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• Lesly Licny Humani Lopez

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2.5 CRAWLER TREAD: UN EJEMPLO DE MEZCLAS

Aunque el problema de PROTRAC, resulto ser un modelo de maximización, algunos problemas del mundo real ocurren dentro de un contexto de minimización, pero si, por ejemplo, el objetivo es el costo, entonces se buscara sin duda la minimización. Como ejemplo, vamos a considerar el siguiente problema de la CRAWLER TREAD (bandas para tractor oruga). Se va a mezclar mineral procedente de cuatro minas diferentes para fabricar bandas para un nuevo producto de la PROTRAC, un tractor oruga de tamaño medio, el E-6, diseñado especialmente para competir en el mercado europeo. Los análisis han demostrado que para producir una banda con las cualidades adecuadas de tensión y los requerimientos mínimos se debe contar con tres elementos básicos que para abreviar designaremos como A, B Y C. En particular, cada tonelada de mineral debe contener por lo menos 5 libras del elemento básico A, por lo menos100 libras del elemento B y al menos 30 libras del elemento C. Estos datos se resumen en la figura 2.10. El mineral de cada una de las cuatro minas diferentes contiene los tres elementos básicos, pero en diferentes proporciones. Sus composiciones, en libras por tonelada, se dan en la figura 2.11 los datos de los precios se dan en la figura 2.12 DESARROLLO ELEMENTO

MINAS

REQUERIMIENTOS

BASICO

1

2

3

4

A

10

3

8

2

5

B

90

150

75

175

100

C

45

25

20

37

30

COSTO

800

400

600

500

PLANTEAMIENTO F.O MIN 800X1 + 400X2 + 600X3 + 500X4 RESTRICCIONES 10 X1 + 3X2 + 8X3 + 2X4 > = 5 90X1 + 150X2 + 75X3 + 175X4 > = 100 45X1 + 25X2 + 20X3 + 37X4 > = 30 X1 + X2 + X3 + X4 = 1

A) USAMOS EL PROGRAMA DE LINDO

B) ANALISIS DEL RESULTADO

LP OPTIMUM FOUND AT STEP

0

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1)

511.1111

VARIABLE

VALUE

REDUCED COST

X1

0.259259

0.000000

X2

0.703704

0.000000

X3

0.037037

0.000000

X4

0.000000

91.111115

ROW SLACK OR SURPLUS

DUAL PRICES

2)

0.000000

-44.444443

3)

31.666666

0.000000

4)

0.000000

-4.444445

5)

0.000000

-155.555557

NO. ITERATIONS=

0

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE

CURRENT

COEF

ALLOWABLE

INCREASE

ALLOWABLE

DECREASE

X1

800.000000

223.636307

120.000008

X2

400.000000

66.847809

300.000031

X3

600.000000

85.714294

118.269203

X4

500.000000

INFINITY

91.111107

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW

CURRENT RHS

ALLOWABLE

INCREASE 2.375000

ALLOWABLE

DECREASE

2

5.000000

0.250000

3

100.000000

31.666666

4

30.000000

0.714286

7.000000

5

1.000000

0.250000

0.043478

INFINITY

C) USAMOS EL PROGRAMA DE EXCEL

EJEMPLO 1: ASTRO Y COSMO (UN PROBLEMA DE MEZCLA DE PRODUCTOS) Una compañía de TV produce dos tipos de equipos para televisión, el astro y el cosmos. Hay dos líneas de producción, una para cada tipo de televisor, y dos departamentos, ambos intervienen en la producción de cada aparato. La capacidad de la línea de producción astro es de 70 televisores diarios y la de la línea cosmos es de 50. En el departamento A se fabrican los cinescopios. En este departamento los televisores astro requieren 1 hora de trabajo y los cosmos 2. Actualmente, en el departamento A se puede asignar un máximo de 120 horas de trabajo por día a la producción de ambos tipos de aparatos. En el departamento B se construye el chasis. En este departamento, los televisores, astro requieren 1 hora de trabajo, igual que los cosmos. En la actualidad se puede asignar un máximo de 90 horas de trabajo diarias al departamento B para la producción de ambos tipos de televisores. La utilidad por aparato es de 20 y 10 dólares, respectivamente, por cada aparato astro y cosmos. Estos datos se resumen en la figura 2.13. Si la compañía puede vender todos los aparatos que se produzcan, ¿Cuál debe ser el plan de producción diaria de cada aparato? Revise el modelo de PROTRAC, y después trate de formular el problema del astro y cosmos como un programa lineal.

