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OMA – Regionales – Nivel 1

Año 1995 Problema 1: Verónica y su amigo Julio entraron a una librería de Bahía Blanca y compraron por valores enteros diferentes, superiores a $10. Cada uno quiso pagar con un billete de $20, pero el dueño no tenía cambio para cobrarle a ninguno de los dos. Entonces Julio ofreció pagarle con un billete de $50 y así pudo darle el vuelto. Al ver esto, Verónica sacó un billete de $50 y el librero pudo cobrarle a ella también. ¿Cuál es el número mínimo de billetes que podía tener el librero cuando llegaron los amigos? Nota: Los billetes en circulación son de $100, $50, $20, $10, $5, $2, $1. Problema 2: Escribir en cada vértice de un cuadrado una potencia de 2 y luego, en cada lado y en cada diagonal escribir el producto de los números asignados a sus extremos, de modo tal que la suma de los 10 números escritos sea 3505. Aclaración: Las potencias de 2 son 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, ... Problema 3: En una circunferencia de centro O y radio 1 se marcan los puntos A, B, C y D siguiendo el sentido horario. Si 𝐴𝑂̂𝐵 = 120o, 𝐵𝑂̂𝐶 = 60o y 𝐶𝑂̂𝐷 = 150o, calcular el área del cuadrilátero ABCD.

Año 1996 Problema 1: Usando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, y sin repetirlos, se forman 3 números de 2 cifras cada uno. Se suman entre sí los 3 números de 2 cifras que se formaron. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener mediante este procedimiento? Problema 2: Sea ABCD un paralelogramo tal que el lado BC mide 13, la altura correspondiente a la base AB mide 12 y el ángulo 𝐴𝐵̂𝐶 es agudo. Sea E un punto en la prolongación del lado BC tal que el ángulo 𝐷𝐸̂ 𝐶 = 90°. Sabiendo que CE = 5, calcular el área del cuadrilátero ABED. Problema 3: En una fiesta hay 15 mujeres y algunos varones. Primero, cada mujer le regala un alfajor a cada varón conocido, que se lo come de inmediato. Después, cada varón le regala un alfajor a cada mujer desconocida. En total se regalaron 240 alfajores. Decidir si con esta información es posible determinar el número de varones asistentes a la fiesta. Si la respuesta es sí, hallar el número. Si la respuesta es no, explicar por qué. ACLARACIÓN: Si A es conocido de B, entonces B es conocido de A.

Año 1997 Problema 1: Daniela, Iván, Laura y Matías escriben números naturales de cinco dígitos distintos formados por los dígitos 1, 2, 3, 4, y 5. Daniela hace la lista de todos los que tienen la primera cifra igual a 1. Iván hace la lista de todos los que tienen las dos primeras cifras formadas por los dígitos 1 y 2 en cualquier orden. Laura hace la lista de todos los que tienen las tres primeras cifras formadas por los dígitos 1, 2 y 3, en cualquier orden. Matías hace la lista de todos los que tienen las cuatro primeras cifras formadas por los dígitos 1, 2, 3 y 4, en cualquier orden. Hay números naturales de cinco cifras distintas, formados por los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, que no figuran en ninguna de las cuatro listas. ¿Cuántos son los números que no figuran en ninguna lista? Problema 2: Sean ABC un triángulo (𝐴̂ > 90°) y M el punto medio del lado BC. Si B𝐴̂M = 90o, AB=35 y AC=77, calcular BC.

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OMA – Regionales – Nivel 1 Problema 3: Decidir si es posible que un conjunto de cinco números naturales distintos tenga la siguiente propiedad: "Para cada par de números del conjunto, al multiplicar los dos números se obtiene un múltiplo de la suma de los dos números". Si la respuesta es sí, indicar un conjunto con la propiedad. Si la respuesta es no, explicar el porqué.

Año 1998 Problema 1: Diremos que un número natural es optimista si sus cifras están ordenadas en forma creciente y diremos que un número natural es pesimista si sus cifras están ordenadas en forma decreciente. Por ejemplo, son optimistas 1358, 24, 89, son pesimistas 41, 820, 762, y no son ni optimistas ni pesimistas 7, 1134, 253, 9773, 8592. Hallar el primer número natural a, mayor que 150 y tal que desde 1 hasta a (inclusive) haya la misma cantidad de números pesimistas que de números optimistas. Problema 2: El trapecio ABCD, de bases AB y CD, y lados BC y AD, tiene AD = 39, CD = 14, el ángulo ̂ 𝐴 = 138°. Hallar la medida de AB. 𝐴𝐵̂𝐶 = 69° y el ángulo 𝐶𝐷 Problema 3: En cada vértice de un cuadrado hay una semilla. Una hormiga sale de un vértice y camina por los lados del cuadrado arrastrando una enorme bolsa de semillas y sólo se detiene en los vértices. Cuando llega a un vértice, si viajaba en el sentido de las agujas del reloj, agrega tantas semillas como las que hay en el vértice del que venía, y si viajaba en sentido contrario a las agujas del reloj, quita semillas, agrega semillas, o no hace nada, de modo que quede la misma cantidad que en el vértice del cual venía. ¿Puede la hormiga organizar su viaje para tener exactamente 98 semillas en cada vértice? Si la respuesta es no, explicar por qué. Si la respuesta es sí, indicar el camino de la hormiga.

Año 1999 Problema 1: En el tablero de la figura quedan seis casillas vacías. Escribir en cada una de esas seis casillas un número distinto de cero de modo que, una vez completo, el tablero sea un cuadrado mágico multiplicativo, es decir: al multiplicar los tres números de cada línea (horizontal, vertical o diagonal) se obtiene siempre el mismo resultado.

9

5

1

Problema 2: Consideramos los números naturales N menores que 10000 que tienen el dígito 2 en el lugar de las decenas. ¿Cuántos de estos números N tienen resto 5 en la división por 12? Problema 3: Se tiene un papel rojo con forma de hexágono regular de lado 2 y un papel azul con forma de cuadrado de diagonal igual a 4. Se coloca el cuadrado encima del hexágono de modo que dos vértices opuestos del cuadrado coincidan con dos vértices opuestos del hexágono. Hallar el área de la región del hexágono que no queda cubierta por el cuadrado, es decir de la región roja visible.

