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CAPITULO VIII

ANGULOS

8.1 DEFINICIONES. ANGULO ENTRE RECTAS QUE SE CRUZAN: El ánguloentre dos rectasque se cruz~mse define comoel ángulo determinado por una de las rectasy una paralelaa la otra que corte a la primera. . Paraver este ángulo en verdaderamagnitudes neces8fiolograr una vista en que lu dos rectasestén en verdaderamagnitud. ANGULO ENTRE DOS PLANOS: VISTA DE Uamadotambién ángulo diedro. Es CANTO DEL PLANO "p. . el ángulo formado por las interseccionesde los dos planos dados con uno cortante perpendicular a la recta de intersección de estos dos planos. VIST A DE CANTO DEL En la figura 8.1(a) se muestra una PLANO "a" vistaen el espaciodel ángulo diedro formadopor los planos P y Q Yen la X figura 8.1(b) se muestra al plano (a) (b) cortante X en verdadera magnitud. Figura 8.1 En esta vista los planos P y Q caen ;

decanto.

-

ANGULO ENTRE UNA RECTA V UN PLANO:. Se define como el ángulo que forma la recta con su proyección sobre el plano dado. Ver figura 8.1(e) Figura

8. 1(e)

,. PAGINA 223

GEOMETRIA ceSCRlPTIVA

8.2 ANGULa ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN: PRIMER METODO: Sean las rectas que se cruzan AS y CO. Para determinar el ángulo entre estas dos rectas, es necesario que ambas se proyecten en verdadera magnitud. Como primer paso, se toma la verdadera H magnitud y la vista de punta de F CO (en las vistas 1 y 2 respec-

-

tivamente)

.

Cualquier vista que se tome a partir de la vista de punta, dará la verdadera magnitud de CO. Luego, se toma una vista 3 paralela a A282 y aquí las dos rectas estarán en verdadera magnitud, obteniendose el ángulo buscado.

A3

Figura 8.2

SEGUNDO METODO: En la figura 8.3 se han tomado dos rectas, MN y XY. Para hallar el ángulo entre estas rectas, se traza por M una paralela a XY, limitandose el plano MNP. Por definición el ángulo formado. por las rectas dadas es también el ángulo formado . por MP y MN el cual estará en verdadera magnitud, cuando el plano MNP se proyecte del mismo modo.

XH

-HF

N2

.

. XF

Figura 8.3 PAGINA 224

""""

CAPITULO VIII: ANGULOS

,

8.3 ANGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO:

PRIMER METODO: METODO DEL PLANO. Para poder obse'rvar el ángulo de una recta con un plano en su verdadera magnitud, es necesario obtener una vista que proyecte la vista de canto del plano y la verdadera magnitud de la recta. Solamente en esta vista se observará el ángulo en verdadera

magnitud.

,

Sea ASC el plano y 'X:'(la recta. Con el objeto de determinar la vista mencionada deberá tomarse primeramente, la vista de canto del plano y luego la verdadera magnitud (vistas 1 y 2 respectivamente). Cualquier vista auxiliar que se tome a partir de la verdadera magnitud de un plano dará una vista de canto. Luego, se toma la vista 3 paralela a X2Y2,obteniéndose en esta forma I'avista de canto del plano y la verdadera magnitud dela recta, es decir, se tiene el ángulo

buscado.

.

213 A3

C3

Y3 .

H F

AF

Figura 8.4

PAGINA 225

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

SEGUNDO METODO: METODO DE LA RECTA. Consiste en llegar a la vista que muestre el plano de canto y la recta en verdadera

magnitudpor medio del siguienteprocedimiento. . . .S~aASC'el plano y x:f la recta. Se toma una vista l' que muestrela verdadera magnitud de la recta y una vista 2 donde se proyecte de punta. Para determinar la posición de la vista 3 se toma en la vista 1, una recta S1H1contenida en el plano ASC y.paralela a la vista 1-2, de tal manera que B2H2estará en verdadera magnitud y así en la vista 3, SH estará de punta y por lo tanto el plano ASC $e proyectará de,canto. ~or otro lado como en la vista 2 la recta x:f estaba de punta, se proyectará en verdadera magnitud en la vista 3, tográndose en esta forma la vista deseada.

