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Universidad Nacional Mayor de San Marcos LABORATORIO DE INTRODUCCION A LAS TELECOMUNICACIONES PRACTICA N°3

TEMA: DISEÑO DE FILTROS Y ECUALIZADOR DIGITAL Prof: Ing. Ezequiel Zavala 1. OBJETIVOS: Diseñar filtros en respuesta en frecuencia de audio, y determinar las características en el dominio del tiempo y de la frecuencia. Asimismo diseñar ecualizadores digitales de audio frecuencia, usando el MATLAB. 2. PROCEDIMIENTO: 1. Diseñe un ecualizador digital usando el comando ELLIP y grafique las ondas en el dominio del tiempo y su respectiva transformada de Fourier. Dibuje el esquema de bloques correspondiente del ecualizador resultante

Filtro n°1 >> Fs=8000; >> t=(1:8000)/Fs; >> f1=sin(2*pi*t*500);f2=sin(2*pi*t*1500);f3=sin(2*pi*t*3000);f4=sin(2*pi*t*4000); >> s=f1+f2+f3+f4; >> figure(1) >> plot(t,s) >> axis([0 0.01 -4 4]);

Figura 1: Señal de entrada al ecualizador.

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos >> [b,a]=ellip(4,0.1,40,[100 1000]*2/Fs); >> [H,w]=freqz(b,a,512); >> figure(2) >> plot(w*Fs/(2*pi),abs(H));

Figura 2: Filtro pasabanda de ganancia 1, frecuencias de corte f1=100 Hz y f2=1 KHz

>> sf1=filter(b,a,s); >> figure(3) >> plot(t,sf1); >> xlabel('Tiempo(seg)');ylabel('FORMA DE ONDA VS. TIEMPO') >> axis([0 0.01 -4 4]);

Figura 3: Señal resultante en la salida del filtro pasabanda anterior.

>> S1=fft(s,513); >> SF1=fft(sf1,513); >> w=(((0:255)/256)*(Fs/2));

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos >> figure(4) >> plot(w,abs(S1(1:256))); >> hold on >> plot(w,abs(SF1(1:256))); >> hold off >> xlabel('FRECUENCIA(Hz)');ylabel('MAG. DE TRANSF. DE FOURIER');

Figura 4: Transformada de Fourier de la señal original que entra al ecualizador, en verde se muestra la transformada de Fourier de la señal de salida del primer filtro.

Filtro n°2 >> [b,a]=ellip(4,0.1,40,[1000 2000]*2/Fs); >> [H,w]=freqz(b,a,512); >> figure(5) >> plot(w*Fs/(2*pi),abs(H));

Figura 5: Filtro pasabanda de ganancia 1 y frecuencias de corte f1= 1KHz y f2 = 2 KHz

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos >> sf2=filter(b,a,s); >> figure(6) >> plot(t,sf2); >> xlabel('Tiempo(seg)');ylabel('FORMA DE ONDA VS. TIEMPO') >> axis([0 0.01 -4 4]);

Figura 6: Señal de salida del filtro pasabanda.

>> S2=fft(s,513); >> SF2=fft(sf2,513); >> w=(((0:255)/256)*(Fs/2)); >> figure(7) >> plot(w,abs(S2(1:256))); >> hold on >> plot(w,abs(SF2(1:256))); >> hold off >> xlabel('FRECUENCIA(Hz)');ylabel('MAG. DE TRANSF. DE FOURIER');

Figura 7: Transformada de Fourier de la señal de entrada, también se muestra la transformada de Fourier de la señal en la salida del filtro.

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos Filtro n°3 >> [b,a]=ellip(4,0.1,40,[2500 3500]*2/Fs); >> [H,w]=freqz(b,a,512); >> figure(8) >> plot(w*Fs/(2*pi),abs(H));

Figura 8: Filtro pasabanda de ganancia 1 y frecuencias de corte f1 = 2,5 KHz y f2 = 3,5 KHz

>> sf3=filter(b,a,s); >> figure(9) >> plot(t,sf3); >> xlabel('Tiempo(seg)');ylabel('FORMA DE ONDA VS. TIEMPO') >> axis([0 0.01 -4 4]);

Figura 9: Señal de la salida del filtro pasabanda anterior.

