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REVISIÓN, COMPLEMENTO Y ACTUALIZACIÓN DEL LIBRO DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS

SILVIA CATALINA SIERRA JARAMILLO

UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA MEDELLIN 2008

REVISIÓN, COMPLEMENTO Y ACTUALIZACIÓN DEL LIBRO DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS

SILVIA CATALINA SIERRA JARAMILLO

Trabajo de grado para optar al titulo de Ingeniero Electricista

Director

EMIRO DIEZ SALDARRIAGA Ingeniero Electricista

UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA MEDELLIN 2008

Nota de aceptación: ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________

____________________________________ Firma del presidente del jurado

____________________________________ Firma del jurado

____________________________________ Firma del jurado

Medellín, Junio de 2008

A Dios… por permitirme ser la persona que soy, por rodearme de buenas y bellas personas y brindarme todas las posibilidades para lograr esta gran meta de llegar a ser Ingeniera. A todas las personas que forman parte de mi familia, porque han estado siempre a mi lado. Muy especialmente a mis padres, porque gracias a Dios están aun conmigo y han podido acompañarme hasta esta etapa tan importante en mi vida. Porque siempre me han apoyado, han creído en mí, me han acompañado, me han dado un gran ejemplo de lucha y me han brindado todo lo mejor. Espero que puedan acompañarme mucho tiempo más. A mis hermanos, por hacer parte de mi vida y por traer al mundo esas personitas tan bonitas y especiales como lo son mis sobrinos, mis Juanchos, mi linda hermosa Sofia y el bebe que viene en camino. A mi hermano Juan Carlos que donde quiera que esté, me cuida, me protege y me acompaña junto con mis abuelitos. A mis tías, por ser un gran ejemplo en mi vida y por brindarme su apoyo y creer siempre que podía lograr conseguir mí meta. A Oscar, por su amor, su cariño, su entrega, su lucha, su apoyo, su compañía, su dedicación, su ayuda, su tiempo y su gran colaboración. Se lo agradezco con todo el corazón y siempre se lo agradeceré. A mis amigas y amigos por brindarme esa gran compañía y amistad siempre. Por estar en los muy buenos, en los regulares y mas importante aun, por estar en los muy malos momento de mi vida. Que Dios los bendiga… los quiero mucho… Espero contar con ustedes siempre y que sigan siendo parte de mi vida… INFINITAS GRACIAS!

AGRADECIMIENTOS

A todas y cada una de las personas que de una u otra forma aportaron algo para la culminación de este trabajo de grado, especialmente al Ingeniero Emiro Diez Saldarriaga, por depositar su confianza en mí para la realización de este proyecto y por entregarme todos los conocimientos necesarios tanto para la realización de este proyecto como para mi vida profesional.

Al Ingeniero Andres Emiro Diez por el tiempo y la dedicación que entrego a este proyecto. Por su paciencia, sus aportes y su gran ayuda para la recuperación de los textos de máquinas.

A todos aquellos, como profesores, compañeros y amigos, que de una u otra forma me brindaron su apoyo, comprensión y ayuda no solo para la realización de este proyecto sino durante el transcurso de mi carrera y para que esta pudiera llegar a feliz término.

CONTENIDO

pág.

INTRODUCCIÓN

33

1. INTRODUCCIÓN A LAS MÁQUINAS ELÉCTRICAS

39

1.1

CAMPO ELÉCTRICO

39

1.2

CAMPO MAGNÉTICO

42

1.3

DIVERGENCIA.

44

1.4

ROTACIONAL

46

1.5

MÁQUINAS

50

MÁQUINAS SINCRÓNICAS 2. NOCIONES PRELIMINARES

55

2.1

CAMPO MAGNÉTICO

55

2.2

CASO DE LAS MÁQUINAS ELECTROMAGNÉTICAS

59

2.3

INTENSIDAD DEL CAMPO MAGNÉTICO

65

2.4

FLUJO MAGNÉTICO

68

2.5

CIRCUITO MAGNÉTICO

69

2.6

CURVA DE HISTÉRESIS

76

2.7

CARACTERÍSTICAS MAGNÉTICAS DE LOS MATERIALES.

78

2.8

MATERIALES MAGNÉTICOS Y ANTIMAGNÉTICOS

79

2.9

DENSIDADES

80

DE

FERROMAGNÉTICOS

FLUJO

EN

LOS

MATERIALES

2.10

EFECTO DE LA TEMPERATURA

84

2.11

PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LOS CRISTALES

85

2.12

ESTADO “NORMAL” DE LOS MATERIALES MAGNÉTICOS

88

2.13

ENERGÍA EN LA MAGNETIZACIÓN

90

2.14

MATERIALES DE GRANO ORIENTADO

93

2.15

MATERIALES PARA MAGNETOS PERMANENTES

94

2.16

FLUJO MAGNÉTICO EN ENTREHIERROS

95

3. CONSTITUCIÓN, FUNCIONAMIENTO Y DIAGRAMA FASORIAL

99

3.1.

CONSTITUCIÓN DE LAS MÁQUINAS SINCRÓNICAS

99

3.1.1

Estator

99

3.1.2

Rotor

100

3.1.3

Carcasa

101

3.1.4

Bornera

101

3.1.5

Placa de especificaciones

102

3.1.6

Cojinetes

102

3.2

PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO

102

3.2.1

Producción de flujo en el rotor

102

3.2.2

Flujo ligado a una espira colocada en una distribución senoidal de

105

flujo 3.2.3

Torque sobre una espira

108

3.2.4

Modelo elemental

110

3.2.5

Flujo en el estator

112

3.2.6

Flujos giratorios

113

3.2.7

Producción de torque

119

3.3

FUNCIONAMIENTO Y CONTROL ELEMENTAL DE LAS

120

MÁQUINAS SINCRÓNICAS 3.3.1

Funcionamiento como generador

120

3.3.2

Funcionamiento como motor

121

3.4

TENSIONES INDUCIDAS EN EL DEVANADO DEL ROTOR

122

3.5

TENSIONES INDUCIDAS EN LOS DEVANADOS DEL

123

ESTATOR 3.6

DIAGRAMA FASORIAL

125

3.7

CIRCUITO EQUIVALENTE

126

3.7.1

Bobina del rotor

126

3.7.2

Bobinas del estator

127

3.8

DIAGRAMA FASORIAL COMPLETO

135

3.9

SATURACIÓN

140

3.10

CALCULO DE LOS PARÁMETROS DE LA MÁQUINA

150

3.10.1

Característica en vacío y en corto-circuito

151

3.10.2

Cálculo de la relación de corto-circuito: (R c.c)

158

3.10.3

Cálculo de la impedancia sincrónica

161

3.10.4

Cálculo de la reactancia sincrónica ( Xs )

165

3.10.5

Calculo de la reactancia de eje directo ( X d ) y de la reactancia de

165

eje en cuadratura ( X q )

4. POTENCIA Y DIAGRAMA CIRCULAR

167

4.1

POTENCIA REAL GENERADA

167

4.2

POTENCIA REACTIVA

171

4.3

DIAGRAMAS DE POTENCIA (DIAGRAMA CIRCULAR)

172

4.4

CONVERSIONES DE ENERGÍA: Eléctrica ⇔ Mecánica

183

4.5

PÉRDIDAS MECÁNICAS EN LA MÁQUINA

186

4.6

SINCRONIZACIÓN

187

4.6.1

Chequeo de sincronización

188

4.6.2

Condiciones de sincronización

189

4.6.3

Procedimiento y montaje para lograr la sincronización

193

4.6.4

Autosincronismo

194

4.6.5

Métodos de sincronización

206

4.7

CONTROL DE LA MÁQUINA SINCRÓNICA CONECTADA A

211

UN SISTEMA DE POTENCIA: (ANÁLISIS DEL DIAGRAMA CIRCULAR) 4.7.1

Cambios en la excitación

213

4.7.2

Cambios en la potencia mecánica

219

5. CARACTERÍSTICAS EN CARGA

227

5.1

CARGA INDUCTIVA

227

5.2

CARGA CAPACITIVA

231

5.3

CARGA RESISTIVA

234

6. EL MOTOR SINCRÓNICO 6.1

PUESTA

EN

241

FUNCIONAMIENTO

DE

UN

MOTOR

241

SINCRÓNICO 6.1.1

Arranque con motor auxiliar

242

6.1.2

Arranque con devanado amortiguador

243

6.2

CARACTERÍSTICA

T

=

f

(Wm)

PARA

EL

MOTOR

249

SINCRÓNICO 6.3

PROCESO DE ARRANQUE DE UN MOTOR

252

6.4

APLICACIONES

254

7. FUNCIONAMIENTO NO BALANCEADO

255

7.1

COMPONENTES SIMÉTRICAS

255

7.1.1

Recuento Histórico

255

7.1.2

Componentes simétricas de un sistema trifásico

256

7.2

APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LAS COMPONENTES

259

SIMÉTRICAS A LA MÁQUINA SINCRÓNICA 7.4

COMPROBACIÓN DE LA TEORÍA DE LAS COMPONENTES

274

SIMÉTRICAS 7.4.1

Corto-Circuito monofásico

274

7.4.2

Corto-Circuito de dos líneas

278

8. ESTUDIO EN ESTADO TRANSITORIO

285

8.1

TEOREMA DEL FLUJO LIGADO

285

8.2

FLUJO ATRAPADO

288

8.3

EFECTO DE LA RESISTENCIA

290

8.4

CORTOCIRCUITO EN LAS TRES FASES

292

8.5

CIRCUITO EQUIVALENTE

295

8.5.1

Estado subtransitorio

299

8.5.2

Estado transitorio

301

8.5.3

Estabilidad transitoria

304

8.6

ECUACIÓN MECÁNICA DEL ROTOR

305

8.7

CRITERIO DE LAS ÁREAS IGUALES (GRÁFICO)

311

8.8

FALLAS

313

8.8.1

Falla mecánica

313

8.8.2

Falla eléctrica

314

8.9

ECUACIONES DE CRITERIO

317

8.10

SOLUCIÓN PASO

A PASO DE LA

ECUACIÓN DE

319

PENDULEO 8.11

ESTABILIDAD DINÁMICA

323

8.12

PAPEL DEL DEVANADO AMORTIGUADOR EN CASO DE

331

PENDULEO

9. REGULACIÓN DE TENSIÓN Y VARIACIÓN DE VELOCIDAD

335

9.1

REGULACIÓN DE TENSIÓN

335

9.2

CARACTERÍSTICAS DE LOS REGULADORES DE TENSIÓN

336

9.2.1

Velocidad de respuesta

337

9.2.2

Exactitud

338

9.2.3

Sensibilidad

339

9.2.4

Amortiguación

339

9.2.5

Sobreregulación

340

9.3

VARIACIÓN DE VELOCIDAD

340

9.3.1

Variación de la velocidad por actuación sobre la frecuencia de la

342

alimentación 9.3.1.1

Método clásico

342

9.3.1.2

Métodos electrónicos

343

10. DEVANADOS

351

10.1

CLASES DE DEVANADOS

351

10.1.1

Devanado concentrado

351

10.1.2

Devanados acortados

356

10.1.3

Devanado distribuido

361

10.1.4

Devanado de dos capas

364

10.1.5

Devanados de ranura oblicua respecto al campo

366

10.1.6

Arrollamientos fraccionarios

369

10.2

ASPECTOS TÉCNICOS DE LOS DEVANADOS

376

11. LAS TRANSFORMACIONES DE BLONDEL Y PARK, Y LAS

381

COMPONENTES SIMÉTRICAS 11.1

INTRODUCCIÓN

381

11.2

¿QUÉ ES UNA TRANSFORMACIÓN?

383

11.3

¿CUALES TRANSFORMACIONES EXISTEN?

385

11.4

ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN

386

11.5

ECUACIONES PARA CADA TRANSFORMACIÓN

389

11.5.1

Transformación del flujo giratorio

389

11.5.2

Transformación de Blondel

390

11.5.3

Transformación de Park

392

11.5.4

Transformación de las componentes simétricas

393

11.6

¿CÓMO SE USAN LAS TRANSFORMACIONES?

396

MÁQUINAS DE INDUCCIÓN 12. EL CIRCUITO MAGNÉTICO

407

12.1

EL CIRCUITO MAGNÉTICO Y EL CIRCUITO ELÉCTRICO

407

12.2

EL CIRCUITO ELÉCTRICO ANÁLOGO DEL CIRCUITO

409

MAGNÉTICO 12.3

ECUACIÓN DEL CIRCUITO MAGNÉTICO

410

12.4

FENÓMENOS DE SATURACIÓN E HISTÉRESIS

412

13. EL TRASNFORMADOR MONOFÁSICO

417

13.1

EL TRANSFORMADOR MONOFÁSICO EN VACIO

417

13.1.1

Voltaje aplicado senoidal

421

13.1.1.1

Núcleo lineal sin saturación ni histéresis

423

13.1.1.2

Núcleo con saturación pero sin histéresis

424

13.1.1.3

Núcleo con saturación e histéresis

426

13.1.2

Corriente senoidal

427

13.1.3

Corriente i 0 senoidal equivalente

430

13.2

CIRCUITO EQUIVALENTE COMPLETO Y DIAGRAMA

430

FASORIAL EN VACÍO

13.3

TRANSFORMADOR MONOFÁSICO EN CARGA

435

13.4

TRANSFORMADOR IDEAL

440

13.5

EL TRANSFORMADOR SOBRE CARGA PASIVA

442

13.6

REFLEXIONES A TRAVÉS DEL TRANSFORMADOR IDEAL

443

13.6.1

Reflexión de impedancias

443

13.6.2

Reflexión de voltajes y corrientes

444

13.6.3

Ejemplo de reflexión

445

13.7

CIRCUITO

EQUIVALENTE

SIMPLIFICADO

DEL

447

TRANSFORMADO 13.8

DIAGRAMA FASORIAL EN CARGA

449

13.9

PÉRDIDAS POR CORRIENTES PARÁSITAS

450

13.10

MÉTODO

ALTERNO

ELÉCTRICO

PARA

DEDUCIR

EQUIVALENTE

DEL

EL CIRCUITO

453

TRANSFORMADOR

MONOFÁSICO 14. ENSAYOS DE LABORATORIOS PARA EL TRANSFORMADOR

461

14.1

RELACIÓN DE ESPIRAS

462

14.2

ENSAYO EN VACÍO

463

14.3

ENSAYO EN CORTO

466

14.3.1

Medida de la resistencia y reactancia de los devanados

469

14.3.1.1

Resistencia de los devanados

469

14.3.1.2

Reactancia de los devanados

471

14.3.2

Corrección por temperatura

472

14.4

CARACTERÍSTICA EN CARGA

473

14.4.1

Características

473

14.4.2

Montaje en el laboratorio

474

14.4.3

Obtención de la característica teórica

474

14.4.3.1

φ = 0 Corresponde a una carga puramente resistiva.

478

14.4.3.2

φ = −90° Corresponde a una carga puramente inductiva

479

14.4.3.3

φ = +90° Corresponde a una carga puramente capacitiva

480

14.5

ENSAYO DE POLARIDAD

483

14.6

ENSAYO DE CALENTAMIENTO

486

14.7

ENSAYOS DE AISLAMIENTO

487

14.7.1

Medida de la resistencia de aislamiento

487

14.7.2

Tensión aplicada

487

14.7.3

Tensión inducida

487

15. REGULACIÓN Y RENDIMIENTO A PARTIR DEL CIRCUITO

489

EQUIVALENTE 15.1

REGULACIÓN

489

15.2

RENDIMIENTO

490

15.3

RENDIMIENTO ENERGÉTICO

493

16. TRANSFORMACIONES TRIFÁSICAS

495

16.1

497

TRANSFORMACIONES TRIFÁSICAS CON BANCO DE TRANSFORMADORES MONOFÁSICOS

16.1.1

Diagrama de conexiones

497

16.1.2

Diagramas fasoriales

498

16.1.3

Desfase entre el primario y el secundario

501

16.1.4

Relación de transformación

503

16.1.5

Comportamiento en carga desequilibrada

504

16.1.5.1

Análisis por métodos convencionales de circuitos eléctricos

504

16.1.5.2

Comportamiento bajo carga monofásica

510

16.1.6

Funcionamiento de emergencia

516

16.1.7

Razones económicas

521

16.1.7.1

Conexión Y

521

16.1.7.2

Conexión delta

522

16.1.8

Razones de protección

522

16.1.9

Armónicos de corriente y tensión

523

16.1.10

Diferencias entre los transformadores

531

16.2

TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS

531

16.2.1

Evolución del transformador trifásico

531

16.2.2

Ecuaciones con el circuito magnético linealizado de los

536

transformadores 3 φ 16.2.2.1

Transformadores independientes

538

16.2.2.2

Transformador acorazado

539

16.2.2.3

Transformador trifásico de columnas

540

17.

TRANSFORMADOR

MULTICIRCUITO

Y

543

AUTOTRANSFORMADOR 17.1

TRANSFORMADORES MULTICIRCUITO

543

17.1.1

Razones para utilizar transformadores multicircuito

543

17.1.2

Estudio físico del transformador multicircuito

545

17.1.3

Conexiones de transformadores multicircuito

555

17.1.3.1

Conexión en paralelo

555

17.1.3.1.1

Ecuaciones de la conexión

555

17.1.3.1.2

Peligros de la conexión

556

17.1.3.1.3

Carga máxima en caso de devanados diferentes

558

17.1.3.2

Conexión en serie

559

17.1.4

Transformadores en cascada

561

17.1.5

Ejemplo de reflexión en un transformador tridevanado

562

17.2

EL AUTOTRANSFORMADOR

564

17.2.1

Como

un

transformador

autotransformador

convencional

conectado

como

564

17.2.2

Como un transformador convencional modificado

565

17.2.2.1

Desventajas del autotransformador

569

17.3

CONEXIONES TRIFÁSICAS DE LOS TRANSFORMADORES

570

MULTICIRCUITO 17.3.1

Conexión YYDelta

570

17.3.2

Conexión YZig-Zag

573

17.3.3

Conexión ∆Zig-Zag

577

17.3.4

Conexiones para transformar el número de fases.

577

17.4

CONEXIONES

TRIFÁSICAS

EMPLEANDO

579

AUTOTRANSFORMADORES 17.4.1

Autotransformadores en Y

579

17.4.2

Autotransformadores en Delta

579

17.5

ENSAYO

DE

DESFASE

PARA

TRANSFORMADORES

580

TRIFÁSICOS 18. LA MÁQUINA DE INDUCCIÓN

585

18.1

EL FLUJO GIRATORIO

586

18.2

MAGNITUD DE φ

589

18.3

SENTIDO DE GIRO DEL FLUJO

592

18.4

NÚMERO DE POLOS

592

18.5

VELOCIDAD DEL FLUJO

594

18.6

PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DE LA MÁQUINA DE

596

INDUCCIÓN 18.7

FUNCIONAMIENTO CON VARIOS PARES DE POLOS

599

18.8

RESUMEN

600

19. CIRCUITO EQUIVALENTE DE LA MÁQUINA DE INDUCCIÓN

603

19.1

603

DIAGRAMA FASORIAL

19.2

TEORÍA DEL FLUJO ÚNICO

604

19.3

SENTIDO FÍSICO DE LA CORRIENTE MAGNETIZANTE

605

19.4

DIAGRAMA FASORIAL CON EL FLUJO ÚNICO

606

19.5

CIRCUITO EQUIVALENTE POR FASE

608

19.6

REFLEXIÓN AL ESTATOR

610

19.7

CONVENCIÓN COMO MOTOR

612

19.8

VELOCIDAD DE φ m RESPECTO A LOS DEVANADOS

613

19.9

DESLIZAMIENTO

614

19.10

REACTANCIA DE DISPERSIÓN DEL ROTOR

615

19.11

RESISTENCIA DEL ROTOR

616

19.12

CIRCUITO EQUIVALENTE DEFINITIVO

617

19.13

NATURALEZA DE Zo

617

19.14

CIRCUITO EQUIVALENTE APROXIMADO

618

19.15

CIRCUITO EQUIVALENTE APROXIMADO EN POR UNIDAD

619

19.16

ESTUDIO DEL TORQUE

621

19.17

GRÁFICAS DEL TORQUE, POTENCIA MECÁNICA Y

623

VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL DESLIZAMIENTO 19.18

GRÁFICAS

DE

CORRIENTES

CONTRA

EL

624

20. MODOS DE FUNCIONAMIENTO Y DIAGRAMA CIRCULAR DE

627

DESLIZAMIENTO

LA MÁQUINA DE INDUCCIÓN 20.1

MODOS DE FUNCIONAMIENTO

627

20.1.1

Deslizamiento igual a uno

627

20.1.2

Deslizamiento entre cero y uno

629

20.1.3

Deslizamiento igual a cero

630

20.1.4

Deslizamiento menor que cero

631

20.1.5

Deslizamiento mayor que uno

633

20.2

DIAGRAMA

CIRCULAR

PARA

LA

MÁQUINA

DE

634

INDUCCIÓN 20.3

COMPARACIÓN CON LA MÁQUINA SINCRÓNICA

638

20.4

EFECTOS DEL CAMBIO DE VOLTAJE

638

20.5

EFECTOS DEL CAMBIO DE FRECUENCIA

639

20.6

REPRESENTACIÓN DE LAS PÉRDIDAS EN EL DIAGRAMA

640

CIRCULAR 20.7

EFICIENCIA EN EL DIAGRAMA CIRCULAR

646

20.7.1

Rango como motor

648

20.7.2

Rango como generador

649

20.7.3

Rango como frenado

650

20.8

ESQUEMAS DE REPARTICIÓN DE POTENCIA

651

20.9

LA POTENCIA REACTIVA

659

20.10

EL DIAGRAMA CIRCULAR DE LA MÁQUINA EN POR

662

UNIDAD 20.11

TRAZADO DE LA HIPÉRBOLA

663

20.12

EVALUACIÓN DE LA CORRIENTE DEL DIAGRAMA

664

CIRCULAR 20.13

CONDICIÓN PRÁCTICA DE FRENADO

665

20.14

ESTUDIO DEL TORQUE

666

20.15

ESTUDIO DE LAS CORRIENTES

672

20.16

ESTUDIO DE LA POTENCIA MECÁNICA

674

20.17

ESTUDIO DE LA POTENCIA ELÉCTRICA EN BORNES

676

20.18

RENDIMIENTO

681

20.19

LA MÁQUINA DE ROTOR DEVANADO

682

20.20

FUNCIONAMIENTO COMO GENERADOR

684

20.21

REQUERIMIENTOS DE POTENCIA REACTIVA

686

20.22

COMPORTAMIENTO DINÁMICO

688

20.22.1

Estabilidad de estado estable

690

20.22.2

Estabilidad de estado transitorio

691

20.22.3

Penduleo

692

20.22.4

Análisis de los estados

695

20.22.4.1

Límite de estabilidad de estado estable

696

20.22.4.2

Estabilidad de estado transitorio

697

20.22.4.3

Penduleo

698

20.23

PUESTA EN FUNCIONAMIENTO

698

20.24

FUNCIONAMIENTO AISLADO

701

20.25

FUNCIONAMIENTO TRANSITORIO

704

21. ENSAYOS DE LABORATORIO PARA LA MÁQUINA DE

707

INDUCCIÓN 21.1

MEDIDA DE LAS RESISTENCIAS DE AISLAMIENTO DE

707

LOS DEVANADOS 21.2

MEDIDA DE LA RESISTENCIA DE LOS DEVANADOS.

707

21.3

ENSAYO EN VACÍO

708

21.4

ENSAYO EN CORTO O DE ROTOR BLOQUEADO

711

21.5

TORQUE EN FUNCIÓN DE LA VELOCIDAD A DIFERENTES

715

VOLTAJES 21.6 22.

ENSAYO PARA DETERMINAR EL DIAGRAMA CIRCULAR COMPORTAMIENTO

NO

BALANCEADO

Y

MOTORES

717 719

MONOFÁSICOS 22.1

INTRODUCCIÓN

719

22.2

COMPONENTES SIMÉTRICAS

719

22.3

IMPEDANCIAS DE SECUENCIA 0, POSITIVA Y NEGATIVA

721

DE LA MÁQUINA DE INDUCCIÓN

22.4

POTENCIA MECÁNICA Y TORQUE

724

22.5

EL MOTOR 1 φ

725

22.6

TRATAMIENTO MATEMÁTICO

729

22.7

INTERPRETACIÓN FÍSICA DEL MOTOR MONOFÁSICO

745

22.8

OTRAS CONEXIONES MONOFÁSICAS

747

22.9

MÉTODOS DE ARRANQUE

751

22.10

ARRANQUE

DE

UN

MOTOR

3Φ

COMO

1Φ

CON

754

CONDENSADOR AÑADIDO MAQUINAS DE CONMUTADOR 23. MAQUINAS DE CONMUTADOR

767

23.1

GENERALIDADES

767

23.1.1

Constitución elemental

767

23.1.2

Principio de funcionamiento

768

23.2

EL CONMUTADOR

770

23.2.1

Funcionamiento del conmutador

771

23.2.1.1

Devanado de conmutador en serie

774

23.2.1.2

Conmutación en el devanado serie

776

23.3

FUERZA MAGNETO - MOTRIZ PRODUCIDA POR UN

780

DEVANADO DE CONMUTADOR 23.3.1

Devanado estático equivalente

786

23.4

TENSION INDUCIDA

788

23.4.1

Distribución de flujo

790

23.4.2

Representación fasorial de la tensión inducida

799

23.4.3

Tensión inducida en un devanado de conmutador

800

23.4.4

Tensión recolectada en las escobillas

808

23.4.5

Repaso sobre el devanado estático equivalente

811

23.4.5.1

Producción de la f.m.m

811

23.4.5.2

Tensión entre escobillas

816

23.5

TRANSFORMACIÓN MALLA A ESTRELLA

824

23.6

MÁQUINAS CON VARIOS PARES DE POLOS

826

23.6.1

Tensión en máquinas de varios pares de polos

830

24. MÁQUINAS DE CORRIENTE DIRECTA

847

24.1

847

CONSTITUCIÓN DE LA MÁQUINA DE C.D BIPOLAR ELEMENTAL

24.2

DISTRIBUCIÓN DE φ e Y φ r

24.3

CIRCUITO

EQUIVALENTE

848 DE

LA

MÁQUINA

DE

851

CORRIENTE DIRECTA 24.4

FUNCIONAMIENTO COMO GENERADOR

855

24.4.1

Características como generador

856

24.4.1.1

Características en vacío

856

24.4.1.2

Características en carga

857

24.4.1.3

Características de regulación

858

24.5

FUNCIONAMIENTO COMO MOTOR

859

24.5.1

Característica T = f ( Wm r )

861

24.6

LA MÁQUINA SERIE.

863

24.6.1

Funcionamiento como generador

864

24.6.2

Comportamiento paramétrico

867

24.6.3

Funcionamiento como motor

870

24.7

LA MÁQUINA COMPUESTA

873

24.7.1

Funcionamiento como motor

877

24.8

LA MÁQUINA DE C.D. CON SATURACIÓN E HISTÉRESIS

885

24.8.1

Análisis como generador

889

24.8.1.1

Característica en carga con excitación independiente

889

24.8.1.2

Autoexcitación

893

24.8.2

Característica en carga con autoexcitación

903

24.9

REACCIÓN DEL INDUCIDO

907

24.9.1

Saturación local en la reacción de inducido

912

24.9.2

Efecto de la reacción de inducido en el circuito equivalente

918

24.9.3

Control de la reacción de inducido

920

24.9.4

Circuito equivalente incluyendo devanado compensador y polos de

922

conmutación 24.9.5

Decalaje de las Escobillas

923

24.9.6

Efectos del decalaje de las escobillas

925

25. MÁQUINAS CON DOBLE JUEGO DE ESCOBILLAS

937

25.1

INTRODUCCIÓN

937

25.2

MÁQUINAS DE CAMPO TRANSVERSAL

941

25.2.1

Máquina de Rosenberg

950

25.2.2

Metadínamo

953

25.2.3

Máquina de Rosenberg y metadínamo con realimentación

954

25.2.4

Convertidor metadina

956

25.2.5

Amplidina

959

25.2.6

Rototrol

962

25.3

ESTABILIDAD DE LOS AMPLIFICADORES ROTATORIOS

966

26. MÁQUINAS DE CONMUTADOR EN C.A

971

26.1

INTRODUCCIÓN

971

26.2

DEVANADO ESTATICO EQUIVALENTE

972

26.3

FLUJOS PULSANTES

983

26.4

LA MÁQUINA 1 φ DE CONMUTADOR EN C.A

985

26.4.1

Circuito equivalente del motor 1 φ en C.A

992

26.4.2

Funcionamiento como generador

1001

26.4.3

Funcionamiento como motor

1003

26.4.3.1

Motor de excitación independiente y motor shunt

1003

26.4.3.2

Motor serie

1005

26.4.3.3

Motores compuestos

1007

26.5

MOTOR DE REPULSIÓN

1007

26.6

LA MÁQUINA DE CONMUTADOR 3 φ

1015

26.6.1

Devanados estáticos equivalentes para la máquina trifásica

1015

26.6.2

Estructura elemental de la máquina 3 φ de colector

1019

26.6.3

Estudio del torque

1021

26.6.4

Teoría del flujo único

1022

26.6.4.1

Corriente magnetizante

1023

26.6.5

Circuito equivalente

1025

26.6.6

Diagrama fasorial y diagrama físico fasorial

1027

26.6.7

Tratamiento como transformador de las fuentes

1033

26.6.8

Tratamiento de la potencia mecánica

1034

26.6.9

Funcionamiento como generador

1038

26.6.10

Funcionamiento como motor

1038

26.6.10.1

Conexión shunt

1038

26.6.10.1.1 Conexión shunt simple

1038

26.6.10.1.2 Conexión shunt con autotransformador

1049

26.6.10.2

1050

Motor de conmutador 3 φ serie

26.6.10.2.1 Cálculo del torque máximo

1057

26.7

MÁQUINAS CONVERTIDORAS

1058

26.7.1

Convertidor de C.D. en C.A

1060

26.7.2

Convertidor de C.A. a C.D

1061

26.8

MOTOR DE ESCOBILLAS MÓVILES

1061

CONCLUSIONES

1069

BIBLIOGRAFIA

1071

ANEXOS

1077

RESUMEN

El documento que se presenta, fue elaborado como proyecto de trabajo de grado, en la modalidad de asistencia a la docencia. Este consistió en la revisión, complemento y actualización de los textos de Máquinas Eléctricas Sincrónicas, Máquinas Eléctricas de Inducción y Máquinas Eléctricas de Conmutador (C.D Y C.A) que se han venido utilizando como textos guías en las asignaturas de máquinas ofrecidas en el pregrado de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Pontificia Bolivariana y en la Universidad Nacional de Colombia en la sede de la ciudad de Medellín.

Este texto abarca una gran variedad de los temas relacionados con las máquinas eléctricas, con lo cual se convierte en una excelente fuente de consulta para todo aquel interesado en conocer más profundamente acerca de las máquinas eléctricas.

PALABRAS CLAVES: MÁQUINA ELÉCTRICA, MÁQUINA SINCRÓNICA, MÁQUINA DE INDUCCIÓN, MÁQUINA DE CONMUTADOR, ESTATOR, ROTOR, FLUJO, CORRIENTE, VOLTAJE, BOBINA, RESISTENCIA, CIRCUITO, CARGA, DEVANADO, TRANSFORMADOR.

INTRODUCCIÓN El texto que se presenta a continuación es el resultado del proyecto de trabajo de grado, realizado bajo la modalidad de asistencia a la docencia, que consiste en la revisión, complemento y actualización de los libros de máquinas sincrónicas, de inducción y de conmutador, que han servido de textos guías en las asignaturas de máquinas dictadas por el Ingeniero Emiro Diez Saldarriaga (autor de los libros mencionados). Este libro surge de la necesidad de tener un solo texto de consulta donde estuvieran integrados todos los temas relacionados con las máquinas eléctricas que son tratados en dichas asignaturas, especialmente para las que ofrece la facultad de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Pontificia Bolivariana. El libro consta de cuatro divisiones importantes: 1. En la primera parte se hace una pequeña introducción acerca de la producción de los campos eléctricos y magnéticos y algunas de sus propiedades (divergencia y rotacional) y se hace una pequeña explicación de cómo afectan estos campos las máquinas eléctricas. 2. En una segunda división, se explican los temas relacionados con las máquinas sincrónicas.

•

En su primer capítulo se exponen las nociones preliminares relacionadas con el campo magnético, el circuito magnético, el flujo magnético, histéresis y las características magnéticas de los materiales.

•

En su segundo capítulo se presenta la constitución de la máquina sincrónica donde se dan las definiciones del rotor, estator, carcasa, etc., el principio de funcionamiento y el control de la máquina exponiendo los temas de flujos, tanto del estator como del rotor, el flujo giratorio, el torque, el funcionamiento de la máquina como generador y como motor, las tensiones inducidas, el fenómeno de la saturación y se introduce a dos conceptos importantes como lo son el circuito equivalente y el diagrama fasorial de la máquina con los cuales se pueden determinar los parámetros de la máquina.

33

•

En el cuarto capítulo se habla acerca de la potencia y el diagrama circular de la máquina, tratando los temas de potencia real y reactiva, el diagrama circular o de potencia, las conversiones de energía, las pérdidas en la máquina, la sincronización, sus características, condiciones, el montaje, el procedimiento y los métodos para conseguirla, y el control de la máquina conectada a un sistema de potencia.

•

En el quinto capítulo se tratan las características de los diferentes tipos de carga (resistiva, inductiva y capacitiva).

•

En el sexto capítulo se expone el tema relacionado con el motor sincrónico, su puesta en funcionamiento, su característica de torque, el proceso de arranque y las aplicaciones de este motor.

•

El séptimo capítulo habla sobre el tema del funcionamiento de las máquinas al ser conectadas a un sistema no balanceado, donde se introduce el concepto de componentes simétricas, el cual es una herramienta muy útil e importante para el estudio de los circuitos polifásicos desbalanceados.

•

En el octavo capítulo se dedica al estudio de la máquina en diferentes estados al presentarse, por ejemplo una falla (subtransitorio, transitorio y estable), se tratan los temas de flujo atrapado, cortocircuito y las fallas, tanto mecánicas como eléctricas.

•

El noveno capítulo expone los conceptos relacionados con la regulación de tensión y la variación de la velocidad, como los son las características de los reguladores de tensión y los métodos para la variación de la velocidad de la máquina.

•

En el décimo capítulo se trata sobre las clases de devanado y sus aspectos técnicos.

•

En el decimoprimer capítulo se exponen los temas de las transformaciones tales como la de Blondel y Park, las componentes simétricas y la de flujo

34

giratorio. Se explica la obtención de sus ecuaciones y la adecuada aplicación de estas. 3. En la tercera gran división del texto se tratan los temas relacionados con las máquinas de inducción y los transformadores y los temas expuestos en sus capítulos son:

•

En el decimosegundo capítulo se dedica a los temas del circuito eléctrico y magnético, sus ecuaciones y los fenómenos de histéresis y saturación.

•

En el decimotercer capítulo introduce el concepto de transformador monofásico, el núcleo, sus corrientes, voltajes, el transformador en vacío, en carga, el circuito equivalente y el diagrama fasorial del transformador.

•

El decimocuarto capítulo muestra los diferentes ensayos a los que se puede somete el transformador para determinar los parámetros del circuito equivalente de un transformador determinado. Estos son: en vacío, en corto, de espiras, de característica en carga, de polaridad, de calentamiento y de aislamiento.

•

En el decimoquinto capítulo se habla acerca los parámetros de regulación y rendimiento del transformador partiendo de su circuito equivalente.

•

El decimosexto capítulo expone el tema de las transformaciones trifásicas, tratando los diferentes tipos de conexión, sus características, los comportamientos del transformador, la conexión Y y delta que son las utilizadas y en una segunda parte se tratan los transformadores trifásicos, presentando las ecuaciones del transformador y los diferentes transformadores trifásicos existentes.

•

El decimoséptimo capítulo se dedica al transformador multicircuito y al autotransformador, a sus diferentes conexiones, su estudio físico, ensayos de laboratorio, ecuaciones, ventajas y desventajas.

35

•

El decimoctavo capítulo trata los temas relacionados con la máquina de inducción, como lo son el flujo giratorio, su sentido de giro, la velocidad del flujo, el número de polos de la máquina y el principio de funcionamiento de la máquina de inducción.

•

El decimonoveno capítulo habla acerca del circuito equivalente de la máquina de inducción, del diagrama fasorial, del flujo único, de la reflexión del circuito al estator, del concepto de deslizamiento, de la reactancia y resistencia del rotor, del circuito equivalente en por unidad y del estudio del torque.

•

El vigésimo capítulo se dedica a los temas de modos de funcionamiento, tomando el valor del deslizamiento como base, y del diagrama circular de la máquina de inducción, su comparación con el de la máquina sincrónica, la eficiencia y la representación de las perdidas en el diagrama, se trata el tema de la máquina de rotor devanado, el funcionamiento de la máquina como generador, el comportamiento dinámico de la máquina y la puesta en funcionamiento.

•

En el vigesimoprimer capítulo se tratan los ensayos de laboratorio de la máquina de inducción que son implementados para conocer los parámetros de la máquina. Los ensayos tratados son: medida de las resistencias de aislamiento de los devanados, medida de la resistencia de los devanados, ensayo en vacío, en corto, en corto de rotor bloqueado y ensayo para determinar el diagrama circular.

•

El vigesimosegundo expone el comportamiento no balanceado de la máquina, tratando los temas de componentes simétricas y las impedancias de las secuencias 0, 1 y 2 y en su segunda parte trata sobre los motores monofásicos, se exponen los temas de sus conexiones, su tratamiento mecánico, interpretación física y sus métodos de arranque.

4. En la cuarta gran división del texto se tratan los temas relacionados con las máquinas de conmutador y los temas contenidos en esta división son:

36

•

El vigesimotercer capítulo habla acerca de la máquina de conmutador, sus generalidades como lo son su constitución y principio de funcionamiento, de uno de los elementos mas importantes como lo es el conmutador, la fuerza magneto-motriz producida por este, la tensión inducida, la transformación malla a estrella, la cual resulta de gran ayuda en ciertos casos, y las máquinas con varios pares de polos.

•

En el vigesimocuarto capítulo se exponen los temas de la máquina de corriente directa, su constitución, la distribución de los flujos del estator y del rotor, su circuito equivalente, su funcionamiento como generador y como motor, la máquina serie y la máquina compuesta, la máquina de corriente directa con saturación e histéresis y el tema de la reacción del inducido.

•

En el vigesimoquinto capítulo se tratan las máquinas con doble juego de escobillas, como lo son las máquinas de campo transversal, tales como: la máquina de Rosenberg, el metadínamo, el convertidor de metadina, la amplidina y el rototrol, y en una segunda parte trata el tema de la estabilidad de los amplificadores rotatorios.

•

El vigesimosexto capítulo se dedica a la máquina de conmutador de corriente alterna, a los temas del devanado estático equivalente, a los flujos pulsantes, a la máquina monofásica de conmutador en corriente alterna, su circuito equivalente, su funcionamiento como motor y como generador, al motor serie, el motor shunt y los motores compuestos, el motor de repulsión, la máquina trifásica de conmutador, sus devanados, su estructura, el torque, su circuito equivalente, su diagrama fasorial y físico-fasorial y sus diferentes conexiones. En otro apartado habla acerca de las máquinas convertidoras, de CD a CA y de CA a CD y en su último apartado habla sobre el motor de escobillas móviles.

37

INTRODUCCIÓN

1. INTRODUCCIÓN A LAS MÁQUINAS ELÉCTRICAS 1.1 CAMPO ELÉCTRICO Todo esta lleno de “cuantos”, partículas de materia o de energía, según el gusto. Estas partículas tienen como propiedad esencial atraerse para formar conglomerados más compactos. Esta tendencia a formar un solo “fotón”, una gota mayor de energía, es direccional. No se conoce como actúa esta unión de cuantos para formar un “fotón”, pero se puede imaginar así: Figura 1.1. Distribución de cuantos en el mar de Dirac

m

λ

Cuando los fotones adquieren un número dado de cuantos, entran en equilibrio absorbiendo cuantos y emitiéndolos en dirección contraria. De este modo, “nadan” en el mar de Dirac a una velocidad c . En este estado su longitud es λ (longitud de onda Compton); y esta longitud y su masa se relacionan por la ecuación:

λ=

h mc

Donde: h : Constante de Planck.

O sea que a más masa el tamaño es menor. El gas estelar se concentra en estrellas y las estrellas “colapsan” en enanas blancas, estrellas de neutrones o agujeros negros.

39

Varios fotones pueden unirse para formar conglomerados más densos: las partículas. Como la tendencia a la unión es direccional se forman tres tipos de partículas. Figura 1.2. Tipos de partículas de acuerdo a tendencia de unión de cuantos E

E

E

E

Todas las partículas organizan los cuantos del vacío en estructuras radiales que llamamos Campo Eléctrico, y representamos por líneas rectas dirigidas hacia afuera y hacia dentro de las partículas. Entonces el campo eléctrico no es un ente matemático sino físico que rodea las partículas formado por cuantos unidos en filas. Figura 1.3. Líneas de organización de los cuantos formando el campo eléctrico

L

N


 E L

N

λ N L

40

Sus ecuaciones son: Energía cuanto (Einstein) Energía = mc 2 cuanto

masa

julios

ρ=

Kg m

2

seg 2

N 3 mc 2 ( energía de los cuantos en un volumen ) N3 mc 2 = Volumen L3

ρ → Densidad de energía

Como: L = N λ ∴ ρ =

N3 mc 2 mc 2 = 3 λ N3 λ 3

2 h m4 c5 ( mc ) Pero: λ = ∴ ρ= 3 = 3 3 mc h h c

E: Campo Eléctrico

E=

4

Constante × Número de líneas en una área Area

2 h N2 E= ε 0 L2

Llamando ε 0 (constante), permitividad del vacío, se puede deducir que:

ρ=

ε0 2

Es la densidad de energía del campo eléctrico. 41

E

2

Cuando una partícula se encuentra en un campo, sus cuantos tratan de agruparse de acuerdo a los campos del campo. El resultado es una atracción entre ⊕ y  , y una repulsión entre ⊕ y ⊕ y entre  y  . 1.2 CAMPO MAGNÉTICO Cuando se mueve una carga, se mueven también sus líneas de cuantos ordenados que forman el campo eléctrico.

Figura 1.4. Carga y sus líneas de cuantos en movimiento

E

v

v Los cuantos adquieren una nueva energía: 1 2 mv 2

Energía que les permite agruparse en otras estructuras lineales llamadas “campo magnético”. Obsérvese que energía es “tendencia a agruparse”. Estas nuevas líneas de fotones son perpendiculares a E y a v (como soldados en escuadrones: colocan una mano en el hombro del compañero para ciertas maniobras). La relación matemática correspondiente es:


 
 B = v×E 
 × : producto vectorial, expresa el carácter de perpendicularidad respecto a v y a E .

42

Figura 1.5. Dirección de campo magnético, de campo eléctrico y de velocidad


 E

 v


 B


 E

α

 v

Palma de la mano derecha


 B


 
 Forma práctica de aplicar la relación B = v × E


 También se puede definir B , independiente de su origen como:


 Constante × Número de líneas de fotones que pasan por el área B= Area

= Constante ×

N2 L2

43

Figura 1.6. Líneas de organización de los cuantos formando el campo magnético
 B L

N

 v

L

Lo que nos conduce a la relación: 2

B N 3 mv 2 B2 ρ= = = L3 2 µ 0 8π ×10-7

El campo magnético es en último término, la energía cinética transversal de un campo eléctrico. 1.3 DIVERGENCIA

 Si las líneas de campo ( E o B ) son perfectamente paralelas; se dice que “no tienen divergencia”.

Figura 1.7. Líneas de campo eléctrico y magnético paralelas → no divergencia



 EoB

En cambio, si no son paralelas se dice que tienen divergencia.