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Año 2000 Problema 1: A

B

C

D

E

G

G

H

I

Lucas debe reemplazar cada letra por un número natural de 1 a 9 inclusive, sin repeticiones, de modo que los ocho números A / B, (A + B) / C, (A + B + C) / D, (A + B + C + D) / E, (A + B + C + D + E) / F, (A + B + C + D + E + F) / G, (A + B + C + D + E + F + G) / H, (A + B + C + D + E + F + G + H) / I, sean todos enteros. Determinar todos los números naturales por los que puede reemplazar a la letra I. Problema 2: Determinar la cantidad de pares de números naturales (a, b) que verifican simultáneamente las siguientes dos condiciones: El máximo común divisor entre a y b es igual al producto de los 5 primeros números naturales; El mínimo común múltiplo entre a y b es igual al producto de los 15 primeros números naturales. Es decir, mcd (a, b) = 1.2.3.4.5 y mcm (a, b) = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15. Problema 3: En una hoja de papel rectangular de 12 cm de largo y 9 cm de ancho se ha trazado un segmento con sus extremos en dos lados opuestos del rectángulo, de manera tal que al doblar el papel a lo largo del segmento, dos vértices opuestos del rectángulo quedan superpuestos. Calcular la longitud del segmento trazado. NO VALE MEDIR.

Año 2001 Problema 1: Cintia eligió tres dígitos distintos y distintos de 0, y formó con ellos los seis números de tres cifras distintas. El promedio de estos seis números es un número natural terminado en 5. Hallar los tres dígitos que eligió Cintia. Dar todas las posibilidades. Problema 2: En la Isla Arco Iris, cada habitante tiene uno, dos o tres amigos, y se viste de un color de acuerdo con la cantidad de amigos que tiene: rojo si tiene exactamente un amigo, amarillo si tiene exactamente dos amigos y verde si tiene exactamente tres amigos. Si dos personas son amigas, sus colores son diferentes, y no hay personas vestidas de verde que sean amigas de personas vestidas de amarillo. Un día, 500 personas cambian su ropa verde por ropa roja, 35 personas cambian su ropa amarilla por ropa roja y al mismo tiempo, 300 personas cambian su ropa roja por ropa verde. Como resultado, en la isla cada persona queda vestida del mismo color que sus amigos. Determinar el número de habitantes que tiene la isla. Problema 3: El cuadrilátero ABCD de lados AB, BC, CD y DA tiene AB = CD, 𝐴𝐵̂𝐶 = 100° y 𝐵𝐶̂ 𝐷 = 115°. La mediatriz del lado AD intersecta a la mediatriz del lado BC en el punto M. Calcular la ̂ 𝐶. medida del ángulo 𝐵𝑀 Aclaración: La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento, trazada por su punto medio.

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Año 2002 Problema 1: Un barril contiene una mezcla de jugo de naranja y jugo de uva. Se le agrega al barril un litro de jugo de naranja, y así la proporción de jugo de naranja sobre el total de jugo del barril es 6

igual a . Luego se le agrega al barril un litro de jugo de uva, y ahora la proporción de jugo de 7

5

naranja sobre el total de jugo del barril es igual a . Determinar cuál era la proporción de jugo de 6

naranja sobre el total de jugo del barril antes de realizar las dos operaciones. Problema 2: En un triángulo ABC sea AD la altura trazada desde A. Consideramos el punto E del segmento AD tal que AE = DE, el punto F del segmento BE tal que BF = EF y el punto G del segmento CF tal que CG = FG. Si el área del triángulo ABC es igual a 36, calcular el área del triángulo EFG. Problema 3: En un grupo de chicos, cada uno tiene exactamente un peso en monedas, pero todos tienen distintas cantidades de monedas. Determinar el máximo número de chicos que puede haber en el grupo. Aclaración: Hay seis clases de monedas: de 1 centavo, de 5 centavos, de 10 centavos, de 25 centavos, de 50 centavos y de 1 peso.

Año 2003 Problema 1: Julián y Luciano tienen casillas postales en el mismo correo. En ese correo hay 100 casillas en cada fila, y las casillas están numeradas en forma consecutiva, en la primera fila de 1 a 100, en la segunda fila de 101 a 200, en la tercera fila de 201 a 300, etc. El número de la fila de la casilla de Julián es igual al número de la casilla de Luciano. Además, la suma de los números de las casillas de Julián y Luciano es 3000. Hallar el número de la casilla de Julián. Problema 2: Leandro hizo la lista de todos los números enteros positivos menores que 20022003 que utilizan exclusivamente los dígitos 0, 1, 2 y 3. Calcular cuántos números tiene la lista de Leandro. Aclaración: La lista de Leandro tiene también los números que usan algunos pero no todos los dígitos 0, 1, 2 y 3. Problema 3: Sea ABCD un cuadrilátero convexo de área 21, y O el punto de intersección de sus diagonales, tal que área(ABO) = 7. La paralela a BD trazada por A corta a la paralela a AC trazada por B en M. Calcular área(CDM). Aclaración: Un cuadrilátero es convexo si todos sus ángulos interiores miden menos de 180°.

Año 2004 Problema 1: La ley pirata establece que para repartir las monedas de un tesoro el capitán debe elegir un grupo de piratas y repartir equitativamente las monedas entre los piratas elegidos hasta que no haya suficientes para darle una más a cada uno. Las monedas sobrantes son la parte del capitán. Morgan debe repartir un tesoro con menos de 1000 monedas de oro. Él sabe que si elige 99 piratas se quedará con 51 monedas y si elige 77 piratas le corresponderán sólo 29 monedas. Determinar cuántos piratas debe elegir Morgan para quedarse con la mayor cantidad de monedas respetando la ley pirata, y para esa cantidad de piratas, cuántas monedas le corresponden a Morgan. Aclaración: Los piratas elegidos deben recibir por lo menos una moneda cada uno. Recopilación de Enunciados

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OMA – Regionales – Nivel 1 Problema 2: Nico debe elegir tres números enteros distintos entre 1 y 20 inclusive de modo que al multiplicar los tres números se obtenga un múltiplo de 4. Calcular cuántas maneras tiene Nico de elegir sus tres números. Aclaración: Dos elecciones que tienen los mismos tres números, no importa en qué orden, son iguales. Problema 3: En un trapecio ABCD de base mayor AB, base menor DC y lados no paralelos BC y DA, 1

sea K el punto del lado BC tal que BK = BC. Se traza por K la recta paralela a DA que corta a AB en L. 3

Si BL = CD y el área del trapecio ABCD es 20, calcular el área del triángulo ADL.

