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M. TANTAQUISPE

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UNT/DAF

Tercera Unidad Dinámica I.

CONTENIDO Primera ley de Newton. Tipos de interacciones. Ley de inercia. Momentum lineal. Principio de conservación del momentum. Segunda y tercera ley de Newton. Unidades de fuerza. Fuerzas de fricción. Fuerza elástica. Movimiento curvilíneo. Momentum angular. Problemas.

II.

OBJETIVO GENERAL Aplicar el principio de conservación del momentum lineal en diversas situaciones problemáticas y, en la obtención de la segunda y tercera ley de Newton, con un error del 90%.

III.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS Al concluir esta unidad académica, los alumnos estarán en capacidad de: Dado un conjunto de ejercicios y/o problemas, aplicar el principio de conservación de momentum lineal, demostrando seguridad y confianza en su aplicación.

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Comprender

y

aplicar

M. TANTAQUISPE

la

segunda

ley

de

Newton

en

situaciones problemáticas reales, demostrando una actitud positiva en su aplicación. Analizar

y

comprender

diversos

definición del momentum angular.

sistemas

utilizando

la

M. TANTAQUISPE

IV.

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DESARROLLO DEL CONTENIDO

INTRODUCCIÓN En la segunda unidad académica se ha aprendido a describir el movimiento mecánico. En la presente unidad se estudiará las causas fundamentales del movimiento mecánico,

lo cual se denomina dinámica. La mecánica

newtoniana, trata la cinemática y dinámica de objetos a gran escala (macroscópicos). La esencia de la dinámica, se encuentra en las tres leyes de movimiento de Newton, que nos indican cómo las fuerzas afectan el movimiento de los objetos. Las leyes de Newton no se aplican

en el dominio de lo

muy pequeño y lo muy rápido, pero si se aplica en casi todo lo demás. Los conceptos que se dan en esta unidad académica forman la base de nuestra comprensión de gran parte de la física y resultan esenciales para casi todo lo que sigue en este curso. 4.2

PRIMERA LEY DE NEWTON

La primera ley del movimiento de Newton, conocida como la ley de la inercia, establece que “Todo cuerpo persiste en su estado de reposo, o de movimiento rectilíneo uniforme, a menos que reciba alguna interacción externa que lo obligue a cambiar dicho estado”. La palabra inercia proviene de la palabra latina inactiva. La inercia es una propiedad de la materia que causa que los objetos se resistan a los cambios de movimiento. La experiencia cotidiana muestra que la velocidad de un cuerpo sólo puede variar cuando otro cuerpo actúa sobre él; es decir, que los cuerpos interaccionen, cuyo producto se denomina fuerza.

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En cinemática fue necesario de un sistema de referencia al cual referir la posición y el movimiento de los cuerpos. El concepto de sistema de referencia es fundamental para las leyes del movimiento de Newton. Un sistema de referencia en el que es válida la primera ley de Newton

recibe el

nombre de sistema de referencia inercial. Los sistemas de referencia acelerados no se cumplen la ley de la inercia, se les denomina sistemas de referencia no inerciales. Así, por lo general se les considera válidas las leyes de Newton sobre la superficie de la Tierra, aún cuando, debido a que ésta gira, no es verdaderamente un marco de referencia inercial; los efectos de la rotación no son muy grandes y para la mayoría de los fines se aplican las leyes de Newton. 4.3 TIPOS DE INTERACCIONES Todas las interacciones en el universo se reducen a cuatro clases o tipos que, en orden de intensidad creciente, son las siguientes: i) GRAVITACIONAL.- Es responsable del peso de lo cuerpos sobre la Tierra así como del movimiento de los planetas. Actúa entre cuerpos másicos. Es de gran alcance y de tipo atractiva. ii) DÉBIL.- Actúa entre toda la materia, pero es tan débil que

no

desempeña

una

parte

directa

en

el

comportamiento observable ordinario. Sin embargo, es importante

en

interacciones

entre

partículas

subnucleares. Explica el cambio de identidad de los nucleones. Es de corto alcance de aproximadamente 10 18

iii)

m. ELECTROMAGNÉTICA.- Comprende tanto fuerzas

eléctricas como magnéticas y es relativamente fuerte. Es responsable de mantener unidos los átomos y las

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moléculas y de la estructura de los cuerpos. Es de gran alcance y es de tipo atractiva o repulsiva. iv)FUERTE.-

Mantiene

unidos

los

componentes

del

núcleo atómicos, es decir a los protones y neutrones. Son de corto alcance 10

–15

m. Explica la fisión y fusión

nuclear de diversos núclidos pesados. 4.4 MOMENTUM LINEAL Los estudios experimentales de Wren y Huygens sobre el comportamiento de objetos que chocan,

llevaron al

descubrimiento de las leyes que rigen el intercambio de momentum y energía entre dos objetos que colisionan. Estas ideas fueron conocidas por Newton e influyeron en su trabajo. Su resultado de mayor importancia fue la ley de conservación del momentum lineal. El momentum de una partícula de masa m que se mueve 

con una velocidad v se define como el producto de la masa por la velocidad de la partícula, es decir: 



p  mv

.

