• Categories
• Área
• Matriz (Matemáticas)
• Número complejo
• Cuadrados mínimos
• Desembocar (Hidrología)

Citation preview

PORTADA

I

II

CONTRA PORTADA

TRABAJO DE MÉTODOS NUMÉRICOS MODELACIÓN HIDRODINÁMICA DE TRES TANQUES INTERCONECTADOS Estudiantes: Mateo Bravo Wilder Campo Andrea Caraballo Javid Quintero

Profesor: Ingeniero Edgar Quiñonez

Universidad de Cartagena Facultad de ingeniería Programa de ingeniería civil

Cartagena D. T. y C. 2019

III

Tabla de contenido

IV

1.

OBJETIVOS ........................................................................................................... 1

2.

MARCO TEORICO .............................................................................................................................. 2 2.1

2.2

3.

MODELO EMPIRICO .........................................................................................................................2 2.1.1

Graficas de dispersión ....................................................................................................................... 2

2.1.2

Solido en revolución .......................................................................................................................... 3

2.1.3

Ecuación potencial ............................................................................................................................ 4

2.1.4

Ecuación polinómica ......................................................................................................................... 4

2.1.5

Mínimos cuadrados ........................................................................................................................... 4

2.1.6

Método matricial (inversa con matriz aumentada) ........................................................................... 5

MODELO MECANISTICO ..................................................................................................................5 2.2.1

Ecuación de Bernoulli ........................................................................................................................ 5

2.2.2

Velocidad .......................................................................................................................................... 6

2.2.3

Área del tanque ................................................................................................................................. 6

2.2.4

Ecuación de continuidad ................................................................................................................... 7

2.2.5

Caudal ............................................................................................................................................... 8

METODOS Y EQUIPOS ....................................................................................................................... 8 Metodología para la toma de datos. .............................................................................................................. 9 Casos ilustrados en las siguientes figuras: ................................................................................................... 11 Metodología para la realización de cálculos. ............................................................................................... 12 Metodología método empírico. ................................................................................................................... 12 Metodología método mecanístico. .............................................................................................................. 13

4.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN ............................................................................................................. 13

5.

CONCLUCIONES............................................................................................................................... 14

6.

REFENCIAS BIBLIOGRAFICAS ........................................................................................................... 15

7.

ANEXOS .......................................................................................................................................... 16

V

INDICIE DE ILUSTRACIONES ILUSTRACIÓN #1: GRAFICA DE DISPERSIÓN ..............................................................................................................................3 FUENTE: SHMOOP...............................................................................................................................................................3 ILUSTRACIÓN #2: SOLIDO EN REVOLUCIÓN ..............................................................................................................................3 FUENTE: TEC DIGITAL ..........................................................................................................................................................3 ILUSTRACIÓN #3: ECUACIÓN POLINÓMICA ..............................................................................................................................4 FUENTE: TEC DIGITAL ..........................................................................................................................................................4 ILUSTRACIÓN #4: ECUACIÓN DE BERNOULLI ............................................................................................................................6 FUENTE: VEN TE CHOW........................................................................................................................................................6 ILUSTRACIÓN #5: REPRESENTACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD ....................................................................................7 FUENTE: VEN TE CHOW........................................................................................................................................................7 ILUSTRACIÓN #6: ECUACIÓN DE CAUDAL.................................................................................................................................8 FUENTE: VEN TE CHOW........................................................................................................................................................8 ILUSTRACIÓN #7: MEDIDAS GEOMÉTRICAS DE LOS TANQUES.......................................................................................................9 FUENTE: AUROTES ..............................................................................................................................................................9 ILUSTRACIÓN #8: VÁLVULAS DE GLOBO EN EL SISTEMA DE TANQUES INTERCONECTADOS ..................................................................9 FUENTE: AUROTES ..............................................................................................................................................................9 ILUSTRACIÓN #8: SISTEMA DE TANQUES INTERCONECTADOS. ....................................................................................................10 FUENTE: AUROTES ............................................................................................................................................................10 ILUSTRACIÓN #9: CASO 1. .................................................................................................................................................11 FUENTE: AUROTES ............................................................................................................................................................11 ILUSTRACIÓN #10: CASO 2. ...............................................................................................................................................11 FUENTE: AUROTES ............................................................................................................................................................11 ILUSTRACIÓN #11: CASO 3. ...............................................................................................................................................11 FUENTE: AUROTES ............................................................................................................................................................11

