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Controladores PID Virginia Mazzone

Regulador centr´ıfugo de Watt

Control Autom´atico 1 http://iaci.unq.edu.ar/caut1 Automatizacion ´ y Control Industrial Universidad Nacional de Quilmes Marzo 2002

Controladores PID - 1

1

´ Introduccion

En este cap´ıtulo veremos la familia de controladores PID, que mostraron ser robustos en muchas aplicaciones y son los que m´as se utilizan en la industria. La estructura de un controlador PID es simple, aunque su simpleza es tambi´en su debilidad, dado que limita el rango de plantas donde pueden controlar en forma satisfactoria (existe un grupo de plantas ´ un ` miembro de la familia PID). En este inestables que no pueden estabilizadas con ningun ˜ de controladores PID. cap´ıtulo estudiaremos los enfoques tradicionales al diseno

2

Estructura del PID

Consideremos un lazo de control de una entrada y una salida (SISO) de un grado de libertad: R(s)

j - PID 6

U (s)

Y (s) -

G (s)

Figura 1: Diagrama en bloques

Los miembros de la familia de controladores PID, incluyen tres acciones: proporcional (P), integral (I) y derivativa (D). Estos controladores son los denominados P, I, PI, PD y PID. • P: accion ´ de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional ´ transferencia queda: al error, es decir: u(t) = KP.e(t),que descripta desde su funcion C p (s) = K p

(1)

donde K p es una ganancia proporcional ajustable. Un controlador proporcional puede ˜ limitado y error en r´egimen controlar cualquier planta estable, pero posee desempeno permanente (off-set). • I: accion ´ de control integral: da una salida del controlador que es proporcional al error acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento. u(t) = Ki

Z

t

e(τ )dτ

Ci (s) =

0

Ki s

(2)

˜ de control u(t) tiene un valor diferente de cero cuando la senal ˜ de error e(t) La senal es cero. Por lo que se concluye que dada una referencia constante, o perturbaciones, el error en r´egimen permanente es cero. • PI: accion ´ de control proporcional-integral, se define mediante Kp u(t) = K p e(t) + Ti

Z

t

e(τ )dτ 0

(3)

Controladores PID - 2

´ integral. La funcion ´ donde Ti se denomina tiempo integral y es quien ajusta la accion de transferencia resulta: CPI (s) = K p



1 1+ Ti s



(4)

´ de Con un control proporcional, es necesario que exista error para tener una accion ´ integral, un error pequeno ˜ positivo siempre nos control distinta de cero. Con accion ´ de control creciente, y si fuera negativo la senal ˜ de control ser´a decredar´a una accion ciente. Este razonamiento sencillo nos muestra que el error en r´egimen permanente ser´a siempre cero. ´ PI. Se puede demostrar que un Muchos controladores industriales tienen solo accion control PI es adecuado para todos los procesos donde la din´amica es esencialmente de primer orden. Lo que puede demostrarse en forma sencilla, por ejemplo, mediante ´ un ensayo al escalon. • PD: accion ´ de control proporcional-derivativa, se define mediante: u(t) = K p e(t) + K p Td

de(t) dt

(5)

´ tiene car´acter donde Td es una constante de denominada tiempo derivativo. Esta accion ´ lo que hace m´as r´apida la accion ´ de control, aunque tiene la desventaja de prevision, ˜ ´ en el acimportante que amplifica las senales de ruido y puede provocar saturacion ´ de control derivativa nunca se utiliza por s´ı sola, debido a que solo ´ tuador. La accion ´ transferencia de un controlador es eficaz durante per´ıodos transitorios. La funcion PD resulta: CPD (s) = K p + sK p Td

(6)

´ de control derivativa se agrega a un controlador proporcional, Cuando una accion permite obtener un controlador de alta sensibilidad, es decir que responde a la ve´ significativa antes de que la locidad del cambio del error y produce una correccion magnitud del error se vuelva demasiado grande. Aunque el control derivativo no ˜ afecta en forma directa al error ea estado estacionario, anade amortiguamiento al sistema y, por tanto, permite un valor m´as grande que la ganancia K, lo cual provoca ´ en estado estable. una mejora en la precision ´ combinada reu• PID: accion ´ de control proporcional-integral-derivativa, esta accion ´ ne las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. La ecuacion ´ combinada se obtiene mediante: de un controlador con esta accion t

Kp Ti

Z

CPID (s) = K p



u(t) = K p e(t) +

0

e(τ )dτ + K p Td

de(t) dt

(7)

´ transferencia resulta: y su funcion 1 1+ + Td s Ti s



(8)

