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INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

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INTRODUCCIÓN Las "colas" son un aspecto de la vida moderna que nos encontramos continuamente en nuestras actividades diarias. En el contador de un supermercado, accediendo al Metro, en los Bancos, etc., el fenómeno de las colas surge cuando unos recursos compartidos necesitan ser accedidos para dar servicio a un elevado número de trabajos o clientes. El estudio de las colas es importante porque proporciona tanto una base teórica del tipo de servicio que podemos esperar de un determinado recurso, como la forma en la cual dicho recurso puede ser diseñado para proporcionar un determinado grado de servicio a sus clientes. Debido a lo comentado anteriormente, se plantea como algo muy útil el desarrollo de una herramienta que sea capaz de dar una respuesta sobre las características que tiene un determinado modelo de colas. En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno muy común es la formación de colas o líneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son: las colas formadas por los camiones a la espera de ser cargados en interior de mina, los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros automáticos, la atención a clientes en un establecimiento comercial, la avería de electrodomésticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico, etc. En el marco de la teoría de colas es de gran importancia saber diferenciar entre una población finita e infinita para que de este modo podamos enfocarnos y clasificar en qué tipo de población nos encontramos cuando nos disponemos a resolver un problema o realizar una labor referente a este tema ya sea en la mina donde nos vamos a desenvolver o en cualquier otra actividad diaria.

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Proceso Básico de las Colas El proceso básico supuesto por la mayor parte de los modelos de colas es el siguiente. Los clientes que requieren servicios, a través del tiempo, provienen de una fuente de entrada. Estos clientes arriban al sistema de servicios y se unen a una cola. En un determinado tiempo se selecciona un miembro de la cola, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se brinda el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de servicio. Componentes del Proceso de Colas 1. Fuente de Entrada: Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de potenciales clientes que pueden requerir servicio en un determinado momento. Esta población a partir de la cual surgen las unidades que arriban se conocen como población o fuente de entrada. Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito (por lo cual se dice que la fuente de entrada es ilimitada o limitada). Debe especificarse el patrón estadístico mediante el cual se generan los clientes a través del tiempo. La suposición normal es que se generan de acuerdo al proceso de Poisson. Este caso corresponde a aquel cuyas llegadas al sistema ocurren de manera aleatoria, pero con cierta taza media fija y sin importar cuantos clientes están ya allí (por lo que el tamaño de la fuente de entrada es infinito). Una suposición equivalente es que, la distribución de probabilidad del tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas es exponencial. Se hace referencia al tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas como tiempo entre llegadas.

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Población La población puede clasificarse (y las técnicas de Colas difieren) en función de su tamaño relativo, como finita o infinita: será infinita cuando el número de clientes potenciales es muy grande en relación a la capacidad del sistema; en caso contrario, será finita. La importancia de la diferenciación entre población finita e infinita radica en que, en poblaciones finitas, las probabilidades de llegada de un cliente (o de ocurrencia de un suceso) varían según el estado del sistema: por ejemplo, si hay seis máquinas en un servicio de mantenimiento y una de ellas está rota (en reparación) la probabilidad de rotura de otra es diferente. 

Población Finita: Es un grupo limitado de clientes que representa la fuente que usará un servicio y que en ocasiones forma una cola. En esta caso cuando un cliente deja su posición como miembro de la población de usuarios, se reduce en una unidad el tamaño del grupo de usuarios, lo cual reduce la probabilidad que un usuario requiera servicio. Por el contrario, si se brinda mantenimiento a un cliente y éste regresa al grupo de usuarios, aumenta la población y también la probabilidad de que un usuario requiera servicio. Ejemplos: reparación de cosechadoras, las PC de un gabinete, 3 camiones y 2 palas en una operación minera, etc.



Población Infinita: Es aquella población que tiene el tamaño suficiente en comparación con el sistema de servicio, para que los cambios en el tamaño de la población, ocasionados por disminuciones o incremento a la población, no afectan de manera sustancial las probabilidades del sistema. Ejemplos: en un supermercado los clientes que hacen fila; la cola en un banco; en una estación de gasolina, etc.

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UNI POBLACIÓN FINITA

•

Es un grupo limitado de clientes que

Es aquella población que tiene el tamaño suficiente en comparación

servicio y que en ocasiones forma

con el sistema de servicio. •

Si se altera algún elemento de la cola este afectará a todo el sistema.

