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METODOS NUMERICOS

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SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Kevin Andrés Cárdenas Facultad de Ingeniería, Universidad de Cuenca [email protected].

Resumen—En esta práctica resolveremos un sistema de ecuaciones lineales de un circuito eléctrico mediante los métodos de Gauss-Naive y Gauss-seidel.

También conocido como eliminación gaussiana es el más conocido, consiste en realizar operaciones de fila para hallar las soluciones de las ecuaciones

I. OBJETIVOS

Consiste en dejar la matriz aumentada en una matriz triangular.

 

Aplicar varios métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales. Implementar varios métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales.

En la que los valores que quedan en la última columna de la matriz son las soluciones de las ecuaciones

III. PROCEDIMIENTO II. SUSTENTO TEÓRICO 

El método de Gauss- Seidel

-

Solucionar algebraicamente cada ecuación lineal para xi Asumir un vector solución inicial Solucionar para cada xi y repetir. Usar el valor absoluto del error relativo aproximado después de cada iteración y verificar que se encuentre dentro de la tolerancia pre-establecida.

Este método tiene algunos beneficios con respecto a la eliminación gaussiana u otros métodos iterativos El método de Gauss-Seidel permite al usuario controlar el error de redondeo. Los métodos de eliminación, como la eliminación gaussiana y la descomposición de LU, son propensos a errores de redondeo. Además: si se comprende la física del problema, se puede hacer una estimación inicial cercana, disminuyendo el número de iteraciones necesarias.

Para determinar las corrientes de malla I1, I2, I3 e I4, usamos el método de corrientes de malla. Ecuaciones de malla 1 10 𝐼1 + 20(𝐼1 − 𝐼2) + 25(𝐼1 − 𝐼4) = 0 55 𝐼1 + 200 − 25𝐼4 = 0 55 𝐼1 − 25𝐼4 = −200 Ecuaciones de malla 2 𝐼2 = −10 𝐴 Ecuaciones de malla 3 8 𝐼3 + 4(𝐼3 − 𝐼4) + 25(𝐼3 − 𝐼2) = 0 −25 𝐼2 + 37𝐼3 − 4𝐼4) = 0 37 𝐼3 − 4 𝐼4 = −250 Ecuaciones de malla 3 −100 + 25(𝐼4 − 𝐼1) + 4(𝐼4 − 𝐼3) = 0 25 𝐼4 − 25𝐼1 + 4𝐼4 − 4𝐼3 = 0 −25𝐼1 − 4 𝐼3 + 29𝐼4 = 100

Sustituimos los valores del vector solución inicial en la ecuación y ese será nuestro nuevo valor de xi y con ese nuevo valor realizamos las siguientes iteraciones 

El método de Gauss – Naive

Ecuaciones finales {

11𝐼1 − 5𝐼4 = −40 37𝐼3 − 4𝐼4 = −250 −25𝐼1 − 4𝐼3 + 29𝐼4 = 100

2

1.

Gauss – Naive 55 [ 0 −25

0 37 −4

−25 : −200 −4 : −250] 29 ∶ 100 2.

[

1

0

0

1

0

0

−40 5 11 11 : 250 −4 : 27 37 ∶ −3650 1 3501 ]

Gauss – Seidel

Para el método de gauss seidel primero se despeja de I1, I2, I3 de las ecuaciones que se obtuvieron del método de mallas después se asumen valores de corrientes para empezar el método.

𝐼1 −4.1105𝐴 𝐼3 = −6.86946𝐴 𝐼4 −1.042𝐴

−200 + 25𝐼4 55

𝐼3 =

−250 + 4𝐼4 37

𝐼4 =

MATLAB código

𝐼1 =

100 + 25𝐼1 + 4𝐼3 29

Valores asumidos de corriente I1=1 I3=2 I4=3 MATLAB Código

3

V. BIBLIOGRAFÍA [1] Bhuyan, M. H. (2012). Comparative Study of Different Root Location Methods Using MATLAB Program. Green University Review, 3(2), 30-35. [2] Siemers, T. (2011). An Introduction to Matlab and Mathcad. APEX Calculus [3] Dután, W. (2019). Apuntes de clase Métodos Numéricos, Grupo 1. Universidad de Cuenca. Facultad de Ingeniería.

Salida

EXCEL

Los valores de aproximación de I1, I3, I4 con un error menor a 1 % serian. 𝐼1 −4.106𝐴 𝐼3 = −6.868𝐴 𝐼4 −1.039𝐴 IV. CONCLUSIÓN En conclusión, el método de Gauss-Seidel es mas sencillo, pero tiene un problema que seria los valores asumidos inicialmente ya que mientras más distantes están de los valores reales mas iteraciones habrá para llegar a una buena aproximación por otro lado el método de Gauss-Naive es más rápido, pero se complica más al momento de llegar a la matriz triangular.