VI

INDICE DE TABLAS

RESUMEN

VII

En el presente informe se evidencian los procedimientos realizados a partir de la correcta selección de los datos experimentales obtenidos en base a la estructuración de un sistema compuesto por tres tanques de igual dimensión e interconectados por medio de válvulas. Para llevar a cabo el estudio de la hidrodinámica en el sistema de tanques, los niveles de agua fueron considerados como variables dependientes del tiempo implementado para la toma de datos. Posteriormente, a partir de la toma de datos se procedió a desarrollar la modelación del sistema con la finalidad de predecir los tiempos en los que estos tanques llegan al equilibrio, por una parte se implementó el modelo empírico, el cual propone una expresión matemática que se pueda ajustar a los datos experimentales y por otro lado el modelo mecanístico, el cual viene derivado de leyes aceptadas universalmente, y asume que un sistema natural complejo puede comprenderse examinando el funcionamiento de sus partes y la manera en que se juntan. Para llevar a cabo la calibración, verificación y validación correspondiente al movimiento del flujo en el sistema mediante el método empírico, fueron desarrollados tres casos de estudio implementando el método de los mínimos cuadrados, para cada caso el volumen de un tanque en específico fue considerado como variable dependiente, dando lugar a tres escenarios por caso. Luego se procedió a la aplicación de los mínimos cuadrados para el desarrollo de un sistema matricial, del cual fueron obtenidos los valores de las constantes a, b, c y d, que acompañan la ecuación representativa del volumen de los tanques, dicho volumen fue graficado y comparado con los datos obtenidos experimentalmente (ajuste de curvas). Este mismo proceso fue aplicado en los tres casos de estudio, de los cuales se obtuvo un margen de error entre 0% y 2% para el caso 1, 0% y 4% para el caso 2 y, 0% y 3% para el caso 3.

VIII

En cuanto al método mecanístico, para cada caso inicialmente se aplica la ecuación de Bernoulli en los tanques (1 y 2), luego se utiliza la ecuación de continuidad con la finalidad de determinar el caudal de entrada y salida, y se aplica el método de Euler para obtener la ecuación del primer escenario dependiente de los dos tanques que se han tenido en cuenta, por tanto, se realiza el proceso nuevamente para los tanques (2 y 3) y se reemplazan las velocidades de estos en las ecuaciones anteriores, posteriormente se aplica el método de Euler y se realiza continuidad en el tanque (3), de esta manera se conoce tanto el caudal, como la velocidad con la cual entra y sale el agua por cada tanque en el sistema. Palabras clave: modelo mecanístico, modelo empírico, hidrodinámica, caudal, velocidad. ABSTRACT In this report the procedures performed from the correct selection of experimental data obtained based on the structuring of a system composed of three tanks of equal dimension and interconnected by means of valves are evidenced. To carry out the study of the hydrodynamics in the tank system, the water levels was considered as dependent variable, and the time implemented for the data collection was considered as an independent variable. Subsequently, from the data collection proceeded to develop the modeling of the system in order to predict the times in which these tanks reach equilibrium, on the one hand the empirical model was implemented, which proposes a mathematical expression that can adjust to the experimental data and on the other hand the mechanistic model, which is derived from universally accepted laws, and assumes that a complex natural system can be understood by examining the functioning of its parts and how they are joined.

