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M832 Mecanismos Agosto - Diciembre de 2008

3

Dr. Horacio Martínez Alfaro

Análisis de Posición

3.1

Notación compleja

La representación en el plano complejo facilita la manipulación vectorial para realizar los análisis de posición, velocidad, aceleración y análisis dinámico de fuerzas. Un punto A en el plano complejo queda representado por un vector de la forma

#$

!!

! rA = r e j φ

"

que mediante la igualdad de Euler:

#$"!"#$!! !

e j φ = cos φ + j sin φ

!"

"!%&"!!

(3)

(4)

podemos obtener la siguiente representación del vector:

rA = r cos φ + j r sin φ (5) Adicionalmente, las funciones para obtener la parte real (!) y la parte imaginaria ("), nos proporcionan una forma de transformar el vector representado en forma polar a forma cartesiana: !{ej φ } = cos φ

√ donde j ≡ −1.

3.2

"{ej φ } = sin φ

y

(6)

Mecanismo de cuatro eslabones con uniones revolutas

Para el siguiente mecanismo de cuatro barras y uniones revolutas: #

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(c) Vectores

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(b) Referencia

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(a)

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(d) Ángulos

Figure 4: Mecanismo de cuatro eslabones con uniones revolutas. se define un marco de referencia, siendo éste el plano complejo y con origen en el pivote fijo A0 : Ahora definimos vectores de posición (ri ) sobre los eslabones: Cada vector que define a los eslabones es de la forma: (7) ri = ri e j θi = ri cos θi + j ri sin θi y de acuerdo a las direcciones de los vectores, definimos los ángulos: que al hacer una suma vectorial, resulta en lo siguiente: r2 + r3 − r4 − r1 = 0

(8)

r e j θ2 + r e j θ3 − r e j θ4 − r e j θ1 = 0 ! 2 "# $ ! 3 "# $ ! 4 "# $ ! 1 "# $

(9)

y sustituyendo su forma polar: r2

r3

r4

r1

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y ahora cartesiana: ( r2 cos θ2 + j r2 sin θ2 ) + ( r3 cos θ3 + j r3 sin θ3 ) − ( r4 cos θ4 + j r4 sin θ4 ) − ! ! "# $ "# $ ! "# $ r2

r3

r4

( r1 cos θ1 + j r1 sin θ1 ) = 0 ! "# $ r1

y separando en su parte real:

y parte imaginaria

! : r2 cos θ2 + r3 cos θ3 − r4 cos θ4 − r1 cos θ1 = 0

(10)

" : (r2 sin θ2 + r3 sin θ3 − r4 sin θ4 − r1 sin θ1 = 0) j

(11)

θ3 (r1 , r2 , r3 , r4 ; θ2 ) = ? y θ4 (r1 , r2 , r3 , r4 ; θ2 ) = ?

(12)

Asumiendo θ1 = 0 y que la variable independiente θ2 se controlará con un motor u otro dispositivo que proporcione movimiento, tenemos que encontrar expresiones algebraicas para θ3 y θ4 que sólo dependan de las longitudes de los eslabones, r1 , r2 , r3 , r4 , y de θ2 :

y dado que tenemos dos ecuaciones, podemos tratar de obtener esas expresiones algebraicas. Trataremos de eliminar θ3 para encontrar θ4 con θ1 = 0. Despejamos de las ecuaciones r3 cos θ3 y r3 sin θ3 : r3 cos θ3 = −r2 cos θ2 + r4 cos θ4 + r1 r3 sin θ3 = −r2 sin θ2 + r4 sin θ4

(13)

elevamos al cuadro ambos lados de las ecuaciones y las sumamos: r32 (cos2 θ3 + sin2 θ3 ) = (−r2 cos θ2 + r4 cos θ4 + r1 )2 + (−r2 sin θ2 + r4 sin θ4 )2

(14)

la igualdad trigonométrica del lado izq. nos permite eliminar θ3 y ahora sólo tenemos θ4 para resolver: r32 = (−r2 cos θ2 + r4 cos θ4 + r1 )2 + (−r2 sin θ2 + r4 sin θ4 )2

(15)

y expandimos el lado derecho de la ecuación: r32 = r12 + r22 + r42 − 2 r1 r2 cos θ2 + 2 r1 r4 cos θ4 − 2 r2 r4 (sin θ2 sin θ4 + cos θ2 cos θ4 ) ! "# $

(16)

cos(θ2 −θ4 )

sustituimos la igualdad trigonométrica y dividiendo por (−2 r2 r4 ) para normalizarlo, tenemos: r1 r2 + r22 − r32 + r42 r1 cos θ4 − cos θ2 + 1 = cos(θ2 − θ4 ) r2 r4 2 r2 r4 Definimos: K1 = la ecuación se simplifica a:

r1 , r2

K2 =

r1 r4

y K3 =

r12 + r22 − r32 + r42 2 r2 r4

K1 cos θ4 − K2 cos θ2 + K3 = cos(θ2 − θ4 )

y si ahora sustituimos las identidades trigonométricas: % & θ4 2 tan 2 % & y sin θ4 = θ4 1 + tan2 2

