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• Gretty Campos Acuña

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, Decana de América) FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

PRIMER EXAMEN PARCIAL

METODOS NUMERICOS II

PROFESOR DEL CURSO: Chauca Nolasco, William ALUMNO: Gabriel Roncal Yen Jhunior (16130164)

PRIMER EXAMEN PARCIAL DE METODOS NUMERICOS 1. Use el método de Liebmann para resolver cual sería la temperatura de la placa cuadrada calentada que se ilustra en la figura. con la condición de frontera dadas. utilice un factor de relajamiento de según el número de filas y columnas, el erro permisible es 1% Calcule los flujos para el problema. Suponga que la placa es de 40*40 cm y que está hecha de aluminio [k’=0.49 cal/(s*cm*0C)] 170 0C

45 0C

1,3

2,3

3,3

1,2

2,2

3,2 0 0C

1,1

2,1

3,1

0 0C

Presentar escrito todo el procedimiento para 5 procesos iterativos y el flujo de calor Solución: Determinando el valor de 𝜆 𝜆=

4 𝜋 𝜋 2 2 + √4 − [cos (𝑚) + cos(𝑛 )]

Para m=4 y n=4 tenemos que 𝜆 = 1.171 Para un error permisible de 𝜀𝑠 = 0.01 El factor de sobre-relajación se aplica de la siguiente forma 𝑛𝑒𝑤 𝑛𝑒𝑤 𝑜𝑙𝑑 𝑇𝑖,𝑗 = 𝜆 ∗ 𝑇𝑖,𝑗 + (1 − 𝜆) ∗ 𝑇𝑖,𝑗

Para la ecuación Laplaciana en diferencias 𝑇𝑖,𝑗 =

𝑇𝑖+1,𝑗 + 𝑇𝑖−1,𝑗 + 𝑇𝑖,𝑗+1 + 𝑇𝑖,𝑗−1 4

Para el proceso iterativo se tiene 𝑇 0 [0,0,0,0], para 5 procesos iterativos Primera iteración: Para 𝒊 = 𝟏, 𝒋 = 𝟏 𝑇1,1 =

𝑇2,1 +𝑇0,1 +𝑇1,2 +𝑇1,0 4

=

0+45+0+0 4

= 11.25

𝑛𝑒𝑤 𝑛𝑒𝑤 𝑜𝑙𝑑 𝑇1,1 = 1.171 ∗ 𝑇1,1 + (1 − 1.171) ∗ 𝑇1,1 𝑛𝑒𝑤 𝑇1,1 = 1.171 ∗ 11.25 + (1 − 1.171) ∗ 0 = 13.1738

Para 𝒊 = 𝟐, 𝒋 = 𝟏 𝑇2,1 =

𝑇3,1 +𝑇1,1 +𝑇2,2 +𝑇2,0 4

=

0+13.1738+0+0 4

= 3.2934

𝑛𝑒𝑤 𝑛𝑒𝑤 𝑜𝑙𝑑 𝑇2,1 = 1.171 ∗ 𝑇2,1 + (1 − 1.171) ∗ 𝑇2,1 𝑛𝑒𝑤 𝑇2,1 = 1.171 ∗ 3.2934 + (1 − 1.171) ∗ 0 = 3.8566

Para 𝒊 = 𝟑, 𝒋 = 𝟏 𝑇3,1 =

𝑇4,1 +𝑇2,1 +𝑇3,2 +𝑇3,0 4

=

0+3.8566+0+0 4

= 0.9642

𝑛𝑒𝑤 𝑛𝑒𝑤 𝑜𝑙𝑑 𝑇3,1 = 1.171 ∗ 𝑇3,1 + (1 − 1.171) ∗ 𝑇3,1 𝑛𝑒𝑤 𝑇3,1 = 1.171 ∗ 0.9642 + (1 − 1.171) ∗ 0 = 1.1290

Para 𝒊 = 𝟏, 𝒋 = 𝟐 𝑇1,2 =

𝑇0,2 +𝑇2,2 +𝑇1,3 +𝑇1,1 4

=

45+0+0+13.1738 4

= 14.5434

𝑛𝑒𝑤 𝑛𝑒𝑤 𝑜𝑙𝑑 𝑇1,2 = 1.171 ∗ 𝑇1,2 + (1 − 1.171) ∗ 𝑇1,2 𝑛𝑒𝑤 𝑇1,2 = 1.171 ∗ 14.5434 + (1 − 1.171) ∗ 0 = 17.0304

