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• SebastianMoralesAhumada

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Estudio de funciones peri´ odicas ´ (Esta es una versi´ on preliminar de la teor´ıa del tema.)

.te cn un .es

Una funci´ on f (x) se dice que es peri´odica de periodo T 6= 0 cuando f (x) = f (x + T ), ∀x. Si se conoce f (x) en el intervalo [0, T ] (su ciclo), se la conoce en toda la recta real. A veces, se prefiere trabajar en el intervalo [0, 2π]. Para ello hay que realizar un cambio de escala tal que t = 2πx/T . Con este cambio de escala, todas las funciones peri´ odicas pueden tener un periodo 2π. R a+T Sea f (x) integrable en [a, a + T ]. Se verifica entonces que a f (x)dx = RT f (x)dx, basta descomponer la primera integral en dos: 0 a+T

Z

T

Z

f (x)dx =

a

a+T

Z

f (x)dx +

a

f (x)dx

(1)

T

y hacer el cambio de variable x = T + t en la segunda integral: Z

T

Z f (x)dx +

a

a

T

Z

f (t + T )dt =

0

a

Z

f (x)dx +

a

Z

f (t)dt =

0

T

f (x)dx

(2)

0

Si, particularmente, a = −T /2, se tiene que: Z

T

Z

T /2

f (x)dx =

f (x)dx

(3)

−T /2

0

ww w

Independientemente deR la periodicidad, si una funci´on es impar (f (x) = a −f (−x), ∀x), cumple que −a f (x)dx ≡ 0, basta con descomponer la integral en dos: Z Z Z a

0

f (x)dx =

−a

a

f (x)dx + −a

f (x)dx

y hacer el cambio de variable x = −t en la segunda integral: Z 0 Z −a Z 0 Z 0 f (x)dx − f (−t)dt = f (x)dx + f (t)dt = 0 −a

−a

0

(4)

0

(5)

−a

Esto implica que la integral de una funci´on impar en un intervalo sim´etrico es nula. Esto no ocurre con una funci´on par (f (x) = f (−x), ∀x). Sin embargo, s´ı se cumple si f (x) es impar y peri´odica: Z

T /2

Z f (x)dx = 0 =

−T /2

c 2009 Tecnun (University of Navarra)

T

f (x)dx

(6)

0

1

Estudio de funciones trigonom´ etricas. Se estudiar´ an ahora las funciones cos(2kπx/T ) (funci´on par) y sin(2kπx/T ) (funci´ on impar), con k ∈ N . El periodo A de estas funciones ser´a una magnitud no nula tal que     2kπ 2kπ cos (x + A) = cos x , ∀x (7) T T

.te cn un .es

Desarrollando el primer t´ermino e igualando los coeficientes de cos(2kπx/T ) y sin(2kπx/T ), se llega a que A = T . An´alogamente para sin(2kπx/T ), se llega a que A = T . Algunas propiedades interesantes de estas funciones son que T

Z

sin(2kπx/T )dx = 0

(8)

0

por ser sin(2kπx/T ) una funci´on peri´odica impar y que Z

T

cos(2kπx/T )dx = 0

(9)

0

lo cual no ocurre como norma general en las funciones pares. Adem´ as Z T 2kπx 2rπx sin( ) cos( )dx = 0, ∀k, r T T 0

(10)

por resultar una funci´ on impar el producto de una funci´on par y otra impar. El producto de dos senos: T

Z

ww w

sin(

0

Y si k = r

2kπx 2rπx ) sin( )dx = 0, k 6= r T T

(11)

T 2kπx )dx = , ∀k ∈ N T 2

(12)

2kπx 2rπx ) cos( )dx = 0, k 6= r T T

(13)

2kπx T )dx = , ∀k ∈ N T 2

(14)

