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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – “ESPE” EXTENSIÓN LATACUNGA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

CARRERA:

FINANZAS Y AUDITORÍA

DOCENTE:

ING. BYRON COCHA

ESTUDIANTE:

NAILA SUSANA QUISHPE JÁCOME

PERÍODO:

(ABRIL–AGOSTO 2017)

ASIGNATURA:

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

NRC:

3517

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Índice de contenido PRIMER PARCIAL ..........................................................................................................................5 1.1.

Origen y evolución de la investigación operativa .........................................................5

1.2.

Evolución de la investigación operativa ........................................................................6

1.3.

Aplicación de la investigación operativa .......................................................................6

1.6.

¿Qué me ofrece la investigación operativa?.................................................................9

1.7.

Fases de la investigación operativa ..............................................................................9

PROGRAMACIÓN LINEAL ............................................................................................................10 2.1. Definición ........................................................................................................................10 2.2. Objetivos de la Programación Lineal ...............................................................................11 2.3. Aplicaciones de la programación lineal ...........................................................................11 2.4. Limitaciones de la programación lineal ...........................................................................12 Historia de la Investigación Operativa ...........................................................................12 APLICACIONES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ...................................................15 2.5. Ejemplos de maximización y minimización......................................................................23 2.5.1. Ejercicio en clase ......................................................................................................26 2.6. Conceptos básicos de programación lineal .....................................................................27 2.7. Problema General de la Programación Lineal..................................................................28 2.7. Ejercicios de aplicación de la programación lineal ..........................................................29 2.7.1. Apuntes de la clase ...................................................................................................31 2.7.2. Ejercicios en clase .....................................................................................................34 2.7.3. Ejercicios del deber 1 ................................................................................................36 2.7.4. Ejercicios del deber 2 ................................................................................................44 2.7.5. Prueba del deber ......................................................................................................61 2.7.6. Solución no acotada .................................................................................................65 2.7.7. Ejercicios realizados en clase ....................................................................................66 2.7.8.

Deber 3 de programación lineal .........................................................................70

2.7.9.

Ejercicios de la prueba 3 ...................................................................................104

SEGUNDO PARCIAL...................................................................................................................117 MÉTODO SIMPLEX ....................................................................................................................117 3.1.

Consulta....................................................................................................................117

3 PASO 1: MODELACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL ...........................................120 PASO 2: CONVERTIR LAS INECUACIONES EN ECUACIONES ..............................................121 PASO 3: DEFINIR LA SOLUCIÓN BÁSICA INICIAL ................................................................121 PASO 4: DEFINIR LA TABLA SIMPLEX INICIAL .....................................................122 PASO 5: REALIZAR LAS ITERACIONES NECESARIAS...........................................123 Bibliografía ...............................................................................................................................129 3.2.

Definición .................................................................................................................129

3.1.1. Ejemplo de Minimización .......................................................................................130 3.1.2. Ejemplo de Maximización .......................................................................................133 DUAL SIMPLEX ......................................................................................................................140 4.1.

Ejercicio en clase ......................................................................................................140

4.2.

Prueba 1 ...................................................................................................................146

4.3.

Prueba 2 ...................................................................................................................149

TERCER PARCIAL .......................................................................................................................150 MÉTODO SIMPLEX ....................................................................................................................150 3.1.

Consulta....................................................................................................................150

PROBLEMA DEL TRANSPORTE O DISTRIBUCIÓN ........................................................150 PROBLEMA DE TRANSPORTE MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL ..................152 EL PROBLEMA ..............................................................................................................152 SOLUCIÓN MEDIANTE PL ..........................................................................................153 Bibliografía ...............................................................................................................................158 3.2.

Transporte o asignación ...........................................................................................158

3.2.1.

Problema balanceado .......................................................................................159

3.2.2.

Problema desbalanceado .................................................................................159

3.2.3.

Problema desbalanceado .................................................................................160

3.2.4.

Técnicas para resolver problemas de transporte..............................................160

3.3.

Ejercicios En Clases ...................................................................................................162

3.3.1.

Esquina del noreste ..........................................................................................162

3.3.2.

Salto Piedra A Piedra ........................................................................................163

3.3.3.

Ejercicio Tres.....................................................................................................165

3.4.

Deber ........................................................................................................................168

3.5.

Matriz Costos Indirectos ...........................................................................................172

3.6.