(18) (19)

%

& θ4 2 % & cos θ4 = θ 4 1 + tan2 2 1 − tan2

(17)

(20)

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resultando en la siguiente forma simplificada % & % & θ4 θ4 a1 tan2 + a2 tan + a3 = 0 2 2 donde

a1 = cos θ2 − K1 − K2 cos θ2 + K3 a2 = −2 sin θ2 a3 = K1 − (K2 + 1) cos θ2 + K3

(21)

(22)

Si adicionalmente sustituimos X = tan(θ4 /2), obtenemos una ecuación cuadrática: a1 X 2 + a2 X + a3 = 0 cuya solución es: X1,2 = y para θ4 :

−a2 ±

' a2 2 − 4 a1 a3 2 a1

θ41,2 = 2 arctan (X1,2 )

(23)

(24) (25)

• La ecuación anterior tiene dos soluciones. • Estas soluciones pueden ser: reales iguales, reales distintas y complejas conjugadas. • Si las soluciones son complejas conjugadas, los eslabones con esas longitudes no se conectan (no forman una cadena cinemática cerrada) para el valor de θ2 seleccionado. Esto también es posible cuando es un mecanismo No Grashof cuando el ángulo de entrada está más allá de su posición límite. El mecanismo de la figura 5 muestra las dos soluciones para θ3 y θ4 . #

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Figure 5: Mecanismo en sus dos inversiones geométricas. La solución para θ3 es escencialmente similar que para θ4 . Regresando a las ecuaciones 13 pero ahora despejando θ4 , tenemos: r4 cos θ4 = r2 cos θ2 + r3 cos θ3 − r1 (26) r4 sin θ4 = r2 sin θ2 + r3 sin θ3 Elevando al cuadrado y sumando para eliminar θ4 , resulta la siguiente ecuación: K1 cos θ3 + K4 cos θ2 + K5 = cos θ2 cos θ3 + sin θ2 sin θ3

(27)

La constante K1 es la misma que resultó para θ4 , y: K4 =

r1 , r3

K5 =

r42 − r12 − r22 − r32 2 r2 r3

(28)

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Reduciéndose a la forma cuadrática: b1 tan2 con

%

θ3 2

&

+ b2 tan

%

θ3 2

&

+ b3 = 0

b1 = cos θ2 − K1 + K4 cos θ2 + K5 b2 = −2 sin θ2 b3 = K1 + (K4 − 1) cos θ2 + K5

cuya solución es:



θ31,2 = 2 arctan 

−b2 ±

(29)

(30)

*  b22 − 4 b1 b3  2 b1

(31)

Si deseamos calcular la posición de un punto P sobre el eslabón acoplante, una vez que tenemos los ángulos θ3 y θ4 , lo podemos hacer de la siguiente forma, dado que el marco de referencia se encuentra localizado en A0 :

donde r5 = r5 ejδ3 , tal que:

rP = r2 + r5 ejθ3

(32)

rP = r2 + r5 ej(δ3 +θ3 )

(33)

Ejemplo 2. Determinar los ángulos de los eslabones 3 y 4 para el mecanismo cuyas longitudes de eslabones son: r1 = 6, r2 = 2, r3 = 7, r4 = 9 y ángulo del eslabón de entrada θ2 = 32◦ . Calculamos las constantes Ki y las constantes de la ecuación cuadrática para θ4 : K1 = rr12 = 26 = 3 K2 = rr14 = 96 = 23 K3 =

r22

−

+ r42 2r2 r4

r32

a1 = −K1 + (1 − K2 ) cos θ2 + K3 = −0.71732 +

a2 = −2 sin θ2 = −1.05984

r12

a3 = K1 − (K2 + 1) cos θ2 + K3 = 3.58659

2 2 2 2 = 2 −7 +9 +6 =2 2(2)(9) r 1 K4 = r3 = 76

K5 =

r42 − r22 − r32 − r12 = − 72 2r2 r3

Resolvemos la cuadrática para X = tan (θ4 /2): * −a2 ± a22 − 4a1 a3 = −3.09369, X1,2 = 2a1 y despejamos θ4 :

θ41,2 = 2 tan−1 X = −144.174◦ ,

1.61619

116.507◦

Ahora calculamos las constantes de la cuadrática para θ3 : b1 = −K1 + (1 + K4 ) cos θ2 + K5 = −1.71077 b2 = a2 = −1.05984 b3 = K1 + (−1 + K4 ) cos θ2 + K5 = 2.59313 11