44

Figura 1.8. Líneas de campo eléctrico y magnético no paralelas → divergencia

∆z

∆x

∆y ∆ N B que salen por la cara ∆ z ∆ xB Const × ∆ N B = E B y ∆ z ∆ x

∆ N A que entran en la cara ∆ z∆ xA Const × ∆ N A = E A y ∆ z ∆ x

Divergencia en y = =

E A ∆ z ∆ x − E B ∆ z∆ x ∆ E y = ∆x ∆ y ∆z ∆y ∂E y ∂y

Por el mismo procedimiento para los otros pares de caras se obtiene la divergencia total:

 ∂ E ∂ E y ∂ E x ∇•E = + + z ∂x ∂y ∂z

Solo hay dos posibilidades: Figura 1.9. Divergencia donde no hay carga encerrada 1)

∑ líneas que entran = ∑ líneas que salen

 ∇×E = 0

 ∇×B = 0

45

Figura 1.10. Divergencia con carga encerrada 2)

líneas que salen = proporcionales a la carga encerrada.



 carga encerrada ε 0 ∇•E = Volumen

 ∇ • E = ρ0 ε 0

Para el campo magnético, como es engendrado por campos eléctricos en movimiento, a su vez producto de partículas en movimiento, sus líneas siempre son cerradas y cumplen:

 ∇•B = 0 1.4 ROTACIONAL

 Otra propiedad que pueden tener las líneas de E y B es que tengan fotones de mayor o menor energía o mas o menos fotones. (Como se entienda mejor).

Figura 1.11. Comparación de líneas de campo con mas o menos fotones E

E

E

E

46

En la figura superior, no existe divergencia entre las líneas de campo vecinas. En la inferior, la línea más baja (en el dibujo) es de mayor energía. Esta propiedad se pone de manifiesto recorriendo una trayectoria cerrada y “contando” fotones al derecho y al revés. Esa mayor energía en unas líneas generalmente produce efectos de rotación. Por eso se denomina esta característica “rotacional”. Matemáticamente: Somos optimistas y aceptamos que los campos crecen con los ejes. Figura 1.12. Crecimiento de campos con los ejes

zz

∂Ez

E z + ∂ E z en ∂ x

Ez

yy

∂x

xx z

E y + ∂ E y en ∂ z

∂Ey

∂z

y

Ey

x

47

∂E Rotacional

Rotacional en la dirección x =

Cambio de E z Cambio de E y − Cambio de y Cambio de z

 ∂E ∂E = z − y ∂z  ∂y

  x en la dirección x 

En forma “matricial”: x

y

z



 ∂ ∇×E = ∂x

∂ ∂y

∂ ∂z

Ex

Ey

Ez

Los rotacionales son situaciones inestables de los fotones que corresponden a reordenaciones energéticas. Estas situaciones inestables se reflejan en ecuaciones variables con el tiempo.


 ∂B ∇×E = − ∂t




  ∂E ∇ × B = µ0 J + µ0ε 0 ∂t

Ecuaciones que nos dicen que cuando existe un rotacional en un campo, siempre está acompañado de un cambio en el tiempo del otro campo.

48

 La ultima ecuación contiene J que es la densidad de corriente… y es un adefesio… parece que la carga en movimiento produjese campo magnético por si sola, lo que no ocurre nunca. Al moverse la carga produce el campo eléctrico y este campo produce el campo magnético, es decir, todo el campo magnético es producido por el campo eléctrico. La ecuación debe escribirse rigurosamente como es:

 ∂ ∇ × B = µ 0 ε 0 ( E producido por la J en el punto + E producido por otras fuentes ) ∂t

Lo que engañó a Maxwell y compañía, es que muchas corrientes se producen en conductores neutros. Figura 1.12. Producción de campo eléctrico neto cero en conductores neutros



 E−E =0
 B



 E−E =0
 B


 B


 B


 B


 B

 v

Estos conductores producen un campo eléctrico neto cero, del cual solo se mueve uno de los componentes (el producido por las cargas en movimiento). Entonces aparece un campo magnético aparentemente engendrado directamente por las corrientes. En realidad lo engendra el campo eléctrico móvil. Esta observación es importante en máquinas puesto que los conductores usados son neutros. En definitiva, las ecuaciones rotacionales quedan:


 ∂B ∇×E = − ∂t




 ∂E ∇× B = µ0ε 0 ∂t

Y sus versiones fotonicos, útiles en máquinas son: 49

Figura 1.13. Versiones fotonicos de conductores neutros


 B


 B

 v


 E


 E

 v


 
 E = −v × B



 v × E B= 2 c



 Se leen: cuando un campo E o B se mueve engendra un campo contrario perpendicular a  v y al campo inductor.

1.5 MÁQUINAS En máquinas se utilizan los dos principios.

Olvidemos inicialmente que los conductores son neutros y “veamos” solo su carga ⊕ . Esas cargas atraen fotones y forman estructuras radiales: las líneas de campo eléctrico. Al cerrar el interruptor las cargas se mueven en las espiras y lo mismo hace el campo eléctrico engendrado un campo magnético. Figura 1.14. Atracción de fotones por las cargas ⊕ y movimiento de estas en las espiras


 E


 E


 E
 E

i 50

Cuando se superponen los campos de las cargas positivas y las negativas del conductor, “desaparece” el campo eléctrico que engendra al magnético. Pero el campo magnético sigue existiendo aunque el campo eléctrico que lo produjo queda enmascarado por el campo eléctrico contrario, producido por las cargas negativas Figura 1.15. Superposición de campo eléctrico y campo magnético


 E


 B


 B


 E
 E
 E

Como el campo magnético es proporcional a la carga y a su velocidad, en definitivo queda expresado como:

φ=

Ni Rel

N : Número de espiras. i : Corriente en la bobina. Rel : Reluctancia del núcleo.

51

MÁQUINAS SINCRÓNICAS

2. NOCIONES PRELIMINARES 2.1 CAMPO MAGNÉTICO Poco sabemos sobre el campo magnético. Conocemos la descripción matemática de sus efectos y de algunos de sus comportamientos en el formidable andamiaje mental conocido como “las leyes de Maxwell”. Pero... ¿Cómo es su estructura interna?, ¿Por qué se dice que se propaga en fotones?, ¿Cómo es un fotón?, ¿Cómo explicar el campo que se percibe alrededor de un imán como una estructura cuántica? Evidentemente, si somos consecuentes, debemos aceptar que sabemos muy poco de ese misterioso campo. Sin embargo algo podemos decir sobre él: - Es un “algo” material, una sustancia que rodea a las cargas eléctricas en movimiento. - Cuando existe un movimiento relativo entre él y una carga eléctrica produce una fuerza sobre la carga y el mismo experimenta una fuerza contraria. - No es la herramienta matemática que lo describe, y que se llama campo también. Esta herramienta matemática es un remedo, una caricatura, del verdadero y físico campo. - Una descripción muy útil y tremendamente acertada de los campos se logra mediante las llamadas "líneas de campo" o "líneas de fuerza". Estas líneas tratan de imitar algo de la naturaleza de los campos que no se parecen, en este aspecto, a nubes o bancos de niebla sino a chorros de vapor o de agua. - Tangentes a las líneas de campo se pueden colocar los “vectores”, o sea “flechas” cuya dirección representa la dirección del campo en el punto de tangencia (por eso son tangentes) y cuya magnitud representa la "intensidad" del campo en dicho punto.

55

Figura 2.1. Carga, campo eléctrico y magnético


 E
 E


 E


 B
 B

R1 q1

R2


 B

 v


 B

q2

Pasemos a trabajar con las relaciones matemáticas sencillas que necesitaremos en este texto. En la Figura 2.1 se representa como una carga estática produce un campo eléctrico a su alrededor, campo representado por los vectores E, y una carga en movimiento hacia el interior del dibujo, produce un campo magnético cuyas líneas rodean su eje de movimiento, campo representado por los vectores B. Las cantidades involucradas en esos procesos de "producción" del campo están relacionadas así:




 q 1 ⋅ R1 E= 4π ε 0 R 13

 New   Coul 




 µ 0 v × R 2 Web  B= ⋅ q2 ⋅ 4π R 32  m2 

56

Tenemos:
 E

: campo eléctrico producido por q 1 .


 B

: campo magnético producido por q 2 moviéndose a una velocidad v .

R1 y R 2

: distancias entre las cargas y los puntos donde se considera el campo

[ metros ] .




 R1 y R 2

: distancias con dirección incluida, vectores de origen en la carga, y punto final en el punto donde se considera el campo.

 v

: vector que representa la velocidad de q 2 .

v

 metros  : magnitud del vector anterior  .  segundos 

q1 y q 2

: cargas, son escalares, no tienen asociada ninguna dirección [Coulumbios ] .

×

: significa un producto vectorial.

ε0

 Coul  : permitividad del vacío, 8.85 × 10 −12  2 .  m × New 

µ0

Weber × Coulumb  : permeabilidad del vacío, 4π × 10−7  . seg  

Los campos producen fuerzas sobre las cargas. El proceso se describe en la Figura 2.2 y en las ecuaciones siguientes.

57

Figura 2.2. Fuerzas en las cargas producidas por los campos


 B

 F


 E  F


 B

θ

q3


 F = q 3 ⋅ E [ Newton]

 v

 
 F = q 4 v × B [ Newton]


 Fuerza del Campo Eléctrico ( E ) sobre la carga q 3 .


 Fuerza del Campo Magnético B sobre la carga q 4 que se mueve a v .

 La magnitud de F será:

 
 F = F = q 4 v B Sen θ = q 4 v B Sen θ

Como habrán adivinado, usaremos doble notación para la magnitud: la letra del vector sin rayita, y la letra con rayita pero entre barras.

 
 La dirección de F es perpendicular al plano que pasa por v y B , y la encontraremos siempre aplicando la siguiente regla (atención a ella): Regla de la mano derecha: si los dedos, diferentes al pulgar, se extienden señalando en la 
 dirección de v y luego se gira la palma hacia el vector B , el pulgar nos dará la dirección de  F.

58


 Con esta misma regla se puede hallar la dirección del B (Campo Magnético) producido por  una q (Carga Eléctrica) que se mueve a una velocidad v . Solo que en este caso (Figura 
 2.3) debemos trasladar los vectores v y R imaginariamente al punto donde buscamos el
 campo B .

Figura 2.3. Dirección de los campos y de las fuerzas


 R  v
 B

R

 v

2.2 CASO DE LAS MÁQUINAS ELECTROMAGNÉTICAS En las máquinas no tratamos con cargas aisladas sino con millones de ellas circulando por conductores y formando “corrientes”.

Como es tradicional, consideramos que se mueven las cargas + (positivas) y no las (negativas) que son las que verdaderamente se mueven. Ahora tomaremos como "carga" a un diferencial de carga, d q , contenido en un diferencial de conductor. Por lo tanto: 

 µ 0 v×R dB = dq 3 4π R
 d B : campo producido por d q .

59

Figura 2.4. Diferencial de carga

dq


 R  v
 dB

R

 v

i=

dq dt

dq

dl

Pero, si llamamos d t al tiempo que demora en pasar el d q totalmente por el diferencial de longitud del conductor:  dl v = dt

Y como es plausible tomar como dirección de la velocidad la dirección del conductor en el punto considerado:   dl v= dt

Ahora, se define la corriente como el diferencial de carga dividido por el tiempo que tarda en pasar un diferencial de carga por un punto de un conductor, por lo cual: i=

dq dt


 Reemplazamos en la expresión de d B :

60


 

 µ 0 dl R µ0 dl× R dB = dq × 3 = i dt R 4π R 3 4π

Expresión conocida como “Ley de Biot – Savart”, por haber sido esos señores los que la propusieron. Figura 2.5. Fuerza sobre cargas en movimiento

 v


 B

 dF


 B

 v

dl

 dF

dq dl

Pero resulta que hay dos mecanismos que nos interesan: la producción del campo por cargas en movimiento (corrientes), que acabamos de describir... y el otro... ¿Cuál?... pues la producción de fuerza por el campo sobre las cargas en movimiento, que se ilustra en la Figura 2.5. La ecuación básica será:  
 dF = dqv×B

Pero

61

  dl v= dt

e

i=

dq dt

Entonces,   
 d l
 d F = d q × B = id l × B dt

Figura 2.6. Campo perpendicular al conductor
 B


 B
 B

i  dF

L  dF  dF

Cuando el campo se produce perpendicular al conductor la expresión anterior queda: dF = idl B

Y la fuerza total sobre un conductor de longitud L en estas condiciones será: L

L

0

0

F = ∫ i B d l = iB∫ d l = i B L

62

Fuerza que actúa perpendicular al conductor. Sin embargo, si movemos el conductor ocupado por las cargas en el campo magnético B (Figura 2.7) aparece la misma fuerza ¡pero en el sentido del mismo conductor! Figura 2.7. Dirección de la fuerza
 B


 B


 B

 dF F

 v

 dF

Si son cargas “libres” esta fuerza las hará mover a lo largo del conductor produciéndose una corriente. Pero una fuerza que mueve unas cargas en un conductor se identifica mejor como un “campo eléctrico”, definido por: 

 d F d q v × B 
 E= = = v×B dq dq

Se dice, entonces, que cuando un conductor corta un flujo (se mueve en él) se “induce” un campo eléctrico en ese conductor. Obsérvese que cosa tan interesante: si hacemos circular una corriente por el conductor éste experimenta una fuerza que trata de moverlo; si movemos un conductor en el campo, trata 63

de circular una corriente en el. Lo anterior nos lleva a “diseñar” las dos máquinas mas elementales mostradas en la Figura 2.8. Figura 2.8a. Máquina elemental B

R

v

i

N

S

Generador elemental: el peso mueve al conductor sobre los rieles; se induce una corriente en el conductor, la cual, conducida por los rieles; pasa por la resistencia de carga. Figura 2.8b. Generador elemental

B

E

F

v

64

Motor elemental: la batería hace circular una corriente por el conductor; éste experimenta una fuerza que lo hace mover sobre los rieles, elevando el peso. Después de entender los procesos descritos se debe tratar de responder estas preguntas: 1) ¿Por qué no se aceleran los conductores bajo la acción de las fuerzas que actúan sobre ellos? 2) ¿Cómo se aplica el principio de conservación de la energía a esas máquinas elementales? La respuesta correcta a las preguntas anteriores nos debe llevar a concluir que en todo “generador” hay una acción de “motor” y viceversa. 2.3 INTENSIDAD DEL CAMPO MAGNÉTICO Hemos empezado este repaso del campo magnético a partir de la expresión más fundamental que se conoce para relacionar las cargas en movimiento y el campo magnético producido: la Ley de Biot - Savart. 

 µ 0 q v × R B= 4π R 3

A partir de esta expresión se llega fácilmente a la más conocida: 

 µ 0 i d l × R dB = 4π R 3

Con esta última versión se encuentran muchas interesantes densidades de campo, como las que ilustraremos mas tarde, y que resultan importantes para analizar algunos aspectos del diseño de las máquinas. Pero esas densidades dependen del medio donde se calculan (que hemos supuesto el vacío) a través de la constante llamada permeabilidad, µ 0 . Es importantísimo que se pueda hacer cálculos sin tener en cuenta el medio. Para eso se introduce el concepto de “Intensidad de campo magnético”, que se designa por H , y se relaciona con la densidad por una fórmula simple: 65



 B  Amperios − espira  H=  µ  metro De esta forma:


 

 d B  B µ 0i d l × R dH = =d =  µ 0  µ 0 4π R 3 µ0   

 i dl×R ∴d H = 4π R 3

A partir de esta expresión, y empleando las técnicas del cálculo vectorial, se llega a la famosa Ley de Ampere:
  
 H i d l = ∫ ∫ J id H = ∫ di
  H ∫ i d l :


  integral del producto escalar H i d l en una trayectoria encerrada.

∫ di :

corriente total encerrada por la trayectoria.

Es una lástima que lo intrincado de la deducción no permita ni siquiera hacer una aproximación razonada de como se llega a esa expresión, excepto en casos muy simples como el de una línea recta infinita de corriente.
 H , en casos en que la permeabilidad no dependa de la dirección será colineal con El vector
 B . Así lo consideraremos con este texto.

 Por lo anterior, la regla de la mano derecha se aplica también para H como para B .

66

Figura 2.9. Ilustración de Ley de Ampere

a 30°

i1

dl

b

Hd

30°

Hd Hb

i3

30°

Hb

i2

i3

Hd

Hb

d dl

c

En la Figura 2.9 se quiso ilustrar la Ley de Ampere con un ejemplo que muestre su uso práctico.
  H ∫ i d l = ∫ d iencerrada

Como se conoce H en los diversos tramos de la trayectoria, se parte el integral en varios integrales, correspondientes a los segmentos donde H es conocido e igual. Asumiendo un recorrido abcda: b


  c
  d
  a
  ∫ H i d l + ∫ H i d l + ∫ H i d l + ∫ H i d l = ∫ d i = ∑ iencerradas = i1 + i2 − i3 a

b

c

d

¿Por qué i 1 e i 2 se tomaron (+), e i 3 (-)? Porque la regla de la mano derecha nos dice que i 1 e i 2 producen campo magnético cuyo sentido es el sentido de la trayectoria escogida; en

cambio, i 3 produce el campo en el sentido opuesto.

67

Como en los tramos escogidos H es conocido: b


  c
  d
  a
  H a i d l + H b i d l + H c i d l + H d i d l = i1 + i 2 − i 3 ∫ ∫ ∫ ∫ a

b

c

d

Ahora, en los tramos, el ángulo entre el H y el d l es el mismo: b

∫H

a

c

d

a

b

c

d

d l Cos (180°) + ∫ H b d l Cos (180°) + ∫ H c d l Cos (90°) + ∫ H d d l Cos (30°) = i1 + i 2 − i3

a

b

c

d

a

b

c

−H a ∫ d l − H b ∫ d l + H c ⋅ 0 ⋅ ∫ d l + Hd

a

1 d l = i1 + i 2 − i3 2 ∫d

j

Pero ∫ d l = longitud del tramo entre i y j i

Por lo tanto: − H a lab − H b l bc +

H d lda = i1 + i 2 − i3 2

La Ley de Ampere se aplica en casos donde la “geometría” del campo magnético (es decir, su forma, su distribución) se conocen razonablemente. Este será el caso general de las máquinas eléctricas. 2.4 FLUJO MAGNÉTICO A todo campo vectorial puede asignarse un “flujo”. Podría hablarse del “flujo” del vector
 H , por ejemplo. Pero es tradicional considerar solo como entidad física al flujo del vector
 B desde los extraordinarios trabajos de Faraday. Este flujo se suele designar por la letra φ (léase fi):





φ = ∫ Bi d H

68

[Weber ]




φ es un escalar; sin embargo tiene dirección, la misma de B , como todo flujo que se respete. 2.5 CIRCUITO MAGNÉTICO Cuando la forma del flujo es sencilla, la aplicación de la Ley de Ampere puede llevarnos al concepto muy útil del circuito magnético.

En la Figura 2.10a tenemos un “circuito magnético”, es decir, una estructura en la cual se conoce con muy buena aproximación el comportamiento del “flujo magnético”. a) Figura 2.10a. Circuito magnético Ha

φ Hb i1 He

Hc

i2

Hd

b) Figura 2.10b. Trayectoria de corrientes encerradas

69

La aplicación de la Ley de Ampere sería:

∫ H i d l = ∑ i

encerrada

En la Figura 2.10b, se muestra la trayectoria escogida y las corrientes encerradas por esa trayectoria. Estas corrientes son las que circulan por los conductores cortados por una superficie limitada por la trayectoria. Entonces:




∫ H i d l = N i

2 2

− N1 i1

Los signos de las corrientes corresponden a una trayectoria escogida en el sentido abcdea. Tendremos: b

c

d

e

a

a

b

c

d

e

∫ H i d l = ∫ H i d l + ∫ H i d l + ∫ H i d l + ∫ H i d l + ∫ H i d l = N i

2 2

− N1i1


 Como se observa en la Figura 2.10, los vectores H tienen la misma dirección que los  vectores d l y, además son constantes en sus respectivos tramos.

Por lo mismo: b

c

d

e

a

a

b

c

d

e

H a ∫ d l + H b ∫ d l + H c ∫ d l +H d ∫ d l + H e ∫ d l = N 2i 2 − N1i1

∴ H a lab + H b l bc + H c lcd + H d lde + H e lea = N 2i 2 − N1i1

Pero, si llamamos µ a , µ b , µ c , µ d , µ e , las permeabilidades de los materiales que

 conforman el circuito magnético y recordando que H = B∫ µ Ba

µa

lab +

Bb

µb

lbc +

Bc

µc

lcd +

Bd

µd

70

lde +

Be

µe

lea = N 2i 2 − N1i1


 Por último, como φ = ∫ B i d A , y asumimos las densidades constantes en toda la sección

recta del material, y perpendiculares a dicha sección recta:

φ = ∫ B d A Cos (0°) = ∫ B d A = B∫ d A = B Area sección recta Entonces, considerando iguales condiciones en nuestro circuito:

φ a lab φ b l bc φ c lcd φ d lde φ e lea + + + + = N 2i 2 − N1i1 µ a Aa µ b Ab µ c Ac µ d Ad µ e Ae

Donde, φa , φ b , φ c , φ d , φ e son los flujos en los tramos, y A a , A b , A c , A d , A e son las áreas de las secciones rectas de los mismos trayectos (cantidades que son iguales entre si, en nuestro ejemplo). Ahora, por definición, y similarmente a la resistencia eléctrica de un tramo de circuito eléctrico, se define como “resistencia” al paso de un flujo magnético, ó Reluctancia, a la cantidad: Rel =

l (longitud del tramo) µ (permeabilidad del material del tramo) A(sección recta del tramo)

Empleando esta definición en la ecuación de los flujos:

φ a Relab + φ b Rel bc + φ c Relcd + φ d Relde + φ e Relea = N 2i 2 − N1i1 En caso de ser iguales todos los flujos en los tramos:

φ = φa = φb = φc = φd = φe , tendremos:

φ [ Relab + Relbc + Relcd + Relde + Relea ] = N 2 i 2 − N1 i1 Consideremos ahora el caso siguiente (Figura 2.11): 71

Figura 2.11. Trayectorias de intensidades magnéticas

i1

i2 H cd

N1

N2

Aplicando la Ley de Ampere:

∫ H i d l = ∑ i

encerrada

A las dos trayectorias mostradas; y considerando las intensidades magnéticas constantes en los tramos: H ab lab + H bc lbc + H cd lcd + H da lda = N1 i1 H ce lce + H ef lef + H fd lfd − H cd lcd = N 2 i 2 Donde las trayectorias se escogieron de modo que correspondieran los sentidos dados como positivos por la regla de la mano derecha. El menos en la última trayectoria, es porque H cd es opuesto al sentido de la segunda trayectoria. Ahora debemos relacionar los Hs con las densidades Bs , en los tramos: Hi j =

Bi j → densidad en el tramo

µ i j → permeabilidad en el tramo

72

Consideremos todas las permeabilidades como constantes. ∴

Bab lab

µ

Bce lce

µ

+

+

Bbc l bc

µ

Bef lef

µ

+

+

Bcd lcd

µ

Bfd lfd

µ

+

+

Bda lda

µ

Bcd lcd

µ

= N1 i1

= N 2 i2

Y relacionando las densidades con los flujos en los tramos (que, evidentemente se asumen como constantes a lo largo de los tramos; es decir, que no existe dispersión).

φ ab lab φ bc lbc φ cd lcd φ da lda + + + = N1 i1 µ A ab µ A bc µ A cd µ A da φ ce lce φ ef lef φ fd lfd φ cd lcd + + + = N 2 i2 µ A ce µ A ef µ A fd µ A cd Solo supusimos que la densidad era una especie de valor constante (ó promedio), de forma que: Bi j =

φi j Ai j

Ahora, con la definición de Reluctancia: Reli j =

li j

µ i j Ai j

Tendríamos:

φ ab Relab + φ bc Relbc + φ cd Relcd + φ da Relda = N1 i1 φ ce Relce + φ ef Relef + φ fd Relfd − φ cd Relcd = N 2 i 2

73

Figura 2.12. Tramos de densidades de flujos

b

c

e

i1

i2

a

d

f

Con la suposición de que no existe dispersión:

φ ab = φ bc = φ da = φ1 φ ce = φ ef = φ fd = φ 2 φ cd = φ 3 Esta misma condición nos lleva a la relación: (A)

φ1 = φ 2 + φ 3

Y a las relaciones:

φ1 (Relab + Relbc + Relda ) + φ 3 (Relcd ) = N1 i1 (B)

φ 2 (Relce + Relef + Relfd ) − φ 3 (Relcd ) = N 2 i 2 Pero resulta que las ecuaciones (A) y (B) son las mismas “ecuaciones” de Kirchoff para los circuitos eléctricos. Armados con estos resultados es que los ingenieros han desarrollado la fructífera analogía entre los circuitos eléctricos y los circuitos magnéticos, y que ilustraremos en la Figura 2.13. 74

Figura 2.13. Circuito magnético y circuito eléctrico Rel1

Rel 2

φ1

φ2

N1 i1

Rel3

R1

R2

i1 N2 i2

V1

i2

V2

R3

Obsérvese que la analogía es muy completa:

φ , i : son análogas, requieren un circuito cerrado; son escalares pero tienen un sentido de circulación; ambas se representan en forma parecida:






 i = ∫ J id A

φ = ∫ B id A

Además, ambas cantidades cumplen sendas “leyes de Kirchoff”:

∑φ

que entran en un nodo

∑i

=0

que entran en un nodo

=0


  B y J : son análogas; son densidades de un escalar, y se relacionan con “intensidades” así:


 B= µH y


 J = cE

µ y c : son la permeabilidad y la conductividad, respectivamente, de los medios.

 B y E : son las intensidades de campo magnético y eléctrico.

V, Ni : fuerza electromotriz (ó voltaje eléctrico, ó, simplemente, voltaje) y fuerza magnetomotriz (ó voltaje magnético).

75

Ambos tienen polaridad; la de Ni dada por la regla de la mano derecha. Esta polaridad, en V indica en que dirección se produce la corriente, y en Ni indica la dirección en que se produce el flujo. R y Rel : la resistencia y la reluctancia. Ambas representan una “resistencia” de un tramo del circuito al paso del fluido ( i ó φ ), y tienen expresiones muy acordes con el sentido común:

Resistencia =

longitud media del tramo atravesado c(conductividad) Area transversal de dicho tramo

Reluctancia =

longitud media del tramo atravesado µ (permeabilidad) Area transversal de dicho tramo

iR y φ Rel : son las “caídas de voltaje” eléctrico y magnético, respectivamente, en un tramo.

2.6 CURVA DE HISTÉRESIS La reluctancia en algunos circuitos magnéticos es constante, al menos en los rangos de los valores de flujos utilizados. Cuando se grafica el valor del flujo contra el de la fuerza magnetomotriz que lo produce ( Ni ) (Ver Figura 2.14), obtenemos una línea recta.

Figura 2.14. Flujo contra f.m.m. con reluctancia constante

φ

φa α Ni

Ni a

76

Tan α =

φa Ni a

⇒ constante

Pero:

φa =

∴ Tan α =

φa Ni a

Ni a Rel

=

Ni a 1 = Rel Ni a Rel

Pero la reluctancia de muchos otros circuitos magnéticos varía cuando cambia el flujo. La gráfica de φ contra Ni (Figura 2.15) ahora no resulta una línea recta. Figura 2.15. Flujo contra f.m.m. con reluctancia variable

φ

φ remanente Ni

La curva que resulta muestra un comportamiento que puede resumirse en dos fenómenos: Saturación: al aumentar φ la característica se “inclina”, mostrando un aumento de la reluctancia.

77

Histéresis: cuando se vuelve a disminuir Ni , luego de alcanzar la zona saturada, la característica se devuelve por otro camino, siempre superior al de crecimiento. Este comportamiento se llama histéresis y lleva a la existencia de un “flujo remanente”. Es decir, que aunque la f.m.m. regrese a cero, el flujo no regresa a cero. Se afirma que el material quedó magnetizado; situación normal en los “imanes”.

Figura 2.16. Curva de histéresis φ

Ni

Por último, si la f.m.m. se varía cíclicamente, se obtiene una variación, también cíclica, del flujo. La gráfica que ilustra esta variación cíclica se denomina “ciclo de histéresis” (ver Figura 2.16). 2.7 CARACTERÍSTICAS MAGNÉTICAS DE LOS MATERIALES Los movimientos de los electrones sobre sí mismos (el spin) y alrededor del núcleo son los que dan las características magnéticas a los materiales.

Como resultado del orden simétrico que ocupan los electrones en los átomos, la mayoría de estos no tienen flujo magnético apreciable, pues los efectos de un electrón se cancelan con los efectos del otro. Solo átomos cuyos electrones no anulan entre si sus efectos magnéticos, producen un flujo magnético neto. Los más importantes entre estos átomos son: vanadio, cromo, manganeso, hierro, cobalto y níquel. Se entenderá el efecto magnético de un átomo como si tuviera una pequeña corriente circulatoria alrededor de él (Figura

78

2.17a). El modelo se hace mas funcional si imaginamos como cuadradas esas corrientes atómicas (Figura 2.17b). Figura 2.17. Efecto magnético de un átomo

i

φ

φ i

i

i

i

i

a

b

2.8 MATERIALES MAGNÉTICOS Y ANTIMAGNÉTICOS En los materiales ferromagnéticos, ó simplemente magnéticos, las f.m.m. atómicas, producidas por los pequeños circuitos cuadrados del modelo, se tienden a alinear en el mismo sentido, reforzándose y produciendo una f.m.m. neta en el material (Figura 2.18 a). En los antiferromagnéticos, ó antimagnéticos, las f.m.m.s de los átomos adyacentes se orientan en oposición, anulándose (Figura 2.18 b).

Figura 2.18. f.m.m. atómicas

i

a

b 79

El ferromagnetismo ocurre en muy pocos elementos en estado puro: hierro, cobalto y níquel. Pero puede lograrse que en un material antiferromagnético las f.m.m. atómicas no se anulen, aumentando el espaciamiento entre los átomos. En efecto, se ha comprobado que las fuerzas que tienden a orientar las f.m.m.s en sentido opuesto se producen cuando los átomos están muy cercanos, si se alejan, estas fuerzas pierden su influencia y las f.m.m.s se orientan en el mismo sentido. Este alejamiento se logra intercalando átomos de otro elemento. También es posible que el elemento intercalado tenga átomos cuya f.m.m. se ponga en oposición a la f.m.m. de los átomos originales, pero si tiene un valor diferente, de todas formas aparecerá una f.m.m. neta no compensada en el material. Estas mezclas de materiales que desembocan en comportamiento ferromagnético se denominan “ferritas”. Evidentemente, en máquinas solo interesan los materiales ferromagnéticos. 2.9 DENSIDADES DE FLUJO EN LOS MATERIALES FERROMAGNÉTICOS Modelamos estos materiales con átomos cuyas f.m.m.s. se orientan en el mismo sentido (Figura 2.19).

Figura 2.19. f.m.m.s de materiales ferromagnéticos

i

d

d d

80

Para hallar la intensidad del campo magnético en el interior de uno de estos materiales en función de la corriente circulante i, empleamos la Ley de Ampere en la trayectoria mostrada en la Figura 2.20a. Figura 2.20. Ley de Ampere para hallar intensidad de campo magnético

∞

∞
 H


 H

dl

a

∞

b

81






∫ H i d l = ∑ i

encerradas

En la parte b de la Figura 2.20 se muestra otro aspecto de la trayectoria. De esta forma:
  b
  c
  d
  H ∫ i d l = ∫ H i d l + ∫ H i d l + ∫ H i d l = i a

b

c

(unica corriente encerrada)

Entonces:

∫

b

a

c

d

a

b

c

d

H ab d l Cos (180°) + ∫ H bc d l Cos (0°) + ∫ H cd d l Cos (180°) + ∫ H da d l Cos (0°) = i

Pero como el tramo ad está “infinitamente” lejos del material, H da ≈ 0 . Solo quedará el valor H bc d en el tramo bc.

H bc d = i ∴ Hinterior =

i d

Este campo interno recibe, por definición, el nombre de “magnetización”, obteniéndose: i Amp ≅ 1.74 × 106 d metro

Esta magnetización es un valor gigantesco. Imagínese un toroide (Figura 2.21) de radio:

R=

1 metro con una corriente i circulando en un devanado de N espiras. 2π

82

Figura 2.21. Toroide con circulación de corriente por un devanado

El H en su interior será: H=

Ni Ni = Circunferencia media 2 π R

H=

Ni Ni = 1 metro metro 2π 2π

Si asumimos el número de espiras en 100.000, la corriente para producir un H parecido al de la magnetización del hierro, será: H = 1.74 × 106

Amp esp 105 esp × i = metro 1 metro

∴ i = 17.4 Amperios

Calculemos ahora la densidad de flujo dentro del átomo de hierro: B = µ0H =

4π × 10−7 Amp esp Web ×1.74 × 106 = 2.18 2 m Amp esp A m

¿Pero si hablamos del interior del hierro, por qué usamos µ 0 , siendo que µ 0 es la permeabilidad del vacío y no la del hierro? 83

Buena pregunta. La respuesta es muy simple: en realidad los materiales son vacío mas algunas partículas (núcleos y electrones) y en ellos se debe usar siempre µ 0 que es la permeabilidad del vacío; pero, desde un punto de vista macroscópico, el efecto de los H atómicos, ó f.m.m.s atómicas, se puede reemplazar por un cambio en la permeabilidad. En otras palabras, los campos se pueden calcular en dos formas: Usando: H externo de las bobinas , H interno de los átomos , y µ 0 (permeabilidad del vacío) ó usando: H externo de las bobinas y µ (permeabilidad del hierro).

2.10 EFECTO DE LA TEMPERATURA La agitación térmica puede destruir el alineamiento de las f.m.m.s atómicas. A una cierta temperatura, propia de cada material, y llamada Temperatura Curie, en honor del científico francés que trabajó en su esclarecimiento, el alineamiento de esas f.m.m.s es totalmente destruido, desapareciendo cualquier campo magnético promedio en el material.

Figura 2.22. Variación de la intensidad de campo

H interno medio

i d

TCurie En la Figura 2.22 se observa como varía la intensidad media con la temperatura; la H interna disminuye con la temperatura y es cero en el valor, ya mencionado, conocido como Temperatura Curie. 84

Algunos valores para esta temperatura son: 770°C → Para el Hierro 1115°C → Para el Cobalto 384°C → Para el Níquel 2.11 PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LOS CRISTALES En los materiales ferromagnéticos las f.m.m.s atómicas vecinas se orientan en el mismo sentido. Ahora, ese sentido depende mucho de la estructura cristalina del material (Figura 2.23).

Figura 2.23. Estructura del material ferromagnético

El hierro tiende a magnetizarse (es decir, a orientar las f.m.m.s. atómicas) en las direcciones ± x , ± y , ± z , o sea en el sentido de las aristas del cubo cuyos vértices son los núcleos de los átomos. El níquel, en cambio, se tiende a magnetizar en la dirección de las diagonales principales del cubo: ± a , ± b , ± c , ± d .

Supongamos un cristal cúbico de hierro con sus f.m.m.s inicialmente al azar (Figura 2.24a). Para orientarlas en el sentido de una arista, que corresponde a una de las direcciones de fácil magnetización, basta colocar un H externo en ese sentido. Los electrones al moverse en ese campo experimentan fuerzas y orientan su sentido de giro de modo que sus f.m.m.s se orientan con el H externo .

85

Figura 2.24. Cristal cúbico de hierro f.m.m atómica

H externo

Sin H externo

Con H externo

a m

b

( Amp m) 1.74 × 106

H externo Amp

(

c

m

)

Es muy pequeña la H externa necesaria para lograr esa orientación, como se trata de ilustrar en la Figura 2.24c, en la que se graficó la magnetización promedio en el sentido del H externo . Al principio la m (magnetización) era nula por la orientación promedio cero; al aplicar el H externo , las f.m.m.s se orientan casi inmediatamente en su dirección y el H interno alcanza el valor de saturación, el mayor posible, que corresponde a todas las f.m.m.s orientadas en el mismo sentido. Por más que se incremente el H externo , ya no se conseguirá aumentar el H interno .

Ahora, si se quieren orientar las f.m.m.s atómicas en una dirección que no corresponda a una arista, o sea a una de las direcciones de fácil magnetización, el H externo que se debe aplicar es mucho mayor, como se ilustra en la Figura 2.24c, con la línea punteada. Claro 86

que al final, con un H externo suficiente, también se logra la saturación, o sea, la orientación completa en una dirección de todas las f.m.m.s atómicas. Figura 2.25. Magnetización promedio en el sentido del H externo

H interno =

H interno =

H externo

H externo

Otra diferencia entre la magnetización en una dirección de fácil magnetización y en una dirección distinta se presenta cuando se anula el H externo que produjo la orientación. Cuando es en la dirección de fácil magnetización las f.m.m.s permanecen orientadas, de modo que el fenómeno de histéresis es muy manifiesto; pero cuando no es en una dirección de fácil magnetización las f.m.m.s tienden a volver a sus orientaciones originales, y la histéresis es menos manifiesta. Figura 2.26. Comportamiento de las f.m.m.s atómicas

87

Se pueden interpretar esos comportamientos de las f.m.m.s atómicas por un “modelo” (Figura 2.26) que representa las f.m.m.s como vectores sólidos (flechas) unidos por un resorte al eje de fácil magnetización mas cercano. Cuando una de estas f.m.m.s se separa de este eje el resorte trata de impedirlo, pero una vez que la f.m.m queda más cercana de otro eje de fácil magnetización, el resorte salta bruscamente hacia el eje más cercano y actúa acercando la f.m.m a ese eje. La energía almacenada en esos hipotéticos “resortes” es una energía potencial y se suele llamar “anisotrópica”, por depender de la orientación en el espacio. 2.12 ESTADO “NORMAL” DE LOS MATERIALES MAGNÉTICOS Todo sistema tiende a alcanzar un estado de energía almacenada mínima; y lo alcanza si sus “grados de libertad” se lo permiten. Por lo tanto, un material magnético, en lo que respecta a su estado energético dependiente del campo magnético, tiende a alcanzar un estado en el cual la Wmagnética = Walmacenada en el campo magnético + Wanisotrópica , sea un mínimo.

La distribución más posible se presenta cuando el flujo magnético está confinado en el menor volumen posible. Figura 2.27. Orientación de f.m.m.s atómicas

Esto lleva a que en los materiales magnéticos (Figura 2.27), las f.m.m.s atómicas se orientan en el mismo sentido en regiones vecinas, llamadas dominios, y cuyas direcciones de fácil magnetización coinciden más ó menos. El flujo trata de circular por los dominios vecinos ocupando el menor volumen posible.

88

El flujo en el interior de esos dominios será aproximadamente: Para el hierro

:

2.2 Weber/m2

Para el cobalto

:

1.8 Weber/m2

Para el níquel

:

0.6 Weber/m2

Densidades gigantescas, que requerirían enormes corrientes para producirlas en el aire, sin ayuda de materiales magnéticos. Para aprovecharlas se usan H externos , producidos por bobinas, que crecen los dominios cuyas direcciones coinciden con la dirección del H externo , lográndose que todas las f.m.m.s atómicas, o casi todas, actúen en el sentido del campo de la bobina. Hay dos posibilidades: Figura 2.28. Núcleos cerrados

φ H ext

H ext

a

b

c

En núcleos cerrados (Figura 2.28a). El flujo puede mantenerse siempre en el interior del material magnético. En núcleos abiertos (Figura 2.28b y c). En este caso el flujo requiere circular por el aire durante un trayecto. Cuando este trayecto es corto se suele denominar “entrehierro”. Ahora, como el H externo es proporcional a la f.m.m de la bobina y el flujo es proporcional al H neto interno , tenemos que una gráfica del flujo contra la f.m.m de la bobina tendrá la misma

89

forma de la curva de histéresis ya vista, (Figura 2.29). O sea que tendrá las mismas regiones de crecimiento rápido al principio, saturación más adelante e histéresis al disminuir la f.m.m aplicada por la bobina. Figura 2.29. Flujo contra la f.m.m de la bobina

φ = BH = µ HA

φ remanente N i = H ext × longitud

2.13 ENERGÍA EN LA MAGNETIZACIÓN Si consideramos que la bobina que produce el H externo tiene unas pérdidas insignificantes,

podemos calcular la energía requerida para crear un flujo φ en el núcleo. En efecto Figura 2.30. Figura 2.30. Flujo en el núcleo

φ

90

Pconsumida por la bobina = Vi =

d Energía consumida por la bobina dt t ,φ

∴ Energía para crear el flujo φ = Energía consumida por la bobina =

∫

Vi d t

t = 0,φ = 0

Y aceptando que el único voltaje apreciable en la bobina es el inducido por el flujo: V=N

dφ dt

Tendremos: t ,φ

∫

Energía para crear φ =

t = 0,φ = 0

φ

Ni

dφ d t = ∫ Ni dφ dt φ =0

Figura 2.31. Energía gastada en crear el flujo

φ

Ni

dφ

φ

Ni

91

O sea, (ver Figura 2.31) que la energía que se gasta en crear el flujo φ es el área entre la curva de histéresis y el eje del flujo. Si aproximamos el área que representa la energía a la de un triángulo, tendremos, como una burda idea de la energía para crear un flujo, la relación siguiente: 1 Energía para crear φ = φ Ni máxima 2

Por ejemplo, para crear un Weber con un amperio y cien espiras, se requiere la energía:

Energía para (φ = 1 Weber ) con (Ni = 100 Amp esp ) =

1× 100 = 50 Joules 2

Al desaparecer, ó disminuir φ , vuelve a inducir tensión en la bobina, de modo que el campo devuelve energía al circuito. Pero debido a la histéresis no toda la energía es devuelta (Figura 2.32). Figura 2.32a. Energía devuelta al circuito

φ

φ

Ni

92

Figura 2.32b. Ciclo de histéresis

φ

Ni

Energía que consume la bobina = Área ABD. Energía devuelta por el flujo al disminuir = Área ABC. Energía neta perdida por el circuito = Área CBD. Cuando se hace cíclico el proceso, tenemos que la energía perdida por el circuito en un ciclo es igual al área encerrada en el mismo ciclo de histéresis (Figura 2.32b). 2.14 MATERIALES DE GRANO ORIENTADO Vimos que en los cristales existen direcciones de fácil magnetización, en las cuales es muy poco costoso, en términos de campo externo, orientar las f.m.m.s atómicas. Pero lo usual es que los materiales estén compuestos de millones de cristales cuyas orientaciones varían más ó menos al azar. Este hecho malogra la posibilidad de usar esa propiedad para fines prácticos.

Sin embargo, empleando técnicas especiales de laminado es posible lograr láminas de materiales magnéticos en las cuales los cristales tienen una orientación promedia que coincide con una de las direcciones de fácil magnetización, y que debe corresponder a la

93

dirección en la que se quiere magnetizar el material. Como resultado de esta orientación favorable, su curva de histéresis se hace substancialmente cuadrada (Figura 2.33). Figura 2.33. Curva de histéresis cuadrada

(

B Weber

m2

)

(

H Amp

m

)

Fuerza coercitiva Este comportamiento se explica por la rotación casi simultánea de muchas de las f.m.m.s atómicas, cuando el campo aplicado supera cierto valor llamado “fuerza coercitiva”, desde un sentido en la dirección de fácil magnetización al sentido contrario en esa misma dirección. O sea que las f.m.m.s hacen un giro de 180° cuando el campo externo supera el valor de la fuerza coercitiva. 2.15 MATERIALES PARA MAGNETOS PERMANENTES Se caracterizan por ser capaces de producir un campo magnético externo y mantenerlo a pesar de que experimenten campos externos grandes, aún en sentido contrario al de su magnetización. En pocas palabras: poseen elevadas fuerzas coercitivas.

94

Figura 2.34. Comparación de curvas de histéresis

(

B Weber

m2

) Alnico

1.25

Hierro dulce

(

H Amp 100

m

)

50.000

En la Figura 2.34 se comparan las curvas de histéresis para un hierro “blando” (o sea, poco apto para fabricar imanes naturales) y un material “duro” (apto para hacer los imanes). Obsérvese que con ambos materiales se logran densidades de flujo más ó menos iguales; pero la fuerza coercitiva y el flujo remanente son muy diferentes. 2.16 FLUJO MAGNÉTICO EN ENTREHIERROS Cuando el flujo magnético encuentra un entrehierro sufre una “dispersión” (ver Figura 2.35).