Ejercicios...................................................................................................................175

3.6.1.

Ejercicio en clases 1 ..........................................................................................175

3.6.2.

Ejercicio en clases 2 ..........................................................................................178

3.6.3.

Ejercicio en clases 3 ..........................................................................................181

4 3.6.4. 3.7.

Ejercicio en clases 4 ..........................................................................................186

Método De Vogel .....................................................................................................193

3.7.1.

Algoritmo de Vogel ...........................................................................................193

3.7.2.

Ejercicio ............................................................................................................194

3.8.

Método Húngaro ......................................................................................................196

3.8.1.

Pasos.................................................................................................................196

3.8.2.

Ejercicio ............................................................................................................197

BIBLIOGRAFÍA ..........................................................................................................................200 3. Bibliografía ...........................................................................................................................202

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PRIMER PARCIAL

1.1.Origen y evolución de la investigación operativa

Según (Erazo, 2007): La investigación operativa están antigua como la conducta humana, pues el avance científico es consecuencia de la acumulación de diferentes investigaciones en las ciencias aplicadas. A inicios de la segunda guerra mundial, los mandos militares ayudaron la ayudan de cientos de científicos para la resolución de problemas estratégicos y tácticos. Los científicos procedentes de las distintas disciplinas se organizaron en equipos dirigidos a buscar la utilización optima de los recursos, estos fueron equipos de investigación operativa (p.2)

De lo manifestado la investigación operativa es un conjunto de técnicas que permite plantear un objetivo para dar diferentes soluciones o respuestas a los diferentes problemas que se les puede presentar a las organizaciones, el origen de esta ciencia se dio en la segunda guerra mundial por el motivo de que los barcos que llevaban los víveres, armas, medicamentos, eran hundidos y no podían llegar a su punto de destino.

El término de la investigación se utiliza por primera vez en el año de 1939 durante la segunda guerra mundial, especialmente cuando surge la necesidad de investigar las operaciones táctica y estratégicas de la defensa área, ante la incorporación de un nuevo radar en oportunidad a los ataques alemanes a Gran Bretaña. El avance tecnológico militar hace recurrir al apoyo y orientación en la planificación de su defensa por medios científicos que trabajaron con el ejecutivo militar a cargo. Durante la revolución industrial se origina una segmentación funcional que da origen a la integración de la administración.

Por las circunstancias propias de la época y el momento la investigacion operativa se fundamentos en tres aspectos fundamentales como son lo logístico, táctico y estratégico teniendo un enfoque militar. 

Estrategia: Precisión de un objetivo, a donde quiero llegar.



Táctico: Habilidad para cumplir el objetivo con los recursos, es decir la forma como lo hago.

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

Logística: Recursos disponibles, es la manera para llegar al objetivo.

1.2.Evolución de la investigación operativa

Para (Gómez, 2009) las primeras actividades de la investigación operativa se: Inicio en Inglaterra durante la segunda guerra mundial, cuando un equipo de científicos empezó a tomar decisiones respecto a la utilización del material bélico. Los primeros en desarrollar esta metodología se refieren a los problemas de ordenamiento de tareas, reparto de cargos de trabajo, planificación, asignación de recursos en el ámbito militar y luego en las organizaciones (p. 6) Tabla 1: Evolución de la investigación operativa

Evolución de la investigación operativa Autor

Año 1759 1874,1873,1896 y 1903

Quensay Walros, Jordan, Falkas

Entre 1890-1899

Markon

Entre 1920-1929

Markon

Entre 1910-1919 Entre 1920-1930 1937

Erlong Koning- Egervary Von Neuman

1939 1945 1947

Kantorovich Segunda guerra mundial Dantzing, George

1950-1960

Bellaman, Ford, Scarf, Howard

1970-1980 Actualmente

Tema

Programación matemática Precursores de modelos lineales Precursor de los modelos dinámicos probabilísticos. Primero modelo de desarrollo de inventarios Primeras líneas de espera. Métodos de asignación Teoría de juegos y preferencias Problemas de distribución Logística estratégica para vencer al enemigo Método simplex en base al trabajo de precursores inicio de la programación lineal. Programación dinámica, no lineal, entera redes de optimización, sistemas de generalización. Receso en el uso de la investigacion operativa La investigacion operativa se usa en el sector público en los países avanzados

Fuente: (Gómez, 2009)

1.3.Aplicación de la investigación operativa

Según (Gómez, 2009) El campo de investigación operativa se aplica en: Áreas funcionales: Una muestra de la investigacion operativa en los problemas que han estudiado y resuelto con éxito en negocios e industria se tiene a continuación Personal: La automatización y la disminución de costos, reclutamiento del personal, clasificación, asignación de tareas de mejor actuación e inventarios.