T

Z

sin2 (

0

El producto de dos cosenos: Z

T

cos(

0

Y si k = r Z 0

T

cos2 (

Con ello, se ha conseguido generar el siguiente conjunto de funciones         2πx 2πx 4πx 4πx {1, cos , sin , cos , sin ,...} T T T T

c 2009 Tecnun (University of Navarra)

(15)

2

Definiendo el producto escalar como T

Z hf, gi =

f (x)g(x)dx

(16)

0

se tiene que el anterior conjunto de funciones forma una base ortogonal respecto de ese producto escalar, pues el producto escalar de cualesquiera dos funciones f (x) y g(x), f (x) 6= g(x), da 0 y h1, 1i = T    2kπx 2kπx T cos , cos = T T 2      2kπx T 2kπx , sin = sin T T 2

(17)



.te cn un .es



(18)

(19)

Polinomio trigonom´ etrico.

Sea f (x) una funci´ on peri´odica de periodo T . Se pretende definir un “polinomio trigonom´etrico” q(x) de n t´erminos, que aproxime a f (x): n

a0 X + ak cos f (x) ≈ q(x) = 2



k=1

2kπx T



+

n X



bk sin

k=1

2kπx T



(20)

Para determinar a0 , ak , bk , k = 1 . . . n, el error cuadr´atico medio E(a0 , ak , bk ) ha de ser m´ınimo, es decir Z

ww w

T

2

(f (x) − q(x)) dx : m´ınimo ⇔

E(a0 , ak , bk ) =

0

∂E =0 ∂a0 ∂E = 0, k = 1 . . . n ∂ak

(21)

∂E = 0, k = 1 . . . n ∂bk

Con ello se generan 2n + 1 ecuaciones para determinar 2n + 1 inc´ognitas: ∂E = 0 = −2 ∂a0

Z

T

0

1 (f (x) − g(x)) dx 2 (22)

2 ⇒ a0 = T

Z

c 2009 Tecnun (University of Navarra)

T

f (x)dx 0

3

T

Z

∂E = 0 = −2 ∂ar

(f (x) − g(x)) cos( 0

2rπx )dx T (23)

  Z 2rπx 2 T f (x) cos ⇒ ar = dx T 0 T Z T ∂E 2rπx = 0 = −2 (f (x) − g(x)) sin( )dx ∂br T 0 (24) 2 T

T

 f (x) sin

0

2rπx T

 dx

.te cn un .es

⇒ br =

Z

Se va a proceder ahora al estudio del comportamiento de los coeficientes a0 , ak y bk , k ∈ N . a0 /2 representa el valor medio de la funci´on f (x) en el intervalo [0, T ] y en toda la recta real (teorema del valor medio): 1 a0 = 2 T

Z

T

f (x)dx

(25)

0

Para estudiar el comportamiento de ak , se plantea la siguiente integral: T /2

Z



x−

f

−T /2

T 2k





cos

2kπx T



dx

(26)

Haciendo el cambio de variable x − T /2k = u: T /2−T /2k

Z



f (u) cos

ww w

−T /2−T /2k

 2kπu + π du T

(27)

y d´ andose cuenta de que desplazamientos de igual magnitud en los l´ımites inferior y superior de la integral (en un ciclo) de una funci´on peri´odica no alteran el resultado de la integral, se llega a que Z

T /2



−

f (u) cos

−T /2

Es decir:

ak =

2 T

Z

2kπu T

T /2

 du = −ak

 f (x) cos

−T /2

2kπx T

T 2

(28)

 dx (29)

2 =− T

Z

T /2

 f

−T /2

T x− 2k



 cos

2kπx T

 dx

Sumando: 2 2ak = T

T /2

     T 2kπx f (x) − f x − cos dx 2k T −T /2

Z

c 2009 Tecnun (University of Navarra)

(30)

4

Cuando k → ∞, f (x − T /2k) → f (x), es decir, el m´odulo de continuidad, w(δ, x0 ), de la funci´ on, definida como w(x0 , δ) =

|f (x) − f (x0 )|

sup

(31)

|x−x0 |