Figura 2.35. Dispersión del flujo magnético

95

En lugar de seguir en la dirección que tenía en el material magnético, se trata de “abrir”, de ocupar más área que la que ocupaba en el núcleo. Para tener una idea, al menos aproximada, de como se comporta un flujo en un entrehierro, se hace una analogía con la corriente eléctrica: se considera el núcleo como si fuera un conductor perfecto (un “equipotencial”) y el aire como otro conductor de más resistividad (Figura 2.36). Figura 2.36. Flujo en un entrehierro

la la

d2

d1

la la la

l1

la

La línea que pasa simétricamente entre los “polos” del núcleo sería otro equipotencial. Lo mismo serían las otras líneas punteadas colocadas entre la línea central y los polos, de modo que su “distancia” a la línea central y a los polos sería la misma. Por esa “distancia” se entiende la longitud de la curva trazada de modo que es perpendicular a esas mismas líneas equipotenciales. Por último, la separación entre las líneas de campo debe hacerse más ó menos proporcional a la longitud de las líneas: d1 d 2 ≅ l1 4la

96

Como el fenómeno de la dispersión complica el cálculo de las reluctancias en los entrehierros se usa el concepto de “área” eficaz. Así la reluctancia del entrehierro mostrado en la Figura 2.37, sería: Figura 2.37. Área eficaz

Re l g =

g µ 0 Area eficaz

Donde el área eficaz la calculamos así:  ag   bg  Área eficaz =  a + b +  a + g  b+g   a + 2g   b + 2g  = a b   a+g   b+g 

O sea añadimos a cada lado del área del núcleo la combinación en “paralelo” de lado y entrehierro. Para valores muy pequeños de g, esta corrección equivale a sumar a cada lado la longitud del entrehierro. 97

3. CONSTITUCIÓN, FUNCIONAMIENTO Y DIAGRAMA FASORIAL 3.1 CONSTITUCIÓN DE LAS MÁQUINAS SINCRÓNICAS 3.1.1 Estator. Es la parte estática de la máquina. Generalmente es un cilindro de material magnético que posee ranuras en su superficie interna para poder ubicar las bobinas. Las bobinas están formadas por varias espiras. Se llama espira a cada vuelta de conductor aislado arrollado sobre un núcleo. La porción de bobina que queda fuera de la ranura se llama “cabeza de bobina”, y la porción que esta dentro de la ranura es llamada “lado de bobina”. Figura 3.1. Porción de estator de la máquina

En máquinas o en devanados, fase es cada una de las bobinas (o conjunto de bobinas) por los cuales circula una corriente diferente. El estator de una máquina sincrónica posee un devanado trifásico, en la mayoría de los casos.

99

Figura 3.2. Esquema de devanados del estator

fase 1 i1

i2

fase 2 i3

fase 3

120° 120°

120° i2

Símbolo para la corriente entrando al plano del dibujo. Símbolo para la corriente saliendo del plano del dibujo.

i3 i1

3.1.2 Rotor. Es la parte de la máquina que puede rotar; está montada en el eje y gira con éste. Es básicamente un electroimán formado por un arrollamiento alrededor del núcleo. El espacio libre entre el rotor y el estator se denomina entrehierro. Figura 3.3. Esquema de la máquina

100

Montados sobre el eje existen unos anillos rozantes que permiten conectar los conductores del rotor al exterior, para que estos no se enreden cuando el rotor gira (Figura 3.4). La parte de los anillos rozantes que está en contacto con el eje es de material aislante, para no crear un corto circuito. La corriente entra y sale de los anillos por medio de platinas de carbón llamadas escobillas. Figura 3.4. Eje, anillos rozantes y rotor de la máquina

En la parte exterior de la máquina se encuentran (Figura 3.5): 3.1.3 Carcasa. Es la cubierta metálica de la máquina que tiene por función proteger el estator y el rotor. 3.1.4 Bornera. Es el dispositivo que soporta los terminales de la máquina y permite su conexión al exterior.

101

3.1.5 Placa de especificaciones. Debe ir en un lugar visible y contiene básicamente información relativa al fabricante, modelo, número, tipo de máquina, potencia, voltaje, RPM y frecuencia. 3.1.6 Cojinetes. Soportan y permiten el giro del rotor. Pueden ser de resbalamiento ó de rodamientos. Son los accesorios mecánicos que requieren más mantenimiento. Figura 3.5. Parte exterior de la máquina

3.2 PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO 3.2.1 Producción de flujo en el rotor. Alimentando el rotor con C.D se trata de producir una distribución de flujo en el entrehierro lo más cercana a una onda senoidal. Esta distribución, como es producida por C.D, no varía en el tiempo respecto al rotor, pero puede “girar” si este lo hace. En la Figura 3.6 se muestra esta distribución, donde B es la densidad de flujo en un punto del entrehierro. Se asume que a lo largo de la máquina (en la dirección del eje) la distribución de flujo es constante.

102

Figura 3.6. Distribución de flujo

B ds

L

El flujo que atraviesa el entrehierro en un diferencial de su periferia, d s , es:

dφ = B d s × L

Donde: dφ : es el diferencial de flujo que atraviesa el entrehierro, en Weber .

B : es la densidad de flujo en el punto escogido para el ds , en

d s : es el diferencial de periferia, en metros .

L : es la longitud de la máquina, en metros .

103

Weber = Teslas . m2

Si el rotor es de polos salientes, se concentran los devanados, pero se utiliza un entrehierro variable. En el caso de rotor liso se tiene un entrehierro constante (despreciando el efecto de las ranuras) pero se distribuyen los devanados. Lográndose en ambos casos el mismo objetivo: una distribución de B senoidal (Figura 3.7a). Figura 3.7a. Devanado concentrado y distribuido

En la Figura 3.7b se muestra la distribución para el caso de polos salientes. Figura 3.7b. Distribución de flujo de la máquina de polos salientes

104

3.2.2 Flujo ligado a una espira colocada en una distribución senoidal de flujo. Figura 3.8. Flujo por la bobina

B

L

ds dα

F2

F1 α1

2πR P

0°E 0 rE

α2

180°E πrE

Con ayuda de la Figura 3.8, intentaremos hallar el flujo que pasa por la bobina mostrada.

φ que pasa por la bobina = φ encerrado entre α

1

yα2

Donde α 1 y α 2 son ángulos medidos desde una referencia situada entre dos polos, en “radianes eléctricos”. El φ encerrado entre α 1 y α 2 es: α2

α2

∫ dφ = ∫ B i d s i L α1

α1

Si la distribución de flujo es senoidal: B = Bmax Sen α α2

∴φ =

∫B

max

i Sen α iL d s

α1

105

α2

= L ⋅ Bmax

∫ Sen α ⋅ d s α1

Es necesario un cambio de variables para integrar. De la Figura 3.8 se concluye que π radianes eléctricos corresponden a un polo. De esta forma: 2π ⋅ R ds metros = d α π radianes eléctricos

Entonces: α2

φ = L ⋅ Bmax ∫ Sen α ⋅ α1

2π ⋅ R dα P⋅π

Donde R es el radio desde el centro del rotor a la mitad del entrehierro. Resolviendo la integral:

φ = L ⋅ Bmax ⋅

= L ⋅ Bmax

2π ⋅ R α ⋅ [ −Cos α ]α 2 1 P⋅π

2π ⋅ R ⋅ ( −Cos α 2 + Cos α 1 ) P⋅π

Pero si la bobina tiene el mismo ancho de un paso polar, π radianes eléctricos: α 2 = α1 + π

Cos α 2 = Cos ( α 1 + π ) = −Cos α 1

106

∴φ =

L ⋅ Bmax ⋅ 2 π ⋅ R ⋅ 2 ⋅ Cos α 1 P⋅π

∴φ =

L ⋅ 2 π ⋅ R 2Bmax ⋅( ) ⋅ Cos α 1 P π

Pero: Bmedia =

Bmax ⋅ 2 π

(en una distribución senoidal). Por lo cual:

φ Ligado a la bobina =

L2 π R Bmedia Cos α 1 P

Ahora el flujo que produce un polo se calcularía de la misma forma, usando la integral. O con el concepto de densidad media:

φ polo = Área frente a un polo × Bmedia

∴φ polo =

Bmedia ⋅ ( 2 ⋅ π ⋅ R ⋅ L ) P

Es decir, este es el flujo total producido por un polo, en función de la densidad media de flujo. En función de este flujo por polo, el flujo ligado a una bobina quedaría:

φ Ligado a la bobina =

L2 π R Bmedia Cos α 1 = φ polo Cos α 1 P

Este resultado permite utilizar un modelo elemental para representar la máquina (Figura 3.9):

107

Figura 3.9. Modelo elemental de la máquina

φ polo α1

El flujo ligado con la espira, es decir, el flujo que la atraviesa es:

φ = φ polo Cos α 1 Basta, entonces, proyectar el “flujo por polo” sobre el eje de la espira. El flujo por polo se representa por un vector, aunque el flujo en si no es una cantidad vectorial; puede decirse que se trata de un vector “asociado” al flujo. El flujo ligado con una bobina formada por N espiras será:

φ = φ polo Cos α 1 N 3.2.3 Torque sobre una espira. Calculemos el torque sobre la espira anterior cuando circula una corriente i por ella.

108

Figura 3.10. Torque sobre espira

φ polo Centro de la Espira

B

F2

F1 α1

α1 B

Las fuerzas en ambos lados de la bobina tienen el mismo sentido pues se invierten B e i simultáneamente: F = F1 = F2 = Bi L = Bmax Sen α 1 i L

El torque sobre la espira es la fuerza por el radio: T = 2F × R = 2 Bmax Sen α 1 i L R

Pero: Bmax =

Bmedia ⋅ π 2

Entonces: T=

=

Bmedia ⋅ 2 π ⋅ R ⋅ L ⋅ i ⋅ Sen α 1 2 Bmedia ⋅ 2 π ⋅ R ⋅ L P ⋅ ⋅ i ⋅ Sen α 1 P 2

P = φ polo . ⋅ i ⋅ Sen α 1 2

109

El torque sobre una bobina de N espiras será: P Tsobre bobina = φ polo   N i Sen α 1 2

Pero la bobina al ser recorrida por la corriente i produce un flujo:

φ bobina = ∴ T sobre bobina =

Ni Rel

P φpolo × φ bobina × Rel × Sen α 1 2

3.2.4 Modelo elemental. (Máquina Monofásica)

Figura 3.11. Modelo elemental de máquina monofásica

φ bobina φ polo α1 W

Representando el flujo de la bobina por un vector asociado, como en el caso de φ polo , entonces: Tbobina = φ polo φ bobina Rel Sen α 1

110

La máquina real tiene

P pares de polos, T , el torque total en ella será: 2 P Tmaq. real =   Tmodelo 2

Regresando al modelo elemental, la tensión inducida en la bobina será: d [flujo ligado a la bobina ] dt d e = −  N ⋅ φ polo ⋅ Cos α 1  dt d α1 = N ⋅ φ polo ⋅ ⋅ Sen α 1 dt e=−

Donde

d α1 dt

= W es la velocidad angular instantánea en radianes eléctricos

segundo

.

Para representar esta tensión inducida podemos asignarle una especie de vector asociado (o fasor) atrasado 90°E respecto al vector φ polo , siendo la tensión instantánea la proyección de ese vector sobre el eje de la bobina. Figura 3.12. Tensión proyectada en el eje de la bobina

φ polo θ

α1

W

111

La magnitud de este vector es: E = N φ polo W e = E Cos θ = E Cos ( 90° − α 1 ) = E Sen α 1 = N φ polo W Sen α 1

P pares de polos, y se considera que los devanados de las 2 máquinas bipolares están en serie, entonces:

Como la máquina real tiene

emaq. real =

=

P e en cada par de polos 2 P N φpolo W Sen α 1 2

El valor R.M.S. del fasor de la tensión inducida es:

E (R.M.S) =

N φpolo W E P N φpolo W = ; E (R.M.S)máquina real = 2 2 2 2

Utilizando este valor R.M.S. la tensión instantánea será:

e = E (R.M.S.)× 2 Sen α 1 ; e máquina real =

P E (R.M.S.)× 2 Sen α 1 2

3.2.5 Flujo en el estator. Hasta el momento se ha considerado un solo devanado (o bobina) en el estator. Este tipo de máquina, llamada monofásica, entre otras desventajas tiene la del torque, que es variable, ya que el ángulo α 1 y el φ de la bobina necesariamente son variables. Los torques variables producen molestas oscilaciones mecánicas.

112

Para lograr un torque constante se requiere que tanto α 1 como la magnitud de φ bobina permanezcan constantes. Esto se logra utilizando devanados polifásicos, siendo el más usado el trifásico, que se estudia en adelante. Figura 3.13. Circulación de corriente por devanados

i1

i1

i3

i2

i3

i2

Convención: los sentidos indicados muestran como circulan las corrientes cuando son positivas; cuando las corrientes son negativas circulan en sentido contrario al asumido. Se utilizan tres bobinas iguales, a 120° y alimentadas con C.A. La C.A varía en el tiempo y produce un flujo pulsante, que cambia de magnitud y sentido continuamente. El flujo producido en el estator de una máquina sincrónica trifásica puede ser representado por un flujo giratorio. 3.2.6 Flujos giratorios. Son flujos que giran en el espacio. La forma más sencilla de obtener un flujo giratorio es empleando una bobina giratoria alimentada con C.D; este es el caso del rotor.

113

Figura 3.14. Flujo giratorio

Wm

φ

ICD

También se pueden obtener flujos giratorios empleando C.A. La C.A produce un flujo pulsante o alterno en cada bobina de N espiras cuyo valor es:

φ alterno =

Si i = I R.M.S.

Ni Rel

2 Cos (W t ) , tendremos:

φ alterno =

N I R.M.S Rel

2

Cos (W t)

La forma como varía el flujo giratorio se representa en la Figura 3.15.

114

Figura 3.15. Variación de flujo giratorio

φ

t0

t1

t2

t3

t4

t0

t5

t6

t2

t7

t8

t5

t1

t4

t6

Esos flujos pulsantes pueden representarse por dos flujos giratorios. Para entender el método, imagínese el flujo pulsante representado por un “vector”, y obsérvese como este vector se puede representar por dos vectores giratorios (Figura 3.16). Figura 3.16 Vectores de flujo pulsante t1 t0

t2

t3

WW W

t4

t6

t5

t7

W W W

115

W

W

Cada flujo giratorio tiene como magnitud la mitad de la magnitud del flujo pulsante:

φ giratorio =

N IR.M.S 2 2 Rel

Un ciclo del flujo pulsante es equivalente a una vuelta de los flujos giratorios. Considerando ahora las tres fases que constituyen el estator de la máquina sincrónica: Figura 3.17. Fases del estator

i3 = I e Cos (W t − 240° ) i1 = Ie Cos ( W t )

i 2 = Ie Cos (W t − 120° ) Diagrama fasorial de las corrientes:

116

Figura 3.18. Diagrama fasorial de corriente

i3

i1 Wt

i2 Estas corrientes representadas en forma senoidal son: Figura 3.19. Representación senoidal de las corrientes

i1

i2

i3

Wt

Cuando W t = − θ° , descomponiendo cada flujo en dos flujos giratorios. 117

Figura 3.20. Descomposición de flujos giratorios W W

W W W W θθ

Superponiendo los diagramas de las tres fases, obtenemos: Figura 3.21. Diagrama fasorial de las fases

W

W W

W

Formando dos conjuntos de a tres vectores, se tiene: Figura 3.22. Flujo resultante

W

W W W

118

Entonces el flujo total producido por un devanado trifásico alimentado con corrientes trifásicas balanceadas es un flujo giratorio cuya magnitud es constante, e igual a tres veces la magnitud de cada flujo giratorio individual:

 3  N I

2

φ e =    e   2   Rel 

Donde escribimos como Ie al valor I R.M.S , el valor R.M.S., de las corrientes por las bobinas del estator. Este flujo es de magnitud constante, pero gira en el espacio a una velocidad angular W = 2 π f . Donde f es la frecuencia de las corrientes que producen el flujo.

3.2.7 Producción de torque. Se dijo que el torque en la máquina 1φ era variable; en esta máquina 3φ el torque puede ser “constante”, veamos como.

Figura 3.23. Torques de la máquina

Tsobre el rotor

φr

α1

Tsobre el estator

Wr

φe

119

La velocidad de φ e depende exclusivamente de la frecuencia de las corrientes del estator:

Ws = 2 π f

rad elect seg

Entonces si: Ws = Wr , o sea, el rotor y el flujo giran en sincronismo, el ángulo α 1 permanece constante. Si además, las corrientes en el rotor y en el estator permanecen constantes en magnitud:

φ r (ó φpolo ) =

φe =

Nr ir ,y Rel 3 Ni e 2 2 Rel

Son flujos constantes en magnitud. Por lo tanto, el torque, dado por: T = Rel φ r φ e Sen α 1 será constante.

Este torque puede ser el que experimenta el rotor ó el que experimenta el estator, pues por la ley de la acción y de la reacción, deben ser iguales. 3.3 FUNCIONAMIENTO Y CONTROL ELEMENTAL DE LAS MÁQUINAS SINCRÓNICAS 3.3.1 Funcionamiento como generador. Para lograr que la máquina funcione como generador, el rotor se impulsa mediante un motor auxiliar, y se excita con C.D. Entonces, su devanado producirá un φ r y son inducidas tensiones en el estator, cuyas corrientes

producen el flujo φ e que, al interactuar con φ r , crea un torque electromagnético.

120

Figura 3.24. Funcionamiento como generador

φr Tmagnético

Wr

Tmecánico

φe

Sobre el rotor actúan el torque mecánico del motor impulsor, representado como una turbina, y el torque magnético que tiene sentido contrario a la velocidad. Describiremos, sin explicación, los efectos de las “acciones de control”. O sea los cambios en el funcionamiento que podemos inducir en la máquina y sus posibles efectos. ¿Se pueden entender con lo que llevamos de teoría? Se deja como ejercicio tratar de explicar esos efectos. Más que matemáticas se requiere sentido común. En este modo de funcionamiento el control se reduce a: - Variando el Torque Mecánico: cambia la velocidad, y la frecuencia por consiguiente, cuando la máquina no trabaja sobre un sistema muy “grande” comparado con ella. Cuando el sistema es muy “grande” comparado con la máquina la frecuencia se mantiene constante, la velocidad no puede cambiar, y la variación del torque mecánico se contrarresta con las variaciones del torque magnético. Por sistema “grande” se entiende uno cuya potencia nominal es mayor que la potencia nominal de la máquina. - Variando la Excitación: cambia la magnitud de φ r . Cuando el sistema no es muy grande esto puede conllevar variaciones en todas las magnitudes eléctricas menos la frecuencia. Si el sistema es muy grande la variación de la corriente de excitación tiene influencia solo en la potencia reactiva. 3.3.2 Funcionamiento como motor. En este funcionamiento el torque magnético impulsa el rotor y el torque mecánico, o de carga, se opone al movimiento:

121

Figura 3.25. Funcionamiento como motor

φr Tmecánico

Wr Tmagnético

Wr W

φe El control puede ser: - Variando la Excitación: Esto solo cambia la potencia reactiva que toma de la fuente el motor. - Variando la frecuencia de la alimentación: se logra variar la velocidad del motor. - Variando la Tensión Aplicada: no se logra cambiar la velocidad; se modifica la potencia reactiva como en el caso de variar la excitación. 3.4 TENSIONES INDUCIDAS EN EL DEVANADO DEL ROTOR Ya que el flujo del rotor y el del estator giran a la misma velocidad y el ángulo α 1 permanece constante, entonces:

φ ligado al rotor = N r φ r + φ e N r Cos α 1 e inducida rotor = −

d d φ ligado al rotor ) = − ( N r φ r + φ e N r Cos α 1 ) = 0 ( dt dt

Es decir, no existe tensión inducida en el rotor. Más sencillo: como los flujos φ r y φ e no “cortan” el devanado del rotor, no inducen tensiones en él. 122

Figura 3.26. Tensión inducida en el devanado del rotor

φr

α1 Nr

φe

3.5 TENSIONES INDUCIDAS EN LOS DEVANADOS DEL ESTATOR

Figura 3.27. Tensión inducida en el devanado del estator

φe

E ee

Wr t + θ1

Wr

Ne

α1

φr

Wr

123

Los flujos φ r y φ e si “cortan” los devanados del estator.

Veamos las tensiones inducidas en ellos:

φ ligado a un devanado estator = φ e N e Cos (Wr t + θ1 ) + φ r N e Cos (Wr t + θ1 + α 1 ) Recordemos que basta con “proyectar” los flujos en los ejes de las bobinas para hallar los flujos ligados. Como:

e inducida = −

d d φ ligado  = − φ e N e Cos (Wr t + θ1 ) + φr N e Cos (Wr t + θ1 + α 1 )   dt dt 

e inducida = N e φ e Wr Cos (Wr t + θ1 − 90° ) + φ r N e Wr Cos (Wr t + θ1 + α 1 − 90° )

∴ E inducida =

N e φ e Wr 2

Wr t + θ1 − 90° +

N e φ r Wr 2

Wr t + θ1 + α 1 − 90°

Es decir, tenemos dos tensiones inducidas en el estator:

a) E inducida por φ r en el estator = E er =

b) E inducida por φ e en el estator = E ee =

N e φ r Wr 2 N e φ e Wr 2

Wr t + θ1 + α 1 − 90°

Wr t + θ1 − 90°

124

3.6 DIAGRAMA FASORIAL

Figura 3.28. Diagrama fasorial

Ie

E er

φe θz

Ie

E ee

θ Tsobre rotor

φr

Wr

Solo se representa una bobina del estator, pero debe tenerse presente que son tres bobinas. El flujo excitador del rotor gira a una velocidad Wr haciendo un ángulo con el eje de la bobina: θ = Wr t + θ1 + α 1 . Este flujo induce una tensión en los devanados del estator:

E er = E er Wr t + θ1 + α 1 − 90°

Tensión que se representa por un fasor atrasado 90° respecto al flujo inductor, φ r .

Si los circuitos de estos devanados tienen cargas iguales, por ellas circularán corrientes balanceadas, que son representadas por el fasor: Ie =

E er E er Wr t + θ1 + α 1 − 90° E er = = Wr t + θ1 + α 1 − 90° − θ z Z Z θz Z

125

Donde Z = Z θ z es la impedancia total de los circuitos del estator. Entonces, la corriente se atrasa θ z ° respecto a la tensión inducida, y así se representa en el diagrama fasorial. En fase con Ie aparece el flujo φ e producido por esa corriente. Y atrasada 90° respecto a φ e aparece la tensión E ee , inducida por φ e . 3.7 CIRCUITO EQUIVALENTE Será un circuito que represente los principales fenómenos que ocurren en la máquina. 3.7.1 Bobina del rotor. El flujo del rotor y el flujo del estator giran a la misma velocidad y el ángulo entre ellos permanece constante por lo que no se induce tensión en la bobina del rotor.

Entonces, la bobina puede representarse por una resistencia y una inductancia en serie: Figura 3.29. Circuito equivalente de bobina del rotor

Ir Rr

Lr

Pero como el rotor se alimenta con C.D (constante en el tiempo) Lr ⋅

d ir =0 dt

Se puede, entonces, representar el rotor por una resistencia solamente, la cual será su circuito equivalente:

126

Figura 3.30. Circuito equivalente simplificado de bobina del rotor

Ir

Rr

3.7.2 Bobinas del estator. El flujo φ r tiene una distribución senoidal de la densidad, pero

la línea de acción de φ e no coincide con los polos, esto causa que la distribución de la densidad de flujo no se acomode a la senoidal. Figura 3.31. Flujos, tensión y corriente de la máquina

φr

E Ie

φe

Para resolver los problemas que se derivan de esta distribución irregular, Blondel ideó la “teoría de las dos reacciones”. Esta teoría descompone la fuerza magnetomotriz del estator en dos fuerzas, que actúan una en el sentido del eje de los polos, “eje directo”, y la otra en el sentido de la línea interpolar, “eje en cuadratura”.

127

Figura 3.32. Descomposición de f.m.m.

q

Iq

φr

Ie

Wr Id

d

Eje de la bobina del rotor o eje directo

Eje en cuadratura

En lugar de trabajar con las f.m.m.s, se representan las corrientes, lo que viene a ser lo mismo.    I e = I q + Id

Ahora, recordando la expresión para el flujo giratorio, vista previamente, las f.m.m.s correspondientes serán: 3   3  3   NIe 2 =  NIq + NId  2 2 2 2 



Los flujos respectivos son:

∴

 

φe = φq + φd  3 N Id 2 φd = 2 Reld 

y

Donde: 128

 3 N Iq 2 φq = 2 Relq 

Reld y Relq son las reluctancias que encuentran los flujos que circulan por el eje directo y

por el eje en cuadratura. Es notorio que Relq  Reld (ver Figura 3.33). Figura 3.33. Reluctancias de eje directo y de eje en cuadratura

Considerando las tensiones inducidas por esos flujos, el diagrama fasorial quedará: Figura 3.34. Diagrama fasorial de flujos y tensiones

E

φr φq

φd Ed

Eq

Como es regla, estas tensiones se representan por fasores atrasados 90° respecto a los flujos que las inducen: E atrasada 90° E a φ r que la induce; E d atrasada 90° E a φ d que es el

129

flujo que la induce; y E q estará 90° E atrasada respecto a φ q , pues φ q es el flujo que la induce. Las expresiones completas para las tensiones anteriores son:    P N e φ r W Ne φ rW E= −90° = −90° 2 2 2

Para P = 2 polos    P N e φ q W Ne φ qW Eq = −90° = −90° 2 2 2

Para P = 2 polos    P N e φ d W Ne φ d W Ed = −90° = −90° 2 2 2

Para P = 2 polos Las expresiones de la derecha se pueden entender como si fueran para máquinas de dos polos, ó pueden entenderse como si el número de espiras, N e , fuera el total de las espiras de todas las bobinas de una fase, conectadas en serie. Si consideramos las expresiones para los flujos φ d y φ q :  3 N e Id 2 φd = 2 Reld 

 3 N e Iq 2 φq = 2 Relq 

Y reemplazamos estas expresiones en las de las tensiones respectivas: 130

   N e φ d W N e  3 N e Id 2  Ed = −90° =   W −90° 2 2  2 Reld 

   N e φ q W N e  3 N e Iq 2  Eq = −90° =   W −90° 2 2  2 Relq 

Pero, − 90° = − j , de modo que las tensiones quedan expresadas:

  3 N e 2  Ed = − j W Id = − j X d 0 Id 2 Reld

  3 N e 2  Eq = − j W Iq = − j X q 0 Iq 2 Relq

Donde, por definición: X d0 =

X q0

3 Ne 2 W → reactancia de eje directo 2 Reld

3 Ne 2 = W → reactancia de eje en cuadratura 2 Relq

Veamos ahora como se representan esas tensiones, la resistencia del devanado y la reactancia debida al flujo de dispersión. Este último, como lo indica su nombre, es el flujo de las fases del estator que no alcanza a formar parte de los flujos giratorios φ q y φ d . La representación de estas cantidades nos da el “circuito equivalente de una fase del estator”:

131

Figura 3.35. Circuito equivalente de una fase del estator

j X dis

Re

Ie

Eq

Ve

Ed

E

Obsérvese como las tensiones inducidas se representaron por fuentes. Pero estas fuentes, en el caso de E d y E q se pueden expresar como:

  E d = − j X d 0 Id   E q = − j X q 0 Iq

Reemplazando estas relaciones en el circuito equivalente: Figura 3.36. Reemplazo de valor de tensiones en el circuito equivalente

Ed

Eq

− j Id X do

− j Iq X qo

j X dis

Re

Ie

Ve

E

  Nótese los signos menos en − j X d Id y − j X q Iq . Estos signos pueden desaparecer cambiando la polaridad de las fuentes:

132

Figura 3.37. Cambio de polaridad de las fuentes j X dis

− j Id X do

− j Iq X qo

Re

   I e = Id + I q

− j X dis Ie

Ve

E

Para lograr incorporar la reactancia de dispersión X dis , a las reactancias X d y X q , vamos a representar la caída de voltaje en ella por una fuente: Figura 3.38. Representación de caída de tensión en reactancia

Re  j Id X do

 j I q X qo

 Ie

 j X dis Ie

Ve

E

Y como:

   I e = I d + Iq    j X dis Ie = j X dis Id = j X dis Iq

Tendremos: Figura 3.39. Reemplazo de valores de corrientes

Re  j Id ( X do + X dis )

 j Iq ( X qo + X dis )

E

133

 Ie

Ve

Por definición: X d0 + X dis = X d , reactancia de eje directo definitiva.

X q0 + X dis = X q , reactancia de eje en cuadratura definitiva.

Si queremos representar esas tensiones por reactancias “verdaderas”, de acuerdo a circuitos eléctricos, debemos conseguir que solo circulen por ellas las corrientes respectivas. Colocando en paralelo con las reactancias unas fuentes de corriente convenientes se logra este objetivo: Figura 3.40. Reactancias verdaderas

Iq

Id Re

j Xd

Id

 Ie

j X q Iq

Ve

E

En resumen; este circuito equivalente no solo representa las tensiones inducidas por los diferentes flujos, sino que también considera aspectos de la máquina real, como son: a) Los devanados tienen una resistencia distribuida en toda su longitud ( R r y R e ). b) Los flujos de dispersión, que son aquellos que solo alcanzan a ligar el devanado que los produce y se radican en las ranuras y las cabezas de las bobinas, no participan en la transformación de energía y se pueden considerar como “imperfecciones” de la máquina (incluidos en X d y X q ).

Las pérdidas en el núcleo; que incluyen las pérdidas por histéresis y por corrientes parásitas inducidas en la masa del material magnético, son despreciables en la máquina sincrónica; pero podrían representarse por una Z en paralelo con el voltaje inducido:

134

Figura 3.41. Pérdidas en el núcleo

Iq

Id  Ie

Re

Ir j Xq

j Xd Rr

E

Ve

Zo

Los fenómenos producidos por la saturación se verán más adelante. 3.8 DIAGRAMA FASORIAL COMPLETO

Figura 3.42. Diagrama fasorial completo

φr Ir

Vq Ve

E Vq

j Id X d

Vd

j Iq Xq

Iq

δ

φq

E

Vq Ve

j Id X d

Vd

Vq Id

φd

q

Id R e

Iq R e

j Iq X q

Id R e

Ie R e

Iq R e

En el circuito equivalente que acabamos de encontrar se puede plantear la ecuación:

135

E = Ve + Ie R e + j Id X d + j Iq X q

El diagrama fasorial nos muestra los fasores incluidos en esa ecuación y otros relacionados con ellos, como los flujos y corrientes. El voltaje en bornes, Ve , también se puede dividir en dos componentes:     Vq = E − j Id X d − Iq R e

   Vd = j Iq X q − Id R e

Pero estas ecuaciones fasoriales pueden pasar a ecuaciones algebraicas considerando que todos los fasores tienen igual fase:

Vq = E − Id X d − Iq R e

Vd = Iq X q − Id R e Ecuaciones que ya solo se refieren a las magnitudes de los fasores. Volviendo a las ecuaciones fasoriales, y sumando Vq y Vd , obtenemos:         ∴ Ve = Vq + Vd = E − j Id X d − j Iq X q − Iq R e − Id R e

      ∴ E = Ve + R e Iq + Id + j Iq X q + j Id X d

(

)

Entonces conociendo Id e Iq resulta fácil construir el diagrama fasorial. Pero lo usual es conocer: V , Ie , R e , X q y X d , es decir los parámetros de la máquina y las condiciones en los terminales; para trazar el diagrama fasorial conociendo estos datos es útil trazar unas líneas auxiliares para facilitar su construcción.

136

Figura 3.43. Construcción de diagrama fasorial

Iq

0

 E

δ

φ Ie

Id

j Id X d

j Id X q j Iq X q

Ve

j ( Iq + Id ) X q = j Ie X q

Ie R e

Utilizando las líneas auxiliares: E 0° = OC = OB + BC

E 0° = Ve −δ + R e Ie −δ − φ + j Ie −δ − φ X q + j ( X d − X q ) Id    OC

CD

Pero, como: Id = Ie Sen (φ + δ )

E 0° = Ve −δ + R e Ie −δ − φ + j Ie −δ − φ X q + j Ie Sen (φ + δ ) ( X d − X q )

Si multiplicamos por 1 δ , para tomar como referencia a V , que es dato, se tiene:

E δ = V 0° + R e Ie −φ + j Ie X q 90° − φ + Ie ( X d − X q ) Sen (φ + δ ) δ

137

Ecuación cuyo diagrama es: Figura 3.44. Diagrama fasorial simplificado

Ie ( X d − X q ) Sen (δ + φ )

j Ie X q V

δ

0

φ

Ie R e Ie

El proceso matemático es: Partir de V 0° ; sumar V 0° + R e Ie −φ ; sumar V 0° + R e Ie −φ + j Ie X q −φ = OC , y calcular el ángulo δ , así:

δ=

V 0° + R e Ie −φ + Ie X q 90° − φ V 0° + R e Ie −φ + Ie X q 90° − φ

=

fasor OC = magnitud OC

Una vez calculado δ , se puede hallar Ie ( X d − X q ) Sen (φ + δ ) = CD , y sumarle esta cantidad a OC . Se obtiene: E = V 0° + R e Ie −φ + Ie X q (90° − φ ) + Ie ( X d − X q ) Sen (φ + δ ) δ

Cuyo ángulo es δ

 ∴E = E δ

Resulta conveniente utilizar un circuito equivalente para representar el proceso anterior: 138

Figura 3.45. Circuito equivalente simplificado Ie ( X d − X q ) Sen (δ + φ ) δ

Ir

Re

j Xq

Ie

j Xc Rr

E

V

E oc δ

Rc

Es el mismo proceso anterior pero representado por un circuito. Se conocen V 0° e Ie −φ ° , datos en los terminales  Se calcula la tensión E OC = V 0° + Ie −φ ° ( R e + j X q ) . Conocido el fasor de esta tensión, se

conoce el ángulo δ . Se puede, entonces, calcular la Ie ( X d − X q ) Sen (δ + φ ) δ . Por ultimo se calcula la tensión interna E .

fuente

controlada

Si se tiene el problema inverso: conocida E , la tensión interna, X d , X q y R e , los   parámetros de la máquina, y la carga conectada, Zc , calcular Ve Ie . El proceso será: se asume Ie como referencia aunque es desconocida. Se calcula de:

V = Ie (R c + j X c ) = Ie Zc

 Xc    Rc 

φ = tan −1 

El ángulo φ :

Luego de: E OC = Ie (Zc + R e + j X q ) EOC = I e ( Z c + Re + j X q )

Se calcula el ángulo δ + φ :

139

 Xc + Xq    Rc + Re 

δ + φ = tan −1 

Figura 3.46. Diagrama fasorial con Ie como referencia

E

Ie ( X d − X q ) Sen (δ + φ )

Eo

0

+ δ c

φ

j Ie X q V

Ie Zc = V

δ

j Ie X c

φ

Ie R e

Ie R c

Ie

Con estos ángulos se pueden localizar los fasores de la fuente controlada y del voltaje E :

E δ + φ = Ie ( Zc + R e + j X q ) δ + φ + Ie (X d − X q ) Sen(δ + φ ) δ + φ

∴ Ie =

E Zc + R e + j X q + ( X d − X q Sen (δ + φ ) )

Es decir, ahora si se conoce la corriente Ie en forma completa. 3.9 SATURACIÓN Cuando se efectúa el ensayo en vacío (se verá más adelante) se manifiesta la saturación como una especie de “desmagnetización”.

140

Figura 3.47. Saturación de la máquina

E

Eo E

Vs

Ir Vs es la tensión que “cae” debido a la saturación. En el ensayo en vacío el flujo discurre todo en el eje directo y la saturación se presenta en este mismo eje. Otro ensayo en que se presenta este fenómeno, es el llamado ensayo a factor de potencia cero inductivo. Para ser estudiado se olvida, por el momento, la “saliencia”, es decir la asimetría del rotor y la resistencia de los devanados. Figura 3.48. Circuito equivalente de ensayo a factor de potencia cero inductivo

j X dis

Ie

Em

V

E'

E

141

j Xc

   E + E' = V + j Ie X dis = j Ie ( X c + X dis )  Donde E' es la tensión inducida por φ e . No tener en cuenta la “saliencia” es, precisamente,

no dividir φ e en φ d y φ q , como propuso Blonde1. Como la carga es totalmente inductiva el flujo φ e está totalmente en el eje directo (Figuras 2.49a y 2.49b).

Figura 3.49a. Flujo de estator en eje directo

φr

E

φe Ie

Figura 3.49b. Diagrama fasorial de ensayo a factor de potencia cero inductivo φr φe

φm

Em V

E

j X dis Ie

Ie

φe 142

E'

En este ensayo φ e se comporta como un flujo totalmente “desmagnetizante”; es decir, se opone completamente a φ r . El flujo neto será, por lo mismo, la simple resta de φ r y φ e :



 

φm = φr + φe

∴ φm = φr + φe

Es evidente que la saturación depende del flujo neto, φ m , y no de φ r ni de φ e . Es decir, φ r y φ e pueden ser muy grandes (hasta el punto de saturar la máquina) pero si su diferencia,

φ m es pequeña, la máquina no se satura. Ahora bien, la tensión inducida por el flujo neto será:

Em =

Nφ m W 2

, E m = Kφ m ,

con K =

NW 2

Tensión que, de acuerdo al circuito de la Figura 3.48, se denomina “tensión detrás de la reactancia de dispersión”. Entonces la saturación depende de E m , la “tensión detrás de la reactancia de dispersión”. Para conocer la reactancia de dispersión, Potier desarrolló un método basado en las características en vacío y en factor de potencia cero inductivo. Cuando estas características se grafican en el mismo papel se observa un notable paralelismo entre ellas.

143

Figura 3.50. Característica en vacío y en factor de potencia cero inductivo

V

V = E = f ( Ir )

V = E − E' − Ie X dis = f ( I r ) Ir

La característica en factor de potencia cero inductivo se obtiene cargando la máquina con carga inductiva ( j X c ), variando I r y la carga para mantener Ie constante. Se toman lecturas de V e I r . Asumiendo la máquina sin saturación, las características se convierten en rectas: Figura 3.51. Característica de máquina sin saturación

V

E E'

Em I e X dis

V

Ir ' Ir m

Ir 144

Ir

Se puede “explicar” la característica a factor de potencia cero así: la I r produce un φ r que induce una tensión E ; pero φ e “desmagnetiza” la máquina, disminuye φ r en una proporción que equivale a disminuir I r a I r m . Luego, la verdadera tensión inducida es E m . El voltaje leído en bornes, V , es igual a esta tensión menos la caída le X dis . Considerando un punto en la característica de factor de potencia cero, se tiene:

V = E − E' − Ie X dis

E=

Nφ r W 2

E − E' = E m =

φr =

φm =

, E' =

N r Ir Reld

Nφ e W 2

NW NW φr − φe = φm 2 2

,

φe =

3 N Ie 2 2 Reld

N r I r 3 NIe 2 N 3 NIe 2 − = r (I r − ) Reld 2 Reld Reld 2 Nr

Lo anterior se interpreta así: la corriente Ie produce un efecto desmagnetizante que equivale a disminuir la I r en: Ir ' =

3 N Ie 2 , 2 Nr

quedando solo una corriente efectiva en el rotor I r m , que producirá el flujo φ m ; la tensión inducida por φ m será E m ; para que la tensión en bornes llegue al valor de V es preciso restar la caída Ie X dis .

145

Figura 3.52. Triangulo de Potier

V

V

α Ie X dis

Ir '

Ir m I r

α

Ir

Ir

El triángulo ABC es el triángulo de Potier. La teoría de Potier asume que con la saturación la discusión anterior es válida y que el triángulo es el mismo sin importar su situación en las características. El triángulo de Potier se construye desplazando el ángulo α y el segmento OB , encontrados en la parte inferior, hacia la parte saturada manteniendo a B sobre la característica de factor de potencia cero. Conocido el triángulo se puede calcular:

X dis =

AC (Voltios) Ie (Amperios)

I r ' = CB (Amperios) ∴

3N 2 I r ' = 2N r Ie

Resulta que la X dis así calculada no es exactamente la predicha por los diseñadores de la máquina con base en sus cálculos de dispersión. Pero es un valor que da resultados perfectamente admisibles y puede tomarse como el valor de X dis para todos los propósitos prácticos. Se denomina “reactancia de Potier” en honor a quien desarrolló el método, y se suele denominar X p .

146

Ya conocida X p (un valor que representa a X dis ), se dice que la saturación depende de la tensión detrás de la reactancia de Potier, E p (antes E m ). EI proceso para dibujar el diagrama fasorial en saturación es: Se encuentra E p ; se va a la característica en vacío y se calcula Vs , la diferencia entre el valor correspondiente a E p en la recta del entrehierro y el mismo E p .

Figura 3.53. Característica en vacío V

Vs

Ep

Ir

 A esta Vs se le asigna el mismo ángulo que el del fasor E p . Es decir, si E p = E p θ p ,   Vs = Vs θ p . Este Vs se añade al final del diagrama fasorial de la máquina no saturada para hallar E . El circuito equivalente se modifica para incluir la corrección por saturación. Figura 3.54. Modificación de circuito equivalente con corrección de saturación

Vs θ p

I e ( X d − X q ) Sen (δ + φ ) δ

j( Xq − Xp ) E

Re jXp

Ep θp

E oc δ

147

I e −δ

V 0°

El proceso paso a paso es: Se conocen V 0 , Ie −θ , X p , X q , X d , R e . Se calcula E p , la tensión detrás de la reactancia de Potier. Figura 3.55. Diagrama fasorial para calculo de E p

Ep C

V

j Ie X p

Ie R e

0

Ie

 Con E p se va a la característica en vacío y se encuentra Vs . Se obtiene Vs = Vs θ p .

Se calcula E OC δ .

Figura 3.56. Diagrama fasorial para calculo de E OC

j Ie X q

E oc V 0

δ

Ie R e

Ie 148

Con estos valores se calcula la fuente controlada:

CD = Ie ( X d − X q ) Sen (δ + φ ) δ

Así se obtiene la tensión E sin saturación. La tensión E en saturación será:

 E s = E δ + Vs θ p

Figura 3.57. Diagrama fasorial para cálculo de E en saturación

D C

δ 0

Es Vs

E

δs

Vs

Ep V

θp

Ie R e

Ie

 Se observa que Vs se suma con el mismo ángulo que E p .  E s definirá ahora el verdadero eje q' de la máquina, y por consiguiente será preciso corregir el ángulo δ anterior a un ángulo δ s en saturación.

El método anterior es engorroso pues es necesario tener en cuenta un nuevo elemento, Vs , la corrección por saturación. Para mejorarlo se introdujeron los “factores de saturación”.

fs ≡

AC AB

149

Figura 3.58. Factores de saturación

Ven vacío

Vs

Ep

Ir Se asume X p = X dis y se calcula: X d0 = X d − X dis = X d − X p

Siendo X d la reactancia de eje directo sin saturación, y X d0 la reactancia, ya vista, que representa la tensión inducida por φ d . Se divide esta X d0 por el factor de saturación y se le vuelve a sumar X dis para obtener la reactancia de eje directo corregida por saturación: X ds =

Xd 0 fs

+ X dis

Se considera que ni X dis ni X q son afectados por la saturación por sus grandes recorridos en aire. Los parámetros del circuito equivalente serán, entonces: X ds , X q y R e , y se procederá como se estudió con anterioridad, antes de considerar la saturación. 3.10 CALCULO DE LOS PARÁMETROS DE LA MÁQUINA Entendemos como “parámetros” a los elementos ( R r , R e , X d , X q ) del circuito equivalente.

150

3.10.1 Característica en vacío y en corto-circuito. Partiendo del modelo elemental y con la máquina en “vacío” como generador, es decir girando a la velocidad nominal y con Ie = 0 , se excita el rotor y se mide la tensión inducida en los devanados.

Montaje: Figura 3.59. Montaje para ensayo en vacío

M1 N

W

V

M2

VCD

M3

F1

F2

En estas condiciones, Ie = 0 , solo existe el flujo φ r , y el voltímetro solo lee la tensión inducida por este flujo: Vleido = E =

Ne φ r W 2

[Volt ]

Pero como puede existir un “flujo remanente” en el rotor:

φ r = φ remanente ±

Por lo tanto:

151

N r Ir Reld

Vleido =

N e φ rem W

±

2

N e N r I rW Reld 2

Esta ecuación es la que se pretende estudiar con el ensayo. Para ello se llena una “tabla de lecturas” como la siguiente: Tabla 1. Valores de velocidad, voltaje y corriente W V

R.P.M. Volt

1800 5

1798 7

1801

Ir

Amp

0

0.15

0.15

1801 128 0.18

0.23

1.25 * Vnominal

0.6

W = Se debe mantener tan cercana a la velocidad nominal como sea posible. V = Su primer valor, con I r = 0 , es el “voltaje remanente”. Debe proseguirse el ensayo hasta alcanzar un voltaje mas ó menos igual a 1.25 veces el voltaje nominal de la máquina.

