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• Wilfredo Rondan Huaman

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE CIENCIAS Electromagnetismo Maestría 2018-I Capítulo 6 Campos de Intensidad H, Magnetización M, Potencial escalar con Condiciones de Frontera. Ley de Faraday. Energía magnética

magnético.

Problemas

BIBLIOGRAFÍA 1. J. R. Reitz and F. J. Milford, Fundamentos de la Teoría Electromagnética, Wesley, 1962. 2. Zahn, Markus. Electromagnetic Field Theory: A problem solving approach, 2d Ed. 3. Jackson, J.D., Classical Electrodynamics, 2nd Edition, John Wiley & Sons, New York, 1975 4. Wagsness, R. Campos Electromagnéticos,

Ejercicios 1. Un imán permanente tiene la forma de un cilindro recto, circular, de longitud L. Si la magnetización M fuera uniforme y tiene la dirección del eje del cilindro, calcular las densidades de corriente de magnetización, JM y jM. Compare la distribución de corriente con la de un solenoide. 2. Se tiene una cáscara esférica, de radio interno R1 y radio externo R2 que está uniformemente ⃗⃗ 0 = 𝑀0 𝑘̂. Encontrar magnetizada en la dirección del eje Z. La magnetización en la cáscara es 𝑀 el potencial escalar * en puntos sobre el eje Z, tanto dentro como fuera de la cáscara. 3. Una esfera de material magnético, de raio R, es colocada en el origen del sistema de ⃗⃗ = (𝑎𝑥 2 + 𝑏)𝑖̂, donde 𝑎 y 𝑏 son constantes. coordenadas. La magnetización está dada por 𝑀 Determine todas las densidades y corrientes de magnetización. 4. Un cilindro largo de radio 𝑎 y permeabilidad 𝜇, es colocado en un campo magnético ⃗ 0 , de forma que el eje del cilindro forma ángulo recto con 𝐵 ⃗ 0 . Calcule la inducción uniforme 𝐵 magnética al interior del cilindro. Haga un esbozo semi-cuantitativo mostrando las líneas de inducción típicas a través del cilindro. (Suponga, desde el inicio, que el potencial escalar magnético * puede ser completamente especificado en términos de los armónicos cilíndricos de cos 𝜃. Esta suposición es justificada, una vez que todas las condiciones de contorno pueden ser satisfechas en términos de los armónicos de cos 𝜃).

⃗,𝐻 ⃗ y𝑀 ⃗⃗ y las corrientes de magnetización resultantes para los 5. ¿Cuáles son los campos 𝐵 siguientes casos: a) Una corriente volumétrica uniformemente distribuida 𝐽0 𝑖̂𝑧 a través de un cilindro de radio 𝑎 y permeabilidad rodeado por espacio libre. b) una corriente superficial 𝐾0 𝑖̂𝑧 centrado dentro de una plancha permeable de espesor 𝑑 rodeado por espacio libre.

Problema 5

Problema 6a

6. Un cilindro de radio 𝑎 es colocado dentro de un campo magnético uniforme 𝐻0 𝑖̂𝑥 . Encontrar el campo magnético en cada uno de los siguientes casos: a) Cilindro tiene permeabilidad 𝜇2 y el medio que le rodea tiene permeabilidad 𝜇1 . b) Cilindro uniformemente magnetizado 𝑀2 𝑖̂𝑥 en un medio uniformemente magnetizado 𝑀1 𝑖̂𝑥 7. El conductor PQ de la figura, de masa m [en kg], desliza sin roce por dos rieles conductores muy largos, separados una distancia PQ=L [en m]. Éstos están unidos en uno de sus extremos por un conductor de resistencia R [en Ω] y el sistema se encuentra en un campo magnético ⃗ [en Tesla], perpendicular al plano del circuito. En el instante t = 0 se uniforme de inducción 𝐵 le comunica a la barra una velocidad 𝑣0 [m/s] en la dirección indicada. Determine: (a) Cuánto recorre la barra hasta detenerse. (b) La energía disipada en R en ese lapso. Explique claramente lo que ocurre.