7 Servicios: Comercio, optimización de actividades financieras, gestión, administración de empresas la publicidad y las consultorías y asesoramiento económicos, tecnológicos, jurídico e inversiones. Mercado y distribución: el desarrollo y la introducción del producto, envasado, predicción de la demanda y actividad competidora, localización de bodegas y centros distribuidos. Compra de materiales: Las entidades y fuentes de suministro, costos fijos y variables, situación de materiales, reemplazo de equipo. Finanzas y contabilidad: Los análisis del flujo del efectivo, capital requerido de largo plazo, inversiones alternas, muestreo para la seguridad en auditorias y reclamaciones. Planeación: Con los métodos pert para el avance de cualquier proyecto con múltiples actividades, tanto simultaneas como las que deben esperar para ejecutarse. Manufactura: La planeación y control de la producción, mezclas optimas de manufacturas, ubicación y tamaño de planta (p. 10)

Se puede aplicar en todo tipo de empresa, que depende de los recursos para poderse desarrollar o ejecutar la investigación operativa, cono se analiza la investigación operativa tiene un gran campo de aplicación, se puede desarrollar en cualquier tipo de empresa pero para su aplicación depende de los recursos que tenga la entidad, esta ciencia permite maximizar las ganancias y minimizar las costos o encontrar el punto en donde las organizaciones puedan alcanzar su máximo nivel, reducción costos.

1.4.Ejemplos de aplicación en las diferentes áreas a. Personal

Establecimiento de un horario: En un sector de la cuidad se tiene el requerimiento de policías Tabla 2: Ejercicio

Periodo del día Horario del día Policías requeridos Fuente: (Gómez, 2009)

1 06-10 300

2 10-14 350

3 14-16 425

4 16-18 450

5 18-20 250

b. Finanzas

Se desea invertir 2 millones de dólares en 6 tipos de inversión, cuyas características son las siguientes:

6 20-22 200

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Tabla 3: Ejercicio de finanzas

Tipo de interés

Inversión anual 1850.028 29001.20 3850.385

Riesgo de inversión el factor riesgo significa que el riesgo sea esperado, considerando un periodo promedio

Fuente: (Erazo, 2009)

c. Manufactura Optimización de programación de la mezcla de ingredientes disponibles para que los productos de gasolina cumplieran con los requerimientos de venta y calidad.

d. Planeación Maximización de ganancias a partir de la asignación de los tipos de aviones en 2500 vuelos adicionales.

e. Mercado y distribución Restructuración de toda la cadena de proveedores entre proveedores, plantas y centros de distribución.

1.5.Limitaciones de la investigacion operativa

Según (Erazo, 2009) La investigación operativa nos permite resolver muchos problemas también encontramos algunas limitaciones en la práctica que son las siguientes: a. Capacidad para el equipo investigador: Se refiere a las restricciones en cuanto a contar con profesionales especializados en la rama. b. Costo de la investigación: Es el costo, pero es necesario anotar que muchas empresas lo consideran como inversión ya que permite minimizar errores. c. El uso del computador: Actualmente es necesario la utilización de los lenguajes de comunicación como los de la computación. d. Grado de interés de la empresa: En los países menos desarrollados no dan el apoyo a estas estrategias. e. Servicios de informática: Generalmente las empresas no cuentan con unidades sistemáticos de información capaza de dar agilidad a la obtención de datos, fundamentalmente con los necesarios para la identificación de coeficientes técnicos por unidad (p. 12)

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De lo manifestado por el autor la investigacion operativa es una ciencia multidisciplinaria que no tiene limitaciones en su campo de aplicación, pero si presenta ciertas restricciones como son los recursos necesarios para la aplicación de proyectos, el uso del computador también es importante, por medio de programas como el QRM Windows o el Tora nos permite realizar los ejercicios y obtener conclusiones por medio de los datos que nos arroja estos programas, dichos resultado le permitirá a la gerencia tomar las decisiones que crean necesarias.