(3.1)

Unidades: SI: kg. m/s y CGS: g.cm/s. Según definición, el momentum es una magnitud vectorial que tiene la misma dirección que la velocidad del cuerpo (Fig. 3.1).

El momentum lineal, a veces denominado cantidad de movimiento,

es

una

magnitud

dinámica

con

mayor

información que la velocidad; nos permite explicar por qué es

80

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más costoso variar la velocidad de un camión que la de un coche. También, nos permite expresar la ley de inercia: El

momentum

de

una

partícula

libre,

es

constante. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTUM.Consideremos un sistema aislado de dos partículas, que están sujetas solamente a su interacción mutua. Como resultado de su

interacción,

sus

velocidades

de

cada

una

no

son

constantes sino que cambian con el tiempo, y sus trayectorias son curvas (Fig.3.2).

En un cierto instante t , las partículas (1) y (2) se encuentran en A y A', respectivamente. Designemos m1 y m2 las masas de las partículas, el momentum total del sistema en ese instante

t es 









p  p 1  p 2  m1 v 1  m2 v 2

(3.2)

En un instante posterior t ' , las partículas se encuentran en B y B'; el momentum total del sistema es 









p '  p '1  p ' 2  m1 v'1  m2 v ' 2

(3.3)

La experiencia muestra, independientemente de los instantes

t y t ' , que 



p  p'

(3.4) Lo que nos permite, escribir

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En un sistema aislado de dos partículas que están sujetas solo a su interacción mutua, el momentum lineal total permanece constante. Podemos generalizar este enunciado, para cualquier número de partículas que formen un sistema aislado, es decir que sólo interaccionen mutuamente y no con otras partes del universo, entonces En un sistema aislado de partículas, el momentum lineal total es constante. Esto constituye el principio de conservación del momentum, uno de los principios fundamentales y universales de la física. La

conservación

del

momentum

puede

expresarse

matemáticamente, según la siguiente ecuación: 









p   pi  p 1  p 2  p 3    const.

(3.5)

i

No se conoce, hasta ahora, excepciones a este principio general de conservación del momentum lineal. Este principio se aplica desde un sistema de partículas elementales hasta un sistema planetario. PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

Un coche de 1000 kgf de peso se mueve a una velocidad de 108km/h. Si frena bruscamente, parándose en 80m, hallar: a) la variación del momentum lineal y b) la fuerza de frenado. SOLUCIÓN a) Los datos que tenemos: m  1000kg , v0  108km / h  30m / s y d  80m .La

variación

del

p  mv  mv0  3 x 10 4 kg  m / s Rpta.

momentum

lineal:

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b) Calculamos el tiempo de aplicación de la fuerza:

80   0230  t  t  163 s .Entonces,

según

el

impulso:

F  163 s   3 x 10 4 kg  m / s  F  5625 N Rpta.

2.

Un proyectil de 10kg es lanzado con una velocidad de 100m/s y un ángulo de inclinación con la horizontal, tal que su alcance sea máximo. Calcular el momentum lineal del proyectil: a) en el punto más alto de su trayectoria, b) en el punto en que alcanza de nuevo la horizontal y c) a los 10s del lanzamiento. Además, d) ¿cuál es la variación total

del

momentum

lineal

del

proyectil

desde

su

lanzamiento hasta que alcance de nuevo la horizontal? Solución a) Para el alcance máximo el ángulo con la horizontal es

45º.

La

velocidad parte

en

más

v x  100 cos 45º  100

2 2

m/s

la alta:

;

El momentum lineal es: b) Al alcanzar

500 2 kg  m / s .

Rpta.

nuevamente la horizontal el proyectil

adquiere la velocidad que es la misma con la que fue lanzado, entonces el momentum lineal es: 10 3 kg  m / s . Rpta. c)

A

los

10

segundos

del

lanzamiento

tenemos:

p  10 (100 cos 45º ) 2  (100 sen45º 9,8 x 10) 2  757,9kg  m / s.

Rpta.

M. TANTAQUISPE 

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





d)  p  p  p 0  1000 2 j kg  m / s . Rpta. 3.

