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Ingeniería de yacimientos de gas

Nombre de la asignatura: INGENIERIA DE YACIMIENTO DE GAS

Nombre de la docente: Ing. Mitzunary España Mendez.

Trabajo: ECUACION DE DIFUSIVIDAD

Alumna: Leidy Yesenia Ramón López

Matricula 110693

Ciclo escolar: 2018

Cd del carmen campeche a 23 de agosto del 2018

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Ingeniería de yacimientos de gas

Ecuación de la Difusividad: 𝜹𝟐 (∆𝑷) 𝟏 𝜹(∆𝑷) 𝑺𝒔 𝜹(∆𝑷) + = 𝜹𝒓𝟐 𝒓 𝜹𝒓 𝑲 𝜹𝒓 La ecuación de la difusividad es la combinación de las principales ecuaciones que describen el proceso físico del movimiento de fluido dentro del reservorio, combina la ecuación de continuidad (que es el principio de la conservación de la masa, y de aquí obtenemos el balance de materia), la ecuación de flujo (ecuación de Darcy) y la ecuación de estado (compresibilidad). Esta ecuación tiene 3 variables: 1 presión que es la del reservorio y 2 saturaciones que son generalmente la oil y la de gas en reservorios volumétricos. A partir de esta ecuación se obtienen las ecuaciones para los tipos de flujo que existen en el reservorio, por ejemplo en la segunda parte de la ecuación de la difusividad la presión varia con el tiempo (deltaP/Delta t) si estamos en el estado pseudoestable es decir la presión no depende del tiempo ya que llego al límite del reservorio (infinit acting) esta variación es 0 por lo que la ecuación de la difusividad tendrá una resolución que es la ecuación de flujo radial para el estado pseudoestable:

𝑷𝒓 – 𝑷𝒘𝒇 = 𝑪𝒐𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 ∗ 𝑸 ∗ 𝒖𝒐 ∗ 𝑩𝒐(𝒍𝒏(𝒓𝒆/𝒓𝒘) − 𝟎. 𝟕𝟓 + 𝑺)/𝒌𝒉 A continuación se contempla el desarrollo de la ecuación de difusividad para el análisis de presión en yacimientos. El enfoque matemático que se presenta a continuación está basado en los cursos PE175 (Well Test Analysis) y PE281 (Applied Mathematics for Reservoir Engineering) del programa de MS en Petroleum Engineering de Stanford University.

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DESARROLLO DE LA ECUACION DE DIFUSIVIDAD

En un sistema lineal como se muestra en la figura:

La ecuación de conservación de la masa es:

(𝑴𝒂𝒔𝒂 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂) – (𝒎𝒂𝒔𝒂 𝒔𝒂𝒍𝒆) = (𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏)

Dividiendo (1) por Dx y Dt, y tomando límites cuando Dx–>0 y Dt–>0:

Sustituyendo la Ley de Darcy, ecuación (2), en (3) obtenemos:

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Suponiendo que k, m y A son constantes:

Desarrollando el término:

Obtenemos:

Ahora necesitamos calcular

Procedemos como sigue: Primero tenemos que la compresibilidad isotérmica está definida como:

Obtenemos:

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Derivando (7) con respecto al tiempo, obtenemos:

Por otro lado, la compresibilidad de la roca está definida por:

Integrando (9) y derivando con respecto al tiempo, obtenemos:

Sustituyendo (8) y (10) en (5), obtenemos:

Definiendo Obtenemos:

Ahora, podemos decir que:

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Finalmente obtenemos:

La ecuación (13) es la ecuación de difusividad en un sistema lineal. Observe que en esta ecuación hay una derivada parcial con respecto al tiempo y una segunda derivada con respecto a la distancia (espacio). En un sistema cartesiano 3D, la ecuación (13) se puede escribir como Sigue:

Donde, el operador ߜ está definido por:

En coordenadas radiales, el operador V está definido por:

y la ecuación de difusividad se convierte en:

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Si consideramos que solo existe flujo radial, la ecuación (15) se convierte en:

Observe que en la derivación de la ecuación de difusividad (14) se requirió el uso de la ecuación de conservación de la masa (1), la Ley de Darcy (3) y las ecuaciones de estado (6) y (9). El resultado es la ecuación general que caracteriza el comportamiento de presión en un yacimiento para todo tiempo. Las suposiciones que se han hecho son las siguientes: 1. Flujo laminar 2. Efectos capilares despreciables 3. Medio isotrópico 4. k, f, m y ct son constantes 5. Los fluidos son ligeramente compresibles 6. Flujo monofásico 7. No hay efectos de gravedad o térmicos

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BIBLIOGRAFIA

Ewing, R. E. (1999). Applied Mathematics for Reservoir Engineering. Stanford University.

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