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• Nathalia Rodriguez Acevedo

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MODELOS Y SIMULACIÓN

PASO 3 - MODELAR Y SIMULAR SISTEMAS INDUSTRIALES CON BASE EN TEORÍA DE COLAS

XXXXXXXXXXXXXXXX COD.XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX

GRUPO: 212026_XXXXXX

TUTOR (A) XXXXXXXXXXXXX

UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA ABRIL 2020

CONTENIDO DESARROLLO DE LA GUIA........................................................................................................3 Punto 1: Conceptos.......................................................................................................................3 Punto 2: Generación De Numero Aleatorios................................................................................6 Punto 3: Caso De Estudio.............................................................................................................7

Conceptos de simulación 1.1

¿Por qué a veces se le llama a la simulación una técnica de último recurso?

Por qué, cuando falla una técnica matemática, se recurre a la simulación ya que esta puede determinar los programas de producción, niveles de inventario y procedimientos de mantenimiento; planear la capacidad, requisitos de recursos y procesos. 1.2

¿Qué papeles cumplen las pruebas de hipótesis estadística en la simulación?

Aceptar o rechazar las afirmaciones sobre una población dependiendo de la evidencia proporcionada por una muestra de datos. 1.3

¿Qué determina la validez de un modelo de simulación?

Verificación para corroborar si el código de la computadora es una traslación válida del modelo de diagrama de flujo y si la simulación representa adecuadamente al sistema real. 1.4

¿Se debe usar una computadora para obtener información adecuada de una simulación? Explique.

No es indispensable , ya que existen modelos de simulación matemáticos que no requieren de esta, pero si es una herramienta que permite simplificar, agilizar y garantizar mucho más los resultados. 1.5

¿Qué métodos se usan para incrementar el tiempo en un modelo de simulación? ¿Cómo funcionan?

El tiempo se puede avanzar con uno de dos métodos incrementos fijos o incrementos variables. En el método de incremento de tiempo fijo: se especifican los incrementos uniformes de tiempo del reloj (como minutos, horas o días) y la simulación continúa por intervalos fijos de un periodo al siguiente. En cada punto de tiempo de reloj, se rastrea el sistema para determinar si ocurría algún evento. De ser así, se simulan los eventos y avanza el tiempo; de lo contrario, el tiempo de todas maneras avanza una unidad. En el método de incremento de tiempo variable: el tiempo del reloj avanza por la cantidad requerida para iniciar el siguiente evento.

1.6      

1.7

¿Cuáles son las ventajas y desventajas de empezar una simulación con el sistema vacío? ¿Y con el sistema en equilibrio? Al empezar a simular podemos interferir en las operaciones del sistema. Explorar todas las alternativas o todas las variantes que pueden existir dentro del sistema. Difícil obtener siempre el mismo tamaño de muestra, estos sistemas toman muestras tan grandes que pueden ser mucho más costosos. Los modelos de simulación no generan soluciones ni respuestas a ciertas preguntas. No todas las condiciones son continuas para el sistema. sistemas entran a jugar las personas, cambiar el comportamiento natural de las personas que se relacionan con el sistema. Distinga entre las distribuciones matemáticas conocidas y las distribuciones empíricas.

Una distribución empírica se deriva de observar las frecuencias relativas de cierto evento, como la llegada en una línea o la demanda de un producto. Las distribuciones matemáticas conocidas en la simulación de eventos discretos se refiere a la modelación computacional de sistemas que evolucionan en el tiempo mediante cambios instantáneos en las variables de estado. Los cambios ocurren en puntos separados del tiempo.

1.8

¿Qué información se necesita para una simulación con una distribución matemática conocida?

Para conseguir estimaciones útiles la muestra debe ser representativa del comportamiento de sistema y debe ser lo suficientemente grande. 1.9

¿Por qué es importante en la simulación la duración de la ejecución?

La ejecución determina la duración del sistema, este depende del propósito de la simulación. El planteamiento más común es continuar la simulación hasta lograr un equilibrio. 1.10

¿Una ejecución de 100 observaciones es dos veces más válida que una de 50? Explique.