En la figura, una bola de billar de 0,5kg incide sobre una mesa de juego con una velocidad de 15m/s y al rebotar su nueva velocidad es de 10m/s. Hallar la fuerza que ejerce la banda si se considera

que

el

tiempo

de

impacto fue de 0,1s. Solución La orientación de los ejes x e y, por conveniencia lo orientamos según las figura. Emplearemos la ecuación del 





impulso: F  t  m v  m v 0 . Eje x:

 Fx (0,1)  0,5(0)  0,5(15)  Fx  75 N

Eje y: Fy (0,1)  0,5(10)  0,5(0)  Fy  50 N

Por lo tanto: F  75 2  50 2  25 13N . Rpta.

4.

El peso de un cañón es de 2000kgf, si éste dispara horizontalmente un proyectil de 2kg con una velocidad de 200m/s. ¿Con qué velocidad retrocede el cañón?

Solución La siguiente figura muestra el estado del cañón antes y después del disparo.

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Por conservación del momentum lineal 0  2000kg (Vc' )  2kg (200m / s)  Vc'  0,2m / s . Rpta.

5.

En la figura, el proyectil de 100g de masa, su velocidad es 50m/s y se incrusta en un madero de 4,9kg en reposo. Hallar la velocidad con la que saldría el conjunto maderoproyectil.

Solución Como las masas se juntan, tenemos por conservación del momentum lineal 0,1kg (50m / s )  (4,9kg  0,1kg )v '

de donde: v '  1 m / s . Rpta.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.-

Un cuerpo de 1kgf de peso cae desde una altura de 19,6m; al impactar en el piso rebota hasta una altura máxima de 4,9m. El tiempo de impacto es de 0,25s. Hallar la fuerza de impulso. Rpta. 98N.

2.-

Una granada que fue lanzada en tiro inclinado, tiene velocidad de 16m/s al alcanzar su altura máxima, en

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donde explota y se fragmenta en dos segmentos iguales que salen disparados, en el plano vertical, con velocidades que forman 37º con el horizonte. Hallar la velocidad de salida de los fragmentos. Rpta. 20m/s. 3.- Hallar la velocidad de salida de una bola de billar de 200g, si fue impulsada frontalmente con el palo de billar, mediante una fuerza de 50N que duró 10 milisegundos el contacto entre el palo y la bola. 4.- Usando un bate (ver figura), una pelota de 100g es impulsada con 1N.s, hallar la velocidad de la pelota después del impulso, si antes del impulso su velocidad era 10m/s.

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4.5 SEGUNDA Y TERCERA LEYES DE NEWTON Aveces nos es imposible aplicar el principio de conservación del momentum, por que no conocemos todas las partículas que interaccionan. Pero, hay una manera práctica

de

resolver esta dificultad, introduciendo el concepto de fuerza. Apliquemos la ec. (3.5), para el caso de dos partículas 



(3.6)

p 1  p 2  const.

es decir 







p 1  p 2  p '1  p ' 2 .

(3.7)

De donde 







p '1  p 1  ( p ' 2  p 2 ) 



 p1   p 2

(3.8)

Este resultado nos permite decir La interacción entre dos partículas, produce un intercambio de momentum lineal., Para este caso de dos partículas, una gana momentum a costa que la otra lo pierde (Fig.3.3).

La explosión de una granada, el disparo un cañón y al desintegrarse un núcleo, son ejemplos reales en los cuales se cumple el principio de conservación del momentum. Al dividir ambos miembros de la ec. (3.8) por el intervalo de tiempo  t  t 't , obtenemos

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

 p1  p2 ,  t t

(3.9)

que nos indica que las variaciones promedio con respecto al tiempo del momentum de las partículas en un intervalo de tiempo

t

son iguales en magnitud y opuestas en

dirección. Si tomamos el límite de (3.9) cuando  t  0 , obtenemos 



 p1  p2 lim   lim t 0  t t  0  t 



(3.10)

d p1 d p2  dt dt

Esto es, las variaciones instantáneas del momentum de cada una de las partículas, son iguales y opuestas. Se define el cambio con respecto al tiempo del momentum de una partícula con el nombre de fuerza. Entonces, 

d p F  dt 

(3.11)

Esta es la segunda ley de movimiento de Newton, que es más bien una definición que una ley, y es consecuencia directa del principio de conservación del momentum. Considerando (3.11) en (3.10), 



(3.12)

F1   F2 

donde F1 es la fuerza sobre la partícula (1) debido a su 

interacción con la partícula (2) y F2 es la fuerza sobre la partícula (2) debido a su interacción con la partícula (1). Esto es, El producto de la interacción de dos partículas, es la fuerza sobre una partícula que es igual y opuesta a la fuerza sobre la otra.

