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AGRADECIMIENTO A Dios, por brindarnos la dicha de la salud y bienestar físico y espiritual A nuestros padres, como agradecimiento a su esfuerzo, amor y apoyo incondicional, durante nuestra formación tanto personal como profesional. A nuestros docentes, por brindarnos su guía y sabiduría en el desarrollo de este trabajo.

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INDICE AGRADECIMIENTO ..................................................................................................... 1 OBJETIVOS ................................................................................................................. 4 INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 5 CAPITULO I - MARCO HISTÓRICO ............................................................................ 6 CAPITULO II – ANALISIS ESTRUCTURAL ................................................................ 8 CONSIDERACIONES GENERALES ......................................................................... 8 ELECCION DEL TIPO DE DISEÑO ....................................................................... 8 EVALUACION DE LAS CARGAS Y ACCIONES EXTERNAS ............................... 8 CALCULO DE SOLICITACIONES INTERNAS Y EXTERNAS ............................... 9 DIMENSIONAMIENTO .......................................................................................... 9 VERIFICACION DE LAS DEFORMACIONES ....................................................... 9 EVALUACION DEL DISEÑO ................................................................................. 9 CAPITULO III - ARMADURAS ................................................................................... 11 CONTEXTO DE ARMADURA.............................................................................. 11 Determinación de esfuerzos ............................................................................. 12 Determinación de resistencia y rigidez ............................................................. 12 CLASIFICACIÓN ................................................................................................. 12 Armaduras Planas ............................................................................................ 12 ARMADURAS TRIDIMENSIONALES .................................................................. 13 TIPOS DE ARMADURAS .................................................................................... 13 Armadura Long ................................................................................................ 14 Armadura Howe ............................................................................................... 14 Armadura Pratt ................................................................................................. 14 Armadura Warren............................................................................................. 15 Armadura Vierendeel ....................................................................................... 15 Tipos de armaduras para puentes .................................................................... 16 CAPITULO IV – METODOLOGÍA .............................................................................. 17

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EL MÉTODO DE LAS FUERZAS ............................................................................ 17 a)

Vigas ............................................................................................................ 18

b)

Pórticos ........................................................................................................ 18

c)

Reticulados ................................................................................................... 19

ESENCIA DEL MÉTODO ........................................................................................ 20 Interpretación física de las ecuaciones canónicas: .............................................. 21 Teorema de Maxwell sobre desplazamientos recíprocos. Ley de Betti. ............... 21 CÁLCULO DE ASIENTOS: .................................................................................. 27 MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS. .............................................................. 28 ENFOQUE GENERAL: ........................................................................................ 28 MÉTODO DE PENDIENTE-DEFLEXIÓN (P-D)....................................................... 30 ECUACIONES DE MANEY.................................................................................. 31 Momentos de Empotramiento Perfecto ................................................................ 32 CONCLUSIONES ....................................................................................................... 37 BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................... 38

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OBJETIVOS El objetivo general del tema es lograr una clara comprensión y dominio de los principios básicos que fundamentan el análisis estructural, a fin de aplicar criteriosamente los métodos basados en el planteo de las condiciones de compatibilidad y equilibrio, incluyendo procedimientos aproximados para determinar esfuerzos y deformaciones generados en estructuras planas y espaciales conformadas por barras y sometidas a diversos tipos de solicitaciones. •

Determinar las fuerzas internas en la armadura, es decir, las fuerzas de acción y reacción entre los elementos o barras que la forman.

•

Analizar el método matricial para solucionar armaduras.

•

Desarrollar y explicar paso a paso el proceso de solución de armaduras con el método de fuerzas.

•

Analizar el método para solucionar armaduras.

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INTRODUCCIÓN los métodos la fuerzas, llamado también métodos de las flexibilidades o métodos de las deflexiones compatibles, son convenientes para el análisis de estructuras pequeñas, con unos cuantos elementos redundantes. Se suprimen un número suficiente de estas redundantes, de modo que se logre una estructura estáticamente determinada, o sea, la estructura por analizar se convierte en una estructura isostática en la que se satisfacen las condiciones de equilibrio. Se calculan los desplazamientos (lineales o angulares) en la dirección de las redundantes canceladas. Las redundantes deben ser de una magnitud tal que fuercen a sus puntos de aplicación a volver a su posición original de deflexión nula. Se establece una ecuación para la condición de deflexión en cada redundante y éstas se despejan de las ecuaciones resultantes. Estos métodos también se usan para deducir las relaciones de fuerza-deformación en los miembros, necesarias para desarrollar los métodos de los desplazamientos.

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CAPITULO I - MARCO HISTÓRICO Durante el Renacimiento este tipo de construcción fue revivida por Palladio. Se piensa que el arquitecto italiano Andrea Palladio (1518-1580) fue uno de los primeros en analizar y construir armaduras. Sus muchos escritos sobre arquitectura incluyen descripciones detalladas y dibujos de armaduras de madera, fundamentalmente de para puentes, similares a las que se usan en la actualidad. El cálculo de armaduras isostáticas (estáticamente determinadas) es un problema estructural sencillo y todos los elementos para su solución se tenían en el siglo XVI, es sorprendente que antes del siglo XIX no se hubiera hecho algún intento hacia el diseño “científico” de elementos de armadura. Para lograr esto fue decisiva la construcción de los ferrocarriles que comenzó en el año 1821. Toda la teoría de diseño de armaduras fue completamente terminada entre 1830 y 1860. Los primeros ferrocarriles que se construyeron en Europa Occidental se hicieron en áreas densamente pobladas, los puentes a construir debían tener un carácter permanente, por lo que arcos de piedra y vigas o arcos de hierro colado fueron las soluciones idóneas. Para el caso de Estados Unidos y Rusia, la escasa densidad de población y las grandes distancias obligaron a buscar, inicialmente, una solución más económica y durante los primeros años se usó mucho la armadura de madera. Las armaduras de Howe, conocidas aún por ese nombre, eran iguales a las de Palladio, excepto en que se empleaba hierro para los tensores. Después de 1840, los puentes del mismo tipo fueron construidos de hierro forjado, y el costo del material impuso los métodos científicos de diseño. El primer análisis “científico” de armadura fue realizado en 1847 por Squire Whipple, un constructor de puentes norteamericano de la ciudad de Utica, N.Y. En 1850 D. J. Jourawski, un ingeniero ferroviario ruso, creo el método de solución de los nudos, por el cual se obtienen los esfuerzos en los miembros considerando las condiciones de