Cuantas más haya y menores sean los segmentos de tiempo, más preciso será el estudio. La diferencia es que más observaciones y segmentos requieren más tiempo y personal.

1.11

Describa que son los números aleatorios y como se utilizan en la simulación.

Los números aleatorios permiten a los modelos matemáticos representar la realidad, en general cuando se requiere una impredecibilidad en unos determinados datos, se utilizan números aleatorios ya que en simulación la capacidad de imitar el comportamiento aleatorio que existe en los sistemas estocásticos es esencial.

1.12

Investigue para la modelación las principales herramientas de software utilizadas.

Existen marcas de software como CPLEX®, AMPL®, GAMS®, LINDO® y XPRESS®, además existen software de uso libre como GLPK y Lp_solve.

1.13

Del texto MODELADO Y SIMULACIÓN: APLICACIÓN A PROCESOS LOGÍSTICOS DE FABRICACIÓN Y SERVICIOS, describa cuales son las fases de un estudio y proyecto de simulación. El archivo en Investigar en diferentes fuentes establecidas en el syllabus orientado a la unidad 3. Las etapas de la simulación y hacer una descripción de cada una de estas.



Formulación del problema: Define el problema que se pretende estudiar. Incluye por escrito sus objetivos. Diseño del modelo conceptual: Especificación del modelo a partir de las características de los elementos del sistema que se quiere estudiar y sus interacciones teniendo en cuenta los objetivos del problema. Recogida de datos: Identificar, recoger y analizar los datos necesarios para el estudio. Construcción del modelo: Construcción del modelo de simulación partiendo del modelo conceptual y de los datos. Verificación y validación: Comprobar que el modelo se comporta como es de esperar y que existe la correspondencia adecuada entre el sistema real y el modelo. Análisis: Analizar los resultados de la simulación con la finalidad de detectar problemas y recomendar mejoras o soluciones. Documentación: Proporcionar documentación sobre el trabajo efectuado. Implementación: Poner en práctica las decisiones efectuadas con el apoyo del estudio de simulación.



     

Generación De Numero Aleatorios 2.1. Establecer un listado de 1000 números aleatorios en una columna, establecer una grafica de tipo dispersión en un cuadro de dialogo explique sus características. Numero Dato Aleatorio 1 0,460 2 0,283 3 0,831 4 0,720 5 0,659 6 0,282 7 0,138 8 0,572 9 0,203 10 0,427 11 0,923 12 0,659 13 0,995 14 0,995 15 0,581 16 0,097 17 0,146 18 0,546 19 0,419 20 0,293 21 0,302 22 0,168 23 0,702 24 0,858 25 0,996 26 0,424 27 0,620 28 0,690 29 0,736 30 0,168 31 0,738 32 0,459 33 0,479

2.2. Establecer tres columnas de 200 números aleatorios aplicando un tratamiento según fórmula de Excel para comportamiento NORMAL, EXPONENCIAL Y UNIFORME graficar cada columna. Teniendo en cuenta para los correspondientes casos los siguientes datos: Media=50; Desviación Estándar =5; Para la uniforme de un rango de 1 a 50. Media Desv. Est. Limite Inf Limite Sup

50 5 1 50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Numero Aleatorio 0,970996049 0,690487745 0,268369056 0,534004981 0,540474478 0,35574482 0,197523161 0,59103704 0,806926484 0,564524387 0,006684815 0,502108534 0,282503561 0,500558797 0,289841312 0,434798363 0,026949942 0,228429908 0,059243736 0,151397565 0,511411468 0,174380024 0,659161316 0,078715806 0,169997744 0,892193862 0,433101878 0,063268268 0,803266361 0,768760205 0,265066312 0,724284191 0,687237874 0,528652391 0,081157646 0,328963882 0,934022498 0,427129516 0,308968295 0,787053301 0,457966248 0,388074597 0,307737478 0,871851389 0,812493512 0,430851271 0,98300142 0,098362073 0,555698851 0,348335308