Para 𝒊 = 𝟐, 𝒋 = 𝟐 𝑇2,2 =

𝑇1,2 +𝑇3,2 +𝑇2,3 +𝑇2,1 4

=

17.0304+0+0+3.8566 4

= 5.2217

𝑛𝑒𝑤 𝑛𝑒𝑤 𝑜𝑙𝑑 𝑇2,2 = 1.171 ∗ 𝑇2,2 + (1 − 1.171) ∗ 𝑇2,2 𝑛𝑒𝑤 𝑇2,2 = 1.171 ∗ 5.2217 + (1 − 1.171) ∗ 0 = 6.1147

Para 𝒊 = 𝟑, 𝒋 = 𝟐 𝑇3,2 =

𝑇2,2 +𝑇4,2 +𝑇3,1 +𝑇3,3 4

=

6.1147+0+1.1290+0 4

= 1.8109

𝑛𝑒𝑤 𝑛𝑒𝑤 𝑜𝑙𝑑 𝑇3,2 = 1.171 ∗ 𝑇3,2 + (1 − 1.171) ∗ 𝑇3,2 𝑛𝑒𝑤 𝑇3,2 = 1.171 ∗ 1.8109 + (1 − 1.171) ∗ 0 = 2.1206

Para 𝒊 = 𝟏, 𝒋 = 𝟑 𝑇1,3 =

𝑇0,3 +𝑇2,3 +𝑇1,2 +𝑇1,4 4

=

45+0+17.0304+170 4

= 58.0076

𝑛𝑒𝑤 𝑛𝑒𝑤 𝑜𝑙𝑑 𝑇1,3 = 1.171 ∗ 𝑇1,3 + (1 − 1.171) ∗ 𝑇1,3 𝑛𝑒𝑤 𝑇1,3 = 1.171 ∗ 58.0076 + (1 − 1.171) ∗ 0 = 67.9269

Para 𝒊 = 𝟐, 𝒋 = 𝟑 𝑇2,3 =

𝑇1,3 +𝑇3,3 +𝑇2,2 +𝑇2,4 4

=

67.9269+0+6.1147+170 4

= 61.0104

𝑛𝑒𝑤 𝑛𝑒𝑤 𝑜𝑙𝑑 𝑇2,3 = 1.171 ∗ 𝑇2,3 + (1 − 1.171) ∗ 𝑇2,3 𝑛𝑒𝑤 𝑇2,3 = 1.171 ∗ 61.0104 + (1 − 1.171) ∗ 0 = 71.4432

Para 𝒊 = 𝟑, 𝒋 = 𝟑 𝑇3,3 =

𝑇2,3 +𝑇4,3 +𝑇3,2 +𝑇3,4 4

=

71.4432+0+2.1206+170 4

= 60.8909

𝑛𝑒𝑤 𝑛𝑒𝑤 𝑜𝑙𝑑 𝑇3,3 = 1.171 ∗ 𝑇3,3 + (1 − 1.171) ∗ 𝑇3,3 𝑛𝑒𝑤 𝑇3,3 = 1.171 ∗ 60.8909 + (1 − 1.171) ∗ 0 = 71.3033