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equilibrio de cada nudo a la vez; sin embargo, esto no se conoció en Occidente hasta que el ingeniero ferroviario alemán Kart Culmann, profesor del Politécnico de Zurich, lo publicó independientemente unos años después en 1866. En 1862 el ingeniero alemán A. Ritter, planteó otro método analítico: el método de las secciones. Ritter cortó la armadura a lo largo de una línea imaginaria y sustituyó las fuerzas internas por fuerzas externas equivalentes. Haciendo sumatoria de momento en puntos convenientes (puntos de Ritter) pueden obtenerse todas las fuerzas internas. Clerk Maxwell, profesor de Física y Astronomía del Kinas Collage, en Londres, publicó en 1864 la conocida solución gráfica del diagrama de esfuerzos recíprocos, una de las más notables contribuciones a la teoría de estructuras, la cual fue hecha por un científico que no tenía vínculo alguno con las estructuras, sino que es conocido por su teoría del electromagnetismo. Este profesor de Física también sentó las bases para un método de análisis de estructuras estáticamente indeterminadas: método de las fuerzas, la flexibilidad o Maxwell-Mohr. Los tres métodos para el análisis de armaduras fueron desarrollados en un período menor de veinte años, después de diseñarse empíricamente armaduras durante siglos. Esto demuestra, una vez más, que la necesidad es la madre de la inventiva. Todos estos métodos de cálculo suponen que los miembros de las armaduras se unen por articulaciones y en realidad las primeras armaduras así se unieron. Por ejemplo, la armadura patentada por el inglés James Warren en 1848 eran miembros de hierro colado que trabajaban a compresión o tensión con agujeros para los pasadores incorporados en la fundición: una clásica articulación.

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CAPITULO II – ANALISIS ESTRUCTURAL CONSIDERACIONES GENERALES Aún a riesgo de incurrir en algunas reiteraciones creemos conveniente referirnos a algunos conceptos generales. En el diseño de estructuras se tendrán en cuenta diversos factores que el proyectista deberá armonizar de manera tal de optimizar el diseño para cumplir con premisas de funcionalidad, seguridad, economía y belleza de diseño entre otras condiciones. Factores a considerar para ello. a) Elección del tipo de estructura que satisfaga las condiciones requeridas en el proyecto de la obra. b) Evaluación de las cargas y acciones a que se la someterá. c) Cálculo de las solicitaciones externas e internas. d) Dimensionamiento de los distintos elementos que componen la estructura. e) Verificación de las deformaciones. f) Evaluación del diseño elegido a fin de aceptarlo, corregirlo o cambiarlo. g) Análisis de costos para la ejecución y para el mantenimiento. ELECCION DEL TIPO DE DISEÑO Tema fundamental que esta condicionado por una gran variedad de factores entre los cuales mencionamos: Forma de la estructura con distintas alternativas como pueden ser: - Isostáticas o hiperestáticas; - Laminares o de barras; - Tridimensionales o planas; - Reticuladas o de alma llena; - De hormigón, acero, maderas, o mixtas; - Fabricadas in situ o prefabricadas, etc. EVALUACION DE LAS CARGAS Y ACCIONES EXTERNAS En general dependen del uso a que esta destinada la estructura y las podemos intentar clasificar como: 

Cargas Permanentes, como pueden ser: su peso propio, acciones de elementos de la construcción (paredes, pisos, empujes de suelos, presiones hidráulicas).



Cargas Variables, como por ejemplo cargas debidas al uso (muebles elementos a almacenar, publico en un cine), cargas de viento, cargas de tránsito en un

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puente o una rampa; cargas dinámicas, como maquinarias, variaciones de temperatura, etc. 

Cargas accidentales, que tienen poca posibilidad de producirse como terremotos o tornados en algunas zonas, accidentes en una planta atómica, etc., y que deben ser consideradas o no en forma muy especial. En general las cargas a aplicar están especificadas en los reglamentos, a los cuales hay que agregarle un análisis producto de la experiencia.

CALCULO DE SOLICITACIONES INTERNAS Y EXTERNAS Esto implica el cálculo de Momentos Flectores, Esfuerzos de Corte y Normales, Momentos Torsión y Reacciones, y se denomina Análisis de Estructuras, que es el objetivo del curso para Estructuras Hiperestáticas. DIMENSIONAMIENTO Con el conocimiento de los esfuerzos en los elementos componentes es posible su dimensionamiento sobre la base de las solicitaciones y el tipo de material a utilizar. Las dimensiones encontradas deben ser comparadas con las previstas en el pre dimensionamiento. VERIFICACION DE LAS DEFORMACIONES Los reglamentos dan normas sobre las rigideces que deben tener los elementos estructurales a efecto de que no produzcan deformaciones excesivas, y en algunos casos, dichas deformaciones deben ser calculadas y comparadas con las especificadas. EVALUACION DEL DISEÑO Terminado el diseño y sus dimensiones, el mismo debe ser sometido a un análisis critico con el fin de aceptarlo o introducirle modificaciones, ya sea en su morfología como en su dimensionamiento, con el fin de optimizarlo tanto en su parte funcional como económica y constructiva. Se podría llegar al caso extremo de que el diseño propuesto fuera irracional y deba elegirse uno o más acorde con los requerido ESTABILIDAD. INDETERMINACION ESTATICA Y GEOMETRICA Veamos en forma sintética algunos conceptos muy simples a aplicar en las estructuras, referidas mas que a su resistencia, a su forma y vinculaciones internas y externas. Haremos entonces una primera clasificación en: a) Estructuras inestables: Son aquellas que no están diseñadas para soportar cualquier sistema de cargas y que solo pueden estar en equilibrio bajo cierto

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estado de cargas exteriores. Constituyen Cadenas Cinemáticas o Mecanismos, y a fin de dar ejemplos, si bien los conceptos son generales, nos referimos al caso de las vigas.

