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• Brandy Cainicela

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MOVIMIENTO ONDULATORIO: ONDAS Inicialmente señalaremos la diferencia entre pulso y onda viajera. Pulso : Es una perturbación que se genera en un punto del medio material y es de corta duración como se observa en los siguientes casos:

v

v

agua

x

x (a)

(b)

(c) Figura 1.

En (a)

: Ha caído una piedra en el agua, creándose un pulso en forma de círculos concéntricos que se extienden a los bordes y es de corta duración.

En (b) y (c)

: Se han realizado una rápida sacudida transversal en la cuerda y longitudinal en el resorte produciéndose pulsos transversal y longitudinal respectivamente y son de corta duración.

Onda (Onda viajera) : Si por ejemplo en (b), en lugar de una mano esta se reemplaza por un vibrador por ejemplo de 200 Hz, se genera un llamado tren de pulsos o mejor dicho una onda dado que el vibrador puede funcionar permanentemente durante un largo tiempo.

P

v

vibrador Figura 2. Un elemento del medio natural como P en la figura 2 oscila transversalmente, es decir normal a la rapidez V de propagación de la onda, pero dicha oscilación no es una oscilación cualquiera, sino que P oscila con M.A.S. Luego la propagación de la onda se da en un sistema conservativo.

P

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Figura 3. En la figura 3, la masa  m que corresponde al punto P oscila transversalmente tal como lo haría m fijo al extremo del resorte o sea P oscila con M.A.S. Otro ejemplo de una onda son las “olas” generadas en los estadios cuando se dan eventos deportivos. En estas olas una persona se mantiene en su lugar se para agitando los brazos, y se sienta es decir oscila transversalmente con M.A.S. en su sitio, lo que se propaga es la onda (ola) y el medio material (personas) se quedan en su sitio oscilando aproximadamente con M.A.S. Con estos conceptos lo que queda claro es la conexión entre el movimiento ondulatorio y el M.A.S. por eso algunos especialistas llaman a las ondas simplemente oscilaciones. En Física II estudiaremos las ondas mecánicas como lo son en una cuerda, en un resorte, en el agua, en el aire, es decir ondas que se propagan en medios materiales: sólidos, líquidos, gases. Incluyendo las ondas de sonido que se pueden propagar en los tres medios. Onda Mecánica. Es aquella perturbación que viaja a través de un medio material sólido, líquido o gas. Las ondas electromagnéticas que se pueden propagar en el vacío se estudiarán en el curso de Física III. Sin embargo, muchas de las características de las ondas mecánicas también tienen las ondas electromagnéticas. Observaciones respecto de las ondas mecánicas. (ondas viajeras) a) Como ya se mencionó en estas ondas mientras estas se propagan, el medio material se queda en su lugar oscilando con M.A.S. b) Como el medio material no viaja con la onda, lo que viaja y se propaga es la perturbación que tiene una configuración (geométrica) dada. c) Por ejemplo en la onda en la cuerda, el vibrador aporta trabajo en Joules a la cuerda, estos Joules la onda la transporta como energía del extremo del vibrador hacia lo largo de la cuerda. Toda onda transporta energía. d) Las ondas mecánicas se pueden clasificar en ondas unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales. Ejemplos: Onda Unidimensional transversal en la cuerda. Onda Unidimensional longitudinal en un resorte. y

v

P y

cuerda

F x

x

vibrador Figura 4. En la figura 4. La onda en la cuerda es una onda unidimensional porque se propaga hacia x (una dimensión o 1 eje) a la vez que es onda transversal porque como hemos mencionado, el punto P oscila transversalmente con M.A.S., v es la rapidez de propagación de la onda, y es el desplazamiento transversal del punto P para una posición x y un instante de tiempo t. y  f ( x, t )

…………… (1)

De acuerdo a (1), y es una función de dos variables, la onda (perturbación) se propaga en dirección x a medida que el tiempo t transcurre.

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e) Como todos los puntos del medio material de la figura 4 oscilan con M.A.S., luego habrá fuerzas restauradoras ó fuerzas elásticas porque recordar que estos existían en un M.A.S. Es por eso que se dice que uno de los requisitos para que una onda se propague en un medio material (onda mecánica) es que este medio tenga a su vez “propiedades elásticas”. f) La rapidez V de propagación de la perturbación (onda) se puede evaluar, como por ejemplo para la onda en una cuerda: v R

F : Tensión en la cuerda.

F vibrador Figura 5. En la figura 5, radio R.

un pequeño tramo de la perturbación puede estar inscrita en un círculo de v

En la onda en la cuerda se desprecia el peso de esta comparado con la fuerza F de tensión, esta última es la que prevalece. Por consiguiente.

F

F R

Figura 6. En la figura 6 no se dibuja el peso del pequeño tramo de cuerda.  es un ángulo pequeño, digamos   15º  x  2R 

m

v2  2 F Sen  R

,

  15º

Sen    en rad.

Siendo  : Densidad lineal de la masa de la cuerda. La cuerda se considera homogénea.. 

m m  L x

kG m

m : Masa del pequeño tramo de cuerda homogénea de la figura 6. m    x   ( 2 R  )

Luego

 (2R  )

v2  2 F R

 v2  F

v

F ………(2) 

Ves la rapidez de propagación de la onda unidimensional y transversal en una cuerda. Reiteramos que en nuestro modelo de onda en la cuerda no cuenta el peso de la cuerda porque está es pequeña comparado con F.

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g) También se puede deducir la rapidez de propagación v materiales como es el caso de un resorte.

de una onda en otros medios

masa resorte (kg / m) L L  Longitud natural del resorte (m) 

N k = constante elástica del resorte   m

L v

v

kL ………..(3) 

Figura 7. Tanto en (f) con en (g) v es en m/s. DESCRIPCIÓN FÍSICA Y MATEMÁTICA DE UNA ONDA UNIDIMENSIONAL: FUNCIÓN DE ONDA MODELO FÍSICO: Consideremos una onda unidimensional transversal en una cuerda donde la onda mantiene su forma mientras viaja. El peso es despreciable comparado con la fuerza de tensión F. Tampoco hay fuerzas disipativas, luego el sistema es conservativo y la amplitud de la onda se conserva.

y

yˡ tiempo t=0

d

v v P

F

instante t

xˡ

0ˡ

vibrador

Pˡ yˡ = y

x, xˡ

0 x Figura 8. En el instante t = 0, la onda se mueve en dirección x con una rapidez v, en el instante t de la ecuación (1) y  f ( x , t ) …….. (4) x , y : coordenadas estáticas. xˡ yˡ : coordenadas que viajan con la onda (coordenadas viajeras). De la figura 8: yˡ = y = f(x,t) = f(xˡ ) La relación entre coordenadas x, xˡ es : xˡ = x – d = x – vt Luego

y = yˡ = f (xˡ ) = f (x – vt) ……..(5)

En general : y  f ( x  vt )  y ( x , t ) ………(6) – Si la onda viaja hacia x

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+ Si la onda viaja hacia – x Perfil de la onda en t = 0 (onda propagándose en dirección x)

y(m)

A : Amplitud de la onda (m).  2  y ( x,t )  y ( x,0 )  A sen  X   

v

 : longitud de onda , x   / 2 , y  0

x

x

 , yA 4

Para un tiempo t posterior: 2 2   2 y( x , t )  f ( x  vt )  A Sen ( x  vt )  A Sen  x vt  ……….(7)      PERIODO T. Es el tiempo necesario para que un punto del medio material que ya sabemos se mueve con M.A.S. efectúe un ciclo completo de movimiento transveral. Durante este tiempo T la onda a su vez se propaga una distancia d, d = vT =  . FRECUENCIA f 1 f  (ciclos/ s ó Hz ) T 2   vT ,   2 f  ,  : Frecuencia angular (rad/s) T 2  1 m Haciendo k  k : “Número de onda ó constante de propagación” ,   kv  En (7) y( x, t )  A Sen (kx  t ) …………(8)