Segunda iteración: Para 𝒊 = 𝟏, 𝒋 = 𝟏 𝑇1,1 =

𝑇2,1 +𝑇0,1 +𝑇1,2 +𝑇1,0 4

= 16.4717

𝑛𝑒𝑤 𝑇1,1 = 1.171 ∗ 16.4717 + 0.171 ∗ 13.1738 = 17.0357

Para 𝒊 = 𝟐, 𝒋 = 𝟏 𝑇2,1 =

𝑇3,1 +𝑇1,1 +𝑇2,2 +𝑇2,0 4

= 6.0698

𝑛𝑒𝑤 𝑇2,1 = 1.171 ∗ 6.0698 + 0.171 ∗ 3.8566 = 6.4483

Para 𝒊 = 𝟑, 𝒋 = 𝟏 𝑇3,1 =

𝑇4,1 +𝑇2,1 +𝑇3,2 +𝑇3,0 4

= 2.1422

𝑛𝑒𝑤 𝑇3,1 = 1.171 ∗ 2.1422 + 0.171 ∗ 1.1290 = 2.3155

Para 𝒊 = 𝟏, 𝒋 = 𝟐 𝑇1,2 =

𝑇0,2 +𝑇2,2 +𝑇1,3 +𝑇1,1 4

= 34.0193

𝑛𝑒𝑤 𝑇1,2 = 1.171 ∗ 34.0193 + 0.171 ∗ 17.0304 = 36.9244

Para 𝒊 = 𝟐, 𝒋 = 𝟐 𝑇2,2 =

𝑇1,2 +𝑇3,2 +𝑇2,3 +𝑇2,1 4

= 29.2341

𝑛𝑒𝑤 𝑇2,2 = 1.171 ∗ 29.2341 + 0.171 ∗ 6.1147 = 33.1875

Para 𝒊 = 𝟑, 𝒋 = 𝟐 𝑇3,2 =

𝑇2,2 +𝑇4,2 +𝑇3,1 +𝑇3,3 4

= 26.7016

𝑛𝑒𝑤 𝑇3,2 = 1.171 ∗ 26.7016 + 0.171 ∗ 2.1206 = 30.9049

Para 𝒊 = 𝟏, 𝒋 = 𝟑 𝑇1,3 =

𝑇0,3 +𝑇2,3 +𝑇1,2 +𝑇1,4 4

= 80.8419

𝑛𝑒𝑤 𝑇1,3 = 1.171 ∗ 80.8419 + 0.171 ∗ 67.9269 = 83.0504

Para 𝒊 = 𝟐, 𝒋 = 𝟑

𝑇2,3 =

𝑇1,3 +𝑇3,3 +𝑇2,2 +𝑇2,4 4

= 89.3853

𝑛𝑒𝑤 𝑇2,3 = 1.171 ∗ 89.3853 + 0.171 ∗ 71.4432 = 92.4534

Para 𝒊 = 𝟑, 𝒋 = 𝟑 𝑇3,3 =

𝑇2,3 +𝑇4,3 +𝑇3,2 +𝑇3,4 4

= 73.3396

𝑛𝑒𝑤 𝑇3,3 = 1.171 ∗ 73.3396 + 0.171 ∗ 71.3033 = 73.6878

Tercera iteración: Para 𝒊 = 𝟏, 𝒋 = 𝟏 𝑇1,1 =

𝑇2,1 +𝑇0,1 +𝑇1,2 +𝑇1,0 4

= 22.0932

𝑛𝑒𝑤 𝑇1,1 = 1.171 ∗ 22.0932 + 0.171 ∗ 17.0357 = 22.9580

Para 𝒊 = 𝟐, 𝒋 = 𝟏 𝑇2,1 =

𝑇3,1 +𝑇1,1 +𝑇2,2 +𝑇2,0 4

= 14.6153

𝑛𝑒𝑤 𝑇2,1 = 1.171 ∗ 14.6153 + 0.171 ∗ 6.4483 = 16.0118

Para 𝒊 = 𝟑, 𝒋 = 𝟏 𝑇3,1 =

𝑇4,1 +𝑇2,1 +𝑇3,2 +𝑇3,0 4

= 11.7292

𝑛𝑒𝑤 𝑇3,1 = 1.171 ∗ 11.7292 + 0.171 ∗ 2.3155 = 13.3389

Para 𝒊 = 𝟏, 𝒋 = 𝟐 𝑇1,2 =

𝑇0,2 +𝑇2,2 +𝑇1,3 +𝑇1,1 4

= 46.0490

𝑛𝑒𝑤 𝑇1,2 = 1.171 ∗ 46.0490 + 0.171 ∗ 36.9244 = 47.6093

Para 𝒊 = 𝟐, 𝒋 = 𝟐 𝑇2,2 =

𝑇1,2 +𝑇3,2 +𝑇2,3 +𝑇2,1 4

= 46.7449

𝑛𝑒𝑤 𝑇2,2 = 1.171 ∗ 46.7449 + 0.171 ∗ 33.1875 = 49.0632

Para 𝒊 = 𝟑, 𝒋 = 𝟐 𝑇3,2 =

𝑇2,2 +𝑇4,2 +𝑇3,1 +𝑇3,3 4

= 34.0225