Año 2005 Problema 1: Fede hace la lista de todos los enteros positivos de 6 dígitos que tienen la suma de los dígitos igual a 9 y cuatro de sus dígitos son 1, 0, 0, 4. Calcular cuántos números tiene la lista de Fede. Problema 2: Un número natural se dice amigo del 7 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 7. Por ejemplo, 9156 es amigo del 7 porque 9+1+5+6=21 que es un múltiplo de 7, 223 es amigo del 7 porque 2+2+3=7 que es un múltiplo de 7, y 706 no es amigo del 7 pues 7+0+6=13, que no es múltiplo de 7. Hallar el menor número n que es amigo del 7 y tal que el siguiente amigo del 7 sea n + 13, es decir, que n y n + 13 son amigos del 7 pero ninguno de los 12 números n+1, n+2, ..., n+12 es amigo del 7. Problema 3: Sea ABCD un rectángulo de lados AB, BC, CD y DA, y sean K y L los puntos medios de los lados BC y DA, respectivamente. La perpendicular a AK trazada desde B corta a CL en M. Calcular

Área (𝐴𝐵𝐾𝑀) Área (𝐴𝐵𝐶𝐿)

.

Año 2006 Problema 1: En el pizarrón están escritos los enteros positivos de 1 a 999, ordenados de izquierda a derecha en forma creciente. Se borran números mediante el siguiente procedimiento: En la primera etapa, comenzando de la izquierda, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el final de la lista (se borran el 2, el 4, el 6, etc.). En la segunda etapa, comenzando de la derecha, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el principio de la lista. En la tercera etapa, comenzando de la izquierda, se deja un número y se borra el siguiente, hasta el final de la lista. Y así siguiendo, en cada etapa se invierte el orden de la etapa anterior, y comenzando desde el extremo que corresponda se deja un número y se borra el siguiente una y otra vez hasta recorrer todos los números aun no borrados. El proceso se detiene cuando queda un solo número en el pizarrón. Determinar cuál es ese número. Problema 2: En un programa de televisión compiten dos equipos A y B, realizando distintas pruebas. En cada prueba el ganador recibe siempre la misma cantidad de puntos, y el perdedor recibe una cantidad de puntos menor que el ganador, pero también es siempre la misma cantidad. Al cabo de varias pruebas, el equipo A tiene 231 puntos, y el equipo B, que ganó exactamente 3 pruebas tiene 176 puntos. Determinar cuántos puntos reciben el ganador y el perdedor de cada prueba. Aclaración: La cantidad de puntos que recibe cada equipo en cada prueba es un entero positivo.

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OMA – Regionales – Nivel 1 Problema 3: Dos hormigas caminan por los lados de un cuadrado de 35cm de lado. Comienzan a moverse simultáneamente, desde el mismo vértice y en sentidos opuestos. Una hormiga va a 1cm/seg y la otra a 2cm/seg. Calcular la distancia (en línea recta) que separa a las hormigas cuando han transcurrido exactamente 817 segundos desde que salieron.

Año 2007 Problema 1: Sobre una mesa hay cuatro cajas, numeradas de 1 a 4, y cada una de ellas contiene bolitas rojas y bolitas azules. Se sabe que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 1 es mayor que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 3, y que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 2 es mayor que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 4. Se pasan todas las bolitas de la caja 2 a la caja 1 y todas las bolitas de la caja 4 a la caja 3 (las cajas 2 y 4 quedan vacías). Determinar si, en la nueva situación, es posible que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 1 sea menor que la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en la caja 3. Aclaración: Si una caja tiene r bolitas rojas y a bolitas azules, la proporción entre bolitas rojas y bolitas azules en esa caja es el número

𝑟

𝑎

.

Problema 2: Franco hizo la lista de todos los enteros positivos N de cinco dígitos que son múltiplos de 5 y que tienen, simultáneamente las siguientes dos propiedades: • Todos los dígitos de N son impares; •

𝑁 5

también tiene cinco dígitos, y todos los dígitos de

𝑁 5

son impares.

Determinar cuántos números tiene la lista de Franco. Problema 3: Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC y  = 30°. Sea D el punto medio de la base BC. Se consideran un punto P en el segmento AD y un punto Q en el lado AB tales que PB = PQ. Calcular la medida del ángulo 𝑃𝑄̂ 𝐶.

Año 2008 Problema 1: Franco tiene un tablero de 115 x 7, o sea, de 115 filas con 7 casillas cada una. Él debe colocar fichas en las casillas del tablero siguiendo las siguientes reglas: En cada casilla puede colocar una sola ficha. No pueden quedar dos filas idénticas, es decir, no puede haber dos filas que tengan las mismas casillas ocupadas y las mismas casillas vacías. Calcular la máxima cantidad de fichas que puede colocar Franco en su tablero. Problema 2: Al reemplazar n por cada uno de los números naturales desde 1 hasta 2008 en la fórmula 3n – n2 y efectuar las operaciones indicadas se obtienen 2008 números. Los cuatro primeros son 2, 5, 18 y 65 pues 31 – 12 = 2, 32 – 22 = 5, 33 – 32 = 18 y 34 – 42 = 65. Calcular cuántos de los 2008 números obtenidos son múltiplos de 5. Problema 3: Sea ABC un triángulo rectángulo con 𝐴𝐵̂𝐶 = 90°. Se considera el punto D del lado AC tal que CD = AB y el punto E del lado BC tal que DB = DE. Si se sabe que 𝐶𝐴̂𝐵 = 2𝐴𝐵̂𝐷, calcular la ̂ 𝐶. medida del ángulo 𝐸𝐷

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Año 2009 Problema 1: Una empresa maderera obtuvo un contrato para cortar árboles de un bosque, y los ecologistas iniciaron una protesta en su contra. Para evitar las protestas, el gerente de la empresa agregó la siguiente cláusula al contrato: “En el bosque, el 99% del total de árboles son pinos, y la empresa sólo cortará pinos. Cuando se termine el contrato, el 97% del total de árboles del bosque serán pinos.” Determinar qué porcentaje del bosque será cortado por la empresa al cumplirse esta cláusula del contrato.

Problema 2: En una larga tira de papel se escriben los múltiplos de 21, comenzando con 21, sin espacios intermedios. Queda así una secuencia de dígitos que empieza así: 21426384105126147… Hallar la cifra que ocupa la posición 5000 de la secuencia de dígitos y determinar a qué múltiplo de 21 pertenece. (Por ejemplo, la cifra de la posición 15 es 1 y pertenece al 147.)

Problema 3: Sea ABC un triángulo acutángulo. Se considera el punto D del lado AB tal que CD es perpendicular a AB, y el punto E del lado AB tal que CE es la bisectriz del ángulo 𝐴𝐶̂ 𝐷. Sea F el punto del lado BC tal que 𝐵𝐴̂𝐹 = 𝐴𝐶̂ 𝐸, y G el punto de intersección de AF y CE. Si se sabe que el triángulo CFG es equilátero, calcular los ángulos del triángulo ABC.

