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• Jose Guevara Chavez

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Las parrillas son estructuras planas con cargas perpendiculares a su plano. Las barras se suelen modelar como elementos unidimensionales que trabajan a flexión y torsión. Las fuerzas de sección en las barras son: cortante, momento flector y momento torsor. No existe fuerza axial en las barras ya que las cargas son perpendiculares al plano de la parrilla. Para analizar este tipo de estructuras mediante el método de Rigidez, es necesario considerar tres gdl en cada nudo: dos rotaciones contenidas en el plano de la parrilla y un desplazamiento vertical perpendicular al plano. La rigidez en flexión de las barras es la misma que para el caso de los pórticos planos y la rigidez en torsión de la barra (el cociente entre el momento torsor y el giro correspondiente) se calcula mediante

𝐾𝑡 =

G=

𝑀𝑡 𝜃𝑡

=

𝐸 2(1 +𝑉)

𝐺𝐽 𝐿

(Módulo de Rigidez al esfuerzo cortante)

El termino J depende de las características geométricas la sección transversal de la barra. Para barras de sección circular, J corresponde al momento polar de inercia de la sección (J = 𝜋𝐷2 /32). En las barras de sección rectangular las secciones planas se alabean por el efecto de la torsión, por lo tanto el cálculo de J es bastante más complejo, la teoría de la elasticidad indica que si se acepta la torsión de Saint – Venant se tendrá: J= 𝛽ℎ𝑏 3

𝛽≅

1 3

𝑏

(1 − 0.63 ℎ)

En la ecuación anterior b es el lado menor de la sección y h el lado mayor Ejemplo 01 Analicemos la parrilla cuya vista en planta se indica a continuación, que está contenida en el plano XZ. Las barras son de concreto armado de sección rectangular. Sobre la barra 2-3-4 actúa una carga repartida vertical de 10 ton/m. Los únicos grados de libertad de la parrilla pertenecen al nudo 3, un desplazamiento vertical (D1), una rotación alrededor del eje X (D2) Y una rotación alrededor del eje Z (D3). La rotación D2 origina flexión en la barra 1-3-5 y torsión en 2-3-4 mientras que la rotación 03 produce el efecto inverso.

Nótese que la rigidez torsional, medida a través de GJ, es bastante menor que la rigidez a flexión medida a través de EI. Estado Primario

Diagrama de momentos en el Estado Primario:

En el Estado Primario los momentos torsores en todas las barras son nulos. Estado Complementario 45 {Q} = − {R} = { 0 } −22.5 Coeficientes de Rigidez

Momento Torsor = O(en todas las barras) Vistas auxiliares:

- Dz= 1. En la barra 1-3-5se produce flexión yen 2-3-4torsión.

Vista auxiliar:

- D3 = l. En la barra 2-3-4 se produce flexión y en 1-3-5 torsión

Por la simetría de la estructura: K33 =k32 =0.5GJ +2EI =2.1SEI K23 =k32 =0 ki3 =0.5EI Matriz de rigidez y solución del sistema de ecuaciones

Diagrama de momentos flectores y torsores

Veamos la diferencia de comportamiento de la estructura en el caso en que no hubiera existido la viga perpendicular (barra 1-3-5). La viga (barra 2-3-4) que es la que soporta toda la carga externa, trabajaría como como doblemente empotrada tal como se muestra a continuación:

Calculemos la fuerza que hace la viga (parra 1-3-5) que no tiene carga externa, sobre la viga cargada (barra 2-3-4) para ello hagamos un diagrama de cuerpo libre del nudo 3:

Por lo tanto, el comportamiento de la viga (barra 2-3-5) en términos de flexión y cortante, es equivalente al mostrado en la figura a continuación, en la cual se ha remplazado la viga perpendicular por las fuerzas que esta ejerce sobre fa viga 2-3-4.

Si la rigidez torsional de ambas vigas fuera nula, la unión entre ellas (nudo 3) equivaldría a un apoyo simple, como se muestra a continuación:

En el caso de apoyo simple entre ambas vigas, el modelo que podría emplearse para el análisis se indica a continuación. En este modelo la viga (barra 1-3-5) se ha remplazado por un resorte de rigidez K cuyo valor puede calcularse como se indica a continuación.

Si GJ =O, también es posible obtener la Matriz de Rigidez de la estructura haciendo nulos todos los términos que incluyen el parámetro GJ en la matriz de rigidez calculada previamente: