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Tecnológico Nacional de México / Instituto Tecnológico de Tepic Academia de Ingeniería Eléctrica y Electrónica Carrera: Ingeniería Mecatrónica Materia: Dinámica de sistemas Portafolio Unidad 3 Función De Transferencia Ing. Luis Alberto Castañeda Montaño Mónica Oralia Flores 16400702

Tabla de contenido introducción ......................................................................................................................... 3 señal de entrada impulso.................................................................................................... 4 características que tiene la señal de entrada impulso ....................................................... 6 métodos para la modelación .............................................................................................. 8 polo y cero......................................................................................................................... 10 simulación en tiempo de señal impulso............................................................................ 12 funciones de transferencia de sistemas continuos y discretos¡Error! definido.

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no

funciones de transferencia y ecuación de Mason ............................................................ 14 conclusiones ..................................................................................................................... 32 bibliografía......................................................................................................................... 33

introducción En esta unidad se analizarán los diagramas de flujo de señal los que se tocaron por primera vez en la unidad pasada, en esta unidad se hace el análisis también de la ecuación de Mason la cual consiste en el análisis de el diagrama de flujo de señal por medio de 7 pasos, este análisis grafico facilita la interpretación de los sistemas, arrojando la ecuación de transferencia. En esta unidad se hace también el estudio de la señal de impulso, estableciendo analogías reales, haciendo la simulación de estas señales.

Señal de entrada impulso Algunos sistemas mecánicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a una tensión eléctrica en el caso de los circuitos eléctricos) de gran magnitud, que solamente actúa durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga eléctrica podría caer sobre el ala vibrante de un avión; a un cuerpo sujeto a un resorte podría dársele un fuerte golpe con un martillo, una pelota (de beisbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podría ser enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como un bate de beisbol, un bastón de golf o una raqueta de tenis. La función impulso unitario puede servir como un modelo para tal fuerza

Observación: para valores pequeños de , se tiene que

es una función constante

de gran magnitud que esta activa por un tiempo muy corto alrededor de

.

El impulso es el producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está aplicada. Es una magnitud vectorial. El módulo del impulso se representa como el área bajo la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto, si la fuerza es constante el impulso se calcula multiplicando la F por Δt, mientras que si no lo es se calcula integrando la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulso. El impulso se mide en kg·m/s, una unidad equivalente a N·s.

La señal impulso es muy importante, a pesar de solo ser una señal teórica, esta señal simplemente representa una cantidad de energía finita en un instante de tiempo infinitesimal. El impulso unitario se representa por y posee energía “uno”, está dado por:

se puede graficar de la siguiente manera:

Esta señal tiene una gran importancia, ya que por propiedad de la convolución:

Ejemplo; hallemos de manera gráfica la convolución del impulso unitario con

, tenemos la siguiente gráfica:

Observando la ecuación de la convolución se debe realizar la integral desde 0 hasta , la función sería como agarrar invertirla con respecto al eje Y, e ir trasladándola de izquierda a derecha mientras se multiplica por el "1" que existe en .

Características que tiene la señal de entrada impulso

esta definición para la señal impulso no concuerda con la forma usual de definir una función. Debido a esto es muy conveniente, muchas veces, considerarla como el límite de una función convencional cuando un parámetro 'ß' se aproxima a cero.

Estas tres señales permiten modelar la Señal Impulso para la realización de muchas operaciones matemáticas, mediante la relación siguientes propiedades:

, debido a que tienen las

1. El valor para t = 0 es muy grande y tiende a infinito a medida que 'ß' se aproxima a cero. 2. Su duración es relativamente muy corta y tiende a cero a medida que 'ß' se aproxima a cero. 3. El área total de cada función es constante e igual a uno. 4. Todas las funciones poseen simetría par.