1.6.¿Qué me ofrece la investigación operativa?

Me ofrece resultados para la toma de decisiones por medio de los gerentes para maximizar o minimizar los recursos que dispone las empresas.

1.7.Fases de la investigación operativa

Para (Erazo, 2007), la investigacion operativa tiene las siguientes fases de estudio: -Formulación del problema: Debe estar perfectamente establecidos los objetivos, los cursos alternativos de acción, las restricciones y los efectos del sistema de estudio. Debe tomarse en cuenta que es casi imposible dar solución correcta a un problema incorrectamente planteado. -Construcción del modelo matemático: Las características esenciales de los modelos permiten describirlos de diferentes maneras. Los modelos pueden clasificarse por sus dimensiones, funciones, propósitos, temas o grados de abstracción, estos son los siguientes:  Modelos iconos: Es la representación física de un objeto o de una situación, puede darse en dimensiones como los mapas o la fotografía o en tres dimensiones como las maquetas.  Modelos analógicos: Muestran características de una determinada situación. Se los utiliza especialmente para representar situaciones dinámicas uno de estos es ejemplos es la curva de la demanda, los diagramas de flujo.  Modelos simbólicos o matemáticos: Son representaciones de la realidad y toman la forma de cifras y símbolos matemáticos, estos modelos son representados en la investigacion operativa por medio de las ecuaciones. -Deducción de la solución: Este paso se desarrolla determinando la solución óptima del modelo y luego aplicando esta solución al problema real. Algunas ocasiones las complejidades matemáticas impiden dar la repuesta al problema.

10 -Solución del problema: Esto puede hacerse en dos pasos:  Usando datos pasados, haciendo una comparación entre el rendimiento real del sistema y el rendimiento iniciado por el modelo.  Permite operar el sistema sin cambio y comparando su rendimiento con aquel modelo. -Verificación del modelo: Deben colocarse controladores sobre la solución con el objeto de detectar cualquier cambio significativo de las condiciones en las cuales se basa el modelo. -Implementación de resultados: Es la última fase de un estudio de la investigación operativa, en esta parte se explica la solución a la administración responsable del sistema de estudio. Despues de aplicar la solución al sistema, se observa la respuesta a los cambios introducidos, esto permite realizar ajustes y modificaciones requeridas para el rendimiento del sistema (p.2-3)

Las fases de la investigación operativa permite abstraer todo un problema matemático a un sistema de ecuaciones en donde constan las restricciones y la función objetivo, las soluciones se las puede dar por el planteamientos de variables, una vez obtenido el modelo se procede a su solución que se puede realizar por medio de la resolución grafica o algebraica, luego se procede a la comprobación de las resultados y por último a las toma de decisiones que ayuden a las empresas a encontrar sus puntos óptimos.

PROGRAMACIÓN LINEAL 2.1. Definición Según (Erazo, 2009) la programación lineal: Es una clase de modelos de programación matemática destinados a la asignación eficiente de los recursos limitados en actividades conocidas, con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (tal como maximizar beneficios o minimizar costos). La característica distintiva de los modelos de programación lineal es que las funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales o sea inecuaciones o ecuaciones de primer grado. Tuvo sus orígenes a raíz de la Segunda Guerra Mundial, cuando George Danzig, quien realizó investigaciones y aplicaciones en distintos casos de operación aéreo-militar. Leonfiel aportó principalmente en relaciones interindustriales a través de su Matriz de Insumo - Producto. Koopmans, incursionó profundamente en aplicaciones microeconómicas resolviendo casos de producción, asignación de recursos, maximización de beneficios y minimización de costos, etc. Es un modelo sistemático y matemático de enfocar determinado problema para lograr una solución óptima o la mejor posible, empleando una ecuación objetivo (propósito del problema), un conjunto de restricciones lineales y una condición de eliminar valores negativos (condición de no negatividad) (p.25).

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De acuerdo con lo expresado en el párrafo anterior la programación lineal es una clase de modelos matemáticos, a través de los cuales se puede realizar la distribución más eficiente de recursos, con el objetivo de satisfacer los objetivos deseados, como por ejemplo maximizar utilidades o minimizar costos, en la programación lineal establecemos una función objetivo y como característica principal encontramos que al establecer las restricciones del problema a resolver estas son lineales, ecuaciones o inecuaciones de primer grado. En conclusión, se puede decir que la programación lineal nos ayuda a resolver problemas a través de problemas matemáticos obteniendo así la solución óptima o la que mayor eficiencia y eficacia genere. 2.2. Objetivos de la Programación Lineal  

Maximizar la utilidad de las organizaciones Minimizar los costos de las organizaciones

Poner en forma cuantitativa acciones o decisiones a forma de optimizar sistemas donde existen recursos escasos.