DESARROLLO CAPACIDAD

UTILIZACIÓN DE TRABAJO POR

UTILIDAD POR

DIARIA

APARATO (HRS)

APARATO

DEPT. A

DEPT. B

ASTRO

70

1

1

$20

COSMOS

50

2

1

10

120

90

DISPONIBILIDAD TOTAL

PLANTEAMIENTO F.O MAX 20X1 + 10X2 RESTRICCIONES 1X1 + 2X2 < = 120 1X1 + 1X2 < = 90 1X1 + 0X2 < = 70 0X1 + 1X2 < = 50 X1 + X2 = 1

A) USAMOS EL PROGRAMA DE LINDO

B) ANALISIS DEL RESULTADO

LP OPTIMUM FOUND AT STEP

0

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1)

20.00000

VARIABLE

VALUE

REDUCED COST

X1

1.000000

0.000000

X2

0.000000

10.000000

ROW SLACK OR SURPLUS 2)

119.000000

0.000000

3)

89.000000

0.000000

4)

69.000000

0.000000

5)

50.000000

0.000000

6)

0.000000

20.000000

NO. ITERATIONS=

DUAL PRICES

0

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE

CURRENT

COEF

ALLOWABLE

INCREASE

ALLOWABLE

DECREASE

X1

20.000000

INFINITY

10.000000

X2

10.000000

10.000000

INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW

CURRENT RHS

ALLOWABLE

INCREASE

ALLOWABLE

DECREASE

2

120.000000

INFINITY

119.000000

3

90.000000

INFINITY

89.000000

4

70.000000

INFINITY

69.000000

5

50.000000

INFINITY

50.000000

6

1.000000

69.000000

1.000000

C) USAMOS EL PROGRAMA DE EXCEL

2.9 EJEMPLO 2: BLENDING GRUEL (UN PROBLEMA DE MEZCLAS) Una lata de 16 onzas de alimento para perros debe contener proteínas, carbohidratos y grasas en las siguientes cantidades mínimas: proteínas, 3 onzas, carbohidratos, 5 onzas, grasas, 4 onzas. Se va mezclar cuatro tipos de combinaciones de cereal en diversas proporciones para producir una lata de alimento para perro que satisfaga los requerimientos al costo mínimo. Los contenidos y precios de 16 onzas d cada combinación se da en la figura 2.14 Revise el modelo de mezclas de la CRAWLER TREAD y formule este problema de mezcla de combinaciones como programa lineal. (Sugerencia: designe con x, la proporción de la combinación i que habrá en una lata de 16 onzas de alimento para perros, i = 1, 2, 3, 4)

DESARROLLO ALIMENTO

CONTENIDOS Y PRECIOS POR 16 OZ DE CEREAL

PRECIO

CONTENIDO DE CONTENIDO DE CONTENIDO DE PROTEÍNAS CARBOHIDRATOS GRASAS (OZ) (OZ) (OZ) 1

3

7

5

$4

2

5

4

6

6

3

2

2

6

3

4

3

8

2

2

CANTIDAD MINIMA

3

5

4

PLANTEAMIENTO F.O MIN 4X1 + 6X2 + 3X3 + 2X4 RESTRICCIONES 3X1 + 5X2 + 2X3 + 3X4 > = 3 7X1 + 4X2 + 2X3 + 8X4 > = 5 5X1 + 6X2 + 6X3 + 2X4 > = 4 X1 + X2 + X3 + X4 = 1

A) USAMOS EL PROGRAMA DE LINDO

B) ANALISIS DEL RESULTADO

LP OPTIMUM FOUND AT STEP

1

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1)

3.000000

VARIABLE

VALUE

REDUCED COST

X1

0.000000

0.500000

X2

0.166667

0.000000

X3

0.333333

0.000000

X4

0.500000

0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS 2)

0.000000

-1.000000

3)

0.333333

0.000000

4)

0.000000

-0.500000

5)

0.000000

2.000000

NO. ITERATIONS=

DUAL PRICES

1

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE

CURRENT

COEF

ALLOWABLE

INCREASE

ALLOWABLE

DECREASE

X1

4.000000

INFINITY

0.500000

X2

6.000000

1.999999

3.000000

X3

3.000000

1.000000

3.000000

X4

2.000000

2.000000

INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW

CURRENT RHS

ALLOWABLE

INCREASE

ALLOWABLE

DECREASE

2

3.000000

1.000000

0.500000

3

5.000000

0.333333

INFINITY

4

4.000000

0.250000

2.000000

5

1.000000

0.142857

0.038462

C) USAMOS EL PROGRAMA DE EXCEL

2.10 EJEMPLO 3: PROGRAMACION DE LA VIGILANCIA (UN PROBLEMA DE PROGRAMACION)

Un gerente personal debe elaborar un programa de vigilancia de modo que satisfagan los requerimientos de personal que se muestran en la figura 2.15 Los guardias trabajan turnos de 8 horas. Todos los días hay seis turnos. En la figura 2.16 se dan los horarios de entrada y de salida de cada turno. El gerente de personal quiere determinar cuántos guardias deberán trabajar en cada turno con el objeto de minimizar el número total de guardias que satisfaga los requerimientos de personal. DESARROLLO TURNO