I r = Debe siempre empezar de cero, e incrementarse lentamente, de modo que se puedan tomar muchas lecturas. Graficando el voltaje leído contra I r se obtiene la gráfica siguiente: Figura 3.60. Características de ensayo en vacío

V (Volt ) W > Wnominal Vnom

Wnominal W < Wnominal

Vremanente

I r ( Amp )

152

Observaciones: - Puede existir un flujo remanente en el rotor, de modo que existe tensión inducida aún para Ir = 0 . - Si no existiera saturación la característica sería una línea, recta, llamada “línea del entrehierro”; pues el hierro no saturado presenta una reluctancia despreciable comparada con la del entrehierro. - El voltaje nominal de la máquina suele situarse un poco más arriba del “codo” donde empieza la saturación. - Si tomamos otra característica a otra velocidad W ' se obtiene una curva semejante, con la saturación a la misma I r , lo que confirma que la saturación solo depende de la magnitud del flujo. Se deben obtener otras dos características a velocidades por encima y por debajo de la velocidad nominal, para comprobar lo anterior. Para el ensayo en corto se usa básicamente, el mismo montaje del ensayo en vacío: Figura 3.61. Montaje para ensayo en corto

M1

A A

N

W

M2

VCD

A

M3

F1

A A

A

F2

El procedimiento también es similar al del ensayo en vacío, pero tomando lecturas de corriente en lugar de lecturas de voltaje. 153

Las gráficas deben dar ahora de la forma: Figura 3.62. Características de ensayo en corto

Ie ( Amp ) W > Wnominal Wnominal W < Wnominal

I r ( Amp ) Estos resultados se interpretan con el circuito equivalente: Figura 3.63. Circuito equivalente de ensayo en corto

j X dis

Re

E'

I cc E

Del cual:    E + E' = Icc (R e + j X dis ) 154

  N e φ r W E= −90° 2   N e φ e W E' = −90° 2

∴

 N e W 90°   φ r + φ e  = Icc [ R e + j X dis ]   2

El diagrama fasorial siguiente nos da luces sobre las relaciones anteriores: Figura 3.64. Diagrama fasorial de ensayo en corto

φr

φe   φm = φr + φe

Ie R e

E+

E'

j Ie X dis

φe Ie ≡ Ic.c.

155

φ e casi se opone totalmente a φ r ; φ m , el flujo neto, es pequeño, por lo cual no hay    saturación. E + E' sería la tensión E m , la tensión inducida por φ m . Volvamos a las ecuaciones anteriores:   N e φ r W E= −90° , y 2  N r Ir φ r = φ rem + Reld 



De donde:   N e W   N r I r  E= −90° φ rem +  Reld  2 

Ahora:   N e φ e W E' = −90° , y 2  3 N e Ie 2 φe = 2 Reld 

De modo que:   N W  3 N e Ie 2  e E' = −90°   2  2 Reld 

   3 N e2   ∴ E' = − j  W  I e = − j X d 0 Ie  2 Reld 

Reemplazando en: 156

   E + E' = Ie (R e + j X dis )   N e W −90°   N r I r   φ rem +  = Ie (R e + j X dis ) + j Ie X d0 Reld  2 

 = Ie (R e + j X d )

  ∴ Ie = Ic.c =

   N r Ir  N e W −90° φ rem +  Reld   R e2 + X d2

Esta es la relación teórica entre Ic.c y la corriente I r . Veamos como se explican las peculiaridades de esta característica. - ¿Por qué son rectas? Porque al oponerse φ e a φ r el flujo neto, φ m , es pequeño y no satura el núcleo. La saturación es la única causa de no linealidad de la máquina (ó al menos la mas preponderante). - ¿Por qué hay Ic.c remanente? Porque el φ remanente la produce aún con I r = 0 .

- ¿Por qué no dependen casi de la velocidad? Porque R e es mucho menor que X d , entonces:    N r Ir  N e W φ rem +   Reld   Ic.c = R e2 + X d2

   N r I r  N e W φ rem +  Reld   ≅ Xd R e Xd

Pero, como todas las reactancias, X d = ( Ld 0 + Ldis ) W :

157

    N r I r    N r I r  N e φ rem + N e φ rem +    Rel Reld  d    Ic.c = ≅ ( Ld 0 + Ldis ) ( Ld0 + Ldis )

Es decir, Ic.c no depende de W . 3.10.2 Cálculo de la relación de corto-circuito: (Rc.c). Por definición, la R c.c , es la relación entre la corriente de excitación necesaria para inducir el voltaje nominal en vacío y la corriente de excitación necesaria para hacer circular una Ic.c igual a la corriente nominal en corto-circuito. Dibujando en el mismo gráfico la característica en vacío y la característica en corto, obtenemos:

Figura 3.65. Característica en vacío y en corto

VT , Icc

Vnominal I nominal

I cco I1

I2

Ir

I nominal

Vnominal

∴ R c.c =

I1 I2

Esta R c.c (relación de corto-circuito) tiene dos interpretaciones:

158

A)

R c.c =

Ic.c al voltaje nominal I nominal

Es decir, la relación de corto-circuito es el cociente de la corriente de corto-circuito cuando la máquina se corto-circuita teniendo inducido todo el voltaje nominal, sobre la corriente nominal de la máquina. Esto se explica teniendo en cuenta la linealidad de la característica en c.c. Retomemos el último resultado obtenido en el ensayo en corto:    N r Ir  N e φ rem +   Reld   Ic.c = Ld 0 + Ldis

Si despreciamos el pequeño papel del φ remanente cuando la máquina está bien excitada:  Ic.c ≅

Nr

(L

d0

+ Ldis ) Reld

 Ir

 ( Ld0 + Ldis ) Reld  ∴ Ir = Ic.c Nr

(L Por lo tanto:

R c.c

d0

+ Ldis )

Nr I = 1 = I 2 ( Ld0 + Ldis ) Nr

Reld × Ic.c 1 = Reld × Ic.c 2

Ic.c 1 Ic.c 2

O sea, que las excitaciones son proporcionales a las corrientes de c.c (cosa que ya sabíamos del ensayo en corto). Pero Ic.c 2 es la nominal como se estableció en la definición de la relación de c.c; e Ic.c 1 es la corriente de c.c que fluye cuando la máquina en vacío tiene el voltaje nominal y se pone en corto. Queda entonces, aclarada la interpretación.

B)

R c.c =

1 X d en por unidad

159

Ya sabemos que: Ic.c 1 I1 Ic.c 1 = = I 2 Ic.c 2 Inominal

R c.c =

Figura 3.66. Reactancia de la máquina reducida a reactancia de eje directo

Re

j Xd

E inducida = Vnominal

I cc 1

Como en corto-circuito la reactancia de la máquina se reduce prácticamente a la reactancia de eje directo (ver Figura 3.66), cuando se pone en c.c la máquina con el voltaje nominal inducido, circula una Ic.c igual a: Vnominal

Ic.c 1 =

R e2 + X d2

Si R e X d

Ic.c 1 =

Vnominal Xd

Y por último: R c.c =

=

Vnominal X d I nominal 1 X d en por unidad

160

Tomando como bases el voltaje y la corriente nominal de la máquina. 3.10.3 Cálculo de la impedancia sincrónica. Considerando el circuito equivalente:

Figura 3.67. Circuito equivalente para cálculo de impedancia sincrónica

Re

j X dis

Eq Ed

}

E'

Ie

Ve

E

Recuérdese que E' es la tensión inducida por φ e , y que Blondel para afinar mas los cálculos dividió a φ e en φ d y φ q . E d y E q serían las tensiones inducidas por estos flujos. Asumiremos ahora que por cualquier motivo, no deseamos refinar los cálculos introduciendo el método de Blondel y nos quedamos solo con φ e . La ecuación del circuito será:    Ve = E + E' − Ie ( R e + j X dis )

Pero:   N e φ e W N W  E' = −90° = − j e φ e 2 2

Con la ecuación de los flujos giratorios:  3 N e Ie 2 φe = 2 Rel 

161

Rel = Reld = Relq ; o sea que no consideramos la saliencia.  NW ∴ E' = − j e 2

  3 N e Ie 2     2 Rel 

Entonces:  3 N e 2 W  E' = − j Ie 2 Rel   ∴ E' = − j X d 0 Ie

Donde: X d0 =

3N e 2 W  j Ie 2Rel

Reemplazando en la ecuación de E :     E = Ie R e + j Ie X dis − − j Ie X d 0   = Ie R e + j ( X d 0 + X dis ) Ie   = Ie R e + j X s Ie

(

)

Donde Xs es conocida como la “reactancia sincrónica” y Zs = R e + j X s , es la “impedancia sincrónica”. El modelo de la máquina sincrónica se simplifica entonces: Figura 3.68. Circuito equivalente con impedancia sincrónica Ie Zs

E

Ve

162

corto

Esta impedancia sincrónica se suele calcular empleando las características en vacío y en corto. Figura 3.69. Características en corto y en vacío para hallar impedancia sincrónica

Ve , I cc

Ve en vacío = E

Icc =

E Zs

Zs = f ( I r )

Ir

Ir 1

Se considera que la tensión interna no cambia cuando se aplica el corto-circuito. ∴ Zs =

Ic.c

Ve vacío para I r E para una Ir = para la misma I r Ic.c corto para la misma Ir

Para el caso de I r = I r 1 : Zs =

ac ab

Esta impedancia depende de la excitación.

Si se gráfica Zs = f ( I r ) , daría la característica mostrada (ver Figura 3.69). Generalmente se consideran dos valores: Zs no saturada calculada en el primer tramo, donde la

163

característica en vacío es lineal; y la Zs saturada que corresponde al punto de la característica del voltaje nominal. Figura 3.70. Voltaje y corriente nominal de c.c.

VT , Icc

Vnominal I nominal

Ia

Zs saturada =

Id

Ir

Vnominal ac = ab Ic.c correspondiente

Para el modelo de la máquina se emplea este último valor. Cuando Zs expresa en por unidad, tendremos: Z base =

Vnominal I nominal

Zs por unidad =

Zs Z base

=

Vnominal I nominal Ic.c ( ab ) × Vnominal

=

I nominal Ic.c ( ab )

=

1 Ic.c ( ab )

I nominal 164

=

1 Ic.c ( ab ) por unidad

Recordando la definición de la relación de corto-circuito: R c.c =

Ia ab Ic.c ( ab ) 1 = = = Id de I nominal Zs por unidad

3.10.4 Cálculo de la reactancia sincrónica ( Xs ). Se dijo que: Zs = R e + j X s . Pero si se trata de máquinas sincrónicas de gran potencia:

Xs

> 300

Re

De modo que se puede despreciar el valor de R e para calcular la reactancia a partir de la impedancia. Xs =

2

( Z ) − (R ) s

e

2

= Zs

3.10.5 Calculo de la reactancia de eje directo ( Xd ) y de la reactancia de eje en cuadratura ( Xq ). Uno de los métodos mas empleados, para el cálculo de X q , consiste en mover la máquina a una velocidad un poco diferente a la sincrónica. Con el circuito del rotor abierto se energizan los devanados del rotor con tensiones bajas y se toman oscilogramas del voltaje y la corriente. Xd =

Vmáximo I mínimo

,

Xq =

Vmínimo Imáximo

El flujo toma diferentes posiciones al rotor, ocupando unas veces el eje directo y otras el eje  (W − Wr )  en cuadratura. Se debe hacer el ensayo al mínimo “deslizamiento”  s posible Ws   para evitar inducciones en el devanado amortiguador. Además, cuando el deslizamiento es pequeño pueden leerse los valores máximo y mínimo de voltajes y corrientes directamente de los voltímetros y amperímetros. Las variaciones de voltaje se deben a la caída de tensión 165

en las resistencias limitadoras. El voltímetro en F1 F2 se encarga de detectar la inducción en el rotor y, a la vez chequea si el rotor y el flujo giratorio giran en el mismo sentido. Si no se dispone de un medio para obtener los oscilogramas se puede reemplazar por una medida bien cuidadosa de Vmáximo y Vmínimo , I máxima y I mínima . Figura 3.71. Reactancia de eje directo y de eje en cuadratura M1 Motor Impulsor C.A. V

V

F1 F2

Banco de lámparas A

M2

Fuente

M3 V

Vmín

Vmáx t

I I mín I máx

t

φ

φ

166

4 POTENCIA Y DIAGRAMA CIRCULAR 4.1 POTENCIA REAL GENERADA Para su cálculo e interpretación se parte del circuito equivalente y del diagrama fasorial. Para facilitar la escritura de las expresiones matemáticas, y sabiendo que no hay posibilidad de mala interpretación, llamaremos el voltaje en bornes de estator, que hemos venido llamando Ve , simplemente V . Figura 4.1. Circuito equivalente y diagrama fasorial



 Ie

φr

Re Id

j Xq

Iq

V = Ve

Re

E

δ φ

Iq

j Xd

Vq

Vd Id E

j Id X d V

Reld Ie

La potencia aparente generada por la máquina es:

 S = 3V I*e = 3 V −δ Ie δ + φ

Pero como:

167

j Iq X q

Relq






 V = Vd + Vq


 Ie = Id + Iq

)(

)






*
* ∴ S = 3 Vd + Vq Id + Iq





 = 3 Vd −90° + Vq 0° Id 90° + Iq 0°











 = 3 Vd Id + Vq Iq + Vd Iq −90° + Vq Id 90°

(

( (

)(

)

Para la interpretación, se recuerda de circuitos: Figura 4.2. Potencia activa y reactiva en circuitos I 0°

V 0°

R

Potencia activa o real generada por la fuente. La resistencia consume potencia real.

S = VI* = V I

I −90°

Potencia reactiva generada por la fuente. La inductancia consume potencia reactiva.

V 0°

S = VI* = V I 90° I 90°

V 0°

Potencia reactiva consumida por la fuente. La capacitancia genera potencia reactiva.

S = VI* = V I −90°

168

)

Recordados estos conceptos, volvamos a la potencia aparente, S , generada por la máquina: S = 3  Vd Id + Vq Iq  − j Vd Iq + j Vq Id

P (potencia real) = 3  Vd Id + Vq Iq 

Q (potencia reactiva generada) = 3 Vq Id

Q (potencia reactiva consumida) = −3 Vd Iq

Estudiando primero la potencia real: Del diagrama fasorial: Vd = − Id R e − j Iq X q ∴ Vd = Iq X q − Id R e

Vq = E − j Id X d − R e Iq ∴ Vq = E − Id X d − R e Iq

(

2

2

∴ P = 3 I d I q X q − I d R e + E I q − I q I d X d − Iq R e

Donde:

(

Pmecánica transformada en eléctrica = 3 E Iq + Id Iq ( X q − X d )

2

(

Pérdidas en el cobre = 3 Id R e + Iq R e 2

= 3 Ie R e

169

)

)

)

Para expresar la potencia mecánica en función de V , E y el ángulo de potencia δ , se tiene: Vd = V Sen δ

Vq = V Cos δ

Encontrando Id e Iq en función de estos voltajes: Id = −

∴ Iq =

Vd Iq X q + Re Re

E Vq X d  Iq X q Vd  − − −   Re Re Re  Re Re 

Vd X d  1   E − Vq +  R Re  Iq = e   Xd Xq  1 +  R e2  

=

ER e − Vq R e + Vd X d

(R

2 e

+ Xd Xq )

Reemplazando en:

(

P = 3 V Id + Vq Iq

)

 E VX q Sen δ + E VR eCos δ + V 2 ( X d − X q ) Cos δ − R e V 2   P = 3   R e2 + X d X q  

Cuando R e se puede despreciar, la ecuación para la potencia mecánica que se transforma en eléctrica queda:

170

 E V Sen δ   1 1  + V2  − P = 3 Sen δ Cos δ   X X    Xd d   q    E V Sen δ V 2 Sen 2δ = 3 +  X 2 d 

 1 1  −     X X q d  

(1)

4.2 POTENCIA REACTIVA Se conoce que la expresión para la potencia reactiva generada por la máquina es: (del numeral anterior). Q = 3 Vq Id − 3 Vd Iq

Para expresar esta potencia reactiva en función de E y δ , tenemos las expresiones para Iq e Id que son: Iq =

Id =

ER e − Vq R e + Vd X d

(R

2 e

+ Xd Xq )

EX q − Vd R e + Vq X d R e2 + X d X q

 E X q Vq − Vd Vq R e − Vq2 X q − E R e Vd + Vq R e Vd − Vd2 X d ∴ Q = 3  R e2 + X d X q   E X q Vq − E R e Vd − Vq2 X q − Vd2 X d = 3  R e2 + X d X q 

  

Como: Vq = V Cos δ

y

171

Vd = V Sen δ

  

 X q E VCos δ − E R e V Sen δ − X q V 2 Cos 2δ − X d V 2 Sen 2δ Q = 3  R e2 + X d X q 

  

Si R e es despreciable:  X q EVCos δ − X q V 2 Cos 2δ − X d V 2 Sen 2δ Q = 3  Xd Xq   E VCos δ V 2 Cos 2δ V 2 Sen 2δ Q = 3 − −  X X Xq d d 

  

  

Como: Cos (2δ ) = Cos 2δ − Sen 2δ = 1 − 2 Sen 2δ = 2 Cos 2δ − 1 ∴ Sen 2δ =

1 − Cos 2δ 2

,

Cos 2δ =

1 + Cos 2δ 2

Entonces:  E VCosδ V 2  1  1 1  V2 1  Q = 3 − + Cos ( 2 δ )  −    +  X q X d    Xd 2 X X 2 d q      

Con las expresiones ( 1 ) y

(2)

(2)

pueden expresarse la P y la Q en función de E , V y

Xd , Xq y δ . 4.3 DIAGRAMAS DE POTENCIA (DIAGRAMA CIRCULAR) En el sistema de potencia el voltaje V en los bornes de la máquina, es muy constante en magnitud. Ahora, sin la actuación del control de la excitación, I r , la corriente del rotor, permanece constante y puede decirse lo mismo de la tensión interna E . En estas

172

condiciones,

V = constante y E = constante , las potencias activa y reactiva solo

dependen del “ángulo de potencia o de torque”, δ . Analizando las potencias con estas condiciones:  EV  V2  1 1  Pactiva = 3  Sen δ + −   Sen 2 δ   Xd  2  Xq Xd    Llamando: A=

3E V 3 V2  1 1  3V 2  1 1  , B= − +   , C =  V Xd 2  Xq Xd  2  X q X d 

Entonces: P = A Sen δ + B Sen 2 δ Q = − C + A Cos δ + B Cos 2 δ

El diagrama de potencias se muestra en la figura siguiente: Figura 4.3. Diagrama de potencias

2δ

δ

173

Ahora, si queremos representar la potencia aparente S , que la máquina entrega al sistema como un fasor, procedemos así: S= P+ jQ

∴ S = C −90° + A 90° − δ + B 90° − 2δ Cuyo diagrama fasorial es: Figura 4.4. Diagrama fasorial de potencias

2δ

90° − 2δ

δ

90° − δ

Ahora, que Figura geométrica (“lugar geométrico”) forma el extremo de B , ó el extremo de S , cuando, dejando constantes E , V , X d , se permite variar el ángulo δ ? Trataremos de responder esta pregunta así: Sen ( 2 δ ) = 2 Sen ( δ ) Cos ( δ ) Cos ( 2 δ ) = Cos 2 (δ ) − Sen 2 (δ ) = 2 Cos 2 (δ ) − 1 ∴ P = A Sen (δ ) + B Sen ( 2 δ ) = A Sen (δ ) + 2 B Sen (δ ) Cos (δ )

174

Q = − C + A Cos ( δ ) + B Cos ( 2 δ ) = − C + A Cos (δ ) + 2 B Cos 2 ( δ ) − B

∴ Q + B + C = A Cos (δ ) + 2 B Cos 2 (δ )

Por lo tanto: 2

P 2 + ( Q + B + C ) = ( Sen 2 ( δ ) + Cos 2 (δ ) ) ( A + 2 B Cos (δ ) ) 2

∴ P 2 + ( Q + B + C ) = ( A + 2 BCos (δ ) )

2

2

Ecuación de un círculo de radio A + 2 BCos δ ; es decir, un “círculo” de radio variable, una especie de elipse. La relación entre este “círculo” de radio variable y la representación que acabamos de ver en las dos figuras anteriores se ilustra en la figura siguiente: Figura 4.5. Formación de diagrama circular de potencia

δ 2 A+

B

δ

sδ Co

2δ

δ

δ

A + 2BCosδ

Nótese la especie de trapecio, cuyas bases son A y A + 2 BCos δ , que, al girar, va dando forma al “lugar geométrico” ó “diagrama circular” de potencia.

175

Figura 4.6. Diagrama circular de potencia

sδ Co B 2 A+ δ δ A−B A+C−B

A + B−C

En el diagrama siguiente se muestran las zonas de funcionamiento como motor, como generador, como inductor y como condensador. Figura 4.7. Zonas de funcionamiento de la máquina P

Generador P

δ

Q

Motor B+C

Q

Inductor

Condensador B+C+Q

176

Estudiando algunos puntos interesantes: - Factor de potencia = 1; se caracteriza por Q = 0

P = (A + 2 B Cos δ ) Sen δ Q = (A + 2 B Cos δ ) Cos δ − B − C = 0 ∴ (A + 2 B Cos δ ) Cos δ = B + C =

V2 Xq

 V2  ∴ (2B)Cos 2δ + (A)Cos δ −  =0  X  q    V2  −A ± A 2 + 4  2B  X  q   ∴ Cos δ = 4B

Entonces:      2    2 V   −A ± A 2 + 8   −A ± A 2 + 8  V B    X        q  Xq  P =  A + 2B    1−  4B 4B                  

   B        

2

        

La potencia máxima generada en condiciones de E = constante y V = constante , es decir, el llamado “límite de estabilidad de estado estable”, se encuentra así: dP d = ( A Sen δ + 2 B Cos δ Sen δ ) dδ d δ = A Cos δ + 2 B ( Sen δ ( − Sen δ ) + Cos δ ( Cos δ ) ) = A Cos δ + 2 B Cos ( 2δ ) = A Cos δ + 2 B ( 2Cos 2 δ − 1)

177

Igualando a cero para hallar el máximo: A Cos δ + 2 B ( 2 Cos 2δ − 1) = 0 4 B Cos 2δ + A Cos δ − 2 B = 0 ∴ Cos δ =

− A ± A 2 + 32 B2 8B

Entonces:   − A ± A 2 + 32 B2 P =  A + 2B    8B  

    − A ± A 2 + 32 B2    1−    8B  

   

2

    

Estas expresiones no tienen una simplificación que las lleve a una forma más reducida. Pero se pueden interpretar gráficamente como lo ilustramos en la figura. Figura 4.8. Interpretación gráfica de expresiones de potencia

δ

δ

δ

178

Pmax

Nótese en la figura como 2δ > 90° de modo que Cos ( 2 δ ) es un número negativo.

Entonces, duplicando B en la misma dirección, el extremo ( A ) debe caer exactamente sobre el extremo de C , para que se cumpla: A Cos δ + 2 B Cos ( 2 δ ) = 0 .

- Otra gráfica muy utilizada para las potencias es la siguiente: Figura 4.9. Gráfica de potencia activa

Pmax

δ

Donde: P = A Sen δ + B Sen 2 δ

179

Figura 4.10. Grafica de potencia reactiva

δ

Donde: Q = A Cos δ + B Cos 2 δ − C

En las máquinas de rotor cilíndrico, donde X q = X d , las expresiones y gráficas se simplifican mucho: A=

3E V 3 V2  1 1  3V 2  1 1  3V 2 , B= 0, C − = = +    = Xd 2  X q X d  2  X q X d  X d

∴ P = A Sen δ + B Sen 2 δ = A Sen δ Q = A Cos δ + B Cos 2 δ − C = A Cos δ − C 2

∴ P2 + ( Q + C) = A2

Que es la ecuación de un circulo de radio A y centro en ( Q + C ) . 180

Figura 4.11. Diagrama circular de máquina de rotor cilíndrico

A

δ Q

C

Analizando algunos puntos: - Factor de potencia = 1: P = A Sen δ Q = A Cos δ − C = 0

∴ Cos δ =

C 3V 2 X d V = = A X d 3E V E

E 2 V 2 V 2 3V ∴ P = A −C = 3 − 2 = E2 −1 2 Xd Xd Xd 2

2

- La potencia máxima generada en condiciones de límite de estabilidad de estado estable. Pmax = A =

3E V , para δ = 90° Xd

181

En los otros diagramas desaparece el término con 2 δ , y quedan: Figura 4.12. Gráficas de potencia activa y reactiva

Pmax = A

δ

f p =1

δ

Otra forma de deducir el diagrama circular para P y Q es: P = A Sen δ + B Sen 2 δ Q = A Cos δ + B Cos 2 δ − C

182

Figura 4.13. Simplificación de diagrama circular

P

B

B Sen 2δ

2δ

A

ASen δ

δ

Q+C

ACos δ

B Cos 2δ Q+C

Con A = 3

EV 3V 2  1 1  3V 2  1 1  , B= − +   , C =   Xd 2  Xq Xd  2  X q X d 

Sobre el círculo de radio A , gira un círculo de radio B . 4.4 CONVERSIONES DE ENERGÍA: Eléctrica ⇔ Mecánica Ilustrando el proceso de la transformación de la energía en las máquinas sincrónicas, tenemos:

Generadores: 1 → Embalse 2 → Tubería de Presión 3 → Turbina 4 → Eje 5 → Rotor 6 → Estator 7 → Sistema

183

Figura 4.14. Conversión de energía en generadores

Motores: 1 → Sistema 2 → Estator 3 → Rotor 4 → Eje 5 → Carga Mecánica Figura 4.15. Conversión de energía en motores

184

En los procesos se ha señalado con un círculo el punto donde verdaderamente ocurre la transformación de Energía Eléctrica ↔ Energía Mecánica. Se observa que no todas las pérdidas mecánicas pueden atribuirse a la máquina, pues algunas dependen del sistema de acople y de la turbina o carga mecánica. Detallando la conversión electromecánica para un generador: Potencia neta mecánica que llega al eje del generador - Potencia en pérdidas mecánicas en el generador = Potencia que se transforma en energía eléctrica. Dividiendo por la velocidad mecánica ( Wm en radianes geometricos segundo ): Tturbina − Tpérdidas mecánicas = Telectromagnético

Figura 4.16. Torques del rotor

φr

Telectromagnético

Wm

φe

Tperdidas mecánicas

Tturbina

Se observa como el torque de la turbina “impulsa” al rotor; en cambio los torques electromagnéticos y de pérdidas “frenan” el rotor. También se tiene:

185

Tmecánico = Tturbina − Tpérdidas

Cuando Tmecánico = Telectromagnético , Wm es constante.

Si se rompe este equilibrio la máquina se acelera o se frena de acuerdo a la ecuación: Tmecánico − Telectromagnético = γ

dWm dt

Donde: dWm es la aceleración angular. Llamada desaceleración cuando es negativa. dt

γ es el momento de inercia de la máquina. Una interpretación de la ecuación es: Tmecánico = Telectromagnético + γ

dWm dt

Si el torque mecánico quiere cambiar la velocidad de la máquina no solo debe vencer el torque electromagnético sino también la inercia de la máquina. 4.5 PÉRDIDAS MECÁNICAS EN LA MÁQUINA Se pueden diferenciar en dos clases: pérdidas por fricción y pérdidas por ventilación. Las pérdidas por fricción se presentan en los cojinetes, tanto cojinetes guías como cojinetes de soporte, y en las escobillas (en las máquinas provistas de ellas). Las pérdidas por ventilación provienen del efecto “ventilador” de la misma máquina y del ventilador propiamente dicho. Se ha intentado precalcular estas pérdidas mecánicas con fines de diseño; el resultado más aproximado se obtiene utilizando estas ecuaciones:

Pérdidas mecánicas en kW = 2

S RPM

refrigeración por aire. 186

Pérdidas mecánicas en kW = 1.5

S RPM

refrigeración por hidrógeno. Donde: S es la potencia nominal en voltiamperios. RPM es la velocidad nominal en revoluciones/minuto.

Es posible combinar en una sola expresión las pérdidas de ventilación y fricción debido que ambos tipos de pérdidas dependen del tamaño del rotor, y este tamaño ( π R 2 L ) depende del cociente:

Potencia nominal

Velocidad nominal “coeficiente de tamaño” del generador.

.

Este

cociente

suele

denominarse

4.6 SINCRONIZACIÓN Antes de tratar el control de la máquina sincrónica y analizar su funcionamiento por medio de la utilización del diagrama circular, es necesario conocer el proceso de conectar un generador a un sistema ya energizado, este proceso es llamado “sincronización”.

Figura 4.17. Montaje para sincronización de la máquina M1 M2

M3 F1

F2

187

Es necesario referenciar los sistemas, ya que generalmente no se encuentran circuitos completamente aislados. Existirán acoplamientos magnéticos o eléctricos. Para hacer la referencia se unen los sistemas por medio de un conductor sólido. Tomando como referencia el neutro del sistema y el de la máquina: Figura 4.18. Unión de sistemas para sincronización V ' a aa a' V Vbb ' b b' V V Va

Vb

Vb '

Va '

n

n'

Vc

Vc ' cVcc 'c' V V

4.6.1 Chequeo de sincronización. Se dice que existe sincronización cuando los voltajes entre los interruptores a cerrar son pequeños en comparación con los voltajes del sistema. Asumiendo sistema y máquina balanceados, puede presentarse una situación como la ilustrada en el siguiente diagrama fasorial:

Figura 4.19. Fasores de sistema y máquina balanceados Vb

Vc '

W = 2π f sist

Va '

Vaa ' Vcc ' Wm = 2π f maq

Vc

Vbb '

Vb ' 188

Va

Voltaje leído por el voltímetro conectado entre a y a’

En este caso no hay sincronización ya que no se garantiza que Wsistema = Wmáquina , ni existe igual secuencia. Secuencia es el orden de paso de los fasores por el eje real. En cambio, ilustremos el caso de la sincronización mediante un diagrama fasorial en sincronización: hay igualdad de: amplitud, frecuencia, secuencia y fase. Figura 4.20. Diagrama fasorial en sincronismo Vc ' Vcc ' = 0 Vc

Wm = Ws

Va ' Vaa ' = 0 Va

Vb V Vb ' bb '

4.6.2 Condiciones de sincronización. Veamos como se perciben por las lecturas de los voltímetros las diferentes condiciones que se deben cumplir en la sincronización.

- Igualdad de frecuencia: si los dos sistemas no giran a la misma velocidad, ocurre que los fasores se separan y vuelven a juntarse cíc1icamente: Figura 4.21. Igualdad de frecuencia en sincronismo

c' Ws

a' Vaa ' a

c

Vcc '

Wm

a' V ' aa a

c

c'

Vb Vb 'Vbb '

b'

b V ' bb 189

- Entonces el voltaje que leerán los voltímetros será: Figura 4.22. Lectura de voltajes en voltímetros

Vaa '

t

Esto en los voltímetros se observa como una pulsación de la aguja si f m ≅ f s ; pero si f m es muy diferente de fs , la aguja se ve quieta, no puede seguir la oscilación tan rápida de los voltajes. Entonces se hace necesario una comparación de velocidad para igualarlas en lo posible. La igualdad de frecuencias se percibe, entonces, como una lectura no oscilatoria de los voltímetros. - Igualdad de secuencia: si asumimos frecuencias iguales, podemos pasar a analizar el caso de las secuencias. Si estas no son iguales, tendríamos una situación como la siguiente: Figura 4.23. Igualdad de secuencia en sincronismo Vb Vc '

Vc '

Va '

Vcc '

Vbb ' Va '

Vb ' Va

Vaa ' Vc

Vb '

Va

190

Vc

Vb

Vaa' ≠ Vbb' ≠ Vcc' , debido a la diferencia del orden de paso de los fasores por el eje real; la secuencia de la máquina es a c b y la del sistema es a' b' c', los voltímetros leen diferentes voltajes. Cuando las secuencias son iguales se cumple: Vaa' = Vbb' = Vcc' O sea que los voltímetros leen tensiones iguales. Esto se cumple aunque las frecuencias difieran: cuando hay secuencias iguales las agujas oscilan sincronizadas. Figura 4.24. Diagrama fasorial de tensiones

Vc '

Vcc '

Vc

Vb Va '

Vbb '

Vaa '

Vb '

Va

- Igualdad de amplitud: las amplitudes de cada fase deben ser iguales. Esto se chequea con voltímetros que leen la amplitud del voltaje en cada fase. Es decir, conectando voltímetros que leen el voltaje línea a línea de la máquina y del sistema. - Igualdad de fase: si no hay igualdad de fase los voltímetros leen iguales voltajes: Vaa' = Vbb' = Vcc' ≠ 0

191

Figura 4.25. Desigualdad de fases

Vc '

Vcc '

Vc

θ

Desfase

Vb θ

Va '

θ

Vbb '

Vaa '

Vb '

Va

Cuando hay igualdad de fase: Vaa' = Vbb' = Vcc' = 0 Figura 4.26. Igualdad de fases

Vc ,Vc '

Va , Va '

Vb , Vb ' Con esta condición quedarían completas las necesarias para la sincronización. 192

4.6.3 Procedimiento y montaje para lograr la sincronización. voltímetros de sincronización miden el VL-n del sistema.

Inicialmente los

Se arranca el motor impulsor y se lleva a la velocidad de sincronismo: RPMsincronismo =

120fsistema Pmáquina

Se excita la máquina sincrónica hasta que su V( línea-línea ) sea igual al voltaje del sistema. Figura 4.27. Montaje para lograr la sincronización

V V

M1

Wm

M2

Wm

V V

M3 F1

F2

V

VV

VV n

n'

A Ir

VCD

Aunque se trate de llevar la máquina a la velocidad exacta del sistema lo usual es que las frecuencias sean un poco diferentes; las agujas de los voltímetros oscilan lentamente. Con el control de velocidad del motor impulsor se hace que la oscilación sea mínima. Se comprueban las secuencias usando un secuencímetro o mirando los voltímetros, así: si hay secuencia igual: 193

Figura 4.28. Secuencia igual

Si la secuencia es diferente: Figura 4.29. Secuencia diferente

Para corregir esta diferencia de secuencia, basta con intercambiar dos terminales cualesquiera de la máquina ó del sistema. Para chequear la igualdad de amplitud se observan los voltímetros que leen los voltajes de línea; si es necesario hacer alguna corrección, se varía la excitación de la máquina sincrónica. Si se tiene igual fase entonces, Wm = Ws y los voltímetros no oscilan. Se debe cambiar un poco la velocidad del motor para lograr que los voltímetros oscilen. Cuando las agujas de los voltímetros pasan por cero se cierra el interruptor para efectuar la sincronización. La máquina sincrónica puede corregir pequeñas diferencias que pueden presentarse en el sincronismo, es decir, se “autosincroniza”. 4.6.4 Autosincronismo. Empleamos un modelo simplificado de la máquina para estudiar este proceso cualitativamente. Despreciamos la “saliencia” por lo que X q ' = X d ' . Es decir, asumimos el rotor liso.

Entonces:

194

X q ' = X d ' = X s (Reactancia Sincrónica)

Re ≈ 0

(Resistencia muy pequeña)

En estas condiciones el circuito equivalente queda: Figura 4.30. Circuito equivalente de modelo simplificado de la máquina

j Xs

Ie

E

V

Para sincronización perfecta:



 E = E Wm t + 0 , V = V Ws t + 0

Con Wm = Ws y E = V

Cuando la máquina se conecta con el sistema, no hay intercambio de corriente, la máquina está “flotando”.
 E − V Ie = =0 j Xs

Por lo general no se consigue una sincronización perfecta. Existen diferencias en algunos casos: 195

- Diferencia en amplitud: suponiendo E > V y que hay igualdad de frecuencia, secuencia y fase. El circuito queda:

Figura 4.31. Circuito equivalente con condición E > V

j Xs

Ie

E

V



 Con E > V y E = E Wm t + 0 , V = V Ws t + 0

Entonces: Figura 4.32. Diagrama fasorial con desigualdad de amplitud de tensiones

E

V



 E = V + j Ie X s

 E − V E − V ∴ Ie = = W t − 90° j Xs Xs

Con

E−V >0 Xs 196

j Ie X s

Figura 4.33. Diagrama fasorial de tensiones, flujos y voltajes con E > V

φr

V

E= j Ie X s

N e φ r Wm 2

Ie = I d El sentido físico es: cuando se cierra el interruptor, se produce una corriente que trata de desmagnetizar el núcleo del rotor, lo que hace que E disminuya y tienda a igualarse con V . Se supone ahora E < V .

Figura 4.34. Circuito equivalente con condición E < V

j Xs

Ie

E

V

197



 Con E < V y E = E W t + 0 , V = V W t + 0

Entonces:




 E = V + j Xs Ie
 E − V E − V ∴ Ie = = W t − 90° j Xs Xs con

E−V Ws , el rotor y la tensión E adelantan al fasor V . Al separarse V y E aparece el fasor j Ie X s . Figura 4.45. Diagrama fasorial con adelanto de E a V

E j Ie X s

φr T

φe θ

V

 (W − Ws ) t  Ie Xs = 2 E Sen  m  2    (W − Ws ) t  2E ∴ Ie = Sen  m  Xs 2  

204

Ie

El torque que se forma entre φ e y φ r trata de frenar al rotor. En general el motor impulsor se frena un poco y la máquina queda en sincronismo. Pero si el motor impulsor no se frena, entonces se mantiene Wm > Ws y la máquina no entra en sincronismo. A medida que E se adelanta a V la corriente aumenta hasta llegar a su valor máximo cuando el desfase es de 1800, y de ahí en adelante empieza a disminuir hasta que los fasores vuelvan a encontrarse para recomenzar el ciclo. En esta situación la gráfica de la corriente es: Figura 4.46. Gráfica de corriente en el tiempo

Ie

t

Este comportamiento de la corriente produce excesivo calentamiento en los devanados. Ahora si Wm < Ws , ya el fasor que se adelanta es V :

205

Figura 4.47. Diagrama fasorial con adelanto de V a E

φr V

Tr Wm W s

j Ie X s

Wm E V

E

Aquí la máquina funciona como motor ya que el torque apoya el movimiento del rotor. 4.6.5 Métodos de sincronización. Realmente solo existe un método, el ya visto. Pero se habla de diversos métodos, dependiendo de los instrumentos que se usen para detectar el cumplimiento de las condiciones de sincronismo.

- Método de los tres voltímetros: es el método ya visto. - Método de los dos voltímetros: es posible usarlo cuando el neutro de la máquina no está tirado a tierra. Figura 4.48. Montaje para método de los dos voltímetros

206

Puede tomarse como referencia una de las líneas. Se hacen los chequeos como en el método visto. Cuando la máquina esté sincronizada se pueden unir los neutros. Si el neutro de la máquina está aterrizado se puede considerar ya unido al neutro del sistema y es necesario usar el método de los tres voltímetros. - Método de las tres lámparas: Figura 4.49a. Montaje para método de las tres lámparas

V

El brillo de las lámparas hace las veces de lectura en los voltímetros. Se siguen los pasos del método de los tres voltímetros y la sincronización se hace cuando las lámparas están apagadas. Este método requiere de un voltímetro para chequear la amplitud. El método de las “lámparas encendidas” es una variante del anterior, en la que se traban dos lámparas, para que el sincronismo se detecte cuando una lámpara, la que no se trabó, esté apagada y las otras dos tengan igual brillo. Se sostienen que es mas fácil detectar el sincronismo por esta igualdad de brillo que el sincronismo por la ausencia de brillo de las tres lámparas, pues una lámpara no brilla aún con un considerable voltaje en sus bornes (Figura 4.49b)

207

Figura 4.49b. Montaje para método de lámparas encendidas

V

- Método de las dos lámparas: es igual al método de los dos voltímetros, pero usando lámparas como en el caso anterior. Figura 4.50. Montaje para método de las dos lámparas

- Sincronización con el osciloscopio: el osciloscopio solo comprueba la sincronización en una fase. Para comprobar secuencia es necesario usar alguno de los métodos vistos: secuencímetro, voltímetro o lámparas. Cuando se logre la superposición de las gráficas de la máquina y el sistema se cierra el interruptor.

208

Figura 4.51. Superposición de gráficas de la máquina y del sistema

- Método del sincroscopio: el sincroscopio detecta el sincronismo de dos ondas senoidales. Figura 4.52. Montaje para método del sincroscopio

209

Cuando Wm > Ws la aguja gira en el sentido de “fast”, si Wm < Ws la aguja gira en el sentido “low”. Cuando Wm = Ws la aguja se detiene; si no lo hace en cero hay una diferencia de fase y/o amplitud y estas deberán chequearse por medio de algunos de los métodos vistos. Cuando se logran iguales frecuencias, amplitud y fase; la aguja se encuentra en cero. Puede realizarse la sincronización. - Método de la lámpara estroboscópica: la lámpara estroboscópica emite pulsos luminosos, que si se sincronizan con un objeto en rotación permite verlo siempre en la misma posición. Permite chequear frecuencia y fase; los chequeos de amplitud y secuencia es necesario hacerlos por otro método. Para el chequeo de la frecuencia se conecta la lámpara en la posición S (queda conectada al voltaje del sistema). Si la máquina tiene la frecuencia correcta, se ve la señal del eje quieta; si no es la frecuencia correcta, la señal se verá en movimiento.

Figura 4.53. Montaje para método de la lámpara estroboscópica

Máquina

Sistema

m s Señal en el eje de la máquina

Para el chequeo de fase se cambia la lámpara a la posición m y si la señal del eje se superpone con la observada en la posición S, existe igual fase. 210

4.7 CONTROL DE LA MÁQUINA SINCRÓNICA CONECTADA A UN SISTEMA DE POTENCIA: (ANÁLISIS DEL DIAGRAMA CIRCULAR) Montaje imaginario:

Figura 4.54. Montaje de la máquina conectada al sistema de potencia

V V

Wm

A A A A

F1 A Ir

Ie

A

F2

VCD

Procedimiento: - Puesta en funcionamiento: se hacen chequeos de embalse, fugas en la tubería de presión, accionamiento de válvulas, sistemas de seguridad (aceite a presión), funcionamiento de frenos (para evitar embalaje). Se arranca la turbina abriendo lentamente la válvula; la máquina debe tener una baja excitación. Se lleva la velocidad a la velocidad sincrónica. Se excita la máquina hasta alcanzar el voltaje nominal. Se chequean: secuencia, frecuencia, amplitud y fase. Se sincroniza.

211

Partiendo de una sincronización perfecta: Figura 4.55. Circuito equivalente de la máquina con sincronización perfecta

j Xs

Ie = 0

E=V

E

V

El diagrama fasorial es: Figura 4.56. Diagrama fasorial con sincronización perfecta

φr

Wm = Ws

E ,V

Como Ie = 0 , el generador está flotando. El diagrama circular es: 212

Figura 4.57. Diagrama circular con sincronización perfecta

V2  1 1 −  2  Xq Xd V2 VE = Xd Xd

  

V2  1 1  +   2  X q X d 

En el momento de la sincronización: V

2

Xd

+

V

2

2 Xq

−

V

2

2 Xd

=

V

2

2 Xq

+

V

2

2 Xd

P=0 y Q=0

4.7.1 Cambios en la excitación. Estando la máquina sincronizada: - Aumento de I r :

Figura 4.58. Circuito equivalente con aumento de corriente en el rotor

Ir

VCD

F1 Rr F2 213

Cuando aumenta I r , crece φ r :

φr =

N r Ir Reld

Figura 4.59. Diagrama fasorial con aumento de corriente y del flujo del rotor

φr

E

∆E

V

j Ie Xs

Ie

φe

Al crecer φ r crece E , E =

Ne φ r W 2

. Entonces, E es mayor que V y por lo tanto aparece

una corriente Ie . Figura 4.60. Circuito equivalente con aparición de corriente de estator

j Ie X s = j I e X d

Ie V

E

214

E = j Ie Xs + V ∴ Ie =

E−V j Xs

Localizando el fasor j Ie X s , se localiza el fasor Ie y al fasor φ e , donde:





φe =

3 N e Ie 2 2 Rel

Tomando Rel ≅ Reld ≅ Relq (despreciando la saliencia).