IX

To carry out the calibration, verification and validation corresponding to the movement of the flow in the system by means of the empirical method, three case studies were developed by implementing the method of least squares, for each case the volume of a specific tank was considered as dependent variable, giving rise to three scenarios per case. Then we proceeded to the application of least squares for the development of a matrix system, which were obtained the constants a, b, c and d, which accompany the representative equation of volume of the tanks, this volumen was plotted and compared with the data obtained experimentally (curve adjustment). This same process was applied in the three case studies, from which the margin of error between 0% and 2% for case 1, 0% and 4% for case 2 and, 0% and 3% for case 3. As for the mechanistic method, for each case the Bernoulli equation is initially applied to the tanks (1 and 2), then the continuity equation is used in order to determine the inflow and outflow, and the method of Euler to obtain the equation of the first scenario dependent on the two tanks that have been taken into account, therefore, the process is performed again for the tanks (2 and 3) and the speeds of these are replaced in the previous equations, subsequently applies the Euler method and continuity is carried out in the tank (3), in this way both the flow rate and the speed with which the water enters and leaves for each tank in the system is known. Keywords: Mechanistic model, empirical model, hydrodynamics, flow, speed.

X

INTRODUCCION En el campo de la ciencia y la ingeniería, un modelo matemático se define como todo lo que se emplea para describir la estructura o el comportamiento de una contraparte en la vida real, empleando algún tipo de formulismo matemático para expresar proposiciones sustantivas de hechos, parámetros, y relaciones entre variables u operaciones. En un buen modelo, la realidad se simplifica lo suficiente para permitir los cálculos matemáticos, pero incluso así debe ser bastante exacto para permitir conclusiones valiosas respecto a la comprensión del fenómeno estudiado y a la predicción de su comportamiento en el futuro. En consecuencia, si el modelo se ajusta a los datos observados, entonces dos de sus finalidades, quizás las más importantes, son comprender el fenómeno y la predicción de su comportamiento (Giordano et al., 1997a). Las áreas de aplicación de la simulación en la ingeniería son muy amplias y diversas, entre las cuales se encuentran: Análisis del impacto ambiental causado por diversas fuentes, análisis y diseño de sistemas de comunicaciones, análisis de grandes equipos de cómputo, análisis financiero de sistemas económicos, y la evaluación de sistemas tácticos o de defensa militar. Por lo cual la implementación del modelado y la simulación ha cobrado gran importancia como una herramienta indispensable para resolver problemas planteados desde la ingeniería, o para el mejoramiento de un diseño ya existente. Por consiguiente, como estudiantes de ingeniería civil es indispensable desarrollar la capacidad de predecir el comportamiento de un fenómeno a partir de la sistematización y aplicación de modelos matemáticos. Específicamente en la siguiente práctica se busca la determinación de un modelo que permita simular la hidrodinámica y predecir los tiempos en que se equilibra un sistema de tres tanques interconectados, a partir de la calibración, verificación y validación de los modelos mecanístico y empírico.

XI

XII

TITULO

1

1. OBJETIVOS 1.1.

OBJETIVO GENERAL Simular matemáticamente la hidrodinámica en un sistema compuesto por tres tanques

interconectados, mediante la aplicación del modelo empírico y mecanístico para cada escenario obtenido experimentalmente. 1.2.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

➢ Conceptualizar los conocimientos referentes a Hidráulica y Mecánica de Fluidos, de manera que sea posible la determinación de los parámetros, las constantes, y variables necesarias para llevar a cabo la simulación del sistema de tanques. ➢ Desarrollar un modelo matemático que se ajuste a la variación con relación al tiempo y volumen, de un sistema de tres tanques interconectados hasta llegar a su equilibrio, teniendo en cuenta el cambio de niveles de referencia iniciales presentes para cada caso. ➢ Determinar los coeficientes de pérdida para cada uno de los sistemas presentados.