Problema 7

Problema 8

8. Una espira rectangular de lados 𝑎 [m] y 𝑏 [m] se mueve con velocidad constante 𝑣0 [m/s], desde una región sin campo a otra de campo magnético uniforme pero variable en el tiempo, como se ve en la figura. Mientras la espira ingresa completamente a esta región, el campo ⃗ a través de la cambia linealmente su magnitud desde 𝐵0 [T] hasta 2𝐵0 . (a) Calcule el flujo de 𝐵

espira, en un instante t cualquiera durante su ingreso a la región. (b) En ese instante, calcule la fem inducida en la espira, indicando el sentido en que circula la corriente por ella. Justifique. 9. Un alambre de masa m [kg] y longitud A [m] desliza (sin roce) por rieles que forman un ángulo de 30° con la horizontal, como se ve en la figura. La resistencia del circuito formado por ellos es R [Ω]. (a) ¿Qué magnitud debe tener un campo magnético vertical, para que el alambre descienda con rapidez constante v [m/s]? (b) Deduzca el sentido de la corriente inducida.

Problema 9

Problema 10

10. Un cable coaxial consiste de 2 tubos cilíndricos muy largos, separados por material aislante de susceptibilidad magnética m. Una corriente I fluye por el conductor más interno y retorna a lo largo del externo; en cada caso la corriente se distribuye uniformemente sobre la superficie. a) Calcular el campo magnético H en la región entre los tubos. b) Calcule la magnetización y las corrientes de magnetización

11. Un disco conductor muy delgado de radio a y conductividad g descansa sobre el plano XY con su centro en el origen. Un campo de inducción espacialmente uniforme se encuentra ⃗ = 𝐵0 cos(𝜔𝑡 + 𝛼)𝑘̂ . presente y está dado por 𝐵 a) Calcular el flujo magnético y la fuerza electromotriz para puntos  < a b) Encontrar la densidad de corriente inducida 𝐽𝑓 producida en el disco donde  es la distancia radial en coordenadas cilíndricas. ⃗ 12. Un lazo cuadrado de lado l es colocado en un campo de inducción magnética uniforme 𝐵 (cuya dirección apunta entrando a la página). Durante un intervalo de tiempo ∆𝑡 el lazo es jalado de sus dos extremos y adopta la forma de un rombo con sus lados superior formando un ángulo . a) Calcule la fuerza electromotriz  b) Asuma que la resistencia total del lazo es R y calcule la corriente I inducida en el lazo y explique cuál será su dirección de recorrido (horario o antihorario)

NOTA : Recordar que el área A de un paralelogramo formado por 2 vectores 𝑙1 y 𝑙2 es 𝐴 = |𝑙1 × 𝑙2 | = 𝑙1 𝑙2 𝑠𝑒𝑛 𝜃

Problema 12 13. Un lazo circular de radio a está a una distancia D sobre un dipolo magnético puntual de área ds llevando una corriente I1. a) ¿Cuál es el potencial vectorial 𝐴 debido al dipolo en todos los puntos del lazo circular? ⃗ debido a I2 en la b) Si el lazo lleva una corriente I2, ¿Cuál es el campo de inducción magnética 𝐵 posición del dipolo puntual? c) ¿Cuánto es el flujo magnético debido a I2 que pasa a través del dipolo magnético de área ds? d)¿Cuál es la inductancia mutua entre el dipolo y el lazo?

Problema 13

Problema 14

14. Un cilindro hueco circular largo y recto hecho de hierro de permeabilidad  es colocado ⃗ . Asuma con su eje perpendicular a un campo de inducción magnética inicialmente uniforme 𝐵 ⃗ 0 es suficientemente pequeño de modo que no satura el hierro y que la permeabilidad  que 𝐵 es constante. Sean b y a los radios interno y externo, respectivamente. a) Sean 1, 2 y 3 las regiones interna, intermedia y externa del cilindro, ¿Cuál es el potencial 3 para puntos 𝑟 → ∞ ? b) Usando las condiciones de frontera en r = a y r = b, escribir las ecuaciones para los potenciales escalares magnéticos 1, 2 y 3 en función de B0, las constantes  y 0 y los coeficientes de los potenciales a obtener. Nota: Considerar que i (r,) = i (r,-)

c) Resolver las ecuaciones y calcular los potenciales 1, 2 y 3 15. Un conductor cilíndrico largo, no magnético de radio 𝑏 tiene un conducto coaxial de radio 𝑎 perforado en su centro, es decir, que es como la figura con el conductor en la región 2 y todo lo demás al vacío. Conduce una corriente 𝐼 distribuida uniformemente en su sección. Encontrar la energía magnética asociada con la inducción en un trozo de longitud 𝑙 del conductor.