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• RAFAEL ANTONIO BORDA JIMENEZ

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4/9/2018

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RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD

Programación cuadrática.

 

La programación cuadrática (QP) es un tipo especial en la matemática de optimización de problemas. Es el problema de optimizar (reduciendo al mínimo o maximizando) una función cuadrática de varias variables conforme a apremios lineales en estas variables.

            La programación cuadrática trabaja con una clase   especial de problemas en el que una función   cuadrática de variables de decisión sujeta a   restricciones lineales dedesigualdad requiere ser   optimizada, en nuestro caso, requiere ser   minimizada         Una función cuadrática, en notación matricial, es una función de la forma                      

¿Para que se usa?        

  Existen diferentes tipos de problemas de programación cuadrática, los cuales se pueden clasificar en:   Problemas cuadráticos de minimización sin restricciones, requieren minimizar la función cuadrática f(x) sobre el espacio completo.   Problemas cuadráticos de minimización sujetos a restricciones de igualdad, requieren minimizar la función objetivo f(x) sujeta a restricciones lineales de igualdad Ax = b. http://psmmetodosdeoptimi.wixsite.com/optimizacion/programacion-cuadratica

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PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA

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¿Sabías Qué? la programación cuadrática tiene aplicaciones muy importantes oomo en : El área financiera:                   se pueden realizar análisis, usando modelos de programación cuadrática  para determinar la selección de estrategias óptimas de inversión.       En los impuestos                    

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  Problemas cuadráticos de minimización sujetos a restricciones lineales de desigualdad. Requieren minimizar la función objetivo f(x) sujeta a restricciones lineales de desigualdad Ax = b,  también puede contener restricciones de igualdad.   Problemas de optimización de redes cuadráticas. Son problemas cuadráticos en los que las restricciones son restricciones de baja conservación sobre una red pura o generalizada.   Problemas cuadráticos convexos. Son cuales quiera de los mencionados arriba, en el cual la función objetivo a ser minimizada, f(x) es convexa.

la  programación cuadrática juega un papel muy importante en el análisis de políticas de impuestos.        Otra aplicación importante, es en la que los economistas utilizan modelos de equilibrio para analizar expectativas de cambio en condiciones económicas

  Problemas cuadráticos no convexos. Son cualesquiera de los mencionados arriba, en el cual la función objetivo a ser minimizada, f(x) es no convexa.   Problemas de complementariedad lineal. Son problemas especiales con un sistema de ecuaciones en variables no negativas, en el cual las variables están formadas en varios pares llamados pares complementarios.          

Método de wolfe.   El algoritmo de Wolfe está orientado a resolver problemas algo mas generales que los de tipo QP: Aquellos en los que la función de costo no tiene por que ser cuadrática, aunque se mantienen las restricciones lineales

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   Se resuelve mediante una sucesión de problemas LP aproximados.  

En concreto sustituye J(x) por una aproximación de primer orden, y usa el resultando de este problema para definir un dirección de búsqueda factible en la que se mejora J(x) respetando las restricciones.

Ejemplo Resolver el siguiente problema de programación cuadrática por el método de Wolfe

Aplicando los multiplicadore  de Lagrange tenemos:

Datos de interes

 La importancia de la programación cuadrática recae en que, como es un caso especial de la programación no lineal, se utiliza como una función modelo para aproximar  funciones no lineales a través de modelos locales

Las primeras derivadas parciales son: http://psmmetodosdeoptimi.wixsite.com/optimizacion/programacion-cuadratica

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p

p

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El problema de programación lineal equivalente al original de acuerdo al método de Wolfees:

Con las siguientes restricciones de holgura complementaria:

Utilizando los métodos simplex se tiene que la solución básica inicial es:

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