TITULO

2

2. MARCO TEORICO 2.1

MODELO EMPIRICO

2.1.1

Graficas de dispersión Los diagramas de dispersión usan una colección de puntos colocados usando coordenadas

cartesianas para mostrar valores de dos variables. Al mostrar una variable en cada eje, se puede detectar si existe una relación o correlación entre las dos variables. Se pueden interpretar varios tipos de correlación a través de los patrones mostrados en los diagramas de dispersión. Estos son: positivo (los valores aumentan juntos), negativo (un valor disminuye a medida que el otro aumenta), nulo (sin correlación), lineal, exponencial y en forma de U. La fuerza de la correlación puede determinarse por la proximidad de los puntos entre sí en el gráfico. Los puntos que terminan muy lejos del conjunto general de puntos se conocen como valores atípicos. Las líneas o curvas se ajustan dentro del gráfico para ayudar en el análisis y se dibujan tan cerca de todos los puntos como sea posible para mostrar cómo se condensaron todos los puntos en una sola línea. Esto se conoce normalmente como «línea de mejor ajuste» un «línea de tendencias» y se puede utilizar para hacer estimaciones mediante interpolación. Los diagramas de dispersión son ideales cuando se tienen datos numéricos emparejados y se desea ver si una variable afecta a la otra. Sin embargo, recuerde que la correlación no es causal y otra variable inadvertida puede estar influyendo en los resultados.

TITULO

3

Ilustración #1: Grafica de dispersión Fuente: shmoop

2.1.2

Solido en revolución Un sólido de revolución es un cuerpo que puede obtenerse mediante una operación geométrica

de rotación de una superficie plana alrededor de una recta que es contenida en su mismo plano. En principio, cualquier cuerpo con simetría axial o cilíndricaes un sólido de revolución. Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una región del plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no cruzarse. Dicha recta se denomina eje de revolución. Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a, b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, ésta genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

Ilustración #2: Solido en revolución Fuente: Tec digital

TITULO

2.1.3

Ecuación potencial

4

Se llama función potencial a cualquier función de la forma f(x) = xa , siendo a un número real fijo. El dominio, gráfica y características de una función potencial depende del número a que figura en el exponente. 2.1.4

Ecuación polinómica Son todos los polinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo,

esto es, tiene exactamente n complejos z que cumple la igualdad p(z)= 0, contados con sus respectivas multiplicidades. A esto se le conoce como teorema fundamental del algebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones

Ilustración #3: Ecuación polinómica Fuente: Tec digital

2.1.5

Mínimos cuadrados Es un procedimiento de análisis numérico en la que, dados un conjunto de datos (pares

ordenados y familia de funciones), se intenta determinar la función continua que mejor se aproxime a los datos (línea de regresión o la línea de mejor ajuste), proporcionando una demostración visual de la relación entre los puntos de los mismos. En su forma más simple, busca minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes datos. Este método se utiliza comúnmente para analizar una serie de datos que se obtengan de algún estudio, con el fin de expresar su comportamiento de manera lineal y así minimizar los errores de la data tomada.

TITULO

La creación del método de mínimos cuadrados generalmente se le acredita

5

al matemático alemán Carl Friedrich Gauss, quien lo planteó en 1794 pero no lo publicó sino hasta 1809. El matemático francés Andrien-Marie Legendre fue el primero en publicarlo en 1805, este lo desarrolló de forma independiente. 2.1.6

Método matricial (inversa con matriz aumentada)

En matemáticas, en particular en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, no singular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A y representada como A−1, tal que: donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual. Una matriz cuadrada no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y sólo si su determinante es nulo. La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

