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MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2

SEMANA 04

SESIÓN 04

Matemática para Ingenieros II

COORDENADAS POLARES

Fuente: https://www.google.com.pe/search?biw=1242&bih=602&tbm=isch&sa=1&ei=KpNNWsTCBMaFmQHtzp7wDw&q=coordenada s+polares+mundo&oq=coordenadas+polares+mundo&gs_l=psy-ab.3...88820.90421.0.90894.6.6.0.0.0.0.453.1076.21j1j1.3.0....0...1c.1.64.psy-ab..3.1.452...0j0i30k1.0.UeVTeQyA54w#imgrc=uA3izR8Vjq_KeM:

Logro de la sesión Al término de la sesión el estudiante define la relación entre el sistema cartesiano y el sistema polar.

ESQUEMA DE CLASE

Sistema Polar

Definición

Plano Polar

 El sistema ha sido utilizado de manera empírica desde antes de Cristo, fue Newton quien recién le da el concepto abstracto, pero en su trabajo creó 8 sistemas de coordenadas.  Sobre el sistema cartesiano, se diseña el sistema Polar, en este caso las coordenadas son un ángulo y una distancia.  El Plano Polar es una serie infinita de circunferencias concéntricas, cada punto en este sistema tiene su propia circunferencia.

Observe que un punto polar se forma en la curva celeste o circunferencia de radio “r” y un ángulo 𝜃.

𝝅

𝝅/𝟐

(𝒓, 𝜽)

𝜃

𝜽 antihorario

𝟎, 𝟐𝝅 −𝜽 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐

PLANO POLAR

𝟑𝝅/𝟐

Fuente: Elaboración propia

El centro del sistema recibe el nombre de POLO u Origen, el EJE POLAR. Coincide con el eje x del sistema cartesiano.

CUANDO EL PUNTO TIENE UN RADIO POSITIVO Y EL ÁNGULO POSITIVO O NEGATIVO 𝜋 3

(4, ) 𝜋/3 −𝜋/4

𝜋 (2, − ) 4

CUANDO EL PUNTO TIENE UN RADIO NEGATIVO Y EL ÁNGULO POSITIVO O NEGATIVO 𝜋 (−3, − ) 6 2𝜋 3

2𝜋 (−1, ) 3

−

𝜋 6

TRANSFORMACIÓN DE CORDENADAS RECTANGULARES A POLARES 𝒓𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

𝑏 → r. Sen θ = 𝑏 𝑟 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝜃 = → r. Cos θ = 𝑎 𝑟

(𝑎, 𝑏) 𝑟 𝜃

𝑆𝑒𝑛 𝜃 =

𝑏 𝑎

𝑻𝒈(𝜽) =

FORMA TRIGONOMETRICA

𝒃 𝒂

FORMA POLAR

𝑎, 𝑏 = (𝑟, θ)

𝑎, 𝑏 = (𝑟. 𝐶𝑜𝑠 𝜃 , 𝑟𝑆𝑒𝑛 𝜃 )

PASOS PARA OBTENER LA TRANSFORMACION  Primero: Halle el radio r = 𝑎2 + 𝑏 2 y el ángulo 𝑏 referencial 𝑡𝑔 𝜃 = . 𝑎

 Segundo: Ubique el cuadrante donde se encuentra el punto.  Tercero: Dependiendo donde se encuentra el punto: Si el ángulo cae en el segundo cuadrante ¿cuánto falta para 1800? (180 – 𝜃)

Si el ángulo cae en el primer cuadrante Es el mismo ángulo (𝜃)

Si el ángulo cae en el tercer cuadrante ¿cuánto sobró a 1800?

Si el ángulo cae en el cuarto cuadrante ¿cuánto falta para 3600?

(180 + 𝜃)

(360 –𝜃)

Convierta a coordenada polar el punto (−𝟑, 𝟑) 1. Hallando el radio:𝑟 2 = (3)2 +(−3)2 = 18 ⇒ 𝑟 = 18. El ángulo referencial: 𝑇𝑔 𝜃 =

3 −3

= −1 ⇒ 𝑇𝑔 𝜃 = −1

Nota: cuando el ángulo referencial sea negativo , asuma que es positivo. ⇒ 𝑇𝑔 𝜃 = 1 ⇒ 𝜃 = 45° 2. El punto (−3,3) se encuentra en el segundo cuadrante.

3.- Según el cuadro anterior: 180° − 45° = 135° 3 −3,3 = ( 18, 𝜋) 4

TRANSFORMACION DE CORDENADAS POLARES A RECTANGULARES Para la transformación se hace uso de la forma trigonométrica 𝑥, 𝑦 = 𝑟𝐶𝑜𝑠 𝜃 , 𝑟𝑆𝑒𝑛 𝜃

𝜋 6

Ejemplo: Convertir a coordenadas cartesianas el punto polar (−5, )

𝑥, 𝑦 = 𝑟𝐶𝑜𝑠 𝜃 , 𝑟𝑆𝑒𝑛 𝜃 𝜋 𝜋 𝑥, 𝑦 = −5𝐶𝑜𝑠 , −5𝑆𝑒𝑛 6 6 𝑥, 𝑦 = −5

3 1 , −5 2 2

−5 3 −5 𝑥, 𝑦 = , 2 2

Es importante señalar: 𝑟, 𝜃 = (−𝑟, 𝜋 + 𝜃) Al graficar ( 5 , 𝜋/6) es lo mismo o tiene la misma posición ( −5 , 𝜋 + 𝜋/6) Si el punto a convertir es:

𝜋 −5 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑙𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 6

𝜋 7𝜋 5 ,𝜋 + = (5, ) 6 6

Además se cumple:

𝑟, 𝜃 = 𝑟, 𝜃 + 2𝑛𝜋 ∀𝑛 ∈ ℤ 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝑟, 𝜃 = −𝑟, 𝜃 + 2𝑛𝜋 + 𝜋 = (−𝑟, 𝜃 + (2𝑛 + 1)𝜋) ∀𝑛 ∈ ℤ

1. −Determine las coordenadas rectangulares del punto cuyas coordenadas polares es P(4, 120°) a) ( -0.5, 0.86602), b(4, 0.5), c( - 0.5, 4), d( -2, 3.4641) 2. −Determine las coordenadas polares del punto cuyas Coordenadas rectangulares son 1, 3 a) (0, 180°), b) (-2, 0°), c) (2, 60°), d) (2, 120°)

Muchas gracias! “La Matemática es el alfabeto con que Dios escribió el mundo.” Galileo Galilei