Año 2010 Problema 1: Distribuir en las casillas del tablero de 4 x 4 los números enteros del 1 al 16, sin repetir, de manera que en todos los cuadrados de 2 x 2 (formados con 4 casillas del tablero que tienen un vértice común) la suma de los 4 números sea la misma.

Problema 2: Pablo escribió la lista de todos los números naturales capicúas de 5 dígitos que son múltiplos de 11. Calcular cuántos números tiene la lista de Pablo.

Problema 3: Sea ABC un triángulo con 𝐶̂ = 90°, de perímetro igual a 30. Sean P en el lado AB tal que CP es perpendicular a AB; Q en el segmento AP tal que CQ es bisectriz del ángulo 𝐴𝐶̂ 𝑃 y R en el segmento BP tal que CR es bisectriz del ángulo 𝐵𝐶̂ 𝑃. Si QR = 4, calcular la longitud del lado AB.

Año 2011 Problema 1: Un número claro es un entero positivo de 10 dígitos o menos en el que el primer dígito de la izquierda cuenta cuantos ceros tiene el número, el segundo dígito cuenta cuantos unos tiene el número, el tercero cuenta cuantos dos tiene el número, y así siguiendo. Por ejemplo 42101000 es claro. Hallar los tres números claros más pequeños y justificar que son los más pequeños.

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OMA – Regionales – Nivel 1 Problema 2: Un polígono regular de 2000 lados tiene sus vértices numerados del 1 al 2000 en el sentido de las agujas del reloj. Un grillo realiza sucesivos saltos entre vértices: Si el número del que sale no es una potencia de 3, salta en el sentido de las agujas del reloj por encima de 4 vértices consecutivos y cae en el quinto (por ejemplo, si está en el vértice 53 salta hasta el vértice 58), y si el número del vértice del que sale es una potencia de 3, salta en contra del sentido del reloj dos vértices y cae en el tercero (por ejemplo, si está en el vértice 27 = 33, retrocede hasta el vértice 24). Si el grillo inicia su viaje en el vértice con el número 4, decidir si puede, mediante saltos sucesivos, llegar al vértice a) v = 1000. b) v = 201. Si la respuesta es sí, hallar la cantidad de saltos que debe dar el grillo para llegar por primera vez al vértice v y si la respuesta es no, explicar por qué. Nota: Las potencias de 3 son 30 = 1, 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, etc.

Problema 3: Sea ABC un triángulo equilátero y P un punto interior tal que 𝑃𝐴̂𝐶 = 2𝑃𝐵̂𝐴 y 𝑃𝐶̂ 𝐵 = 3𝑃𝐵̂𝐴. Calcular la medida de los ángulos 𝑃𝐴̂𝐵 y 𝑃𝐶̂ 𝐵.

Año 2012 Problema 1: Hay 21 lámparas dispuestas en forma de triángulo equilátero de lado 6, como se muestra en la figura.

Al comienzo están todas apagadas. La operación permitida es cambiar el estado de tres lámparas que sean vecinas dos a dos, esto es, de las tres lámparas, las que están encendidas se apagan y las que están apagadas se encienden. Dar una secuencia de pasos con la que se logre que las 15 lámparas queden encendidas. Aclaración: A, B, C son vecinas dos a dos si A y B son vecinas, B y C son vecinas y C y A son vecinas.

Problema 2: El pirata Morgan tiene 14 monedas de plata, 15 de oro y 16 de bronce, y su amigo Bill tiene 16 monedas de plata, 15 de oro y 14 de bronce. Cada día ellos intercambian monedas de acuerdo con la siguiente regla: uno de los piratas le entrega al otro 2 monedas del mismo metal y recibe del otro 2 monedas, una de cada uno de los otros dos metales. Cierto día, Bill se queda sin monedas de oro. Hallar la cantidad de monedas de bronce que puede tener Bill en ese momento. Dar todas las posibilidades.

Problema 3: Se tiene un polígono regular 𝒫 de n lados. Sean A, B, C, D y E cinco vértices ̂𝐷 = 150°. consecutivos de 𝒫. Las rectas AB y DE se cortan en K, de modo que 𝐵𝐾 Calcular la cantidad n de lados del polígono 𝒫.

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Año 2013 Problema 1: En la figura, el lado menor del rectángulo gris mide 8. Alrededor hay un marco formado por cuadrados de dos tamaños diferentes. Calcular la medida de los lados de los cuadrados y el área del rectángulo gris. Observación: El lado mayor del rectángulo gris es igual a 6 veces el lado del cuadradito más chico.

Problema 2: Sobre una recta hay marcado un punto P. Un grillo salta sobre la recta, alternadamente hacia la derecha y hacia la izquierda de P, de acuerdo con las siguientes reglas: Si el grillo se encuentra a una distancia d menor que un metro de P, al cabo de su siguiente salto estará sobre la recta al doble de esa distancia de P, o sea a 2d metros de P, pero en el lado opuesto. Si el grillo se encuentra a una distancia d mayor que 1 de P, al cabo de su siguiente salto estará sobre la recta a una distancia igual a

1 𝑑

metros, pero en el lado opuesto.

Si después de 5 saltos el grillo se encuentra a la derecha de P, a

4 5

metros de P, hallar todas las

posibles secuencias de saltos con las que el grillo puede haber llegado a esa posición.

Problema 3: El triángulo isósceles ABC tiene AB = AC y 𝐵𝐴̂𝐶 = 20°. Sea D el punto del lado AB tal que AD = BC. Sea E en la recta BC tal que CE = CA, con B entre C y E, y sea F tal que ACEF es un ̂ 𝐸 y 𝐸𝐷 ̂ 𝐶. rombo de lados AC, CE, EF y FA. Calcular la medida de los ángulos 𝐹𝐷

Año 2014 Problema 1: La figura muestra una estrella mágica en la que cada circulito debe contener un número primo positivo, sin repeticiones, de modo que la suma de los primos en los cuatro circulitos de cada línea recta sea la misma. Hay cinco de los primos que ya están colocados en su sitio, y entre ellos están el mayor y el menor de los 12 primos. Completar el resto de los circulitos.

29

67 73

41

47

Problema 2: Se tienen 10 números enteros positivos entre los que puede haber repetidos. Al sumar 9 de ellos de las 10 maneras posibles sólo obtenemos 9 valores distintos (uno se repite): 86, 87, 88, 89, 90, 91, 93, 94, 95. Hallar los 10 números.

Problema 3: Sean A, B, C, D, E, F y G siete vértices consecutivos de un polígono regular de 15 lados. Las diagonales AE y CG se cortan en P. Calcular la medida del ángulo 𝐴𝑃̂ 𝐺.