2.2

MODELO MECANISTICO

2.2.1

Ecuación de Bernoulli El principio de Bernoulli: en puntos a lo largo de una línea horizontal de flujo, las regiones

de mayor presión tienen una menor velocidad del fluido, y las regiones de menor presión tienen una mayor velocidad del fluido. Conceptualmente, podría ser más simple pensar acerca del principio de Bernoulli como el hecho de que un fluido que fluye de una región de mayor presión a una de menor presión se acelerará debido a la fuerza neta sobre la dirección de movimiento. La idea de que las regiones donde el fluido se mueve más rápido tendrán menor presión puede parecer extraña. Seguramente, un fluido que se mueve rápidamente y te golpea debe aplicar mayor presión en tu cuerpo que un fluido que se mueve lentamente, ¿cierto? Sí, es cierto. Pero ahora estamos hablando de dos presiones diferentes. La presión a la que se refiere el principio de Bernoulli es la presión interna que el fluido ejerce en todas direcciones durante el flujo, incluyendo la que ejerce sobre la tubería. Esta es diferente de la presión que un fluido ejercerá sobre ti si te pones en su camino y detienes su movimiento. La ecuación de Bernoulli es esencialmente una manera matemática de expresar el principio de Bernoulli de forma más general, tomando en cuenta cambios en la energía potencial debida a la

TITULO

gravedad. Derivaremos esta ecuación en la siguiente sección, pero antes de hacerlo

6

miremos cómo es la ecuación de Bernoulli, desarrollemos una idea de lo que dice y veamos cómo podemos usarla. La ecuación de Bernoulli relaciona la presión, la velocidad y la altura de dos puntos cualesquiera (1 y 2) en un fluido con flujo laminar constante de densidad ρ. Usualmente escribimos la ecuación de Bernoulli de la siguiente manera:

Ilustración #4: Ecuación de Bernoulli Fuente: Ven te chow

2.2.2

Velocidad La velocidad es una magnitud física de carácter vectorial que relaciona el cambio de

posición (o desplazamiento) con respecto al tiempo. Se representa con: V (en la escritura manuscrita). En análisis dimensional sus dimensiones unidad en el Sistema Internacional de Unidades es el metro por segundo (símbolo, m/s). En virtud de su carácter vectorial, para definir la velocidad debe considerarse la dirección del desplazamiento y el módulo, el cual se denomina celeridad o rapidez. 2.2.3

Área del tanque El área es un concepto métrico que permite asignar una medida a la extensión de

una superficie, expresada en matemáticas como unidades de medida denominadas unidades de superficie(m2). El área es un concepto métrico que requiere la especificación de una medida de longitud. Para superficies planas, el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos —es decir, cualquier polígono— puede triangularse, y se puede calcular su área como suma de las áreas de los triángulos en que se descompone. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

TITULO

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere

7

introducir métodos de geometría diferencial. Para poder definir el área de una superficie en general —que es un concepto métrico—, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclidiana. 2.2.4

Ecuación de continuidad La ecuación de continuidad no es más que un caso particular del principio de conservación

de la masa. Se basa en que el caudal (Q) del fluido ha de permanecer constante a lo largo de toda la conducción. Dado que el caudal es el producto de la superficie de una sección del conducto por la velocidad con que fluye el fluido, tendremos que en dos puntos de una misma tubería se debe cumplir que:

Que es la ecuación de continuidad y donde: S es la superficie de las secciones transversales de los puntos 1 y 2 del conducto. v es la velocidad del flujo en los puntos 1 y 2 de la tubería. Se puede concluir que, puesto que el caudal debe mantenerse constante a lo largo de todo el conducto, cuando la sección disminuye, la velocidad del flujo aumenta en la misma proporción y viceversa.

Ilustración #5: Representación de la ecuación de la continuidad Fuente: Ven te chow

TITULO

8

2.2.5

Caudal se conoce como caudal, a la cantidad de fluido que circula a través de una sección de un

ducto, ya sea tubería, cañería, oleoducto, río, canal, por unidad de tiempo. Generalmente, el caudal se identifica con el flujo volumétrico o volumen que pasa por un área determinada en una unidad de tiempo específica. El caudal de un río puede aumentar o disminuir dependiendo de la estación del año, por ejemplo, los ríos que se alimentan principalmente del deshielo de las capas de nieve, aumentan su caudal en primavera, mientras que ríos cuya agua procede de las precipitaciones de aguas meteóricas, presentan niveles máximos de caudal en épocas de lluvias y niveles mínimos en las estaciones o meses más secos. Es por esto que, si la fuente hídrica se localiza en zonas con altos índices de precipitación a lo largo del año, el caudal será constante y regular, y si se localiza en zonas donde la precipitación sea irregular, sufrirá fuertes crecidas en las épocas de lluvia y bajará su nivel de agua el resto del año; este fenómeno se conoce como estiaje.