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y resolvemos la cuadrática para Y = tan (θ3 /2): * −b2 ± b22 − 4b1 b3 = −1.57928, Y1,2 = 2b1 y despejamos θ3 :

θ31,2 = 2 tan−1 Y = −115.316◦ ,

0.95978,

87.649◦

Realizamos lo anterior en Maple: Definimos una lista con las longitudes de los eslabones y el ángulo θ2 en radianes. Adicionalmente, dado que utilizaremos varias veces cos(θ2 ), lo guardamos. > r:=[6, 2, 7, 9]; > T2:=evalf(32*Pi/180); > cT2:=cos(T2):

r := [6, 2, 7, 9] T2 := 0.55851

Calculamos las constantes Ki para θ4 y θ3 : > K:=[r[1]/r[2], > r[1]/r[4], > (r[2]^2 - r[3]^2 + r[4]^2 + r[1]^2)/(2*r[2]*r[4]), > r[1]/r[3], > (r[4]^2 - r[2]^2 - r[3]^2 - r[1]^2)/(2*r[2]*r[3])];

K := [3,

6 2 2 , 2, , − ] 3 7 7

y las constantes de la ecuación cuadrática para θ4 : > a:=[cT2 - K[1] - K[2]*cT2 + K[3], > -2*sin(T2), > K[1] - (K[2]+1)*cT2 + K[3]];

a := [−0.71732, −1.05984, 3.58659]

para aplicar la fórmula general y el arctan para encontrar θ4 : > X:=[(-a[2] + sqrt(a[2]^2 - 4*a[1]*a[3]))/(2*a[1]), > (-a[2] - sqrt(a[2]^2 - 4*a[1]*a[3]))/(2*a[1])]; > T4:=[2*arctan(X[1]), 2*arctan(X[2])]; > evalf([T4[1]*180/Pi, T4[2]*180/Pi]);

X := [−3.09369, 1.61619] T4 := [−2.51632, 2.03342] [−144.17437, 116.50663]

Nuevamente las constantes de la ec. cuadrática ahora para θ3 : > b:=[cT2 - K[1] + K[4]*cT2 + K[5], > a[2], > K[1] + (K[4] - 1)*cT2 + K[5]];

b := [−1.71077, −1.05984, 2.59313]

aplicamos fórmula general y mostramos los ángulos en grados > Y:=[(-b[2] + sqrt(b[2]^2 - 4*b[1]*b[3]))/(2*b[1]), > (-b[2] - sqrt(b[2]^2 - 4*b[1]*b[3]))/(2*b[1])]; > T3:=[2*arctan(Y[1]), 2*arctan(Y[2])]; > evalf([T3[1]*180/Pi, T3[2]*180/Pi]);

Y := [−1.57928, 0.95978] T3 := [−2.01265, 1.52976] [−115.31639, 87.64864]

Calculamos la localización de los pivotes y y los guardamos en una lista > > > > >

A0 A B1 B0 p1

A0:=0; A :=A0 + r[2]*exp(I*T2); B1:=A + r[3]*exp(I*T3[1]); B0:=B1 - r[4]*exp(I*T4[1]); p1:=map(x->[Re(x), Im(x)], [A0,A,B1,B0]);

:= := := := :=

0 1.69610 + 1.05984 I −1.29722 − 5.26788 I 6.00000 − 0.4E−8 I [[0, 0], [1.69610, 1.05984], [−1.29722, −5.26788], [6.00000, −0.4E−8]]

y graficamos el mecanismos de cuatro eslabones en su primera posición 12

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> > > > > > >

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g1:=plot(p1, color=blue, thickness=2): gFij:=plot([p1[1],p1[4]], style=POINT, symbol=BOX,symbolsize=15,color=blue): gMov:=plot([p1[2],p1[3]], style=POINT, symbol=CIRCLE,symbolsize=15,color=blue): G1:=plots[display]([g1,gFij,gMov]): G1;

Con la segunda raíz, nuevamente calculamos la posición de todos los pivotes y dibujamos el mecanismo B2 := 1.98329 + 8.05394 I p2 := [[0, 0], [1.69610, 1.05984], [−1.29722, −5.26788], [6.0, −0.4E−8]]

> B2:=A + r[3]*exp(I*T3[2]); > p2:=map(x->[Re(x), Im(x)], [A0,A,B2,B0]);

> > > > > > >

g2:=plot(p2, color=red, thickness=2): gFij:=plot([p2[1],p2[4]], style=POINT, symbol=BOX, symbolsize=15,color=red): gMov:=plot([p2[2],p2[3]], style=POINT, symbol=CIRCLE, symbolsize=15,color=red): G2:=plots[display]([g2,gFij,gMov]): G2;