Normal 59,478 52,486 46,911 50,427 50,508 48,151 45,747 51,151 54,333 50,812 37,631 50,026 47,123 50,007 47,231 49,179 40,362 46,280 42,194 44,848 50,143 45,315 52,051 42,931 45,229 56,191 49,158 42,360 54,267 53,674 46,861 52,978 52,440 50,359 43,013 47,786 57,532 49,082 47,506 53,981 49,472 48,578 47,489 55,676 54,436 49,129 60,601 43,545 50,700 48,051

Exponencial Uniforme 3,883 48,579 3,542 34,834 2,597 14,150 3,285 27,166 3,297 27,483 2,878 18,431 2,290 10,679 3,386 29,961 3,698 40,539 3,340 28,662 -1,096 1,328 3,223 25,603 2,648 14,843 3,220 25,527 2,674 15,202 3,079 22,305 0,298 2,321 2,435 12,193 1,086 3,903 2,024 8,418 3,241 26,059 2,166 9,545 3,495 33,299 1,370 4,857 2,140 9,330 3,798 44,717 3,075 22,222 1,152 4,100 3,693 40,360 3,649 38,669 2,584 13,988 3,589 36,490 3,537 34,675 3,275 26,904 1,401 4,977 2,800 17,119 3,844 46,767 3,061 21,929 2,738 16,139 3,673 39,566 3,131 23,440 2,965 20,016 2,734 16,079 3,775 43,721 3,704 40,812 3,070 22,112 3,895 49,167 1,593 5,820 3,324 28,229 2,857 18,068

Caso De Estudio Punto 3: Se desea simular la llegada y descarga de barcos en un muelle para determinar el número promedio de barcos que se retrasan para ser descargados al siguiente día, los datos para realizar la simulación son los siguientes: A. Modelo de simulación de 30 días de operación incluyendo grafico de estabilidad.

Barcos que Probabilidad llegan por día 0 1 2 3 4 5

Barcos descargados Probabilidad por día

15% 18% 14% 21% 18% 14%

1 2 3 4 5

Barcos que Probabilidad llegan por día 0 15% 1 18% 2 14% 3 21% 4 18% 5 14%

DE

A

0% 0,15 0,33 0,47 0,68 0,86

15% 33% 47% 68% 86% 100%

7% 13% 45% 22% 13%

Barcos que llegan por dia 0 1 2 3 4 5

Barcos descargados por día 1 2 3 4 5

α

0,1

Error

0,5

Probabilidad

DE

A

7% 13% 45% 22% 13%

0% 0,07 0,20 0,65 0,87

7% 20% 65% 87% 100%

Promedio

Día

Cantidad De Barcos Del Día Anterior

Numero Aleatorio

Barcos que llegan por dia

Numero Aleatorio

Barcos descargados por dia

Total de Barcos a descargar

Cantidad de Barcos descargados

Barcos pendientes del dia sigui ente

1

0

0,970

5

0,444

3

5

3

2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

2 0 0 0 0 0 0 3 4 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 4 2 2 4 4 5 5 6 6 2

0,196 0,637 0,163 0,170 0,462 0,595 0,774 0,672 0,331 0,594 0,796 0,197 0,862 0,204 0,675 0,766 0,200 0,136 0,897 0,192 0,562 0,909 0,514 0,804 0,352 0,550 0,737 0,144 0,391

1 3 1 1 2 3 4 3 2 3 4 1 5 1 3 4 1 0 5 1 3 5 3 4 2 3 4 0 2

0,879 0,250 0,074 0,178 0,382 0,462 0,060 0,195 0,704 0,351 0,667 0,506 0,949 0,048 0,339 0,110 0,053 0,711 0,005 0,456 0,272 0,460 0,445 0,630 0,075 0,145 0,810 0,839 0,336

5 3 2 2 3 3 1 2 4 3 4 3 5 1 3 2 1 4 1 3 3 3 3 3 2 2 4 4 3

3 3 1 1 2 3 4 6 6 5 6 3 5 1 3 4 3 2 5 5 5 7 7 8 7 8 10 6 4

3 3 1 1 2 3 1 2 4 3 4 3 5 1 3 2 1 2 1 3 3 3 3 3 2 2 4 4 3

0 0 0 0 0 0 3 4 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 4 2 2 4 4 5 5 6 6 2 1