Fase Inicial  Se determina en t = 0 , x = x0 , y = y0 En general incorporando todos estos elementos en (8), este queda:

y( x,t )  A Sen (kx  t   ) …………… (9) – Si la onda avanza en dirección x + Si la onda viaja en dirección – x OBSERVACIONES: a) La ecuación (9) es la descripción matemática y física de la onda unidimensional, matemática porque esta ecuación representa a la onda que se propaga la dirección x a medida que el tiempo t avanza. Física porque en esta ecuación se guarda toda la información sobre la onda, la amplitud A, la frecuencia  que te permite hallar el periodo y la frecuencia, la longitud de onda, etc. b) y ( x,t ) como se observa en la figura (8) es el desplazamiento transversal de un elemento de las cuerdas ubicado en una posición x, dependiendo del tiempo t. y c) v y  es la rapidez transversal de un elemento de la cuerda para una posición x t dependiendo del tiempo t. Si y  A sen (kx  t   )

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vy 

y   A cos ( kx  t   ) t

(m/s) ………... (10)

“Obsérvese que es DERIVADA PARCIAL” y

vy

v, vy son normales entre sí. v

x 



v y : puede ir en sentido J ó  J No confundir vy con v.

v : rapidez de la onda también en m/s.

d) Si derivamos v y obtenemos ay.

ay  ay

 vy t



 2y   A2 sen ( kx  t   )   2 y (m/s2) ………………(11) t 2

: Aceleración transversal de un elemento de cuerda ubicado en una posición x dependiendo del tiempo t; obsérvese que se obtiene como la segunda derivada parcial de y respecto al tiempo t.

ay 

 2y   2 y t 2

d2 x   2 x ratifica el hecho dt2 de que cada uno de los elementos de la cuerda oscilan transversalmente con M.A.S.

: Nos recuerda a la ecuación del M.A.S.

Ecuación Diferencial de la onda Unidimensional. Una vez más consideremos y  y( x,t )  A sen (kx  t   )

una

onda

unidimensional

Determinamos la 2da. Derivada Parcial respecto de x y  k A Cos ( kx  t   ) x

 2y x

2

  A k 2 Sen ( kx  t   )   k 2 y

SEGUNDA DERIVADA PARCIAL RESPECTO DEL TIEMPO t

 2y   2 y  t2 Dividiendo:   2y      x2   k2 y k2 1      2 2 2   2y    y (kv ) v     t2    Sabemos

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cuya

función

de

onda:

  2y   2     1   y  ………….. (12) 2 2   x  v   t2      La ecuación (12) representa la ecuación diferencial de la onda unidimensional. Observaciones respecto de la ecuación (12)

  2y  a)  2  representa la curvatura que adopta el perfil de la onda. x    2y   2    es ay , la ecuación (12) se puede escribir   y   1 a y 2   x2  v 2  t      2 Existe un nexo entre la curvatura que adopta el perfil de la onda con a y, v depende de las propiedades del medio donde se propaga la onda. b) La ecuación (9) es la solución de la ecuación (12) “La función de onda es solución de la ecuación diferencial de onda”. Ambas están relacionadas. Información adicional respecto de una onda Unidimensional. a) Relación entre las rapideces v, vy. y

vy

v, vy son normales entre sí.

v

x

Tg 

vy

……….(13) v b) Energía cinética para un elemento de cuerda. y vy

m : Masa del elemento de cuerda homogénea. x : Longitud del elemento de cuerda homogénea.

v

x

Ek 

1 m v 2y 2

, u

masa de la cuerdahomogénea m m   longitudde la cuerda homogénea L x

Ek 

1 u x v 2y 2

……… (14)

También:

uk 

Ek 1   v 2y x 2

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……… (15)

uk : Densidad lineal de energía cinética asociada a un elemento de cuerda (J/m)

c) Energía potencial asociada a un elemento de cuerda. y vy v

x

2

Se demuestra

1 y  x …………(16)  Ep  F  2   x 

No olvidar que en nuestro modelo se desprecia el peso de la cuerda comparada con la tensión F, luego Ep . No es con el peso, es debido a F. También:

 Ep x

up 

1 y  F 2   x 

2

……….(17)

p : Densidad lineal de energía potencial asociada a un elemento de cuerda (J/m). uk  up ………. (18)

Se demuestra : d)

y P

x

vibrador

Consideremos el diagrama del cuerpo libre D.C.L. de un elemento de cuerda en P de masa m, longitud x , lo hemos amplificado para que se “vea mejor”. Obsérvese que en el modelo físico no se considera el peso del elemento de cuerda en P. F1 : Fuerza que el tramo izquierdo de la cuerda ejerce sobre el elemento de cuerda en P. F2 : Fuerza que ejerce el tramo derecho de la cuerda ejerce sobre el elemento de cuerda en P.

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 Fx  0  F1 cos   F2 cos (    )

“Los ángulos son pequeños” Cos   1

,

cos (    )  1

F1  F2  F  Tensiónen la cuerda “La tensión en la cuerda es única en magnitud”

Luego:

Lo cual es consistente porque el movimiento del elemento de cuerda es solamente transversal (M.A.S.) y no hay movimiento horizontal, F prevalece sobre el peso de la cuerda. e) Pero con respecto a los componentes verticales, obsérvese que se puede usar la II Ley de Newton: F1 = F2 = F. F Sen (    )  F Sen   m a y , m es la masa del elemento de cuerda en el punto P.

y y  , sen (    )  Tg(    )    Sen   1 Tg     xx   x  x  x Luego: y y      x a y , F   F   x   x  x xx

 y        x  ( x  x ) F x    Tomando Lim

y     xx     ay   

      

y     xx      

m    x

x  0

F Lim

x  0

y      x  ( x  x ) x

Lim  a y

x  0

 2y F  2    a y x 

 2y 1     x2    F  ay       

2y 1  2 ay 2 x v

…………..(19)

La ecuación (19) es la ecuación (12), representando este análisis otro método para llegar a la ecuación diferencial de onda unidimensional. POTENCIA TRANSIMITIDA POR UNA ONDA UNIDIMENSIONAL y P

v x

vibrador Ing. Dario Vasquez Alva - Fisica II – UNI – FIM

Figura 9. Consideremos una vez más como modelo físico la onda en la cuerda que se propaga en dirección x, dentro de la cuerda tomemos un elemento de este ubicado en P.

P

Elemento de cuerda

vy

F

F es la tensión en la cuerda y a su vez es la fuerza que el tramo izquierdo de la cuerda ejerce sobre el elemento de cuerda en P. La rapidez con la que se efectúa trabajo es decir la potencia que se transmite es hacia el lado derecho de la cuerda y es debido a Fy  F Cos   F Sen Fy  v y

Recuerde que el elemento de cuerda solo se mueve transversalmente con M.A.S. No hay peso, este es despreciable respecto de F. Figura 10. 



La potencia instantánea: P  F . V y  F Vy cos   F Vy Sen 

y  Pero como se trata de ángulos  pequeños: Sen   Tg    x y  Además sabemos: Vy    t  Luego la potencia instantánea: P  y   y     ……………..(20) P  F  x t  Si la función de onda unidimensional se expresa: y  A Sen (kx  t  )

y    A k Cos (kx  t  ) , x

y     A  Cos (kx  t  )  t 

P   A 2k Cos2 (kx  t  )

En general para una onda unidimensional.