𝑛𝑒𝑤 𝑇3,2 = 1.171 ∗ 34.0225 + 0.171 ∗ 30.9049 = 34.5556

Para 𝒊 = 𝟏, 𝒋 = 𝟑 𝑇1,3 =

𝑇0,3 +𝑇2,3 +𝑇1,2 +𝑇1,4 4

= 88.7657

𝑛𝑒𝑤 𝑇1,3 = 1.171 ∗ 88.7657 + 0.171 ∗ 83.0504 = 89.7430

Para 𝒊 = 𝟐, 𝒋 = 𝟑

𝑇2,3 =

𝑇1,3 +𝑇3,3 +𝑇2,2 +𝑇2,4 4

= 95.6235

𝑛𝑒𝑤 𝑇2,3 = 1.171 ∗ 95.6235 + 0.171 ∗ 92.4534 = 96.1656

Para 𝒊 = 𝟑, 𝒋 = 𝟑 𝑇3,3 =

𝑇2,3 +𝑇4,3 +𝑇3,2 +𝑇3,4 4

= 75.1803

𝑛𝑒𝑤 𝑇3,3 = 1.171 ∗ 75.1803 + 0.171 ∗ 73.6878 = 75.4355

Cuarta iteración: Para 𝒊 = 𝟏, 𝒋 = 𝟏 𝑇1,1 =

𝑇2,1 +𝑇0,1 +𝑇1,2 +𝑇1,0 4

= 27.1553

𝑛𝑒𝑤 𝑇1,1 = 1.171 ∗ 27.1553 + 0.171 ∗ 22.9580 = 27.8730

Para 𝒊 = 𝟐, 𝒋 = 𝟏 𝑇2,1 =

𝑇3,1 +𝑇1,1 +𝑇2,2 +𝑇2,0 4

= 22.5688

𝑛𝑒𝑤 𝑇2,1 = 1.171 ∗ 22.5688 + 0.171 ∗ 16.0118 = 23.6900

Para 𝒊 = 𝟑, 𝒋 = 𝟏 𝑇3,1 =

𝑇4,1 +𝑇2,1 +𝑇3,2 +𝑇3,0 4

= 14.5614

𝑛𝑒𝑤 𝑇3,1 = 1.171 ∗ 14.5614 + 0.171 ∗ 13.3389 = 14.7704

Para 𝒊 = 𝟏, 𝒋 = 𝟐 𝑇1,2 =

𝑇0,2 +𝑇2,2 +𝑇1,3 +𝑇1,1 4

= 52.9198

𝑛𝑒𝑤 𝑇1,2 = 1.171 ∗ 52.9198 + 0.171 ∗ 47.6093 = 53.8279

Para 𝒊 = 𝟐, 𝒋 = 𝟐 𝑇2,2 =

𝑇1,2 +𝑇3,2 +𝑇2,3 +𝑇2,1 4

= 52.0598

𝑛𝑒𝑤 𝑇2,2 = 1.171 ∗ 52.0598 + 0.171 ∗ 49.0632 = 52.5722

Para 𝒊 = 𝟑, 𝒋 = 𝟐 𝑇3,2 =

𝑇2,2 +𝑇4,2 +𝑇3,1 +𝑇3,3 4

= 35.6945

𝑛𝑒𝑤 𝑇3,2 = 1.171 ∗ 35.6945 + 0.171 ∗ 34.5556 = 35.8893

Para 𝒊 = 𝟏, 𝒋 = 𝟑 𝑇1,3 =

𝑇0,3 +𝑇2,3 +𝑇1,2 +𝑇1,4 4

= 91.2484

𝑛𝑒𝑤 𝑇1,3 = 1.171 ∗ 91.2484 + 0.171 ∗ 89.7430 = 91.5058

Para 𝒊 = 𝟐, 𝒋 = 𝟑

𝑇2,3 =

𝑇1,3 +𝑇3,3 +𝑇2,2 +𝑇2,4 4

= 97.3784

𝑛𝑒𝑤 𝑇2,3 = 1.171 ∗ 97.3784 + 0.171 ∗ 96.1656 = 97.5858

Para 𝒊 = 𝟑, 𝒋 = 𝟑 𝑇3,3 =

𝑇2,3 +𝑇4,3 +𝑇3,2 +𝑇3,4 4

= 75.8688

𝑛𝑒𝑤 𝑇3,3 = 1.171 ∗ 75.8688 + 0.171 ∗ 75.4355 = 75.9428

Quinta iteración: Para 𝒊 = 𝟏, 𝒋 = 𝟏 𝑇1,1 =

𝑇2,1 +𝑇0,1 +𝑇1,2 +𝑇1,0 4

= 30.6295

𝑛𝑒𝑤 𝑇1,1 = 1.171 ∗ 30.6295 + 0.171 ∗ 27.8730 = 31.1008

Para 𝒊 = 𝟐, 𝒋 = 𝟏 𝑇2,1 =

𝑇3,1 +𝑇1,1 +𝑇2,2 +𝑇2,0 4

= 24.6109

𝑛𝑒𝑤 𝑇2,1 = 1.171 ∗ 24.6109 + 0.171 ∗ 23.6900 = 24.7683

Para 𝒊 = 𝟑, 𝒋 = 𝟏 𝑇3,1 =