2,000 Desviación Estandar 1,965

Barcos descargados por día 1 2 3 4 5

Va ri abl e a l ea toria de ba rcos pendientes del día s iguiente

2 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

Punto 3: Se desea simular la llegada y descarga de barcos en un muelle para determinar el número promedio de barcos que se retrasan para ser descargados al siguiente día, los datos para realizar la simulación son los siguientes: B. Cálculo del número de corridas necesarias para estabilizar la variable de interés. Promedio 2,905 Desviación Estandar 1,093

Va ri a bl e a l ea tori a de ba rcos pe ndi e ntes de l día s i gui ente

α

0,1

3

Error

0,5

4 4 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

La cantidad de barcos que se quedan pendientes de descargar no sigue una distribución normal. Por lo que se usa la segunda formula. LONGITUD DE CORRIDA 47,786 Por lo tanto tenemos una longitud de la corrida de 48 barcos.

Punto 3: Se desea simular la llegada y descarga de barcos en un muelle para determinar el número promedio de barcos que se retrasan para ser descargados al siguiente día, los datos para realizar la simulación son los siguientes: C. Adecuar el número de corridas según el caso del modelo del punto A. Barcos que llegan por día 0 1 2 3 4 5 Barcos que llegan por día 0 1 2 3 4 5 Longitud De Corrida

Barcos descargados Probabilidad por día 1 7% 2 13% 3 45% 4 22% 5 13%

Probabilidad 15% 18% 14% 21% 18% 14%

Probabilidad

DE

A

15% 18% 14% 21% 18% 14%

0% 0,15 0,33 0,47 0,68 0,86

15% 33% 47% 68% 86% 100%

47,786

α

0,1

Error

0,5

Barcos que llegan por dia 0 1 2 3 4 5

Barcos descargados Probabilidad por día 1 7% 2 13% 3 45% 4 22% 5 13%

DE

A

0% 0,07 0,20 0,65 0,87

7% 20% 65% 87% 100%

Barcos descargados por día 1 2 3 4 5

Simulamos hasta el día 48

Día

Cantidad De Barcos Del Día Anterior

Numero Aleatorio

Barcos que llegan por dia

Numero Aleatorio

Barcos Total de descargados Barcos a por dia descargar

1

0

0,179

1

0,286

3

2

0

0,015

0

0,577

3

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2 0 1 0 2 0 0

0,285 0,389 0,228 0,477 0,465 0,520 0,191 0,645 0,769 0,128 0,318 0,617 0,079 0,236 0,126 0,046 0,875 0,293 0,861 0,752 0,822 0,277 0,861 0,836 0,449 0,535 0,581 0,044 0,354 0,375 0,554 0,820 0,505 0,533 0,667 0,095 0,303 0,124 0,523 0,075 0,832 0,007 0,972 0,117 0,587 0,438

1 2 1 3 2 3 1 3 4 0 1 3 0 1 0 0 5 1 5 4 4 1 5 4 2 3 3 0 2 2 3 4 3 3 3 0 1 0 3 0 4 0 5 0 3 2

0,489 0,235 0,168 0,135 0,512 0,502 0,708 0,499 0,338 0,012 0,850 0,746 0,902 0,807 0,401 0,531 0,585 0,872 0,959 0,422 0,502 0,301 0,832 0,578 0,843 0,860 0,867 0,792 0,125 0,743 0,644 0,829 0,274 0,082 0,294 0,325 0,811 0,267 0,035 0,675 0,286 0,032 0,605 0,083 0,860 0,724

3 3 2 2 3 3 4 3 3 1 4 4 5 4 3 3 3 5 5 3 3 3 4 3 4 4 4 4 2 4 3 4 3 2 3 3 4 3 1 4 3 1 3 2 4 4

Cantidad de Barcos descargados

Barcos pendientes del dia siguiente

1

1

0

0

0

0

1 2 1 3 3 3 1 3 4 1 1 3 0 1 0 0 5 3 5 4 5 3 5 5 4 3 3 0 2 2 3 4 3 3 4 1 1 0 3 2 4 1 5 2 3 2

