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• Jonathan Bernal

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FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS ELEMENTOS DE GEOMETRÍA

Notas de Clase Octubre Clase 04-10-16 (Juan Camilo, Julián, Fernanda) Se comenzó la clase repasando las definiciones de punto medio y mediatriz. La profesora indicó que la frase “Punto que equidista de dos puntos dados A y B” dio lugar a dos definiciones:

1) Punto medio de un segmento – si los tres puntos son colineales. 2) Mediatriz de un segmento- Si los puntos no son colineales a A y B

La exploració n que se realizó dio lugar también al siguiente hecho geométrico: HG mediatriz La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que contiene al punto medio. ´ entonces M ∈ M AB . Si M es el punto medio del AB, Luego la profesora propone las siguientes tareas:

1. En una hoja blanca, construya el AB. Con dobleces encuentre el punto medio M del segmento.

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Pasos 1) Se construya AB . 2) Se sobrepone A y B de tal forma que una parte del segmento quede sobre la otra parte.(equidistancia) 3) Se dobla y la intersecció n del doblez con el segmento es el punto medio, C (interestancia) 2. Represente dos puntos A y B. Con dobleces, encuentre un punto C para que Bsea el punto medio del segmento AC. Pasos 1. Recta m 2. Puntos A y B. 3. Sobreponer A en la recta m de tal forma que coincidan los pedazos de recta y B quede en el doblez. 4. Marcar el punto de m que coincide con A . Ese punto es C.

Luego la profesora nos pidió que resolviéramos el problema 2 con Cabri.

A A A

B

B

B m C

Construcció n 1) Puntos A y B

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2 ¿ A , B ∈m 3) ⊙ B AB 4)C Punto de intersecció n de ⊙ B ABcon m 5) A−B−C

D. B es punto medio del AC Si: (i) B , A , C colineales. (ii) A−B−C (iii) AB=BC

Luego pasamos a hacer los ejercicios # 6 ,7 de la pá gina 37, cuya solució n se discutió en clase. 6. HG ANGULOS ADYACENTES NO PAR LINEAL: Si dos á ngulos son adyacentes y no forman par lineal, entonces la medida del á ngulo formado por los lados no comunes es igual a la suma de las medidas de los á ngulos no adyacentes. La profesora dijo que el hecho geométrico no estaba correctamente expresado. Para mostrarnos por qué, ilustró los siguientes casos:

m∠ ABD=m ∠ ABC +m ∠ CBD En este ejemplo C ∈∫ ∠ ABD .

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∠ MNO y ∠ ONP m∠ONP +m∠ ONM ≠ m∠ MNP En este caso, O ∉∫ ∠ MNP. a. Reformule el anterior hecho geométrico en el formato si…entonces …, haciendo referencia a á ngulos específicos.

Teniendo en cuenta lo que la profesora comentó , la reformulació n queda así: HG Ángulos adyacentes no par lineal Si ∠ ABD y ∠CBD no par lineal tal que D ∈∫ ∠ ABC, entonces m∠ ABC =m∠ ABD+m ∠ DBC . a. Complete el siguiente diagrama-condicional.

HG ángulos adyacentes no par lineal

∠ ABD y ∠ CBD son adyacentes y no forman par lineal, D ∈

∫ ∠ ABC

m∠ ABC =m∠ ABD+m ∠ CBD

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En el problema 7 tocaba completar la justificació n del HG Bisectriz.

HG Bisectriz La medida de un á ngulo es igual al doble de la medida de cualquiera de los á ngulos determinados por su bisectriz. BD es bisectriz del ∠ ABC entonces m∠ ABC =2m ∠ ABD. Reformulació n. Si ⃗

Qué uso D. Á ngulo

Qué concluyo ⃗ BA y ⃗ BC no colineales

⃗ BA y ⃗ BC no colineales

D. Rayos opuestos

⃗ BA y ⃗ BC no opuestos

⃗ BD bisectriz del ∠ ABC

D. Bisectriz

⃗ BA y ⃗ BC no son opuestos

D. Á ngulos par lineal

∠ ABD y ∠ DBC son adyacentes ∠ ABD y ∠ DBC no par lineal

∠ ABD y ∠ DBC son adyacentes ∠ ABD y ∠ DBC no par lineal ⃗ BD bisectriz del á ngulo ∠ ABC ∠ ABD ≅ ∠ DBC

HG. Á ngulos adyacentes

m∠ ABC =m∠ ABD+m ∠ DBC

D. Bisectriz

∠ ABD ≅ ∠ DBC

D. Congruencia

m∠ ABD=m ∠DBC

∠ ABC

Qué sé

m∠ ABC =m∠ ABD+m ∠ DBC Principio de m∠ ABD=m ∠DBC sustitució n m∠ ABC =m∠ ABD+m ∠ ABD Propiedad de los reales

m∠ ABC =m∠ ABD+m ∠ ABD m∠ ABC =2m ∠ ABD

La propiedad de los reales que se usa es la propiedad transitiva: b=a+ a b=1∙ a+ 1∙ a (identidad multiplicativa) b=(1+1)∙ a b=2 a

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Construcció n de las figura propuesta en el punto 1 de la Tarea extra clase 8. 1. a) ⊡ XYZW es rombo. ¿Es un rectá ngulo?

Figura 1.XY 2.⊙ X XY 3.W ∈⊙ X XY 4.⊙ W WX´ y ⊙ Y YX´ 5. Z ∈W WX ´ ∩⊙Y YX ´

Herramienta segmento Circunferencia Punto sobre objeto circunferencia Punto(s) de intersecció n

Clase (06-10-16) Yenny, Alejandro, Yuly La clase se inicia repartiendo las calculadoras con el fin de realizar las siguientes construcciones en Cabri y reportar cada una de las construcciones: ´ 1. Construir XY

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2. Construir ∆ ABC tal que BC=2 XY 3. Construir ∆≝¿ tal que DE=1/2 XY Primera figura Pasos de la construcción

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

´ XY m recta, B punto, B∈ m ⊙ B XY Z ∈⊙ B XY ∩m ⊙ Z XY C ∈ ⊙Z XY ∩m △ ABC Ocultar ⊙ B XY y m y ⊙ Z XY

Representación

△ ABC , BC =2 XY

Luego la docente nos recordó que lo primero que se debe hacer cuando se trabaja en calculadoras o en computadores, es nombrar cada uno de los puntos y explicó que ´ ; X no podía ser Aporque cada para esta construcció n debemos tener primero el XY punto tiene su nombre. No pueden coincidir los puntos. Aunque en Cabri sí se da, en la geometría euclidiana eso no sucede. Tanto X como Y ocupan un espacio diferente. Posterior a esto la docente dijo que utilizá ramos regla y compá s para realizar la misma construcció n que se hizo en Cabri, en una hoja blanca y sin líneas.Tanto el compá s como la regla que debemos usar no tienen medidas; es decir que no nos fijá ramos en las marcas que tiene la regla. Solo nos va a servir como instrumento para trazar líneas rectas o en caso del compá s para realizar circunferencias. Estas dos eran las herramientas con las cuales trabajó Euclides; todas las construcciones que está n en su libro son realizadas con regla y compá s; cuando él habla de un hecho geométrico, lo que hace es mostrar que con la regla y el compá s se puede hacer una construcció n donde eso se cumpla. Es importante tener el presente el siguiente hecho geométrico para cada una de las construcciones que se realicen: HG Compás: Si se mantiene la abertura del compá s, entonces las circunferencias construidas tienen el mismo radio.