Es evidente que la estructura es un mecanismo con un grado de libertad que solo estará en equilibrio para una relación de cargas P1 y P2, que dependerá de las longitudes y su punto de aplicación. Es inmediato que solo existirá equilibrio si se cumple que 4 P P 2 1 = , mientras que cualquiera sea P3 no se desequilibrará el sistema. b) Estructuras estables: son aquellas que están diseñadas para soportar cualquier sistema de cargas sin perder su estabilidad, dependiendo de las fuerzas aplicadas las reacciones que aparecerán para equilibrar la estructura

El primer caso es similar al caso a) al cual le hemos eliminado una articulación convirtiendo a la estructura en isostática y la podemos calcular con la aplicación de las condiciones de equilibrio que nos proveerán las ecuaciones necesarias para el cálculo de las 3 reacciones. En el segundo caso hemos eliminado la otra articulación modificando el sistema y convirtiendo a la estructura en un hiperestático de Primer Orden o Grado, ya que tiene un vínculo sobreabundante o no estrictamente necesario para la estabilidad del sistema. Para calcular este caso necesitamos aplicar, además de las Condiciones de Equilibrio, Condiciones de Deformación. Del camino que elijamos para resolver el conjunto de ecuaciones que nos proveen las Condiciones de Equilibrio y la Compatibilidad de las Deformaciones surgirán los dos principales Métodos.

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CAPITULO III - ARMADURAS La armadura es una de las principales estructuras que se usan en la ingeniería, ya que proporciona una solución práctica y económica a diversos problemas en la construcción de puentes, edificios, grúas, etc. Una armadura consta de elementos rectos que se conectan en nodos. Los elementos de una armadura solo están conectados en sus extremos. A pesar de que en realidad los elementos están unidos entre si por medio de conexiones remachadas o soldadas, es común suponer que los elementos están conectados entre sí por pernos, por lo tanto, no se transmitirá un par de fuerzas. Cada elemento puede tratarse como sometido a dos fuerzas axiales, de esta manera los elementos trabajan a tensión o compresión. La mayoría de estructuras está formada por varias armaduras unidas por largueros y travesaños que hacen una estructura en 3 dimensiones.

CONTEXTO DE ARMADURA Una armadura es un ensamble triangular que distribuye cargas a lo soportes por medio de una combinación de miembros conectados por juntas articuladas, configurados en triángulos, de manera que idealmente todos se encuentren trabajando en compresión o en tensión pura y que todas las fuerzas de empuje se resuelvan internamente. En la práctica, algunos esfuerzos de flexión pueden ocurrir como resultado de la fricción de las juntas y de las cargas distribuidas aplicadas a los miembros entre las juntas; generalmente, estos esfuerzos son menores comparados con las fuerzas axiales y, por lo común, se ignoran para propósitos analíticos. El triángulo es la unidad geométrica básica de la armadura; es una forma única, ya que no se puede cambiar sin que cambie la longitud de sus lados aun cuando las juntas estén articuladas. Todos los otros polígonos articulados son inestables.

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Determinación de esfuerzos El tipo de método empleado difiere según la complejidad y precisión requerida por los cálculos: 

Métodos clásicos, para estructuras muy sencillas entre los que se encuentran la teoría de vigas de Euler-Bernoulli es el método más simple, es aplicable sólo a barras esbeltas sometidas a flexión y esfuerzos axiales. Naturalmente no todas las estructuras se dejan analizar por este método. Cuando existen elementos estructurales bidimensionales en general deben emplearse métodos basados en resolver ecuaciones diferenciales.



Métodos programables, Así para determinar esfuerzos sobre marcos o pórticos se usa frecuentemente el método matricial de la rigidez basado en el modelo de barras largas, que modeliza los elementos resistentes como elementos unidimensionales sometidos predominantemente a flexión

Cuando se trata de analizar elementos más pequeños o con forma irregular donde pueden producirse concentraciones de tensiones se usan métodos numéricos más complejos como el Método de los elementos finitos. Determinación de resistencia y rigidez A partir de los esfuerzos se pueden calcular directamente los desplazamientos y las tensiones. En el caso del método de los elementos finitos se suele determinar directamente el desplazamiento sin necesidad de calcular los esfuerzos internos. Una estructura correctamente diseñada además de ser funcional y económica debe cumplir obligatoriamente dos criterios razonables de seguridad: 1. El criterio de resistencia, consistente en comprobar en que en ninguno de sus puntos el material sobrepasa unas tensiones admisibles máximas. 2. El criterio de rigidez, consistente en comprobar que bajo las fuerzas y solicitaciones actuantes los desplazamientos y deformaciones de la estructura no sobrepasan un cierto límite. Dicho límite está relacionado con criterios de funcionalidad, pero también de estabilidad o de aplicabilidad de la teoría de la elasticidad lineal. CLASIFICACIÓN Armaduras Planas Es una estructura reticulada simple formada por elementos rectos de sección constante, cuya longitud supera varias veces su sección transversal, se conocen como barras y se

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conectan rígidamente en sus extremos denominados nodos o nudos, los esfuerzos actúan a lo largo de su eje longitudinal. Las Armaduras planas o cerchas se utilizan para soportar cargas elevadas y cubrir grandes luces, pueden construirse en maderas o acero y usadas en cubiertas de techos, puentes, grúas, torres, etc. Las armaduras planas de nudos articulados de acuerdo con la forma de crear la configuración de una armadura pueden dividirse desde el punto de vista estructural en: •

Armaduras simples, o estáticamente determinadas, constituye la armadura bidimensional o plana más sencilla, y ante la carga aplicad la única deformación posible es la que se origine por pequeños cambios de longitud de sus barras. Una armadura simple puede formarse partiendo de tres barras unidas por nodos en sus extremos formando un triángulo y luego extendiendo dos nuevas barras por cada nuevo nodo o unión.