P  FA 2k cos2 (kx  t   )

J  W. s

OBSERVACIONES: a) P se puede expresar:

P  Pmax Cos2 ( kx  t   )

P Pmax

Pm x

La potencia transmitida que a su vez es instantánea y que pasa por un punto de la cuerda varía con el tiempo desde un mínimo de cero hasta un máximo Pmáx  A 2k F

Obsérvese que cos2  0 , en realidad hacia donde se propaga la onda hacia allí se transmite la potencia. Es decir si la onda se propaga en dirección x, P se transmite también en dirección x no en direcciones opuestas.

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b) La Física reconoce dos potencias: La potencia instantánea (P) y la potencia media (Pm), esta 2 última se obtiene promediando respecto a muchos periodos el valor promedio de cos . Como 2 por trigonometría Sen2  Cos2  1 . Después de muchos periodos el promedio de Sen2 y Cos 2 2 son iguales. Sen = Cos en promedio, luego el promedio de Cos2 es

1 . 2

Así tenemos que Pm:

Pm 

1 2 1 FA  k  Pmáx …….(21) 2 2

Si conocemos la Pmáx transmitida conoceremos potencia media transmitida y viceversa. Tratándose de la onda en la cuerda: 1  F Pm  F A 2  k ,   kv , k  , v2  2 v  Reemplazando:

Pm 

Pm 

1    v2 A2    2 v

1  v 2 A 2 ………(22) 2

La ecuación (22) representa la potencia media transmitida por la onda unidimensional en una cuerda y se observa además en la figura de la observación (a), nótese que depende de los cuadrados de  y A. PROBLEMA 1. y(m) 1 0,5

La figura muestra el perfil de una onda unidimensional en un instante de tiempo t. La rapidez de propagación de la onda es de 50 m/s. Si en t = 0, x = 0, y = - 0.50 m.

v 5

10 15

x(m) Determinar la función de onda correspondiente.

–1 Solución: La onda unidimensional se propaga en dirección x, no nos especifican el medio de propagación (cuerda, resorte,….) pero independientemente de ello se puede plantearlo. Función de onda unidimensional: y  A sen ( kx  t   ) De la figura por observación:   15  5  10 m. , A = 1 m.  A

: Longitud de onda ó paso de la onda. : Amplitud de la onda. 2 2  1   m k : Constante de propagación, k   10 5 : Frecuencia angular (rad/s).     kv  (50)  10  rad / s 5 : Fase inicial, que se halla con las condiciones iniciales en t = 0.  En t = 0, x = 0, y = - 0,50 = 1 Sen  , Quedando

 =   / 6 rad.

   y  1, 0 Sen  x  10  t   m , x en m , t en s. 5 6  

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Comentarios: a) A partir de la ecuación de onda dada se puede trazar gráfica por ejemplo y(x,0) o sea la gráfica yx para el instante t = 0, esta gráfica muestra el perfil de la onda justamente en t = 0, la ecuación   que llevamos a la gráfica y – x será y = 1,0 Sen  x   . 5 6   b) También podemos graficar por ejemplo y( 0,5 , t ) que representa la gráfica y - t que mostraría la oscilación de un punto del medio material ubicado en x = 0,5 m. Esta gráfica no muestra el perfil de la onda, esta se obtiene de la gráfica y–x mencionada en (a). Problema 2. Si en el problema anterior, la onda unidimensional corresponde a la onda en una cuerda homogénea de 10 g. y 400 m. de longitud. Determinar la potencia máxima que transmite. Solución: La densidad lineal de cuerda homogénea es: m 10 x 103 kg    2,5 x 10 5 L 400 m. Tomando los datos del problema anterior: m A  1m , v  400 ,   10  rad / s s

v = 50 m/s

Pmax  2 Pm   v 2 A 2

De la ecuación (21),

Pmax  2,5 x 105 (50) (10  )2 (1)2 Pmax  1, 23 W.

Observaciones: a) La potencia media transmitida por la onda en la cuerda es Pm. 1 Pm  Pmax  0,615 w 2 b) Las ondas en medios como cuerdas, resortes, no transmiten por lo general grandes bloques de energía como si lo haría por ejemplo un tren sucesivo de grandes olas de mar. Problema 3. (Ex Parcial UNI-FIM 2006-1) y(m)

t = 0,1 s.

0,8

v = 50 m/s. Q

x (m) – 0,8 y(m) 0,8

t = 0,4 s. v = 50 m/s.

Q

x (m)

– 0,8

Se muestran los perfiles de la onda en una cuerda que se propaga en dirección x kg   instantes indicados. Si en t = 0, x = y = 0; determinar:    0,01  m 

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y en los

a) b) c) d) e)

La función de la onda. La ecuación diferencial de la onda. La tensión transversal máxima. La rapidez transversal máxima. La potencia media transmitida.

Solución: a) Se trata de los perfiles de la misma onda. Q como referencia indica que entre t = 0,1 s. y t = 0,4 s. La onda se ha desplazado  / 4 , no 2 , 3 , etc. Establecemos la proporcionalidad:

  0,3 s 4

  T T = periodo

T  1, 2 s

La función de onda unidimensional en la cuerda en dirección x:

y  A Sen  kx   t   , A  0,8 m.

, T  1,2 

2 

5  rad / s , t  0 x  y  0 A Sen  ,   0 3 5  1   kv   k(50) , k  m 3 30 5    y  0, 8 Sen  x t  m ., x , y en m. Luego 3   30 

b) La ecuación diferencial de la onda unidimensional:  2y   2     1  y 2 2   x  v   t2     

 2y      x 2  : representa la curvatura de la cuerda que es una propiedad geométrica.    2y 2     t 2  : representa la aceleración transversal (m/s )   Recordar que ya en Física I en el movimiento curvilíneo la aceleración apuntaba hacia el interior de la concavidad de la curva por lo que no nos debe extrañar esta relación entre la curvatura y la aceleración.  2y   2     1  y 2 2   x  50   t 2      Y(m)

c)

P F

Según ya se ha analizado F es la tensión en la cuerda, Fy  F Sen  y que en la

Fy x(m)

Fy  F Sen 

y  ,   15º , Sen   Tg    x

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gráfica F es el “tirón” que ejerce el tramo de la cuerda a la izquierda de P, sobre el elemento de cuerda en P.

y 5    y  5           0,8  x t    Cos  x t   Cos  x 3    x máx 3   30   30  30

   F Fy máx  F ( 0, 8 )   , v2    30  y     Fy máx  F    v 2 0,8    x  30   máx    Fy máx  0,01  502 0,8    2,09 N.  30  d)

Vy 

y , Vy : rapidez transversal de un elemento de cuerda. t

5   5   Vy  0,8  x t  m/s  Cos  3   3   30  5 Vymáx  0,8    4,18 m / s  3  e)

Pm 

1  v 2 A 2 2

Pm 

1  5  (0,01) (50)   (0,8)2 2  3 

2

Pm  4,38 w. Pm :

Representa el valor medio de la potencia instantánea P transmitida por la onda en la cuerda.

Problema 4. (2da. Práctica UNI-FIM-2008-1) En x = 15 cm. y t = 2 s., el desplazamiento de una onda viajera es 8,66 cm. La amplitud de la onda es de 10 cm. y su longitud de onda es de 8 cm. Considerando el ángulo de fase positivo más pequeño, determinar el periodo de la onda. Solución: La función de onda:

y  A Sen ( kx  t   )

 2  ( 0,15)  (2)    0,0866 = 0 ,1 Sen  0 , 08   Si   0 , hallamos  Periodo T 

2 = 1,17 s. 

Problema 5. La rapidez de propagación de una onda es de 300 m/s y su frecuencia 900 Hz. Determinar: a) La diferencia de fase en un determinado instante, entre dos partículas que distan entre sí 3,0cm. b) La diferencia que existe entre dos partículas que se encuentran desfasados 120º. Solución:

3 cm a)

v  f

300   (900)

,

  0,33 m  33 cm.

