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Modelo autorregresivo de primer orden aplicado a la predicción anual de caudales en la Amazonía peruana: cuenca del río Mayo Santiago Alberto Casas Luna1,3, Jesús Abel Mejía Marcacuzco2,3 Universidad Nacional de San Martín – Tarapoto, San Martín - Perú 2 Universidad Nacional Agraria La Molina, Lima - Perú 3 Programa de Doctorado en Recursos Hídricos EPG-UNALM, Lima 37 – Perú – JULIO 2016 1

RESUMEN

ZONA SE ESTUDIO

La estimación de parámetros de flujos (altura de agua, velocidades y caudales de escurrimiento), son muy importantes para el tratamiento de la mitigación de crecidas, disminución de la carga de sedimentos y agentes contaminantes del escurrimiento, propios de los problemas de la gestión de drenajes pluviales en ámbitos urbanos y rurales.

La cuenca del río Mayo es aproximadamente el 0.14 % del área total de la cuenca del río Amazonas y se ubica al Nor oeste del mismo (Fig.1), geopolíticamente se ubica entre los departamentos de Amazonas, San Martín y Loreto y se extiende por las provincias de Jumbilla (Amazonas); Rioja, Moyobamba, Lamas y San Martín (San Martín) y Alto Amazonas (Loreto); el área de estudio comprende aguas arriba a la estación Shanao que abarca una superficie de 8372 km². Su altitud máxima es de 4000 msnm y la mínima 200 msnm. El curso principal se denomina río Mayo y su trayecto es de Nor-Oeste a Sur-Este y es uno de los principales afluentes del río Huallaga y este a su vez principal afluente del río Amazonas.

Los métodos de generación de series temporales hidrológicas, se basan en el uso de los “registros históricos” como una muestra de la población total. Muchas series hidrológicas presentan correlación serial; esto significa correlacionar una variable aleatoria X con la misma variable, pero desfasada en un intervalo k de tiempo. El coeficiente de correlación así obtenido se denota por ρx,k y cuando el desfase es k = 1, el proceso será de autorregresivo de primer orden, si k = 2, el proceso es de segundo orden y así sucesivamente. El modelo autorregresivo normal de primer orden (AR1) es usado ampliamente en la generación de caudales anuales.

INTRODUCCION Los procesos hidrológicos, tienen características estocásticas o una combinación de procesos determinísticas y estocásticas (Yevjevich, 1972). El problema frecuente es la insuficiencia de datos hidrológicos, en la mayoría de casos, se asume que el futuro es estadísticamente similar al pasado y es sostenido por la hidrología estocástica (García, 2010). La estocasticidad en los recursos hídricos es doble: La distribución y los diferentes factores que afectan al comportamiento del agua en la superficie terrestre (conductividad, flujo de agua, cubierta vegetal, y otros) le confieren también cierta aleatoriedad (Marco, 1993).

RESULTADOS Y DISCUSION 1. 2. 3. 4.

Las medidas de tendencia central y dispersión son: xm = 408.9945 y sx = 31.9438 Los coeficientes de autocorrelación hasta k = 16 retardos explica la tendencia (Tabla 2) A partir del correlograma (fig. 2), el modelo hidrológico AR1 es modelo estacionaria. De la serie histórica, se obtiene la serie temporal de caudales anuales generados para 100 años, en el punto de aforo de la estación Shanao del río Mayo (Tabla 2). 5. En la figura 4, 5 y 6 se presenta la serie anual de caudales generados a partir de la serie histórica de caudales anuales (1983 – 2013) con distribución normal, log normal y gamma para los próximos 100 años. Del análisis de las distribuciones de caudales generados podemos observar que la distribución log normal, es la que más se ajusta a la serie histórica de caudales anuales estudiados. Es decir las series de caudales generados para 100 años con distribución log normal, muestra propiedades estadísticas similares, que mejor se ajusta a la serie histórica de caudales (Tabla 1).

Existen muchos modelos para la simulación de caudales, entre los que están los modelos estocásticos: AR(p), MA(q), ARMA(p,q) y ARIMA(p,i,q), como los más frecuentes (Cadavid, J. et al. 2013).

El objetivo general de este trabajo es desarrollar un modelo autorregresivo de primer orden aplicado a la predicción anual (100 años) de caudales del río Mayo, mediante el análisis de datos históricos, generación de series temporales de caudales con distribución normal, log normal y gamma; con el fin de lograr una predicción de caudal confiable.

Figura 3. Tendencia del Correlograma.