Controladores PID - 3

´ ´ Metodos clasicos de ajuste de Ziegler and Nichols

3

´ veremos dos m´etodos de ajuste de las ganancias de un controlador PID, En esta seccion el M´etodo de Oscilaci´on o M´etodo de Respuesta en Frecuencia y el M´etodo Basado en la Curva ´ con Reacci´on o M´etodo de Respuesta al Escal´on. El primero se basa en un lazo de control solo ganancia proporcional y de acuerdo a la ganancia utilizada para que el sistema empiece a oscilar y al per´ıodo de esas oscilaciones, podemos establecer las ganancias del controlador ´ unitario, PID. El otro m´etodo se resume en ensayar al sistema a lazo abierto con un escalon se calculan algunos par´ametros, como la m´axima pendiente de la curva y el retardo, y con ellos establecemos las ganancias del controlador PID. Estos m´etodos fueron propuestos por Ziegler y Nichols (Z-N) en 1942, quienes se basaron en la pr´actica para desarrollarlos.

3.1

´ ´ Metodo de Oscilacion r(t)

- j - Kp 6

u(t)

y(t)

- Planta

-

Figura 2: Lazo cerrado solo con ganancia proporcional Este procedimiento es v´alido solo para plantas estables a lazo abierto y se lleva a cabo siguiendo los siguientes pasos: ´ control proporcional, comenzando con un valor de ganancia pequeno, ˜ 1. Utilizando solo incrementar la ganancia hasta que el lazo comience a oscilar. Notar que se requieren oscilaciones lineales y que e´stas deben ser observadas en la salida del controlador. ´ de la 2. Registrar la ganancia cr´ıtica del controlador K p = Kc y el per´ıodo de oscilacion salida del controlador, Pc . (en el diagrama de Nyquist, corresponde a que Kc G ( jω) cruza el punto (−1, 0) cuando K p = Kc ). ´ la Tabla 1: 3. Ajustar los par´ametros del controlador segun Ti

P

Kp 0.50Kc

PI

0.45Kc

Pc 1.2

PID

0.60Kc

0.5Pc

Td

Pc 8

´ Tabla 1: Par´ametros de ajuste (m´etodo de oscilacion) Dicha tabla fue obtenida por Ziegler y Nichols quienes buscaban una respuesta al es´ de bajo amortiguamiento para plantas que puedan describirse satisfactoriamente por calon un modelo de la forma: K0 e−sτ0 , donde υ0 > 0 (9) G0 (s) = υ0 s + 1

Controladores PID - 4

1.2

Pc 0.8

0.4

0

-0.4

-0.8

-1.2 -1

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

Figura 3: Respuesta de la planta con ganancia cr´ıtica

Ejemplo 1. Considerar el modelo de una planta dado por: G0 (s) =

1 (s + 1)3

(10)

´ de Determinar los par´ametros de un controlador PID utilizando el m´etodo de oscilacion ´ unitario y a una perturbacion ´ Z-N. Obtener un gr´afico de la respuesta a una entrada escalon ´ unitario. de entrada escalon Primero debemos calcular la ganancia cr´ıtica Kc y la frecuencia cr´ıtica ωc . Dichos valores deben satisfacer Kc G0 ( jω0 ) = −1 ⇔ Kc = −( jωc + 1)3 , √ de donde obtenemos Kc =8 y ωc = 3. El per´ıodo cr´ıtico es entonces Pc = Utilizando la tabla obtenemos los siguientes valores:

(11) 2π ωc

' 3.63.

K p = 0.6 × Kc = 4.8; Ti = 0.5 × Pc = 1.81; Td = 0.25 × Pd = 0.45 ´ transferencia a lazo abierto resulta: De esta forma la funcion G0 (s)C (s) = K p

Td s2 + s + s(s + 1)3

1 Ti

2.16s2 + 4.8s + 2.652 = s(s + 1)3

(12)

´ unitario aplicaImplementando dicho sistema en SIMULINK, con una entrada escalon ´ de entrada escalon ´ unitario en el instante t = 10, da en el instante t = 0 y una perturbacion obtenemos la Figura 4 Como se puede apreciar en el gr´afico, el control hallado provoca un sobrevalor significativo, lo que es inaceptable en algunos casos. Sin embargo el m´etodo de Z-N nos ha

Controladores PID - 5 Controlador PID ajustado con Z−N (método de oscilación) 1.5

Salida de la planta

1.2

0.9

0.6

0.3

0

0

2

4

6

8

10 Tiempo [s]

12

14

16

18

20

Figura 4: Salida del sistema controlado con un PID

proporcionado un punto de partida para una sinton´ıa m´as fina. En este caso, si utilizamos ˜ mejora. Sin embargo, el incremento de accion ´ derivativa el valor Td = 1 el desempeno puede traer inconvenientes si estuvi´eramos en presencia de un ruido significativo en el sis´ derivativa no amplifique ruido tema, y es recomendable verificar que el aumento de accion excesivamente.