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Ademá s, para justificar que el DE=2 XY , se necesitó otro hecho geométrico: como lo es: HG Localización puntos: Si m recta, B punto, B∈ m y r ∈ R+¿ ¿, entonces existe C ∈ m tal que BC=r.

Qué sé 1. B punto B∈ m ⊙ B XY 2. Z ∈ m tal que BZ=XY ⊙ Z XY 3. B−Z−C

Qué uso

Qué concluyo

HG Localizació n puntos

Z ∈ m tal que BZ=XY

HG Localizació n puntos

C ∈ m tal que ZC= XY B−Z−C

D. Interestancia

BZ+ ZC=BC

4. BZ+ ZC=BC BZ=XY ZC= XY

Principio de sustitució n

BC= XY + XY

5. BC= XY + XY

Propiedad de los reales

BC=2 XY

Para la segunda construcció n, se solicita que un segmento del triá ngulo mida la mitad del segmento que se utilizó como unidad de medida. Por el HG Punto medio, el punto medio determina la longitud que es igual a la mitad de la de ese segmento. A continuació n, se encuentra cada uno de los pasos que se utilizaron para la realizació n del segundo triá ngulo en Cabri: Segunda figura Pasos de la construcción

1. 2. 3. 4. 5.

Recta m ´ XY ´ T punto medio del XY ´ XT D ∈m, D punto

Representación

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6. 7. 8. 9.

⊙ D XT E ∈m ∩⊙ D XT ∆≝¿ Ocultar m y ⊙ D XT

∆≝, DE=1/2 XY

Como en el ejercicio anterior, la docente informa que debemos replicar esta construcció n con regla y compá s en una hoja blanca; recordó que en Cabri se realiza las circunferencias para lograr construir segmentos de igual longitud. Pero, con compá s y regla solo iremos a dibujar arcos; sin embargo, en el reporte se debe mencionar que se realizó una circunferencia. Para la construcció n de este triá ngulo, fue necesario aprender a hacer la construcció n de punto medio.

Construcción punto medio Pasos de la construcción

Representación

´ 1. AB 2. ⊙ Ar , r >1/2 AB 3. ⊙ Br “con el mismo radio que el anterior” 4. ⊙ Ar ∩⊙ Br ={X , Y } ´ 5. XY ´ ∩ AB ´ 6. M ∈ XY ´ 7. M es punto medio del AB ´ unidad AB=¿ AM =1/2

Una de las cosas que le interesó a los matemá ticos de la época de Euclides fue la relació n que existía entre los nú meros y las construcciones con regla y compá s. Lo que se hacía con regla y compá s existía en el mundo de las matemá ticas, y lo que no, no existía. Entonces introdujeron la noció n de nú meros construibles:

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D. Un número real positivo res construible si es posible, a partir de un segmento cuya longitud se toma como unidad, construir un segmento de longitudr .. Cuando se hace cualquier construcció n con regla y compá s, es muy importante tener ´ y decir que esa es la unidad; nosotros generalmente usamos como siempre un AB unidad el centímetro, el metro, el kiló metro, dependiendo de lo estemos midiendo, distancia entre ciudades, distancia en una cuadra, si se mide la longitud de una cinta. En fin, la unidad se escoge segú n lo que má s nos convenga. Con regla y compá s, nosotros escogemos la unidad, pero tenemos que decir cuá l es la unidad, dibujar el segmento que se va tomar como unidad. Nosotros ya hemos construido nú meros. Si hubiéramos tomado el XY como unidad de medida, hemos construido 1/2, 2. C=conjunto de nú meros construibles. Ya sabemos que Ccontiene a los nú meros naturales.  



N ⊂C Los nú meros naturales se construyen repitiendo circunferencias hasta lograr el nú mero que necesite. n 5 3 11 11 ∈ C , n ∈ N Por ejemplo, , , . En el caso del ,buscar la parte entera , 2 2 2 2 2 1 que es 5; se hace la construcció n del 5 y luego la del . 2 1 1 1 a , , ,… n ∈C,a∈ N ,n∈ N. 4 8 16 2

Por ú ltimo, la docente explico sobre las demostraciones de la tarea anterior: 

Sobre el ⊡ XYZW rombo, mencionó que, si se colocaban nombres de los vértices, como en este caso, se debían utilizar esos mismos en cada una de las construcciones; también dijo que, en este solo se pedía que se hiciera un rombo. No un rombo con un á ngulo recto, ni un rombo con una diagonal congruente a un lado. Es decir, cuando se habla de rombo, se habla de cualquier rombo; la construcció n de cualquier rombo es la siguiente:

Construcción 1

Representación

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1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

´ XY ⊙ X XY W ∈⊙ X XY ´ XW ⊙ W XY , ⊙ Y XY Z ∈⊙W XY ∩⊙Y XY ´ y YZ ´ WZ ⊡ XYZW Ocultar ⊙ X XY , ⊙ W XY y ⊙ Y XY

El rombo anterior era el que se debía construir en la tarea. Sin embargo, algunos grupos construyeron.el siguiente rombo. La docente nos pide que lo realicemos en Cabri:

Construcción 2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Representación

´ XZ ⊙ Z XZ ⊙ X XZ Y ∈⊙ Z XZ ∩⊙ X XZ W ∈⊙ Z XZ ∩⊙ X XZ ´ , ZW ´ , XW ´ , XY ´ YZ ⊡ XYZ Ocultar ⊙ X XZ , ⊙ Z XZ

Para responder a la pregunta planteada, que si el rombo era un rectá ngulo, se necesitaba hacer la primera, pues solo con el arrastre se pueden obtener todos los posibles rombos que existen. Con el fin de ver si en algú n momento es rectá ngulo, se arrastraba un vértice para obtener un á ngulo recto, y al obtener un á ngulo recto, los otros á ngulos también se hacían rectos. Entonces la respuesta a la pregunta es No se

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Sabe, porque hay momentos en el que sí es un rectá ngulo, y precisamente se obtiene un cuadrado, y hay momentos que no es un rectá ngulo. Analizando la segunda construcció n de rombo, nos dimos cuenta que esta, nunca va a tener la propiedad de tener un á ngulo recto, pues se construyó con los 5 segmentos congruentes (lados y diagonal). Es imposible determinar un á ngulo recto. 