Figura 2. Límites de confianza del correlograma

Tabla 1. Serie Histórica de Caudales río Mayo – Estación Shanao Año Q (m3/s) Año Q (m3/s) Año Q (m3/s) Año

Q (m3/s)

1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990

432,611 426,980 428,782 431,446 434,878 444,077 462,400

369,99 373,59 407,75 412,99 401,35 423,51 438,33 451,87

Figura 4. Serie anual de caudales generados con distribución normal

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

448,23 456,08 444,82 425,99 413,25 397,12 397,12 366,03

1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006

384,77 372,87 362,69 357,52 377,96 370,43 374,94 401,93

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

Tabla 2. Coeficientes de autocorrelación k 1 2 3 4

r 1,0000 0,8824 0,6996 0,5306

k 5 6 7 8

r 0,3161 0,0014 -0,2532 -0,5032

k 9 10 11 12

r -0,7193 -0,8569 -0,9017 -0,8947

k 13 14 15 16

r -0,7973 -0,5580 -0,2697 -0,0859

Tabla 3. Caudales anuales generados para 100 años río Mayo – Estación Shanao Año Q (m3/s)

Figura 1. Localización del área de estudio y estaciones hidrológicas

Figura 5. Serie anual de caudales generados con distribución log normal

METODOLOGIA La serie histórica (31 años) para el análisis, corresponde a caudales mensuales medidos por SENAMHI (Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología) en la estación de Shanao del Rio Mayo (1983 – 2013). Se ha elegido el modelo autorregresivo de primer orden (AR1), conocido también como el modelo de Markov de primer orden (1). Xi+1 = μx + ρx,1 (Xi – μx) + ε1+1

(1)

Para el proceso autorregresivo (Markov) de primer orden, el coeficiente de correlación serial con desfase K está dado por: ρx,k, = ρkX,1 (2) La metodología para analizar si las series observadas son o no estacionarias, consiste en obtener, además de los gráficos de las series, los correlogramas simples o función de autocorrelación simple (FACS) y función de autocorrelación parcial (FACP). Los coeficientes de autocorrelación proporcionan información sobre la relación lineal entre los residuos del modelo separados por k unidades temporales. Es decir, indican el grado de correlación entre cada valor del residuo y los desplazados en k periodos. La verificación del modelo se realiza observando la función autorregresivo simple (FACS) de los residuos, que es significativamente nula para cualquier retardo. La esencia básica para el análisis estocástico es que el proceso sea estacionario, es decir, que las propiedades estadísticas del proceso no varían en el tiempo. Así, las propiedades de los registros históricos se pueden utilizar para derivar series sintéticas largas.

Los cálculos se realizaron mediante un código computacional en MATLAB.

Figura 6. Serie anual de caudales generados con distribución gamma

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

369,99 383,31 353,38 325,06 336,13 330,45 345,87 363,47 381,72 374,54 385,34 389,64 404,33 412,94 425,97 421,99 418,25 432,31 397,65 391,40 374,37 372,69 386,71 401,74 387,34

Año 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Q (m3/s) 382,81 387,95 386,04 393,27 401,13 388,08 387,88 358,32 381,49 375,27 361,14 362,96 346,90 353,89 351,94 391,39 410,57 372,85 383,74 365,69 366,95 374,37 389,68 387,85 414,03

Año 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75

Q (m3/s) 406,21 411,46 421,16 421,01 432,84 434,89 420,06 391,62 421,60 411,03 412,35 420,42 420,78 405,80 399,14 398,42 421,90 407,44 419,42 422,83 417,69 400,78 397,47 397,53 376,79

Año 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Q (m3/s) 383,47 374,11 376,80 385,64 374,79 374,48 383,80 359,17 380,60 420,38 433,46 425,84 430,30 412,22 440,07 450,55 457,50 438,63 439,95 427,92 421,01 411,03 395,37 383,32 383,18

CONCLUSION El desarrollo del modelo autorregresivos (AR1) para la generación de series anuales de caudales para 100 años, a partir de la serie histórica (1983-2013) en el punto de aforo de Shanao del río Mayo, con distribución normal, log normal y gamma, tienen propiedades estadísticas variables; por lo que, para la fase de simulación hidrológica, se requieren de un mejor ajuste mediante procesos de calibración y validación. Sin embargo, en referencia al punto de aforo Shanao, la generación de serie anual de caudales con distribución log normal, es el que representa mejor acercamiento al comportamiento de la serie histórica; por lo tanto, ofrece mayor confianza para la predicción anual y descripción del comportamiento del río Mayo, para 100 años. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Cadavid, J., Carvajal, L. 2013. Modelo autorregresivo bilineal aplicado a la predicción mensual de caudales en Colombia. Medellín, Colombia. Fiering, M., Jackson, B. 1971. Synthetic Streamflows. Colorado, EE.UU. García, F. P. 2010, Modelación hidrológica estocástica: Desarrollo de un modelo de generación sintética de series temporales. Santa Cruz, Bolivia. Marco, J. 1993. Hidrología estocástica y planteamiento hidráulico en conceptos y métodos para la planificación hidrológica. Barcelona, España. Marengo, J. A. 2006. On the hydrological cycle of the amazon basin: a historical review and current state of the arty. São Paulo, Brazil. Molinier, M., Guyot, J. L., De Olivera, E., Guimarães, V. 1995. Les régimes hydrologiques de I´Amazone et de ses affluents. Brasilia DF, BrésilYevjevich, V. 1972. Probability and statistics in hydrology. Fort Collins, Colorado, USA.