•

Armaduras compuestas. Si dos o más armaduras simples se unen para formar un cuerpo rígido, la armadura así formada se denomina armadura compuesta, de tal manera que cada par comparta una sus articulaciones y se añada alguna barra adicional entre cada par de modo que cualquier movimiento de una respecto de la otra esté impedido. Admiten una reducción al caso anterior.

•

Armaduras complejas, que engloba a cualquier celosía plana que no sea de los tipos anteriores. Son estructuras hiperestáticas para las que se puede usar el método de Heneberg o el método matricial de la rigidez.

ARMADURAS TRIDIMENSIONALES La estructura tridimensional como estas se denomina “armaduras espaciales” si tienen juntas que no ejercen pares sobre las barras (es decir, son articuladas en las tres direcciones, comportándose como soportes de bola y cuenca) y si están cargadas y soportadas solo en sus juntas o nudos. Las armaduras tridimensionales isostáticas se forman a partir de tetraedros. Otra posibilidad común para las celosías tridimensionales es hacerlas de base cuadrada y rigidizar de algún modo en el plano de las bases. TIPOS DE ARMADURAS La mayoría de los tipos de armaduras usadas en la estructuración de cubiertas, puentes, han sido llamadas así por el apellido o nombre de quien las diseñó por primera vez, por

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ejemplo, la armadura tipo Howe, fue patentada en 1840 por William Howe.

A

continuación, se describen algunos de los tipos de armaduras más usadas en la ingeniería. Armadura Long Este tipo de armadura debe su nombre a Stephen H. Long (1784-1864), y tiene su origen hacia 1835. Los cordones superior e inferior horizontales se unen mediante montantes verticales todos ellos arriostrados por diagonales dobles, usados para aumentar la rigidez de la estructura y su capacidad de resistir cargas laterales, tales como los movimientos sísmicos y la presión de los vientos huracanados.

Armadura Howe La armadura Howe, fue patentada en 1840 por William Howe, aunque ya había sido usada con anterioridad. Se usó mucho en el diseño de celosías de madera, está compuesta por montantes verticales entre el cordón superior e inferior. Las diagonales se unen en sus extremos donde coincide un montante con el cordón superior o inferior (formando Λ's). Con esa disposición las diagonales están sometidas a compresión, mientras que los montantes trabajan a tracción. Este tipo de armadura no constituye un buen diseño si toda la celosía es del mismo material. Históricamente se usó mucho en la construcción de los primeros puentes de ferrocarril. Con la disposición Howe se lograba que los elementos verticales que eran metálicos y más cortos estuvieran traccionados, mientras que las diagonales más largas estaban comprimidas, lo cual era económico puesto que los elementos metálicos eran más caros y con la disposición Howe se minimizaba su longitud.

Armadura Pratt Originalmente fue diseñada por Thomas y Caleb Pratt en 1844, representa la adaptación de las armaduras al uso más generalizado de un nuevo material de construcción de la época: el acero. A diferencia de una armadura Howe, aquí las barras están inclinadas

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en sentido contrario (ahora forman V's), de manera que las diagonales están sometidas a tracción mientras que las barras verticales están comprimidas. Eso representa ventajas si toda la armadura es de acero, ya que los elementos traccionados no presentan problemas de pandeo aunque sean largos mientras que los sometidos a compresión si pueden presentar pandeo, lo que obliga a hacerlos de mayor espesor. Puesto que el efecto del pandeo es proporcional a la longitud de las barras interesa que los elementos más cortos sean los que sufren la compresión. La armadura Pratt puede presentar variaciones, normalmente consistentes en barras suplementarias que van desde las diagonales hasta el cordón superior, dichas barras son usadas para reducir la longitud efectiva de pandeo.

Armadura Warren La armadura Warren, fue patentada por los ingleses James Warren y Willboughby Monzoni en 1848. El rasgo característico de este tipo de armaduras es que forman una serie de triángulos isósceles (o equiláteros), de manera que todas las diagonales tienen la misma longitud. Típicamente en una celosía de este tipo y con cargas aplicadas verticales en sus nudos superiores, las diagonales presentan alternativamente compresión y tracción. Esto, que es desfavorable desde el punto de vista resistente, presenta en cambio una ventaja constructiva. Si las cargas son variables sobre la parte superior de la celosía (como por ejemplo en una pasarela) las armaduras presentan resistencia similar para diversas configuraciones de carga.

Armadura Vierendeel La armadura Vierendeel, en honor al ingeniero belga A. Vierendeel, tiene como características principales las uniones obligatoriamente rígidas y la ausencia de diagonales inclinadas. De esta manera, en una armadura Vierendeel, no aparecen formas triangulares como en la mayoría de armaduras, sino una serie de marcos

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rectangulares. Se trata por tanto de una armadura empleada en edificación por el aprovechamiento de sus aperturas.

Tipos de armaduras para puentes Las formas típicas de armaduras para puentes con claros simples serían las armaduras de Pratt, Howe y Warren se usan normalmente para claros de 55 m y de 61 de longitud. Para claros más grandes se usa una armadura con cuerda superior poligonal, como la armadura Parker que permite algo de ahorro en material. También están las armaduras subdivididas estas se usan cuando los claros mayores de 91 m y cuando se quiere ahorrar algo de material la armadura K cumple los mismos propósitos.