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  2 rad



x  

b)

3 (2) 2   0,57 rad. 33 11

  2 rad

x

x  

x

33 ( 2  / 3)  11cm. 2

3 cm

vibrador

Problema 6. (2da. Práctica Calificada UNI-FIM 2010-1) Un cable homogéneo de masa m y longitud L cuelga de un techo. Determinar el tiempo necesario para que la onda transversal recorra la longitud del cable. Solución: La tensión F es debido al peso del cable del tramo de longitud x. x El peso de este tramo es mg L x Luego F  mg  F( x ) L

v L

x F

v  v(x) 

v  v( x) 

dx  dt

dx  x

mgx  m L L g dt



  t 0



  m/L

gx x L x0

dx  x

L

2 x

F( x )

t

g



t t 0

2 L g

g dt

2

L g

Problema 7. Demuestre que la potencia transmitida por una onda unidimensional se puede expresar como el producto de la rapidez de la onda por la densidad de energía total. Solución: Nos piden demostrar: P  ( uk  up ) v  ( u ) v

1 1 y 2  Sabemos: k   v y    2 2   t 

2

2

y   x  : Densidad de energía total, u  uk  up J. / m 1 p  F 2

Considerando una onda en una cuerda, un tramo pequeño de este de longitud x :

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Ek 

1  x 2

  2y      t 2   uk x   2

Ep  Etotal

1 y  x  up x F 2   x   E  uk x  up x E  (uk  up ) x

E W “Todo el trabajo W en J. en agitar la cuerda se convierte en una cantidad  t t exacta de energía  E en J.”

Pero:

E x  ( k   p ) x t

Luego:

Tomando Lim

x  0

(uk  up ) v

P

Problema 8. A través de una cuerda se propaga una onda unidimensional. Si la taza o razón de pérdida de dE E  0,005 donde E energía para la onda es debido a su fricción con el aire y está dada por dt T es la energía y T es el periodo de la onda. Determinar el % en que disminuye la Amplitud de la onda después de transcurrido un periodo. Solución: y A Aˡ x – Aˡ –A

T

T

dE dt dE E

 A  A   100% Piden    A  E  0,005 T E dE dt  0,005     0,005 E E T



LNE – LN E  =   E  E´



t t0

dt T

0,005 0,005 E ( t  t 0 )  LN      (t  t 0 ) T T E 

0,005 (t  t0 ) T

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“La propagación de la onda ya no corresponde a un sistema conservativo” El sistema es no – conservativo porque la amplitud disminuirá progresivamente.

1 0,005 u v 2 A 2L  (T ) 2  T 2 1 uv 2 A  L 2

A2 A

2

 0,999

A  0,9995 A

 A  A   x 100%  ( 1  1,0005 ) 100  0,05% Luego:    A  -0.05% es el % que disminuye la amplitud después de 1 periodo de tiempo.

Problema 9.

v

Una onda se propaga en un resorte. Si k=400N/m, L = 1m. La masa del resorte es de 200 g. L: longitud natural del resorte.

x

a) Determinar la rapidez de propagación de la onda en el resorte. b) Si la frecuencia de la onda en el resorte es de 200 Hz., y en t= 0, x=0, s = 0,20 m., determinar la función de onda S, considere 0,30 m. como amplitud. c) La ecuación diferencial de la onda. Solución: Se trata de una onda unidimensional longitudinal, ya no hay un desplazamiento transversal de un punto del medio material si no un desplazamiento longitudinal que vamos a llamar S = S(x,t)

x

x

S a)

v  v onda  resorte

v onda  L resorte

b)

F 

, F  kL ,  

m L

k 400 1  44,72 m / s m 0,2

  2  f  2  (200)  400  rad / s.   kv , 400   k (44,72)

k  28, 1m2 , S  S( x,t )  S0 Sen ( kx  t   ) 0,20 = S0 Sen  0,20 = 0,30 Sen  ,  = 41, 81º = 0,73 rad. S  S( x,t )  0,30 Sen (28,1 x  400  t  0,73) m. x en m.

c) La ecuación diferencial de la onda :

t  s.

S  S( x, t )  S0 Sen ( kx  t   ) S( x, t )  0,30 Sen ( 8,1 x  400   0,73 )

Es solución de la ecuación diferencial de la onda:   2s   2   2s 1   2 s    1   s    x 2  2000   t 2   x 2 v 2   t 2     

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Problema 10. Se somete el extremo de una cuerda a un vibrador que al funcionar hace que una onda viaje a través de la cuerda. La ecuación de las vibraciones que le impone el vibrador a la cuerda está dada por:   y  10 Sen  t  cm., t en s., la onda resultante se propaga con una rapidez de 20 m/s. 5  Determinar la función de onda. Solución.

  y  10 Sen  t  5  A  10 cm    vibrador también lo   rad / s Del 5  son para la onda.

y

v x

La función de onda: y  y( x,t )  A Sen ( kx  t   )



   k (20)  k  m1 , considero   0 5 100     y  y( x,t )  0,10 Sen  x  t  m. ., x en m., t en s. 5   100 INTERFERENCIA – PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

La interferencia se refiere al encuentro físico de 2 o más ondas. Para estudiar la interferencia consideremos el siguiente modelo físico: 2 ondas que viajan a través de un mismo medio (la cuerda). Modelo Físico. onda 2

onda 1

mismo medio

(a) onda 1 Interferencia

onda 2 (b)

onda 1

onda 2 (c)

Figura 11. En (a) Las dos ondas se propagan en sentidos opuestos en el mismo medio. En (b) es donde se da la interferencia. En (c) Después c/u de las ondas se propagan conservando sus características de amplitud, frecuencia, rapidez de propagación.

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Análisis: Dos ondas 1 y 2 que se propagan en dirección x tienen igual amplitud, igual frecuencia además se hallan presentes de manera simultánea en el mismo medio (cuerda).

onda 1 onda 2 cuerda Figura 12. Si bien estas ondas tiene igual amplitud, igual frecuencia, igual rapidez de propagación pero diferente ángulo de fase inicial. Onda 1 : y1  A Sen ( kx  t   1 ) Onda 2 : y 2  A Sen ( kx  t   2 ) y  y1  y 2 : Principio de Superposición.

1 ( 2  1) Sen ( kx   t   ) 2 1 1 (B  C) Cos (B  C) Usando : Sen B + Sen C = 2 Sen 2 2 y  y1  y 2  2 A Cos

y  y1  y 2  A  Sen (kx  t   ) A   2 A Cos

1    ( 2  1 )  2 A Cos   2  2 

,

A  es la amplitud.

2  1   es la “diferencia de fase” ó “desfase”.

Comentario: a) La interferencia de dos ondas mecánicas da como resultado otra onda mecánica igual frecuencia f, igual rapidez v. b) 2  1   es la “diferencia de fase”, o desfase.

c)

 1 A   2 A Cos   ( 2  1) , A  es la amplitud.  2 es justamente el “Principio de Superposición”, la suma de los efectos. y1  y 2  y

Casos de Interferencia. 1    a) A   2 A Cos ( 2  1)  2A Cos   ,   2  1 2  2  Si:  1  2 ,

 A   A max  2A

“Interferencia Constructiva Total”. y 2A

y

y = y1 + y2

onda 1: y1 A

x

x

–A

onda 2: y2

– 2A INTERFERENCIA CONSTRUCTIVA TOTAL

Figura 13.

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“Existe una plena coincidencia entre mínimos y máximos de las ondas 1 y 2. Se le llama: INTERFERENCIA CONSTRUCTIVA TOTAL”. b) Supongamos:

2  1    1,85 rad.

y y

onda 1

A y = y1 + y2

1,2 A

onda 2 x x

–A

– 1,2 A

Figura 14 Para

  2  1  1,85 rad.

A  2A( / 2 )

  2  1  105,99º

A   2 A Cos 53º  1, 2 A

INTERFERENCIA CONSTRUCTIVA PARCIAL En la figura: Se observa un desfase x en m. entre las ondas 1 y 2, pero a pesar de ello tenemos una interferencia constructiva parcial. c) Si     rad.

y=0 x

“INTERFERENCIA DESTRUCTIVA TOTAL” onda 2

   y1  y 2  y  0 , si    rad  A   2A Cos  0  2  Figura 15 “La cresta de una onda cae exactamente sobre el valle de la otra”, Amplitud = A   0

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d) Si    2,74 rad. Tenemos otro caso como se observan en la figura: y(m) onda 1

A

onda 2

y = y1 + y2 0,4A

x(m) – 0,4A –A “INTERFERENCIA DESTRUCTIVA PARCIAL”.

Figura 16.     A   2A Cos   ,   2,74 rad  157º , A   0,4 A  2  Si bien la cresta de una onda no cae exactamente sobre el valle de la otra, A  no es cero si no es una fracción de A. Luego como Aˡ < A tenemos una Interferencia Destructiva Parcial. PROBLEMA 11. (Segunda Práctica Calificada UNI-FIM 2004-1) Sean las ondas unidimensionales 1 y 2 cuyas funciones de onda son:       y 1  5 Sen  x  60  t  cm. , y 2  5 Sen  x  60  t   cm. , x en cm. 4  20   20 a) Determinar que tipo de interferencia tenemos. Graficar ambas ondas y su interferencia. b) Hallar el desfasaje espacial  x. Solución: a) Por conveniencia graficamos para el instante t = 0 y(cm)

y(cm) 9,24

5

25 5

20

x(cm) x(cm)

–5

– 9,24

     A   2A Cos    2 (5) Cos    9, 24 cm. 2   8 Se observa “INTERFERENCIA CONSTRUCTIVA PARCIAL”

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b) De la gráfica x  5 cm. PROBLEMA 12. (Ex – Sustitutorio UNI-FIM 2013-I) y(cm)

2 cm/s

4

– 2 cm/s

A 2

B 2

4

6

8

10

12

14

16

18

x(cm)

20

Dos pulsos A y B se mueven en direcciones opuestas a lo largo de una cuerda tensa con una rapidez de 2 cm/s, la amplitud de A es dos veces la amplitud de B. Dibuje la forma resultante en t = 2,5 s. Solución: Observar que los pulsos triangulares tienen una base de 8-4=4cm. y 16-12=4cm., “bases iguales”. Graficando en t = 2,5 s. y(cm)

4 A+B 2

2

4

6

7

8

9

10 11

12

13

14

16

18

20

x(cm)

8+2,5(2) = 13

11-7=4

13-9=4

La onda A + B dibujada con trazo descontinuo es la superposición de A y B en el instante t =2,5s. PROBLEMA 13. Dadas las ondas unidimensionales y1 = (5cm) Sen (3x + 4t) x en m., t en s., y2 = (12 cm) Sen ( 3x + 4t -  / 2 ) , x en m., t en s. Determinar la amplitud de la perturbación ondulatoria superpuesta.

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Solución:

y(cm) y(cm)

12 2

13 5

12

1 5

x(cm)

x(cm) –5

– 12 “Los fasores (pseudosvectores) giran con rapidez angulares en sentido antihorario y su proyección vertical origina estas ondas 1 y 2”.

A 

122  5 2  13 cm

Observación: Se puede hallar la onda superpuesta. y  y 1  y 2 , y  A  Sen ( 3x  4t   )

 12    Ctg    67,38º ,   1, 176 rad.  5  y  13 Sen ( 3x  4t  1,176 ) cm , x en m ., t en s.

REFLEXIÓN – REFRACCIÓN EN ONDAS Reflexión de ondas a) Con extremos fijos: v onda incidente Pared o extremo fijo Vibrador u oscilador

v

Figura 17. “La onda reflejada se invierte, puesto que la pared que es un extremo fijo devuelve la onda desfasada  rad ”

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b) Con 1 extremo libre.

varilla lisa.

onda incidente. v

anillo. Extremo libre, tiene “libertad” para deslizar. “El movimiento del anillo funciona como un segundo vibrador u oscilador”.

onda reflejada. v

Figura 18. En este caso la onda reflejada no se invierte, porque el extremo donde está el anillo es “libre” de moverse.

REFRACCIÓN EN ONDAS. Modelo Físico Consideramos una cuerda ligera unida a otra más pesada. La onda reflejada está invertido en sentido contrario a la onda que se transmite. Estas cuerdas están sometidas a la tensión F. F

ligera

vibrador

gruesa



F : Fuerza de Tensión.

onda incidente

F

gruesa



Onda Incidente i

vibrador

V2 Onda transmitida: Refracción

vibrador

F

Onda reflejada R

VR Unión ó interfase.

 Ai    Vi  v 1     i

F 1

 AR    VR  v 1    R 

F 1

onda reflejada

Figura 19. La onda reflejada se invierte en la cuerda más ligera. La onda que continúa propagándose es la onda transmitida. En otras palabras cuando la onda incidente llega a la unión entre cuerdas una parte se refleja y la otra parte continúa propagándose, esta última es la refracción, la onda continua propagándose en el segundo medio pero alterando su amplitud, su rapidez de propagación, etc.

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Onda transmitida

  A  t  t   v2  

 i  R   t   oscilador, vibrador

F 2 “El vibrador impone la frecuencia al sistema”

Funciones de onda: y i  A i Sen ( k i x   i t ) y R  A R Sen ( k R x   R t ) “La onda reflejada se mueve hacia la izquierda” y t  A t Sen ( k t x   t t )

 i  R   t  

“La pendiente de la cuerda en la unión deberá ser igual ya sea que se evalúe por la izquierda o en la derecha”

 yi i R t



 yR



yt

x x x = onda incidente. = onda reflejada. = onda transmitida.

A i  AR  A t

….. (23)

AR con signo – porque está invertida, desfasada  rad. Además Potencia de la onda incidente.

=

Potencia de la onda reflejada.

+

Potencia de la onda transmitida.

P i  PR Pt

1 1 1 1 v1 2 A i2  1 v1 2 A R2  2 v 2 2 A 2t 2 2 2

….. (24)

Observación:

ligera

vibrador

incidente

“La onda reflejada no se invierte”.

reflejada

transmitido.

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PROBLEMA 14. (Física de Tipler – Tomo I) Dos cables de densidades lineales diferentes se sueldan uno a continuación del otro y después se estiran bajo una tensión F. La rapidez de la onda en el primer alambre es doble que en el segundo. La onda reflejada tiene la mitad de la amplitud que la onda transmitida. Si la amplitud de la onda incidente es Ai. Determinar: a) Las amplitudes de las ondas reflejada y transmitida. b) Suponiendo que no hay pérdidas, que fracción de la potencia incidente se refleja en la unión y que fracción se transmite?