𝑇4,1 +𝑇2,1 +𝑇3,2 +𝑇3,0 4

= 15.1644

𝑛𝑒𝑤 𝑇3,1 = 1.171 ∗ 15.1644 + 0.171 ∗ 14.7704 = 15.2318

Para 𝒊 = 𝟏, 𝒋 = 𝟐 𝑇1,2 =

𝑇0,2 +𝑇2,2 +𝑇1,3 +𝑇1,1 4

= 55.0447

𝑛𝑒𝑤 𝑇1,2 = 1.171 ∗ 55.0447 + 0.171 ∗ 53.8279 = 55.2528

Para 𝒊 = 𝟐, 𝒋 = 𝟐 𝑇2,2 =

𝑇1,2 +𝑇3,2 +𝑇2,3 +𝑇2,1 4

= 53.3740

𝑛𝑒𝑤 𝑇2,2 = 1.171 ∗ 53.3740 + 0.171 ∗ 52.5722 = 53.5112

Para 𝒊 = 𝟑, 𝒋 = 𝟐 𝑇3,2 =

𝑇2,2 +𝑇4,2 +𝑇3,1 +𝑇3,3 4

= 36.1714

𝑛𝑒𝑤 𝑇3,2 = 1.171 ∗ 36.1714 + 0.171 ∗ 35.8893 = 36.2197

Para 𝒊 = 𝟏, 𝒋 = 𝟑 𝑇1,3 =

𝑇0,3 +𝑇2,3 +𝑇1,2 +𝑇1,4 4

= 91.9596

𝑛𝑒𝑤 𝑇1,3 = 1.171 ∗ 91.9596 + 0.171 ∗ 91.5058 = 92.0372

Para 𝒊 = 𝟐, 𝒋 = 𝟑

𝑇2,3 =

𝑇1,3 +𝑇3,3 +𝑇2,2 +𝑇2,4 4

= 97.8728

𝑛𝑒𝑤 𝑇2,3 = 1.171 ∗ 97.8728 + 0.171 ∗ 97.5858 = 97.9219

Para 𝒊 = 𝟑, 𝒋 = 𝟑 𝑇3,3 =

𝑇2,3 +𝑇4,3 +𝑇3,2 +𝑇3,4 4

= 76.0354

𝑛𝑒𝑤 𝑇3,3 = 1.171 ∗ 76.0354 + 0.171 ∗ 75.9428 = 76.0512

Desarrollando un programa para calcular la temperatura por el método de Liebmann en Matlab tenemos: %Metodo de Liebman clc, clear all %Dimensiones del problema L=40; W=40; K=0.49; Es=1; %Nodos dx=10; nx=(L/dx)+1; dy=10; ny=(W/dy)+1; %Calculo del facor de sobrerelajación n=4; m=4; I=4/(2+sqrt(4-(cos(pi/m)+cos(pi/n))^2)); % Malla for j=1:ny for i=1:nx x(i,j)=(i-1)*dx; y(i,j)=(j-1)*dy; end end %Matriz T, que representa la funcion de la temperatura T(1:nx,1:ny,1)=0; %CDondición Inicial, para el metodo de Liebman %Iteraciones kmax=1000; for k=1:kmax %Condiciones de frontera %Arriba y abajo for i=1:nx T(i,1,k+1)=170; %Abajo T(i,ny,k+1)=0; %Arriba end % Derecha y Izquierda for j=1:ny T(1,j,k+1)=45; %Izquierda T(nx,j,k+1)=0; %Derecha end %Algortimo de Libman for j=2:ny-1 for i=2:nx-1 T(i,j,k+1)=(T(i+1,j,k)+T(i-1,j,k)+T(i,j+1,k)+T(i,j-1,k))/4; T(i,j,k+2)=I*T(i,j,k+1)+(1-I)*T(i,j,k); %Algoritmo del error permisible E(i,j,k)=(abs(T(i,j,k+2)-T(i,j,k+1))/T(i,j,k+2))*100; if (E