La docente también comento sobre la segunda construcció n de la tarea, puesto que había que construir un trapecio. Como en el caso anterior, se debió haber construido un trapecio cualquiera para poder manipularlo con el arrastre y así obtener todos los tipos de trapecios. Se debe arrastrar hasta obtener que las diagonales fueran congruentes. Cuando obtengo esa condició n me pregunto ¿qué paso?, ¿qué clase de trapecio es ese? Y, es en ese momento en el que procedo a medir lados y á ngulos para dar respuesta a la pregunta dada. Entonces se observó que con el arrastre se obtuvo un trapecio isó sceles. La respuesta a la pregunta, por tanto, es No se Sabe, ya que en algunos casos si se cumple, y en otros no se cumple.

Para terminar con la explicació n de la solució n de las dos construcciones, se realiza las siguientes conjeturas: 

Si el ⊡ XYZW es rombo y el ∠ X es recto, entonces ⊡ XYZW es rectá ngulo

La anterior es una conjetura donde se ha incluido una proposició n, entre las palabras “si” y “entonces”, que se llama el antecedente, que reporta lo que se construyó robustamente y lo que se añ adió con el arrastre, para llegar a la propiedad que se descubre la cual se reporta en la proposició n llamada consecuente, que se coloca después de la palabra “entonces”. Si el ⊡ XYZW es rombo y el ∠ X es recto entonces ⊡ XYZW es rectá ngulo Construyo

Añ ado con arrastre

Descubro

La docente menciona que también se debía reportar có mo se realizó la exploració n.

Reporte de exploración

Representación de la exploracion

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1. Arrastré a X hasta que m∠WXY =90 2. Se observó que m∠Y =90, m∠ Z=90 y m∠W =90.

En cuanto al trapecio, hay dos formas de explorar la situació n: (1) medir las diagonales y arrastrar hasta que sean iguales las medidas o (2) medir los lados no paralelos y arrastrar hasta que el trapecio sea isó sceles, porque se sospecha que puede tener la propiedad solicitada. Medir las diagonales para comprobar que sí son congruentes.



Exploració n (1):

Si ⊡ UVWX es trapecio y las diagonales son congruentes, Construcció n robusta

añ adió con arrastre

entonces el trapecio es isó sceles. Descubrió

Reporte de exploración 1. XV , UW 2. Arrastrar hasta que XV =UW

Representación de la exploración

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

Exploració n (2)

Si ⊡ UVWX es trapecio isó sceles, entonces las diagonales son congruentes Construcció n robusta

añ adí con arrastre

descubrí

¿Que aprendimos de geometría? Ademá s de todo lo visto durante la clase, se agregaron algunas definiciones y hechos geométricos nuevos, los cuales nos ayudaron al desarrollo de esta.Ellos son:   

D. Nú meros construibles HG Compá s HG Localizació n de puntos

¿Qué aprendimos de geometría dinámica? Se usó para construir segmentos de longitud dada a partir de una unidad de medida, para construir nú meros. Finalmente, se usó para la correcció n de la tarea dejada anteriormente, con el fin de comprender la correcta construcció n que se pide en algú n momento dado, y así poder resolver todas las preguntas que nacen de esa construcció n.

Clase 10-10-2016 (Felipe y Andrés) La clase comienza con la correcció n de la Tarea Extraclase 9. 1. Determine si la respuesta a la pregunta es Sí, No o No sé sabe. Cuando la respuesta es No se sabe, indique qué condiciones tendría que añ adir para obtener Sí como respuesta. Cuando la respuesta es Sí, use el diagrama deducció n para justificar su respuesta. ´ es mediatriz RQ ´ ¿Es ⊡ RTQS cometa? a) TS La respuesta es No se Sabe. Se presentan dos casos.

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Caso 1

Caso 2.

T

Q

R

S

T

S

Q

R

´ ≅ QS ´ ≅ RS ´ ´ ≅ TQ RT rombo

´ QS ´ ≅ RS ´ ´ ≅ TQ RT cometa

A partir de las sugerencias de algunos estudiantes, se mostró que el punto de ´ y el RQ ´ es realmente el punto medio del RQ. ´ intersecció n de la TS Qué sé

Qué uso

Qué concluyo

1. T ∈ M RQ ´

D. Mediatriz

2. RT =TQ ; RS=SQ

D. Congruencia

RT =TQ ; RS=SQ ´ ; RS ´ ≅ SQ ´ ´ ≅ TQ RT

´ ⋂ RQ ´ 3. M ∈ TS

D. Intersecció n

´ M ∈ TS

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´ 4. M ∈ TS

D. Mediatriz

RM =MQ

´ 5. M ∈ RQ

D. Segmento

R−M −Q

D. Punto Medio

M es el punto medio ´ del RQ

R−M −Q RM =MQ

Para justificar que cuando TM =MS el cuadrilá tero es un rombo, un estudiante ´ en mediatriz del TS ´ presentó su argumento, bastante novedoso pues convirtió a la RQ . Qué sé

Qué uso

Qué concluyo

´ = M RQ´ TS

D. Mediatriz

TR=TQ , SR=SQ

´ = M RQ´ TS

HG Mediatriz

´ ⟘ RQ ´ TS

TM =MS T −M −S

D. Punto medio

´ M punto medio de TS

HG Mediatriz

´ = M TS´ RQ

´ M TS´ RQ=

D. Mediatriz

QT=QS, RT =RS

TR=TQ , SR=SQ QT =QS, RT =RS

D. Congruencia

´ ≅ TQ ´ , SR ´ ≅ SQ ´ TR ´ ≅ QS ´ , RT ´ ≅ RS ´ QT

´ ≅ TQ ´ ≅ SR ´ ≅ SQ ´ TR ⊡ RTQS

D. Rombo

⊡ RTQS es rombo

´ M punto medio de TS ´ ´ ´ ´ TS ⟘ RQ M ∈ TS ⋂ RQ

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Al final la profesora concluye que en un momento la figura puede ser cuadrado, en otro momento es rombo y en otro momento es cometa. b) Se sabe que un lado del ∠1 es el rayo opuesto de un lado del ∠2. ¿Son par lineal? No se sabe. Se pueden dar varios casos:

En este ejemplo podemos ver que son par lineal pero no tenemos los suficientes datos para especificarlo.

1

2

En estos ejemplos los á ngulos no son par lineal porque no son adyacentes. La primera opció n corresponde a á ngulos opuesto por el vértice. Como no tenemos esta definició n en nuestro sistema teó rico, la profesora Carmen deja como tarea para la pró xima clase investigar una definició n de á ngulos opuestos por el vértice. PQ es bisectriz del ∠ SPR. ¿Es el ∠ QPR obtuso? c) El ⃗ La respuesta a esta pregunta es No. Precisamente el ∠ QPRes agudo.