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Esta es la tercera ley de Newton, consecuencia de la definición de fuerza y el principio de conservación del momentum. Generalmente, se le denomina

ley de acción y

reacción. La fig.3.4 muestra estas fuerzas de acción y reacción.

Según definición de momentum lineal, podemos escribir la ec. (3.11) 



 d (m v ) dv F m  ma . dt dt 

(3.13)

Ya que la masa es un invariante. Esto nos permite escribir: El producto de la masa por la aceleración es igual a la fuerza. Se debe indicar que la fuerza es lo que causa la aceleración, no viceversa. PESO (w).- Es la fuerza que ejercen los planetas sobre un cuerpo debido a la gravedad. Según ec. (3.13) 



w mg

(3.14)

por lo tanto, la masa y el peso no son lo mismo, pero son proporcionales uno al otro. La masa tiene que ver con la cantidad de materia de un cuerpo; el peso, con la intensidad

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de la fuerza gravitacional que ejercen los planetas sobre el cuerpo. El valor de g en la superficie de la Tierra es mínimo en el ecuador y máximo en los polos, por se ésta achatada (Fig.3.4). Cada planeta tiene su propia g, según la cantidad de masa que tienen. Si un cuerpo se encontrase en una región del espacio en la que no actúa la gravedad, su peso será cero. En la superficie de la Luna el peso de un cuerpo es de sólo una sexta parte de su peso en la tierra. Esto se debe a que la fuerza gravitacional en la Luna es seis veces menor que en la tierra Nosotros usaremos el valor de la aceleración de la gravedad en promedio, g  9,8 m / s 2  32,15 ft / s 2

Hasta acá hemos considerado la interacción de dos partículas; sin embargo, si la partícula m

interactúa con las partículas

m1 , m2 y m3 (Fig.3.6).

Cada masa produce un cambio en el momentum de m que es 





caracterizado por las fuerzas F 1 , F 2 y F 3 ; la variación total del momentum de la partícula de masa m es 

  dp    F1 F 2  F 3  F . dt

(3.15)

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Donde se ha supuesto la no existencia de interferencia entre 

las diversas interacciones, y que la fuerza resultante F es sólo función de las coordenadas de la partícula, ignorando el movimiento así el movimiento de las otras partículas con las cuales interacciona. En lo que sigue consideramos las unidades de la fuerza, según ec. (3.13): SISTEMAS

UNIDADES

EQUIVALENCIAS

SI

N  kg  m / s 2

CGS

dy  g  cm / s 2

SIA

pdl  bl  ft / s 2

1N  10 5 dy 1dy  10 5 N 1utm  gkg  9,8kg 1slug  glb  9,8lb 1kgf  gN  9,8 N 1lbf  gpdl  32,15lbf 1lb  0,454kg 1 ft  12 pul  304,8 mm

kgf  utm  m / s 2 lbf  slug  ft / s 2

TECNICO

IMPULSO.- De la ec.(3.15), definimos 





v









d I  F  dt  I   d p  m v  m v0   p . (3.16) v0

Nos indica que el impulso es igual a la variación de momentum lineal. 4.6 FUERZAS DE FRICCIÓN La experiencia muestra que es necesario aplicar una fuerza para mover un cuerpo que está en contacto con otro. Esto indica la presencia de otra fuerza que actúa en dirección opuesta al movimiento relativo de los cuerpos en contacto. Esta fuerza recibe el nombre de fricción o (Fig.3.7)

rozamiento.

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Las fuerzas de fricción resultan de la adhesión de una superficie a la otra, y por el interacomodo de las irregularidades de las superficies en fricción, para dos cuerpos sólidos y uno de ellos se desliza sobre el otro se tiene la fricción por deslizamiento, pero si uno de los cuerpos rueda sobre el otro se tiene la fricción por rodadura y, si uno de los cuerpos, o ambos, es un fluido (líquido o gas), la fricción recibe el nombre de viscosidad. La fricción por lo general es negativa en todo mecanismo, pero es indispensable para caminar, coger las cosas, clavar, frenar y embragar a los automóviles, etc. FRICCIÓN POR DESLIZAMIENTO.- De la experiencia se ha obtenido que la fuerza de fricción por deslizamiento sea proporcional a la fuerza normal que se ejerce sobre las superficies en contacto.

f N

(3.17)

La constante de proporcionalidad es llamada coeficiente de fricción, y se designa por  . Hay dos clases de coeficientes de fricción. El coeficiente estático de fricción  s , que al multiplicarse por la fuerza normal, da la fuerza mínima necesaria para poner en movimiento relativo dos cuerpos

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que están inicialmente en contacto y en reposo. El coeficiente cinético de fricción  k que al multiplicarse por la fuerza normal, nos da la fuerza necesaria para mantener dos cuerpos en movimiento uniforme. Experimentalmente se ha encontrado que  s   k . La fricción depende de muchos factores tales como la condición y la naturaleza de las superficies, la velocidad relativa, etc. 4.7 FUERZA ELÁSTICA Es

aquella fuerza interna manifestada en los cuerpos

elásticos, cuando son estirados o comprimidos por fuerzas externas. Esta fuerza se opone a las fuerzas externas y trata de que el cuerpo elástico recupere su longitud natural (L 0.). (Fig.3.9)

Hooke, encontró que una fuerza F que actúa en un resorte, produce una elongación x que es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza. La ley de Hooke se escribe: F kx

(3.18)

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La

constante

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de

proporcionalidad

K

depende

de

la

naturaleza del material del muelle y se denomina constante de resorte; su unidad es unidad de fuerza sobre unidad de longitud. 4.8.- DINÁMICA CURVILÍNEA Cuando la aceleración total forma un ángulo con la velocidad, la trayectoria del móvil es una curva, de modo que podemos obtener las aceleraciones normal y tangencial, que multiplicadas por la masa del móvil tendríamos las fuerzas total, normal ya tangencial (Fig.3.10).

Por lo tanto, FT  maT  m

dv , dt

(3.19)

que es la componente de la fuerza tangente de la trayectoria denominada fuerza tangencial. La componente de la fuerza perpendicular a la trayectoria, denominada fuerza normal o centrípeta es, FN  ma c  m

v2 

(3.20)

donde  es el radio de curvatura de la trayectoria. Esta fuerza siempre está dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria. La fuerza tangencial es responsable de la variación de la magnitud de la velocidad; mientras que la fuerza normal es

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responsable del cambio de dirección de la velocidad. Si la fuerza tangencial es nula, la aceleración tangencial es cero, por lo tanto el movimiento es circular uniforme; pero, si la fuerza normal es nula, no existe aceleración normal y el movimiento es rectilíneo. Para el caso particular del movimiento circular,  es el radio R de la circunferencia, entonces FT  m  R

y

FN  m

v2  m 2 R . R

(3.21)

Si el movimiento es circular uniforme, la única aceleración es a N y escribimos 















F  m a  m  x v   x (m v )   x p .

(3.22)

Que nos da una relación entre la fuerza, la velocidad angular y el momentum. En algunos casos es conveniente trabajar con componentes rectangulares cartesianas (Fig.3.11).

Donde las componentes rectangulares se calcula mediante Fx  m a x  m

d vx dt

Fy  m a y  m

d vy

PROBLEMAS RESUELTOS 1.-

Sobre el cuerpo de la figura actúan las tres fuerzas. Si F1  2kgf , F2  4kgf y F3  6kgf ; la masa del cuerpo es 1kg, hallar la aceleración del cuerpo. Solución

dt

(3.23)

M. TANTAQUISPE

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Expresamos las fuerzas en su forma vectorial: 





F 1  2 i  2 j kgf,







F 2  2 3 i  2 j kgf



y

De donde obtenemos la fuerza resultante: 

kgf. Pero, a  











F  5,0 i  1,8 j

, entonces obtenemos:

F m









a  5 x9,8 i  1,8 x9,8 j  49,0 i  17,6 j m / s 2 .

2.-



F 3  3 i  3 3 j kgf.

Rpta.

Sobre una masa de 0,5kg que se mueve en el plano XY actúan simultáneamente las siguientes fuerzas       F 1  3 i  5 j N y F 2   i  3 j N . Si la masa se encuentra 





inicialmente en el origen de coordenadas y su v0  3 i  4 j . Hallar: a) La ecuaciones cinemáticas del movimiento y b) el momentum lineal a los 3 segundos de iniciado el movimiento. Solución a)

La









fuerza

resultante



Rpta.

a  4 i  4 j m / s2

v 

 a dt (4t  c



1



) i  (4t  c 2 ) j







es:



F  2i  2 j N

Por

lo

,

entonces: tanto:

, que según la velocidad inicial 

nos queda: v  (4t  3) i  (4t  2) j m / s Rpta. Para el vector posición: encuentra



r 



 v dt  (2t

2





inicialmente en  2 r  ( 2t  3t ) i  ( 2t  4t ) j m Rpta.



el



2



, la masa se origen, entonces:

 3t  c1' ) i  (2t 2  4t  c 2' ) j







b) p  m v (3)  7,5 i  8 j kg  m / s Rpta. 3.-

Sobre el plano inclinado 30º respecto de la horizontal de la figura, se coloca un objeto para que baje deslizándose. Si no existen rozamientos entre el objeto y el plano, determínese la aceleración de bajada de éste. Solución De 

la

segunda

ley



 F  m a  mg sen  ma  a  g sen N  mg cos  .