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CAPITULO IV – METODOLOGÍA Este método fue desarrollado originalmente por James Clerk Maxwell en 1864 y perfeccionado posteriormente por Otto Mohr y Múller-Breslau. Mohr, diez años después, de forma independiente, amplió la teoría casi a su estado actual de desarrollo. En este método se suprimen las redundantes (cantidad de reacciones que hacen hiperestático el problema, evidentemente que el número de redundantes es igual al GH) lográndose una estructura estable y estáticamente determinada, que en algunos textos se le llama sistema base. Se calculas los desplazamientos en la dirección de las redundantes eliminadas. Como al final los puntos donde están las redundantes no se pueden mover, estas deben tener un valor tal que haga a esos puntos volver a su estado inicial. Se establece una ecuación para la condición de deflexión nula en cada redundante y estas se despejan de las ecuaciones resultantes. A este sistema de ecuaciones se les llama “ecuaciones canónicas´. A este método se le llama también: Método de la Flexibilidad, Deflexiones Compatibles, Deformaciones Consistentes o Maxwell-Mohr. Cada uno de los nombres se explica por si solo.

EL MÉTODO DE LAS FUERZAS 

También denominado de la Flexibilidad, por los coeficientes que aparecen en el proceso de cálculo.



Recordemos que en las estructuras hiperestáticas debemos recurrir no sólo a las Condiciones de Equilibrio sino también a las Condiciones (ecuaciones) Suplementarias de Deformación.



Podemos referirnos como “vínculos hiperestáticos o sobreabundantes” a aquellos vínculos externos o internos que podrían ser eliminados sin que el sistema se convierta en inestable.



El número o cantidad de vínculos que se deben eliminar para que el sistema “hiperestático”

se

convierta

en

isostático

se

denomina

“Grado

de

Hiperestaticidad”. Para una estructura dada el grado de hiperestaticidad es único y perfectamente definido, sin embargo existe la posibilidad de elegir varias alternativas de conjuntos de vínculos que al eliminarse hacen isostática a la estructura, con la salvedad que en cada conjunto el número de vínculos es siempre el mismo.

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A modo de ejemplo veamos tres casos típicos: a) Vigas 

Grado de hiperestaticidad = 2



Se elimina la continuidad en los apoyos mediante 2 articulaciones, quedando 3 vigas simplemente apoyadas.



En el segundo caso se eliminan dos apoyos intermedios quedando una viga simplemente apoyada.

b) Pórticos 

El pórtico empotrado-empotrado es un hiperestático de tercer grado que lo puedo convertir en isostático en un caso introduciendo tres articulaciones en A, B, y C, que eliminan los vínculos que resisten momentos (2 externos y uno interno). También podemos llegar al isostático con una articulación en B (elimina momento flector), otra articulación en C(elimina reacción de momento) y la eliminación de la reacción horizontal en C convirtiendo el apoyo en móvil.

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c) Reticulados 

El número de vínculos a eliminar o grado es uno. Puedo en este caso eliminar un apoyo (vínculo externo) o una barra (vínculo interno).



Señalaremos que en estos tres casos es posible elegir otros conjuntos de



vínculos a eliminar que me producirán otros sistemas isostáticos asociados.



Al isostático asociado por la eliminación de vínculos al sistema hiperestático lo denominamos “isostático fundamental”.



Su elección depende del calculista, y puede tener importancia en la simplicidad del cálculo, pero no en los resultados finales del mismo.

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ESENCIA DEL MÉTODO Sea la siguiente viga hiperestática con un Grado de Hiperestaticidad: Hay tres reacciones, una de ellas se toma como redundante, en este caso tomaremos R1. Si no existiera el apoyo 1 las cargas provocarían un desplazamiento en ese punto P1

P2

1

2

3 Viga original

R2

R3

R1 P2

P1

Apoyo 1 eliminado

δ 1

Carga unitaria en 1

P1

δ11

P2 Apoyo 1 reemplazado

R2

R3

R1

Por reacción

Si el apoyo 1 no existe el punto se desplaza un valor δ1 hacia abajo, para determinar ese desplazamiento usando el método de la carga unitaria, basta con poner una carga unitaria en el punto y aplicar la expresión:

δ1 =

l

Mm1 dx EI 0



Para poder determinar el desplazamiento que hace la carga unitaria en el punto 1 (δ11) se debe aplicar:

20

δ11 =

l

m12  EI dx 0

El verdadero valor de desplazamiento que hace R1 para llevar el punto 1 a su lugar original será: δ11R1 , entonces la ecuación de compatibilidad de deflexiones será:

δ1 + δ11R1 = 0 (Llamada ecuación canónica) La reacción redundante se obtiene por:

R1 = - δ1/ δ11 De ahí en adelante el problema se vuelve estáticamente determinado.

Interpretación física de las ecuaciones canónicas: Suponiendo un problema con n redundantes el sistema de ecuaciones quedaría:

δ1 + δ11R1 + δ12R2 + δ13R3 + ... + δ1nRn = 0 δ2 + δ21R1 + δ22R2 + δ23R3 + ... + δ2nRn = 0 δ3 + δ31R1 + δ32R2 + δ33R3 + ... + δ3nRn = 0 ....................................................................