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Año 2015 Problema 1: En una olimpíada de matemática había que completar las casillas del tablero de la figura con cuatro números naturales de modo que el resultado de multiplicar los cuatro números fuera igual a 100. Todos los participantes completaron el tablero de manera diferente. Determinar el máximo número de participantes que pudo haber en la olimpíada. ACLARACIONES: 1) Dos tableros con los mismos números en distinto orden son distintos. 2) El tablero puede tener números repetidos. Problema 2: Inicialmente, en el pizarrón, está escrito el número 1. Hay dos operaciones permitidas que pueden elegirse a voluntad. a) Escribir debajo del último número escrito, ese número multiplicado por 2. b) Escribir debajo del último número escrito, ese número cambiándole el orden a sus dígitos. No está permitido que el nuevo número comience con el dígito 0. Decidir si es posible, después de aplicar varias veces operaciones permitidas, obtener: i) el número 109 = 1000000000; ii) el número 9876543210. En caso afirmativo, dar la sucesión de operaciones y en caso negativo, explicar por qué es imposible. Problema 3: Sean A, B, C, D, E y F seis vértices consecutivos de un polígono regular de 20 lados todos de longitud 1. Sean BCPQ un cuadrado de lado 1 y DERST un pentágono regular de lado 1, con P, Q, R, S, T en el interior del polígono de 20 lados. Determinar si T pertenece a la recta que pasa por D y P. ACLARACIÓN: Los lados del cuadrado son BC, CP, PQ y QB y los lados del pentágono son DE, ER, RS, ST y TD.

Año 2016 Problema 1: Bruno y Mateo comenzaron a trabajar el 1 de enero de 2016. Bruno siempre trabaja 3 días consecutivos y descansa el día siguiente. Mateo trabaja 7 días consecutivos y descansa los siguientes 3 días. Determinar en qué día del año 2020 tendrán su primer día libre en común. Nota. El año 2016 es bisiesto. Problema 2: Se tiene un tablero cuadriculado infinito en todas las direcciones. Ana elige un entero positivo x menor que 9 y Beto debe colorear las casillas del tablero de blanco o de negro de modo que cada casilla negra tenga exactamente x casillas vecinas negras y cada casilla blanca tenga exactamente x casillas vecinas blancas. Determinar qué números debe elegir Ana para que Beto pueda efectuar este coloreo. (Dos casillas son vecinas si tienen un lado o un vértice en común.) Para cada valor de x, si el coloreo es posible, dar una coloración y si no es posible, explicar por qué. Problema 3: Sea ABCD un cuadrado de diagonales AC = BD = 68. Los puntos L y M en la diagonal AC son tales que AL = MC = 17, y K es el punto medio de AB. Calcular la fracción

á𝑟𝑒𝑎 (𝐾𝐿𝐷𝑀) á𝑟𝑒𝑎 (𝐴𝐵𝐶𝐷)

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Año 2017 Problema 1: En una hoja hay marcados 100 puntos en dos líneas horizontales, como se muestra en la figura. En cada horizontal, la distancia entre dos puntos vecinos es igual a 1. LA distancia entre los dos puntos de cada vertical también es igual a 1. Se deben elegir tres puntos marcados de modo que el triángulo que forman sea isósceles. Determinar de cuántas maneras se puede hacer la elección

------------------50

Problema 2: En cada casilla de un tablero de 4 filas y k columnas hay escrito un número entero positivo. En cada columna la suma de los 4 números es igual a 30. Los k números de cada fila son distintos. Hallar el máximo número posible k de columnas que puede tener el tablero. Dar un tablero con esa cantidad de columnas y explicar por qué no puede tener más columnas. Problema 3: Sean ABCDEF un hexágono regular y P el punto medio del lado AB. El segmento PE corta a la diagonal CF en Q y el segmento PD corta a la diagonal CF en R. Calcular

á𝑟𝑒𝑎 (𝐷𝐸𝑄𝑅) . á𝑟𝑒𝑎 (𝐹𝑃𝑄)

Año 2018 Problema 1: Con los 20 números enteros comprendidos entre 1 y 20 inclusive, y sin repeticiones, hay que formar la mayor cantidad posible de fracciones de modo que el resultado de la suma de todas esas fracciones sea un número entero. Aclaración: Las fracciones son los números

𝑎 𝑏

con a y b enteros, y b ≠ 0. Cada fracción usa

exactamente dos números, uno en el numerador y otro en el denominador. Problema 2: Se escriben en una fila todos los números enteros desde 1 hasta 30000: 1234567891011121314…299982999930000. Determinar cuántas veces aparece el número 2018 en la sucesión de números escritos, o sea, cuántas veces aparecen el 2, el 0, el 1 y el 8 en forma consecutiva. Problema 3: Sean A y B puntos en una circunferencia de centro O tales que 𝐴𝑂̂𝐵 = 90°. La ̂ en K, y los segmentos AB y perpendicular a AO trazada por su punto medio corta al menor arco 𝐴𝐵 KO se cortan en L. Calcular la medida de los ángulos del triángulo BKL.

Recopilación de Enunciados

OMA – Regionales – Nivel 1

Profesor Walter Oscar Rosello

11

OMA – Regionales – Nivel 1

Respuestas – OMA – Regionales – Nivel 1 Referencias: Año: Año en el cuál se tomó el problema. Debajo figura un número romano que corresponde al número que le asignó OMA ese año a la competencia correspondiente. Problema: El número del problema. Debajo entre paréntesis se ve el código con el cual figura el problema en el libro publicado por OMA. Sugerencia: Es una ayuda previa a la solución, en donde se sugiere algún procedimiento, contenido o teoría que puede resultar útil para hallar la respuesta correcta. Libro/Página: Es el número del libro y la/s página/a en donde figura la solución detallada del problema. Columna en blanco: Esta columna está pensada para que, luego de imprimir la página, se coloque adhesivo y se pegue una pequeña hoja en blanco que oculte las respuestas, de modo que queden visibles solamente las columnas previas. La idea es no tentarse y observar rápidamente la solución, sino ver las sugerencias y tratar de resolver. Bastara con doblar la pequeña hojita colocada para visualizar finalmente las respuestas correspondientes. Respuestas y Observaciones: Aquí figura la respuesta del problema y, en algunos casos, alguna pequeña observación. No se detalla el procedimiento completo para acceder a la solución. Si se desea acceder a él hay que remitirse al libro y la/s página/s correspondiente/s. Hay algunos problemas, como por ejemplo aquellos en donde se pide realizar alguna demostración, en los que se hace imposible escribir una respuesta resumida. En ese caso, figurará la leyenda “Ver libro” y hay que remitirse al libro indicado. Año Problema Sugerencia Libro/Pág. Respuestas y Observaciones Armar una tabla. Valor de

Problema 1 la compra entre $11 y $19 y los restos de cada uno al (VII-117)

Nº 7/Pág. 50 a 52.

pagar con $20 y con $50.