Solución: a) Sabemos: A i  A R  A t

1 At 2 -porque está desfasada  rad, está invertida. AR  0 , AR  

vibrador Incidente : i

1 At  At 2 2 At  Ai 3 1 AR   Ai 3

Ai 

transmitida: t v2

VR = vi

Reflejada: R

b) Sabemos: Pi  PR  Pt

1 1 v1 2 A i2 2 1 1 1 PR  1 v1 2 A R2  1 v1 2 A i2 2 2 9 Pi 

Dato ,

v1  2 v 2

Pi 9, PR

PR 

1 Pi 9

Pt 

8 Pi 9

Ondas Estacionarias Las ondas mecánicas mencionadas anteriormente como son las ondas en una cuerda, en un resorte, en el agua, también se les denomina ondas viajeras. Si los sistemas en los que se desarrollan estas ondas son conservativas, la energía que transmiten y por consiguiente su amplitud son constantes. No obstante existen casos por ejemplo cuando pulsamos la cuerda de una guitarra, esta fija en extremos y la onda que se genera después que está se estabiliza no es una onda viajera, es una onda que se estaciona entre sus extremos: onda estacionaria. En estas cuerdas de guitarra al ser pulsados y tener los extremos fijados al cuerpo del instrumento en ellos no hay vibración, es más tienen vibración cero, estos puntos se les llama nodos. En cambio a mitad del camino un punto de estas cuerdas de guitarra vibran u oscilan con la mayor amplitud, a estos puntos se les llama antinodos. A este patrón de nodos y antinodos se le llama onda estacionaria. En la figura siguiente se ilustra lo que sucede al pulsarse una cuerda de guitarra en su punto medio.

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Antinodo

Amplitud del Antitodo: Amplitud máxima.





Nodo: Punto de Amplitud cero (amplitud mínima)

Nodo L

L: Longitud de la cuerda de guitarra.

Figura 20. En la figura 20, se observa el hecho de que en este patrón tenemos a la izquierda y a la derecha un nodo, y entre ellos un antinodo y luego es decir una mitad de longitud de onda a lo largo de L, es decir:

L

 2

……..(25)

Y el patrón o modo con que oscila la cuerda de guitarra de la figura 20 se denomina “MODO FUNDAMENTAL”. Es evidente que puede haber otros patrones o modos de oscilación, a todos estos casos se les conoce como ondas estacionarias y se pueden expresar todos estos modos en función del patrón o modo fundamental. ANÁLISIS DE UNA ONDA ESTACIONARIA Modelo Físico: Ondas estacionarias en una cuerda con extremos fijos. F

L onda incidente v

“La cuerda está tensada con la fuerza F, es homogénea de masa m y longitud L”.

onda reflejada

Figura 21. Como se ilustra en la figura 21, la onda que “se estaciona” entre los extremos al pulsar el punto medio de la cuerda de una guitarra está formada por la interferencia de una onda incidente y una onda reflejada, ambas ondas son ondas viajeras que se dan en todo momento, el efecto combinado de ambos (interferencia y superposición) dará origen a la onda estacionaria. Podemos

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seguir pensando en este modelo físico para otros casos y por analogía al pulsar la cuerda de la guitarra en otros puntos que no sea necesariamente el punto medio tendremos otros modos ó otras ondas estacionarias en general como se observa en la figura siguiente: F

cuerda fija en sus extremos L

v L

Modo fundamental o primer armónico.

Segunda

F   , 2

n  1, f1 

v 2L

 v     2 f 1 L  2   , n  2 , f 2  2  2    2L  3v  L  3   , n  3 , f3   3 f1 2 2L  

armónica

4v  L  4   , n  4 , f4   4 f1 2L  2     fn

Tercera Armónica

  L  n   , n  1, 2, 3, 4, ....  2 “números enteros”

 Figura 22. Onda incidente : y1  A Sen ( kx   t ) Onda reflejada : y 2  A Sen ( kx   t )

1 1 Haciendo uso de: Sen B  SenC  2 Sen (B  C) Cos (B  C) 2 2 La superposición de las ondas incidente y reflejada: y  y1  y 2  2 A Sen (kx ) Cos (t )  A( x ) Cos (t ) ….. (26) OBSERVACIONES: a) En una onda estacionaria en una cuerda con extremos fijos la amplitud de la partícula de su posición x, A( x )  2A Sen (kx ) y

x

x Amplitud A(x) que depende de la posición x de la partícula de la cuerda.

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En cambio en una onda mecánica viajera, cada partícula del medio material oscilaba con la misma amplitud, aquí en una onda estacionaria la amplitud es A(x) variable. A(x) = 0 es mínimo en los nodos y máximo igual a 2 A en los antinodos. b) En la ecuación (26), y representa el desplazamiento vertical de una partícula de la cuerda, obsérvese que y = y(x,t) c) Además como se observa en la figura 22, se forma una “serie de armónicos” en todos ellos:  L n   ……..(27)  2 Donde n = 1, 2, 3, 4, 5, …… “enteros positivos y negativos”

v

F  f 

v

F 2L  f  n

f

n  F   2 L   

fn  Donde :

n  F   2 L   

,

2L  n …… (28) n n = 1, 2, 3, 4, ….



, como f depende n : fn

………..(29)

n = 1, 2, 3, 4, 5, ….

En la figura 22 se muestran las ondas estacionarias mediante una sucesión de armónicos, en el caso de la cuerda de una guitarra que está sujeta a una tensión F, la forma en que se puntee determina las armónicas que se generan y la amplitud de cada una. d) Para una sola cuerda fija en sus extremos, se puede pasar de un armónico inferior por ejemplo n=1 a un armónico superior por ejemplo n=2 manipulando la fuerza de tensión F. También se puede pasar de un armónico superior por ejemplo n = 3 a un armónico inferior n = 2 manipulando el valor de F. e) Asimismo se puede generar diferentes ondas estacionarias por consiguiente diferentes armónicos manipulando L, es decir con L variable y manteniendo constante el valor de la Tensión F, esto se puede conseguir con el siguiente montaje muy utilizado en laboratorio. F

L

F

“El peso suspendido origina la tensión F” “Polea sin fricción y de pequeña dimensión”.

F Vibrador

m mg=F y

x

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“En la medida que acerque o aleje el vibrador de la polea, L será variable y se puede conseguir diferentes ondas estacionarias correspondientes a diferentes armónicos, en la figura se observa un armónico con n = 2. Nótese que L es la distancia del vibrador a la polea, no se toma en cuenta el tramo de cuerda suspendido.

f)

También se puede generar ondas estacionarias en una cuerda con 1 extremo fijo en el vibrador y 1 extremo libre proporcionado por un anillo como se observa en la figura.

Varilla lisa F L vibrador

anillo

Onda incidente v F vibrador

El anillo se convierte en un segundo vibrador.

F vibrador

Onda reflejada

n=1 En el extremo libre siempre habrá un antinodo de porque justamente está libre para poder oscilar. n=3

  n = 1, 3, 5, 7, 9, ….. “Solo armónicos impares”

 L n   4 4L  n n

Se demuestra

fn  n

v n n   4L 4 L 4L

n  1, 3 , 5 , 7 , 9 ,... n  1, 3 , 5 , 7 , 9 ,...