3.2

´ ´ Metodo Basado en la Curva Reaccion

Muchas plantas, pueden ser descriptas satisfactoriamente por el modelo: G0 (s) =

K0 e−sτ0 υ0 s + 1

donde

υ0 > 0

(13)

´ cuantitativa lineal de este modelo puede ser obtenida mediante un experiUna version mento a lazo abierto, utilizando el siguiente procedimiento: ´ normal. Diga1. Con la planta a lazo abierto, llevar a la planta a un punto de operacion mos que la salida de la planta se estabiliza en y(t) = y0 para una entrada constante u(t) = u0 . ´ desde u0 a u∞ (esto 2. En el instante inicial t0 , aplicar un cambio en la entrada escalon, deber´ıa ser en un rango de 10 al 20% de rango completo). ´ Suponga3. Registrar la salida hasta que se estabilice en el nuevo punto de operacion. mos que la curva que se obtiene es la que se muestra en la Figura 5 . Esta curva se ´ del proceso. llama curva de reaccion Calcular los par´ametros del modelo de la siguiente forma: K0 =

y∞ − y0 ; y∞ − u0

τ0 = t1 − t0 ;

υ0 = t2 − t1

(14)

Controladores PID - 6

y∞

y0 t0

t1

t2

t[seg]

´ de la planta Figura 5: Respuesta al escalon

El modelo obtenido puede ser utilizado para varios m´etodos de ajuste de controladores ˜ es PID. Uno de estos tambi´en e´ n fue propuesto por Ziegler y Nichols. El objetivo de diseno ´ de 4:1 para el primer y segundo alcanzar un amortiguamiento tal que exista una relacion ´ Los par´ametros sugeridos por Z-N son los pico de la respuesta a una referencia escalon. que se muestran en la Tabla 2. Kp

Ti

P

υ0 K0 τ0

PI

0.9υ0 K0 τ0

3τ0

PID

1.2υ0 K0 τ0

2τ0

Td

0.5τ0

´ Tabla 2: Par´ametros de ajuste (m´etodo curva de reaccion)

4

Modificaciones de los esquemas de control PID

En los sistemas de control b´asicos vistos hasta ahora, si la entrada de referencia es un es´ debido a la presencia del t´ermino derivativo en la accion ´ de control, la variable macalon, ´ impulso (una delta). En un controlador PID real, en nipulada u(t) contendr´a una funcion lugar del t´ermino derivativo TD s emplearemos: Td s τD s + 1

(15)

donde τ D , denominada constante de tiempo derivativa, normalmente es elegida tal que ˜ es τ D , mejor es la aproximacion ´ entre el t´ermino 0.1 ≤ τ D ≤ 0.2. Cuanto m´as pequena

Controladores PID - 7

´ (15) y el ”derivativo” Td s, es decir son iguales en el l´ımite: ”derivativo filtrado” de la Ecuacion Kp lim u PID (t) = K p e(t) + τd →0 Ti

Z

t t0

e(τ )dτ + K p Td

de(t) dt

(16)

´ de un polo evitamos utilizar acciones de control grandes en respuesta a Con la inclusion errores de control de alta frecuencia, tales como errores inducidos por cambios de setpoint (referencia) o mediciones de ruido. El argumento cl´asico por el cual se elige τ D 6= 0 es, adem´as de asegurar un controlador propio, para atenuar ruido de alta frecuencia. Casi ´ fija de Td , en lugar todos los controladores industriales PID definen a τ D como una fraccion ˜ de tomarlo como un par´ametro independiente de diseno. ´ transferencia Analicemos nuevamente el Ejemplo 1, pero tomando ahora como funcion del controlador PID a:   1 Td s CPID (s) = K p 1 + + (17) Ti s τ D s + 1 ´ transferencia a lazo abierta resulta ser la siguiente Por lo que la funcion

Go (s)C (s) =

K p ( Td + τ D )s2 + (1 + τTDi )s + s(τ D s + 1)

1 Ti

Go (s)

(18)

Con el mismo desarrollo anteriormente explicado obtenemos los mismos par´ametros ´ de Z-N. Tomando a τ D = 0.1 y Td = 0.045, la del PID aplicando el m´etodo de oscilacion ´ transferencia a lazo abierto resulta: funcion Go (s)C (s) =