4.-

Un bloque de masa m1 que se encuentra sobre una mesa horizontal, sin rozamiento, se une

de Rpta.

Newton: Además:

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mediante una cuerda horizontal que pasa por una polea de masa despreciable, colocada en el borde de la mesa, a un bloque suspendido de masa m2. Hallar: a) la aceleración del sistema y b) la tensión de la cuerda. Solución a) Para hallar la aceleración del sistema se aplica la 

 F siguiente fórmula: a   m . En el numerador se consideran  sólo fuerzas de interacción del sistema que están a favor o en contra del movimiento, no se debe considerar las fuerzas internas del sistema, tales como las tensiones. En el denominador se considera la masa total del sistema. Entonces:

a

m2 g m1  m2

Rpta.

b) Para la tensión, aplicamos la segunda ley de Newton en cualquier cuerpo del sistema, entonces en el cuerpo de masa m1

T  m1 a  m1 5.-

  Rpta. m2 g m1  m2

Un camión cuya rapidez de viaje es de 36km/h, lleva en su plataforma una carga de 2000kgf. a) ¿Con qué fuerza presionará la carga sobre la plataforma cuando el camión se encuentre en la cima de un puente convexo de 50m de radio esférico? y b) ¿Con qué fuerza presionará la carga sobre la plataforma cuando el camión se encuentre en la parte más baja de un puente cóncavo de 50m de radio esférico? Solución a) Según la figura, la resultante de la normal y el peso del camión es la fuerza normal, entonces

mg  N  m

v2  N  m( g  R

v2 R

)  2000(9,8  1050 )  15600 N Rpta. 2

b) Hacemos lo mismo que en el apartado a), según figura adjunta. N  mg  m

v2  N  m( g  R

v2 R

)  23600N .

Como nos daremos cuenta, hay una gran diferencia entre

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97

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los apartados a) y b), esto justifica por que se hagan los puentes convexos antes que cóncavos. La figura muestra la

6.-

rotación uniforme a una velocidad angular de

3 rad / s ,

hallar la

longitud (L) del brazo de la barra conociendo que la cuerda de suspensión mide 25cm. Considere que π2 = g. Solución En la fig. se muestra las fuerzas, correspondientes, entonces

tan 37º 

FN mg

 gR .Donde 2

R  L  25sen37 º  L  15 .

Reemplazando datos se obtiene L  10cm . Rpta. 7.-

Hallar la fuerza mínima posible que tiene que hacer un hombre arrastrando un cuerpo de 100kg por un terreno horizontal si el coeficiente dinámico de rozamiento entre el cuerpo y el terreno es 0,5. Solución En la figura se muestra el cuerpo sometido a las diversas fuerzas.

F F

x

 0  F cos   N  0

y

 0  Fsen  N  mg  0

de donde: F 

 mg cos   sen

, para encontrar que la fuerza sea

mínima, entonces: dF  0  tan   0,5  F  44,7 kgf . Rpta. d

8.-

Se coloca una moneda sobre una regla y levantamos esta última gradualmente. Cuando el ángulo de inclinación es 25º la moneda comienza a deslizarse, observando que recorre la regla (80cm) en 1,4s. Calcular los coeficientes

98

UNT/DAF

M. TANTAQUISPE

estático y cinético de rozamiento entre la moneda y la regla. Solución La

Fig.(a)

nos

muestra el estado del sistema,

para

el

coeficiente

estático.

Se

cumplir:

debe

mg sen  f s  0

y

N  mg cos   0 .

De

donde:

 s  tan   tan(25º )  0,47. Rpta.

La Fig.(b) nos muestra el estado del sistema, para el coeficiente cinético. Se debe cumplir: mg sen  f k  ma y N  mg cos   0 .

Pero,

De donde: a  g ( sen   k cos  )   k 

a  2t 2S  2(1x, 40),82  0,82m / s 2 .

Reemplazando:

g sen  a g cos 

.

 k  0,37 .

Rpta.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.-

Al actuar una fuerza de 10N sobre una partícula le produce una aceleración a1 = 2m/s2. Al actuar otra fuerza F2 sobre la misma partícula la aceleración que le produce es a2 = 3m/s2. Calcular: a) el módulo de F2 , b) la aceleración de la partícula si F1 y F2 actúan simultáneamente en la misma dirección y c) lo mismo que en b), para un ángulo de 60º entre las fuerzas. Rpta.: a) 15N, b) 5m/s2 y c) 5,6m/s2.

M. TANTAQUISPE

2.-

Sobre

una

partícula

simultáneamente 



99

UNT/DAF





F 2  2 i  6 j 4 k N

de

las y

1kg

de



fuerzas:







masa 

actúan 



F1  i  3 j 6 k N ,



F 3  2 i  2 j  k N .