El librero tiene por lo menos 11 billetes: dos de $20, dos de $5 y siete de $2. 23

20

1995 XII

Problema 2 (VII-118)

Expresar el número 3505 como sumas de potencias de 2. Recordar que 20 = 1.

Nº 7/Pág. 52 y 53.

27

24

27

Problema 3 (VII-119)

Triángulo rectángulo y equilátero. Teorema de Pitágoras. Área de triángulos de igual base y altura.

Descomposición

1996 XIII

Problema 1 polinómica de un número. (XIV-113) Ecuaciones.

Nº 7/Pág. 53 y 54.

Nº 8/Pág. 52.

Área (ABCD) = 1+2+3 = 6 1+2+4 = 7 1+2+5 = 8 1+2+6 = 9 1+3+6 = 10

23

210 27 24

211

√3+1 2

1+4+6 = 11 1+5+6 = 12 2+5+6 = 13 3+5+6 = 14 4+5+6 = 15

10 resultados diferentes. Problema 2 Triángulos congruentes. (XIV-114) Teorema de Pitágoras. Problema 3 Ecuaciones. (XIV-115)

Recopilación de Enunciados

Nº 8/Pág. 53. Nº 8/Pág. 54.

OMA – Regionales – Nivel 1

Área del cuadrilátero ABED = 186 Sí, es posible. Son 16 varones. Profesor Walter Oscar Rosello

12

OMA – Regionales – Nivel 1

Respuestas – OMA – Regionales – Nivel 1 Año

Problema Sugerencia Problema 1 (XV-117) Problema 2 Dibujar un paralelogramo ABPC y sus diagonales. (XV-122)

Libro/Pág. Nº 9/Pág. 54 y 55. Nº 9/Pág. 61 y 62.

̅̅̅̅ 𝐵𝐶 = 98.

Nº 9/Pág. 62 y 63.

Sí, es posible. Los cinco números naturales pertenecientes al conjunto pueden ser los siguientes: 1.2520 = 2520. 4.2520 = 10080. 2.2520 = 5040. 5.2520 = 12600. 3.2520 = 7560.

1997 XIV Problema 3 Ecuaciones. (XV-123)

Problema 1 (XVI-111) Problema 2 1998 (XVI-116) XV Problema 3 (XVI-115)

Problema 1 (XVII-114) 1999 XVI

Problema 2 (XVII-115) Problema 3 (XVII-116)

Problema 1 (XVIII-121)

Construir una tabla de 100 en 100 para contar. Trazar DE paralela a CB. Ángulos Entre Paralelas.

Nº 10/Pág. 46 a 48. Nº 10/Pág. 53. Nº 10/Pág. 51 y 52.

En la 1era fila y la 1era columna, la celda superior izquierda es compartida. Llamando z al valor de la última celda de la 1era fila: z.1 = 9.5. Se sigue con un análisis similar para completar las otras celdas. También se puede descomponer en factores primos. Los números que tienen resto 5 en la división por 12 y además son meno-res que 10000, son: 12k + 5 < 10000. Calcular la medida del apotema del hexágono. Llamar x al número escrito en la última casilla. Tratar de ver de qué número es divisor x.

2000 XVII Problema 2 Descomposición en (XVIII-122) factores primos. Problema 3 Cuadriláteros. (XVIII-123) Teorema de Pitágoras.

Recopilación de Enunciados

Respuestas y Observaciones Los números que no figuran en ninguna lista son 71.

a = 863. ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 53. Sí y hay muchas maneras de organizar el camino. (Ver dos ejemplos en el libro).

Nº 11/Pág. 58 a 60.

75

9

5

1

15

225

45

25

3

Nº 11/Pág. 60 a 62.

100 números N tienen resto 5 en la división por 12.

Nº 11/Pág. 62 y 63.

Área región roja visible: 6 − 2√3.

Nº 12/Pág. 61.

Nº 12/Pág. 61 a 63. Nº 12/Pág. 63 y 64.

OMA – Regionales – Nivel 1

9

3

4

8

6

5

7

2

1

8

1

9

6

4

7

5

2

3

9

1

2

6

3

7

4

8

5

5

1

6

2

7

3

8

4

9

32 pares de números (a , b). La longitud del segmento trazado es

45 4

.

Profesor Walter Oscar Rosello

13

OMA – Regionales – Nivel 1

Respuestas – OMA – Regionales – Nivel 1 Año

Problema

Sugerencia Expresar el promedio como

Problema 1 una ecuación. Descompo(XIX-118) sición polinómica. 2001 Problema 2 (XIX-119) XVIII

Libro/Pág. Nº 13/Pág. 55 y 56. Nº 13/Pág. 56 y 57.

Respuestas y Observaciones Son 8 posibilidades: 1, 5 y 9; 1, 6 y 8; 2, 4 y 9; 2, 5 y 8; 2, 6 y 7; 3, 4 y 8; 3, 5 y 7; 4, 5 y 6. Los habitantes son: 35 + 1870 + 600 = 2505.

Todo punto de mediatriz

Problema 3 de un segmento equidista (XIX-120) de sus extremos. Triángu-

Nº 13/Pág. 57 y 58.

̂ 𝐶 = 35°. 𝐵𝑀

los congruentes.

Problema 1 Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. (XX-120)

Nº 14/Pág. 58 y 59.

El barril inicialmente tenía 5 litros de uva y 29 litros de naranja. Entonces, la proporción de jugo de naranja sobre el total es: 29

2002 Fórmula de área de XIX Problema 2 triángulos. Aparecen triángulos con (XX-121) Problema 3 (XX-122)

igual altura y área. Pensar en las distintas posibilidades según la cantidad de monedas: 1 moneda, 2 monedas, etc.

Problema 1 Descomposición polinómica. Ecuaciones. (XXI-110)

5+29

=

29 34

.

Nº 14/Pág. 59 y 60.

Área del triángulo EFG = 4,5.

Nº 14/Pág. 60 a 62.

El máximo número de chicos que puede haber en el grupo es 88.

Nº 15/Pág. 41 y 42.

El número de la casilla de Julián es 2970.

Nº 15/Pág. 45 y 46.

La lista de Leandro tiene 33410 números.

Nº 15/Pág. 46.

Área (CDM) = 14.

Nº 16/Pág. 49 a 51.

Número de monedas = 645. Piratas que debe elegir = 323. Si dividimos 645:323, el cociente es 1 y el resto 322. Es decir: 645 = 323.1 + 322. Esto significa que le corresponde 1 moneda a cada pirata y 322 monedas a Morgan.