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La manera de demostrar esto es utilizando el hecho geométrico de bisectriz y de la medida de á ngulo. Qué sé ∠ SPR ⃗ PQ es bisectriz del ∠ SPR Q ∈∫ ∠ SPR ∠ SPQ y ∠ QPR

Qué uso HG Medida de á ngulo D. Bisectriz

⃗ PQ es bisectriz del ∠ SPR ∠ SPQ ≅ ∠ QPR m∠ SPR=m∠ SPQ +m ∠QPR m∠ SPQ ¿ m∠ QPR

HG Á ngulos adyacentes no par lineal D. Bisectirz D. Congruencia Principio Sustitució n

m∠ SPR= 2m∠QPR 0< m∠SPR BC 2 ⊙ C 6. t arco en interior del 1 á ngulo t > BC 2 7. H ∈⊙ Bt ∩⊙ Ct AH bisectriz del∠ A 8. ⃗

¿Qué aprendimos de geometría? D. Dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados de uno de los á ngulos son rayos opuestos de los lados del otro á ngulo.

Á ngulos opuestos por el vértice.

1. ∠ KHM es opuesto por el vértice al ∠ NHL 2. ∠ KHM es par lineal con ∠ MHL 3. ∠ MHL, ∠ NHLsuplementarios

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HG. Par lineal Dos á ngulos par lineal son suplementarios. HG. Ángulos opuestos por el vértice: Los á ngulos opuestos por el vértice son congruentes. D. Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90. D. Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180. La profesora propone el siguiente taller en clase: Taller en clase. En grupos realizar los ejercicios: 1. Justificar HG. Á ngulos opuestos por el vértice usando el diagrama deducció n. 2. Pá gina 36 numeral 8. 3. Pá gina 51 numeral 2 y 4. NOTA: PARCIAL EL MARTES 18 DE OCTUBRE.

Clase (18-10-16) Fernando La clase se inicia con la socializació n de las respuestas a los ejercicios del libro desarrollados durante clase anterior.  

Pg. 36 # 8b Pg. 51 # 2,4

Pg. 36 #8b. Justifique que dos á ngulos opuestos por el vértice son congruentes utilizando el siguiente hecho geométrico: HG ángulos par lineal Si dos á ngulos son par lineal, entonces son suplementarios.

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Dato: ∠ 1 y ∠ 2 opuestos por vértice. Aserción: ∠ 1 ≅ ∠2 Qué sé ∠ 1 y ∠ 2 opuestos por vértice ∠1 ⃗ BA y ⃗ BC no colineales ´ ´ C ∉ AB , D ∉ BC ⃗ BA y ⃗ BD opuestos ⃗ ⃗ BC y BE opuestos ∠ 1 y ∠ 3 par lineal ∠ 3 y ∠ 2 par lineal ∠ 1 y ∠ 3 son suplementarios ∠ 3 y ∠ 2 son suplementarios m∠1+ m∠3=180 m∠3+ m∠2=180 m∠1+ m∠3=m∠3+m ∠2 m∠1=m∠ 2

Qué uso D. Á ngulos opuestos por vértice D. Á ngulo D. Colineal D. Á ngulos par lineal

Que concluyo ⃗ ⃗ BA y BD opuestos ⃗ BC y ⃗ BE opuestos

HG. Á ngulos par lineal D. Á ngulos Suplementarios Principio de sustitució n Propiedad de los nú meros reales D. Congruencia

∠ 1 y ∠ 3 son suplementarios ∠ 3 y ∠ 2 son suplementarios m∠1+ m∠3=180 m∠3+ m∠2=180 m∠1+ m∠3=m∠3+m ∠2

⃗ BA y ⃗ BC no colineales ´ , D ∉ BC ´ C ∉ AB ∠ 1 y ∠ 3 par lineal ∠ 3 y ∠ 2 par lineal

m∠1=m∠ 2 ∠ 1 ≅ ∠2

Pg. 51 #2 Enumere las condiciones requeridas para que: a. Una recta sea trasversal. Definición. Dadas dos rectas coplanares, una trasversal o secante es una recta que interseca a las dos rectas dadas, y los puntos de intersecció n correspondientes son diferentes.

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p: q: r: s:

Ser transversal Tres rectas coplanares Una recta interseca las otras dos Puntos de intersecció n de la recta con las otras dos son diferentes

l transversal l, m, n coplanares l ∩m≠ ∅ y l ∩n ≠ ∅ l ∩m={ A } y l ∩n= { B } A≠B

b. Dos á ngulos determinados por dos rectas y una trasversal sean correspondientes. Definición. Dadas dos rectas y una trasversal, dos á ngulos son ángulos correspondientes si no son adyacentes, cada uno tiene un lado sobre la trasversal siendo uno de esos lados subconjunto del otro y los otros dos lados de los á ngulos, excluyendo el vértice, está n en el mismo semiplano determinado por la trasversal. Á ngulos Correspondientes ∠1 y ∠5 ∠2 y ∠6 ∠4 y ∠8 ∠3 y ∠7

p: q:

Á ngulos correspondientes Dos á ngulos

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r: s: t: v:

Dos rectas y una transversal Cada á ngulo tiene un lado sobre la transversal El lado de un á ngulo que está en la transversal es subconjunto del lado del otro á ngulo en esa transversal Los otros dos lados, excepto el vértice, está n en el mismo semiplano determinado por la transversal

∠ 2 y ∠ 8 no son correspondientes porque no se cumplen las propiedades t y v. ∠ 3 y ∠ 6 no son correspondientes porque no se cumple la propiedad t. ∠ 4 y ∠ 7 no son correspondientes porque no se cumple la propiedad v.

Clase (24-10-16) (Eduin, Julieth) Se inicia la clase con la corrección del parcial 1. Determine si la respuesta a la pregunta es Sí, No o No se sabe. Justifique su respuesta con fundamento teórico. Haga representaciones para ilustrar su respuesta. Si la respuesta es No se sabe, indique qué condición se requiere para que la respuesta sea No. a) b es un numero construible. ¿Es

3 b construible? 2

AB=b ´ . Por HG Punto Medio, 2 AM = AD AD=3 AB Construcción de M punto medio de AD AD 3 b = 2 2 ´ ≅ PS ´ . ¿Es el ⊡ PQRS un cuadrado? b) En el ⊡ PQRSse tiene que QR AM =

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No se sabe. El cuadrilátero podría ser un trapecio isósceles, un rectángulo, un cuadrado, un ´ ≇ QR ´ ; paralelogramo, un rombo. Las condiciones para que la respuesta sea No deben ser: PQ PQ< RS; ∠ Pno es recto.

´ . ¿Son ∠ PMN y ∠ PMO par lineal? c) El punto P no pertenece a la MN ´ y O−M −N en cuyo caso sí son par lineal; (ii) O ∈ MN ´ No se sabe. Hay varios casos: (i) O ∈ MN ´ y no serían par lineal. Para que la y M −N −O en cuyo caso son el mismo ángulo; (iii) O ∉ MN ´ . respuesta sea NO, basta decir que M no está entro O y N o que O ∉ MN

´ es altura del ∆ GHI . ¿Se tiene G−H −I ? d) El HJ No se Sabe. Las posibles situaciones son:

H

H

G

J

I

G

I J

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Para que la respuesta sea No, se necesita que ∠ I o ∠ G sea obtuso. 2) Con regla y compás   

Construya ∆ FGH ´ y m recta, m∥ GH ´ Construya D punto medio del FG ´ Sea E ∈m ∩ FH

Al finalizar la construcción, escriba una conjetura

´ , m ∥ GH ´ con D ∈ m , y m∩ FH ´ = { E }. Entonces E es Conjetura: Si ∆ FGH , D punto medio FG ´ . punto medio de FH 3) En clase descubrimos el siguiente hecho geométrico:

HG Ángulos congruentes en triángulo Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a los ángulos son congruentes. En un diagrama-deducción, justifique la aserción a partir de los datos dados. Use el hecho geométrico anterior.