Hallar:

a)

la

aceleración de la partícula, b) la fuerza que hay que añadir para que la partícula esté en reposo y c) la fuerza que hay que añadir para que la partícula se mueva con aceleración 







a  3 i  2 j  k m/s 2 . 



Rpta.: a)







i  j  3 k m/s 2

b)







 i  j 3k N

y c)



2 i  3 j 2 k N . 3.-

Se deja caer libremente un cuerpo de 10g de masa. Supuesta nulas todo tipo de fricción, y cuando su velocidad es 20m/s, se le opone una fuerza que detiene su caída al cabo de 4s. Hallar: a) el módulo de esa fuerza, b) la distancia recorrida hasta el momento de oponerse la fuerza y c) la distancia que habrá recorrido hasta el momento de detenerse. Rpta.: a) 0,148N, b) 20m y c) 60m.

4.-

La vida de una persona empieza a peligrar cuando sobre él actúan fuerzas mayores que 8 veces su peso. Calcular la aceleración máxima que puede adquirir una nave espacial al elevarse, en las proximidades a la superficie terrestre sin que se oponga en peligro la vida de los astronautas. Rpta.: 68,6 m/s2.

5.-

Dos masas iguales, cada una de 1kg, penden de los extremos de un hilo inextensible y sin peso que pasa por una polea de masa despreciable. ¿Qué diferencia de altura debe haber entre las masas para que una sobre carga de 20g colocada sobre la más elevada dé lugar a que al cabo de 2s ambas estén a la misma altura? Si las masas continúan moviéndose, ¿qué diferencia de altura habrá entre ellas al cabo de 4s? Rpta. : 0,4m; 3,2m.

100 6.-

UNT/DAF

M. TANTAQUISPE

Un cuerpo de masa m se mueve sobre una superficie horizontal lisa por la acción de una fuerza que depende

del

tiempo

según

la

ecuación: F = kt, en la que k es una constante determinada. La dirección de la fuerza forma constantemente un ángulo θ con la horizontal. Calcular: a) La velocidad del cuerpo en el instante en que deja de tocar el suelo y b) la distancia recorrida en ese tiempo. Rpta.: a) mg 2 cos  m 2 g 3 cos  y b) . 2ksen 2 6k 2 sen 3 7.-

Una partícula atada a una cuerda de 50cm de longitud gira como un “péndulo cónico” como muestra la figura.

Calcular

el

número

de

vueltas por segundo que tiene que dar para que θ = 60º. Rpta. : 1Hz. 8.-

Un motorista toma una curva a 108km/h. Sabiendo que el coeficiente estático de rozamiento entre los neumáticos y la carretera es 0,3, calcular: a) Radio mínimo de la curva que pudiera tomar sin peralte y sin derrapar y b) peralte necesario para que no derrape en una curva de 100m de radio. Rpta.: a) 306m y b)  26º.

9.-

El gorila que se observa en la figura, que tiene una masa de 67 kg, sube por la cuerda con una aceleración de 0,35 m/s2, medida respecto a la cuerda. Hallar la tensión de la cuerda y la aceleración del bloque de 85 kg.

M. TANTAQUISPE

UNT/DAF

101

Rpta: 680 N, 2 m/s2. 10.-

El embalaje de la figura tiene una masa de 76 kg y es remolcado por una cadena dirigida siempre a  = 30° respecto a la horizontal, como muestra la figura. Determine la aceleración del embalaje en t = 3s, si los coeficientes de fricción son 0,70 y 0,55 y la fuerza de remolque es F = 76 t2, donde t está en segundos.

Rpta: 4,87 m/s2. 11.-

En la figura adjunta, el bloque de masa 10 kg desciende verticalmente tirando a los bloques de 5 kg y 3 kg haciéndolos subir por el plano inclinado 30° respecto de la horizontal, mediante una cuerda inextensible y sin masa que pasa por una polea de masa y rozamiento despreciables. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre los bloques y el plano es 0,3. Hallar la aceleración de los cuerpos y las tensiones en las cuerdas.

102

UNT/DAF

M. TANTAQUISPE

Rpta:2,1 m/s2, 47,7 N y 77,0 N 12.-

La figura muestra un carrito por una pista recta que lleva en su parte trasera una estructura. Sobre la misma se apoyan los bloques de masas m y 2m, unidos por una cuerda que pasa por una polea de masa despreciable. En un instante dado el carrito acelera con aceleración a = 3m/s2, dando lugar a que se suelten las fijaciones que tenían los bloques, por lo que comienzan a moverse. El coeficiente de rozamiento cinético es 0,2. Calcule la aceleración total que en ese momento adquiere el bloque de masa m.