2.3. Aplicaciones de la programación lineal

Para (Gómez, 2009) La programación lineal presenta un gran número de aplicaciones como: a. Medios publicitarios: El campo del marketing y la publicidad es utilizada como una herramienta que nos permite determinar cuál es la combinación más efectiva de enunciar nuestros productos por medios de los diferentes medios de comunicación. b. Estudios de mercado: Es aplicable también es la investigación de mercados, se aplica la programación lineal cuando las estadísticas se aplican en encuestas. c. Combinación optima de bienes: Permiten decidir sobre la cantidad más adecuada de una empresa debe producir de uno de los productos a fin de maximizar los beneficios sin dejar de cumplir con unos determinados requisitos. d. Planificación de los productos: Establecen un plan de periodos de semanas, meses, esto resulta ser una matea más difícil e importante en la mayoría de las plantas de producción se considera mano de obra, cortes y almacenamiento, por lo general una empresa produce más de un bien.

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e. Asignación de horarios: Es asegurar de la forma más eficiente posible de un trabajo o cada empleado o máquina. f. Transporte: El llamado proceso de transporte se refiere al proceso de determinar el número de bienes o mercancías que se han de transportar desde cada uno de los orígenes o desde cada uno de los distintos sitios posibles. g. Mezclas: Las primeras aplicaciones comenzó a utilizase en los hospitales para determinar la dieta más económica con la alimentar a los pacientes a partir de especificaciones nutritivas (p.26)

De lo manifestado por el autor la programación lineal tiene un gran campo de aplicación, como puede ser en las áreas de la salud, administración, técnicas, agropecuarias, servicios a través de modelos matemáticos se puede dar respuesta a posibles problemas que se le puede presentar las empresas. En lo general en la toma de decisiones en el primero de describen los problemas clásicos de la dieta y de la mezcla. 2.4. Limitaciones de la programación lineal

Según (Erazo, 2009) Las limitaciones de la programación lineal son las siguientes: No hay garantía de que se de soluciones enteras. Las variables deben ser de entre 0 a 1. Es un modelo determinístico y ni probabilístico La función objetivo está limitada ser lineal. No necesariamente alrededor se llega a la solución óptima. En algunos casos las soluciones pueden ser deficientes. No permite la incertidumbre. Se asume que se conocer todos los coeficientes de las ecuaciones. Existen técnicas más avanzadas de programación lineal (p. 26)

De lo manifestado por el autor una de las limitaciones que presenta la programación lineal es que la función objetivo se sujeta a ser lineal y también las restricciones, en algunos casos la programación lineal en su solución no puede ser exacta, digamos si se quiere encontrar la solución en unidades en algunos casos va ser exacta, pero al encontrar costos o utilidades no tienen hay ningún inconveniente, existen métodos o técnicas más avanzas para dar las respectivas soluciones. DEBER #1 - PRIMERA CONSULTA