δn + δn1R1 + δn2R2 + δn3R3 + ... + δnnRn = 0 A los δij se les llama coeficiente de flexibilidad lineal y los δi se les llama términos independientes. Teorema de Maxwell sobre desplazamientos recíprocos. Ley de Betti. Cuando Maxwell desarrolló su método también presentó un teorema que relaciona los coeficientes de flexibilidad de dos puntos cualquiera de una estructura. Cuando el teorema de los desplazamientos recíprocos se formaliza en un sentido más general, se conoce como ley de Betti. La esencia

δij = δji

de esa ley es:

21

Ejemplo Apliquemos el Método de las Fuerzas para determinar los diagramas de solicitaciones del esquema de carga muerta de la estructura que modelamos en el Capítulo anterior: 30.7kN/m C

B 9.8 I

I

A

5m

I

D 10 m

R1 R2

Se tomará como redundante las reacciones en la articulación D. El sistema base quedará:

30.7kN/m C

B

Sistema base con carga externa

y reacciones

(obtenidas

ecuaciones

Por

de

la

Estática)

A

D 0

307kN

1535

22

B

C

Carga unitaria horizontal (1) y reacciones D A 1 1 B

C

Carga vertical

unitaria (2)

y

reacciones D

A

10m

1 1

Las ecuaciones canónicas para este caso son:

δ1 + δ11R1 + δ12R2 = 0 δ2 + δ21R1 + δ22R2 = 0 Determinación de los términos independientes: Determinación de δ1

δ1 =

l

Mm1 dx EI 0



Tramo DC: M=0 m1 = -x M. m1 = 0 Tramo CB:

23

M = - 30.7 x x/2 = - 15.35 x2 m1 = - 5 M. m1 = 76.75 x2

1 10 (76.75 x 2 )dx  9.8EI 0

1 9.8 EI

=

10 0

76.75 x 3 = 2610.5 3 EI

Tramo AB:

m1 = -x

M = - 1535 M. m1 = 1535 x

19187.5 1 5 = ( 1535 x ) dx EI EI 0 δ1 = 2610.5/EI + 19187.5/EI = 21 798/EI Determinación de δ2

l

δ2 = Mm2 dx = - 80 665.8/EI  0

EI

Determinación de los coeficientes de flexibilidad:

Determinación de δ11 l 2 δ11 = m1 dx 

EI

0

Tramo DC= AB m1 = - x 5

m 12 = x2

1 1 2 = ( x ) dx EI 0 EI

5 0

x3 = 41.67/EI 3

Tramo CB: m1 = - 5

10 1 m 1 = 25 25dx = 25.51/EI  9.8 EI 0 2

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δ11 = 2(41.67/EI) + 25.51/EI = 108.85/EI Determinación de δ22 l 2 δ22 = m2 dx = 534/EI  0

EI

Determinación de δ12 = δ21 l 2 δ12 = δ21 = m2 dx = - 150.5/EI  0

EI

Sistema de ecuaciones y solución:

21798/EI + (108.85/EI) R1 – (150.5/EI) R2 = 0

- 80665.8/EI – (150.5/EI) R1 + (534/EI) R2 = 0 SOLUCIÓN:

R1 = 155 kN y R2 = 14 kN

Con estas reacciones calculadas el problema se convierte en isostático. Por las ecuaciones de la estática calculamos las otras ecuaciones y hacemos los gráficos de solicitaciones: 30.7kN/m C

B

5m

D

A 10 m 14kN

14 kN

152kN 15kN.m

155 kN

25

55

70

Diagrama de M

321.3

(En kN.m) 5.05m

15

El máximo momento en el tramo CB se determina: MX = 155 X – 30.7X2/2 – 70 ;

dM = 155 – 30.7 X = 0 ; X = 5.05 m dx

MX = 155 (5.05) – 30.7(5.05)2/2 – 70 = 321.3 kN.m

152 5.05m +

_ Diagrama de V

14

14

_

155

(En kN)

+

26

- 14 Diagrama de M 152

155

_

_

(En kN)

CÁLCULO DE ASIENTOS: En estructuras hiperestática los asientos diferenciales provocan solicitaciones. Para el cálculo de asientos en una viga continua solo hay que agregar el valor de lo que se asienta el apoyo a la ecuación canónica correspondiente. En este caso hay que tener en cuenta los verdaderos valores de EI y que todas las unidades sean compatibles. Por ejemplo, suponiendo que en la siguiente viga el apoyo 2 se asiente 20 mm, y considerando la reacción en dos como redundante:

1

2

3

La ecuación canónica quedará:

δ2 + δ22R2 – 0.022m = 0 Los valores de δi = ∫ (Mm/EI)dx deben ser calculados poniendo los valores de M en kN.m, m estaria en metros, entonces Mm = kN.m2, las longitudes (dx) en metros, E en kN/m y las inercias en metros a la cuarta:

27

kN .m 2 (m) 2

kN / m .m

4

entonces los δi quedaría en metros; los coeficientes de flexibilidad

se determinan por: δij = ∫ (mi mj/EI)dx , entonces:

(m)(m)(m) kN / m 2 .m 4

en metros/kN.

Analizando dimensionalmente la ecuación canónica tenemos:

δ2 (m)+ δ22R2 (m/kN)(kN)– 0.022m = 0 y todas las unidades son compatibles. MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS. El Método de los Desplazamientos, también llamado Método de las Rigideces consiste en establecer ecuaciones con los desplazamientos en los nudos (giros y desplazamientos lineales) para caracterizar completamente la configuración de la deformada de la estructura. Resolviendo ese sistema de ecuaciones se encuentran los desplazamientos que se sustituyen en las ecuaciones originales para determinar las solicitaciones. Se obtiene el diagrama de momento, los diagramas de cortante y fuerza axial, como de costumbre, por las ecuaciones de la estática. Al método de los desplazamientos se le puede dar dos interpretaciones que tiene base común: uno con carácter general, llamémosle así, y el enfoque dado por George A. Maney llamado método pendiente-deflexión . En primero es más general, quizás más “científico” muy usado en los países de Europa oriental, tiene buenas posibilidades para la interpretación científica, pero el segundo es mas “utilitario” con muy buenas posibilidades también de interpretación física. Veremos el primero de forma global y particularicemos en el segundo. ENFOQUE GENERAL:

El Método de las Fuerzas es muy complicado para aplicarlo en estructuras con un alto GH. Para superar esta dificultad surge el Método de los Desplazamientos, que en muchos aspectos complementa al Método de las Fuerzas. El Método de los Desplazamientos también reduce el cálculo a un sistema de ecuaciones canónicas, pero con la diferencia que el número de ecuaciones no es igual al GH del pórtico (como en el Método de las Fuerzas), por lo general, en estructuras grandes, es algo menor.