•

•

representa la fuente que usará un una cola. •

POBLACIÓN INFINITA

Si se altera algún elemento de la cola este no afectará al sistema.

•

Un ejemplo de esta población

Un ejemplo de esta población serían

serían los bancos, ya que no

los camiones de una mina, si se

importa el número de clientes en la

malogra este, el tonelaje movido por

cola, los trabajadores del banco

día se reduciría y la pala (servidor)

(servidores) ganarán lo mismo.

tendría tiempos improductivos.

NOTACIONES DE LINEAS DE ESPERA

λ = Tasa media de llegadas (número de llegadas por unidad de tiempo) 1/λ = Tiempo medio entre llegadas. μ = Tasa media de servicio (número de unidades servidas por unidad de tiempo cuando el servidor está ocupado) 1/μ = Tiempo medio requerido para prestar el servicio. P = Factor de utilización del sistema (proporción de tiempo que el sistema está ocupado). Pn = Probabilidad de que “n” unidades se encuentren en el sistema. Lq = Número medio de unidades en la cola (longitd de la cola). Ls = Número medio de unidades en el sistema. Wq = tiempo medio de espera en la cola.

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Ws = Tiempo medio de espera en el sistema. λ` = tasa promedio de llegadas de clientes dentro de las instalaciones de servicio. Ws(t) = probabilidad de que un cliente permanesca más de “t” unidades de tiempo en el sistema. Wq(t) = probabilidad de que un cliente permanezca más de “t” unidades de tiempo en la cola. MODELOS DE LA TEORÍA DE COLAS 

Modelo de la Cola Infinita, Fuente Infinita y una Unidad de Servicio.

Para este modelo se considera lo siguiente: 1. Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o de Markov. 2. Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que los tiempos de

servicios son

independientes entre sí e

independientes del proceso de llegada. 3. Sólo hay una unidad de servicio. 4. La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola. 5. Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones iniciales.

Para n = 0, 1, 2, 3,...

Para n = 1, 2,3,... - Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema:

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- Probabilidad de encontrar el sistema vacío:

- Factor de utilización:

- Número estimado de clientes que esperan ser atendidos:

- Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperado en la cola y/o siendo atendidos:

- Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola:

- Tiempo estimado que emplea un cliente en el sistema:

- Probabilidad de que el tiempo empleado (T) exceda a un valor particular t: a) Incluyendo el tiempo de servicio.

b) Excluyendo el tiempo de servicio.

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

Modelo de la Cola Infinita, Fuente Infinita y una Unidad de Servicio Múltiple.

Para este modelo de considera lo siguiente: 1. Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o de Markov. 2. Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que los tiempos de

servicios son

independientes entre sí e

independiente del proceso de llegada. 3. Hay varias unidades de servicio. 4. La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola. 5. Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones iniciales.

Para n = 0, 1, 2, 3,…

S: número de unidades de servicio. - Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema:

- Probabilidad de encontrar el sistema vacío:

- Factor de utilización:

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UNI

- Número estimado de clientes que esperan ser atendidos:

- Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperado en la cola y/o siendo atendidos:

- Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola:

- Tiempo estimado que emplea un cliente en el sistema:

- Probabilidad de que el tiempo empleado (T) exceda a un valor particular t: Incluyendo el tiempo de servicio.

Cuando



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debe sustituirse por &µ t.

Modelo de la Cola Finita, Fuente Infinita y una Unidad de Servicio.

INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

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Para este modelo de considera lo siguiente: 1. Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o de Markov. 2. Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que los tiempos de

servicios son

independientes entre sí e

independiente del proceso de llegada. 3. Hay una unidad de servicio. 4. La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola. 5. Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones iniciales. 6. No se permite que el número de clientes exceda un número especificado (M). A cualquier cliente que llega cuando la cola está llena se le niega la entrada al sistema y este cliente lo deja para siempre.

Para n = 1, 2, 3,... M: número máximo de clientes en el sistema. - Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema:

- Probabilidad de encontrar el sistema vacío:

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- Factor de utilización:

- Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperando en la cola y/o atendidos:

- Número estimado de clientes que esperan ser atendidos:

- Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola:

- Tiempo estimado que emplea un cliente en el sistema:



Modelo de la Cola Finita, Fuente Infinita y una Unidad de Servicio Múltiple.