5

52.8s2 + 109.32s + 58.93 s(s + 22.2)(s + 1)3

(19)

´ de polos Asignacion

´ de polos es un m´etodo de diseno ˜ de controladores cuando queremos que La asignacion ˜ del sistema a lazo cerrado cumpla con determinadas especificaciones de diel desempeno ˜ En esta seccion ´ veremos en detalle de qu´e se trata y veremos tambi´en como podemos seno. ´ de polos. ajustar un controlador PID utilizando asignacion Consideremos el lazo nominal de la Figura 1 con las siguientes funciones transferencias: C (s) =

P(s) L(s)

G0 (s) =

B0 (s) A0 (s)

(20)

con P(s), L(s), B0 (s) y A0 (s) polinomios de grados n p , nl , n − 1 y n respectivamente (asumimos que el modelo nominal de la planta es estrictamente propio).Consideremos que el polinomio a lazo cerrado deseado est´a dado por Alc . La pregunta que surge es: ¿Dado un Alc arbitrario, existir´a una funci´on C (s) propia tal que a lazo cerrado resulte que Alc sea el polinomio caracter´ıstico? Para contestar esta pregunta, veamos primero que pasa con un ejemplo para ilustrar mejor la idea:

Controladores PID - 8

Ejemplo 2 (Asignaci´on de polos). Sea el modelo nominal de una planta dada y un controlador de la forma: G0 (s) =

s2

1 + 3s + 2

C (s) =

P(s) L(s)

(21)

Podemos ver que Alc = A0 (s) L(s) + B0 (s) P(s) = (s2 + 3s + 2)(l1 s + l0 ) + ( p1 s + p0 ). Si igualamos los coeficientes obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:      l0 1 0 0 0 1  3 1 0 0   l1   3       (22)  2 3 2 0   p0  =  3  0 2 0 1 1 p1 Podemos verificar que la matriz anterior es no-singular, por lo que el sistema tendr´a ´ unica: ´ solucion l1 = 1, l0 = 0, p1 = 1 y p0 = 1. As´ı el polinomio caracter´ıstico es alcanzado ´ transferencia: para un controlador dado por la siguiente funcion C (s) =

s+1 s

(23)

´ de polos a lazo cerrado depende de la En el ejemplo anterior vimos como la asignacion no-singularidad de una matriz particular. Como la idea es generalizar el resultado anterior, primero necesitaremos algunos resultados matem´aticos. Teorema 1 (Teorema de Sylvester). Consideremos los polinomios A ( s ) = a n s n + = a n−1 s n−1 + . . . + = a 1 s + a 0 , n

B ( s ) = b n s + b n−1 s

n−1

(24)

+ . . . + = b1 s + b0 ,

(25)

junto con la matriz 

an

 a n−1  .  .  .  Me =  a0   0  .  .. 0

0 ... 0 bn 0 an . . . 0 b n−1 b n .. . . .. .. .. . . . . . a1 . . . an b0 b1 a 0 . . . a n−1 0 b0 .. . . .. .. .. . . . . . 0 . . . a0 0 0

... ... .. .

0 0 .. .

. . . bn . . . b n−1 .. .. . . . . . b0



     .    

(26)

´ o ra´ıces, si Se dice que A(s) y B(s) son coprimos, es decir que no tienen factores en comun y solo si det( Me ) 6= 0 Con este resultado podemos ahora generalizar lo visto en el Ejemplo 2, para mostrar que ´ de polos es generalmente posible, cuando se cumplen algunos requerimientos la asignacion m´ınimos. ´ de un grado Lema 1 (Asignacion ´ de Polos SISO). Consideremos un lazo de realimentacion de libertad con un controlador C (s) y un modelo nominal G0 (s) dado por (20). Suponiendo que A0 (s) y B0 (s) son coprimos y que sus grados son n y n − 1, respectivamente. Sea Alc

Controladores PID - 9

un polinomio arbitrario de grado nc = 2n − 1. Entonces existen polinomios P(s) y L(s), con grados n p = nl = n − 1 tal que: A0 (s) L(s) + B0 (s) P(s) = Alc (s)

(27)

´ para el problema Nota 1. El lema anterior establece bajo qu´e condiciones existe solucion ´ de polos, asumiendo un controlador bipropio. Cuando se requiere un conde asignacion trolador estrictamente propio, el grado de P(s) y L(s) deber´ıa ser n p = n − 1 y nl = n, respectivamente. De esta forma, para poder estar en condiciones de elegir un polinomio a lazo cerrado Alc (s) arbitrario, su grado deber´ıa ser igual a 2n. Nota 2. No est´an permitidas las cancelaciones del estilo polo-cero inestables. Cualquier ´ entre el controlador y la planta aparecer´a como factor en A0 (s) L(s) y tambi´en cancelacion ´ del lema 1 pueda ser satisfecha, el mismo factor deber´a en B0 (s) P(s). Para que la condicion aparecer en Alc (s), pero el polinomio caracter´ıstico a lazo cerrado se debe elegir estable, ´ deber´a ser estable. Solo ´ de esta forma, el lazo cerrado nominal por lo que ese factor comun es garant´ıa de ser internamente estable, es decir, las cuatro funciones de sensibilidad ser´an estables. ´ veremos una forma m´as moderna que las anteriores para ajustar un En esta seccion, ´ de polos. Durante esta seccion ´ concontrolador PID, bas´andonos en t´ecnicas de asignacion sideraremos un lazo de control de un grado de libertad con controladores PI de la siguiente forma Ki (28) CPI (s) = K p + s y la forma del controlador PID CPID (s) = K p +

Ki Kd s + s τD s + 1

(29)

´ alternativa de un controlaPara referencias futuras notamos la siguiente representacion dor PID: Lema 2. Cualquier controlador de la forma: n2 s2 + n1 s + n0 d2 s2 + d1 s es id´entico al controlador PID de (29) con los siguientes valores de los par´ametros: C (s) =

n1 d1 − n0 d2 d21 n0 Ki = d1 n2 d21 − n1 d1 d2 + n0 d22 Kd = d31 d2 τD = d1 Kp =

(30)

(31) (32) (33) (34)

Demostraci´on. Desarrollando en fracciones simples (29) y compar´andola con (30) se obtienen dichos coeficientes.

Controladores PID - 10

Si asumimos que la planta puede ser (por lo menos, aproximadamente) modelada por ´ de polos para sintoniun modelo de segundo orden, entonces podemos utilizar asignacion zar un controlador PID. Ejemplo 3. Una planta tiene un modelo nominal dado por: G0 (s) =

2 (s + 1)(s + 2)

(35)

Sintonizar un controlador PID para que a lazo cerrado alcance la din´amica dominada por: s2 + 4s + 9 ´ de polos, donde Resolvemos primero el problema de asignacion Alc (s) = (s2 + 4s + 9)(s + 4)2 ;

B0 (s) = 2;

A0 (s) = s2 + 3s + 2.

(36)

´ de polos tenga solucion, ´ El factor (s + 4)2 ha sido agregado para asegurar que la asignacion es decir que el grado de Alc (s) debe ser 4. Notar que este factor genera modos (polos) que son m´as r´apidos que los originados por el polinomio deseado. De esta forma, la din´amica dominante ser´a la de los polos mas lentos. ´ de asignacion ´ de polos, resulta que Resolviendo la ecuacion C (s) =

P(s) 14s2 + 59s + 72 = s(s + 9) sL(s)

(37)

de donde: K p = 5.67; Ki = 8; Kd = 0.93; τ D = 0.11. ´ es que la solucion ´ de este problema tiene la estructura Una importante observacion de un controlador PID para el modelo dado G0 (s). Para un modelo de mayor orden, el controlador resultante no ser´a, en general, un controlador PID.

6

Resumen • Desde una perspectiva moderna, un controlador PID es simplemente un controlador de hasta segundo orden, conteniendo un integrador. • Descubrimientos emp´ıricos demuestran que la estructura del PID por lo general tiene la suficiente flexibilidad como para alcanzar excelentes resultados en muchas aplicaciones. ´ de control • El t´ermino b´asico es el t´ermino proporcional, P, que genera una actuacion correctivo proporcional al error. ´ proporcional a la integral del error. Esto • El t´ermino integral, I, genera una correccion nos asegura que si aplicamos un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. ´ de control proporcional al cambio de • El t´ermino derivativo, D, genera una accion rango del error. Esto tiende a tener un efecto estabilizante pero por lo general genera actuaciones de control grandes.

Controladores PID - 11

´ de los par´ametros de un controlador PID, • Los diferentes m´etodos de sintonizacion ´ se van de acuerdo a la estructura que se utilice del mismo. Cabe recordar, que solo ´ (29), y que los m´etodos que se estumenciono´ una estructura, dada en la ecuacion diaron se realizaron de acuerdo a dicha estructura. En caso de tener otra habr´a que analizar el m´etodo equivalente.