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En este caso las incógnitas son los giros en los nudos y los desplazamientos lineales en los distintos niveles. Por ejemplo para una estructura del tipo:

Tiene 9 marcos cerrados, es decir: GH = 3 x 9 = 27. Por el Método de las Fuerzas(MF) hay 27 ecuaciones y 27 incógnitas. Tiene 12 nudos y tres niveles con posibilidades de desplazarse. Por el Método de los Desplazamientos(MD) tendrá 15 ecuaciones y 15 incógnitas. Otra ventaja sustancial del MD es que solo tiene un sistema: rigidizar todos los nudos y limitar los desplazamientos lineales. Es hecho de poseer solo un sistema base implica, para la aplicación de la computación, un paso menos que puede hacer la computadora sin la intervención del calculista. Si fuera por el MF el calculista, en un paso dado, debe elegir el sistema base. El sistema base del MD es la rigidización del giro de todos los nudos y la limitación de todos los desplazamientos lineales aplicándole ligaduras, a este sistema se le aplica la carga externa (en ese momento son válidos los Momentos de Empotramiento Perfecto). Posteriormente se van soltando, uno a uno, las restricciones y eso genera desplazamientos. Estos desplazamientos generan reacciones en los nudos (momentos reacción) y en los niveles desplazados(fuerzas de reacción) y todas estas tienen que estar en equilibrio. El equilibrio de estas fuerzas y momentos generan las ecuaciones canónicas.

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Las ecuaciones canónicas quedarían

r11 Z1 + r12 Z2 + ... + r1n Zn + R1P = 0 r21 Z1 + r22 Z2 + ... + r2n Zn + R2P = 0 ...................................................................

rn1 Z1 + rn2 Z2 + ... + rnn Zn + RnP = 0 Los términos rij son los coeficientes de rigidez de las ecuaciones canónicas y representan las reacciones que surgen en la ligadura i al giran el nudo un ángulo unitario Zj = 1. Los Zj son las magnitudes reales del giro del nudo j o desplazamientos lineales de los niveles. Los RiP son las reacciones en las ligaduras i producto de las cargas externas (se les llama términos independientes). Resolviendo el sistema se obtienen los verdaderos valores de los giros y desplazamientos lineales Zj que son las incógnitas. Una vez conocidos estos valores no es difícil, entonces, obtener los valores de los desplazamientos en los distintos puntos de la estructura hiperestática y las acciones internas o solicitaciones. Como se ve en este enfoque general el cálculo de desplazamientos (angulares y lineales) es decisivo para la aplicación de este método. Recalcamos una vez más el aporte y valor metodológico que tuvieron los trabajos de Maxwell-Mohr por esa razón pueden ser considerados los precursores del Análisis Estructural Moderno.

MÉTODO DE PENDIENTE-DEFLEXIÓN (P-D) George A. Maney presentó una interpretación del MD en Studies in Engineering No.1(Minneapolis: University of Minnesota, 1915) . Su trabajo fue una continuación e interpretación de las investigaciones realizadas por Manderla y Mohr. El método P-D tiene en cuenta solo las deformaciones por flexión, no considerando los efectos de cortante y fuerza axial, es decir solo considera el primer integral de Mohr. Este supuesto es completamente acertado para elementos lineales. Aunque actualmente se aplica más el enfoque general, presentado matricialmente, todavía se estudia porque es útil por varias razones:

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Su estudio sirve de base para entender el método de Cross. Para algunas estructuras no muy complejas resulta de fácil aplicación. Es un caso especial del Enfoque general del MD o Método de las rigideces que proporciona una buena introducción a la formulación matricial. Hay una buena interpretación de las deformadas de las estructuras al determinar las pendientes y deflexiones. ECUACIONES DE MANEY.

No pretendemos demostrar aquí las ecuaciones, sólo las enunciaremos, haremos la adecuada interpretación física y resolveremos un ejemplo. Veamos algunas definiciones: Δ

P

Δ

B C

φAB =+

Positivo a favor

φAB

LAB

del reloj

φCD A

φCD =+

KAB=

θA B

A

IAB/

LAB

(Factor de

rigidez)

E = Módulo de deformación

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Momentos de Empotramiento Perfecto Son los valores de Momento de elementos suponiendo que los apoyos sean totalmente rígidos. Algunos valores significativos:

P

-PL/8

+PL/8 L/2

L/2 P

a

b

q

L P

L/2

L/2

q

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Las ecuaciones de Maney son :

Para una barra empotra-empotrada (o continua-continua): MAB = 2EK AB(2θA + θB - 3φ) + MEPAB MBA = 2EK BA(θA + 2θB - 3φ) + MEPBA

Para una barra empotrada(0 continua) articulada: MAB = 3EK BA( θA - φ) + MEPBA MBA = 0 Los giros θ en los empotramientos perfectos son cero

Ejemplo: Resolvamos el mismo ejemplo resuelto por el MF: 30.7kN/m C

B 9.8 I

5m

I

D

A 10 m

Módulo de deformación E = Constante (Suponemos que es el mismo concreto el de las columnas y la viga) Factor de rigidez: KAB = KCD = I/5 = 0.2 I KCD = 9.8 I/10 = 0.98 I