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos >> S3=fft(s,513); >> SF3=fft(sf3,513); >> w=(((0:255)/256)*(Fs/2)); >> figure(10) >> plot(w,abs(S3(1:256))); >> hold on >> plot(w,abs(SF3(1:256))); >> hold off >> xlabel('FRECUENCIA(Hz)');ylabel('MAG. DE TRANSF. DE FOURIER');

Figura 10: Transformada de Fourier de la señal de entrada, también se muestra la transformada de Fourier de la señal presente en la salida del filtro.

Filtro n°4 >> [b,a]=ellip(4,0.1,40,[3500 3999]*2/Fs); >> [H,w]=freqz(b,a,512); >> figure(11) >> plot(w*Fs/(2*pi),abs(H));

Figura 11: Filtro pasabanda de ganancia 1 y frecuencias de corte f1 = 3,5 KHz y f2 = 3999Hz

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos >> sf4=filter(b,a,s); >> figure(12) >> plot(t,sf4); >> xlabel('Tiempo(seg)');ylabel('FORMA DE ONDA VS. TIEMPO'); >> axis([0 0.01 -4 4]);

Figura 12: Señal de la salida del filtro pasabanda anterior.

>> S4=fft(s,513); >> SF4=fft(sf4,513); >> w=(((0:255)/256)*(Fs/2)); >> figure(13) >> plot(w,abs(S4(1:256))); >> hold on >> plot(w,abs(SF4(1:256))); >> hold off >> xlabel('FRECUENCIA(Hz)');ylabel('MAG. DE TRANSF. DE FOURIER');

Figura 13: Transformada de Fourier de la señal de entrada, también se muestra la transformada de Fourier de la señal presente en la salida del filtro.

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos >> zf5=0.8*sf1+0.5*sf2+0.2*sf3+0.4*sf4; >> figure(14) >> plot(t,zf5); >> xlabel('Tiempo(seg)');ylabel('FORMA DE ONDA VS. TIEMPO'); >> axis([0 0.01 -4 4]);

Figura 14: Señal de entrada al filtro.

>> S5=fft(s,513); >> ZF5=fft(zf5,513); >> w=(((0:255)/256)*(Fs/2)); >> figure(15) >> plot(w,abs(S5(1:256))); >> hold on >> plot(w,abs(ZF5(1:256))); >> hold off >> xlabel('FRECUENCIA(Hz)');ylabel('MAG. DE TRANSF. DE FOURIER');

Figura 15: Transformadas de Fourier de la señal de entrada y de la señal de salida.

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos 2. Verificar la respuesta de frecuencia de otros filtros: modificar sus variables como ancho de banda, amplitud o atenuación de los 4 filtros.

Filtro n°1 >> f=[0 .4 .4 .6 .6 1]; >> H=[0 0 1 1 0 0]; >> fs=1000; >> fhz=f*fs/2; >> figure(1) >> plot(fhz,H),title('Desired Frequency Response'); >> xlabel('Frequency(Hz)');ylabel('Magnitude');

Figura 1: Filtro pasabanda con frecuencias de corte f1=200 Hz y f2=300 Hz

Filtro n°2 >> N=8; >> [Bh,Ah]=yulewalk(N,f,H) >> n=256; >> hh=freqz(Bh,Ah,n); >> hy=abs(hh); >> ff=fs/(2*n)*(0:n-1); >> figure(2) >> plot(fhz,H,ff,hy) >> title('Actual vs. Desired Frequency Response'); >> xlabel('Frequency(Hz)');ylabel('Magnitude');

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Figura 2:

Filtro n°3 >> N=4; >> passband=[.4 .6]; >> ripple=.1; >> [Bb,Ab]=butter(N,passband); >> [Bc,Ac]=cheby1(N,ripple,passband); >> h=[abs(hh) abs(freqz(Bb,Ab,n)) abs(freqz(Bc,Ac,n))]; >> figure(3) >> plot(ff,h) >> title('Yule Walk, Butterworth and Chebyshev filters');

Figura 3:

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos Filtro n°4 >> figure(4) >> plot(ff(2:n),20*log10(h(2:n,:))) >> title('Yule Walk, Butterworth and Chebyshev filters'); >> xlabel('Frequency (Hz)'); >> ylabel('Magnitude in dB');

Figura 4

3. De acuerdo al ejercicio anterior (1) , diseñe un ecualizador digital de 4 canales, usando los filtros IIR, si la señal de entrada es: f=sin(2*pi*t*500)+sin(2*pi*t*1500)+ sin(2*pi*t*2500)+ sin(2*pi*t*3500)

Grafique la onda resultante en cada etapa del ecualizador en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia >> Fs=10000; >> t=(1:10000)/Fs; >> f1=sin(2*pi*t*500);f2=sin(2*pi*t*1500);f3=sin(2*pi*t*2500);f4=sin(2*pi*t*3500); >> s=f1+f2+f3+f4; >> figure(1) >> plot(t,s) >> grid >> axis([0 0.01 -4 4]);

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>> [b,a]=ellip(4,0.1,40,[100 1000]*2/Fs); >> b=0.3*b; >> [H,w]=freqz(b,a,512); >> figure(2) >> plot(w*Fs/(2*pi),abs(H)); >> grid

>> sf1=filter(b,a,s); >> figure(3) >> plot(t,sf1); >> grid >> xlabel('Tempo(seg)');ylabel('FORMA DE ONDA VS. TIEMPO'); >> axis([0 0.01 -4 4]);

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>> S1=fft(s,513); >> SF1=fft(sf1,513); >> w=(((0:255)/256)*(Fs/2)); >> figure(4) >> plot(w,abs([S1(1:256);SF1(1:256)])); >> grid >> xlabel('FRECUENCIA(Hz)');ylabel('MAG. DE LA TRANS. DE FOURIER');

>> [b,a]=ellip(4,0.1,40,[1000 2000]*2/Fs); >> b=1.5*b; >> [H,w]=freqz(b,a,512); >> figure(5) >> plot(w*Fs/(2*pi),abs(H)); >> grid

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>> sf2=filter(b,a,s); >> figure(6) >> plot(t,sf2); >> xlabel('Tempo(seg)');ylabel('FORMA DE ONDA VS. TIEMPO'); >> axis([0 0.01 -4 4]); >> grid

>> S2=fft(s,513); >> SF2=fft(sf2,513); >> w=(((0:255)/256)*(Fs/2)); >> figure(7) >> plot(w,abs([S2(1:256);SF2(1:256)])); >> xlabel('FRECUENCIA(Hz)');ylabel('MAG. DE LA TRANS. DE FOURIER'); >> grid

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>> [b,a]=ellip(4,0.1,40,[2000 3000]*2/Fs); >> b=0.1*b; >> [H,w]=freqz(b,a,512); >> figure(8) >> plot(w*Fs/(2*pi),abs(H)); >> grid

>> sf3=filter(b,a,s); >> figure(9) >> plot(t,sf3); >> xlabel('Tempo(seg)');ylabel('FORMA DE ONDA VS. TIEMPO'); >> axis([0 0.01 -4 4]); >> grid

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>> S3=fft(s,513); >> SF3=fft(sf3,513); >> w=(((0:255)/256)*(Fs/2)); >> figure(10) >> plot(w,abs([S3(1:256);SF3(1:256)])); >> xlabel('FRECUENCIA(Hz)');ylabel('MAG. DE LA TRANS. DE FOURIER'); >> grid

>> [b,a]=ellip(4,0.1,40,[3000 4000]*2/Fs); >> b=0.8*b; >> [H,w]=freqz(b,a,512); >> figure(11) >> plot(w*Fs/(2*pi),abs(H)); >> grid

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>> sf4=filter(b,a,s); >> figure(12) >> plot(t,sf4); >> xlabel('Tempo(seg)');ylabel('FORMA DE ONDA VS. TIEMPO'); >> grid >> axis([0 0.01 -4 4]);

>> S4=fft(s,513); >> SF4=fft(sf3,513); >> w=(((0:255)/256)*(Fs/2)); >> figure(13) >> plot(w,abs([S4(1:256);SF4(1:256)])); >> xlabel('FRECUENCIA(Hz)');ylabel('MAG. DE LA TRANS. DE FOURIER'); >> grid