Historia de la Investigación Operativa

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Según (Palacios, 2010) A lo largo de la historia es frecuente encontrar una estrecha colaboración entre científicos y militares con el fin de dictaminar la decisión óptima en la batalla e intentar obtener la victoria. Es por esto que muchos expertos en la materia consideran el inicio de la Investigación Operativa en el siglo III A.C., durante la II Guerra Púnica, con el análisis y solución que Arquímedes propuso para la defensa de la ciudad de Siracusa, sitiada por los romanos. Entre sus inventos se encontraban la catapulta, y un sistema de espejos con el que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol. En 1503, Leonardo da Vinci participó como ingeniero en la guerra contra Pisa ya que conocía técnicas para realizar bombardeos, construir barcos, vehículos acorazados, cañones, catapultas, y otras máquinas bélicas. Otro antecedente de uso de la Investigación Operativa se produce durante la Primera Guerra Mundial en Inglaterra, con el estudio matemático de Frederick William Lanchester sobre la potencia balística de las fuerzas opositoras. Además desarrolló, a partir de un sistema de ecuaciones diferenciales, la Ley Cuadrática de Combate de Lanchester, con la que era posible determinar el desenlace de una batalla militar en función de la fuerza numérica relativa y la capacidad relativa de fuego de los combatientes. Thomas Alva Edison también hizo uso de la Investigación Operativa, contribuyendo en la guerra antisubmarina, desarrollando técnicas para que los navíos pudiesen evadir y destruir los submarinos enemigos, dotándolos de una protección anti-torpedos. Desde el punto de vista matemático, en los siglos XVII y XVIII, Newton, Leibnitz, Bernoulli y Lagrange, trabajaron en obtener máximos y mínimos condicionados de ciertas funciones. El matemático francés Jean Baptiste-Joseph Fourier esbozó métodos de la actual programación lineal. Y en los últimos años del siglo XVIII, Gaspar Monge asentó los precedentes del método Gráfico gracias a su desarrollo de la Geometría Descriptiva. A finales del siglo XIX, Frederick Winslow Taylor realizó un estudio que permitió maximizar el rendimiento de los mineros, en el que se determinaba que la única variable realmente significativa era el peso combinado de la pala y su carga.

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De esta forma se diseñaron palas según los diferentes tipos de materiales con los que iban a utilizarse. Sin embargo no se considera que ha nacido una nueva ciencia llamada Investigación Operativa o Investigación de Operaciones hasta la II Guerra Mundial, durante la batalla de Inglaterra. La Luftwaffe, Fuerza Aérea Alemana, estaba sometiendo a este país a un fuerte acoso aprovechando la reducida capacidad aérea británica debido a la política de desarme, aunque experimentada en el combate. El gobierno británico, buscando algún método para defender su país, convocó científicos de diversas disciplinas para tratar de resolver el problema y sacar el máximo beneficio de los radares de reciente invención de que disponían. Gracias a su trabajo determinando la localización óptima de las antenas y la mejor distribución de las señales consiguieron duplicar la efectividad del sistema de defensa aérea y evitar que la isla cayera en manos de la Alemania nazi. También en 1942, la U-Bootswaffe alemana con su flota de submarinos U-Boot inició un bloqueo a Gran Bretaña atacando convoyes de barcos cargados de suministros procedentes de Estados Unidos e impidiendo que alcanzaran su destino. El Grupo de Investigación de Operaciones de Guerra Antisubmarina de Estados Unidos (ASWORG, Anti-Submarine Warfare Operations Research Group en inglés) realizó representaciones matemáticas de dichos convoyes, teniendo en cuenta una serie de restricciones y condiciones impuestas por la realidad, tales como la velocidad máxima a la que podían desplazarse los navíos, la cantidad de suministros que debían transportar, y el combustible necesario para alcanzar su destino Tras apreciar el alcance de ésta nueva disciplina, Inglaterra creó otros grupos de la misma índole para obtener resultados óptimos en la contienda. De la misma forma Estados Unidos (EEUU), al unirse a la Guerra en 1942, comenzó a aplicar técnicas de Investigación de Operaciones militarmente, y unos años más tarde, en 1947, formó un grupo de trabajo dedicado a mejorar los procesos de planificación a gran escala: el proyecto SCOOP (Scientific Computation Of Optimum Programs). En dicho grupo se encontraba trabajando George Bernard Dantzig, quien desarrolló en 1947 el algoritmo del método Simplex.

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Durante la Guerra Fría, la antigua Unión Soviética (URSS), excluida del Plan Marshall, quiso controlar las comunicaciones terrestres, incluyendo rutas fluviales, de Berlín. Para evitar la rendición de la ciudad, y su sumisión a formar parte de la zona comunista alemana, Inglaterra y Estados Unidos decidieron abastecer la ciudad, o bien mediante convoyes escoltados (lo que podría dar lugar a nuevos enfrentamientos) o mediante puente aéreo, rompiendo o evadiendo en cualquier caso el bloqueo de Berlín. Tras la Segunda Guerra Mundial, se estimó oportuno realizar la organización de los recursos de Estados Unidos (energía, armamento, y todo tipo de suministros) mediante modelos de optimización, resueltos mediante la Programación Lineal. Al mismo tiempo que la doctrina de la Investigación Operativa, se desarrollaron también las técnicas de computación, las cuales permitieron una importante reducción del tiempo de resolución de los problemas. El primer resultado de estas técnicas se obtuvo en el año 1952, utilizando un ordenador SEAC del National Bureau of Standars para obtener la solución de un problema. Durante las décadas de los 50 y 60, creció el interés y el desarrollo de la Investigación Operativa, debido a su aplicación en el ámbito del comercio y la industria. Un ejemplo de esto es el problema del cálculo del plan óptimo de transporte de arena de construcción a las obras de edificación de la ciudad de Moscú, donde existían 10 puntos de origen y 230 de destino. Para resolverlo se utilizó un ordenador Strena en el mes de junio de 1958, y después de 10 días de cálculos produjo una solución que aportó una reducción del 11% de los gastos respecto a los costes originales previstos. APLICACIONES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES La Investigación