Existen tres propiedades muy importantes que se usan frecuentemente cuando se opera con la Señal Impulso:

Propiedad de Muestreo:

Propiedad de Desplazamiento: Propiedad de Escalamiento:

Métodos para la modelación Para analizar el comportamiento transitorio y permanente de la respuesta de los sistemas, MATLAB permite realizar directamente simulaciones ante dos tipos de entradas: el impulso y el escalón unitario. Los comandos disponibles para tal fin son: impulse y step. Las gráficas generadas muestran la respuesta del sistema y son interactivas con el ratón, pudiéndose leer el valor de la señal en cualquier punto de la misma. Así mismo es posible determinar automáticamente los valores de las características estáticas y dinámicas más usuales (tiempo de pico, sobre oscilación, valor final, etc.). El dato que se le pasa al comando debe ser una función de transferencia definida como objeto tf o zpk; puede ir acompañada de otros argumentos, como por ejemplo el tiempo deseado de la simulación. Todas las opciones soportadas por estos comandos se pueden consultar con la orden help. A la hora de generar las respuestas de los sistemas, existen dos posibilidades que son la ejecución del comando con variables de salida a la izquierda del mismo, o sin variables de salida. En el primer caso, MATLAB crea las variables indicadas por el usuario con los valores del resultado de la simulación, es decir el tiempo y la amplitud de la señal de salida; estas variables serán del tipo vectorial. En el segundo caso, sin variables de salida, MATLAB crea directamente una gráfica donde representa la respuesta temporal. En ambos casos el tiempo de simulación se ajusta automáticamente, dependiendo de los polos y ceros del sistema, salvo en los casos en que el usuario especifique un tiempo dentro del comando.

Se pueden obtener simulaciones de varios sistemas sobre una misma gráfica, incorporando al comando las funciones de transferencia separadas por comas. Así mismo se puede especificar un tiempo para la simulación, indicándolo con un valor numérico dentro del comando a la derecha de las simulaciones de transferencia.

Respuesta ante cualquier tipo de entrada la respuesta de un sistema continuo ante cualquier tipo de señal de entrada definida por el usuario se obtiene mediante el comando lsim. Los parámetros que se le pasan son la función de transferencia del sistema, seguido de los vectores amplitud y tiempo que forman la señal de entrada. Si se ejecuta el comando sin variables de salida a la izquierda, se generará automáticamente una gráfica con la respuesta correspondiente; si se definen dos variables, MATLAB guardará en ellas el resultado numérico con los valores de la amplitud y el tiempo de la respuesta del sistema. las respuestas de los sistemas ante señales de entrada periódicas se obtienen también con el comando lsim; para ello, previamente se deben obtener los vectores de amplitud y tiempo que forman la señal de entrada periódica, por ejemplo, con el comando gensig para la generación de una onda senoidal, cuadrada o un tren de impulsos. Respuesta de sistemas discretos La representación que realiza MATLAB de las respuestas de los sistemas ante entrada escalón, impulso u otras, dependerá del tipo de función de transferencia, ya sea ésta continua G(s) o discreta G(z). Así pues, las simulaciones de sistemas discretos se realizan con los mismos comandos vistos hasta el momento, con la única diferencia en el aspecto de la respuesta obtenida; en este caso, la señal presenta discontinuidades en los intervalos correspondientes al tiempo de muestreo T. Respuesta a la secuencia impulso Cuando la entrada es una secuencia impulso {1,0,0...0}, la respuesta de un sistema discreto se obtiene mediante el comando impz. Este comando está incluido dentro de la Signal Processing Toolbox, que incorpora funciones más orientadas a la teoría de la señal y al diseño de filtros. La función de transferencia del sistema discreto en este caso, se debe pasar al comando a través de los coeficientes del numerador y del denominador, en potencias crecientes de z^ (-1) o bien en potencias decrecientes de z. El resultado mostrará directamente los valores de la secuencia de salida del sistema

Polo y Cero Ecuación diferencial y función de transferencia El modelo básico de un sistema describe matemáticamente la influencia de una señal de entrada u(t) sobre otra señal de salida y(t). Supóngase que ambas están relacionadas mediante una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, de orden n. La salida puede expresarse (en transformadas) como la entrada multiplicada por la función de transferencia F(s) del sistema, expresada como cociente de polinomios:

 Los sistemas de orden no mínimo tienen raíces comunes a B(s) yA(s); la función de transferencia debe escribirse de forma simplificada, y es de orden inferior a n.  Las funciones de transferencia propias tienen numerador de orden menor o igual al del denominador; esto siempre sucede en sistemas físicos, y se supondrá implícitamente.  Las raíces del denominador y del numerador se denominan, respectivamente, polos y ceros de F(s). polos de Y(s) definen las funciones temporales presentes en y(t); los residuos son importantes solamente como cuantificadores, determinando amplitudes y fases. A cada polo corresponde entonces un término de la respuesta con las características cualitativas

Polos con parte real negativa dan lugar a términos decrecientes en el tiempo, que tienden a desaparecer. Esto se ultimó se verifica también en los polos múltiples: aunque aparece un producto por potencias del tiempo, siempre la exponencial es más fuerte. •Polos con parte real positiva dan lugar a términos crecientes en el tiempo. •Polos simples con parte real nula dan lugar a términos que ni crecen en el tiempo ni desaparecen (constante si el polo es nulo, oscilación si son polos imaginarios). • Polos múltiples con parte real nula: el producto por potencia del tiempo da lugar a un término creciente. Cuanto más negativa sea la parte real, más rápidamente decrece la exponencial. •Cuanto más grande sea la parte imaginaria, mayor es la frecuencia de las oscilaciones. •Si los polos son complejos con parte real negativa, un cociente pequeño a/b de los valores absolutos de la parte real y la imaginaria indica que serán aparentes varias oscilaciones antes de que la exponencial las anule. Se habla entonces de polos poco amortiguados.

Obténgase el cociente y el amortiguamiento en los distintos casos de la Figura Un criterio de estabilidad Un sistema es estable BIBO si, y sólo si, todos los polos de F(s) tienen la parte real estrictamente negativa (están en el semiplano izquierdo). En efecto, cualquier entrada acotada da lugar a polos de U(s) con parte real negativa, a polos simples con parte real nula. Si F(s) tiene polos con parte real negativa, todos los términos de la respuesta estarán acotado (Un sistema es estable BIBO si, para cualquier entrada acotada (Bounded Input), la salida está acotada (Bounded Output).) Los ceros de la función de transferencia equivalen a las soluciones de Q(s) = 0 “La función de transferencia evaluada en sus ceros sería igual a cero” “Evaluada en los polos la función tiende al infinito”

Simulación en tiempo de señal impulso

Ecuación característica Ecuación obtenida igualando a cero el denominador de la función de transferencia de un sistema, o el polinomio característico de una transformación lineal dada sobre un espacio vectorial de dimensión finita, o de su transformación matricial. De utilidad para la deformación de imágenes

Funciones de transferencia y ecuación de Mason

Conclusiones al hacer este portafolio fue posible el análisis a fondo de la resolución de las ecuaciones de transferencia por medio de las ecuaciones de masón y diagramas a bloques. Por medio de 7 pasos de análisis gráfico. En la teoría se estudio la señal impulso la cual es una señal muy importante dentro del análisis dinámico de sistemas, dicha señal solo se mantiene un momento y luego es retirada, también se analizó como es posible simular la señal dentro de Matlab. en esta ocasión también fue posible identificar las características e importancia de los polos y ceros dentro de las ecuaciones características los cuales tienen que ver con la estabilidad del sistema dependiendo de los resultados de su análisis en el plano complejo.

Bibliografía Función impulso unitario. (2019). from https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursoslinea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5-geo/laplace/node9.html Impulso y cantidad de movimiento - FisicaPractica.Com. (2019)., from https://www.fisicapractica.com/impulso-cantidad-movimiento.php Impulso. (2019)., from http://prof.usb.ve/mirodriguez/control/Sistemas_y_transformada_de_laplace/impuls o.html Señal Impulso. (2019)., from http://www.unet.edu.ve/aula10c/Asenales/Unid01/terce08.htm Respuesta de sistemas continuos y discretos en MATLAB. (2019)., from http://utemecatronica.blogspot.com/2014/02/respuesta-de-sistemas-continuos-y.html