Rpta: 6,02 m/s2 13.-

Un pintor para elevar el andamio en el que está subido con aceleración a = 2 m/s2, tira de la cuerda como se muestra en la figura. La masa del pintor es 60 kg, la de los cubos que utiliza es 5 kg, y la del andamio 25 kg. Se supone despreciables las masas de la polea y de la cuerda. Hallar: a) la tensión de la cuerda que tira el pintor y b) la fuerza que ejerce el andamio sobre el pintor. g = 10 m/s2.

Rpta: 540 N, 180 N. 14.-

M. TANTAQUISPE

103

UNT/DAF

4.9 MOMENTUM ANGULAR El



momentum angular ( L ) de una partícula, con respecto a 

O (Fig.3.12) de masa m que se mueve con velocidad v , es 

decir con momentum



p  mv

está definido por el producto

vectorial. 









(3.24)

L  r x p  mr xv

Según el producto vectorial, el momentum angular de una partícula lo escribimos 





px

py

pz

i    L rxp x

j y

k z



(3.25) 



 ( yp z  zp y ) i  ( zp x  xp z ) j  ( xp y  yp x ) k

El momentum angular es un vector perpendicular al plano 



determinado por r y v . En general, el momentum angular cambia en magnitud y dirección mientras la partícula se mueve. Sin embargo, cuando una partícula se mueve en un plano

el momentum angular permanece invariante y 



perpendicular al plano generado por r y v . Tal es el caso del movimiento circular (Fig.3.13).

104

UNT/DAF

M. TANTAQUISPE

es decir, L  m r v  m r 2 .

(3.25)

Que según Fig.3.13 



(3.26)

L  mr2 

Si tomamos la derivada con respecto al tiempo del momentum angular, obtenemos 





dL dr   d p  x prx dt dt dt

(3.27)

El primer término del segundo miembro de la ec. (3.26) es nulo, entonces 

dL   dt

Esto se cumple, siempre que

(3.28) 

L



y 

se evalúen con

respecto al mismo punto. Lo que nos permite escribir, El cambio con respecto al tiempo del momentum angular de una partícula es igual al torque de la fuerza aplicada a ella.

PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Se dispara un proyectil de 5kg de masa con una velocidad de 400m/s, formando un ángulo de 45º con la horizontal y tomándose el punto de lanzamiento como origen de un sistema de referencia, calcular: a) Fuerza que actúa sobre el

M. TANTAQUISPE

105

UNT/DAF

proyectil, b) momento de esta fuerza respecto al origen a los 2s de su lanzamiento y c) momentum lineal y angular respecto al origen a los 2s de su lanzamiento. Solución 

a) Según tiro inclinado tenemos: 















y r  200 2t i  (200 2  10t ) j .   50 j N . Rpta.

v  200 2 i  (200 2  10t ) j

Entonces:



a   g j m/s 2 ,



F





b)   r x F  10 4 2 2 k N.m . Rpta. c) 2.-







p  10 3 2 i  (10 3 2  10 2 ) j N .s

y d)









L  r x p  10 4 2 2 k N.m.s .

Sobre una partícula de 2kg de masa que se encuentra inicialmente en el punto A(2,-3,1)m, actúa una fuerza     constante F  2 i  j  4 k N durante 2s, calcular: a) impulso de tal fuerza en ese tiempo, b) momentum lineal al cabo de los    2s, si para t = 0, p 0  2 i  12 k N.s c) posición de la partícula al cabo de 2s y d) momentum angular, respecto al origen, al cabo de los 2s. Solución a)











I  F t  4 i  2 j  8 k N.s 

















b)  p  I  p  p 0  F t  p(2)  6 i  2 j  4 k N.s c) Integrando,









r  6 i  2 j 9 k m

y d)









L  26 i  30 j  24 k N.m.s .

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.-

El vector posición de un cuerpo de masa 6kg está dado por 







r  (3t 2  6t ) i  4t 3 j  (3t  2) k m .

Hallar: a) la fuerza que actúa

sobre la partícula, b) el torque con respecto al origen de la fuerza que actúa sobre la partícula, c) el momentum lineal y el momentum angular de la partícula con respecto al origen, 



 d) verificar que F  d p y   d L . dt dt 

2.-





Para t = 0, un cuerpo de masa 3kg está situado en r  4 i m , y tiene una velocidad







v  i  6 j m/s .

Si actúa sobre el cuerpo una

106

UNT/DAF

fuerza constante



M. TANTAQUISPE 

F 5 jN,

encontrar: a) el cambio en el

momentum lineal del cuerpo después de 3s, b) el cambio en el momentum angular del cuerpo después de 3s.