de

Operaciones o Investigación

Operativa es

una

herramienta metodológica cuantitativa que nos permite la asignación óptima de recursos escasos y en general apoyar de una forma eficiente el proceso de toma de decisiones. La Investigación de Operaciones hace uso de modelos matemáticos con el objetivo que las decisiones que éstos nos proveen sean significativamente mejores en comparación a aquellas decisiones que se toman con una base cualitativa.

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Organización

Aplicación

Año

The Netherlands Rijkswaterstaat

Desarrollo de la política nacional de administración del agua, incluyendo mezcla de nuevas instalaciones, procedimientos de operaciones y costeo Optimización de las operaciones de producción para cumplir metas con un costo mínimo Optimización del corte de árboles en productos de madera para maximizar su producción Asignación óptima de recursos hidráulicos y térmicos en el sistema nacional de generación de energía Programación de turnos de trabajo en oficinas de reservaciones y aeropuertos para cumplir con las necesidades del cliente a un costo mínimo Optimización de las operaciones de refinación y de la oferta, distribución y comercialización de productos Optimización de inversiones de capital para producir gas natural durante 25 años Administración de inventarios de petróleo y carbón para el servicio eléctrico con el fin de equilibrar los costos de inventario y los riesgos de faltantes. Optimización de la programación y asignación de oficiales de patrulla con un sistema computarizado

1985

Monsanto Corp.

Weyerhauser Co.

Electrobas/CEPAL Brasil United Airlines

Citgo Petroleum Corp. SANTOS, Ltd., Australia Electric Power Research Institute

San Francisco Police Department

Ahorros anuales $15 millones

1985

$2 millones

1986

$15 millones

1986

$43 millones

1986

$6 millones

1987

$70 millones

1987

$3 millones $59 millones

1989

1989

$11 millones

LIMITACIONES DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES Como la investigación de operaciones contiene un ámbito incierto por lo que no se conoce la manera correcta de solucionar una cuestión, es decir cuando hay desconocimientos y precisamente esto constituye la naturaleza del tema en cuestión. En efecto tienen las siguientes limitaciones.

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

No interpretar muy bien los datos requeridos relacionados con el area de las matemáticas y sus afines. Es decir encontrarse con la realidad de que no existe teoría preexistente y se presente un complejo camino matemático para lograr las formas deseadas que solucionen la cuestión determinada.



La falta de áreas interdisciplinares, nos referimos a una investigación que busque en disciplinas diferentes aspectos necesarios requeridos en un tema enmarcado en otra área del conocimiento.

Globalmente la limitación de la investigación de operaciones es la no existencia de la teoría requerida, pero precisamente ese es el trabajo del investigador, por lo cual este debe ser recursivo, tenas, apasionado en su labor, lleno de paciencia y sobre todo nunca renunciar a la solución de su problema. LA PROGRAMACIÓN LINEAL La Programación Lineal corresponde a un algoritmo a través del cual se resuelven situaciones reales en las que se pretende identificar y resolver dificultades para aumentar la productividad respecto a los recursos (principalmente los limitados y costosos), aumentando así los beneficios. El objetivo primordial de la Programación Lineal es optimizar, es decir, maximizar o minimizar funciones lineales en varias variables reales con restricciones lineales (sistemas de inecuaciones lineales), optimizando una función objetivo también lineal. El primer paso para la resolución de un problema de programación lineal consiste en la identificación de los elementos básicos de un modelo matemático, estos son: 

Función Objetivo



Variables



Restricciones

El siguiente paso consiste en la determinación de los mismos, para lo cual proponemos seguir la siguiente metodología: LA FUNCIÓN OBJETIVO

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

La función objetivo tiene una estrecha relación con la pregunta general que se desea responder. Sí en un modelo resultasen distintas preguntas, la función objetivo se relacionaría con la pregunta del nivel superior, es decir, la pregunta fundamental.