Datos:

⃗ BD es bisectriz ∠ ABC ⃗ CE es bisectriz ∠ ACB ∠ ABC ≅ ∠ ACB Aserción:

F ∈ M BC ´

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Qué sé

⃗ BD es bisectriz ∠ ABC ⃗ CE es bisectriz ∠ ACB ∠ ABC ≅ ∠ ACB m∠ ABC =m∠ ACB m∠ ABC =2m ∠ DBC m∠ ACB=2 m∠ ECB m∠ DBC =m∠ ECB ∠ DBC ≅ ∠ ECB ∆ FBC ´ ≅ FC ´ FB FB=FC

Qué uso HG Bisectriz Hipótesis Grafica D. Congruencia Principio de sustitución Propiedad de los reales D. Congruencia HG ángulos congruentes triangulo D Congruencia D Mediatriz

Qué concluyo

m∠ ABC =2m ∠ DBC m∠ ACB=2 m∠ ECB ∆ FBC m∠ ABC =m∠ ACB 2 m∠ DBC=2 m∠ ECB m∠ DBC =m∠ ECB ∠ DBC ≅ ∠ ECB ´ ≅ FC ´ FB FB=FC F ∈ M BC ´

Luego se abordó la Tarea Extraclase 11, específicamente el problema 3 de esta. D. Dos polígonos son semejantes si existe una correspondencia entre los vértices tal que los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales. La profesora definió lo que quiere decir que lados correspondientes son proporcionales:

´ y MN ´ y NO ´ son correspondientes, entonces son ´ son correspondientes y AC D. AB proporcionales si la razón entre las medidas de los lados correspondientes son iguales; es decir, si AB AC =b= . MN NO La profesora explicó que dos polígonos no pueden ser semejantes si no tienen la misma forma. Esto sucede con el polígono ABCDE y el polígono IJHLK . Además, indicó que para determinar la correspondencia entre los vértices de dos polígonos se determinan visualmente las propiedades que estos tienen: vértices de ángulos agudos se deben corresponder, extremos de los lados más largos se deben corresponder, etc.

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a) ∆ XYZ y ∆ QRS son rectángulos. ¿Son semejantes? La respuesta es No se sabe. Un triángulo puede ser isósceles (∆ HIK ) y el otro no (∆ ABC ¿ . Entonces no serían semejantes. O los dos triángulos son isósceles, como el ∆ HIK y el ∆ TUS que sí son semejantes. C

K

B

I

A

H

T

S

U

b) ⊡ ABCD y ⊡ STUV son rectángulos. ¿Son semejantes?

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No se sabe. Si en los siguientes ejemplos se establece la correspondencia: A → S , B→ T , C → U y D →V los rectángulos son semejantes si los lados correspondientes son proporcionales. Es decir, si

AB BC CD AD = = = . Si uno de los rectángulos es un cuadrado, no son semejantes. ST TU UV SV

Clase (26-10-16) (Daniel, Luis, Tatiana) La clase inicia repartiendo los computadores, para realizar los ejercicios asignados. La profesora menciona un trabajo que se debe hacer en grupos. Dadas un triángulo, construir las seis piezas que lo identifican: los lados y los ángulos. Se deben construir regletas de la misma longitud de cada lado, y moldes de la misma medida de los ángulos. Debe hacerse en un material fuerte o resistente. El triángulo se lo entregará a cada grupo el próximo jueves 27 de octubre de 2016. La profesora Carmen pide realizar en grupos el siguiente ejercicio: 1. Definir que es semicircunferencia. 2. Con Cabri, construir una semicircunferencia. 3. Con regla y compás, construir una semicircunferencia. Pasados 20 minutos se recogen y distribuyen las hojas con las respuestas a otros grupos para su respectiva corrección y socialización.

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Algunos grupos compartieron la definición que dieron para semicircunferencia y estas se analizaron.

´ , O punto medio A´ B. Sea C ∈ M AB 1. Sea AB ABC es semicircunferencia. ´ tal que OA=OC . ^ No es correcta la definición planteada, dado que suponen que tres puntos no coloniales determinan una circunferencia. Eso es cierto, pero además la definición debe mencionar una circunferencia pues es el objeto que le da vida a la circunferencia. Dada la corrección y la definición propuesta, la profesora plantea el siguiente hecho geométrico HG Circunferencia tres puntos no colineales Tres puntos no colineales determinan una circunferencia.

´ , punto Z , tal que A−Z−B , ⨀ Z ZB y C ∈ ⨀ Z ZB , C ∉ AB ´ . La 2. Sea AB semicircunferencia está determinada por S AB ´ ∪ { A , B }.

´ ya que debe No es correcta la definición porque debe especificar que Z es punto medio de AB equidistar de A y B. También el uso del término “está determinado” no es válido. En vez de este se debe usar la palabra es. Por último, la definición menciona todo el semiplano lo cual no es lo que se solicitaba hallar. ´ , A , B puntos A ∈ S H´K , B . La semicircunferencia es el 3. Dado ⨀ Pr y diámetro HK ´ . conjunto determinado por el semiplano donde está A unido con HK De nuevo no se puede usar la palabra “determinado”. Además de eso para ser correcta debe ´ A , B puntos A ∈ S HK decir: Dado ⨀ Pr y diámetro HK ´ , B La semicircunferencia es el conjunto de puntos de la ⨀ Pr que están en el semiplano. La profesora finalmente expone la definición de semicircunferencia, después de la socialización. D. Una semicircunferencia es un arco de circunferencia cuyos extremos son los extremos de un diámetro de esta. A continuación se mostró la construcción en Cabri.

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B

B

C

C A

P

A

Pasos para construir una semicircunferencia 1. 2. 3. 4. 5. 6.

⨀ Pr m recta, P ∈m A , C ∈ ⨀ Pr ∩ m B∈⨀ Pr , B ≠ A , B ≠ C

^ ABC Ocultar ⨀ Pr , m

Construcción en papel Con ayuda del compás y regla se construyó la semicircunferencia.

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Pasos para su construcción 1. 2. 3. 4. 5.