Graficamos ambas soluciones para verificar que los pivotes fijos coinciden, así como el pivote móvil A: #

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Si ahora definimos que r5 = 4ej δ3 con δ3 = 50◦ = .87266 rad medidos desde el eslabón acoplante, podemos determinar la posición del punto P : > r:=[op(r), 4]; r := [6, 2, 7, 9, 4, 4] > delta[3]:=rad(50); δ3 := 0.87266 y los puntos: P1 := 3.36652 − 2.57467 I P2 := −1.26001 + 3.75454 I

> P1:=A + r[5]*exp(I*(delta[3] + T3[1])); > P2:=A + r[5]*exp(I*(delta[3] + T3[2]));

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3.3

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Giratorio-Deslizante

El análisis de posición de un mecanismo Giratorio-Deslizante es muy similar al de un mecanismo con cuatro uniones revolutas. !" "

#

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Es decir, se podría hacer con los vectores r2 , r3 y rs pero éste último variaría en magnitud y ángulo. Por el contrario, sería mucho más fácil utilizar los vectores r1 a r4 con r1 paralelo al eje al eje de deslizamiento y r4 perpendicular. La ecuación de lazo sería: (34) r2 − r3 − r4 − r1 = 0 y sustituyendo su representación compleja:

r2 e j θ2 − r3 e j θ3 − r4 e j θ4 − r1 e j θ1 = 0

(35)

y con la igualdad de Euler, tenemos: (r2 cos θ2 + j r2 sin θ2 ) − (r3 cos θ3 + j r3 sin θ3 ) − (r4 cos θ4 + j r4 sin θ4 ) − ! "# $ ! "# $ ! "# $ r2 e j θ 2

r3 e j θ 3

r4 e j θ 4

(r1 cos θ1 + j r1 sin θ1 ) = 0 ! "# $

(36)

r 1 e j θ1

Asumiendo θ1 = 0◦ y separando en parte real:

y parte imaginaria:

r2 cos θ2 − r3 cos θ3 − r4 cos θ4 − r1 = 0

(37)

r2 sin θ2 − r3 sin θ3 − r4 sin θ4 = 0

(38)

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Con lo anterior, tenemos dos ecuaciones en dos incógnitas, r1 y θ3 , dado que la altura r4 y ángulo θ4 son conocidos. Resolvemos para θ3 de la segunda ecuación: . θ31 = arcsin r2 sinrθ32 − r4 (39) r1 = r2 cos θ2 − r3 cos θ3 y para el segundo circuito, tenemos: θ32

3.4

%

r2 sin θ2 − r4 = arcsin − r3

&

+π

(40)

Giratorio-Deslizante Invertido

Para este mecanismos, la longitud del eslabón 3, r3 , cambia con respecto al tiempo, así como también el ángulo del eslabón 4, θ4 . El ángulo γ define el ángulo fijo que define el ángulo de la agujero pasante del bloque con respecto al eslabón 4.

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De tal forma que:

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θ 3 = θ4 ± γ

(41)

r2 cos θ2 − r3 cos θ3 − r4 cos θ4 − r1 = 0 r2 sin θ2 − r3 sin θ3 − r4 sin θ4 = 0

(42)

en donde el signo “ + ” se utiliza para la configuración abierta y el signo “ − ” para la configuración cerrada. Reutilizando las ecuaciones 37 y 38, tenemos:

que se pueden resolver para r3 y θ4 : r2 sin θ2 − r4 sin θ4 = r 3 sin θ3 r2 cos θ2 − r2 sin θ2 − r4 sin θ4 cos θ3 − r4 cos θ4 − r1 = 0 sin θ3

(43)

y sustituyendo la relación con γ y algunas manipulaciones algebraicas, tenemos:

con

P sin θ4 + Q cos θ4 + R = 0

(44)

P = r2 sin θ2 sin γ + (r2 cos θ2 − r1 ) cos γ Q = −r2 sin θ2 cos γ + (r2 cos θ2 − r1 ) sin γ R = −r4 sin γ

(45)

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y sustituyendo la igualdad para tangente de la mitad de un ángulo, tenemos: % & % & θ4 θ4 2 2 tan 1 − tan 2 2 % & +Q % & +R=0 P θ4 θ4 2 2 1 + tan 1 + tan 2 2

(46)

y simplificando, se reduce a: (R − Q) tan2 Haciendo: entonces

%

&

S = R − Q; S tan

2

cuyas soluciones son:

θ4 2

%

θ4 2

+ 2P tan

%

θ4 2

&

T = 2P ; &

+ T tan

θ41,2 = 2 arctan

/

%

−T ±

θ4 2

'

&

+ (Q + R) = 0

(47)

U =Q+R

(48)

+U =0

(49)

T 2 − 4SU 2S

0

(50)

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