Nº 16/Pág. 60 y 61.

Nico tiene 795 maneras de elegir sus tres números.

Nº 16/Pág. 61 a 63.

Área del triángulo (ADL) = 12.

Si el número es abcdefgh,

2003 Problema 2 analizarlo comenzando con XX los posibles valores de a, b (XXI-114) Problema 3 (XXI-115)

Problema 1 (XXII-115)

2004 XXI Problema 2 (XXII-124)

Problema 3 (XXII-125)

y c. Combinatoria. Descomponer el triángulo CDM en tres triángulos.

Llamar n a la cantidad de monedas y armar un sistema de ecuaciones con los datos suministrados. Utilizar inecuaciones.

Dividir en tres casos: Los tres números son pares, los números son dos pares y uno impar, los números son un múltiplo de 4 y dos impares. Combinatoria. Ángulos entre paralelas. Ángulos opuestos por el vértice y adyacentes. Paralelogramo.

Recopilación de Enunciados

OMA – Regionales – Nivel 1

Profesor Walter Oscar Rosello

14

OMA – Regionales – Nivel 1

Respuestas – OMA – Regionales – Nivel 1 Año

Problema Sugerencia Problema 1 Combinatoria. (XXIII-124) 2005 Problema 2 XXII (XXIII-125) Problema 3 Triángulos de igual base y (XXIII-126) altura tienen igual área. Problema 1 (XXIV-121) 2006 Problema 2 XXIII (XXIV-122)

Analizar etapa por etapa y observar los números que van quedando. Llamar x a la cantidad de pruebas que perdió el equipo B. Armar una ecuación. Hacer un esquema de la

Problema 3 situación. Teorema de (XXIV-123) Pitágoras. Problema 1 (XXV-121)

Hay muchísimos ejemplos en donde se observa que es posible. Organizar los datos en una tabla.

2007 XXIV Problema 2 N = abcde. Observar los valores posibles para cada (XXV-122) letra. Problema 3 Triángulos isósceles. SAI de (XXV-123) un triángulo. Problema 1 (XXVI-122)

2008 Problema 2 XXV (XXVI-123)

Problema 3 (XXVI-124)

Contar las filas por separado para 7, 6, 5, 4, 3, 2 y 1 fichas. Combinatoria. Criterio de divisibilidad del 5. Buscar una regularidad en el último dígito de las potencias de 3 y de los cuadrados. Armar una tabla para organizar los datos y buscar un ciclo o período. Ángulo exterior de un triángulo. Triángulo isósceles. Triángulos congruentes. Ecuación.

Problema 1 Ecuaciones. (XXVII-124) 2009 Problema 2 XXVI (XXVII-125) Problema 3 Ángulo exterior. Triángulo (XXVII-126) rectángulo isósceles. SAI. Recopilación de Enunciados

Libro/Pág. Nº 17/Pág. 59 y 60. Nº 17/Pág. 61 y 62. Nº 17/Pág. 62 y 63.

Respuestas y Observaciones La lista de Fede tiene 270 números. n = 993 es el menor número con las propiedades del enunciado. Área (𝐴𝐵𝐾𝑀) Área (𝐴𝐵𝐶𝐿)

=

2 3

Nº 18/Pág. 62 y 63.

El número es 675.

Nº 18/Pág. 63 y 64.

11 Pruebas: A ganó 8 y perdió 3; B perdió 8 y ganó 3. Ganador: 24 puntos. Perdedor: 13 puntos.

Nº 18/Pág. 65.

Distancia que separa a las hormigas = 37cm.

Nº 19/Pág. 62 y 63.

Caja Roja Azul 1 7 15 3 5 10 Si es posible. Ver libro.

Nº 19/Pág. 63 y 64.

La lista de Franco tiene 34 = 81 números.

Nº 19/Pág. 64 y 65.

𝑃𝑄̂ 𝐶 = 15°.

Nº 20/Pág. 58 y 59.

La máxima cantidad de fichas que puede colocar Franco en su tablero es 431. (7 + 42 + 105 + 140 + 105 + 32).

Nº 20/Pág. 59 a 61.

402 son múltiplos de 5 (4.100 + 2).

Nº 20/Pág. 61 y 62.

̂ 𝐶 = 22° 30’. 𝐸𝐷

Nº 21/Pág. 63. Nº 21/Pág. 64. Nº 21/Pág. 64 y 65.

OMA – Regionales – Nivel 1

Prop. 7/15 ½

El cumplirse la cláusula del contrato será cortado el 66,6% del bosque. La cifra que ocupa la posición 5000 es 3. 𝐴𝐵̂𝐶 = 45°; 𝐵𝐴̂𝐶 = 60°; 𝐴𝐶̂ 𝐵 = 75°. Profesor Walter Oscar Rosello

15

OMA – Regionales – Nivel 1

Respuestas – OMA – Regionales – Nivel 1 Año

Problema

Sugerencia

Libro/Pág.

Problema 1 (XXVIII-122)

Sumar todos los números y dividir en 4 para saber cuál es el resultado de la suma de los cuadrados de 2 x 2. Hay muchas distribuciones posibles.

Nº 22/Pág. 57 y 58.

Problema 2 Criterio de divisibilidad del (XXVIII-123) 11. Inecuaciones.

Nº 22/Pág. 58 a 60.

La lista de Pablo tiene 82 números.

Nº 22/Pág. 60 y 61.

̅̅̅̅ 𝐴𝐵 = 13.

Nº 23/Pág. 58 a 60.

Los tres números claros más pequeños son 1210, 2020 y 21200.

Nº 23/Pág. 60 y 61.

a) Llega al vértice 1000 dando 204 saltos. b) No puede nunca pisar el vértice 201. (Ver demostración en libro).

Nº 23/Pág. 62.

𝑃𝐴̂𝐵 = 30° y 𝑃𝐶̂ 𝐵 = 45°.

Nº 24/Pág. 56 y 57.

No hay una única manera de resolverlo. Ver libro. Cantidad de monedas de bronce que puede tener Bill: 17, 20, 23, 26 y 29.

2010 XXVII

Ángulo exterior de un

Problema 3 triángulo. Triángulo (XXVIII-124) isósceles. SAI de triángulos. Analizar por separado

Problema 1 según la cantidad de (XXIX-123) términos del número. 2011 Problema 2 XXVIII (XXIX-124)

Problema 3 (XXIX-125) Problema 1 (XXX-122)

Analizar ambos casos haciendo una lista de los números de vértices en donde va cayendo el sapo y buscando alguna regularidad. SAI de un triángulo. Triángulo equilátero. Triángulos congruentes. Se pueden seleccionar las lámparas más de una vez.