Ilustración #6: Ecuación de caudal Fuente: Ven te chow

3. METODOS Y EQUIPOS Para llevar a cabo el montaje del sistema de tanques interconectados fueron empleados los siguientes materiales: ● ● ● ● ● ● ●

(3) tanques tronco-cónicos. (2) válvulas de globo. cinta métrica. cronómetro. (1) tubo de ½” Agua. Tinte rojo.

TITULO

9

Metodología para la toma de datos. 1. Se midieron las características geométricas de los tanques, dando como resultado las medidas ilustradas en la siguiente figura:

Ilustración #7: Medidas geométricas de los tanques Fuente: Aurotes

2. Se procedió a perforar cada tanque y se colocaron empaques en los orificios, previniendo que posteriormente se saliera el agua al circular por el sistema de tanques. 3. Se interconectaron los tanques mediante tubos PVC y válvulas de globo, las cuales permitieron cortar el paso del agua de un tanque a otro al llevar a cabo la toma de datos, como se muestra en la siguiente imagen:

Ilustración #8: Válvulas de globo en el sistema de tanques interconectados Fuente: Aurotes

TITULO

10

4. Se pegaron cintas métricas al costado de cada tanque para hacer más precisa la toma de datos al momento de suministrar el agua al sistema, como se muestra en la siguiente imagen:

Ilustración #9: sistema de tanques interconectados. Fuente: Aurotes

5. Una vez el montaje quedó completamente estructurado, se procedió a llenar los tanques de agua según la referencia inicial deseada, teniendo en cuenta que al adicionar colorante rojo al agua no serían afectadas sus propiedades químicas. 6. Se midió la altura del agua en los tanques con su respectivo tiempo de vaciado o llenado dependiendo de su nivel de referencia inicial, hasta llegar a un punto de equilibrio. Por ello, la toma de datos se realizó para 3 casos distintos; en el primer caso los tanques tenían niveles iniciales de 23.4cm, 7.4cm, y 2.7cm (respectivamente de izquierda a derecha), en el segundo caso de 7.7cm, 23.1cm, y 2.7cm, por ultimo para el tercer caso 18 cm, 2.4cm, y 2.4cm.

TITULO

Casos ilustrados en las siguientes figuras:

Ilustración #10: Caso 1. Fuente: Aurotes

Ilustración #11: Caso 2. Fuente: Aurotes

Ilustración #12: Caso 3. Fuente: Aurotes

11

TITULO

7. Una vez tomadas las medidas partiendo de distintos niveles de referencia inicial, se induce un caudal en el sistema, que posteriormente se implementa para la validación de los métodos matemáticos.