LAS VARIABLES DE DECISIÓN 

Similar a la relación que existe entre objetivos específicos y objetivo general se comportan las variables de decisión respecto a la función objetivo, puesto que estas se identifican partiendo de una serie de preguntas derivadas de la pregunta fundamental. Las variables de decisión son en teoría factores controlables del sistema que se está modelando, y como tal, estas pueden tomar diversos valores posibles, de los cuales se precisa conocer su valor óptimo, que contribuya con la consecución del objetivo de la función general del problema.

LAS RESTRICCIONES 

Cuando hablamos de las restricciones en un problema de programación lineal, nos referimos a todo aquello que limita la libertad de los valores que pueden tomar las variables de decisión. MAXIMIZAR O MINIMIZAR UNA FUNCIÓN

Maximizar o minimizar una función objetivo, obtener el beneficio máximo y el gasto mínimo. Ejercicios y problemas resueltos de programación lineal para 2º de Bachillerato de Ciencias Sociales. Maximizar o minimizar una función objetivo: Optimizar un problema para maximizar el beneficio y minimizar el gasto. Pasos 

Planteamiento del problema -

Tabla con los datos del enunciado

-

Expresamos con ecuaciones e inecuaciones lineales la información descrita.



Resolvemos el problema usando el método analítico -

Representamos las restricciones.

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-

Calculamos las coordenadas de los puntos de la región factible.

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Sustituimos estos puntos en la función objetivo para ver la solución.

En este problema tenemos que plantear una función objetivo para maximizar el beneficio y otra función objetivo para minimizar el consumo. EJEMPLO DE RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30000 yogures. Cada yogur de limón necesita para su elaboración 0.5 gramos de un producto de fermentación y cada yogur de fresa necesita 0.2 gramos de este mismo producto. Se dispone de 9 kilogramos de este producto para fermentación. El costo de producción de un yogurt de limón es de Q 30 y Q. 20 uno de fresa. En los dos ejemplos descritos está claro que tanto la cantidad que deseamos maximizar como la cantidad que deseamos minimizar, podemos expresarlas en forma de ecuaciones lineales. Por otra parte, las restricciones que imponen las condiciones de ambos problemas se pueden expresar en forma de inecuaciones lineales. Planteamientos 1) Si designamos por x al número de sacos de pienso de clase P y por y el número de sacos de pienso de clase que se han de vender, la función:

Z = 300x +

800y representará la cantidad de quetzales obtenidas por la venta de los sacos, y por tanto es la que debemos maximizar. Podemos hacer un pequeño cuadro que nos ayude a obtener las restricciones: Por otra parte, las variables x e y, lógicamente, han de ser no negativas, por tanto: x 0

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Conjunto de restricciones: 8x + 10y 25 x 0 2) Si representamos por x el número de yogures de limón y el número de yogures de fresa con Y, se tiene que la función de coste es Z = 30x + 20y Por otra parte, las condiciones del problema imponen las siguientes restricciones: De número: x + y 9000 Las variables x e y han de ser, lógicamente, no negativas; es decir: x 0 Conjunto de restricciones: x + y 9000 x 0 EL PROBLEMA La fábrica de Hilados y Tejidos "SALAZAR" requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr

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de c. El T se vende a $4000 el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos metros de T y T’ se deben fabricar? PASO 1: "FORMULAR EL PROBLEMA" Para realizar este paso partimos de la pregunta central del problema. ¿Cuántos metros de T y T’ se deben fabricar? Y la formulación es: “Determinar la cantidad de metros diarios de tejido tipo T y T’ a fabricar teniendo en cuenta el óptimo beneficio respecto a la utilidad”. PASO 2: DETERMINAR LAS VARIABLES DE DECISIÓN Basándonos en la formulación del problema nuestras variables de decisión son: XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar XT’: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T’ a fabricar PASO 3: DETERMINAR LAS RESTRICCIONES DEL PROBLEMA En este paso determinamos las funciones que limitan el problema, estas están dadas por capacidad, disponibilidad, proporción, no negatividad entre otras. De disponibilidad de materia prima: 0,125XT + 0,200XT’