HORA DE ENTRADA Y HORA DE SALIDA

MEDIANOCHE

1

MEDIANOCHE 8 AM

X1

2

4 AM MEDIODIA

3

8 AM 4 PM

4

MEDIODIA 8PM

5

4 PM MEDIANOCHE

6

8 PM 4 AM

X6

Nº MINIMO DE OFICIALES REQUERIDOS

5

7

4 AM

X1 + X2 > = 7 X2 + X3 > = 15 X3 + X4 > = 7 X4 + X5 > = 12 X5 + X6 > = 9

MEDIODÍA

MEDIODÍA

4 PM

4 PM

8 PM MEDIANOCHE

8 PM

X1 X2

X2 X3

X3 X4

X4 X5

F.O MIN X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6

X1 + X6 > = 5

8AM

8 AM

PLANTEAMIENTO

RESTRICCIONES

4 AM

X5 X6

15

7

12

9

A) USAMOS EL PROGRAMA DE LINDO

B) ANALISIS DEL RESULTADO

LP OPTIMUM FOUND AT STEP

7

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1)

32.00000

VARIABLE

VALUE

REDUCED COST

X1

0.000000

0.000000

X2

8.000000

0.000000

X3

7.000000

0.000000

X4

0.000000

0.000000

X5

12.000000

0.000000

X6

5.000000

0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS 2)

0.000000

-1.000000

3)

1.000000

0.000000

4)

0.000000

-1.000000

5)

0.000000

0.000000

6)

0.000000

-1.000000

7)

8.000000

0.000000

DUAL PRICES

NO. ITERATIONS=

7

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE

CURRENT

COEF

ALLOWABLE

INCREASE

ALLOWABLE

DECREASE

X1

1.000000

INFINITY

0.000000

X2

1.000000

0.000000

0.000000

X3

1.000000

0.000000

0.000000

X4

1.000000

INFINITY

X5

1.000000

0.000000

1.000000

X6

1.000000

0.000000

1.000000

0.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW

CURRENT RHS

ALLOWABLE

INCREASE

ALLOWABLE

DECREASE

2

5.000000

INFINITY

5.000000

3

7.000000

1.000000

INFINITY

4

15.000000

INFINITY

5

7.000000

1.000000

6

12.000000

INFINITY

7

9.000000

8.000000

1.000000 7.000000 8.000000 INFINITY

C) USAMOS EL PROGRAMA DE EXCEL

2.11 EJEMPLO 4: UN MODELO DE TRANSPORTE Una compañía tiene dos plantas y tres almacenes. La primera planta puede abastecer un máximo de 100 unidades y la segunda un máximo de 200 unidades del mismo producto. El potencial de ventas del primer almacén es de 150, del segundo de 200 y del tercero de 350. Las utilidades que se obtienen por las ventas en los tres almacenes son: 12 en el primero, 14 en el segundo y 15 en el tercero. En la figura 2.20 se da el costo de la manufactura en la planta i y del transporte al almacén j. la compañía desea determinar cuántas unidades debe transportar de cada planta a cada almacén para maximizar la utilidad. DESARROLLO PLANTA

ALMACEN

OFERTA (UNIDADES)

1

2

3

1

8

10

12

100

2

7

9

11

200

DEMANDA

150

200

350

PRECIO VENTA

12

14

15

COEFICIENTES C1 12 – 8 = 4

C4 12 – 7 = 5

C2 14 – 10 = 4

C5 14 – 9 = 5

C3 15 – 12 = 3

C6 15 – 11 = 4

PLANTEMIENTO F.O MAX 4X11 + 4X12 + 3X13 + 5X21 + 5X22 + 4X23 RESTRICCIONES X11 + X12 + X13 < = 100 X21 + X22 + X23 < = 200 X11 + X21 < = 150 X12 + X22 < = 200 X13 + X23 < = 350

A) USAMOS EL PROGRAMA DE LINDO

B) ANALISIS DEL RESULTADO

LP OPTIMUM FOUND AT STEP

3

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1)