F , n  1, 3 , 5, 7 , 9 , ...... “Sólo armónicos impares” 

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PROBLEMA 15. Es un violonchelo, la cuerda de la nota la tiene   1, 60 g / m de masa por unidad de longitud y mide 0,70 m. ¿Qué tensión se necesita para que la frecuencia fundamental sea 440 Hz? Solución: Es este instrumento, la cuerda está fija en sus extremos.

fn n

v n  2L 2 L

n =1

n = 1,

f 1  440 

F  1 2 (0,70)

F 1, 6 x 10 3

F  607 N

PROBLEMA 16. La función de onda y(x,t) correspondiente a una cierta onda estacionaria en una cuerda fija por ambos extremos viene dada por y(x,t) = 0,30 Sen (0,2 x) Cos (300 t) x,y en cm., t en s. Determinar: a) La longitud de onda y frecuencia. b) La rapidez de las ondas transversales en esta cuerda. c) Si la cuerda está vibrando en su cuarto armónico. ¿Cuál es su longitud? Solución: Consideramos la información dada anteriormente.

y( x,t )  y  2 A Sen (kx ) Cos (t )  0,30 Sen (0,2 x ) Cos (300 t )

a)

2 ,   10  cm.    2  f  300 , f = 47,75 Hz.

k  0,2 cm 1 

b)

vy 

y cm  0,3 (300) Sen (0,2 x ) Sen (300 t )   90 Sen(0,2 x ) Cos (300 t ) t s

c)

Ln

  10    4   20  cm. 2  2 

vibrador

L PROBLEMA 17. (Segunda Práctica Calificada UNI-FIM 2010-I) Un alambre de teléfono con   45 g / m. se tensa entre dos partes separadas a 25 m. uno de otro. Cuando unas ráfagas de viento lo golpea a 1,7 veces por segundo, se establecen en el, ondas estacionarias. Suponiendo que se excita el modo fundamental determinar la tensión en el alambre. Solución: f  1,7 Hz.   2f

F

L = 25 m.

f  fn 

f

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v 2L

n F 2L 

n = 1,

f 1  1, 7 

1 2 (25)

F 45 x 10 3

F  325,1 N

PROBLEMA 18. Se fija una cuerda de 2 m. por un extremo y se lo hace vibrar en su extremo izquierdo generándose el armónico 3. El mayor desplazamiento de un segmento cualquiera de la cuerda es de 3 cm. La frecuencia del vibrador u oscilador es de 100 Hz., se pide: a) Escribir la función de onda estacionaria. b) Si la tención en la cuerda es de 20 N., hallan la energía cinética máxima para un segmento de cuerda de 1 cm. de longitud (   0 ,01kg / m ) ubicado en x = 1m en el instante t 

1 s. 3

Solución:

y  2 A Sen (kx ) Cos (t )  A( x ) cos (t )

a)

L  2n

L = 2 m. y

vy

23

A(x)

x

k

x



 2

 2

4 2 m., k  3 

f = 100 Hz.

2 2 3    cm1  4/3 2

,   2  f  2  (100)  200 

rad / s

Luego: y  y( x,t )  3 Sen (kx ) Cos (t )

3  y  y( x,t )  3 Sen   x  Cos  200  t  cm., x en cm., t en s. 2  

b)

 Ek 

1 1 m v 2y  u x v 2y 2 2

,

  0,01kg / m , x  1 x 10 2 m. vy 

y  3   3 (200) Sen  x  Sen (200 t ) t  2 

 3  v y  600  Sen  x  Sen (200 t ) cm / s  2 

1 (0,01) (0,01) v y( 1 , 1/ 3 ) 2  1 1  3     Ek  (0,01) (0,01)   600  Sen    Sen  200    0,081 J. 2 3  2   

Luego:  Ek 

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PROBLEMA 19. (Segunda Práctica Calificada UNI-FM 2009-II) Una cuerda oscila según la ecuación: y = 0,520 Sen (1,14x) Cos (137 t) x, y en cm., t en s. Esta oscilación se generó por dos ondas de igual amplitud, rapidez de propagación, igual frecuencia, se pide: a) La amplitud de las ondas que generan la oscilación en la cuerda. b) La rapidez de propagación de las ondas que generan la oscilación en la cuerda. Solución: a) Consideramos cuerda fija en sus extremos para generar la onda estacionaria cuya función de onda y: y = 0,520 Sen (1,14x) Cos (137 t) x,y en cm. , t en s.

L

Comparándolo con y = 2A Sen (kx) Cos ( t ) A  0, 26 cm

2A = 0,520 , b)

  137 rad / s ,   kv

k  1, 14 cm1

, 137 1,14 v v  120,17 cm / s ,

v  1, 2017 m / s

PROBLEMA 20. (2da. Práctica Calificada 2009-II) De acuerdo al sistema oscilatorio de la figura, determinar la longitud de onda para el armónico 3. anillo

L = 120 cm

Varilla lisa

oscilador Solución: Tenemos 1 extremo libre en el anillo.

L  120 cm.  n

   3 ,   1, 6 m.   3 4 4

anillo L = 120 cm Varilla lisa

oscilador

“Onda estacionaria en una cuerda con un extremo libre”

en el extremo libre tendremos siempre 1 antinodo porque justamente al ser libre tiene libertad de oscilar, no es fijo.

oscilador

n=3

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PROBLEMAS PROPUESTOS (Fuente: Física, La naturaleza de las cosas: Susan Lea Editorial Pearson - 2003)

PROBLEMA Nº 1.La función de una onda armónica en una cuerda es:

y ( x , t )  (1.00 mm) sen  (62.8 rad / m) x  (314 rad / s) r



¿En qué dirección viaja esta onda y cuál es su velocidad? Determine su longitud, frecuencia y periodo, y el desplazamiento máximo de cualquier segmento de cuerda. PROBLEMA Nº 2.- Cuando t = 0, la función:

7.5 x 104 m3 x 2  (0.050m. )2 Describe un impulso ondulatorio en una cuerda. Si el impulso viaja hacia la izquierda a 370m/s, obtenga una ecuación y(x,t) para el desplazamiento cuando t > 0. ¿Cuál es el desplazamiento máximo? f ( x) 

PROBLEMA Nº 3.La ecuación:

y( x, t ) 

0.54 m3 2 220m2   x  ( 430 m / s) t 

Describe un impulso ondulatorio en una cuerda. Calcule la velocidad de la onda. ¿Cuál es el desplazamiento máximo de la cuerda? ¿Dónde se presenta ese máximo cuando t = 0 y en caso de que t = 25 ms?

PROBLEMA Nº 4.- La función:

y ( x , t )  (5.0 cm. ) sen  (3.0 rad / m) x  (5.0 rad / s) t  3  / 4 

Describe a una onda. Trace una gráfica de y (x, 0) y una de y (0.6 m, t). En la primera gráfica, marque dos puntos separados por una longitud de onda, y en la segunda, dos puntos separados por un periodo.

PROBLEMA Nº 5.Una perturbación ondulatoria armónica en un sistema viaja hacia la derecha a 10.0 m/s. Su frecuencia es de 50.0 Hz., su amplitud de 0.750 mm. y su desplazamiento en el momento t = 0 y en la coordenada x = 3.25 m, es cero y disminuye con el tiempo. Deduzca la función de esta onda.

PROBLEMA Nº 6.La ecuación y( x, t )  (2.00 cm) sen  (6.28rad / m) x  (3.14 rad / s) t  1.047  Describe el desplazamiento debido a una onda en una cuerda. Determine la longitud y la velocidad de la onda. Trace la onda cuando t = 0 s. En la gráfica marque un lugar donde la fase de la onda sea 3 / 4. PROBLEMA Nº 7.En la cuerda, una onda armónica tiene 5.0 m/s de velocidad, 1.0 m de longitud y se desliza hacia la derecha. Cuando t = 0 y x = 0.33 m., se observa que el desplazamiento de la cuerda es cero y que aumenta con el tiempo. El desplazamiento máximo en cualquier sitio de la onda es de 0.050m. Escriba la función de esta onda y (x,t) y trace una gráfica donde se aprecia el desplazamiento en función de x cuando t = 0 y cuanto t = 0.100 s.