Recta m

O∈m ⨀O r ⨀O r ∩m= { A , B } ^ ACB

Segundo ejercicio propuesto en clase 2. Determine el punto K , que pertenece a la semicircunferencia ABC para que la medida del

∠ AKC sea máxima. Pasados 20 minutos volvimos a socializar el ejercicio puesto en clase, obteniendo la siguiente información. Construcción en Cabri

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Con base a la anterior construcción de semicircunferencia, agregamos los siguientes pasos para cumpla con el ejercicio propuesto 1. ^ ABC 2. Punto K ∈ ^ ABC KA y ⃗ KC 3. ⃗ 4. ∠ AKC Se observa que este ángulo es recto y, se mantiene bajo la propiedad del arrastre. A raíz de este descubrimiento se obtuvo la siguiente conjetura: HG Semicircunferencia Si K es un punto de la semicircunferencia ^ ABC , entonces el ∠ AKC es recto. La siguiente actividad a realizar fue:

´ tal que el ∆ AKR y 3. Sea semicircunferencia ^ ABC , K punto de ella. ¿Existe un punto R ∈ AC ∆ RKC son semejantes? De acuerdo a las anteriores construcciones hechas, se complementa con los siguientes pasos para dar solución al ejercicio

Pasos para la construcción

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1. 2. 3. 4. 5.

Semicircunferencia ^ ABC Punto K ∈ ^ ABC

´ AC ´ R ∈ AC ∆ AKR y ∆ RKC

Pasos para la exploración 1. Medir todos los ángulos. 2. Arrastrar a R hasta que los ángulos de un triángulo sean congruentes a los ángulos del otro triángulo. Después de que entregamos las conjeturas que habíamos establecido, la profesora hace los siguientes comentarios. Dado que sabemos que ∠ AKC es recto. Eso quiere decir que ∠ AKR y ∠ RKC son agudos (HG Ángulos adyacentes no par lineal). Como se observa que ∠ A y ∠ C son agudos, el arrastre de R debe ser hasta asegurar que ni ∠ ARK ni ∠ CRK sea obtuso. Así para que ∆ AKR sea semejante al ∆ KCR , se debe establecer la siguiente correspondencia:

A→K K →C R→R

Dadas las observaciones se obtiene la siguiente conjetura:

´ , R ∈m ∩ AC ´ Si K es un punto de la semicircunferencia ABC ym recta, K ∈m , m⊥ AC entonces ∆ AKR ∆ KCR En consecuencia de la exploración, agregamos el siguiente hecho geométrico HG Ángulo obtuso para lineal Si uno de los ángulos de un par lineal es obtuso entonces el otro ángulo es agudo. Finalmente, la profesora explicó la herramienta de Cabri para poner un texto y presentar la información completa en la pantalla. Para ingresar un texto: en el penúltimo ícono se encuentra, al desplegarlo, la herramienta Texto. Se escribe m ang ABC=¿ y se ingresa el valor de la medida del ángulo haciendo clic en ese valor. Si solo se ve el valor, hay que agrandar el cuadro de texto.

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m∠ ABC =¿ 90.00

Agrandar el cuadro de texto Al agrandar el cuadro de texto, se obtiene la información completa de lo que se desea comunicar

¿Qué aprendimos de geometría? A raíz de los ejercicios desarrollados en clase, se añadieron nuevos hechos geométricos y definiciones al sistema teórico, los cuales contribuyeron al desarrollo de la clase. Estos fueron:    

Definición de semicircunferencia Hecho geométrico Circunferencia tres puntos Hecho geométrico Semicircunferencia Hecho geométrico Ángulo obtuso par lineal.

¿Qué aprendimos de geometría dinámica? Utilizamos como herramienta principal para las construcciones solicitadas la aplicación de Cabri. Aprendimos a construir una semicircunferencia, explorar para determinar el punto de la semicircunferencia que daba lugar al ángulo de mayor medida y el punto del diámetro que determinaba dos triángulos semejantes.

Clase 13-10-2016 (Geraldine, Elvis, Angélica) La profesora Carmen inició la clase con una observació n respecto a la tarea: por mala ortografía en las tareas se bajará n dos puntos y que las construcciones no deben reportarse de forma detallada porque quedan demasiado extensas. Seguidamente la maestra mostró a la clase un triá ngulo en papel, unas regletas construidos en madera congruentes a los lados del triá ngulo y los moldes de los á ngulos del triá ngulo también construidos en madera. Luego entregó , en una bolsa, un triá ngulo en papel a cada grupo con el cual sedebe realizar, en un material duro, la tres regletas que tengan la misma longitud de los lados del triá ngulo que le correspondió , y los tres moldes que deben ser congruentes a los á ngulos. Todo se debe entregar, cada parte debidamente marcada, en la bolsa junto con el triá ngulo original. .

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Luego se inició la correcció n de la Tarea Extraclase 11 con la construcció n del cuadrado, mostrando có mo se debe reportar dicha construcció n:

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Construcció n: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

´ AB ´ ⊂m m recta, AB ´ A∈n n recta, n ⊥ AB, D punto, D ∈n ∩⊙ A AB ´ l recta, B∈ l , l ⊥ AB C punto, C ∈ l⊙ B AB

Por HGD Cuadrado, ⊡ ABCD es cuadrado

La profesora hace la observació n de que es necesario que sean visibles todas las partes de la construcció n y cada construcció n debe validarse con sustento teó rico. Se hace la construcció n del paralelogramo, haciendo la aclaració n de que es posible realizar la construcció n de dos maneras: por la definició n de paralelogramo es necesario construir dos pares de rectas paralelas, o por el HG Paralelogramo se debe construir un par de lados paralelos y congruentes:

a. Construcció n por la definició n de paralelogramo: ´ 1. AB ´ 2. AD ´ , D ∈m 3. m recta, m∥ AB ´ , B∈n 4. n recta, n ∥ AD 5. C ∈ m∩n b. Construcció n por el HG Paralelogramo: ´ 1. AB ´ 2. AD ´ , D ∈m 3. m recta, m∥ AB

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4. C ∈ m∩⊙ D AB ⊡ ABCD es paralelogramo por HG. Paralelogramo.

Se hace la entrega del siguiente taller para desarrollar en la clase:

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1. Dado que se tienen dos circunferencias con centro en Ay B construidas con la misma abertura, se usa el HG Compá s para concluir que las circunferencias tienen el mismo radio. 2. Se ubican los puntos de intersecció n, X y Y de las circunferencias con centro A y B. 3. Ya que las circunferencias con centro Ay B tienen el mismo radio y ademá s X y Y pertenecen a ambas circunferencias utilizamos la definició n de circunferencia para concluir que AX=r , AY =r , BX=r , BY =r . 4. Sabiendo que las distancias AX =r , AY =r , BX =r , BY =r, usamos la propiedad transitiva o el principio de sustitució n (ya que con la igualdad o la congruencia es posible usar cualquiera de ellos), para concluir que AX =BX ; AY =BY 5. Teniendo a AX=BX ; AY =BY usamos la definició n de mediatriz para concluir ´ = M AB que XY 6. Conociendo que M AB usamos el HG Mediatriz para concluir que la mediatriz de ´ es una recta. AB ´ , que M AB es una recta y que X , Y ∈ M AB, usamos el 7. Sabiendo que X , Y ∈ XY HG Dos puntos rectas que dice que por dos puntos pasa una ú nica recta, para ´ ¿ M AB concluir que XY ´ ∩ AB ´ . 8. Se ubica el punto M ∈ XY ´ y XY ´ ¿ M AB, se usa el principio de sustitució n para sustituir la 9. Como M ∈ XY ´ por la mediatriz y así concluir que el punto M pertenece a la mediatriz de XY ´ . AB

Durante esta parte del taller se hace la pregunta de si es posible usar la propiedad transitiva, a lo que la maestra responde que no. Ella indica que este es un buen ejemplo en el que hay que usar el Principio de Sustitució n. Recuerda que este expresa lo siguiente: si se tiene una proposició n sobre un objeto y se sabe que ese objeto es igual a otro, es posible reemplazar en esa proposició n por el objeto igual y la proposició n sigue siendo verdadera.