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4. Cuestionario final 1. Explique detalladamente la transformada de Fourier DFT. Desarrolle 5 ejemplos de la trans. De Fourier funciones discretas y su aplicación en el proceso de señales Transformada Discreta de Fourier Suponiendo que se tiene una señal discreta X[n] periódica (periodo N) esta señal se puede expresar usando deltas desplazadas, como:

( ) (

X(n)=∑

)

Se puede representar también utilizando exponenciales complejas, ya que éstas son la base del dominio frecuencial.

X(n)=

∑

( )

En esta representación interesa hallar X*k+ y α, esto se realiza de la siguiente manera:

( )

=

(∑

∑ ( )

( )

∑∑ ( )

)

(

)

Aplicando ortogonalidad de funciones complejas, es decir: ∑

(

)

{

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos Entonces: Tomando α=1/N y reemplazando s por K resulta:

∑

( )

( )

X(k)=∑

( )

Esta expresión es la transformada de Fourier en Tiempo Discreto. En matlab existe un programa “fftgui.m” que se puede utilizar para hallar la Transformada Discreta de Fourier. Entre las diversas aplicaciones de la Transformada Discreta de Fourier tenemos:   

La estimación espectral consistente en la detección de señales enmascaradas por ruidos o interferencias, y con muchos campos de aplicación como son las comunicaciones digitales, sistemas radar, control predictivo, etc. La determinación de la salida temporal de un SLIT cuando la entrada o la respuesta impulsional del sistema son secuencias de longitud considerable. La identificación de la función de transferencia de sistemas a partir de su comportamiento frecuencial.

 Grafica 1 >> x=(0:20)/20; y1=sin(2*pi*x); figure(5) stem(x,y1) grid

>> x=(0:20)/20; >> y=sin(2*pi*x); >> s=fft(y); >> figure(6) >> stem(x,s)

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos  Grafica 2 >> x=linspace(-2,2,50); >> y=sin(2*pi*x)./(2*pi*x); >> figure(7) >> stem(x,y) >> grid

>> s=fft(y); >> figure(8) >> stem(x,s) >> grid

 Grafica 3 >> x=[0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0]; >> figure(9) >> stem(x) >> grid >> x=[0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0];

>> s=fft(x); >> figure(10) >> stem(s) >> grid

 Grafica 4

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos x1=(0:10)/10; y1=x1; x2=(10:20)/10; y2=-x2+2; figure(3) stem(x1,y1) hold on stem(x2,y2)

hold off s1=fft(y1); s2=fft(y2); figure(4) stem(s1) hold on stem(s2) hold off

2. ¿Qué es la transformada rápida de Fourier FFT?, desarrolle 5 ejemplos. En la fórmula de la Transformada Discreta de Fourier obtener X(k) para un ‘k’ determinado requiere aproximadamente N sumas complejas y N productos complejos, ya que:

Para k = 0, 1, ..., N-1. Si lo que se desea es obtener X(0), X(1), ..., X(N-1) entonces se necesitarán un total de aproximadamente N2 sumas complejas y N2 productos complejos. Esto quiere decir que los requerimientos computacionales de la DFT pueden ser excesivos especialmente si el tamaño de N es grande. La FFT aprovecha la periodicidad y simetría del factor ‘W’ para el cálculo del Transformada Discreta de Fourier. La periodicidad de ‘W’ implica:

Y su simetría implica:

La FFT descompone la DFT de N puntos en transformadas más pequeñas. Una DFT de N puntos es descompuesta en dos DFT’s de (N/2) puntos. Cada DFT de (N/2) puntos se descompone a su vez en dos DFT’s de (N/4) puntos y así sucesivamente. Al final de la descomposición se btienen (N/2)

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos DFT´s de 2 puntos cada una. La transformada más pequeña viene determinada por la base de la FFT. Para una FFT de base 2, N debe ser una potencia de 2 y la transformada más pequeña es la DFT de 2 puntos. Para implementar la FFT se puede utilizar el comando ‘fft’ de Matlab.

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