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PROBLEMA Nº 8.Cuando t = 0, una perturbación ondulatoria tiene la forma que vemos en la figura. Si la velocidad de la onda es de 510 m/s hacia la izquierda, escriba la función de onda en la forma y = A (kx  t  0 ), dando valores numéricos a A, k ,  y 0 .

y(m) 1.0 0.5 15

9 – 0.5

10

20

x(m)

– 1.0

PROBLEMA Nº 9.Una onda con 5.0 m de amplitud y 0.33 m. de longitud se propaga por una cuerda de guitarra de 6.31 g/m de masa por unidad de longitud y a la tensión de 290 N. Compruebe que el peso, gdx de un segmento de la cuerda es mucho menor que el componente y máximo neto de la tensión, T ( 2 y / x 2 ) dx ¿Para qué amplitud de onda tienen los dos una magnitud comparable? PROBLEMA Nº 10.Una fibra de cuarzo, cuando está torcido, ejerce una torca, que es proporcional al ángulo de torcimiento por unidad de longitud:    d / d . Deduzca una ecuación del desplazamiento,  ( x, t ) a lo largo de esa fibra, en función de  , de la masa por unidad de longitud  , y del radio r de la fibra. ¿Cuál es la velocidad de las ondas de torsión en la fibra? PROBLEMA Nº 11.Un oscilador envía ondas por una cuerda estirada. Si se mantiene fija la potencia del oscilador, ¿cómo depende la amplitud de las ondas de la frecuencia del oscilador? PROBLEMA Nº 12.¿Cómo se compara la potencia promedio que transmite una onda con la potencia máxima transmitida en determinado punto? ¿Es igual la potencia instantánea transmitida por una onda en cada punto en determinado momento? ¿Es similar la potencia promedio en cada punto? PROBLEMA Nº 13.Calcule la potencia promedio que transmite una onda de 256 Hz, cuya amplitud es de 0.44 m. y que viaja por una cuerda cuya tensión es de 660 N y su masa por unidad de longitud de 8.0 g/m. PROBLEMA Nº 14.Un oscilador de 440 Hz. con 120 W de salida de potencia manda ondas por una cuerda cuya tensión es de 950 N y   25 g / m. ¿Cuál es la amplitud de dichas ondas? PROBLEMA Nº 15.Una onda con 0.35 mm de amplitud y 440 Hz. de frecuencia se propaga a través de una cuerda, cuya masa por unidad de longitud es   5.0 g / m. ¿Cuál es la tensión en la cuerda, si la potencia media transmitida por la onda es de 0.77 W?

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PROBLEMA Nº 16.¿Qué onda se debe agregar a la siguiente, para formar una onda estacionaria? y ( x , t )  (0.30 cm) sen  (15rad / m) x  (120 rad / s) t



PROBLEMA Nº 17.En una onda estacionaria unidimensional. ¿Qué fracción de longitud de onda es la distancia que separa a a) dos nodos, b) dos antinodos y c) un nodo de un antitodo? PROBLEMA Nº 18.Determine la frecuencia fundamental y las tres primeras armónicas de una cuerda de guitarra de -3 0.650 m de longitud, masa por unidad de longitud de 6.31 x 10 kg/m y 289.9 N de tensión. PROBLEMA Nº 19.Una cuerda de guitarra, la de mi agudo, tiene 99.06 cm. de longitud y 0.430 g. de masa. ¿Cuál es su masa por unidad de longitud? ¿Qué longitud de esa cuerda se debe usar en la guitarra para que la frecuencia fundamental sea de 330 Hz con 79.0 N de tensión? PROBLEMA Nº 20 ¿Qué tensión se requiere en una cuerda para piano, de acero, afinada a 1760 Hz., si su longitud es de 0.80 m. y su diámetro de 0.80 mm? Compárela con una cuerda afinada a 110 Hz. con 0.80m. de longitud y 2.0 mm de diámetro acero  7.86 x 103 kg / m3





PROBLEMA Nº 21.Exprese la superposición de las siguientes ondas como una sola onda armónica: y1  (5.0 cm) sen  (2.0 rad / m) x  4.0 rad / s ) t  y y 2  ( 12 cm) sen  (2.0 rad / m) x  ( 4.0 rad / s ) t   / 2



¿Cuál es la amplitud de la perturbación ondulatoria superpuesta? (Sugerencia : defina la fase de y1 como  exprese y1 en función de  . Trace un diagrama que muestre como se relacionan y1 y y2 con  ) PROBLEMA Nº 22.Ajustando la longitud de la onda incidente ¿puede usted variar la fracción de potencia que transmite, una onda a través de una unión de dos cuerdas? ¿Por qué? PROBLEMA Nº 23.Una onda de amplitud A y número de onda k incide en la unión entre dos cuerdas. Si el número de onda de la segunda cuerda es 2k, determine las amplitudes de las ondas transmitida y reflejada. ¿Qué tracción de la potencia incidente se transmite? PROBLEMA Nº 24.Una onda cuya función es:

y ( x, t )  0.20 cm sen (11 rad / m) x  (150 rad / s) t incide en una unión con una cuerda que tiene la mitad de la masa por unidad de longitud. ¿Cuánta potencia (en promedio) se transmite segunda cuerda, si su masa por unidad de longitud es de 6.50 g/m?

PROBLEMA Nº 25.Una onda de 0.35 mm de amplitud y 0.45 m de longitud propaga a través de una cuerda con   6.5 g / m, hacia una unión, una segunda cuerda. La amplitud de la onda transmitida es de 0.29m. Determine la masa por unidad de longitud de la segunda cuerda. PROBLEMA Nº 26.Una onda se propaga por una cuerda hacia una unión con segunda cuerda. La onda transmitida y la onda reflejada transportar cada una, exactamente la mitad de la potencia incidente. Calcule la relación de la masa por unidad de longitud de la primera con la de la segunda.

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PROBLEMA Nº 27.Tres cuerdas de igual tensión y masa por unidad de longitud, unen según se observa en la figura con  = 60º. Si una onda se propaga hacia la unión en una de las cuerdas, determine la onda reflejada y la transmitida en cada una de las otras dos. (Suponga que desplazamiento ondulatorio es perpendicular al plano de la figura).

PROBLEMA Nº 28.a) En aguas profundas, en el caso de las olas superficiales las cantidades físicas que intervienen para determinar la velocidad de la ola son la aceleración de la gravedad g y la longitud de onda  . Aplique el análisis dimensional para determinar la dependencia entre la velocidad de la ola, g y  . Compare la velocidad de las olas superficiales que se propagan en el mercurio, con las que se propagan en agua. ¿Se propagarían las ondas superficiales con mayor rapidez o lentitud en una piscina en la Tierra o en la Luna? b) Cuando la profundidad del agua es aproximadamente, menor a una longitud de onda, la longitud determinante es la profundidad, y no  . Aplique el análisis dimensiona, para determinar la velocidad de las olas superficiales.

PROBLEMA Nº 29.Determine la densidad de energía cinética k  1  ( y / t )2 y la densidad de energía potencial, 2

uo  Ty / x 2 para una onda estacionaria y(x,t) = A sen x / L  cos t en una cuerda de longitud L y masa por unidad de longitud  . Demuestre que la energía total de la cuerda permanece constante. PROBLEMA Nº 30.Una cuerda con 1.0 m. de longitud y 10.0 N de tensión tiene una onda estacionaria en ella, con el desplazamiento:



y( x, t )  (1.2 mm) sen (rad / m) x  cos (2.0 x 103  rad / s) t



Calcule la transferencia de potencia a lo largo de la cuerda. Si para la cuerda, la densidad de 1 2 energía potencial es u  T (y / x ) , grafique esquemas de las densidades de energía potencial 2 y energía cinética y de la transferencia de potencia en los momentos t  0 ,  / 4 ,  / 2 , 3 / 4 y  . Examine cualitativamente sus resultados para comprobar que sean consistentes con la conservación de la energía. PROBLEMA Nº 31.- (Fuente: Prácticas UNI – FIM 2008 – 2014) 3 La velocidad de propagación de una onda es de 330 m/s, y su frecuencia, 10 Hz. Calcúlese: a) La diferencia de fase en un determinado instante entre dos partículas que distan entre sí, 2,75 cm. b) La diferencia que existe entre dos partículas que se encuentran desfasadas 120º.

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