Al calcular el torque se tiene: T = Rel φ e φ r Sen (180°) = 0

Ya que no existe torque, el sistema mecánico “no se entera” del cambio de excitación. La máquina sigue rotando sin perturbación. Desde el punto de vista de circuitos: Figura 4.61. Máquina como condensador y sistema como inductancia

Ie Maq

V

V

Sist

Ie

215

El sistema se comporta como una inductancia y la máquina como un condensador. Entonces, cuando a la máquina se le aumenta la excitación, se comporta como una “capacitancia sincrónica”, es decir, funciona enteramente como un condensador. Figura 4.62. Máquina como capacitancia sincrónica

I

I

V

V

V

I

I

V En el diagrama circular:

Figura 4.63. Diagrama circular de máquina como capacitancia sincrónica

V2  1 1  −   2  X q X d 

VE Xd

V2  1 1  +   2  X q X d 

216

Se tiene: P = 0 , pero aparece una Q que la máquina entrega al sistema debido al aumento de E . - Disminución de I r : al disminuir la excitación, se disminuye φ r , lo que produce una disminución en E . Figura 4.64. Circuito equivalente y diagrama fasorial con disminución de corriente y flujo del rotor

φr j Xs

∆φ r

Ie

Ie ∆E

V

E

j Ie X s




 E = V + j Ie Xs Análisis del circuito: Figura 4.65. Máquina como inductancia y sistema como condensador

Ie Maq

Ie

Sist

V

V

217

E V

El sistema se comporta como un condensador y la máquina como una inductancia. En este caso la máquina está consumiendo potencia reactiva. En conclusión, variando la excitación solo se logra controlar la potencia reactiva ( Q ).

Efecto de la excitación en el diagrama circular: el fasor

E V Xd

depende del valor de I r ,

ya que:

E=

N e φ r Wm 2

y

φr =

N r Ir Reld

Figura 4.66. Efecto de excitación en el diagrama circulares

V2  1 1  +   2  X q X d  E V Xd

Ir = 4 Ir = 3 Ir = 2 Ir = 1

V2  1 1  −   2  X q X d 

Al variar la excitación varía la magnitud del fasor

E V

y se forman varios círculos Xd concéntricos. Es importante anotar que el límite de estabilidad de la máquina depende de la excitación.

218

4.7.2 Cambios en la potencia mecánica. Asumiendo la máquina sincronizada:

Figura 4.67. Diagrama fasorial del rotor de la máquina sincrónica

φr

Wm

E ,V

Se abren la válvula del agua permitiendo que más agua golpee la turbina, aumentando así la potencia mecánica. Esto hace que el rotor trate de adelantarse; aumenta su velocidad. Figura 4.68. Diagrama fasorial del rotor con cambio en la potencia mecánica

φr T

E j Ie X s

δ Ws

Ws + ∆Ws

V

φe

219

Ie

Figura 4.69. Circuito equivalente simplificado de la máquina sincrónica

Ie j Ie Xs

Eδ

V

Localizando el fasor j Ie X s , se localiza el fasor Ie , atrasado 90° respecto a j Ie X s . Con la aparición de Ie se genera φ e y se crea un torque electromagnético que se opone al movimiento del rotor. La máquina alcanza un nuevo punto de equilibrio, cuando los dos torques se equilibran. Tturbina − Telectromagnético = 0

En el diagrama circular simplificado: ( X q = X d = X s )

Figura 4.70. Diagrama circular simplificado

Q

P

V2 Xs

Q

δ

EV Xs

220

P

V2  1 1  −  =0 2  X q X d 

La magnitud de E V

no ha cambiado, pero este fasor ha girado un ángulo δ . Se pasa Xs del punto (0,0) al punto ( P , Q ); donde la máquina produce P y consume Q .

Mediante el principio de conservación de la energía, este cambio sufrido por la máquina al aumentar la energía mecánica, puede entenderse así: La máquina tomó potencia mecánica que entró por la turbina y la transformó en potencia eléctrica que entregó al sistema: Figura 4.71. Esquema de transformación de potencia mecánica en potencia eléctrica

Pmec =

Despreciando

magnética = 1

pérdidas

( 2 ) Relφ

2

∆E mec ∆t

y

Pelec =

energías

y cinética del rotor).

Pmecánica = Peléctrica 221

∆E elec ∆t

almacenadas

( mecánica = 1

( 2 ) IW

2

,

Si se continúa aumentando la potencia mecánica, la máquina continúa aumentando la potencia eléctrica que entrega al sistema. Figura 4.72. Diagrama circular con aumento de la potencia mecánica y la potencia eléctrica Q

P1

P0

P2 P4 P3

P

δ V2 Xs

Parte estable Parte inestable

δ = 90°

Pero se llega a un límite llamado de “estabilidad de estado estable” ( δ = 90° ). Figura 4.73. Efecto en los flujos al aumentar la potencia mecánica

φr

Tmec

φr

φr

Tmec

Telec

φr

Tmec

Telec

Telec

φe φe δ < 90°

δ > 90°

φe φe

δ = 90° 222

δ > 90°

Cuando δ = 90° , y se aumenta aún más la potencia mecánica, el rotor se acelera y δ aumenta, la máquina suministra menos potencia eléctrica al sistema. La energía “extra” que recibe la máquina se convierte en energía cinética y el rotor se acelera más, por lo tanto δ sigue aumentando; y el proceso sigue hasta que la máquina se embala, si no se dispone de protecciones adecuadas. En general, aumentando la potencia mecánica es posible controlar a P y Q , mientras se esté dentro de la región de estabilidad.

Si se cierran, poco a poco, las válvulas del agua (suponiendo inicialmente la máquina en el punto de sincronismo) y con esto se disminuye la potencia mecánica, el rotor se mantiene en movimiento mientras la turbina suministra la pequeña potencia mecánica necesaria para vencer los rozamientos. Figura 4.74. Torques del rotor

Trozamientos

T mec

Si se cierran las válvulas completamente, el rozamiento tiende a frenar el rotor y este se detendría si la máquina no actuara como motor. Analicemos el caso del rotor frenándose: Figura 4.75. Diagrama fasorial con rotor en proceso de frenado

φr Telec

δ =0 Wm = Ws

Ie

φr

φe

Trozam.

E ,V

V

δ

j Ie X s

E δ

223

Al localizar el fasor Ie y hallando la dirección del torque electromagnético, se observa que la máquina actúa como motor, ya que el torque producido por la máquina es el que la impulsa contrarrestando el torque de rozamiento. Es decir, si se trata de frenar el rotor, δ aumenta en sentido negativo, la máquina consume más potencia eléctrica y la convierte en potencia mecánica. Figura 4.76. Diagrama circular de región de trabajo de la máquina

Q P ( − ) motor P ( + ) generador

}

P δ ( − )δ ( + )

Figura 4.77. Diagrama fasorial y circuito equivalente de la máquina como motor

φr

Tmec

Telec

Wm

V

δ (−) j Xs

Ie = 0

φe

E

E=V

V

224

P = Preal VIe* P = − Preal VIe*

E

Figura 4.78. Diagrama fasorial y circuito equivalente de la máquina como generador

φr

Tmec

Telec Wm

E

δ (+)

j Xs

E

E=V

φe

Ie = 0

V

P = Preal VI e* P = + Preal VI e*

V

Cuando la máquina sincrónica trabaja como motor, recibe potencia eléctrica del sistema y la transforma en potencia mecánica, que entrega a la carga. El torque mecánico va en
 dirección opuesta al sentido de giro de la máquina. Y el ángulo δ es negativo ( V está
 adelantado a E ). El motor sincrónico no arranca por sí solo (más adelante se verá que métodos se usan para arrancarlo). Cuando la máquina sincrónica trabaja como generador, recibe potencia mecánica de la turbina, transmitida por medio del eje, y la transforma en potencia eléctrica que entrega al sistema. En este modo de funcionamiento, es el torque electromagnético el que gira en
 sentido contrario al sentido de giro de la máquina. El ángulo δ es positivo ( V está atrasado
 con respecto a E ). El circuito equivalente es válido para cualquier modo de funcionamiento. Este solo depende de las características de la máquina. 225

5. CARACTERÍSTICAS EN CARGA Para trazar la característica V vs Ie de una máquina, tanto para carga capacitiva, resistiva o inductiva, el procedimiento será: llevar la máquina a la velocidad a la que se desea trazar la característica por medio del motor impulsor. Excitar la máquina hasta alcanzar el voltaje inicial requerido. Manteniendo estos valores de velocidad y excitación constantes, se varía la carga tomando lecturas de V e Ie . A partir del circuito equivalente de la máquina, con la carga correspondiente conectada, y del diagrama fasorial es posible hallar V como función de Ie y los parámetros de la máquina. Esto permite trazar la característica V vs Ie teórica. 5.1 CARGA INDUCTIVA Montaje: Figura 5.1. Montaje para obtención de característica de la máquina con carga inductiva

M1 Ie

Wm

V M2 M3 F1

F2

A

Ir

VCD

227

A

Procedimiento: se arranca el motor impulsor; se lleva a la velocidad nominal. Se cierran los interruptores de excitación y se eleva I r hasta obtener, en vacío, el voltaje nominal.

Con la máxima reactancia ( X carga ) se cierran los interruptores y se va variando la carga tomando lecturas de Wm , V , Ie , I r . Wm e I r deben mantenerse tan constantes como sea posible. La gráfica obtenida con este ensayo será: Figura 5.2. Característica V vs Ie para carga inductiva V (Volt ) Con Re > 0

Vnominal

Wm nominal

Con Re = 0

Punto de c.c.

Ie ( Amp )

1.25 Inominal

El circuito equivalente, sin considerar la resistencia R e , será: Figura 5.3. Circuito equivalente de la máquina con carga inductiva

j Xd

Iq V j X carga

j Xq

Id E

Y el diagrama fasorial será:

228

Figura 5.4. Diagrama fasorial de la máquina con carga inductiva

φr

Wm = We

E V

j Ie X s

φe = φd I e = Id Iq = 0




 Entonces: V = E − j Ie X d Como los voltajes están en fase: V = E − Ie X d

Graficando la ecuación: Figura 5.5. Gráfica con voltajes en fase

V Vnominal E

Ie X d

Ie 229

Pero la saturación afecta esta característica, y la forma en que se ve afectada depende de si empezó el ensayo en un punto de saturación o de no saturación. Si se inicia en no saturación: Figura 5.6. Diagrama fasorial con rotor en no saturación

φr

φ n eto

φe = φd

El flujo del rotor trata de saturar, pero φ e trata de desmagnetizar. Por lo tanto, a medida que se aumenta Ie , aumenta φ e . La máquina nunca se satura, ya que el φ neto está disminuyendo. Si se empieza en saturación, el φ neto disminuye cuando se presenta φ d y la máquina pasa a no saturación. La verdadera gráfica, cuando se empieza en saturación es: Figura 5.7. Gráfica de máquina en saturación y en no saturación

V No Saturada

Saturada

Ie 230

Cuando se incluye R e , la característica se “curva” tal como se muestra en la Figura 4.2. 5.2 CARGA CAPACITIVA Montaje:

Figura 5.8. Montaje para obtención de característica de la máquina con carga capacitiva

M1 Ie Wm

A

V M2

M3 F1

F2

A Ir

VCD

Procedimiento: se arranca el motor impulsor y se lleva a la velocidad nominal. Se excita el rotor hasta alcanzar el voltaje inicial deseado en la característica. Se empieza a colocar la carga capacitiva. Se deja a I r constante. La gráfica obtenida es: Figura 5.9. Característica V vs Ie para carga capacitiva V (Volt )

Vinicial > Vsat Vinicial < Vsat

Punto de c.c. Ie ( Amp )

231

El circuito equivalente despreciando R e , es: Figura 5.10. Circuito equivalente de la máquina con carga capacitiva

j Xd

Iq

VL-n j Xq

− j X carga

Id E

En este caso, como en el anterior, la saturación no depende solamente de I r , hay que tener en cuenta el efecto de la corriente del estator. Pero como Ie se presenta toda en el eje directo, solo debemos considerar Id . Haciendo Iq = 0 en el circuito anterior, obtenemos: Figura 5.11. Simplificación del circuito equivalente de la máquina con carga capacitiva

Ie = Io

Ie = Io j Xd

Iq = 0

j Xd V

j Xq

V

Id = Ie

E

E

E δ = V + j Ie X d Y el diagrama fasorial es: 232

Figura 5.12. Diagrama fasorial del circuito equivalente simplificado

Ie

V j Ie X d

Eδ Donde δ = 0 y E = V − Ie X d

Ya localizado E y volviendo al primer circuito; teniendo δ = 0 , entonces Iq = 0 . Figura 5.13. Diagrama fasorial del circuito equivalente sin simplificaciones

Ie = Id

φr φe V

E

j Id X d = j Ie X d

Donde: V = E + Ie X d

La característica teórica es:

233

Figura 5.14. Característica teórica de la máquina con carga capacitiva

V Ie X d Sat

ESat Ie X d

E No Sat

No Sat

E No Sat

Ie Sin embargo, cuando Ie ya es muy grande, resulta imposible despreciar la caída en la resistencia R e Ie . Por eso la característica real tiene un “retorno” que lleva al punto de cortocircuito, tal como se ilustra en la Figura 4.9. 5.3 CARGA RESISTIVA Montaje:

Figura 5.15. Montaje para obtención de característica de la máquina con carga resistiva

M1 I e Wm

V M2 M3

F1

F2

A Ir

VCD

234

A

Procedimiento: se arranca el motor impulsor y se lleva a la velocidad requerida. Se excita el generador hasta alcanzar el voltaje inicial deseado en la característica. Se empieza a colocar la carga resistiva; manteniendo la excitación y la velocidad constantes. La gráfica obtenida será: Figura 5.16. Característica V vs Ie para carga resistiva

V (Volt )

Vnominal Wm nominal

Punto de c.c. Ie ( Amp )

1.25 I nominal

El circuito equivalente, también despreciando R e (ó sumándola a la resistencia de carga R c ), es: Figura 5.17. Circuito equivalente de la máquina con carga resistiva Ie

j Xd

Iq VL-n

j Xq

Id E

235

Rc

Un circuito más útil resulta: Figura 5.18. Modificación de circuito equivalente de la máquina con carga resistiva

Ie

j Xq

(X

d

(

)

− X q ) Sen δ − θ Ie δ − θ Ie

V

Rc

E' δ E

El diagrama fasorial es: Figura 5.19. Diagrama fasorial del circuito equivalente de la máquina con carga resistiva con modificaciones

E

E'

Ie ( X d − X q ) Sen (δ ) δ

j Ie X q

δ

V

I e = I e θ Ie

θ Ie = 0 por ser carga resistiva.

Y el diagrama fasorial del circuito anterior será:

236

Figura 5.20. Diagrama fasorial del circuito equivalente de la máquina con carga resistiva sin modificaciones

E j Id X d

Iq

j Iq X q

δ

Ie

V

Id Buscando una ecuación que relacione a V con Ie tenemos: E =

2

2

V − Iq X q + Id X d

Pero: Figura 5.21. Diagrama fasorial de corrientes

Iq

δ

Ie

Iq = Ie Cosδ Id = Ie Senδ

Id

E =

2

2

V − X q Ie Cosδ + X d Ie Senδ

Además: 237

Ie X q

Senδ =

2

V − Ie X q

2

V

Cosδ =

2

V − Ie X q

2

Figura 5.22. Diagrama fasorial de tensiones

E'

j Ie X q

δ

V

2

∴ E =

X q VIe

2

V −

2

V − Ie X q

2

+ Xd

Ie Ie X q V 2 − Ie X q

2

De donde despejar V es bastante complicado. Existe otra forma más sencilla: del primer diagrama fasorial: E =

2

2

V − Ie X q + Ie ( X d − X q ) Sen δ

En magnitudes: 2

E = V 2 − ( Ie X q ) + Ie ( X d − X q )

238

Ie X q V 2 − ( Ie X q )

2

2

2

E V 2 − ( Ie X q ) = V 2 + ( I e X q ) + I e 2 X d X q − ( I e X q )

2

Elevando al cuadrado a ambos lados de la igualdad: E 2 V 2 + E 2 Ie 2 X q 2 = V 4 + 2V 2 Ie 2 X q X d + Ie 4 X d 2 X q 2

Organizando la ecuación: V 4 + V 2 ( 2 Ie 2 X q X d − E 2 ) − ( E 2 Ie 2 X q 2 − Ie 4 X d 2 X q 2 ) = 0

La cual es una ecuación cuadrática, cuya solución resulta:

V

2

(2 I =−

2 e

Xq Xd − E2 ) 2 ∴ V2 =

±

4Ie 4 X d 2 X q 2 + E 4 − 4Ie 2 X q X d E 2 4

+ E 2 Ie 2 X q 2 − Ie 4 X q 2 X d 2

1 2 E − 2 Ie 2 X q X d ± E 2  E 2 − 4Ie 2 X q ( X d − X q )     2

Donde E , X q y X d pueden tomar los valores de saturación o de no saturación dependiendo de la tensión con la cual se inicia la característica.

239

6. EL MOTOR SINCRÓNICO En realidad no hay motores y generadores sincrónicos, sino máquinas sincrónicas trabajando como motores o generadores sincrónicos. Claro que pueden existir máquinas sincrónicas diseñadas y construidas exprofeso para trabajar como generadores ó como motores, con énfasis en algún detalle constructivo más importante en un funcionamiento ó en el otro, pero la diferencia sería de detalle, no genérica. Cuando la máquina trabaja como motor consume potencia activa. El torque electromagnético es el encargado de hacer rotar la máquina, y el torque mecánico actúa como carga, en sentido contrario al movimiento de la máquina. 6.1 PUESTA EN FUNCIONAMIENTO DE UN MOTOR SINCRÓNICO Suponiendo que se conecta el motor excitado a la línea, lo primero que se presenta en la máquina es el flujo φ r , C.D., producido por el devanado del rotor; y, luego de establecido

φ r , la circulación de las corrientes 3φ del estator por sus respectivos devanados. Figura 6.l. Montaje para puesta en funcionamiento de un motor sincrónico

φr

φe

241

El flujo φ e , producido por las corrientes del estator, empezará a girar a la velocidad sincrónica. El torque entre φ r y φ e tratará de arrastrar el rotor detrás de φ e , pero para esto es necesario acelerarlo desde el reposo en que estaba. Como la velocidad de φ e es relativamente alta y el rotor tiene inercia, no alcanza a tomar la velocidad sincrónica en el tiempo en el cual φ e está “delante” de φ r . Cuando φ e pasa a la parte de atrás de φ r el torque cambia de sentido. Figura 6.2. Sentido de torque

φr

T1

T2

T2

Ws

φe T1

El rotor se halla sujeto entonces a dos torques alternativos: T1 que lo acelera, y T2 que lo frena. El resultado será un torque neto nulo y el rotor permanecerá estático. Se dice, por lo mismo, que el motor sincrónico no tiene torque de arranque. Se arranca entonces por los siguientes métodos: 6.1.1 Arranque con motor auxiliar. Montaje:

242

Figura 6.3. Montaje para arranque con motor auxiliar

V

M1 M2

A

V

V

M3

F2

F1

V N

A

VCD Ya que el motor sincrónico no arranca por si mismo, con el motor pequeño, sin carga mecánica, se arranca el motor sincrónico en vacío. Se lleva a la velocidad sincrónica, o ligeramente por encima; se excita el motor sincrónico y se sincroniza con la línea. La sincronización se logra como se hizo con la máquina funcionando como generador. Se desenergiza el motor pequeño y la máquina sincrónica pasa a actuar como motor. Se cierra el embrague (mecánico o electromagnético) y entra la carga mecánica. 6.1.2 Arranque con devanado amortiguador. Existe un motor sincrónico que puede arrancar por sí mismo, cuando, por diseño, se construye con algunas de las características del motor de inducción. 243

Figura 6.4. Motor sincrónico con características de motor de inducción

En el motor de inducción, el estator es igual al de la máquina sincrónica, con un devanado trifásico que produce un flujo giratorio. El rotor es un cilindro macizo de hierro con unas barras de cobre o aluminio en forma de jaula (jaula de ardilla). Figura 6.5. Esquema de rotor de jaula de ardilla

E inducida en barras

Ir

φr

φe

244

We

El funcionamiento de este motor es así: alimentando el estator por un sistema de corrientes balanceadas se producirá un flujo φ e giratorio. Este flujo giratorio induce una tensión en los devanados del rotor; ya que este está cortocircuitado; circulará una I r , produciéndose el flujo φ r . El torque producido entre los flujos arrastra el rotor en el seguimiento del flujo φ e .

El nombre de motor de inducción proviene, precisamente, del hecho que los devanados del rotor no se alimentan por fuente ninguna; siendo las corrientes que circulan por ellos corrientes inducidas por el flujo del estator. El nombre de la máquina asincrónica (que también se le da) proviene del hecho que su velocidad no es la velocidad del flujo. Este principio de funcionamiento del motor de inducción se utiliza en algunas máquinas sincrónicas, adicionando en el rotor de la máquina sincrónica, barras en forma de jaula. Figura 6.6. Motor sincrónico con devanado amortiguador

Procedimiento de arranque:

245

Figura 6.7. Montaje para arranque con devanado amortiguador

M1 M2

M3

Carga F1

A V

Sistema

F2 Varistor

VCD Se cierran los interruptores y la máquina arranca como motor de inducción. Es necesario proteger el devanado del rotor contra sobretensiones inducidas. Una vez arrancado se coloca la excitación gradualmente y la máquina entra a funcionar como motor sincrónico. A la velocidad sincrónica, el devanado amortiguador (jaula) no juega ningún papel; debido a que tanto el rotor como el flujo del estator giran a la misma velocidad, entonces los flujo no lo cortan y no hay inducción en el. Es posible que se induzcan elevadas tensiones en el momento del arranque en el devanado del rotor, y por esto es necesario protegerlo. Estas sobretensiones se producen así:

246

Figura 6.8. Esquema de la máquina con devanado amortiguador

Ne

φr Nr

φe

E inducida en el estator por φ e =

E inducida en el rotor por φ e =

W

N e φ e Wφ e →r 2

N r φ e (W − Wm r ) 2

=

Nr φ eW 2

Pues, W − Wm r es la velocidad del flujo respecto al rotor; pero en el instante del arranque Wm r = 0 . De ahí la última expresión.

De donde: E en el estator N e = E en el rotor Nr

Entonces la máquina actúa como un transformador.

247

Asumiendo: Tensión aplicada = Tensión inducida .

E inducida en el estator por φ e = V E inducida en el rotor por φ e = V

Ne Nr

Pero N r >> N e , entonces: E rotor > V creándose la sobretensión en el rotor. Para proteger el devanado del rotor, en las máquinas muy grandes, se suele seccionar en varios devanados, que luego del arranque se conectan en serie. Cuando no es posible seccionarlos, se protegen mediante la llamada “resistencia de descarga de campo”. Esta se coloca en los terminales del devanado del rotor, de modo que por éste circule una corriente la cual hace que la tensión inducida “caiga” en la impedancia interna del devanado, no apareciendo en los devanados solamente. El valor de la resistencia de descarga debe estar entre 10 y 15 veces la resistencia del devanado del rotor. También se protege mediante el uso de varistores, como mostramos en el circuito correspondiente. Es necesario excitar gradualmente el motor, porque no se sabe en que sentido va a circular Ir . Figura 6.9. Dirección del flujo del rotor

φ

φa

r

φa T

W

φe

W

φe T

φ

r

a

b 248

Si el flujo φ r aparece en forma “correcta” (Figura 5.9b), el torque tiene el sentido del movimiento de la máquina. En el caso de la Figura 5.9a, el torque producido frena la máquina creando una inestabilidad perjudicial. Si la máquina se excita lentamente, φ r crece gradualmente y el torque “acomoda” poco a poco el rotor en la posición correcta. 6.2 CARACTERÍSTICA T = f (Wm) PARA EL MOTOR SINCRÓNICO La característica más importante para los motores es la del torque en función de su velocidad. Para el motor sincrónico:

Figura 6.10. Característica del torque en función de la velocidad para motor sincrónico

T

Tmáximo

Wm = Ws

Wm

El motor sincrónico solo desarrolla torque cuando gira la velocidad sincrónica. En cambio, el motor de inducción, (aunque no es sincrónico, nos referimos a él para emplear su característica T = f (Wm ) puesto que esta será la que define el comportamiento del arranque del motor sincrónico cuando se construye con devanado amortiguador (jaula)) tiene una característica como la mostrada en la figura que sigue.

249

Figura 6.11. Característica del torque en función de la velocidad para motor de inducción

T

Wm = Ws Wm

Esta es la característica del torque del motor. Para encontrar el punto de funcionamiento debemos emplear también la característica del torque de la carga. La característica combinada, como motor sincrónico y como motor de inducción es: Figura 6.12. Característica del torque en función de la velocidad combinada

T

Wm

250

Suponiendo la forma de la característica T = f (Wm ) , que se debe aplicar a una carga para moverla tal como se muestra a continuación: Figura 6.13. Característica del torque en función de la velocidad que se debe aplicar a la carga

T

Wm El punto de funcionamiento del sistema motor-carga, es aquel en el cual se cortan la característica del torque del motor y la del torque de la carga. Figura 6.14. Punto de funcionamiento de motor sincrónico y de inducción

T

Wm = Ws

Wm

W < Ws

251

6.3 PROCESO DE ARRANQUE DE UN MOTOR Cuando se energiza un motor ( Wm = 0 ), este arrancará solo si Tmotor > Tcarga . Se logra un

funcionamiento a velocidad constante cuando Tm = Tc .

Si Tm > Tc el rotor se acelera ( dW

Si Tm < Tc el motor se frena ( dW

dt

dt

< 0 ).

> 0 ).

Figura 6.15. Gráfica de arranque del motor dependiente del torque del motor y de carga

T

Tm

Tm = Tc Tm > Tc

Wm

t

252

El devanado amortiguador lleva al motor sincrónico hasta una velocidad cercana a la sincrónica. La aparición del flujo φ r , producido por la excitación, adiciona un pequeño torque que lleva al motor hasta la velocidad sincrónica. Si la carga tiene una característica muy pendiente: Figura 6.16. Gráfica de velocidad y torque con devanado amortiguador

T

Tm

Wm = Ws Wamort

Wm

La velocidad que se logra con el arranque por devanado amortiguador es mucho menor que la velocidad sincrónica y el motor no puede sincronizarse por sí mismo. Las normas establecen que las máquinas sincrónicas pueden sincronizarse si su velocidad es, como mínimo, un 95% de su velocidad sincrónica.

253

6.4 APLICACIONES Algunas aplicaciones típicas del motor sincrónico son: CONSTRUCCIÓN VELOCIDAD HP APLICACIONES ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Carcasa de fundición Rotor lámina Polos fijos al rotor por pernos

1800 – 1200 900 – 720 450 – 360

< 800 < 600 < 400

Ventiladores, compresores, esmeriladoras, machacadoras, batidoras de pulpa.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------Carcasa soldada Rotor laminado Polos sujetos por "cola de milano"

1800 – 1200 720 – 600 450

>400 >1500 >2500

Ventiladores, fuelles, bombas, esmeriladoras, mezcladoras, laminadores de acero.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------Arrollamientos Amortiguadores especiales

450 – 150 720 – 150

>300 >200

Pulverizadores, trituradora de piedra, laminación en frío.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

254

7. FUNCIONAMIENTO NO BALANCEADO El estudio del comportamiento de las máquinas cuando se conectan a sistemas no balanceados, requiere de una técnica especial conocida con el nombre de las “Componentes Simétricas”. Esta técnica o método es de gran importancia, ya que es una de las herramientas más poderosas en el estudio de los circuitos polifásicos desbalanceados. 7.1 COMPONENTES SIMÉTRICAS 7.1.1 Recuento Histórico. La idea de las componentes simétricas nació para el análisis de motores monofásicos y fue creada por Ferraris, Lamme y otros, hacia el año 1895. Una parte de este análisis se apoya en que el campo en un motor monofásico puede ser visto como dos flujos de campo girando en direcciones opuestas. Más tarde, una máquina trifásica es analizada en dos partes descomponiendo vectores en secuencia positiva y secuencia negativa, y sus efectos son analizados en términos de las rotaciones de los campos asociados con la máquina. Esta concepción fue utilizada por Alexanderson en relación con su trabajo sobre fases desbalanceadas, realizando un tratamiento cualitativo, que fue publicado en 1913. También Stokvis, en la determinación de la regulación de voltaje de los generadores en términos de las corrientes de fase, realizó un análisis matemático que apareció entre 1912 y 1915. Stokvis trató de resumir sus estudios sobre las máquinas y los campos en la siguiente propuesta: El campo de una máquina 3φ se puede descomponer en tres partes: Una parte que produce un campo que rota positivamente, una parte que produce un campo que rota negativamente, y una parte que produce un campo pulsante. Fortescue resolvió el problema desde un punto de vista diferente, percibiendo una magnifica generalización del método como aplicación a la solución de cualquier problema 255

en sistemas polifásicos. El concepto general desarrollado por Fortescue y sus asociados, Gilman, Peter, Slapian y otros; demuestra que un sistema desequilibrado de n vectores relacionados entre si, puede descomponerse en sistemas de vectores equilibrados, denominados componentes simétricas de los vectores originales. Los n vectores de cada grupo de componentes son de igual magnitud, siendo también iguales los ángulos formados por vectores adyacentes. 7.1.2 Componentes simétricas de un sistema trifásico. Aplicando el método a sistemas trifásicos, puede decirse que un sistema trifásico desbalanceado puede sustituirse por tres sistemas trifásicos balanceados que combinados en forma adecuada son equivalentes al sistema original. Los conjuntos balanceados de componentes son: •

Componentes de Secuencia Positiva, formada por tres vectores de igual módulo, con diferencias de fase de 120° y con la misma secuencia de fase que los vectores originales.

•

Componentes de Secuencia Negativa, formados por tres vectores de igual módulo, con diferencias de fase de 120° y con la secuencia de fase opuesta a la de los vectores originales.

•

Componentes de Secuencia Cero, formados por tres vectores de igual módulo y con una diferencia de fase nula. Resulta conveniente, por los desplazamientos de fase de las componentes simétricas de las voltajees y las corrientes en un sistema trifásico, disponer de un operador que indique la rotación de un vector 120°. Tal operador es un número complejo de módulo unidad y ángulo de 120°, y está definido así:

De la definición del operador “ a ” resultan las siguientes relaciones: 1 3 a = 1120° = Cos 120° + j Sen 120° = − + j 2 2 1 3 a 2 = 1 240° = Cos 240° + j Sen 240° = − − j 2 2 a 3 = 1 360° = Cos 360° + j Sen 360° = 1 + j 0

256

a + a 2 + a3 = a + a 2 + 1 = 0 a + a3 = a + 1 = −a 2 a 2 + a3 = a 2 + 1 = −a

Haciendo uso del operador “ a ”, puede describirse un sistema trifásico senoidal equilibrado, de secuencia abc, de la siguiente forma: Va = Va , Vb = a 2 Va , Vc = aVa

Para la secuencia positiva: (subíndice 1)

Va 1 = Va 1 , Vb 1 = a 2 Va 1 , Vc 1 = a Va 1 Para la secuencia negativa: (subíndice 2) Va 2 = Va 2 , Vb2 = a Va 2 , Vc2 = a 2 Va 2

Para la secuencia cero: (subíndice 0) Va 0 = Vb 0 = Vc 0

La suma de los tres sistemas; los de secuencia positiva, secuencia negativa y secuencia cero da como resultado un sistema de tres fasores desequilibrado. Figura 7.1. Suma de tres sistemas equilibrados

Vc 1

Va 1

Vb 2

Va 2

Va

Vc

Va 0Vb 0 Vc 0

Vb

Vc 2

Vb 1

257

En general: Va = Va 1 + Va 2 + Va 0 Vb = Vb 1 + Vb 2 + Vb 0 Vc = Vc 1 + Vc 2 + Vc 0

Para expresar las componentes simétricas (desconocidas) en función de los voltajes o corrientes del sistema original (conocidos), se tiene: Va = Va 1 + Va 2 + Va 0 Vb = a 2 Va 1 + a Va 2 + Va 0 Vc = a Va 1 + a 2 Va 2 + Va 0 En forma matricial:

 Va  1 1 1   Va 0   V  = 1 a 2 a   V    a1   b   Vc  1 a a 2   V   a2  Haciendo: 1 1 1    A = 1 a 2 a  1 a a 2   

y

1 1 1  1   A −1 = 1 a a 2  3 1 a 2 a   

Se puede obtener:

258

 Va 0  1 1 1   Va    1  2  Va 1  = 1 a a   Vb    3 1 a 2 a   V    c  Va 2  Que es la forma de descomponer tres vectores asimétricos en sus componentes simétricas. Otra forma de verlo es: 1 ( Va + Vb + Vc ) 3 1 Va 1 = ( Va + a Vb + a 2 Vc ) 3 1 Va 2 = ( Va + a 2 Vb + a Vc ) 3 Va 0 =

Y conociendo las relaciones entre Vb , Vc y Va es posible hallar las componentes de Vb y Vc . 7.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LAS COMPONENTES SIMÉTRICAS A LA MÁQUINA SINCRÓNICA

Figura 7.2. Esquema de máquina sincrónica

M1 VCD

Ir

Ia

F1

Va

M2

Ib

F2

Vb

M3 Ic

Vc Zn

259

Reemplazando los voltajes por sus componentes simétricas ya que Va , Vb y Vc no están balanceadas: Figura 7.3. Esquema de la máquina con reemplazo de voltajes por sus componentes simétricas

M1 VCD

Ir

Ia

F1

M2

Ib

F2

Va 0

Va 1

Va 2

Vb 0

Vb 1

Vb 2

Vc 1

Vc 2

M3 Ic V c0

Zn

Y aplicando superposición: Secuencia positiva: Figura 7.4. Esquema de secuencia positiva de componentes simétricas

Ia 1 VCD

Ir

F1

Va

Ib 1

F2

Vb

Ic 1 In = 0

Vc Zn

La máquina queda en estado balanceado normal. Se puede despreciar Zn en el trabajo por fases, ya que I n = 0 .

260

Figura 7.5. Diagrama fasorial de rotor de la máquina en secuencia positiva

Wm

φr

E

j Ie 1 X s We = Wm

φe

1

Ie 1

Circulan corrientes balanceadas que producen un flujo giratorio. El circuito equivalente queda: Figura 7.6. Circuito equivalente de secuencia positiva

j X1 = j X s

Ir

I a1

VCD

Rr

E

261

Va 1

Secuencia negativa: Figura 7.7. Esquema de secuencia negativa de componentes simétricas

Ia 2

M1

F1

M2

M3

F2

Va

Ib 2

Vb

Ic 2 In 2

Vc Zn

En un circuito balanceado trifásico las corrientes son balanceadas. Por eso I n 2 = 0 . Pero como su secuencia es contraria a la normal, el flujo giratorio que producen gira en sentido opuesto al sentido de giro del rotor. Figura 7.8. Diagrama fasorial de rotor de la máquina en secuencia negativa

φe Wm

2

Ie 2

W = −Wm

No hay flujo de C.D. en el rotor; pero, el flujo que gira en sentido contrario induce altas corrientes en los devanados del rotor y trata de frenarlo.

262

Figura 7.9. Esquema de aparición de flujo giratorio con giro contrario

φe φe

2

φe

2

φe Wm

2

Wm

2

Wm

Wm Wm

Wm

Wm

Wm

El circuito equivalente es: Figura 7.10. Circuito equivalente de secuencia negativa

Rc

M ea

j Xc

j Xe Rr

Re Ia

2

M er Va 2

Pero es suficiente con analizar el siguiente circuito: 263

Figura 7.11. Simplificación del circuito equivalente de secuencia negativa

Re2 = 0

Ia2

j X2

Va 2

R e 2 es la resistencia de secuencia negativa y X 2 es la reactancia de secuencia negativa, cuyo valor es aproximadamente:

X2 ≅

Xq + Xd 2

Secuencia cero: Figura 7.12. Esquema de secuencia cero de componentes simétricas

Ia 0 F1

I0

F2

I0

Va 0 = V0 Vb 0 = V0

I n 1 Vc 0 = V0 Zn

En este caso los tres flujos son iguales, crecen y decrecen simultáneamente.

264

I n = 3I 0

Figura 7.13. Esquema con flujos iguales

I0

φd

φ0 φ0

φ0

φd

I0

φd

I0

φ resultante = 0 El circuito equivalente es: Figura 7.14. Circuito equivalente de secuencia cero

Re

j X dis = j X 0 Ia0

Va 0

3Zn

265

Ilustración: Figura 7.15. Esquema de máquina sincrónica con valores numéricos

VCD

Ir

F1 F2

100 0°

100 0°

100 240°

100 240°

100 120°

100 120°

Wm Una máquina estaba funcionando normalmente en vacío con una tensión de 100volt/fase, cuando ocurrió un corto-circuito entre dos líneas ( Zn = ∞ ), haciendo nulos los voltajes en las fases correspondientes. El estado inicial, antes de ocurrir la falla, correspondió a un estado de sincronización ideal: la máquina inducía exactamente los voltajes aplicados. Entonces la falla se representa así: Figura 7.16. Esquema de falla en máquina sincrónica

Ia VCD

Ir

F1

Ib

F2

Ic

Va Vb Vc

∞ Con Va = Vb = 0 (corto-circuito entre las fases a y b) y Vc = 100 120° .

266

Descomponiendo los voltajes en sus componentes simétricas, y aplicando superposición:  Va 0  1 1 1   Va = 0    1  2  Va 1  = 1 1 a   Vb = 0    3 1 a 2 1   V = 100 120° V    c  a2 

∴ Va 0 =

Va 0 =

100 100 100 120° ; Va 1 = 120°× a 2 ; Va 2 = 120°× a 3 3 3 100 100 100 120° ; Va 1 = 0° ; Va 2 = 240° 3 3 3

Figura 7.17. Descomposición de de voltajes en sus componentes simétricas

Ia 2 F1

Va 2

Ib 2

F2

Vb 2

Ic 2

Vc 2

Ia 0 = I0

Va 0 = V0

F1

Ib 0 = I0

F2

Ic 0 = I0

Vb 0 = V0 Vc 0 = V0 Zn

267

3I0 = 0 ∴ I0 = 0

Ia 0 = I0

F1

I b 0 = I0

F2

Va 0 = V0

Ic 0 = I0

Vb 0 = V0 Vc 0 = V0 Zn

Resolviendo el circuito por fase y despreciando la resistencia: Figura 7.18. Circuito equivalente por fase y sin resistencia

Ir

j X1

Rr

I a1

Va 1

100 0°

j X2

Ia2

Va 2

j X0

Ia0

Va 0 3Zn = ∞

268

3I0 = 0 ∴ I0 = 0

Y las ecuaciones serán: 100 0° = Va 1 + j X 1 Ia 1

→ Ia 1 =

0 = Va 2 + j X 2 Ia 2

(100 0° − V )

→ Ia 2 = −

0 = Va 0 + j X 0 Ia 0 → Ia 0 = −

a1

j X1

Va 2 j X2

Va 0 j X0

Asumiendo: j X1 = j 1 ; j X 2 = j 0.5 ; j X 0 = j 0.1 Tendremos: Ia1

100   100 −  200 3  = =−j j1 3

Ia 2

 100  240°  − 3  = − j 200 240° = j 0.5 3

Ia0

 100  120°  − 3  = − j 1000 120° = j 0.1 3

Y las corrientes por las tres fases serán:  Ia  1 1 1   Ia 0   I  = 1 a 2 a   I    a1   b  2  Ic  1 a a   I   a2 

269

Ia = Ia 0 + Ia 1 + Ia 2 = 352.76 229.10°

I b = Ia 0 + a 2 Ia 1 + a Ia 2 = 352.76 190.89°

Ic = Ia 0 + a Ia 1 + a 2 Ia 2 = 333.33 210° 7.3 ENSAYOS PARA DETERMINAR X1, X2 Y X3 Para la secuencia positiva el comportamiento de la máquina es el normal; entonces, X1 , la reactancia de secuencia positiva, es la misma reactancia sincrónica ( X d y X q ).

Sin embargo, se verá un nuevo método para determinarla, para facilitar el entendimiento del método para calcular las otras reactancias. Figura 7.19. Montaje para determinar reactancia de secuencia positiva

A

bl

F1 bl

F2 bl V

Wm

El rotor desenergizado no produce φ r , el único flujo es el del estator, φ e , que gira a la velocidad sincrónica.

270

Figura 7.20. Esquema de rotor desenergizado con flujo del estator como único flujo

φe Ws

Wm

Los bancos de lámparas actúan como carga evitando grandes corrientes por el estator. Deben conectarse suficientes lámparas para que circule una corriente cercana a la nominal. El motor impulsor se hace girar a la velocidad sincrónica; se toman lecturas de voltaje de fase y corrientes de fase.

X1 ≅

Vfase Ifase

Se supone R e ≅ 0 : Figura 7.21. Circuito equivalente para obtención de reactancia de secuencia positiva

j Xs

Re ≅ 0 I

bl

V

E=0

271

Despreciando la R e y con E = 0 , ya que no existe φ r ; el circuito queda: Figura 7.22. Circuito equivalente simplificado con E = 0 y R e ≅ 0

j Xs = j X1

I fase Vfase

Cuando la máquina es de polos salientes, X1 fluctúa entre X d y X q , si el rotor se hace girar a una velocidad un poco diferente a la sincrónica. Figura 7.23. Esquema de flujo del estator para máquina de polos salientes

φe

φe

Xq

Xd Y el montaje para el ensayo en este caso será:

272

Figura 7.24. Montaje para ensayo de máquina de polos salientes I 0° bl

I 120°

Eje

bl

I 240°

bl

Motor Impulsor

Se toman varias lecturas de Vfase y de I fase para posiciones diferentes del eje. Se encontrarán varios valores de impedancia; el mayor valor será X d y el menor será X q .