Para este modelo de considera lo siguiente: 1. Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o de Markov. 2. Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial o de Markov. Se supone además

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INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

UNI que los tiempos de

servicios son

independientes entre sí e

independiente del proceso de llegada. 3. Hay varias unidades de servicio. 4. La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola. 5. Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones iniciales. 6. No se permite que el número de clientes exceda un número especificado (M). A cualquier cliente que llega cuando la cola está llena se le niega la entrada al sistema y este cliente lo deja para siempre.

Para n = 0, 1, 2, 3,… M: número máximo de clientes en el sistema. - Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema:

- Probabilidad de encontrar el sistema vacío:

- Factor de utilización:

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UNI

- Número estimado de clientes que esperan ser atendidos:

- Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperando en la cola y/o atendidos:

- Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola:

- Tiempo estimado que emplea un cliente en el sistema:



Modelo de la Cola Finita, Fuente Finita y una Unidad de Servicio.

Para este modelo de considera lo siguiente: 1. Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o de Markov. 2. Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que los tiempos de

servicios son

independientes entre sí e

independiente del proceso de llegada. 3. Hay una unidad de servicio. 4. La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola.

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5. Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones iniciales. 6. No se permite que el número de clientes exceda un número especificado (M). A cualquier cliente que llega cuando la cola está llena se le niega la entrada al sistema y este cliente lo deja para siempre.

Para n = 1, 2, 3,... M: número máximo de clientes en el sistema. - Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema:

- Probabilidad de encontrar el sistema vacío:

- Número estimado de clientes que esperan ser atendidos:

- Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperando en la cola y/o siendo atendidos:

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UNI

- Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola:

- Tiempo estimado que emplea un cliente en el sistema:



Modelo de la Cola Finita, Fuente Finita y una Unidad de Servicio Múltiple.

Para este modelo de considera lo siguiente: 1. Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o de Markov. 2. Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que los tiempos de

servicios son

independientes entre sí e

independiente del proceso de llegada. 3. Hay varias unidades de servicio. 4. La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola. 5. Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones iniciales. 6. No se permite que el número de clientes exceda un número especificado (M). A cualquier cliente que llega cuando la cola está llena se le niega la entrada al sistema y este cliente lo deja para siempre.

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M: número máximo de clientes en el sistema. - Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema:

- Probabilidad de encontrar el sistema vacío:

- Número estimado de clientes que esperan ser atendidos:

- Número estimado de clientes en el sistema, ya sea esperando en la cola y/o siendo atendidos:

- Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola:

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- Tiempo estimado que emplea un cliente en el sistema:

APLICACIÓN PARA UNA POBLACIÓN INFINITA

Problema 1: Una empresa minera tiene una estación de pesado de los camiones. El número promedio de camiones que llegan por hora es de 60, y el número promedio de camiones que pueden ser pesados por hora es 66 y siguen una distribución exponencial. Calcular: a) La probabilidad de que no haya camiones en el sistema. b) La longitud esperada de la cola. c) El tiempo esperado de un camión dentro del sistema.

Solución: Se conoce la siguiente información: ʎ = 60 camiones/hora

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UNI μ=¿

66 camiones/hora

Calculando el grado de saturación del sistema: ρ=

ʎ μ

ρ=

60 =0.901 66

a) La probabilidad P0 de hallar el sistema vacío u ocioso es P0 = 1 – ρ = 0.0901 b)

Calculando la longitud esperada de la cola:

Ew =

ʎ2 μ(μ−ʎ )

Ew =

602 =9.09≈ 9 66 (66−60)

Ew =9

Camiones en la cola

c) Calculando el tiempo en la cola: Et =

ʎ μ (μ−ʎ )

Et =

60 =0.1515 hrs 66(66−60)

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UNI

Et =9 minutos

APLICACIONES PARA UNA POBLACIÓN FINITA Problema 2: Una empresa minera cuenta con 4 camiones de 240 Ton, para una operación trabajada por open pit. Para cada operador la distribución de la probabilidad del tiempo que está operando antes de sufrir un desperfecto es exponencial, con un rango promedio de 12 horas.

El tiempo de reparación también tiene una distribución exponencial con un rango promedio de 2 horas. Calcular

el

número

esperado

de

camiones

que

satisfactoriamente SOLUCIÓN:

  1 / 12 hr    0.083cam  hr   1 / 2hr    0.5cam  hr m  4camiones •

Determinación si un estado es estable: 1 λ 12 1 = =