12

Metodología para la realización de cálculos. Teniendo en cuenta la forma tronco-cónica de los tanques implementados para la estructuración del sistema, se procedió a calcular los volúmenes para diferentes alturas del agua desde 0cm hasta 24cm cada 0.1cm. Metodología método empírico. 1. Los datos recopilados en la experiencia de laboratorio fueron ingresados a Excel con el fin de generar 5 gráficas que mostraran la curva de los datos experimentales: • Altura vs. Tiempo. • Volumen vs. Tiempo. • Volumen A vs. Volumen de los tanques B, C y Tiempo. • Volumen B vs. Volumen de los tanques A, C y Tiempo. • Volumen C vs. Volumen de los tanques A, B y Tiempo. 2. Se le inserta una línea de tendencia que se ajuste a la curva, a partir de esto se determina la posible función de las variables independientes. Específicamente para el caso 1 tendían a ser polinómicas de segundo grado, en el caso 2 polinómicas exponenciales de segundo, tercer y cuarto grado, y en el caso 3 polinómicas exponenciales de segundo y tercer grado. 3. A partir de la fórmula establecida para el desarrollo de mínimos cuadrados, donde se busca que la diferencia entre los datos experimentales y los datos del modelo sea mínima, se derivó el volumen de cada tanque con respecto de las constantes (a, b, c y d), obteniendo un sistema de ecuaciones de 4 incógnitas y 4 ecuaciones. 4. Una vez resuelto el sistema de ecuaciones se dejó el volumen de un tanque como termino dependiente, expresado en función de las constantes, el tiempo y los volúmenes de los otros dos tanques. 5. En Excel se digitó la matriz de mínimos cuadrados correspondiente a cada escenario posible por caso, posteriormente se obtuvo la sumatoria de estos datos y se calculó su matriz inversa.

TITULO

6. Se obtuvo el producto de la matriz inversa y la sumatoria de la matriz de mínimos cuadrados, y a partir de ello se calculó el valor de las constantes (a, b, c y d), de esta manera fue posible calcular el volumen de cada tanque.

13

Metodología método mecanístico. 1. Se utilizó la ecuación de Bernoulli entre los tanques (1) y (2), y al resultado obtenido se le aplicó la ecuación de continuidad con el objetivo de determinar el caudal de entrada y salida en cada tanque. 2. Al proceso anterior se le aplicó el método de Euler para obtener la ecuación del primer escenario dependiente en los dos tanques tenidos en cuenta en la ecuación de Bernoulli. 3. Se utilizó la ecuación de Bernoulli entre los tanques (2) y (3), para posteriormente aplicar la ecuación de continuidad en el tanque (2) y a partir de ello reemplazar las velocidades (2) y (3) en la ecuación resultante. 4. A la ecuación obtenida en el paso anterior se le aplicó el método de Euler. 5. Se reemplazó la ecuación obtenida con el método Euler en la ecuación resultante al reemplazar las velocidades (2) y (3). 6. Finalmente se realizó continuidad y se aplicó el método de Euler en el tanque (3). Este procedimiento fue llevado a cabo para cada caso. 4. RESULTADOS Y DISCUSIÓN ➢ Los resultados se encuentran en los anexos del proyecto.

TITULO

5. CONCLUCIONES

14

Teniendo en cuenta los resultados obtenidos a lo largo de este proyecto podemos concluir que se aplicaron correctamente los conocimientos referentes a la hidráulica y mecánica de fluidos en la realización de la simulación hidrodinamica del sistema de 3 tanque interconectados, aunque no se cumplieron todos los objetivos trazados, se debe destacar la modelación empírica en la cual se determinó un promedio de error de (1-5%) esto como resultado de un buen proceso de toma de datos, posterior calibración y verificación del sistema, en cuanto al modelo mecanístico el proceso fue un poco mas complejo, los margen de error fueron (1-20%) aduciendo a posibles descuidos humanos en la toma de datos y fallas en la exactitud y precisión de los instrumentos de medicion. El cálculo del coeficiente perdidas K nos arrojó errores mayores, por lo que se asumió un K=1-2 para cada uno de los casos, manejando constante la fuerza gravedad g. Al final se logró simular el sistema utilizando los datos experimentales mediante un sistema de tablas y gráficos, ayudado de las herramientas de Excel (visual Basic).c

TITULO

15

6. REFENCIAS BIBLIOGRAFICAS ➢ http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad1/u1potyrate40.pdf

TITULO

16

7. ANEXOS

ANEXO- MODELO ANEXOEMPÍRICO Y MECANÍSTICO.xlsx SIMULACIÓN.xlsm

ANEXOCÁLCULOS.docx