´ y M ∈ AB ´ usamos el HG Mediatriz 10. Ya que M pertenece a la mediatriz de AB ´ . para concluir que M es punto medio de AB En este punto la clase cuestiona si es posible utilizar la definició n de punto medio. La maestra responde que no ya que la definició n de punto medio exige comprobar que el

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punto está entre A y B y hay equidistancia. Las aserciones que se tienen no es ninguna de ellas. Para usar la definició n de punto medio habría tenido que decir que MA=MB por definició n de mediatriz, y luego que A−M −B por la definició n de segmento. Eso alargaría la demostració n. Por ello, se usó el HG Mediatriz.

A continuació n se hace la correcció n de la construcció n del rombo usando la mediatriz y usando la definició n de rombo:

a. Usando la mediatriz: 1. 2. 3. 4.

´ AC M AC D punto, D ∈ M AC B∈ ⊙ A AD ∩ M AC

⊡ ABCD es rombo por definició n de mediatriz y circunferencia.

b. Usando la definició n de rombo: 1. 2. 3. 4. 5.

´ AB D ∈⊙ A AB ⊙ D AB ⊙ B AB C ∈ ⊙D AB ∩⊙ B AB

Se realiza la construcció n de cometa:

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1. 2. 3. 4. 5.

´ AC M AC D ∈ M AC ⊙ A AD B∈ M AC tal que B∉ ⊙ A AD

Se hace la correcció n del problema de investigació n de la tarea. Tocaba determinar la relació n entre las bisectrices de á ngulos opuestos de un cuadrilá tero especial. La profesora comenta que para que sea investigació n real, se deberían construir las bisectrices de ambos pares de á ngulos opuestos, como lo hicieron algunos grupos. Así, se descubren relaciones entre las bisectrices de á ngulos adyacentes. La maestra aclara que toda conjetura se debe escribir de la forma: si- entonces. Así que las conjeturas posibles, en el caso del paralelogramo, son:

Si ⊡ ABCD es paralelogramo, entonces las bisectrices de á ngulos opuestos son paralelas.

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Si ⊡ ABCD es paralelogramo, entonces las bisectrices de á ngulos adyacentes son perpendiculares.

En el caso del cuadrado, la conjetura es:

Si ⊡ ABCD es cuadrado, entonces la intersecció n de las bisectrices de á ngulos opuestos es un segmento o es la diagonal del cuadrado.

La maestra menciona algunos errores cometidos por los estudiantes en esta construcció n: la conjetura no es que las bisectrices coinciden, ya que son rayos.

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En el caso del trapecio, la conjetura es: Si ⊡ ABCD es trapecio, entonces las bisectrices de á ngulos opuestos se intersecan en un punto del interior del polígono. Si ⊡ ABCD es trapecio, entonces las bisectrices de á ngulos adyacentes, que tienen un lado que contienen uno de los lados del trapecio, son perpendiculares.

Correcció n punto dos de la Tarea Extraclase 11: La profesora hace la observació n de que en el diagrama deducció n de la justificació n de los triá ngulos semejantes había que usar la propiedad reflexiva, para concluir que el ∠ Aes congruente a sí mismo. Qué sé

Qué uso

Qué concluyo

Propiedad reflexiva

∠ A≅∠ A

∠A

Correcció n punto tres, #c, de la Tarea Extraclase 11: En este punto había que usar el HG. Á ngulo recto: Todos los á ngulos rectos son congruentes, para justificar la semejanza de los cuadrados.

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La maestra hace un repaso de la clase anterior recordando el HG Semicircunferencia al que llegamos: si un á ngulo está inscrito en una semicircunferencia, es decir, tiene el vértice en la semicircunferencia y sus lados contiene los extremos de la semicircunferencia, entonces es un á ngulo recto. D. Un ángulo está inscrito en una semicircunferencia si tiene el vértice en la semicircunferencia y sus lados contiene los extremos de la semicircunferencia. Se devuelve a la construcció n de la recta perpendicular a una recta por un punto de la recta. A partir de esto la maestra, hace la construcció n de un triá ngulo rectá ngulo isó sceles cuyos catetos miden 1 unidad. Esto para introducir la construcció n de raíces cuadradas. Muestra que se construyó la raíz cuadrada de dos y se justifica por el Teorema de Pitá goras es: a 2 +¿ b 2 ¿ c 2; 12 +¿ 12 ¿ c 2; 1 + 1 = c 2; √ 2 ¿ c

Construcció n: raíz cuadrada de 2

´ , AB=1 1. AB ´ A ∈m 2. m recta, m⊥ AB, 3. C ∈ m, AC= AB

La profesora afirma que se pueden construir otros nú meros irracionales que son raíces cuadradas de cualquier nú mero natural, justificá ndolo por el Teorema de Pitá goras. Un ejemplo de esto es la construcció n de √ 15 . Para ello se realiza la descomposició n en sumas del nú mero 15 de la siguiente manera: a2 1 2 3

c 2=15 a

b2 14 13 12

b 1 √2 √3

√ 14 √ 13 √ 12=2 √ 3

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4 5 6 7

11 10 9 8

2 √5 √6 √7

√ 11 √ 10 3

√ 8=2 √ 2

15=1+14, 15=2+ 13, 15=3+12,…, 15=7+8 Luego se escoge la que parece ser la mejor opció n para no tener que hacer tantas construcciones. Por ejemplo, c 2=15 , a 2=3, b 2=12. En este caso, c= √ 15 ; a=√ 3; b=2 √ 3 Como se desconoce √ 3 ,se utiliza el mismo algoritmo para poder construirlo: 3=1+ 2. Luego: c= √3 , a=1 , b=√ 2. Mediante la construcció n anterior se halla √ 2. Se construye un triá ngulo rectá ngulo cuyos catetos miden √ 2 y 1. Utilizando el Teorema de Pitá goras, podemos concluir que la longitud de la hipotenusa es √ 3; se repite este procedimiento tomando como catetos a √ 3y 2 √ 3 y así se construye √ 15. Construcció n de √ 23: ´ 1. AB ´ , A ∈m 2. n recta talque n ⊥ AB 3. C ∈ ntalque AC=2 4. D ∈ntalque AD=1 5. DB=√ 2 6. CB= √5 ´ , C∈m 7. m recta talque m⊥ BC 8. E punto, talque CE=3 √ 2 2 2 9. EB 2=√ 5 + ( 3 √ 2 ) =5+18=23 10. EB= √23

¿Qué aprendimos de geometría?