BH

H F ,

A3

8}

Figura 8.5

PAGINA 226

CAPITULO

VIII: ANGULOS

TERCER METODO: METODO DEL ANGULO COMPLEMENTARIO. Si desde un punto de la recta se traza una perpendicular al plano. ésta hará con la recta

dada un ángulo que es el complemento del

ángulo que forman la recta y el plano. . Entonces, si se tiene el plano ASC y la recta XV que se muestran, se traza por X una perpen-

dicular al plano, de acuerdo a los mé!odos ya conocidos. Sea XZ esta perpendicular. Los segmentos XVy XZ forman un plano. que

se proyecta de canto y luego en verdadera magnitud. En esta última vista se apreciará el ángulo que forman entre sí dichos segmentos. Hallandoel complemento. se tendrá el ángulo que forman recta y el plano.

\-\'\ BH

X2

-HF Z2

Figura 8.6

PAGINA22T

GEOMETRIA DESCRIPTIVA.

8.4 ANGULO ENTRE DOS PLANOS: CASO A: SE CONOCE LA RECTA DE INTERSECCION. Sean los planos ASC y ASD que se cortan según la recta AS. Se proyecta a AS en verdadera magnitud y luego de punta. En esta última vista los dos planos se proyectarán de canto y por lo tanto tendremos la verdadera magnitud del ángulo diedro que determinan.

,

C2

A2B2

-HF

CF

Figura 8.7

PAGINA228

CAPITULO

VIII: ANGULOS

(

CASO B: LA UNEA DE INTERSECCION NO SE CONOCE.

Sean los planos dados ASC y MNO.Se tratará de obtener una vista en la cual ambos planosestén de canto. Para ello, primeramentese determina la vista de canto y luego la verdadera magnitud del plano ASC. luego tomamos otra vista auxiliar3. cuya dirección es obtenida de la siguiente manera: De N1 se traza una paralela a fa tínea 1-2 y se

determina Y1, Luego. se halla la proyección N2Y2.LaJínea de referencia 2-3, debara ser perpendicular a ésta y en ella MNO caerá de canto. El plano ASC se proyectará también de canto por estar en verdadera magnitUd en la vista anterior. El ángulo diedro es el ángulo e.

M2

2 3

C3

M3

Figura 8.8.

PAGINA 229

GEOMETRIA

DESCRIPTIVA

PROBLEMAS RESUELTOS: PROBLEMA 1.E!"pleando el método del plano, determinar el ángulo entre el plano ASC yla recta XV. PROBLEMA 2.Empleando el métOdo de la recta. hallar el ángulo entre el plano MNO y la recta KL.

PROBLEMA3.-

'

Determinar 8F. sabiendo que el ángulo entre la recta AS y el plano vertical XYZmide 60°

PROBLEMA4.-

.

Hallarel ángulo diedro formado por las caras ASC y 8CD del tetraedro mostrado. 2

1

,NH

BH

MH

H F

H -F MF

XF

NF

4

'3

AH

BH CH

AH H F

H F

DF

BF

AFO

CF I PAGINA 230

I I I

I

I

r

.....

~ITIJLO

BH

VIII:~GUlOS

SOLUCION DEL PROBLEMA 1:

H F

NH

X3

.

f

SOLÚCION DEL PROBLEMA 2: H F

N3

M2 PAGINA

231

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

)(1

SOLUCION DEL PROBLEMA 3: A

y

z 21

x

8

Si se construye un cono recto, tomando como vértice elcPunto UAU, y que determine el ángulo de 60 con XYZ, el segmento AB deberá ser una generatriz y por lo tanto upu deberá pertenecer a la base del cono. Esta base se ve en verdadera magnitud en la vista 1, aquí se ubica. P1