n1

3n n 1 n  65 

n



a) 

c) 6 puntos

prof.: GONZALES CHAVEZ, máximo gerardo.

1) Hallar la serie de Maclaurin de f  x   1  x  e 1  x  e , Luego utilizando el n resultado anterior , hallar la suma de la serie   2n  1! x

x



n2

2) Hallar la serie de Maclaurin de

f  x 

resultado anterior , hallar la suma de la

1 x 1  x  2

, Luego utilizando el

n2 serie  2 n 1 n2 

3) Hallar la transformada de y la inversa de LAPLACE:   2t t 2u  L i)  e  e senudu  0  

ii)



L1 



1

 1  s



2 5

  

4) Calcular 



 xe 3 x sen 2 xdx  dt   0 

i)  e 5t  0

t



ii)  0

e 5t sen t  dt t

5)Resolver la ecuacione Diferencial sujeta a las condiciones iniciales que se indican :

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

44

y  0   1, y 0   0  1 , 0  x 1  y   y   2 y  f  t  f ( x )   e x , 1  x  4  0 , 4 x 

Prof. GONZALES CHAVEZ , maximo g.

3)Determinar la solucion y el intervalo donde es valida la solucion  y   (cot x) y  2 cos cx  y ( / 2)  1 

2)a)Sea la ecuación diferencial : M(x,y)dx+ N(x,y)dy=0 Demuestre que e es un factor integrante de la ecuación diferencial ,donde g ( z ) dz

N M  y x g ( x  y)  M N

b)Utileze (a) para resolver: ( x 2  xy )dx  (  xy  y 2 )dy  0

3)Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia x 2  y 2  2cy  25

4)Resolver

y   y   x 2  1  3 xe x

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

45

1) Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el número de organismos de una cierta clase presentes en el paquete. Al cabo de 60 días el numero N ha aumentado a 1000N. Sin embargo, el numero 200N es considerado como el limite saludable. A los cuantos días, después de elaborado, vence el alimento 2) Un teatro de dimensiones 10 x30 x50 mt3., contiene al salir el publico 0,1% por volumen de CO2. Se sopla aire fresco a razón de 500 mt.3 por minuto y el sistema de aire acondicionado lo extrae a la misma velocidad. Si el aire atmosférico tiene un contenido de CO 2 del 0,04% por volumen y el límite saludable es de 0,05% por volumen. ¿En que tiempo podría entrar el público? 3) Considerar la sucesión an definida recursivamente por:

a0  2,

an 1  . Averiguar si la sucesión es convergente , si es convergente 2 an hallar Lim an . an1 

n 

4) Determine la Convergencia absoluta ó Convergencia condicional de las Series   n a)    1 n 2 sen n 1

  n   2 

;

b)



   1 n n 1

n3n  5n 2 4n

5) a)El país

invierte 800 millones de soles adicionales en la economía. Se Supone que cada empresa y cada persona ahorra el 8% de sus ingresos y gasta el resto, de modo que de los 800 millones de soles iniciales el 92% es vuelto a gastar por las empresas y personas. De esa cantidad, el 92% es gastado nuevamente y así sucesivamente. ¿Calcular el efecto multiplicador generado por esta acción. b) A una partícula que se mueve en línea recta, se le aplica una fuerza, de modo que cada segundo la partícula recorre solo la mitad de la distancia que ha recorrido en el segundo anterior. Sí la partícula recorre 20 cm. en el primer segundo. ¿qué distancia total recorrerá la partícula?

Prof. GONZALES CHAVEZ , maximo g.

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

46

1)Hallar los valores de x para los cuales la serie converge k 2 k  x  1/ 2 ek k 1 



k

1 2)a)Si L tF  t  s   s s 2  1 .

Hallar Le t F  2t   s  b)Hallar

3)Hallar



s  t 2  s  2s  2 

L1 



2

e 4 x sen3 x  L e t  dx   s  x 0  

4) Resolver

t

4t



y (t )  4 y (t )  f (t ), f (t )   

1 , 0t  0 ,  t

y(0) =1, y`(0) =0

SOLUCIÓN DE LA ECUACION NO HOMOGÉNEA . ay   by   cy  f  x  , donde f  x   0 y a, b, c  IR

Método De solución

VARIACIÓN DE PARAMETROS Este es un método general, a=1 COEFICIENTES INDETERMINADOS

Método particular depende de f(x)

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

47

VARIACIÓN DE PARAMETROS. Pasos a seguir para la solución de la ecuación : y   by   cy  g  x  , g  x   0 , b, c  IR

1er PASO. Consiste en suponer que la solución General de la ecuación es de la forma : y  yc  y p donde

yc  C1 y1  C2 y2

, Solución

y p  u1  x  y1  u 2  x  y 2

general de y´´+by´+cy=0

,Solución

Particular de y´´+by´+cy=g(x)

2do PASO. Como se conoce y1 , y2 ,se halla el Wronskiano de y1 , y2 W  W  y1 , y 2  

y1 y1

y2  y1 y 2  y1 y 2  y 2

0

3ER PASO. Hallamos u1 , u2 .Integrando u1 

 y2  y2 f ( x) dx  u1   W W

; u 2 

y1 W

 u2  

y1 f ( x)dx W

4to PASO. La Solución general es : y  C1 y1  C2 y2  u1 y1  u 2 y2

f (t) 1) 1 n 2) t n=1,2,3.... 3) t 1 2 at 4) e 5) senkt 6) coskt 7) senhkt 8) coshkt at 9) e f(t) 10) f(t-a)u(t-a),a>0 n 11) t f(t) , n= 1,2 .... n 12) f (t) , n= 1,2 ....

L{f (t)}= F(s) 1/s n/sn+1  s

1/(s-a) k/(s2+k2) s/(s2+k2) k/(s2-k2) s/(s2-k2) F(s-a) e-as F(s) (-1)nF n(s) snF(s)-sn-1 f(0)-........-f n-1(0)

GONZALES CHAVEZ , Máximo g.

48

t

13)  f  x  g  t  x  dx

F(s)G(s)

t n eat , n= 1,2 .... at 15) e senkt at 16) e coskt 17) t senkt 18) t coskt 19) senkt - kt coskt 20) senkt + kt coskt 21) senhkt - senkt 22) coshkt - coskt 23) 1-coskt

n/(s-a)n+1 k / ((s-a)2+k2) (s-a) / ((s-a)2+k2) 2ks /(s2+k2)2 (s2 –k2 ) / (s2+k2) 2k3 / (s2+k2) 2ks2 /(s2+k2) 2k3 / (s4- k4) 2k2 s /(s4- k4) k2 /s2(s2+ k2)

0

14)

24) 25)

a sen bt  b sen at ab(a 2  b 2 )

cos bt  cos at (a 2  b 2 )

1

s

2

a

2

s

2

a

2

 s

2

 b2 

2

 b2 

s

 s