1400.000

VARIABLE

VALUE

REDUCED COST

X11

100.000000

0.000000

X12

0.000000

0.000000

X13

0.000000

1.000000

X21

0.000000

0.000000

X22

200.000000

X23

0.000000

0.000000 1.000000

ROW SLACK OR SURPLUS 2)

0.000000

4.000000

3)

0.000000

5.000000

4)

50.000000

0.000000

5)

0.000000

0.000000

6)

350.000000

NO. ITERATIONS=

0.000000

3

DUAL PRICES

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE

CURRENT

COEF

ALLOWABLE

INCREASE

ALLOWABLE

DECREASE

X11

4.000000

INFINITY

0.000000

X12

4.000000

0.000000

INFINITY

X13

3.000000

1.000000

INFINITY

X21

5.000000

0.000000

INFINITY

X22

5.000000

INFINITY

0.000000

X23

4.000000

1.000000

INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW

CURRENT RHS

ALLOWABLE

INCREASE

ALLOWABLE

DECREASE

2

100.000000

50.000000

100.000000

3

200.000000

0.000000

200.000000

4

150.000000

INFINITY

50.000000

5

200.000000

INFINITY

0.000000

6

350.000000

INFINITY

350.000000

C) USAMOS EL PROGRAMA DE EXCEL

2.12 EJEMPLO 5: CORPORACIÓN WINSTON – SALEM DEVELOPMENT (PLANEACIÓN FINANCIERO) Esta es una interesante aplicación de la programación lineal a la planeación financiera. La corporación Winston – Salem Development (CWSD) está tratando de integrar su plan de inversiones para los dos próximos años. Actualmente, la CWSD tiene disponibles dos millones de dólares para invertir. La CWSD espera recibir en 6, 12 y 18 meses un flujo de ingresos de las inversiones previas. En la figura 2.21 se presentan los datos. Hay dos proyectos de desarrollo en los que la compañía esta planeando participar. 1. en la figura 2.22 se muestra el flujo de caja que se tendría si la CWSD participara a un nivel del 100% en el proyecto de Foster City Development (los números negativos son inversiones y los positivos son ingresos). Así, para participar en el Foster City a nivel de 100% la CWSD tendría que desembolsar de inmediato $1000000. A los 6 meses erogaría otros $700000, etc. 2. un segundo proyecto consiste en hacerse cargo de la operación de un antiguo proyecto de vivienda media, con la condición de que deben hacerse ciertas reparaciones iniciales. En la figura 2.23 se muestra el flujo de caja del proyecto, a nivel del 100% de participación. Debido a la política de la compañía, a la CWSD no se le permite pedir prestado dinero. Sin embargo, al comienzo de cada periodo de 6 meses todos los fondos excedentes (esto es, los que no sean colocados en Foster City o en proyecto de vivienda media) se invierten con un interés del 7% para este periodo de 6 meses. La CWSD puede participar en cualquiera de los proyectos a nivel menor que el 100%, en cuyo caso todos los flujos de efectivo de ese proyecto se reducirán en forma proporcional. Por ejemplo, si la CWSD opta por participar en la Forest City, a nivel de 30%, el flujo de caja asociado con esta decisión seria 0.3 veces los datos de la figura 2.22. el problema que actualmente encara la CWSD es decir que parte de los $2000000 en efectivo debe invertirse en cada proyecto y cuánto debe colocarse simplemente por el redito del 7% semestral. La meta del administrador consiste en maximizar el efectivo que habrá al final de los 24 meses. Formule este problema como modelo de programación lineal.

DESARROLLO

INGRESOS PROCEDENTES DE INVERSIONES PREVIAS

INGRESO

6 MESES

12 MESES

18 MESES

$500000

$400000

$380000

FLUJO DE EFECTIVO DE FOSTER CITY

INGRESO

INICIAL

6 MESES

12 MESES

18 MESES

24 MESES

$-1000000

$-700000

$1800000

$400000

$600000

FLUJO DE EFECTIVO DEL PROYECTO DE VIVIENDA PARA GENTES DE MEDIANOS INGRESOS

INGRESO

INICIAL

6 MESES

12 MESES

18 MESES

24 MESES

$800000

$500000

$-200000

$-700000

$2000000

PLANTEAMIENTO F.O MAX 600000F + 2000000M + 1.07S4 RESTRICCIONES 1000000F + 800000M + S1 < = 2000000 700000F – 500000M – 1.07S1 + S2 < = 500000 -1800000F + 200000M – 1.07S2 + S3 < = 400000 -400000F + 700000M – 1.07S3 + S4 < = 380000

A) USAMOS EL PROGRAMA DE LINDO

B) ANALISIS DEL RESULTADO

LP OPTIMUM FOUND AT STEP

4

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1)

5811886.