2012 Problema 2 Ecuaciones e inecuaciones. XXIX (XXX-123) Congruencia módulo 3. Ecuaciones. SAI de un

Problema 3 cuadrilátero. SAE de un (XXX-124) polígono. Llamar a y b a los lados de

Problema 1 los cuadrados. (XXXI-119) Ecuaciones.

Nº 24/Pág. 57 y 58. Nº 24/Pág. 58 y 59.

Nº 25/Pág. 51 y 52.

2013 Problema 2 Ecuaciones e inecuaciones. XXX (XXXI-120)

Nº 25/Pág. 52 a 56.

Triángulos isósceles. En el rombo las diagonales se cortan perpendicularmente. Triángulos iguales. Triángulo equilátero. SAI de un triángulo.

Nº 25/Pág. 56 y 57.

Problema 3 (XXXI-121)

Recopilación de Enunciados

OMA – Regionales – Nivel 1

Respuestas y Observaciones La suma es 34. Por ejemplo: 8 14 4 10 11

1

15

5

6

16

2

12

9

3

13

7

Cantidad n de lados del polígono 𝒫 es 36. El lado de los cuadrados pequeños mide 1,6; el lado de los cuadrados grandes mide 2,4. El área del rectángulo gris es: 1,6x6x8 = 76,8. Hay 6 posibles secuencias de saltos en con las que el grillo puede haber llegado a esa posición.

̂ 𝐸 = 60° y 𝐸𝐷 ̂ 𝐶 = 70°. 𝐹𝐷

Profesor Walter Oscar Rosello

16

OMA – Regionales – Nivel 1

Respuestas – OMA – Regionales – Nivel 1 Año

Problema

Sugerencia

Libro/Pág.

Respuestas y Observaciones 29

Problema 1 (XXXII-119) 2014 XXXI

Buscar todos los números primos que hay entre 29 y 73 que son el menor y el mayor primo, según el enunciado del problema.

53

Nº 26/Pág. 51 a 53.

61

31 71

73

59 67

41

43

47

37

Problema 2 Ecuaciones. (XXXII-120)

Nº 26/Pág. 53.

Los 10 números son: 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 13, 14.

Nº 26/Pág. 54 y 55.

𝐴𝑃̂𝐺 = 132°.

Nº 27/Pág. 49 y 50.

La cantidad máxima de participantes es 100.

Para demostrar que el ii) no es posible, se puede pensar el problema en sentido contrario, o sea, ir de 9876543210 a 1, solo que invirtiendo la operación: a) dividir por 2. Todos los números que se obtienen son múltiplos de 9, y 1 no lo es.

Nº 27/Pág. 50 y 51.

i) Si es posible. La secuencia es 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 125 (reordenándolo), 250, 500, 1000 = 103. Y repetimos el proceso con 1000, 2000, 4000, 8000, 16000, 32000, 64000, 128000, 256000, 512000, 125000 (reordenándolo), 250000, 500000, 1000000 = 106. Nuevamente repetimos lo mismo con un millón, hasta llegar a 109. ii) No es posible.

Ángulo interior de un polígono regular. Si se ̂𝑇 = demuestra que 𝐶𝐷 ̂ 𝑃, queda demostrado 𝐶𝐷 que T pertenece a DP.

Nº 27/Pág. 52 y 53.

Ángulo interior de un

Problema 3 polígono regular. SAI de un (XXXII-121) polígono. Potencias de 2 y de 5.

Problema 1 Ecuaciones. Propiedades (XXXIII-114) de las potencias.

Problema 2 2015 (XXXIII-115) XXXII

Problema 3 (XXXIII-117)

Problema 1 Múltiplos de 4 y de 10.

demostrado que T sí pertenece a DP. (Ver libro). 7 de enero de 2020.

Hacer dibujos que ilustren

Es posible con x = {2, 3, 4, 5} No es posible con x = {1, 6, 7, 8}

Triángulo isósceles.

á𝑟𝑒𝑎 (𝐾𝐿𝐷𝑀)

2016 Problema 2 la situación. XXXIII

̂ 𝑇 = 𝐶𝐷 ̂ 𝑃 = 54°, entonces queda 𝐶𝐷

Problema 3 Cuadrilátero de diagonales perpendiculares.

2017 Problema 1 Progresiones aritméticas. XXXIV

Recopilación de Enunciados

OMA – Regionales – Nivel 1

á𝑟𝑒𝑎 (𝐴𝐵𝐶𝐷)

=

3 . 8

La elección se puede hacer de 1396 maneras.

Profesor Walter Oscar Rosello

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OMA – Regionales – Nivel 1

Respuestas – OMA – Regionales – Nivel 1 Año

Problema

Sugerencia

Problema 2

Inecuaciones. Suma de los n primeros números naturales.

2017 XXXIV

Problema 3

Problema 1

2018 XXXV

Problema 2

Problema 3

Libro/Pág.

Respuestas y Observaciones El máximo número posible de k es 14. Un ejemplo de un tablero con 4 filas y k = 14 columnas es: 1 1 14 14

Mediana de un triángulo. Área de un triángulo y un trapecio. Teorema de Pitágoras. Primero observar que es conveniente colocar los números más pequeños en el denominador. Ver que para algunos casos hay una única posibilidad de combinarlos. Analizar los restos en las divisiones de los números primos. A partir de 2018, ir analizando qué sucede cuando las cifras se van corriendo de lugar. Por ejemplo: 1820, 8201, etc. Trazar AK. Triángulos congruentes. Triángulo equilátero e isósceles. SAI.

Recopilación de Enunciados

OMA – Regionales – Nivel 1

2 2 13 13

3 3 12 12

4 4 11 11

5 5 10 10

6 6 9 9

7 7 8 8

8 8 7 7

9 9 6 6

10 10 5 5

11 11 4 4

12 12 3 3

13 13 2 2

14 14 1 1

á𝑟𝑒𝑎 (𝐷𝐸𝑄𝑅) = 2. á𝑟𝑒𝑎 (𝐹𝑃𝑄)

Es posible formar 10 fracciones. Hay muchos ejemplos, uno de 11 17 13 12 15 19 ellos puede ser: , , , , , , 14 16 18 20

1

2

3

4

5

6

, 8 , 9 , 10; en este caso, la suma de todas las fracciones es 41. 7

El número 2018 aparece 25 veces en la sucesión de números escritos. La medida de los ángulos del ̂𝐵 = 𝐾𝐿̂𝐵 = triángulo BKL son: 𝐿𝐾 75° y 𝐾𝐵̂𝐿 = 30°.

Profesor Walter Oscar Rosello

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