Se suele tomar: X1 ≅

Xq + Xd 2

Para determinar X 2 , la reactancia de secuencia negativa: Figura 7.25. Montaje para determinar reactancia de secuencia negativa

A

F1 A

F2

bl

I θ

bl

I θ + 120°

A V

Wm

273

I θ + 240°

bl

La diferencia con el ensayo anterior es que se cambia la secuencia de la alimentación. X2 ≅

Vfase Ifase

Para determinar X 0 , la reactancia de secuencia cero: Figura 7.26. Montaje para determinar reactancia de secuencia cero

V 0° A

F1 A

F2 A V

Wm

I I I

bl bl bl

Se calcula: X0 =

Vfase Ifase

En el rotor no debe haber inducción, ya que no hay f1ujo giratorio. X 0 no depende de la velocidad del rotor. Un osciloscopio, ó un voltímetro, conectado en F1 F2 debe constatar este hecho. 7.4 COMPROBACIÓN DE LA TEORÍA DE LAS COMPONENTES SIMÉTRICAS Se trata de una serie de ensayos en el laboratorio, sencillos pero de enorme interés, que nos sirven para comprender mejor las componentes simétricas. 7.4.1 Corto-Circuito monofásico. Montaje:

274

Figura 7.27. Esquema de la máquina con corto circuito monofásico

M1 Ir

VC D

F1

V

F2

M3 Wm

A

V

M2

V

N

Se hace girar la máquina a la velocidad sincrónica, sin excitación. Se corto-circuita una fase a tierra a través de un amperímetro y se empieza a excitar la máquina hasta llevar la corriente a su valor nominal. Se miden voltajes y corrientes para compararlos con los valores teóricos hallados por medio del método de las componentes simétricas. Para calcular estos valores teóricamente se tiene: Ia = Ic = 0 , I b = I nominal , Vb = 0

Va y Vc son desconocidos. Resolviendo por fase: Figura 7.28. Circuitos de secuencia por fase j X1

E

Ia 1

j X2

Ia 2

j X0

Ia 0

Va 0

Va 2

Va 1

3Zn = 0

275

Ecuaciones: E = Va 1 + j X1 Ia 1 0 = Va 2 + j X 2 Ia 2 0 = Va 0 + j X 0 Ia 0 Matricialmente:  0   Va 0   j X 0 E  = V  +  0    a1    0   Va   0  2 

0 j X1

0

0   Ia 0    0   Ia 1  j X 2   Ia   2

Haciendo: 1 1 1  [ A ] = 1 a 2 a  1 a a 2   

y

−1

[A]

1 1 1  1  = 1 a a 2  3 1 a 2 a   

Se tiene; aplicando componentes simétricas que:  Va 0   Va    −1    Va 1  = [ A ]  0     Vc   Va 2 

 Ia 0   0    −1    Ia 1  = [ A ]  Inom     0   Ia 2 

Entonces:

276

 Va   j X 0 0  E  = A −1  0  +  0   [ ]     Vc   0  0 

0 j X1 0

0   0  −1   0  [ A ]  I nom   0  j X 2 

Donde:

−1

[A]

 Va + Vc  1 1 1   Va   Va     1  1 2 2  0  = 3 1 a a   0  = 3  Va + a Vc   Va + a Vc  1 a 2 a   Vc   Vc     

 j X0   0  0

0

j X1 0

X0 0  1 1 1  j   1 0  1 a a 2  =  X1 3 3 X j X 2  1 a 2 a   2

X0

a X1 a 2X 2

Además: X0 j  X1 3   X2

X0

a X1 a2X2

X0   0  X0 In  j     a X1   I nom  =  a X1 I n  3 2 a X I  a X 2   0   2 n  2

Obtenemos: 0 E  = 1   3  0 

 Va + Vc    j 2  Va + a Vc  + 3  Va + a Vc   

X0 In     a X1 I n  a2X I   2 n 

De donde: 0 = Va + Vc + j X 0 I nom E = Va + a 2 Vc + j a X1 Inom 0 = Va + a Vc + j a 2 X 2 I nom

277

X0   a 2 X1  a X 2 

Sumando las tres ecuaciones: E = 3Va + Vc (1 + a 2 + a ) + j I nom ( X 0 + a X1 + a 2 X 2 )

Y como: 1 + a2 + a = 0

Va =

1 E − j I nom ( X 0 + a X1 + a 2 X 2 ) 3

(

)

Y: Vc = − j X 0 I nom −

=−

1 E − j I nom ( X 0 + a X1 + a 2 X 2 ) 3

(

1 E − j Inom ( a X1 + a 2 X 2 − 2X 0 ) 3

(

)

7.4.2 Corto-Circuito de dos líneas.

Figura 7.29. Esquema de corto circuito de dos líneas

Ia = I nom A

V V

Ic V

El procedimiento es el mismo del caso anterior. Para los cálculos: 278

N

)

Va = Vb = V Ic = 0 Ia = − I b = I nom V, Vc : desconocidos. Resolviendo por fase, los circuitos de secuencia son: Figura 7.30.Circuitos de secuencia por fase

j X1

Ia 1

E

jX2

Ia 2

jX0

Ia 0

Va 0

Va 2

Va 1

3Zn = 0

Las ecuaciones son: E = Va 1 + j X1 Ia 1 0 = Va 2 + j X 2 Ia 2 0 = 0 × Va 0 + j X 0 Ia 0

En forma matricial:  0  0     E  = 0  0  0

0   Va 0   j X 0   1 0   Va 1  +  0 0 1   Va   0  2 0

0 j X1 0

0   Ia 0    0   Ia 1    j X 2   I   a2 

Pero: 279

 Va 0  V    −1    Va 1  = [ A ]  V     Vc   Va 2   Ia 0   I nom    −1    Ia 1  = [ A ]  − I nom     0   Ia 2  Entonces:  0  0 0 0  V   j X0  E  =  0 1 0  A −1  V  +  0    [ ]     0  0 0 1   Vc   0

0 j X1 0

0   I nom  −1   0  [ A ]  −I nom   0  j X 2 

Donde: V  1 −1  [ A ] V  = 3  Vc 

  2V + Vc 1 1 1   V      = 1  1 + a V + a2 V  2 1 a a V ( ) c    3   1 a 2 a   Vc  2   (1 + a ) V + a Vc 

Entonces: 0 0  0

   2V + Vc 0 0      1 1 1 0  (1 + a ) V + a 2 Vc  = (1 + a ) V + a 2 Vc  3  3  2 0 1  (1 + a 2 ) V + a V  1 V V + a + a   ( ) c c   

0

También: 1 1 1   I nom  1   1 1 a a 2   − I nom  =  3 3 2   1 a a   0 

   0  0   I nom    I nom − a Inom  = 3 1 − a  2   1 − a 2   I nom − a Inom 

280

De donde:  j X0 I nom  0 3   0

0 j X1 0

  0 0  0      jI 0  1 − a  = nom  X1 (1 − a )  3   2 j X 2  1 − a 2   X 2 (1 − a ) 

Quedando:   0 0    E  = 1  1 + a V + a 2 V  + j I nom ( ) c   3 3  2  0  (1 + a ) V + a Vc 

  0    X1 (1 − a )    2  X 2 (1 − a ) 

∴ 3E = (1 + a ) V + a 2 Vc + j Inom X1 (1 − a ) 0 = (1 + a 2 ) V + a Vc + j I nom X 2 (1 − a 2 ) De donde: − (1 + a 2 ) V = a Vc + j Inom X 2 (1 − a 2 )

Pero como: 1 + a + a2 = 0 1 + a 2 = −a ∴ a V = a Vc + j I nom X 2 (1 − a 2 ) ∴

Inom X 2 (1 − a 2 ) a 2 V = Vc + j × 2 a a = Vc + j I nom X 2 ( a 2 − a )

Por lo tanto: 3E = (1 + a )  Vc + j Inom X 2 ( a 2 − a )  + a 2 Vc + j Inom X1 (1 − a )

281

∴ 3E = (1 + a + a 2 ) Vc + j I nom ( a 2 − a + 1 − a 2 ) X 2 + X1 (1 − a ) 

∴ I nom =

3E j (1 − a )( X1 + X 2 )

Para hallar V y Va , volvemos a las ecuaciones: E = Va 1 + j X1 Ia 1 0 = Va 2 + j X 2 Ia 2 0 = 0 × Va 0 + j X 0 Ia 0

 Va × 0   0   0    ∴  Va 1  =  E  −      Va 2   0 

 X 0 0 0   Ia 0    j 0 X1 0   Ia 1  0 0 X 2   I   a 2 

 Va × 0   0   0    ∴  Va 1  =  E  −      Va 2   0 

X0 0 0   I nom  −1    j  0 X1 0  [ A ]  − I nom   0 0 X 2   0 

 Va × 0   0   0    ∴  Va 1  =  E  −      Va 2   0 

 X 0 0 0  1 1 1   I nom  1   j 0 X1 0  1 a a 2   − Inom  3 0 0 X 2  1 a 2 a   0 

0 =  E  −  0 

X0 0 0   1 j 0 X1 0  3 0 0 X 2 

1 1 1   0  I    2 nom  1 a a  3 1 − a  2   1 − a 2  1 a a 

282

  0 0   I =  E  − j nom  X1 (1 − a )  3   2  0   X 2 (1 − a ) 

I nom ×0 3 I Va 1 = E − j nom X1 (1 − a ) 3 I nom Va 2 = E − j X 2 (1 − a 2 ) 3

∴0 × Va 0 = 0 − j

Obsérvese que de la primera ecuación no se puede deducir que Va 0 = 0 ; Va 0 sería, entonces indeterminado. Una forma de salir de estas indeterminaciones asumir una Z de neutro no infinita sino muy grande, pero finita. Así se concluiría que Va 0 es cero. Ya conocida Va 0 se calculan los voltajes en las líneas así:  V  1 1 1   Va 0   V  = 1 a 2 a   V    a1     2  Vc  1 a a   Va   2 

283

8. ESTUDIO EN ESTADO TRANSITORIO Cuando en una red de energía se produce un fallo, la corriente que circula viene determinada por las f.e.m.s de las máquinas de la red, por sus impedancias y por las impedancias de la red entre las máquinas y el fallo. La corriente que pasa por una máquina sincrónica inmediatamente después del fallo, la que circula varios ciclos más tarde y la persistente o valor correspondiente al estado permanente, son completamente distintas a causa del efecto de la corriente en el rotor sobre el flujo que genera la tensión en la máquina. La corriente varía con lentitud relativa desde su valor inicial hasta el correspondiente al estado permanente. En este capítulo se estudia el cálculo de la corriente de falla en distintos períodos y se explican los cambios de reactancia y tensión interna de una máquina sincrónica al variar la corriente desde su valor inicial, al presentarse la falla, hasta su valor en el estado permanente. 8.1 TEOREMA DEL FLUJO LIGADO El flujo ligado a un circuito no puede cambiar instantáneamente, pues induciría tensiones infinitas. Figura 8.1. Cambio de flujo ligado en el tiempo

φ ligado

t e=

285

dφ =∞ dt

El flujo ligado a un circuito cambia a medida que la energía almacenada en él se disipa en una resistencia. Si no existe resistencia para disipar esa energía el flujo no cambiaría nunca (superconductividad). Cuando líneas de flujo cortan una bobina se induce una tensión en ella. La Ley de Lenz dice que esta tensión es: e = −N

dφ dt

La bobina se “opone” al cambio del flujo ligado y trata de producir líneas de flujo que anulan las que entraron en ella. Puede aplicarse la regla de la mano derecha para determinar el movimiento de las cargas en los conductores. Si se tiene una bobina cerrada; superconductora ( R = 0 ), y le colocamos un imán como en la Figura 8.2a, la bobina “reacciona” produciendo una corriente que, a su vez, produce un flujo continuo que anula el flujo del imán. Figura 8.2. Producción de corriente y de flujo en una bobina cerrada

I

N

S

286

Una versión muy popular de este fenómeno, lo describe como si la bobina rechazara el flujo del imán y no se dejara “atravesar” por él, (Figura 8.2b). Un análisis somero de esta versión muestra que contradice todas las leyes de Maxwell. Sin embargo, hay que admitir que el flujo resultante en el exterior del imán y de la bobina, se parece mucho al flujo del imán “rechazado” por la bobina. El flujo ligado neto a la bobina no puede cambiar:

φ ligado neto = φ externo + φ interno = 0 Como antes de introducir el imán, el flujo ligado era cero, así se mantiene siempre. Cuando desaparece el φ externo, desaparece la corriente en la bobina. Si se tiene una bobina abierta y le acercamos el mismo imán: Figura 8.3. Reacción de cargas en una bobina abierta

Solo hay circulación transitoria de cargas, hasta que éstas se acumulen en los extremos y no permiten la circulación de más cargas; el flujo ligado puede seguir cambiando.

Cuando se estabiliza el φ externo las cargas se distribuyen desapareciendo la tensión en bornes.

287

8.2 FLUJO ATRAPADO Figura 8.4. Producción de flujo y de corriente y flujo atrapado

Volvamos al caso de la bobina abierta al cual le acercamos un imán; cuando las líneas de flujo, producidas por el imán, entren en la bobina y haya desaparecido el flujo contrario, se cierra el interruptor. Ahora hay un flujo neto ligando la bobina. Si retiramos el imán, en la bobina aparece una corriente que se opone al cambio del flujo ligado. Figura 8.5. Corriente que circula por la bobina al atrapar el flujo

i CD

La bobina sigue produciendo las mismas líneas originales. 288

La corriente que circula en una bobina cuando atrapa un flujo se denomina componente de C.D. En las máquinas ocurre un fenómeno similar al ya descrito cuando ocurre un cortocircuito. Las bobinas de la máquina tienen poca resistencia y se consideran, en una primera aproximación, como ideales (superconductoras). Cuando ocurre un cortocircuito la bobina atrapa el flujo que la atravesaba en ese momento. Figura 8.6. Gráfica de corriente que circula por la bobina i

i CD = L φatrapado

t

Pero como en el cortocircuito la máquina sigue rotando, el flujo del rotor sigue cortando la bobina y se induce i CA . Figura 8.7. Corriente alterna inducida después de cortocircuito

i

i CA

t

289

La corriente neta en la bobina es la suma de ambas:

i neta = i CD + i CA Sen (W t + θ ) Figura 8.8. Corriente neta en la bobina i

i CA i CD

Wt

Es decir, la corriente neta es una corriente alterna desplazada una cantidad igual a la componente de C.D. Se presenta la máxima componente de C.D. cuando el cortocircuito ocurre en el instante de máximo flujo, con un polo frente a la bobina. Cuando los polos están a 90° E de la bobina no hay componente de directa. 8.3 EFECTO DE LA RESISTENCIA Figura 8.9. Bobina con resistencia

290

La corriente directa producida circulará por la resistencia y no será constante, sino que tenderá a desaparecer a medida que la energía se disipe en la resistencia. i C D = i0 e

−

Rt L

Figura 8.10. Gráfica de corriente que circula por bobina con resistencia

i CD

t Al sumar la corriente alterna: Figura 8.11. Gráfica de corriente neta que circula por la bobina con resistencia

i

t

291

Al desaparecer la i C D solo queda la componente alterna. Este tipo de corrientes se denominan amortiguadas. 8.4 CORTOCIRCUITO EN LAS TRES FASES Apliquemos los conceptos anteriores al cortocircuito de una máquina sincrónica trifásica. Figura 8.12.Angulo entre fasor de flujo y fase en el instante de cortocircuito 1

φr Wm r

θ

3 2

Con la máquina en vacío al ocurrir el cortocircuito, el ángulo entre φ r y la fase (1) en el instante de cortocircuito es θ . Los flujos atrapados en la bobina son:

φ 1= N e φ r Cos θ φ 2 = N e φ r Cos( θ + 120° ) φ 3 = N e φ r Cos( θ + 240° ) φ 1+ φ 2 + φ 3 = N e φ r ( Cos θ + Cos ( θ + 120° ) + Cos ( θ + 240° ) ) = 0

292

Para mantener estos flujos atrapados circula una i CD en las fases.

 N e i CD  = N e φ r Cos θ  Rel 

φ1 = N e 

∴ i CD 1 =

φ r RelCos θ

i CD 2 =

i CD 3 =

Ne

φ r Rel Cos ( θ + 120° ) Ne

φ r Rel Cos ( θ + 240° ) Ne

i CD 1 + I C D 2 + I C D 3 = 0

Figura 8.13. Gráfica de corriente directa de cada fase i CD 1

t

i CD 2

t

i CD 3 t

293

Figura 8.14. Esquema de circulación de corriente en cada fase

i CD1

φr W

i CD 3 θ

i CD1 i CD 3

i CD 2

i CD 2

Sucede que el flujo del rotor sigue girando y cortando los devanados del estator induciendo en ellos C.A. Figura 8.15. Inducción de componentes de cortocircuito de corriente alterna por giro de φ r

φr

φe = φr

294

Las componentes de cortocircuito de C.A. se oponen al cambio del flujo ligado, produciendo un φ e giratorio que anula el φ r del rotor, al menos en las bobinas del estator. 8.5 CIRCUITO EQUIVALENTE

Figura 8.16. Circuito equivalente de la máquina con cortocircuito

j Xs

Ie

V=0

E

El cortocircuito se traduce en V = 0 ; por lo que el diagrama físico fasorial es el siguiente: Figura 8.17. Diagrama fasorial de la máquina con cortocircuito

φr

E j Ie X s

φe Ie

295

Obsérvese como toda la tensión inducida es igual a la caída en la reactancia sincrónica. Ahora, si no tenemos en cuenta el flujo de dispersión y consideramos que la caída de tensión en la reactancia sincrónica es debida al flujo giratorio φ e , concluimos que la tensión inducida por φ r es igual a la tensión inducida por φ e . O mejor, la suma de ambas tensiones es cero:



 Er + Ee = 0 Figura 8.18. Circuito equivalente y diagrama fasorial de la máquina con suma de voltajes igual a cero

Ee Rr

Er

φr

Er

Ee

φe La tensión inducida por φ r debe anularse con la inducida por φ e ; de manera que estos flujos deben anularse también:





φe + φr = 0 ∴ φe = φr

296

Teniendo en cuenta la presencia de la resistencia de los devanados, las gráficas de corriente de cortocircuito simultáneo en las tres fases serán: Figura 8.19. Corriente en cada una de las tres fases

i fase a

t i fase b

t

i fase c

t

297

Estas gráficas pueden registrarse en un osciloscopio con memoria haciendo el siguiente montaje: Figura 8.20. Montaje para registro de gráficas con osciloscopio

En un oscilograma real se observa que la amplitud de la onda disminuye. Esto se debe a los diferentes valores de reactancia que va encontrando el flujo en su recorrido al transcurrir algún tiempo. Para estudiar un oscilograma, el primer paso consiste en quitarle la componente de C.D. Luego se analizan los oscilogramas sin la componente de C.D., reconociéndose en ellos tres estados: Figura 8.21. Tres estados i

t

298

Subtransitorio, transitorio y estable. Explicaremos esos estados con la teoría del “rechazo” del flujo por los devanados en cortocircuito, aunque ya vimos que el mecanismo verdadero es que en esos devanados se induce una corriente que produce un flujo opuesto. 8.5.1 Estado subtransitorio. Cuando se presenta el cortocircuito empieza a circular una corriente por las fases. Esa corriente trata de producir un flujo; pero el flujo se ve rechazado por los devanados del rotor y es obligado circular por el aire.

Figura 8.22. Esquema de máquina en estado subtransitorio

Y la reactancia es: X" = W L" = W

3 N e2 2 Rel"

Rel" es la reluctancia que encuentra el flujo rechazado por los devanados y obligado a circular por el aire.

En este estado los flujos del estator pueden variar en velocidad y/o magnitud. Por esto inducen tensiones en los devanados del rotor (amortiguador y de C.D.). Y se presenta una inducción mutua entre estator y rotor que se representa por una inductancia mutua. 299

Figura 8.23. Inductancia mutua

Inductancia mutua entre devanado amortiguador y estator

M ea

Fase del estator

M re

Devanado Amortiguador

VCD

Inductancia mutua entre rotor y estator Devanado de CD

Gracias a la inductancia mutua se puede aplicar la teoría del transformador y reflejar los devanados del rotor en el estator. Figura 8.24. Reflexión de los devanados del rotor en el estator

j Xs

Re

Ra

R CD

j Xa

j X CD

E

Despreciando las resistencias de los devanados y aplicando Thevenin, se llega a:

300

Figura 8.25. Circuito equivalente de la máquina simplificado j Xs j Xa j X CD

E''

j X''

E''

Donde X" es la reactancia subtransitoria y E" es la tensión detrás de la reactancia subtransitoria. 8.5.2 Estado transitorio. A los pocos milisegundos de ocurrido el cortocircuito el flujo del estator logra atravesar el devanado amortiguador, pero aún se ve repelido por el devanado excitador.

El circuito magnético, recorrido por el flujo, discurre más en el hierro; la reluctancia disminuye la reactancia se llama ahora “transitoria”:

X' = W L' = W

301

3 N 2e 2 Rel'

Figura 8.26. Esquema de máquina en estado transitorio

Desaparece la inducción mutua entre el estator y el devanado amortiguador. El circuito equivalente queda: Figura 8.27. Circuito equivalente de la máquina en estado transitorio

j Xs

j X'

j X CD

E'

E'

Donde X' es la reactancia transitoria y E' es la tensión detrás de la X' .

Por último el flujo del estator puede atravesar todos los devanados del rotor. La reluctancia que encuentra el flujo es la sincrónica.

302

Para el estudio del comportamiento de la máquina durante un fallo, es necesario idealizar el oscilograma real y suponer que la reactancia correspondiente permanece constante durante cada estado. Así es posible utilizar el circuito equivalente del estado que se estudie. Figura 8.28. Oscilograma real e ideal

i

Oscilograma Real

X'' constante

X' constante

Xs constante

i

Oscilograma Ideal

Estado Subtransitorio j X'' E''

R''

Estado Estable

Estado Transitorio j X'

R'

j X'' E''

E'

303

R''

8.5.3 Estabilidad transitoria. La estabilidad de estado estable se entiende como la máxima potencia que la máquina puede entregar sin perder el sincronismo con cambios muy lentos de la carga aplicada; la estabilidad transitoria es un concepto similar, pero los cambios en la carga aplicada pueden ser bruscos.

Para comprobar si la máquina mantiene el sincronismo ante cambios bruscos de carga, se debe representar por su modelo de estado transitorio. No se emplea el modelo de estado subtransitorio, porque este tiene una muy corta duración. Para tener bien presente el papel de la potencia mecánica en estos estudios, se señala con una flecha la “entrada” de esta potencia al circuito. Se señala la fuente porque es ella la que representa la conversión de potencia mecánica en potencia eléctrica. Se divide por tres para recordar que el circuito solo representa una fase. Figura 8.29. Circuito equivalente de la máquina en estabilidad transitoria

j X'

Rr

E'

Pmec 3

En estado estable el rotor gira a la velocidad sincrónica. En estado transitorio el rotor oscila, se acelera o se frena.

304

I'

V

8.6 ECUACIÓN MECÁNICA DEL ROTOR

Figura 8.30. Voltaje, velocidades y torques del rotor

Telectromag Ws R

Tmec Wm

Aplicando la segunda ley de Newton: Fmec − Fmag = m

dv dt

Multiplicando por el radio de giro:

Fmec .R − Fmag .R = mR Tmec − Tmag = mR

dv dt

dv dt

Pero: v = R W

 dW  Entonces: Tmec − Tmag = mR 2    dt  Donde: mR 2 = γ (momento de inercia)

305

V

 dW  Tmec − Tmag = γ    dt 

Pero trabajar con torques resulta matemáticamente complicado, se trabaja entonces con potencias. Multiplicando por Wm la ecuación de torques:

 dWm  Tmec .Wm + Tmag .Wm = γ Wm    dt  Donde: Tmec .Wm es la potencia mecánica que recibe la máquina. Tmag .Wm es la potencia eléctrica que la máquina entrega.

γ .Wm

dWm es la potencia que se transforma en energía cinética. dt

Pmec − Pelec = Pacelerante . Término a término, se tiene: Potencia mecánica: es la que recibe la máquina por el eje. Depende de la válvula; si la válvula se abre, la Pmec aumenta y viceversa.

Pmec = f ( t ) Considerando casos simples: Pmec = K 0 + K1t

306

Cuando la válvula está en reposo, la máquina recibe siempre la misma potencia mecánica. ∴ K1 = 0

Pmec = K 0

y

Si el regulador es rápido, puede empezar a cerrar la válvula cuando se detecta una falla. Pmec = K 0 − α t Potencia eléctrica: es la potencia que la máquina entrega al sistema. Figura 8.31.Circuito equivalente de la máquina

j X'

Rr

E'

Pmec 3

S = VI*

 E' − V  S = mV    j X' 

*

Donde m es el número de fases.

307

I'

V

Figura 8.32. Fasores de flujo, de voltajes y dirección de velocidades

E'

φr

Ws

V

δ

Wmr

Expresando los fasores en forma polar:

V = V 0 , E' = E' δ , j X' = X' 90° Entonces:

 E' δ − V 0°  S = m V 0°   X' 90°   2  V E'  V S= m 90° − δ − 90° X'  X'  2 2  V E'   V E'  V V S= m Cos ( 90° − δ ) − Cos 90° + j m  Sen ( 90° − δ ) − Sen 90° X' X'  X'   X'  ↓ ↓ P Q

∴ Pelec

2  V E'  V = m Cos ( 90° − δ ) − Cos 90° X'  X' 

308

Pelec =

m V E' Sen δ X'

Suponiendo que V y E' no cambian apreciablemente durante la falla (estado transitorio), la única variable será δ . Para relacionar a δ con Wm , se tiene: Pacelerante = γ .Wm

dWm dt

Si el rotor se acelera, Wm > Ws , E' gira más rápido que V y δ aumenta.

δ = δ 0 + (Wm − Ws ) t

∴

dδ d = (δ 0 + (Wm − Ws ) t ) = Wm − Ws dt dt

∴

d 2δ d d Wm = (Wm − Ws ) = 2 dt dt dt

Entonces:

Pacelerante = γ .Wm

d 2δ d t2

Y para relacionar a δ con Ws :

∴ Wm = Ws +

dδ = Wm − Ws dt

dδ dt

309

 dδ  d 2δ Pacelerante = γ  Ws +  d t  d t2  d 2δ dδ d 2δ = γ Ws 2 + γ dt d t d t2

dδ d 2δ puede despreciarse, si lo que se requiere es estudiar si la máquina d t d t2 pierde o no el sincronismo. Esto debido a que se considera que para que la máquina no dδ pierda el sincronismo de debe ser pequeño. dt El término γ

dδ Pelec , ∴

En t 1 ; Pmec = Pelec , ∴

dWi >0 dt

dWi =0 dt

Entre t 1 y t 2 ; Pmec < Pelec , ∴

dWi Pelec , ∴

dWi >0 dt

El comportamiento de δ es: Wi =

dδ dt

entonces cuando Wi > 0 , δ estará creciendo. Para oscilaciones pequeñas (estabilidad dinámica) se puede expresar la potencia eléctrica por una recta tangente a la curva verdadera. Pelec = m δ + b Figura 8.54. Línea tangente de la potencia eléctrica

P P = mδ + b

Pmec Peléc

δ

δ0

Es decir, e linealiza la ecuación de la potencia eléctrica alrededor del punto de funcionamiento. 327

Pelec =

3E V Sen δ X

m = pendiente de la curva =

dP 3 E V = Cos δ dδ X

Y evaluando en el punto de funcionamiento δ 0 : m=

3E V dP = Cos δ 0 dδ δ −δ 0 Xs

Se conoce un punto de la recta, el punto de funcionamiento: P0 =

3E V Sen δ 0 Xs

La ecuación de la recta es: P = m δ + b 3 E V  ∴ Pelec =  Cos δ 0  δ + b  Xs 

En el punto (δ 0 , P0 ) 3 E V  P0 =  Cos δ 0  δ 0 + b  Xs 

∴ b = P0 −

3 E V δ0 Cos δ 0 Xs

Y la ecuación de la Pelec queda: 3 E V   3 E V δ0  Pelec =  Cos δ 0  δ +  P0 − Cos δ 0  Xs  Xs   

328

Esta ecuación reemplaza la senoidal en la vecindad de δ 0 . La ecuación de penduleo será: 3 E V    3 E V δ0 d 2δ Pmec −  Cos δ 0  δ −  P0 − Cos δ 0  = γ Ws 2 Xs dt  Xs   

Pmec − Aδ − B = γ Ws

∴ γ Ws

d 2δ d t2

d 2δ + Aδ = Pmec − B d t2

(ecuación característica)

La solución total del sistema será la solución normal sumada a la solución forzada. Para hallarla solución normal se iguala la ecuación característica a cero.

γ Ws

d 2δ + Aδ = 0 d t2

Haciendo: p =

d dt

Se tiene:

(γ W p s

2

+ A )δ = 0

γ Ws p 2 + A = 0 A ∴ p2 = − γ Ws ∴ p1,2 = ± j

A γ Ws

La solución de esta ecuación es:

δ = K1 e p t + K 2 e p 1

2t

329

δ = K1 e

j

A

γ Ws

t

+ K 2e

−j

A

γ Ws

t

Donde K1 y K 2 son constantes a determinar.

Para la solución forzada: δ = K 3 dδ ∴ =0 dt

d 2δ =0 d t2

y

Entonces la ecuación característica es:

γ Ws ( 0 ) + AK 3 = Pmec − B ∴ K3 =

Pmec − B =δ A

La solución completa es:

δ = K1 e

Con:

j

A

γ Ws

t

+ K 2e

−j

A

γ Ws

t

+

Pmec − B A

A = W = 2π f γ Ws

Entonces: f =

1 A 2π γ Ws

Que es la frecuencia de penduleo. Si la frecuencia de penduleo coincide con la frecuencia de resonancia mecánica del sistema impulsor (turbina, motor de gasolina, etc.), el sistema entra en resonancia mecánica y se destruye ó sufre daños considerables.

330

8.12 PAPEL DEL DEVANADO AMORTIGUADOR EN CASO DE PENDULEO Para el rango de variación de la velocidad, cuando se presenta el penduleo, el comportamiento del torque producido por el devanado amortiguador puede considerarse como una recta ( Y = mX + b ). En realidad, se trata de linealizar la característica

T = f (Wmr ) , típica de los motores de jaula de ardilla, alrededor de Wmr = Wsincrónica . Ta = mWm + b Figura 8.55. Gráfica del torque del devanado amortiguador en función de la velocidad

T

δ0 Ta = −DWm + b

;

Wm = Ws con m = − D

Se conoce un punto de la recta: en Ta = 0 , Wm = Ws Entonces: 0 = −DWs + b ∴ b = DWs Ta = − DWm + DWs = − D (Wm − Ws )

331

Wm

Pero Wm − Ws = Wi =

Entonces: Ta = − D

dδ dt

dδ dt

El signo ( − ) significa que el torque amortiguador se opone al cambio de δ . La potencia del devanado amortiguador es: Pa = Ta Wm = − D

Pa = −D

dδ (Wm ) dt

dδ  dδ   Ws +  dt  dt 

 dδ  dδ = −DWs − D  dt  dt 

2

Entonces, como la potencia mecánica trata de acelerar el rotor, mientras la potencia eléctrica y la potencia del devanado amortiguador lo tratan de frenar, tendremos: Pmec − Pelec − Pa = γ Ws

Pmec − Aδ − B + DWs

 d 2δ dδ + D 2 dt  dt

2

 dδ  dδ Ya que es pequeño   ≅0 dt  dt 

γ Ws

d 2δ d t2

d 2δ dδ − DWs + Aδ = Pmec − B 2 dt dt

Y haciendo:

332

 d 2δ = γ W  s d t2 

p=

d e igualando a cero: dt

(γ W p s

2

− DWs p + A ) δ = 0

Ecuación cuadrática que tiene como solución: 2   DW   1  DWs  s  P 1,2 =   ± − γ W A s     2   γ Ws 2    

∴ δ = K1 e p 1 t + K 2 e p 2 t

Puede concluirse que se presenta penduleo cuando:  DWs  γ Ws A >    2 

2

p1 y p 2 son imaginarios

;

Aumentando D hasta que: 2

 DWs    > γ Ws A  2 

y

p1 y p 2 sean reales, se logra suprimir el penduleo.

Figura 8.56. Respuesta sobreamortiguada de la ecuación δ = f ( t )

δ p1 y p 2 reales

δ0 p1 y p 2 imaginarios

333

t

La respuesta a la ecuación diferencial, δ = f ( t ) , se transforma en una respuesta sobreamortiguada, como se ilustra en la Figura 8.56.

334

9. REGULACIÓN DE TENSIÓN Y VARIACIÓN DE VELOCIDAD 9.1 REGULACIÓN DE TENSIÓN Un buen servicio de energía presupone la constancia de la magnitud de la tensión en los puntos donde se conectan los usuarios al sistema de potencia; pero esta condición obliga a los generadores a funcionar a niveles de tensión también casi constantes. Como se vio, la tensión interna, E , generada por el flujo del rotor, es función de las condiciones en bornes: V , Ie y Cos φ . Recíprocamente se puede afirmar que las condiciones en bornes son función de E . Si se desea mantener el voltaje, V , constante en magnitud a diversas corrientes, Ie , y factores de potencia, Cos φ , se requiere un control que acomode el valor de E a estas condiciones de carga. Este control es el “regulador de tensión” o “control de la excitación”. Figura 9.1. Diagrama de bloques del regulador de tensión

Ie

Ir

Vexc

V3

}

Funcionamiento:

335

Supóngase un aumento brusco en la carga inductiva del generador (se asume carga inductiva para que su consecuencia sea una disminución de V), la tensión en bornes “cae”, decrece. El transformador de tensión sensa esta caída de tensión. Se adecúa la señal de tensión a otro tipo de señal más manejable por los sistemas de control (un nivel de C.D. por ejemplo). Se compara la señal proporcional a la tensión con una referencia proporcional al valor de tensión que debe mantenerse constante. De la comparación sale una señal de “error” o diferencia que, generalmente, debe amplificarse para actuar sobre el campo excitador que actúa como el elemento final de un sistema de control de rango cerrado. Aunque, en realidad, se trata de un proceso dinámico continuo, debido a la enorme inductancia del devanado del rotor que se opone a un cambio en I r , se acepta que se separa la actuación del sistema excitador: a) Cuando los controladores estáticos actúan, el voltaje Vexc se eleva de acuerdo a la velocidad de “respuesta” de la excitación. b) Una vez Vexc se eleva, la corriente I r comienza a aumentar de acuerdo con la constante L de tiempo, r , del circuito del rotor. Por último, al aumentar I r aumenta φ r , aumenta E Rr y aumenta V , el voltaje en bornes. Eventualmente V llega al valor nominal, se anula el error o diferencia que actúa sobre los controladores estáticos, éstos se “detienen” y el sistema total entra a un estado estable de funcionamiento. 9.2 CARACTERÍSTICAS DE LOS REGULADORES DE TENSIÓN Partiendo de la consideración de un regulador “ideal” de tensión:

336

Figura 9.2. Característica de voltaje y corriente en el tiempo

V

Ie V

t0

t1 t 2

t

En t 0 se supone un aumento brusco de Ie . Entre t 0 y t1 el comportamiento “propio” de la máquina obliga a que V disminuya.

Entre t1 y t 2 actúa el regulador y lleva a V al valor inicial. Nótese que ni aún en el caso “ideal” vamos a considerar una respuesta instantánea. Pero los reguladores reales tienen unas respuestas que difieren de las del regulador ideal en varios aspectos. Para caracterizar la respuesta de un regulador real se usan varias “características” que vale la pena mencionar, siquiera someramente: 9.2.1 Velocidad de respuesta. El regulador ha de “intervenir rápidamente” (menos de 100mseg) para retornar el voltaje a su valor original.

En la gráfica se representa un regulador muy lento respecto al ideal:

337

Figura 9.3. Gráfica de regulador real e ideal

t 0 − t1 : ideal

V

t 2 − t 0 : real

t1

Ideal

V Real

t0

t2

t1

t

9.2.2 Exactitud. El valor final de V debe ser exactamente igual al valor original. En la gráfica se representa un regulador que permite un “error” y, por lo tanto, no es exacto.

Figura 9.4. Gráfica de regulador con error

V

Error V

t

t0

338

9.2.3 Sensibilidad. Debe corregir cambios de V aún débiles. Se ilustra un regulador con una “banda muerta” en la cual no reacciona a cambios en V .

Por ejemplo, en t 0 disminuye V y el regulador ideal (punteada) actúa; pero el real no lo hace por estar el cambio entre la “banda muerta”. Lo mismo ocurre en t1 pero en sentido contrario, el voltaje aumenta y el regulador ideal disminuye la excitación para acomodarlo de nuevo al valor inicial; el real no es capaz de actuar pues el incremento de voltaje se encuentra dentro de la banda muerta. En cambio en t 2 , como el cambio queda fuera de la banda, sí actúa el regulador real. Figura 9.5. Regulador con “banda muerta”

V

V

t0

t1

t3

t

9.2.4 Amortiguación. El regulador no debe producir oscilaciones al actuar.

Se ilustra en la Figura 9.6 un regulador con una amortiguación insuficiente; el resultado son oscilaciones alrededor del voltaje final. Todo regulador debe incluir un ajuste de estabilidad.

339

Figura 9.6. Regulador con una amortiguación insuficiente

V

V

t

t0

9.2.5 Sobreregulación. Voltaje de excitación máximo o “cielo” del regulador; en los problemas de estabilidad transitoria no se busca en realidad mantener el nivel de voltaje constante, sino aumentar rápidamente la tensión E para incrementar el límite de estabilidad. Para ello se debe aplicar a la excitación todo el voltaje disponible del sistema de excitación, este voltaje se suele denominar “cielo”.

Subregulación: cuando la máquina debe consumir potencia reactiva (cuando alimenta líneas en vacío o cables subterráneos de mucha reactancia capacitiva) es necesario disminuir la excitación a valores muy bajos. El sistema de excitación debe proveer estos niveles bajos de excitación con suficiente estabilidad. Incluso algunos sistemas pueden aplicar una tensión inversa al devanado excitador para acelerar la desexcitación. 9.3 VARIACIÓN DE VELOCIDAD En la industria actual los procesos productivos, los ritmos de producción, la gama de productos, imponen día a día:

- Márgenes de velocidad muy variables y amplios. - Precisión en los valores de la velocidad con independencia y frente a posibles alteraciones externas. - Interrelación de velocidad entre etapas del proceso, con actuación de unas sobre otras. 340

- Regulación continua (no a escalones). - Rapidez de respuesta. Es conocido el hecho de que un motor de corriente directa admite, relativamente, una sencilla regulación de su velocidad mediante la variación de la tensión de C.D., actuando sobre su inducido y/o excitación. Esto hacía pensar hasta hace algunos años el que una regulación de velocidad fuera asociada a la necesidad de un motor de C.D. Sin embargo, el desarrollo de la electrónica industrial logra día a día progresos técnicos y tecnológicos notables que producen: - Componentes más fiables, más integrados, de mayor potencia, de menor volumen y más baratos. - Simplificación de los esquemas base. - Simplificación de los equipos por reducción de su número de componentes. Se logra en definitiva una reducción de costos en los equipos electrónicos complejos, como es el caso de los reguladores de velocidad de C.A., que han ido entrando día a día en el mercado y han conseguido imponerse en determinadas aplicaciones. Algunas consideraciones que, al margen del costo inicial, habrá que sopesar a la hora de la elección serán la fiabilidad, mantenimiento y factor de potencia. Se presenta a continuación algunos casos en los que se puede imponer una solución basada en motores de C.A.: - Caso de ambientes difíciles donde el de C.D. tiene que ser muy especial y con su colector y escobillas resulta problemático, por la facilidad de “chispeo”. - Caso en que el motor de C.A. sea la única alternativa posible, como en bombas y motores sumergibles con acceso para mantenimiento muy difícil, lo que obliga a no emplear motores con escobillas. - Caso de existir muchos motores que deban estar alimentados por un accionamiento común único implicando un regulador para n motores. 341

- Caso en que el proceso requiere una gran seguridad de alimentación, admitiendo la posibilidad, en caso extremo, de funcionar a velocidad fija, pero sin detener la producción (si se avería el regulador). Esto solo es posible conectando directamente a la red los motores de C.A., pero no es posible para motores de C.D. 9.3.1 Variación de la velocidad por actuación sobre la frecuencia de la alimentación. Se sabe que la velocidad de un motor sincrónico depende únicamente de la frecuencia de alimentación (teniendo un número de polos constante).

Entonces, la forma de variar la velocidad de un motor sincrónico es variando la frecuencia de alimentación. 9.3.1.1 Método clásico. Por motor de CD-alternador y regulador para el motor de C.D.

Figura 9.7. Esquema de variación de velocidad por motor de CD-alternador y regulador

En este método se varía la velocidad del motor de C.D. por medio del regulador de tensión. El alternador (generador de C.A.) producirá una tensión a una frecuencia que dependerá de la velocidad del motor de C.D.; de esta frecuencia dependerá la velocidad del motor sincrónico. 342

Es un equipo de un costo muy alto, que ocupa mucho espacio y que requiere el mantenimiento de dos máquinas más. Su dominio de regulación de velocidad dependerá del que tenga el conjunto motorregulador de C.D. 9.3.1.2 Métodos electrónicos. Son sistemas convertidores estáticos de frecuencia. Es decir, sistemas que se basan en interruptores electrónicos, como SCRs, TRIACs, etc. A continuación se presentaran dos métodos de este tipo.

1. Cicloconvertidor. Permite variar la frecuencia de una fuente de C.A. sin pasar por etapas intermedias de C.D. La frecuencia fundamental del voltaje de salida de un cicloconvertidor, está determinada por el número de pulsos de la fuente que controlará los SCR. El esquema genérico del circuito de un cicloconvertidor, para una fase, es: Figura 9.8. Esquema del circuito de un cicloconvertidor para una fase

343

Figura 9.9. Formas de onda de tensión e intensidad producidas por un cicloconvertidor

V I

Puente 1 rectificador Puente 1 ondulador Puente 1

Puente 2 rectificador Puente 2 ondulador Puente 2

Las ondas de tensión e intensidad irán desfasadas según la inductancia de la carga. La onda de intensidad define el puente que actúa, y su onda de tensión correspondiente tendrá dentro de ésta, zonas positivas (trabajo del puente como rectificador) y zonas negativas (trabajo del puente como ondulador). Ventajas:

344

- Puede funcionar como conjunto motor-generador en dos sentidos de giro con frenado dinámico. Esto se consigue haciendo que los puentes en antiparalelo trabajen como rectificadores, uno o el otro. Este funcionamiento reversible le permite absorber y devolver energía a la red. - Los tiristores trabajan en conmutación natural de la propia red. - Su rendimiento es muy bueno en los motores sincrónicos donde jugando con la excitación se puede lograr factores de potencia cercanos a 1. Inconvenientes: - Solo puede regular a muy bajas frecuencias siendo su máximo práctico f

3

, donde f es

la frecuencia de la red. - Requiere un elevado número de tiristores. - A “muy bajas” frecuencias, un puente puede estar conduciendo la intensidad de cresta nominal en un tiempo tal que se puede considerar como “permanente” para los semiconductores, lo cual conduce a tenerlos que sobredimensionar a un valor de intensidad igual a dos veces el nominal. (Valores para f ≅ 0 ; es decir, funcionando solo un puente).

Figura 9.10. Intensidad de cresta nominal permanente

V

t

345

Aplicaciones: - En motores lentos de gran potencia, casos en los cuales ni motores de C.D., ni sistemas de reductores mecánicos pueden desarrollar los grandes pares (varios millones de Newton por metro) de los motores sincrónicos de gran diámetro, por ejemplo, grandes molinos. - Conjunto de muchos motores que deben girar a velocidad similar lenta (rodillos de laminadores). - Motores embarcados. 2. Convertidores C.A / C.D. + C.D. / C.A. En este tipo de convertidores se pasa por etapas intermedias de C.D. La regulación de tensión puede hacerse en C.D. ó en C.A. : - Si se tiene regulación de tensión C.D. Figura 9.11. Esquema de convertidor con regulación de tensión C.D.

346

El dominio de variación de velocidad normal es 1 : 40. - Si se tiene regulación de tensión en C.A. Figura 9.12. Esquema de convertidor con regulación de tensión C.A.

El dominio de variación de la velocidad normal es 1 : 50 En la siguiente figura se ilustra una comparación de diferentes tipos de accionamiento referido a equipos construidos con FET.

347

Figura 9.13. Comparación de diferentes tipos de accionamiento referido a equipos construidos con FET

348

Todos ellos incorporan un inversor para obtener la tensión alterna de salida a partir de la red rectificada. Algunos varían la tensión de salida en el propio inversor, otros mediante un circuito auxiliar en la entrada o salida como autotransformador variable, rectificador controlador o troceador. Los equipos que incorporan autotransformador son voluminosos, caros y lentos de respuesta. Los que incorporan rectificador controlado de entrada son simples y baratos, y su velocidad de respuesta es media. Los de mayor velocidad de respuesta son los que controlan la tensión mediante un troceador de entrada al inversor o en el propio inversor por control de ancho de impulsos.

349

Los tipos con modulación de impulsos iguales y, sobretodo, con modulación senoidal, pueden conseguir corriente en el motor casi senoidal trabajando a frecuencias elevadas de conmutación (más de 1kHz). Con ello, las pérdidas adicionales en el motor por circulación de armónicos casi se anulan y no es necesario sobredimensionar el motor. Un esquema funcional de bloques de un circuito de control, es: Figura 9.14. Diagrama de bloques de un circuito de control

Este control está adaptado a uno de los tipos de accionamiento 2, 3 ó 4 mostrados en la tabla, por lo que el mismo tren de impulsos de excitación del puente inversor lleva la información para determinar, tanto la frecuencia como la tensión de salida. Si se eligiera algunos de los otros tipos, los impulsos del puente inversor determinarán solo la frecuencia y saldrían otras señales del generador de impulsos para controlar la tensión de salida por medio del autotransformador, rectificador controlado o troceador.

350

10. DEVANADOS 10.1 CLASES DE DEVANADOS 10.1.1 Devanado concentrado. Solo tiene una ranura por polo y fase. En la Figura 10.1 se dan ejemplos de devanados concentrados para dos polos y para cuatro polos. Figura 10.1. Esquema de devanado concentrado

Para analizar los devanados resulta más conveniente utilizar la tensión inducida por conductor que la tensión inducida por espira.

351

Figura 10.2. Esquema y gráfica de tensión inducida por conductor

e

e

ei

e

v 2e

La tensión inducida en un conductor de longitud L , que se mueve con una velocidad v , en un campo magnético de densidad de flujo B i , es: ei = B i v L

Si las espiras se construyen de modo que los conductores recorran exactamente iguales densidades pero de signo contrario, las tensiones de ambos conductores serán iguales y se sumarán en fase, dando una tensión por espira igual al doble de la tensión de un conductor. Este tipo de espira se llama "diametral". Si la bobina tiene N espiras, la tensión en ella será: e N = 2 N ei

Este tipo de devanado concentrado es sencillo pero tiene dos inconvenientes que lo hacen impracticable, excepto para máquinas pequeñísimas. Estos inconvenientes son:

352

- La ranura sería demasiado grande si N es elevado. Esto limita la tensión que depende del número de espiras. - La tensión entre conductores de una misma ranura sería igual a la tensión por par de polos, dificultando el aislamiento. - La forma de onda de la tensión es idéntica a la forma de la distribución de B en el entrehierro, de modo que aparecerían armónicos que deformarían demasiado la forma de onda de la tensión en bornes. Figura 10.3. Forma de onda de la tensión y de la distribución de B en el entrehierro

B 2N e i

α Para entender el comportamiento de los otros devanados se analiza la forma de onda de B por la serie de Fourier. Las condiciones de simetría anulan los armónicos pares. Figura 10.4. Forma de onda de B por serie de Fourier

BF

B5 B3

α

353

∴ B ( α ) = BF Sen α + B3 Sen 3α + B5 Sen 5α + ... La tensión en ese conductor será:

e i ( α ) = B ( α ) L vp = BF L vp Sen α + B3 L vp Sen 3α + B5 L vp Sen 5α + ... La tensión en la bobina completa, si se trata de espiras diametrales, es:

e N = 2 N ei ( α ) = 2N L vp B f Sen α + 2N L vp B3 Sen 3α + 2N L vp B5 Sen 5α + ...