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A partir del Teorema de Pitá goras se desarrolló en la clase la construcció n de raíces cuadradas de nú meros naturales. Se hizo la aclaració n de que las conjeturas se escriben siempre en el formato Si- entonces.

Respecto a la relació n entre las bisectrices de á ngulos de un cuadrilá tero, con base en la tarea y la explicació n de la profesora, descubrimos que las bisectrices de los á ngulos poseen propiedades especiales, diferentes o iguales, dependiendo del tipo de cuadrilá tero: (i) (ii)

(iii)

Paralelogramo: Las bisectrices de los á ngulos opuestos son paralelas, y las bisectrices de los á ngulos adyacentes son perpendiculares. Trapecio: Las bisectrices de los á ngulos opuestos se intersecan en un punto en el interior del trapecio, y si las bisectrices son de dos á ngulos adyacentes cuyos lados contienen, cada uno, uno de los lados paralelos del trapecio, entonces forman un á ngulo de recto. Cuadrado: La intersecció n de las bisectrices de los á ngulos opuestos es la diagonal del cuadrado.

Clase (31-10-16) (Fernando, Wilson, Sebastián) Se inicia la clase con la correcció n de la Tarea Extraclase 12, en la cual se solicitaba que se desarrollaran unos puntos de manera grupal y se hiciera la construcció n de un paralelogramo individualmente. Se discutieron los puntos que se debían resolver en grupo. 1. Se tiene el siguiente hecho geométrico. HG Ángulos de triángulo. La suma de las medidas de los á ngulos de un triá ngulo es 180. a) Exprese el hecho geométrico como proposició n condicional: Si.., entonces... Respuesta: Si la figura es un triá ngulo, entonces la suma de las medidas de sus á ngulos internos es 180. El siguiente punto de la tarea consistía en justificar un hecho geométrico usando el diagrama deducció n. b) Justifique el siguiente hecho geométrico:

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Criterio AA de semejanza Si dos á ngulos de un triá ngulo son congruentes, respectivamente, a dos á ngulos de otro triá ngulo, entonces los triá ngulos son semejantes. Qué sé ∆ ABC y ∆≝¿

Qué uso Qué concluyo HG. Á ngulos de m∠ A+ m∠ B+m∠ D=180 m∠ D+ m∠ E+m ∠ F=180 triangulo

∠ A≅∠ D ∠ B≅∠ E m∠ A+ m∠ B+m∠ D=180 m∠ D+ m∠ E+m ∠ F=180

D. congruencia Principio sustitució n

m∠ A=m ∠ D m∠ B=m∠ E de m∠ A+ m∠ B+m∠C=m∠ D+m∠ E+ m∠ F

m∠ A+ m∠ B+m∠C=m∠ D+m∠Principio E+ m∠ F m∠C=m∠ F m∠ A=m ∠ D sustitució n m∠ B=m∠ E Propiedad de los Reales m∠C=m∠ F ∠ C ≅∠ F D. Congruencia ∠ C ≅∠ F ∠ A≅∠ D ∠ B≅∠ E

HG. Semejanza

∆ ABC ∆≝¿

Cabe resaltar que para realizar esta demostració n era necesario dar nombres específicos a los triá ngulos. Pero esto no quiere decir que se está hablando de dos triá ngulos específicos sino má s bien de dos triá ngulos cualesquiera. Esta demostració n nos permite formular un nuevo hecho geométrico que introducimos a nuestro sistema teó rico: HG. Dos ángulos de triángulos Si dos á ngulos de un triá ngulo son congruentes a dos á ngulos de otro, respectivamente, entonces el tercer á ngulo de cada triangulo son congruentes. Continuando con la clase, para prepararnos para la discusió n del punto 4c de la tarea, la profesora Carmen solicita que desarrollemos la siguiente actividad. 1. Sea ⊡ ABCD un paralelogramo. Complete el siguiente esquema para demostrar que

∠ ADCy ∠ BADson suplementarios.

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C

D

A

B

X

Qué sé

ABCD 1. paralelogramo

Qué uso

es D. paralelogramo

Qué concluyo

´ DC ´ AB∥

´ DC ´ 2. AB∥

D. segmentos paralelos

´ DC ´ AB∥

3.

Hipó tesis grá fica

´ ; X −A−D B∉ AD

3.a X −A−D

D. Rayos opuestos

⃗ AX y ⃗ AD opuestos

AX es opuesto al ⃗ AD 4. ⃗ ´ B∉ AD

D. Á ngulos par lineal

∠ XAB lineal

y

∠ BAD

par

5. ∠ XAB y ∠ BAD par H.G. Á ngulos par lineal lineal

∠ XAB y suplementarios

6.

´ trasversal de rectas AD ´ ´ AB y DC

Hipó tesis grá fica

∠ BAD

´ trasversal de rectas D. ∠ ADC Á ngulos ∠ XAB y 7. AD correspondientes correspondientes ´ y DC ´ AB 8. ∠ AXB y ∠ ADC H.G. Paralelas á ngulos ∠ XAB ≅ ∠ ADC correspondientes correspondientes ´ DC ´ AB∥

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9. ∠ XAB ≅ ∠ ADC Principio de sustitució n ∠ XAB ∠ BAD y suplementarios

∠ ADC y suplementarios

∠ BAD

Para terminar la clase se preguntó a los estudiantes cual había sido el punto de la tarea que había causado mayor dificultad. Los estudiantes afirmaron que era el siguiente: 4. Usando el diagrama-deducció n, los hechos geométricos aceptados y los criterios y definició n de semejanza, realice los siguientes ejercicios. Para cada ítem, ver la figura al final.

´ ∥ AB ´ explique por qué: DC × AC=EC × BC . c. En la figura, DE Qué sé

Qué uso Hipó tesis grafica

D−C−B, E−C−A

D. Rayos opuestos

Qué concluyo D−C−B, E−C−A

⃗ CD y ⃗ CB opuestos ⃗ CE y ⃗ CA opuestos ⃗ CD y ⃗ CB opuestos D. Á ngulos opuestos por ∠ 1 y ∠ 2 opuestos por el ⃗ ⃗ CE y CA opuestos el vértice vértice ∠ 1 y ∠ 2 opuestos por el H.G. Á ngulos opuestos ∠ 1 ≅ ∠2 vértice por el vértice

Esta demostració n nos permite encontrar la congruencia entre dos á ngulos pero para demostrar la aserció n dada es necesario contar con la congruencia de dos á ngulos má s. Así se puede usar el Criterio AA de Semejanza, que acabamos de demostrar. Compromisos: 1. En la pró xima clase, se terminará la correcció n de la Tarea 12.

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2. Cada grupo debe traer las regletas y moldes que hicieron, de acuerdo al triá ngulo dado.