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Para obtener los diagramas de solicitación no nos interesa el verdadero valor de la rigidez, solo las proporciones entre elementos. Si fuéramos a calcular los verdaderos valores de desplazamientos si hace falta la verdadera rigidez. Se puede escoger cualquiera rigidez como la unidad, por ejemplo, tomemos la rigidez de AB como la unidad, entonces: KAB = KCD = K KCD = 0.98/0.2 = 4.9 K Momentos de Empotramiento Perfecto: MEPBC = - 1/12(qL2) = - 1/12(30.7kN/m)(10m)2 = - 255.83 kN.m MEPCB = + 255.83kN.m

Ecuaciones de momento en los nudos de las barras MAB = 2EK AB(2θA + θB - 3φ) + MEPAB (Pero θA es cero en el empotramiento y esa barra no tiene MEP), entonces, MAB = 2EK ( θB - 3φ) = 2EK θB - 6EKφ (a) MBA = 2EK ( 2θB - 3φ) = 4EKθB - 6EKφ (b) MBC = 2E(4.9K)(2θB + θC ) – 255.33 (Las barras horizontales no tienen Δ, se ignora el acortamiento axial de las barras horizontales, en general la viga tiene φ si hay columnas inclinadas) MBC = 19.6EKθB + 9.8EKθC – 255.83 (c) MCB = 2E(4.9K)( θB + 2θC ) + 255.83 MCB = 9.8EK θB + 19.6EKθC + 255.83 (d) MCD = 3EK ( θC - φ) (Barra empotrada articulada sin MEP) MCD = 3EK θC – 3EKφ (e) MDC = 0 (f)

34

LAS INCÓGNITAS SON LOS DOS GIROS ( θB y θC) y φ A.-Para los giros se aplica el concepto de que la suma de todos los momento en los nudos tiene que ser cero. B.-Para los desplazamientos se usa la ecuación de equilibrio de las fuerzas horizontales: ΣH=0 , HA + HD = 0 Las H se obtienen por suma de momento en las barras:

MBA BARRA AB

Σ M en B = 0

LAB

MAB + MBA - HA LAB = 0

MAB HA

Las ecuaciones serán:

Σ MB = 0

MBA + MBC = 0,

4EK θB - 6EKφ + 19.6EKθB + 9.8EKθC

– 255.83 = 0

23.6EK θB + 9.8EKθC - 6EKφ – 255.83 = 0

Σ MC = 0

(1)

MCB + MCD = 0,

9.8EK θB + 19.6EKθC + 255.83 + 3EK θC – 3EKφ = 0 9.8EK θB + 22.6EKθC – 3EKφ + 255.83 = 0 (2) ΣH=0 , HA + HD = 0

(MAB + MBA)/ 5 + MCD / 5 = 0

2EK θB - 6EKφ

+ 4EKθB -

6EKφ

+ 3EK

θC – 3EKφ = 0

35

6EK θB + 3EK θC – 15EKφ = 0 (3)

23.6EK θB + 9.8EKθC - 6EKφ – 255.83 = 0 (1) 9.8EK θB + 22.6EKθC – 3EKφ + 255.83 = 0 (2) 6EK θB + 3EK θC – 15EKφ = 0 (3)

SOLUCIÓN: EK θB = 19.948 ; EKθC = -19.426 ; EKφ = 4.094 MOMENTOS FINALES: MAB = 2EK θB - 6EKφ = 2(19.984) – 6(4.094) = 15.3kN.m MBA = 4EKθB - 6EKφ = 4(19.984) – 6(4.094) = 55.2kN.m MBC=19.6EKθB+ 9.8EKθC -255.83 = 19.6(19.948) + 9.8(-19.426)- 255.83 = -55.2kN.m MCB=9.8EK θB +19.6EKθC +255.83= 9.8(19.948)+19.6(-19.426)+ 255.83 = 70.5kN.m MCD = 3EK θC – 3EKφ = 3(-19.426) – 3(4.094) = -70.5 kN.m IDÉNTICOS RESULTADOS QUE POR EL METODO DE LAS FUERZAS. 55.2

70.5

Diagrama de M

321.3

(En kN.m) 5.05m 15.3

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CONCLUSIONES



Se calculan las deformaciones de la estructura isostática fundamental bajo la acción de las mismas cargas que actúan en la estructura Hiperestática. Estas deformaciones se denominan incompatibilidades geométricas porque no existen en la estructura original en los puntos en los que se eliminaron las restricciones.



Se aplican fuerzas arbitrarias en las secciones donde se eliminaron las restricciones y se calculan las deformaciones producidas por estas fuerzas correctivas. Es necesario aplicar una fuerza por cada restricción eliminada en la estructura hiperestática y calcular por separado las deformaciones debidas a cada fuerza.



Se plantea un sistema de ecuaciones para determinar el valor que deben tener las fuerzas correctivas de tal manera que se corrijan las incompatibilidades geométricas.



Se obtienen las acciones finales (reacciones, fuerzas cortantes, fuerzas normales, momentos) sumando las que corresponden a la estructura isostática fundamental y las producidas por las fuerzas correctivas.

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BIBLIOGRAFÍA 

https://es.scribd.com/doc/105867905/Que-es-una-armadura-Warren

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https://es.slideshare.net/malqui340/anlisis-de-armadura-por-mtodo-de-nodos-ymtodo-matricial

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http://cursos.aiu.edu/EST%C3%81TICA/8/PDF/Est%C3%A1tica_sesi%C3%B3 n8.pdf

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http://tic.uis.edu.co/avacopiaIIsemestre2013/pluginfile.php/77981/mod_resourc e/content/4/5a-%20Armaduras.pdf

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https://www.academia.edu/6579031/An%C3%A1lisis_de_Estructuras_Cap%C3 %ADtulo_3_M%C3%A9todos_de_las_Fuerzas_-35

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https://es.scribd.com/doc/20459836/Analisis-I-hiperestaticidad

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https://es.scribd.com/doc/35672861/Metodo-de-las-fuerzas-EstructurasHiperestaticas

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