Si se considera solo la fundamental, se observa que los lados de bobina tienen una separación de 180°E ; razón para que estos devanados sean llamados “diametrales”, como se dijo. Figura 10.5. Lados de bobina diametrales

180°E

3 ×180°E 354

Considerando los armónicos, la separación entre los lados de bobina es n × 180°E ; donde n es el orden de los armónicos. Estrella de ranuras: una buena representación de las tensiones inducidas en los conductores se logra construyendo un “equivalente bipolar” de la máquina. Figura 10.6. Esquema de equivalente bipolar de la máquina

i1 i2

i3

En el equivalente bipolar se construye la “estrella de ranuras”. En este diagrama se representan las tensiones inducidas en cada conductor por fasores que tienen como magnitud la tensión máxima: emax = Bmax L vp

Nótese como las ranuras quedan todas en ese equivalente bipolar. Las que corresponden a otros pares de polos quedan sobre las ranuras del primer par de polos.

355

Figura 10.7. Esquema de estrella de ranuras

7

α

1 8 2

e e8 2

e1 e 7

12

e6 6 e12 Referencia

e3 3 e9 9

e 4 e10

e e115 5 11

e1 e 3

4

1 10

3

e5

5

α 120°E 120°E

De donde: e1 = emax Sen α

e3 = emax Sen ( α + 120°E ) e 5 = emax Sen ( α + 240°E ) 10.1.2 Devanados acortados. Se vio que el devanado anterior se denomina “diametral”, porque el “paso de bobina”, o sea la distancia entre lados de bobina, corresponde a 180°E para la fundamental.

Pero los devanados diametrales tienen algunos inconvenientes: - Las cabezas de bobina son muy largas, lo que equivale a mucho conductor desaprovechado y mucho flujo de dispersión. - Resulta difícil acomodar y retener estas cabezas tan largas. - No elimina armónicos de la tensión. 356

Estos inconvenientes se resuelven con los devanados “acortados” o de “cuerdas”. Figura 10.8. Esquema de devanado diametral y devanado acortado

Yp

Yp

ei

ei

ei

Yp

Yp

ei

ei

ei'

ei

357

ei'

Evidentemente las tensiones en ambos lados de una espira ya no están en fase. Esto se ve mejor en la estrella de ranuras. Figura 10.9. Esquema de estrella de ranuras con tensiones desfasadas en lados de una espira

ei

Yp

ei'

El desfase entre e i y e i ' es Yp , el paso de bobina, medido en grados eléctricos. La tensión en una espira será: Figura 10.10. Esquema de fasores de tensión en una espira

e1 ei '

Yp ei

358





 e1 = e i + e i '

Como:

e1 = e i ' = e

Y  ∴ e1 = 2 e Sen  p   2  Si la espira no estuviera acortada su tensión seria: e1 diametral = 2 e El cociente: Y 2 e Sen  p e1 acortado  2 = e1 diametral 2e

   ,

 Yp  = Sen    2 

Se denomina “factor de paso” del devanado. Evidentemente: Tensión en un devanado acortado = Tensión en el mismo devanado si fuera diametral x factor de paso. Para observar como puede el devanado acortado acabar con los armónicos de tensión debidos a los armónicos de flujo obsérvese el siguiente dibujo:

359

Figura 10.11. Disminución de armónicos con devanado acortado

180°E

Yp

e3

∑e

e3 3

=0

Del dibujo se ve corno el tercer armónico de tensión se anula completamente, pues las tensiones inducidas en ambos lados de la espira se contrarrestan. Sin embargo, es necesario pagar un precio por las ventajas del devanado acortado: la tensión fundamental es menor que la del mismo devanado si se hace diametral, ya que el “factor de paso” siempre es menor que la unidad. Además si se construye de una sola capa, es necesario dejar ranuras sin utilizar. Del diagrama siguiente es evidente que si se utilizan todas las ranuras, el devanado resulta diametral.

360

Figura 10.12. Esquema de la máquina con devanado diametral

Por razones de simetría se construyen las ranuras igualmente espaciadas, nunca con diferente espaciamiento entre ellas. 10.1.3 Devanado distribuido. Se emplea para mejorar la utilización del hierro y no construir ranuras demasiado grandes, además de que, como el acortado, puede mejorar la forma de onda de la tensión. La bobina de N espiras que se alojaba solo en dos ranuras se aloja ahora en 2q' ranuras formando q' “bobinas parciales”.

Figura 10.13. Esquema de la máquina con devanado distribuido

N espiras q'

2 polos

4 polos

q' = 3

q' = 3 361

e1 e 2 e 3

e6 e e 5 7 Bd Cada bobina parcial tendrá N

q'

espiras y su tensión será (suponiendo que es diametral):

e bp =

2N e q'

Debido al desfase entre las bobinas sus tensiones estarán desfasadas un ángulo Bd en grados eléctricos. Para encontrar la tensión total en una bobina distribuida se hace la suma fasorial de todas las q' tensiones de las bobinas parciales. Figura 10.14. Tensiones en una bobina distribuida

e1 e 2

e 4 e5

e3

362

e6














 e d = e1 + e 2 +e 3 + e 4 + e 5 + e 6

Pero:





 e1 + e 4 = e bp 1






 e 2 + e 5 = e bp 2






 e 3 + e 6 = e bp 3

En general, para q' bobinas parciales se tiene:

Figura 10.15. Esquema para hallar la tensión total para q' bobinas parciales

C O

R

R

Bd 2

R

O

O

ed

Bd

A

R B

2N e q'

A

2N e q'

Del triángulo AOB: B Sen  d  2

R

 2N e  = R q' 2 

363

B A

q'Bd 2

Del triángulo AOC:  q'Bd Sen   2

 ed  = 2R 

  2N W ie ∴ ed = 2   2 q' Sen  Bd    2 

  q' Bd   Sen     2   

Si el devanado no fuera distribuido, su tensión sería: e d ' = 2N e

 q'Bd   q'Bd 2N e Sen  Sen   e  2 =  2 ∴ d = ed' B  B q' Sen  d  2N e q' Sen  d  2   2

   =f d   

Donde f d es el “factor de distribución”.

Se tiene: Tensión en un devanado distribuido acortado = tensión en el mismo devanado (mismo N) concentrado diametral x f paso x f distribución. 10.1.4 Devanado de dos capas. Este devanado permite acortar el paso de bobina sin que queden ranuras vacías.

Se puede considerar que se divide cada bobina parcial en dos de N colocar una en una capa y la otra en la otra.

364

2q'

espiras cada una y

Figura 10.16. Esquema de devanado de dos capas

Bc

Bc

Quedan así dos capas idénticas desfasadas un ángulo Bc , de modo que sus tensiones tendrán este mismo desfase. La tensión en todo el devanado es:

   ed = e capa 1 + e capa 2

Figura 10.17. Esquema de fasores de tensión de un devanado

ed

e capa 2

Bc

e capa 1 Entonces: ed  180 − Bc  Sen  = 2  2   e capa 365

Pues: e capa = e capa 1 = e capa 2

Ya que son idénticas. B  ∴ e d = 2 e capa Cos  c   2 

Si el mismo devanado, en lugar de ocupar dos capas, ocupara solo una; en otra forma, si las dos capas estuvieran una sobre otra, su tensión sería: e d ' = 2 e capa

B 2 e capa Cos  c  2 ∴ = ed' 2 e capa ed

   = Cos  Bc  = f  2  c  

Donde f c es el “factor de capa”.

Evidentemente: Tensión en un devanado de dos capas, acortado, distribuido = Tensión en el mismo devanado concentrado, de una capa, diametral x f distribución x f paso x f capa. 10.1.5 Devanados de ranura oblicua respecto al campo. fundamentales:

Se usan por dos razones

- Para disminuir las pérdidas por ventilación, pues un “borde” que se desplace perpendicular al aire encuentra más resistencia que cuando se desplaza oblicuamente, sobre todo por los “remolinos” que forma el aire. - Para disminuir los llamados armónicos de ranura, se inclinan las ranuras o los cantos polares, dependiendo de la parte que se mueve.

366

Figura 10.18. Esquema de devanados de ranura oblicua respecto al campo

v

v

En las máquinas sincrónicas se inclinan los cantos polares, pues son los polos los que se mueven. Pero en definitiva el resultado es el mismo; los conductores en la ranura no quedan sometidos al mismo campo magnético. Figura 10.19. Tensiones en fase y en desfase

∆e

Todas las ∆e quedan en fase

Las ∆e no quedan

∆e

en fase

R

Br

e'

e

R

Bd

∆e en fase ∆e desfasadas Evidentemente se trata del mismo problema resuelto para el devanado distribuido cuando q' → ∞ . El factor de distribución sería:

367

 q'Bd Sen   2 f o = Lim q'→∞ B q' Sen  d  2

     

B  Sen  r   2  f o = Lim Bd → 0 B B  r Sen  d  Bd  2 

Ya que q' Bd = Br B Sen  r   2 f o = Lim Bd → 0 B Sen  d  Br  2 Bd 2 2 2 fo = Br

∴ fo =

Sen  

Br

 2  B Sen  d   2 Lim Bd → 0 Bd 2

2 B  Sen  r  Br  2 

Siendo f o el factor de oblicuidad. Si definimos: F arrollamiento = E = f paso x f capa x f distribución x f oblicuidad Tendremos:

368

Tensión en un devanado distribuido, de dos capas, acortado, de ranura oblicua = Tensión en el mismo devanado concentrado, diametral, de una capa, de ranura recta x E. 10.1.6 Arrollamientos fraccionarios. En los devanados anteriores se asumió que el número de ranuras por fase y polo es un entero. Se pueden construir devanados con este número fraccionario, trayendo como consecuencia una disminución en los armónicos.

Figura 10.20. Esquemas de máquinas con arrollamientos fraccionarios

q' = 3

q' =

3+ 2 = 2.5 2

q' =

3+3+ 2 = 2.6 3

Es evidente que para un solo par de polos no se pueden construir devanados fraccionarios. Además no basta con utilizar diferente número de ranuras por fase y polo, pues aún así puede dar q' entero. Por último, el mismo número de ranuras debe colocarse delante de polos consecutivos, pues de otra manera resulta imposible interconectar los lados de bobina. Figura 10.21. Mismo número de ranuras delante de polos concentrados

369

Trazado general de un devanado: Interesa saber como se traza un devanado antes de detallar su diseño. Suponiendo conocidos todos los parámetros: P

→ Número de polos.

K

→ Número de ranuras.

C

→ Número de capas (1 ó 2 en realidad).

Bc

→ Desfase entre capas.

N

→ Número de espiras por fase y par de polos.

q'

→ Número de bobinas parciales.

Yb

→ Paso de bobina deseado.

Br

→ Desfase entre ranuras.

Los pasos a seguir son: - Calcular el ángulo entre ranuras. Asumiendo P = 4 , K = 49 para ilustrar el proceso.

360° geometricos 360° eléctricos = Br = K K

(P 2)

Br = 7.5° geom = 15°elect (para el ejemplo) - Se dibuja la equivalente bipolar y en ella se representan todas las ranuras.

370

Figura 10.22. Esquema de equivalente bipolar con todas las ranuras

- Se divide la equivalente bipolar en 2m sectores, con m el número de fases. Sectores opuestos por el vértice corresponden a la misma fase. Tomando m = 3, de modo que se tengan 6 sectores. Se empiezan a dibujar los sectores de modo que no corten conductores. Si K está bien escogido, los sectores comprenderán igual número de ranuras. - Si el devanado es de una capa y se emplean todas las ranuras, resultará diametral. Para ilustrar un devanado acortado se asume un acortamiento de dos ranuras, dejando dos sin utilizar.

371

Figura 10.23. Esquema de devanado acortado con acortamiento de dos ranuras

Yp

Las ranuras que corresponden a cada fase serán: Fase 1: 3, 4, 13, 14, 27, 28, 37, 38. Fase 2: 11, 12, 21, 22, 35, 36, 45, 46. Fase 3: 5, 6, 19, 20, 29, 30, 43, 44. Yp = 150°E ; el acortamiento sería 30°E .

- Localización sobre la máquina real. El ángulo entre ranuras en la máquina real es 7.5°geom. En esta máquina se localizan las ranuras que corresponden a cada fase. - Si la máquina es de una capa, el proceso terminaría aquí.

372

Solo resta acomodar las cabezas de bobina y para ello se debe dibujar un esquema desarrollado del devanado. Se pueden emplear “bobinas concéntricas”. Figura 10.24. Esquema desarrollado del devanado con acomodamiento de cabezas de bobina

Figura 10.25. Esquemas de bobinas concéntricas

O emplear “bobinas iguales”:

373

Figura 10.26. Esquemas de bobinas iguales

El número de bobinas parciales, q' , sería 2N ; o sea el número de espiras de cada bobina. q' - En el caso de especificarse que son dos capas y conocerse el desfase entre ellas, se procedería a dividir las bobinas parciales en dos cada una. De modo que las nuevas bobinas parciales tendrían cada una N espiras. 2q' Bastaría elaborar una capa y diseñar la otra, idéntica a la primera, con el desfase especificado. Viendo un esquema del mismo devanado del ejemplo en dos capas. Figura 10.27. Esquema de devanado de dos capas

El desfase entre capas sería Bc = 2 × 15°E = 30°E . Este ejemplo tiene la limitación de que al dejar ranuras sin utilizar, el concepto de dos capas es algo difícil de aceptar. Sin embargo la idea general es la misma y se puede aplicar siempre. - Para devanados fraccionarios, como la simetría de las tres fases se debe mantener los sectores deben cubrir igual número de ranuras. 374

Figura 10.28. Simetría de fases para devanados fraccionarios

En algunos casos, como el ilustrado, esto parece imposible, pues los sectores contendrían de todas formas diferente número de ranuras. El problema se resuelve haciendo que el límite del sector se alterne entre las ranuras que quedan una sobre otra. Por ejemplo, en el dibujo se observa que cada sector quedó con tres ranuras. Figura 10.29. Ejemplo gráfico de simetría de fases

Se trata de un devanado con:

375

q' =

2 +1 = 1.5 2

10.2 ASPECTOS TÉCNICOS DE LOS DEVANADOS Condiciones de simetría de los devanados enteros:

- Si Figura 10.30. Devanados en una ranura

C = 3 C = número de lados de bobina (parcial) por ranura. K = número total de ranuras empleadas. B = número de bobinas parciales. Entonces: 2 B = número de lados de bobina. = CK

- Si las m fases son completamente idénticas entre sí, entonces B Bobina = = entero m Fase

376

- Si: q' = número de ranuras por polo y fase utilizados. P = número de polos, entero par.

Entonces: q' =

K = entero P×m

Y

K = q' P m

(por la definición del devanado).

entero también

Las condiciones anteriores implican que se cumpla la más importante: que el desfase entre las fases sea exactamente 360°E . m Figura 10.31. Desfase entre las fases

Fase i

Fase i + 1

360°E

m

Llamando S el número de espacios entre ranuras (“dientes”) entre los conductores. S × Br =

360°E + n × 360°E m

Br es el ángulo entre ranuras. n es entero.

377

Como: Br =

360°E × P

2

K

S × 360°E × P 1  = 360°E  + n  2K m  ∴

SP 1 = +n 2K m

∴ S=

2K 2K n + Pm P

Pero: q' = K

Pm

∴ S = 2 q' + 2 m n q' = entero

Pues q' , m y n son enteros. Al ser S entero el devanado es realizable y se cumple la condición. Condiciones de simetría para los devanados fraccionarios: las condiciones 1 y 2 de los devanados enteros se siguen cumpliendo. Pero la 3 cambia. q' =

K = número fraccionario = n 0 + a b Pm

n 0 es entero. a

b

es una fracción propia.

Como se debe seguir cumpliendo que el desfase sea 360°E 378

m

.

S = 2q' (1 + m n ) = entero a  S =  n 0 +  2 (1 + m ) = entero b  S = 2 n 0 (1 + m ) + 2 (1 + m )

a = entero b

Como: 2 n 0 (1 + m n ) = entero ∴ 2 (1 + m )

a = entero b

Luego b debe dividir a 2 ó dividir a (1 + m n ) . Además, volviendo a la expresión original de S: S=

2K 2K n + = entero Pm P

Pero P , (el número de polos) es par, es decir, P = 2 P' , donde P' es el número de pares de polos, un entero. S=

2K Kn + = entero 2 P' m P'

S=

K Kn + = entero P' m P'

Como P' es un entero: K + K n = entero × P' = entero m

379

Como K n es entero, se concluye que para los devanados fraccionarios K entero también. Como: q' =

∴

K a = n0 + Pm b

K a = P n 0 + P = entero m b

Ya que P y n 0 son enteros, P

a = entero . b

De modo que P debe ser divisible por b .

380

m

debe ser

11. LAS TRANSFORMACIONES DE BLONDEL Y PARK, Y LAS COMPONENTES SIMÉTRICAS 11.1 INTRODUCCIÓN Aunque ya se estudió el método de Blondel, aquí trataremos de interpretarlo mejor y relacionarlo con la famosa transformación de Park. Figura 11.1. Modelo equivalente bipolar de la máquina sincrónica

Eje de fase a

N

Wm r

ib

ia

ir ic

Eje de fase c

Eje de fase b

Para estudiar estas transformaciones utilizamos el modelo equivalente bipolar (Figura. 11.1). Pero lo reducimos a un esquema mucho más simple, para facilitar la representación físico fasorial (Figura. 11.2).

381

Figura 11.2. Esquema físico – fasorial de la máquina

Eje de la fase a

ia

N Eje del rotor

Ni a

Ni c

Ni b

ic

ib

En la Figura 11.2 ilustramos los vectores que representan las f.m.m.s producidas por las tres corrientes i a , i b , i c . Al sumar estas tres f.m.m.s instantáneas obtenemos la f.m.m resultante del estator, que llamaremos f.m.m.e (Figura 11.3). Figura 11.3. Suma de f.m.m.s instantáneas

Ni b Ni c

Ni a

f.m.m.e

382

Obsérvese que variando las corrientes podemos hacer que la f.m.m.e esté dirigida en cualquier dirección. 11.2 ¿QUÉ ES UNA TRANSFORMACIÓN? Comencemos explicando que pasa cuando las corrientes se descomponen en componentes. Asumamos que descomponemos las corrientes i a , i b , i c , cada una en tres componentes:

i a = i ad + i aq + i ao i b = i bd + i bq + i bo i c = i cd + i cq + i co

Ahora, podemos aplicar superposición y observar que f.m.m.s producen estas componentes por separado (Figura 11.4). Figura 11.4. Superposición de f.m.m.s

Ni ad Ni bd

Ni ao

Ni aq

Ni cd

Ni bo

Ni bq

Ni cq

Ni co

Ni bo Ni d

Ni bd Ni cd

Ni co

Ni bq

Ni aq

Ni ad

Ni q

Ni cq

383

Nio

Ni ao

Como se observa, y era de esperar, cada conjunto de componentes produce una f.m.m resultante. Se llamó Ni d a la f.m.m producida por i a d , i bd , i cd ; Ni q a la f.m.m producida por i a q , i bq , i cq ; y Ni o a la producida por i a o , i bo , i co .

Ahora, nótese que dividimos tres corrientes en nueve por medio de tres ecuaciones (las tres anteriores).... ¡Podemos arbitrariamente definir, establecer, otras 6 ecuaciones mas para que queden definidas las nueve nuevas cantidades! La escogencia de las nueve ecuaciones que faltan es arbitraria; pero, lo lógico es que las escojamos de tal modo que nos faciliten el estudio de las máquinas. Tal escogencia ha sido dirigida por la idea de lograr que las f.m.m.s resultantes cumplan ciertas condiciones, que, corno ya dijimos, facilitan el análisis de las máquinas. Por lo tanto, las corrientes se relacionan con las f.m.m.s deseadas, así:

i ad =

i aq =

Ad B C Ni d , i bd = d Ni d , i cd = d Ni d N N N

Aq N

Ni q , i bq =

Bq N

Ni q , i cq =

Cq N

Ni q

Pero, el valor escogido para Ni o ha sido nulo, por lo que no se podrían escoger relaciones como las anteriores. Se usó entonces, la propiedad de que tres corrientes iguales no pueden producir f.m.m resultante en un devanado 3φ , y se escogió: i a o = i o ; i bo = i o ; i co = i o

Tendremos: i a = i a d + i a q + io i b = i bd + i bq + i o i c = i cd + i cq + i o

384

Reemplazando las componentes en función de las “corrientes” i d , i q e i o :

i a = Ad id + A q iq + io i b = Bd i d + Bq i q + i o i c = Cd i d + C q i q + i o

Ecuaciones que en forma matricial quedan:

i a  1 A d A q  i o       i b  = 1 Bd Bq  i d      i  i c  1 Cd Cq   q 

Y, si la matriz cuadrada es invertible: −1

i o  1 A d A q  i a        i d  = 1 Bd Bq  i b  i q  1 C C  i  d q      c

El proceso de resolver problemas empleando este cambio de variables ( i a , i b , i c ↔ i o , i d , i q ) es lo que se conoce como una transformación.

11.3 ¿CUALES TRANSFORMACIONES EXISTEN? Cualquiera puede inventar su propia transformación y demostrar sus virtudes resolviendo algunos problemas. Precisamente, esta es la ventaja de este tratamiento genérico: puede desarrollar la creatividad. Pero las transformaciones usuales en máquinas son: la que utiliza el flujo giratorio, la de Blondel, la de Park y la de las Componentes Simétricas.

En la Tabla 2 resaltamos algunas similitudes y diferencias de estas transformaciones. 385

Tabla 2. Tabla con similitudes y diferencias de las transformaciones

io

≠0 W

Nid

Ni d

Ni d

≠0 Ni d

Ni d

W

W

W

Wmr

Wmr

Wmr

Wmr

W = Wm r

W = Wm r

W = Wm r

W = Wm r

Ni q

W

Ni q

W

Ni q

Ni q W

Wmr

Wmr

Wmr

W = Wm r

W = Wm r

W = Wm r

A 90° de Ni d

A 90° de Ni d

11.4 ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN Ya sabemos que las componentes “cero” son iguales: i a o = i bo = i co = i o

Ahora veremos las relaciones de las demás componentes, empezando por i a d , i bd , i cd , que encontraremos empleando la Figura 11.5. Asumimos a Ni d haciendo un ángulo α con el eje de la fase a.

386

Figura 11.5. Esquema de relaciones de componentes de eje directo a

Ni d

Ni a d

α

Ni cd

Ni bd

c

b

N i a d = N i d Cos α

∴

i a d = i d Cos α

N i bd = N i d Cos ( α + 240° )

∴

i bd = i d Cos ( α + 240° )

N i cd = N i d Cos ( α + 120° )

∴

i cd = i d Cos ( α + 120° )

Pasando a las relaciones de i a q , i bq , i cq con i q , asumiremos un ángulo β entre la f.m.m Ni d y la f.m.m Ni q . Figura 11.6. Esquema de relaciones de componentes de eje en cuadratura a

Ni q

Nia q

β

α

Ni d c

b

387

De acuerdo a la Figura 11.5 tendremos: N i a q = N i q Cos ( α − β )

N i bq = N i q Cos ( α − β + 240° )

N i cq = N i q Cos ( α − β + 120° )

Reemplazando en las ecuaciones generales:

 + i q Cos ( α − β ) i a  i a o + i a d + i a q  i o + i d Cos α       i b  = i bo + i bd + i bq  = i o + i d Cos ( α + 240° ) + i q Cos ( α − β + 240° )   i   i + i + i    c   co cd cq  i o + i d Cos ( α + 120° ) + i q Cos ( α − β + 120° ) 

Por lo tanto:

i a  1    i b  = 1 i    c  1

 i o    Cos ( α − β + 240° )  i d  Cos ( α − β + 120° )  i q  Cos ( α − β )

Cos α Cos ( α + 240° ) Cos ( α + 120° )

Pero ya vimos que en todas las transformaciones la f.m.m “directa”, Ni d , siempre se hace girar en la dirección de giro del rotor y a la misma velocidad que este. Por lo tanto el ángulo α es variable, precisamente con la velocidad W = Wmr . Escogiendo bien el eje del tiempo podemos escribir (Figura 11.7):

388

Figura 11.7. f.m.m. “directa” con misma dirección de giro y velocidad que el rotor

α =W t a

Ni d

α =W t W W b

c

De donde: i a  1    i b  = 1 i    c  1

Cos (W t )

 i o    Cos (W t − β + 240° )  i d  Cos (W t − β + 120° )  i q  Cos (W t − β )

Cos (W t + 240° ) Cos (W t + 120° )

11.5 ECUACIONES PARA CADA TRANSFORMACIÓN Ya vistas las ecuaciones de la transformación general, veamos las ecuaciones para cada una de las transformaciones particulares. 11.5.1 Transformación del flujo giratorio. En esta transformación i o = 0 e i q = 0 , por definición. Entonces:

i a  1    i b  = 1 i    c  1

Cos (W t )

 0   Cos (W t − β + 240° )  i d  Cos (W t − β + 120° )   0  Cos (W t − β )

Cos (W t + 240° ) Cos (W t + 120° )

389

Por lo tanto: i a = i d Cos (W t ) i b = i d Cos (W t + 240° ) i c = i d Cos (Wt + 120° )

¡Evidentemente tenemos el sistema balanceado de corrientes! Basta escoger i d como el valor de la magnitud de la corriente trifásica. 11.5.2 Transformación de Blondel. Blondel sigue considerando i o = 0 ; pero i q ya no es cero.

Ahora, el ángulo α se escoge de forma que la f.m.m directa, Ni d , coincida con el eje directo del rotor, y la f.m.m en cuadratura quede a 90° atrás, o sea en el eje en cuadratura (Figura 11.8). Figura 11.8. f.m.m. “directa” y f.m.m. “en cuadratura” a

Ni q Ni d

W

W W b

c

390

β será entonces, 90°, y la transformación quedará expresada por las ecuaciones:

i a  1    i b  = 1 i    c  1

Cos (W t )

 0    Cos (W t − 90° + 240° )  i d  Cos (W t − 90° + 120° )  i q  Cos (W t − 90° )

Cos (W t + 240° ) Cos (W t + 120° )

Usamos las identidades:

Cos (W t − 90° ) = Cos (W t ) Cos ( 90° ) + Sen (W t ) Sen ( 90° ) = Sen (W t )

Cos (W t + 240° − 90° ) = Cos (W t + 240° ) Cos ( 90° ) + Sen (W t + 240° ) Sen ( 90° )

= Sen (W t + 240° )

Cos (W t + 120° − 90° ) = Cos (W t + 120° ) Cos ( 90° ) + Sen (W t + 120° ) Sen ( 90° )

= Sen (W t + 120° ) Tendremos:

i a  1    i b  = 1 i    c  1

Cos (W t )

 0    Sen (W t + 240° )  i d  Sen (W t + 120° )  i q  Sen (W t )

Cos (W t + 240° ) Cos (W t + 120° )

Sin embargo se suele colocar también la dirección positiva del eje q adelantado 90° a la dirección del eje d (Figura 11.9). En este caso, β = −90° .

391

Figura 11.9. Direcciones de eje directo y de eje en cuadratura a

q

W

W

b

d

c

Por lo tanto: Cos (W t + 90° ) = Cos (W t ) Cos ( 90° ) − Sen (W t ) Sen ( 90° ) = − Sen (W t ) Cos (W t + 240° + 90° ) = − Sen (W t + 240° ) Cos (W t + 120° + 90° ) = − Sen (W t + 120° )

De donde: i a  1    i b  = 1 i    c  1

Cos (W t )

 0    − Sen (W t + 240° )  i d  − Sen (W t + 120° )  i q 

− Sen (W t )

Cos (W t + 240° ) Cos (W t + 120° )

11.5.3 Transformación de Park. Es exactamente igual a la de Blondel pero con un añadido: i o no se considera cero, lo cual permite tratar problemas no balanceados y aún corrientes con componentes de C.D. En esto radica la enorme importancia de este método. Utilizando β como -90° las ecuaciones quedan:

392

i a  1    i b  = 1 i    c  1

Cos (W t )

 i o    − Sen (W t + 240° )  i d  − Sen (W t + 120° )  i q 

− Sen (W t )

Cos (W t + 240° ) Cos (W t + 120° )

11.5.4 Transformación de las componentes simétricas. En esta transformación existen i o , i d e i q . i o tiene la misma interpretación, como el valor medio de las tres corrientes que

tiene en las otras transformaciones. Ni d se interpreta como correspondiente a una f.m.m que gira con el rotor (aunque no alineada con ningún eje) y, como es similar a la f.m.m de las corriente normales balanceadas, se denomina f.m.m de “Secuencia Positiva”. Pero Ni q si se interpreta completamente diferente: en lugar de girar en la dirección del rotor, gira en dirección opuesta, recibiendo por ello el nombre de f.m.m de “Secuencia Negativa”. Figura 11.10. Dirección de giro de Ni d y Ni q

a Ni d W

Wt

β Ni q

W t + βo

W

b

c

En la Figura 11.10 observamos como Ni d gira en la dirección directa o positiva, es decir, en la dirección en que gire el rotor (secuencia positiva). En cambio, Ni q gira en la dirección contraria ó negativa (secuencia negativa). β 0 sería el ángulo β en t = 0 , de modo que:

β = W t +W t + β0 393

β = 2W t + β 0 De modo que reemplazando en las ecuaciones generalizadas obtenemos: i a  1    i b  = 1 i    c  1 1  = 1   1

  i o    Cos (W t + 240° − 2W t − β 0 )  i d     Cos (W t + 120° − 2W t − β 0 )  i q  Cos (W t − 2W t − β 0 )

Cos (W t ) Cos (W t + 240° ) Cos (W t + 120° )

  i o    Cos ( −W t + 240° − β 0 )  i d     Cos ( −W t + 120° − β 0 )  i q  Cos ( −W t − β 0 )

Cos (W t ) Cos (W t + 240° ) Cos (W t + 120° )

Utilizando la identidad: Cos ( −θ ) = Cos ( θ )

Obtenemos: i a  1    i b  = 1 i    c  1

  i o    Cos (W t − 240° − 2W t − β 0 )  i d     Cos (W t − 120° − 2W t − β 0 )  i q  Cos (W t − 2W t − β 0 )

Cos (W t ) Cos (W t + 240° ) Cos (W t + 120° )

Cuando el comportamiento es estable, llamamos: i o = 2 Io Cos (W t + θ ) id = 2 Ia 1 iq = 2 Ia 2

Donde Ia 0 , Ia 1 , Ia 2 son los valores r.m.s. de las componentes simétricas de la fase a.

394

Por lo tanto: i a = 2 Io Cos (W t + θ 0 ) + 2 Ia 1 Cos (W t ) + 2 Ia 2 Cos (W t + β 0 ) i b = 2 Io Cos (W t + θ 0 ) + 2 Ia 1 Cos (W t + 240° ) + 2 Ia 2 Cos (W t + β 0 − 240° ) i c = 2 Io Cos (W t + θ 0 ) + 2 Ia 1 Cos (W t + 120° ) + 2 Ia 2 Cos (W t + β 0 − 120° )

En forma fasorial: I a = I o W t + θ 0 + I a 1 W t + Ia 2 W t + β 0 I b = Io W t + θ 0 + Ia 1 W t + 240° + Ia 2 W t + β 0 − 240° I c = Io W t + θ 0 + Ia 1 W t + 120° + Ia 2 W t + β 0 − 120°

∴

 I a  1     I b  = 1  I  1  c 

    Io W t + θ 0  1 240° 1 −240°   Io W t    1120° 1 −120°   I W t + β  0  o  1

1

Como: 1 240° = a 2

;

I a 0 = Io W t + θ 0

1 −240° = 1120° = a ;

Ia1 = Ia1 W t

;

1 −120° = 1 240° = a 2

;

Ia2 = Ia2 W t + β0

Tendremos:

∴

 I a  1 1 1   I a 0       2  I b  = 1 a a   I a 1   I  1 a a 2     I a 2   c 

395

Expresión ya conocida por nosotros.

¿Por qué i o se reemplazó por

2 Io Cos (W t + θ 0 ) ?

Es una pregunta muy interesante que dejamos como núcleo de meditación. Recuérdese que, en general, i a , i b , i c , i o , i d e i q son corrientes de cualquier forma de onda. 11.6 ¿CÓMO SE USAN LAS TRANSFORMACIONES? En el texto hemos visto como trabajar con la transformación del flujo giratorio, con la de Blondel y con la de Componentes Simétricas. Aquí ilustraremos el uso de la transformación de Park.

A partir de las corrientes i r , i a , i b , i c , hallamos las f.m.m.s de la máquina: N r i r , Ni d y Ni q . Ni o solo produce flujos de dispersión.

Figura 11.11. f.m.m.s de la máquina

ia N

φo

Wt N r ir

Ni d

ir N

Ni q

ib

N

ic

396

A partir de las f.m.m.s calculamos los flujos:

φd =

N r i r + Ni d Rel d

φq =

φo =

Niq Rel q

Ni o Rel dispersión

A partir de estos flujos se calculan los flujos ligados con los devanados:

λ a = φ o N + φ d Cos (W t ) N + φ qCos (W t − 90° ) N λ b = φ o N + φ d Cos (W t + 240° ) N + φ q Cos (W t − 90° + 240° ) N λ c = φ o N + φ d Cos (W t + 120° ) N + φ q Cos (W t − 90° + 120° ) N λ r = φ d Nr que serían los flujos ligados con las fases a, b, c y con el rotor. Reemplazando las expresiones para φ d , φ q y φ o :

λa =

λb =

λc =

N2 Rel dispersión N2 Rel dispersión N2 Rel dispersión

 N N r i r + N 2 id   N 2 iq  i o + Cos (W t )  + Cos W t − 90 ° ( )   Rel d    Rel q   N N r i r + N 2 id   N 2 iq  i o + Cos (W t + 240° )  + Cos W t − 90 ° + 240 ° ( )   Rel d    Rel q   N Nr i r + N2 id   N 2 iq  i o + Cos (W t + 120° )  + Cos W t − 90 ° + 120 ° ( )   Rel d    Rel q 

397

λr =

N 2r N Nr ir + id Rel d Rel d

Introduciendo conceptos de inductancia propia y de inductancia mutua, según las definiciones: Lo =

N2 Rel dispersión

;

Ld =

N2 Rel d

;

Lq =

N2 Rel q

;

M=

NN r Rel d

;

Lr =

N 2r Rel d

λ a = Loio + Cos (W t ) [ Mi r + Ld id ] + Cos (W t − 90° ) Lq iq λ b = Loio + Cos (W t + 240° ) [ Mi r + Ld id ] + Cos (W t − 90° + 240° ) Lq i q λ c = Loio + Cos (W t + 120° ) [ M i r + Ld id ] + Cos (W t − 90° + 120° ) L q i q λ r = Lr ir + M id De acuerdo a las ecuaciones anteriores, se definen unos flujos ligados transformados así:

λ o = Lo io ; λ d = Ld id + M i r ; λ q = Lq i q ; λ r = L r i r + M i d De donde:

λ a = λ o + Cos (W t ) λ d + Cos (W t − 90° ) λ q λ b = λ o + Cos (W t + 240° ) λ d + Cos (W t − 90° + 240° ) λ q λ c = λ o + Cos (W t + 120° ) λ d + Cos (W t − 90° + 120° ) λ q Por lo que: i a  1    i b  = 1 i    c  1

Cos (W t )

 i o    − Sen (W t + 240° )  i d  , − Sen (W t + 120° )  i q 

− Sen (W t )

Cos (W t + 240° ) Cos (W t + 120° ) 398

Y λ a  1    λ b  = 1 λ    c  1

 λ o    − Sen (W t + 240° )  λ d    − Sen (W t + 120° )  λ q 

Cos (W t )

− Sen (W t )

Cos (W t + 240° ) Cos (W t + 120° )

son transformaciones idénticas. Veamos, por último, los voltajes en los devanados. Estos voltajes tienen dos procedencias: la caída en la resistencia y la tensión inducida al variar los flujos ligados. Se acostumbra la notación de circuitos; es decir, se consideran las tensiones inducidas como caídas de tensión: Vr = i r R r +

Va = i a R a +

Vb = i b R b +

Vc = i c R c +

∴ Vr = i r R r +

dλ r dt dλ a dt dλ b dt dλ c dt

di d ir +M d dt dt

Y tomando como modelo Va : Va = i a R a +

d d d d λ a = i a R a + λ o + λ d Cos (W t )  + λ q Cos (W t − 90° )  dt dt dt dt

∴ Va = i a R a +

d d d λ o + Cos (W t ) λ d − W λ d Sen (W t ) + Cos (W t − 90° ) λ q dt dt dt

− W λ q Sen (W t − 90° ) 399

Expresiones similares se encuentran para Vb y Vc . Ahora, definiendo unos voltajes transformados, así: Vd = Ri d +

d λ d −W λ q dt

Vq = Ri q +

d λ q −W λ d dt

Vo = Ri o +

d λo dt

Obtenemos (no haremos la demostración):

 Va  1  V  = 1  b   Vc  1 

Cos (W t )

  Vo    − Sen (W t + 240° )   Vd  − Sen (W t + 120° )   Vq 

− Sen (W t )

Cos (W t + 240° ) Cos (W t + 120° )

O sea, la misma trasformación que teníamos para las corrientes y los flujos ligados. Entonces, la forma usual de utilizar estas transformaciones es trabajar en las cantidades transformadas y luego pasar a las cantidades reales mediante las ecuaciones de transformación. Como en toda transformación también requerimos de la transformación “inversa”, que se obtiene invirtiendo la matriz de transformación. El resultado es:

 A  1  B  = 1    C  1 

Cos (W t )

 Ao    − Sen (W t + 240° )   A d  − Sen (W t + 120° )   A q 

− Sen (W t )

Cos (W t + 240° ) Cos (W t + 120° )

Transformación Directa 400

 1   2Cos (W t )  − Sen W t ( ) 

A o    1 A d  = 3 A   q

1

 A   2Cos (W t + 120° )   B  − 2Sen (W t + 120° )  C 

1

2Cos (W t + 240° ) − 2Sen (W t + 240° )

Transformación Inversa Ejemplo: Una máquina sincrónica se mueve a velocidad constante, excitada con una corriente del rotor constante. Si se le aplica una C.D. a la fase a mientras las demás quedan abiertas, ¿cuáles serán las tensiones en los devanados? Se asumen conocidos todos los parámetros. Solución: i a = I → la C.D. inyectada en la fase a ib = 0 ic = 0

∴

 i o  1   1 i d  = 3  2Cos (W t )  − Sen W t i q  ( )    ∴ io =

1 2Cos (W t + 240° ) − 2Sen (W t + 240° )

I 2 2 ; i d = I Cos (W t ) ; i q = − I Sen (W t ) 3 3 3

Calculamos los flujos ligados transformados:

λ o = Lo io =

Lo I 3

λ d = Ld i d + Mi r = Ld λ q = Lq iq = −Lq

 i a = I    2Cos (W t + 120° )   0  − 2Sen (W t + 120° )   0 

1

2 I Cos (W t ) + M i r 3

2 I Sen (W t ) 3

401

λ r = L r i r + Mi d = L r i r + M

2 I Cos (W t ) 3

Calculamos las tensiones trasformadas en los devanados: Vo = R i o +

Vd = R i d + =

dt dλ d dt

=

R I d  Lo I  + 3 d t  3 

−W λ q

2R d 2   2  I Cos (W t ) +  I L d Cos (W t ) + Mi r  − W  − I Lq Sen (W t )  3 dt 3   3 

Vq = Ri q + =−

∴ Vo = Vd =

dλ o

d λ q −W λ d dt

2R d  2  2  I Sen (W t ) +  − I Lq Sen (W t )  + W  I Ld Cos (W t ) + Mi r  3 dt  3  3  RI 3

2R 2 2 I Cos (W t ) − Ld W Sen (W t ) + W Lq I Sen (W t ) 3 3 3

Vq = −

2R 2 2 I Sen (W t ) − I Lq W Cos (W t ) + W Ld I Cos (W t ) + W M i r 3 3 3

Organizando: Vo =

RI 3

Vd =

2 I  R Cos (W t ) + W Sen (W t ) ( Lq − Ld )  3 

2 Vq = W M i r + I  − R Sen (W t ) + W Cos (W t ) ( Ld − Lq )  3

402

Y: Vr = i r R r + L r

= ir R r − M

d ir d 2  + M  I Cos (W t )  dt dt 3  2 I W Sen (W t ) 3

Resultados: Ya conocimos Vr , que consta de la caída de C.D. normal, mas una tensión inducida alterna. Las tensiones en los devanados son: Va = Vo + Vd Cos (W t ) − Vq Sen (W t ) =

R I 2 Cos (W t ) + I  R Cos (W t ) + W Sen (W t ) ( Lq − Ld )  3 3 2   − Sen (W t ) W Mi R + I  −R Sen (W t ) + W Cos (W t ) ( Ld − Lq )   3  

I = − W M i r Sen (W t ) + [R + 2R Cos 2 (W t ) + 2Cos (W t ) Sen (W t ) W ( Ld − Lq ) 3 + 2R Sen2 (W t ) − 2Sen (W t ) Cos (W t ) W ( Ld − Lq )]

I ∴ Va = −W Mi r Sen (W t ) + 3R + 4 Sen (W t ) Cos (W t )W ( Ld − Lq )  3 2 ∴ Va = −W M i r Sen (W t ) + I R + I Sen ( 2W t ) W ( Lq − Ld ) 3

Ahora calculemos Vb y Vc : Vb = Vo + Vd Cos (W t + 240° ) − Vq Sen (W t + 240° )

403

=

RI 2 + Cos (W t + 240° ) × I  R Cos (W t ) + W Sen (W t ) ( Lq − Ld )  3 3 2   − Sen (W t + 240° ) W Mi r + I  − R Sen (W t ) − W Cos (W t ) ( Lq − Ld )   3  

∴ Vb =

∴ Vb =

RI 2 + I R Cos (W t + 240° ) Cos (W t ) + Sen (W t + 240° ) Sen (W t )  3 3 2 + IW ( Lq − L d ) Cos (W t + 240° ) Sen (W t ) + Sen (W t + 240° ) Cos (W t )  3 − Sen (W t + 240° ) W M i r

RI 2 1 + 2 Cos ( 240° )  + I W ( Lq − Ld ) Sen ( 2W t + 240° ) − W M i r Sen ( 2W t + 240° ) 3 3

Como Cos ( 240° ) = −0.5 , el primer término desaparece ¡claro, no hay corriente en ese devanado! Solo quedan las tensiones inducidas por el flujo del rotor y por el flujo de la fase a, que, aunque alimentada con C.D., fluctúa por la saliencia del rotor. Obsérvese que esta última tensión es de doble frecuencia. La tensión en la fase c debe ser: Vc =

2 IW ( Lq − Ld ) Sen ( 2W t + 120° ) − W M i r Sen ( W t + 120° ) 3

El signo menos para la tensión inducida por el flujo del rotor ( −Wm i r Sen ( W t + 120° ) ) , se debe, precisamente, a la convención como carga. La comprobación en este ejemplo, es excelente para el laboratorio de esta transformación. La tensión en los devanados abiertos se observará con un osciloscopio, cuidando de que no sea excesiva, mediante el control de i r , la corriente de excitación del rotor, e I la C.D. inyectada en la fase a.