VARIABLE F M

VALUE

1.320755

REDUCED COST 0.000000

0.849057

0.000000

S4 3104037.750000

0.000000

S1

0.000000

0.669203

S2

0.000000

0.141972

S3 2607547.250000

0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS 2)

0.000000

2.131909

3)

0.000000

1.367015

4)

0.000000

1.144900

5)

0.000000

1.070000

NO. ITERATIONS=

4

DUAL PRICES

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE

CURRENT

COEF

ALLOWABLE

INCREASE

F 600000.000000

ALLOWABLE

DECREASE

INFINITY 188112.984375

M 2000000.000000

150490.390625

400765.687500

S4

1.070000

0.290026

0.096394

S1

0.000000

0.669203

INFINITY

S2

0.000000

0.141972

INFINITY

S3

0.000000

0.713063

0.297529

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW

CURRENT RHS

ALLOWABLE

INCREASE

ALLOWABLE

DECREASE

2 2000000.000000

INFINITY 1285714.375000

3 500000.000000

900000.000000 1185772.000000

4 400000.000000

INFINITY 2607547.250000

5 380000.000000

INFINITY 3104037.750000

C) USAMOS EL PROGRAMA DE EXCEL

2.13 EJEMPLO 6: COMPAÑÍA LONGER BOATS YACHT: DESCRIPCION DEL ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO CON RESTRICCIONES La compañía longer boats yacht produce tres balandras de regatas de alto rendimiento. En tres botes se llaman aguijón, rayo y rompiente. La figura 2.24 da los datos pertinentes sobre beneficios y costos para el siguiente periodo de planeación. Como puede verse en estos datos, el costo fijo de estas actividades es considerable. Según se explicó en la sección 2.7, un “costo fijo” es un costo global que se paga sin importar la cantidad que se vaya a producir. De esta manera, el mismo costo fijo de $3000000 para los rayos se pagara así sea una producción de 0, 1 o 40 botes. El alto costo fijo incluye los gastos por modificación de diseños, reconstrucción de moldes y pruebas de viajes en lagunas. El análisis del punto de equilibrio fue presentado en el capítulo 1. La figura 2.25 muestra el análisis del punto de equilibrio en la producción del aguijón. Vemos que si la longer boats fuese a producir solo aguijones, tendría que producir por lo menos 1000 botes para llegar al punto de equilibrio. Sin embargo, el problema de la longer boats es más complicado. En principio para el próximo periodo de planeación la administracion ha contratado ya la producción de 700 aguijones. Otro cliente ha solicitado 400 rompientes, solicitud que el administrador le gustaría atender. Los estudios del mercado de la longer boats ha convencido al administrador de que por lo menos 300 rayos deben ser producido: además, la administracion está interesada en vender lo suficiente para alcanzar el punto de equilibrio, pero ahora hay tres productos, así como compromisos previos e indicaciones que se deben tomarse en cuenta. Partiendo de los principios básicos, el administrador observa que, en el punto de equilibrio. DESARROLLO BALANDRA

PRECIO DE VENTA POR UNIDAD

COSTO VARIABLE POR UNIDAD

COSTO FIJO

AGUIJON

$10000

$5000

$5000000

RAYO

7500

3600

3000000

ROMPIENTE

15000

8000

10000000

PLANTEAMIENTO F.O MIN 5000S + 3600R + 8000B RESTRICCIONES 5000S + 3900R + 7000B = 18000000 S > = 700 B > = 400 R < = 300

A) USAMOS EL PROGRAMA DE LINDO

B) ANALISIS DEL RESULTADO

LP OPTIMUM FOUND AT STEP

1

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1)

0.1831000E+08

VARIABLE

VALUE

REDUCED COST

S

2806.000000

0.000000

R

300.000000

0.000000

B

400.000000

0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS

DUAL PRICES

2)

0.000000

3)

2106.000000

4)

0.000000

-1000.000000

5)

0.000000

300.000000

NO. ITERATIONS=

-1.000000 0.000000

1

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE

CURRENT

COEF

ALLOWABLE

INCREASE

ALLOWABLE

DECREASE

S

5000.000000

714.285706

384.615387

R

3600.000000

300.000000

INFINITY

B

8000.000000

INFINITY

1000.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES ROW

CURRENT RHS

ALLOWABLE

INCREASE

2 18000000.000000

ALLOWABLE

DECREASE

INFINITY 10530000.000000

3

700.000000

2106.000000

INFINITY

4

400.000000

1504.285767

400.000000

5

300.000000

2700.000000

300.000000

C) USAMOS EL PROGRAMA DE EXCEL