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Universidad Nacional de Ingenier´ıa SEMESTRE 2018–I, 11/05/18 Campus: C.U. FIM CONTROL DIGITAL Examen Parcial (Tiempo: 1:50 horas) NOTA: No se permite copias ni apuntes. S´olo est´a permitido las tablas proporcionadas por el Profesor del curso. 1. Considere una se˜nal seno x(t) = A sin(ω t), con frecuencia 1Hz y amplitud 5. Halle en Numero de muestras de la se˜nal seno discreto x(k), que ha sido muestreada uniformemente a 1/16 segundos sobre un periodo. Halle los valores de voltaje para las muestras 4 y 13. (4 Ptos) 2. Considere el sistema de control que posee retardo (ver Figura 1). La frecuencia de muestreo es 1Hz. (6 Ptos) a) Analice la respuesta transitoria del sistema de control realimentado cuando la ganancia, K es la unidad. b) Escriba la ecuaci´on de control u. ¯ c) cual seria el c´odigo para determinar u¯ desde los LTI de MATLAB. d) ¿El proceso tanque de nivel podr´ıa representar a la planta del problema propuesto?

Figura 1: Sistema de control digital.

Nota: La variable u¯ fue discutida en clase. CONTINUA

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–2– 3. Considere la ecuaci´on diferencial de un sistema el´ectrico RLC.

(4 Ptos)

1 dvL 1 1 dE d 2 vL + + vL = 2 dt RC dt LC RC dt Donde la salida es vL , ca´ıda de tension sobre la bobina y la entrada, E es la tension que alimenta al circuito, los valores de los componentes son R = 2, L = 1, y C = 1. Escriba la ecuaci´on en diferencias del sistema el´ectrico. 4. Considere la funci´on de transferencia en lazo cerrado dado por. H(s) =

(6 Ptos)

100 s2 + 5s + 100

El sistema ha sido discretizado con un periodo de muestreo de 0.01s, encontrado la funci´on de transferencia discreta. H(z) =

0.004914z + 0.004832 z2 − 1.941z + 0.9512

El sistema ha sido sometido a una entrada escal´on, encontrando la respuesta de la Figura 2. Verifique su respuesta dando los valores del sobrepaso m´aximo y el tiempo de establecimiento.

Figura 2: Respuesta al escal´on.

Profesor. Ricardo Rodr´ıguez Bustinza, M.Sc.

ANEXO

–3–

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Soluci´on Problema 1 1 2 3 4 5 6 7 8

% onda seno % x(t)=A*sin(w*t) f=1; T=1/f; w=2*pi*f; A=5; NS=16; Ts=T/NS; Los valores de las muestras solicitada son: x(4) = 4.6194, y x(13) = −5

Soluci´on Problema 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

% pregunta 2 parcial fs=1; T=1/fs; B=[0 1]; A=[1 0]; H=tf(B,A,’InputDelay’,T); % 1 % exp(-1*s) * % s Hd=c2d(H,T); % 1 % zˆ(-1) * ----% z - 1 K=tf(1,1,T); S=K*Hd; F=S/(S+1);

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

tk=0:T:10; sp=ones(size(tk)); y=lsim(F,sp,tk); e=sp’-y; u=e’; % 1 1 0 -1 -1 0 1 1 0 -1 -1 % f=sum f(k) zˆ-k % 1 1zˆ-1 0 -1zˆ-3 -1zˆ-4 0 1zˆ-6 1zˆ-7 0 -1 -1 k=0:10; CONTINUA

ANEXO

27

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–4–

stem(k,u) 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8

−1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura 3: se˜nal de control. El sistema debe ser tratado por separado, es decir el retardo de la planta. Con ello obtenemos desde el criterio de magnitud 0 < K < 1. El valor en donde oscila es K = 1. El proceso referente es tanque de nivel.

Soluci´on Problema 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

R=2; L=1; C=1; a1=1/(R*C); a2=1/(L*C); b1=1/(R*C); T=0.01; c1=(a1*T+2)/(1+a1*T+a2*Tˆ2); c2=1/(1+a1*T+a2*Tˆ2); % ecuacion en diferencias v = c1*v1 - c2*v2 + b1*T*E - b1*T*E1; % ecuacion parametrica v = c1*v1 - c2*v2 + b1*T*E - b1*T*E1 + c1*e + c2*e1; Donde e1, equivale a e(k − 1), en forma an´aloga a los dem´as.

CONTINUA

ANEXO

–5–

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Soluci´on Problema 4 Desde la funci´on prototipo podemos obtener la frecuencia angular y el factor de amortiguado.

ωn2 P(s) = 2 s + 2ζ ωn s + ωn2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

P=tf(100,[1 5 100]); step(P) T=0.01; Pd=c2d(P,T); wn=10; zeta=5/(2*wn); tp=pi/(wn*sqrt(1-zetaˆ2)); ts=3.5/(zeta*wn); PO=100*exp(-zeta*pi/(sqrt(1-zetaˆ2))); % ts=1.400000 % Mp=44.434423 La otra soluci´on es dada en el dominio del tiempo discreto, queda para el estudiante el desarrollo.