1 2 1 2 3 3 1 3 3 1 1 3 0 1 0 0 3 3 5 3 3 3 4 3 4 3 3 0 2 2 3 4 3 2 3 1 1 0 1 2 3 1 3 2 3 2

0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2 0 1 0 2 0 0 0

Promedio 0,354 Desviación Estandar 0,668

Vari abl e al ea tori a de barcos pendi entes del día s igui ente

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Punto 3: Se desea simular la llegada y descarga de barcos en un muelle para determinar el número promedio de barcos que se retrasan para ser descargados al siguiente día, los datos para realizar la simulación son los siguientes: D. Generar 15 corridas del modelo y calcular el intervalo de confianza. Promedio 2,295 Desviación Estandar 0,991

Va ri a b l e a l e a to ri a d e b a rco s p e n d i e n te s d e l d ía s i gu i e n te

0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Promedio

Corrida 1

Promedio

Corrida 2

0,357 Desviación Estandar 0,247

0

0,912 Desviación Estandar 0,285

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Promedio Corrida 3 Promedio 2,209 Desviación Estandar 1,014

0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0,730 Desviación Estandar 0,487

Corrida 4

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Promedio Corrida 5 Promedio Corrida 6 Promedio Corrida 7 Promedio Corrida 8 Promedio Corrida 9 Promedio Corrida 10 Promedio Corrida 11 Promedio Corrida 12 Promedio Corrida 13 Promedio Corrida 14 Promedio Corrida 15 0,811 Desviación Estandar 0,497

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3,019 Desviación Estandar 0,823

2 3 4 4 4 5 5 5 5 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0,683 Desviación Estandar 0,360

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0,688 Desviación Estandar 0,362

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0,784 Desviación Estandar 0,207

0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1,054 Desviación Estandar 0,369

1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1,941 Desviación Estandar 0,724

0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2,175 Desviación Estandar 1,245

0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0,741 Desviación Estandar 0,394

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0,642 Desviación Estandar 0,320

1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0,260 Desviación Estandar 0,199

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1

N° 1 2

Promedio 0,357 0,912

3

2,209

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0,730 0,811 3,019 0,683 0,688 0,784 1,054 1,941 2,175 0,741 0,642 0,260

Promedio 2,295 Desviación Estandar 0,991 IC+ IC-

3,439 1,151

El resultado me arroja que el promedio de cada réplica NO siguen una distribución normal.

E. Establecer conclusiones y recomendaciones del caso, por cada integrante del grupo. Conclusión Debido a la fluctuación de los barcos no hay un patrón de barcos pendientes por descargar los días siguientes.

Recomendación Buscar estandarizar los recorridos optimizando las corridas efectuadas en el paso d,para a si poder estabilizar los recorridos.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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Guasch, A., Piera, M. À., & Casanovas, J. (2002). Modelado y simulación: aplicación a procesos logísticos de fabricación y servicios. Madrid, ES: Universitat Politècnica de Catalunya. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD (pp.6-21)|. Recuperado de https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action? ppg=32&docID=4310046&tm=1544037403797 Guasch, Antoni, et al. (2002). Modelado y simulación: aplicación a procesos logísticos de fabricación y servicios, Universitat Politècnica de Catalunya,. ProQuest Ebook Central, https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/detail.action? docID=4310046. Hernandez, Oscar. ( 23,08,2017). Modelos y Simulación. [Archivo de video]. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/12977 Hillier, Frederick S. (2010). Introducción a la investigación de operaciones (9a. ed.), McGraw-Hill Interamericana,. ProQuest Ebook Central, (pgs. 871-924) https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/detail.action? docID=3214887. 

Singer, M. (2013). Una práctica teoría de la optimización lineal : datos, modelos y decisiones. Santiago, Chile: Ediciones UC. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD (pp.3-69). Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login? url=https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2969/login.aspx? direct=true&db=nlebk&AN=1725244&lang=es&site=ehostlive&ebv=EB&ppid=pp_3