404

MÁQUINAS DE INDUCCIÓN

12. EL CIRCUITO MAGNÉTICO 12.1 EL CIRCUITO MAGNÉTICO Y EL CIRCUITO ELÉCTRICO En la Figura 12.1 se muestra un circuito eléctrico, en éste, una fuente de voltaje ó fuente de fuerza electromotriz, (f.e.m.) alimenta mediante unos buenos conductores una resistencia. EI circuito se dibujó en forma poco convencional, pues los conductores y resistencia se muestran sólidos; además, se incluye una corriente que circula por el aire y que llamaremos corriente de dispersión. Esta corriente siempre existe, ya que no se encuentra un aislante perfecto, sin embargo, normalmente es tan pequeña que no se considera casi nunca (excepto en circuitos de muy alta tensión). Figura 12.1. Circuito eléctrico

I principal

V

I dispersión

R

EI anterior circuito eléctrico es completamente análogo al circuito magnético mostrado en la Figura 12.2, en éste:

407

Figura 12.2. Circuito magnético

φ principal

φ dispersión

Entrehierro

→ La corriente principal representa al flujo principal, que es el flujo que sigue el recorrido medio del núcleo. → La fuente de tensión con la polaridad adecuada, representa un solenoide de N espiras por el cual circula una corriente; es decir, representa la fuerza magnetomotriz de ese solenoide. La polaridad de esta f.m.m. se encuentra aplicando la regla de la mano derecha así: "Tomando el solenoide con la mano derecha, de modo que los dedos (del índice al meñique) sigan la dirección de la corriente, el pulgar señalará la dirección que tomará el flujo producido". → Los conductores representan el material magnético, la resistencia un entrehierro y la corriente de dispersión el flujo de dispersión que circula también por el aire. → La resistencia representa el entrehierro. → La corriente de dispersión representa al flujo de dispersión que circula, también como ella, por el aire.

408

12.2 EL CIRCUITO ELÉCTRICO ANÁLOGO DEL CIRCUITO MAGNÉTICO En la Figura 12.3a y b se muestran algunas de las características más importantes del circuito eléctrico y magnético. Seguimos tomando como ejemplo los circuitos anteriores. Figura 12.3a. Circuito eléctrico con valores numéricos

I principal

0.005V

1A

V

R

I dispersión

100V

R de dispersión

99.99V

0.005V

Figura 12.3b. Circuito magnético con valores numéricos

φ principal

5Amp - Vuelta 1Weber

φ dispersión

Entrehierro 100 Amp - Vuelta

Relde dispersión

90 Amp -Vuelta

5Amp - Vuelta

El circuito mostrado también trata de ilustrar los valores relativos de las cantidades del circuito magnético comparadas con las del circuito eléctrico: •

Los conductores magnéticos no son tan buenos “conductores magnéticos” como los eléctricos, en ellos se presenta generalmente mayor caída de potencial magnético, que la caída de potencial eléctrico en los conductores eléctricos.

409

•

El flujo de dispersión es mucho mayor en comparación al flujo principal, que la corriente de dispersión en comparación a la corriente principal.

Es importante saber interpretar un circuito magnético como un circuito eléctrico análogo, como se muestra en la Figura 12.3. En cuanto a las unidades que usaremos para las cantidades asociadas al circuito magnético serán: → f.m.m. ó potencial magnético: Amperios × vuelta . → Flujo magnético: Weber . → Reluctancia, ó resistencia al paso del flujo: Amperios × vuelta

Weber

.

12.3 ECUACIÓN DEL CIRCUITO MAGNÉTICO Para el circuito magnético se plantean las mismas ecuaciones que para el circuito eléctrico, teniendo en cuenta las analogías:

•

Fuente de Voltaje ( V ): Fuerza Magnetomotriz (f.m.m.).

•

Corriente ( i ): Flujo ( φ ).

•

Resistencia ( R ): Reluctancia ( Rel ).

•

Conductividad ( σ ): Permeabilidad ( µ ).

•

Caída de voltaje ( v ): Caída de potencial magnético (f.m.m.).

Refiriéndonos a la Figura 12.4, donde se especifican las convenciones necesarias, la ecuación análoga a la ley de Ohm, para el flujo φ es: 410

Figura 12.4. Convenciones necesarias para ecuación análoga a la Ley de Ohm para el flujo

A

L1

Caída de f.m.m.

L2

φ

L1

φ=

Caída de Potencial Magnético (f.m.m.) Reluctancia

(12.1)

La reluctancia se calcula por la ecuación:

Reluctancia =

2L1 + L 2 Longitud = µ×A Permeabilidad × Area

(12.2)

Y además se cumplen las correspondientes leyes de Kirchoff: •

f.m.m. en la trayectoria cerrada = ∑ ( caidas de potencial magnético )

•

∑ ( flujos en un nodo ) = 0

No sobra caer en cuenta que estas relaciones están fundamentadas estrictamente en las leyes de Maxwell; pero esta fundamentación esta fuera de los límites de este texto.

411

12.4 FENÓMENOS DE SATURACIÓN E HISTÉRESIS Aunque se emplea la misma fórmula para calcular el flujo en materiales magnéticos y nomagnéticos: (ecuación 12.1) el comportamiento de esta relación presenta diferencias en estos dos tipos de materiales, como se muestra en la Figura 12.5. Algunas de estas diferencias son:

•

Para la misma f.m.m. (y las mismas dimensiones) se produce un flujo mucho mayor en el material magnético que en el no-magnético.

•

La relación entre el flujo y la f.m.m. en el material no-magnético es lineal en cambio en el magnético es no lineal por culpa de la saturación y la histéresis.

•

Cuando después de aumentar la f.m.m., y por tanto el flujo, se vuelve a disminuir dicha f.m.m., en el material no-magnético coinciden φ = f ( f.m.m.) ascendente y descendente. En cambio, en el material magnético, la característica ascendente es siempre inferior a la descendente, debido al fenómeno de la histéresis.

Figura 12.5. Comportamiento del flujo en materiales magnéticos y no magnéticos

φ

φ 2 = f ( f.m.m. 2 )

f.m.m.

f.m.m. 2

f.m.m.1

φ1 = f ( f.m.m.1 )

φ1

φ2

Todas estas diferencias se explican por constituir los átomos de los materiales magnéticos verdaderos solenoides, en los que el movimiento de los electrones alrededor del núcleo hace el papel de corriente eléctrica. Las f.m.m.s atómicas se orientan en presencia de un campo externo, reforzándolo extraordinariamente. Esto explica el mayor flujo que circula por los materiales magnéticos. Cuando la mayoría de las f.m.m.s atómicas se encuentran orientadas, el crecimiento del flujo al aumentar la f.m.m. externa, decrecerá, es decir, disminuye la rata de crecimiento, ya que no se verá reforzado por las nuevas f.m.m.s orientadas. Se dice entonces que el material esta saturado.

412

Estas f.m.m.s tienden a permanecer orientadas, no importa que disminuya la f.m.m. exterior que las orientó. Incluso, aún cuando la f.m.m. exterior vuelva a ser nula, permanece una orientación de dichas f.m.m.s atómicas, las que producen un flujo remanente. Esa tendencia a conservar la orientación es la causante del fenómeno de la histéresis. La variación cíclica de la f.m.m. aplicada a un material magnético da como resultado la relación φ = f ( f.m.m.) , que se muestra en la Figura 12.6, y es la famosa curva de histéresis.

Se puede comparar en la Figura 12.6 la relación φ = f ( f.m.m.) para un material magnético y para otro no-magnético.

Figura 12.6. Relación φ = f ( f.m.m.) para material magnético y no magnético

φ

f.m.m.

Las f.m.m.s atómicas en los materiales magnéticos tienen direcciones “preferidas” para orientarse. Estas direcciones se denominan direcciones de fácil magnetización y dependen de la estructura cristalina.

413

En los núcleos magnéticos convencionales, el material magnético está formado por muchos cristales orientados al azar, como se muestra en la Figura 12.7. Figura 12.7. Cristales orientados al azar en material magnético y curva de histéresis

f.m.m. exterior

φ

f.m.m.

Es evidente que las direcciones de fácil magnetización tienen una orientación promedia nula. Cuando se aplica una f.m.m. externa, se obliga a muchas f.m.m.s atómicas a orientarse en otra dirección diferente a la de fácil magnetización. Por lo tanto es necesario una f.m.m. externa mayor para orientarla. Pero, si el material magnético se somete a ciertos tratamientos mecánicos y térmicos, se logra que los cristales que componen el material orienten sus direcciones de fácil magnetización en una sola, como se muestra en la Figura 12.8. De ésta manera se logra un material magnético de grano orientado. Figura 12.8. Cristales orientados en una sola dirección y curva de histéresis φ

f.m.m. exterior

f.m.m.

414

En este caso, la f.m.m. externa para lograr la orientación de las f.m.m.s atómicas es mucho menor, como se aprecia en las curvas de histéresis correspondientes, mostradas en las Figuras 12.7 y 12.8. En estos materiales se presenta una curva de histéresis casi cuadrada.

415

13. EL TRASNFORMADOR MONOFÁSICO 13.1 EL TRANSFORMADOR MONOFÁSICO EN VACIO Un circuito magnético que acopla dos o más circuitos eléctricos es un transformador. Supongamos un transformador de varios devanados alimentado por uno solo de los devanados, mientras los otros permanecen desconectados (en vacío) como se muestra en la Figura 13.1. Figura 13.1. Transformador de varios devanados alimentado por uno solo

φp

io V

e

Np

φd

En estas condiciones, los devanados desconectados no proporcionan f.m.m. y no pueden influir sobre el flujo, por tanto no juegan ningún papel y es lo mismo que no existieran. Supongamos que la resistencia del devanado es despreciable, entonces solo existen dos tensiones en el devanado energizado: Vp , la tensión aplicada y e , la f.e.m. (fuerza electromotriz) inducida por el flujo. Las convenciones utilizadas nos llevan a la ecuación: 417

Voltaje aplicado + f.e.m. inducida = 0 ⇒ Vp + e = 0

Llamando φ p y φ d los flujos principal y de dispersión que ligan las espiras del devanado, y que son equivalentes a los flujos verdaderos (estos flujos verdaderos unas veces ligan todas las espiras, otras veces solo ligan una porción de ellas, pero se pueden representar por un flujo equivalente que liga todas las espiras), tendremos: e = −Np

e = −Np

d (φ total ) dt d (φ p ) dt

= −Np

− Np

d (φ p + φ d )

d (φ d ) dt

dt

= ep + ed

(13.1)

Es conveniente en este punto recordar la Ley de Lenz la cual nos puede ser útil para conocer el sentido de una tensión inducida, esta ley dice así: “El sentido de una corriente inducida es tal que se opone a la causa que la produce”. En transformadores, la causa de la corriente inducida es la variación del flujo que atraviesa un circuito fijo. La corriente crea su propio campo magnético, el cual, dentro del área limitada por ese circuito, es opuesto al campo inicial, si éste está aumentando; pero tiene el mismo sentido que el campo inicial, si este último está disminuyendo. Así, es la variación del flujo (y no al flujo mismo), a lo que se opone la corriente inducida. Lo anterior también se puede expresar así: “Toda tensión inducida trata de hacer circular una corriente que se oponga al cambio del flujo”. Al ser posible diferenciar las dos tensiones inducidas por los dos flujos y teniendo en cuenta que el flujo de dispersión no afecta a los otros devanados (no liga con ellos) es lícito sacar del núcleo magnético el flujo de dispersión y asumirlo como producido por una bobina de N p espiras exterior al núcleo. Esa bobina debe tener una reluctancia constante, correspondiente a un núcleo no magnético principalmente, siendo la característica φ d = f ( Ni ) lineal, como corresponde a materiales no-magnéticos. El corto recorrido del flujo de dispersión en el material magnético no alcanza a modificar la linealidad del circuito 418

magnético total de dispersión. Las bobinas de núcleo magnético lineal se caracterizan mejor por el parámetro inductancia. Definiremos entonces como inductancia de dispersión: Ld =

Np ×φ d i

=

Np i

×

Np × i Rel disp

⇒ Ld =

Np2 Rel disp

El modelo del transformador quedará entonces como se muestra en la Figura 13.13. Figura 13.2. Modelo del transformador

φp

φd io

Vp

ed

ep

Np

Ahora, para la mayoría de los propósitos prácticos, φ d
φ p , de modo que e d
e p y se puede escribir, sin introducir errores apreciables: Vp + e p = 0

Estamos asumiendo que la caída de tensión en la resistencia del devanado es también despreciable. Con las suposiciones anteriores estamos en capacidad de empezar a estudiar las relaciones entre las cantidades como Vp , voltaje aplicado, e p , tensión inducida, φ p , flujo por el 419

núcleo magnético, i 0 , corriente en vacío, p h , pérdidas por histéresis. Estas pérdidas por histéresis son la energía gastada en la orientación de las: f.m.m.s atómicas, y comenzaremos el análisis por ellas. Si estamos despreciando la resistencia de los devanados y un fenómeno conocido como corrientes parásitas, la única potencia que consume el devanado es la necesaria para orientar las f.m.m.s atómicas y la energía que se almacena en el campo magnético, de donde: p h = Vp i 0 = −e p i 0 = N p

dφ p dt

i0 = N p i0

dφ p dt

El diferencial de energía consumida en un d t , es: d Wh = p h d t = N p i 0 dφ p

En la Figura 13.3a vemos que el d Wh corresponde al diferencial de área entre el eje φ p y la curva de histéresis. Si calculamos la energía que se consume en pérdidas por histéresis por un ciclo completo de dicha curva, encontramos que la energía almacenada en el campo magnético vuelve a la fuente y solo queda el área neta en el ciclo que son las pérdidas por histéresis. Figura 13.3. Energía consumida por histéresis φp

φp

dφ p N p io

dA = N p i o dφ p N p io

Wh por ciclo

( b) (a ) 420

Entonces: Wh por ciclo de histéresis = Área encerrada por el ciclo (Área rayada en la Figura 13.3b).

Mediciones experimentales han dado como resultado la siguiente expresión para la potencia de pérdidas por histéresis: ph =

Wh = Wh f T

T : período, f : frecuencia

p h = K h × Volumen del núcleo × Bx máx × f

Con el exponente x variando: 1.6 < x < 2.1 , y la constante K h dependiente del material del núcleo magnético. T es el período de la onda de tensión aplicada, siendo, por consiguiente, su inverso ( T = 1 ) la frecuencia de la misma tensión. Bmáx es la densidad máxima de f flujo en el núcleo. Podemos alimentar el devanado con una fuente de tensión o con una fuente de corriente, lo cual nos indica que las variables independientes son el voltaje aplicado o la corriente en vacío. Resulta interesante estudiar como se comportan las cantidades estudiadas cuando las variables independientes son funciones senoidales. 13.1.1 Voltaje aplicado senoidal. Asumamos que el voltaje aplicado está dado por:

V p = Vp Sen (W t )

Donde W = 2 π f es la frecuencia angular.

De donde: e p = − Vp Sen (W t )

421

−Np

dφ p dt

= − Vp Sen (W t ) → d φ p =

Vp Np

Sen (W t ) d t

Integrando y despreciando los transitorios:

φp = −

Vp Np W

Cos (W t ) =

Vp Np

Sen (W t − 90° )

En la Figura 13.4 se ilustran las ondas correspondientes a Vp , ep y φ p para este caso.

Figura 13.4. Formas de ondas de voltajes y flujo

θ

Vp

Vp

ep

θ

Wt

φp

ep φp

Se dice que el φ p está atrasado 90° respecto a Vp y adelantado 90° respecto a e p . En el diagrama fasorial (Figura 13.4), en el cual el eje real se dibujó vertical, se ilustra perfectamente lo anterior. Nos falta encontrar la forma de onda de i 0 y sus relaciones con las anteriores. Para dar mayor claridad al análisis de i 0 lo haremos para diversos núcleos.

422

13.1.1.1 Núcleo lineal sin saturación ni histéresis. En la Figura 13.5 se ilustra la correspondiente relación φ p = f ( N p i 0 ) , y la forma como se proyecta punto a punto φ p

senoidal para obtener la forma de onda i 0 .

Se observa que i 0 es senoidal y queda en fase con φ p , tal como lo muestran los gráficos y el diagrama fasorial de la Figura 13.5. En cambio, con respecto a Vp , el voltaje aplicado, i 0 está atrasada 90° y no consume potencia activa de la fuente. Figura 13.5. Diagrama fasorial y gráfica de corriente y flujo

φp

φp

i o t1

t1

t

t2

io

t2

Vp

φp io

φp io

Wt

ep

Vp

Este sería el caso de una bobina con núcleo de material no-magnético. La corriente i o es perfectamente senoidal como el voltaje.

423

13.1.1.2 Núcleo con saturación pero sin histéresis. El proceso para hallar la forma de onda de i 0 es el mismo ya visto: se proyecta punto a punto φ p en la curva de histéresis. Ahora se consigue una onda no senoidal, más bien “picuda”.

La onda de corriente i 0 se somete al análisis de Fourier, dando una serie de armónicos impares (los pares no aparecen por razones de simetría). Así, se puede escribir: i 0 = If Sen (W t ) − I 3 Sen ( 3W t ) + I 5 Sen ( 5W t ) − I 7 Sen ( 7W t )…

Sin embargo, como estos armónicos tienen una amplitud decreciente con la frecuencia (Figura 13.6), no es necesario considerar sino los primeros. Aquí se tomarán en cuenta tan solo la fundamental, I f y el tercer armónico, I 3 . Así escribiremos, sin introducir demasiado error: i 0 = If Sen (W t ) − I 3 Sen ( 3W t )

Figura 13.6. Formas de ondas de armónicos

φp

io

t

t1

io

t1

t

424

φp W

io

if

Vp

φp

if i3

W

Vp

5W

i5

ep 5W

En cuanto a las magnitudes relativas de I 3 e I f , dependen del grado de saturación que alcance el material magnético, o, lo que es lo mismo, de la densidad máxima del flujo, Bmáx . Para los materiales magnéticos empleados en transformadores de potencia, la Figura 13.7 nos da un valor promedio de la relación entre estas magnitudes. También, a modo de I comparación, se incluyó en esta Figura la relación entre las magnitudes 5 aunque If despreciamos los efectos de este quinto armónico. Figura 13.7. Gráfica de valor promedio de la relación entre magnitudes de corrientes If I3

I3 If

I5 If

(

Bm Weber

425

m2

)

Para propósitos estimativos prácticos tomaremos la relación entre I f e I 3 como 3 a 1. Es decir, asumiremos como dato: I 3 ≅

If

3

.

13.1.1.3 Núcleo con saturación e histéresis. El proceso es el mismo de los casos anteriores: proyectamos punto a punto, la onda senoidal del flujo a través de la curva de histéresis.

En este caso es necesario considerar cuando el flujo está creciendo y cuando está decreciendo (Figura 13.8). I f e I 3 son sustancialmente las mismas del caso anterior (siguen existiendo I 5 , I 7 , etc., pero no es necesario ni conveniente incluirlas). Aparece ahora una nueva componente de i 0 : I p h , de frecuencia fundamental y en fase con Vp , el voltaje aplicado. Evidentemente

tenemos en esta corriente la responsable de las pérdidas por histéresis. La forma de onda de i 0 ya no es simétrica, como ocurría en los dos casos anteriores, en su parte ascendente y en su parte descendente. Figura 13.8. Proyección de onda senoidal del flujo a través de la curva de histéresis y formas de onda de corrientes

φp

φp

t

N p io

N p io

t

426

Vp I ph 3W

φp

I3 If

ep

13.1.2 Corriente senoidal. Supongamos que en lugar de una tensión senoidal aplicamos una corriente senoidal por medio de una fuente de corriente. En este caso solo consideramos el núcleo con saturación e histéresis, ya que los otros casos no tienen importancia alguna. EI método será el mismo: la proyección, punto a punto, de la onda senoidal de N p i 0 (recuérdese que N p es constante), a través de la curva de histéresis

(Figura 13.9). La onda de φ p obtenida no es senoidal, es una onda “achatada” en su parte superior. Figura 13.9. Proyección de la onda N p i 0 y formas de ondas de voltajes, corrientes y flujos

φp

φp

N p i o t1

t1

N p io

t2

t

427

t2

t

Vf

φf

φf Vf

φ 3 V3

V3 i ph

φ3

Observamos que la onda no senoidal puede descomponerse en una fundamental y una serie de armónicos impares (de los cuales solo consideraremos el más importante: el tercero). El flujo ahora es aplanado en su parte máxima; aplanamiento que puede explicar el tercer armónico, como lo muestra la Figura 13.9. Encontrada la forma del flujo, nos interesa conocer la forma de la tensión en bornes del devanado. Nos basamos en que la tensión aplicada correspondiente a la inducida por un flujo senoidal está adelantada 90° respecto a este flujo. La Figura 13.10 muestra como encontrar por separado la tensión correspondiente a φ f y la correspondiente φ 3 , y luego como se suman para hallar la tensión neta. El mismo proceso, pero analítico, sería: Vp = Np

dφ p dt

Como:

φ p = φ f Sen (W t ) + φ 3 Sen ( 3W t ) Deducimos: V p = N p φ f W Cos (W t ) + N p φ 3 3W Cos ( 3W t )

Onda que corresponde a la encontrada en forma gráfica. 428

Figura 13.10. Formas de onda de flujos y voltajes

Vf

φf φ3 V3 t

La onda de tensión es ahora puntiaguda, y como el tercer armónico de tensión puede llegar V hasta el 30% de la fundamental, 3 = 0.3 , el resultado es una sobretensión respecto a la Vf tensión fundamental. Para representar esta tensión en un diagrama fasorial, resulta interesante y útil el esquema mostrado en el Figura 13.11. El fasor del tercer armónico, que gira a una velocidad angular 3W , se hace girar en el extremo de Vf , que gira a la velocidad W ; el fasor resultante es la suma de ambos fasores. Podemos resumir lo anterior respecto a las formas de onda en la Figura 13.12. Figura 13.11. Esquema y diagrama fasorial de armónicos de voltajes V3 3W

V3 Cos 3 (Wt )

V

V Vf Cos (Wt )

429

Vf

W

Figura 13.12. Formas de ondas de flujos, corrientes y voltajes

φp N p io

φp

Vp = −ep

Vp

φp

io

i3

ip h

φp φf

φp

io

Vp Vf V3

φ3

Más concisamente: Cuando la corriente tiene tercer armónico el flujo es senoidal y viceversa. 13.1.3 Corriente i 0 senoidal equivalente. EI caso más frecuente es el del voltaje senoidal y la corriente no senoidal. Sin embargo como trabajar con armónicos es sumamente difícil, se prefiere trabajar con una senoide equivalente que debe: •

Tener el mismo valor eficaz de la corriente verdadera:

2 2 2 2 I0 =  + ( i ph r.m.s ) + ( i f r.m.s ) + ( i 3 r.m.s ) + ( i 5 r.m.s ) + ...  

•

1

2

Tener una componente activa que explique las pérdidas en el hierro.

13.2 CIRCUITO EQUIVALENTE COMPLETO Y DIAGRAMA FASORIAL EN VACÍO ¿Qué ocurre si consideramos la resistencia y la inductancia de dispersión del devanado?

430

En primer lugar, el transformador se debe representar por el circuito mostrado en la Figura 13.13. Figura 13.13. Circuito equivalente del transformador

Lp

io R p

Vp

Vp ' e p

Np

es

Ns

Nt

et

En realidad la resistencia del devanado está distribuida en toda la longitud del conductor, sin embargo, para todos los propósitos prácticos, se puede representar su efecto por una resistencia concentrada en serie con el devanado. Para la solución exacta de este circuito es necesario resolver el sistema de ecuaciones no lineales: •

Vp + e p = i0 R p + Lp

•

ep = −Np

•

φ p = f ( i0 )

d i0 dt

dφ p dt

Las únicas formas de solución de estas ecuaciones son: 431

→

Paso a paso, por integración numérica.

→

Reemplazando la curva de histéresis por una función analítica aproximada.

La solución da resultados distintos a los que hemos visto anteriormente, pues en este caso tanto la corriente, como el flujo φ p y la tensión inducida son ondas no senoidales. Sin embargo, sólo en transformadores de pésimo diseño o en transformadores alimentados por líneas demasiado largas y de mucha impedancia (en este caso la impedancia de la línea se suma a la del primario), llevados hasta la saturación, resultaría necesario resolver esas ecuaciones. En realidad, cuando un transformador se conecta a través de mucha impedancia a una fuente senoidal, esta impedancia tiende a “tumbar” el voltaje y el transformador no se satura. Se pueden entonces aceptar los resultados obtenidos asumiendo V p + e p = 0 aún para los circuitos que incluyen la resistencia y la inductancia de dispersión. Figura 13.14. Diagrama fasorial del transformador Vp

jW L p Io

Io R p

Io I ph Im

φp

Et Es Ep

432

Para trazar el diagrama fasorial emplearemos la corriente i 0 senoidal equivalente. Además introducimos la cantidad Vp ' , que viene a ser la tensión aplicada directamente al devanado después de deducir las caídas en la resistencia y la inductancia de dispersión. Utilizamos para representar los fasores correspondientes letras mayúsculas, así: Vp para Vp , Vp ' para Vp ' , φ p para φ p , etc.

Tomamos como referencia el flujo. La tensión inducida, e p , está atrasada 90° respecto al flujo. Vp ' queda a 180° de ep . La corriente en vacío, i 0 , se divide en sus dos componentes: la corriente de pérdidas en el hierro, i ph y la corriente magnetizante, i m . Evidentemente el fasor i ph debe quedar en fase con Vp ' , y el fasor I m con el fasor del flujo φ p , La caída de tensión en la resistencia queda en fase con la corriente, y la caída de tensión en la reactancia correspondiente a la inductancia de dispersión queda adelantada 90° a dicha corriente. Por último, para encontrar el fasor de la tensión aplicada, Vp , utilizamos la ecuación de malla: Vp = i 0 R p + j L p W i 0 + Vp '

Donde: W = 2 π f , siendo f , la frecuencia aplicada.

Para completar el diagrama fasorial (Figura 13.14) hemos incluido dos fasores que representan las tensiones inducidas en otros devanados de N s y N t espiras (se asume N p > Ns > N t ).

Evidentemente: e s = − N s

Y como: e p = − N p

dφ p dt

dφ p

e t = −Nt

dt

dφ p dt

⇒ Tendremos:

ep es

=

Np

ep

Ns

et

433

=

Np Nt

Obsérvese que e p y eS están en fase, cosa lógica si tenemos en cuenta que asumimos los dos devanados, N p y N s , arrollados en el mismo sentido. En cambio, como N t está arrollado en sentido contrario, es necesario cambiar la convención de polaridad para este devanado. Para facilitar los análisis de polaridad, se coloca un punto en los terminales que tienen la misma polaridad instantánea. EI significado de misma polaridad instantánea se ilustra en la Figura 13.15. Figura 13.15. Devanados con puntos en los terminales con la misma polaridad y formas de onda de tensiones y flujo

ep

φp

ep es

es

t

et

et

Los cocientes

Np

Ns

y

Np

Nt

se denominan relaciones de espiras. Los cocientes

Vp

Vp Es

y

se denominan relaciones de transformación en vacío, R. T. vacío. Veamos como se Et relacionan: R. T. vacío =

Vp Es

=

i 0 R p + j L p i 0 + Vp ' Es

Si se puede aceptar que: i 0 R p + jW L p i 0 We .

631

El rotor gira a mayor velocidad que el flujo φ e . Esto se conseguirá aumentando la velocidad del motor auxiliar ya mencionado. Al averiguar como es la velocidad de φ e respecto al rotor, encontramos que es Wr − We y en sentido contrario a las de We y Wr (Figura 20.8). En efecto, como el rotor gira más rápido que el flujo, este viaja hacia atrás mirado desde el rotor. Figura 20.8. Tensión, corriente, flujos, velocidades y torque del estator y del rotor

Wr > We

We − Wr

φr

φe

T

Ir E

Pero resulta que la tensión inducida por un flujo siempre se atrasa 200° respecto a él, de modo que ahora E aparece en sentido contrario, como adelantado a φ e . Al encontrar el sentido del torque, observamos que es contrario a Wr , como si la frenara; precisamente para mantener el movimiento el motor auxiliar debe entregar potencia mecánica. La máquina se comporta como generador. El análisis del circuito equivalente, el cual se muestra en la Figura 20.9, debe llegar al mismo resultado. Figura 20.9. Circuito equivalente con S < 0 R e + R r'

Ve

Ro

j ( X e + X r ')

Pmec 3

R r ' (1 + S ) R r ' (1 − S) = S −S S< 0

j Xo

S=− S

632

Como S < 0 , entonces: S = − S

Con lo que: R r ' (1 − S) S

=

R r ' (1 + S )

S< 0

−S

1 , entonces Wr < 0 . Pero, una velocidad negativa se interpreta como una velocidad en sentido contrario al asumido. Cuando se encuentra la velocidad de φ e respecto al rotor (Figura 20.10), obtenemos Wr + We y en el

sentido de We . Figura 20.10. Tensión, corriente, flujos, velocidades y torque del estator y del rotor

Wr

φe

E

Ir

T

φr We

Wr verdadera velocidad We + Wr = Velocidad de φ e respecto al rotor

E está atrasado 200° respecto a φ e ; I r un poco más atrasada; y φ r en fase con I r . El torque resulta en el sentido contrario al movimiento del rotor, frenándolo. La máquina trabaja también como un generador. Pero un generador muy especial, como se desprende del circuito equivalente, el cual se muestra en la Figura 20.11.

633

Figura 20.11. Circuito equivalente con S > 1

Re + R r'

Ve

Ro

j ( X e + X r ') R r ' (1 − S ) R' = r − R r' S S S>1

j Xo

Pmec 3 Se tiene: R r ' (1 − S ) R' = r − R r' S S S >1

Resulta una resistencia negativa pero siempre menor, en valor absoluto, que R r ' . La interpretación es: la resistencia si genera potencia eléctrica, pero ésta siempre es menor que las pérdidas en el cobre del rotor. Así la máquina en realidad consume potencia eléctrica por el estator y consume potencia mecánica por el eje del rotor. Por lo anterior este modo de funcionamiento se conoce como frenado y no como generador. 20.2 DIAGRAMA CIRCULAR PARA LA MÁQUINA DE INDUCCIÓN Tiene el mismo significado que el diagrama de potencia para la máquina sincrónica. Se empieza su estudio con el circuito equivalente y el diagrama fasorial (Figura 20.12).

Figura 20.12a. Circuito equivalente de la máquina

R e + R r'

Ie Io Ve

Ro

j ( X e + X r ')

Ie ' R r ' (1 − S) S

j Xo

634

Figura 20.12b. Diagrama fasorial del circuito equivalente

Ve

Ve

φo

j Ie ' ( X e + X r ')

φ R '  Ie '  R e + r  S  

Io

a

Ie '

Primero, se observa como en realidad son dos circuitos en paralelo que consumen Io e Ie ' respectivamente, como se ilustra en la Figura 20.12a. Sus diagramas fasoriales, tomando Ve como referencia se muestran en las Figuras 20.12b y 20.12c.

Io es constante, pero Ie ' depende de S y por lo tanto del funcionamiento. Sin embargo, como j Ie ' ( R e + R r ') y j Ie ' ( X e + X r ') forman con Ve un triángulo rectángulo, resulta que el lugar geométrico del punto a es el arco capaz de un ángulo de 200° subtendido por Ve .

El diagrama fasorial completo será obtenido sumando Io e Ie ', como se ilustra en la Figura 20.13. Figura 20.13. Diagrama fasorial completo





 Ie = Io + Ie ' Ve Ve

Ie 'R

Ie 'X

Io Ie 'X

Ie 'R

φe Ie Ie '

635

Para dibujar ahora el diagrama de potencias, emplearemos el mismo sistema de ejes empleado con la máquina sincrónica, donde se representan las potencias suministradas por la máquina (Figura 20.14a). Figura 20.14a. Zonas de potencia en gráfica con ejes de potencia

P

Q

Figura 20.14b. Potencias del circuito shunt en los ejes negativos

P

IoVe Sen φo = Qo

IoVe

φo

IoVe Cos φo = Po

Q

Por lo anterior las potencias del circuito shunt, que son consumidas, quedan en los ejes negativos, como se muestra en la Figura 20.14b.

Para el circuito serie, basta multiplicar el diagrama por 20.14c). 636

Ve , donde X = X e + X r ' (Figura X

Obsérvese como:

P = Ve Ie ' Cos (φ ) y Q = Ve Ie ' Sen (φ ) , son las proyecciones del fasor Ve Ie ' sobre los ejes.

Figura 20.14c. Diagrama de potencias multiplicado por

Ve X

P

Ve

2

X

φ

Ve Ie'

Q

Ie' ( R e + R r' ) Ve X Figura 20.14d. Diagrama fasorial de potencia completo

P

Q

Qo

Po Qo

Q

El diagrama fasorial de potencia completo se obtiene sumando las potencias del circuito shunt y del circuito serie, como se ilustra en la Figura 20.14d. El círculo punteado muestra el lugar geométrico del funcionamiento, es decir, todas las posibilidades de la máquina cuando se alimenta a voltaje constante y a frecuencia constante. 637

20.3 COMPARACIÓN CON LA MÁQUINA SINCRÓNICA Mientras la máquina sincrónica puede trabajar como motor inductivo o capacitivo y como generador inductivo y capacitivo; es decir, puede producir o consumir P y Q en todas las combinaciones, la máquina de inducción está restringida a funcionar como motor inductivo o como generador inductivo. La máquina de inducción solo puede consumir potencia reactiva (ver Figura 20.15).

Figura 20.15. Máquina de inducción como motor inductivo y como generador inductivo

P EVe

P Ve Xo

Ve Ie

Xs Ve Xs

2

j Xs E

Q Ve Xs

Re = 0 Ie

Ve R o

Ve

j Xo

Pmec 3

Ve

2

R e + R r'

2

2

Q

Ro

jX

R r ' (1 − S) S

Pmec 3

20.4 EFECTOS DEL CAMBIO DE VOLTAJE Todas las cantidades que definen el diagrama circular dependen del voltaje al cuadrado: 2

2

Ve V V , e , e Ro Xo X

2

Cuando se aumenta el voltaje aplicado, todo el diagrama crece en la misma proporción, tal como se ilustra en la Figura 20.16, al pasar de Ve 1 a Ve 2 .

638

Figura 20.16. Crecimiento del diagrama por aumento del voltaje aplicado

Ve 2

P

Ve 1

Q

20.5 EFECTOS DEL CAMBIO DE FRECUENCIA Cuando se cambia la frecuencia, cambian X y X o . Ahora, como las pérdidas en el núcleo también aumentan cuando aumenta la frecuencia, resulta que R o depende de la frecuencia. Todo el diagrama cambia pero con algunas diferencias.

Si Ve

aumenta

la

Ve

frecuencia…

2

2

(V ) = e

Xo

( 2π f Lo )

disminuye… pero

Ve

2

2

(V ) = e

X

( 2π f L )

disminuye…

2

Ro

aumenta, pues se incrementan las

pérdidas en el núcleo. El diagrama de la Figura 20.17 trata de ilustrar como cambian las condiciones de funcionamiento cuando la frecuencia pasa de f1 a f 2 , con f1 < f 2 . Figura 20.17. Cambio en condiciones de funcionamiento con cambio de frecuencia

P

f1

Q

f2 639

En general se podría afirmar que este cambio de frecuencia es algo ventajoso en funcionamiento como motor y muy perjudicial en el funcionamiento como generador. Cuando se cambian simultáneamente voltaje y frecuencia, en el mismo sentido, los efectos sobre el diagrama circular tienden a cancelarse (excepto las pérdidas en el hierro, en las cuales los efectos se suman). En el control de velocidad por cambio en la frecuencia se emplea positivamente este hecho, pues cuando se cambia la frecuencia también se cambia el voltaje. 20.6 REPRESENTACIÓN DE LAS PÉRDIDAS EN EL DIAGRAMA CIRCULAR El diagrama fasorial puede llevarse a una forma que constituye una fuente enorme de información sobre el funcionamiento de la máquina de inducción. Veremos como.

Recordando el origen del diagrama circular, de la Figura 20.18: Figura 20.18. Diagrama circular de la máquina

P

D A E R B'

α

Q

A'

B

R ' V  AB = Ie '  R e + r  e S  X 

A'B = Ve Ie '

V AA' = e X

640

2

Se tiene: R '  Ve Ie '  R e + r  S   AB X = tan ( α ) = A'B Ve Ie ' De donde: R r'    Re +  S  tan ( α ) =  X Pero: tan ( α ) =

AB' AB' = AA' Ve 2 X

Con lo que: R ' 2 Ve  R e + r  V AB S   AB' = e tan ( α ) = = 2 X A'B X 2

2

V  R ' (1 − S )  AB' = e 2  R e + R r ' + r  S X  

Hacemos entonces: AB' = AE + ER + RB'

Donde:

641

2

2

2

V V V R r ' (1 − S) AE = e R e , ER = e R r ' y RB' = e X S X X

Ahora, unimos A' con E , con R y con B' (Figura 20.19). Las rectas resultantes cortan una vertical en el punto de funcionamiento, en los puntos E' y R' . Figura 20.19. Diagrama circular con representación de perdidas

F A E R B'

D

C E' R'

A'

B

Tendremos: DB = Ve Ie Cos (φ e ) = P = Potencia total

V DC = e Ro

2

= Po = Pérdidas en el hierro

Ahora: CE' AE = CB AB'

De donde:

642

2

R ' V  Ie'  R e + r  e R e CB × AE S  X  CE' = = 2 AB' Ve  R r'   Re +  X  S  2

2

CE' = Ie ' R e

CE' representa entonces las pérdidas en el cobre del estator.

Como segmentos de oblicuas entre paralelas son proporcionales, se tiene: E'R' ER = CB AB'

De donde: E'R' =

CB × ER 2 = Ie ' R r ' AB'

Tendríamos las pérdidas en el cobre del rotor. Por último: R'B RB = CB AB'

De donde: R'B =

CB × RB' 2 = Ie ' R r ' (1 − S) AB'

Tendríamos la potencia mecánica representa por ese segmento.

643

Es necesario tener presente que los puntos E y R no dependen del estado de funcionamiento; las rectas A'E y A'R son constantes y sirven para todo el funcionamiento. En cambio B' si depende del funcionamiento, cambia cuando cambia S . Nos interesa precisamente saber como B' se relaciona con S . Tenemos: 2

EB' = ER + RB' =

2

2

Ve V R r ' (1 − S ) Ve R r ' R r' + e = X X S X S

Resulta que EB' depende de S en forma hiperbólica (Figura 20.20). Figura 20.20. Gráficas de EB' vs. S

EB'

EB'

−5 −4 −3 −2 −1

1

1 2 3 4 5

S

2

3 4

5

−1 −2 −3 −4 −5

S+ S−

Para utilizar en la práctica esta hipérbola, la dibujamos solo en dos cuadrantes. En esta forma se hacen coincidir los ejes S positivo y S negativo. El esquema mostrado en la Figura 20.21 resulta cuando se combina el diagrama circular con la hipérbola. Obsérvese que S = 1 y S = −1 coinciden, pero los valores correspondientes de EB' se deben buscar en las hipérbolas así: para S = +1 se encuentra B' en la hipérbola inferior, para S = −1 se encuentra B' en la hipérbola superior.

644

Figura 20.21. Combinación del diagrama circular con la hipérbola

P

D

F −3 −2

C E' R'

A 0.5

+1 E +3 + 2

R

Q A'

B B'

Por ejemplo, para encontrar el punto de funcionamiento para S = 0.5 se procede así: 1. Se localiza S = 0.5 en el eje S . 2. Se busca en la hipérbola inferior el valor de EB' correspondiente (en la inferior, pues S = +0.5 ). 3. Encontrando B' se une con A' , esta recta corta la circunferencia en B , este es el punto de funcionamiento. 4. En B se traza una vertical, se tendrá: DB = Potencia total por fase. DC = Pérdidas en el núcleo. CE' = Pérdidas en el cobre del estator.

645

E'R' = Pérdidas en el cobre del rotor.

R'B = Potencia mecánica.

Es fácil ver la cantidad de información que se obtiene. 20.7 EFICIENCIA EN EL DIAGRAMA CIRCULAR Definiremos: Eficiencia = η =

Potencia util Potencia total

Consideramos (Figura 20.22a):

η=

Potencia util R'B = Potencia total DB

Figura 20.22a. Diagrama circular combinado con la hipérbola

P

D E' R'

C

R B

646

Q A'

Figura 20.22b. Diagrama circular con prolongación de rectas

P

A''

D

Q

A'

R' R

B R''

T

B''

Figura 20.22c. Diagrama circular con las rectas necesarias para representar la eficiencia

D''

A''

D α'

R'''

R'

A'

B α R''

B''

T

La recta RR'A' es constante, no depende del funcionamiento y la podemos prolongar en los dos sentidos (Figura 20.22a). Cuando corte el eje Q denominaremos la intersección A'' , como se muestra en la Figura 20.22b. Con este punto y la prolongación por el otro extremo de RR'A' formamos el triángulo A''R''T (Figura 20.22b). La distancia A''T es escogida, por comodidad, tal que R''T no corte el círculo. Luego prolongamos A'B hasta B'' . B'' queda en la recta R''T . Se eleva una vertical en B'' hasta D'' (Figura 20.22c). Tendremos ya las rectas necesarias para representar la eficiencia: 647

η=

R'B R'''B'' tan ( α ) R''B'' R''B'' tan ( α ) R''B'' = = = = DB D''B'' A''T R''T tan ( α ) R''T

Si dividimos R''T en una escala conveniente (o á 100 por ejemplo):

Figura 20.22d. R''T dividida en una escala conveniente

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 R'' B'' T'' R''B'' nos dará directamente la eficiencia (46% en el ejemplo).

20.7.1 Rango como motor. El rango que corresponde al funcionamiento como motor ha sido resaltado en el diagrama de la Figura 20.23. Este rango se extiende desde S = 0 hasta S = 1.

Figura 20.23. Rango de funcionamiento de la máquina como motor

Ve

P

Ie 'R e j Ie 'X

Ie 'R r '

Ie ' Q

S =1

R r ' (1 − S ) S

Ie ' Ve

S=0

Io S =1

Ie Ie '

648

También se da en ésta figura el diagrama fasorial para el circuito serie y el diagrama fasorial completo. Se debe recordar que el triángulo del diagrama circular es semejante al triángulo del diagrama fasorial del circuito serie.

Como

R r ' (1 − S )

S

es positiva, la caída en esa resistencia se suma a las caídas en R o y R r ' .

20.7.2 Rango como generador. Cubre −α < S < 0 , éste se muestra en la Figura 20.24. En R ' (1 − S ) este rango r resulta negativa y la caída de tensión en esa resistencia se vuelve S una caída negativa, equivalente a un generador.

Esa caída negativa en

R r ' (1 − S )

S

hace el diagrama fasorial muy interesante (Figura

20.25). Obsérvese como las caídas en R e y R r ' son contrarias a la caída en

R r ' (1 − S )

S

.

Tómese en cuenta la semejanza entre los triángulos punteados. El diagrama fasorial completo muestra a Io en el mismo sentido de siempre, pero a Ie ' con una componente contraria a Ve , como corresponde a un generador. Figura 20.24. Rango de funcionamiento de la máquina como generador

S=0

649

Figura 20.25. Diagrama fasorial de rango de funcionamiento de la máquina como generador Ve

Io j Ie 'X

Ie 'R e Ie 'R r '

Ie '

Ve

R r ' (1 − S )

Ie

S

Ie' 20.7.3 Rango como frenado. Corresponde a +∞ > S > 1 , el cual se muestra en la Figura 20.26.

En este caso, aunque la caída en

R r ' (1 − S )

resulta negativa, no alcanza a compensar la S caída positiva en R e y R r ' (solo compensa parte de esa caída). El resultado es que el circuito de la máquina sigue siendo un circuito R-L simplemente. Figura 20.26. Rango de funcionamiento de la máquina como frenado

Ve j Ie 'X

I e 'R e I e 'R r '

Ie '

S = +∞

S = +∞

R r ' (1 − S) S

Ie'

S =1

Ve Io S =1

Ie

650

Ie '

20.8 ESQUEMAS DE REPARTICIÓN DE POTENCIA Nos resta estudiar la repartición de potencia en los diferentes modos de operación. Se tratará de cubrir todas las posibilidades. S=0

En la Figura 20.27 se muestra el diagrama circular y el esquema de repartición de potencia para S = 0 . En este caso solo existen las pérdidas en el núcleo. Tanto la potencia activa, P, como la reactiva, Q, las suministra el sistema de alimentación. Figura 20.27. Diagrama circular y el esquema de repartición de potencia para S = 0 P

Q

D

Q

P

B

Qo Qo

DB

0 < S ( R s + R r )  Rel d   

El efecto del flujo es mayor que la caída en las resistencias; la tensión crece con la corriente de carga.  N 'N  ( 2 )  r s Wmr = ( R s + R r )  Rel d   

Se compensa la tensión inducida con la caída en las resistencias.

 N 'N  ( 3 )  r s Wmr < ( R s + R r )  Rel d   

866

La caída en las resistencias es mayor que el incremento en la tensión inducida. La cuarta posibilidad correspondería al caso de que la tensión inducida fuera negativa.   N ' N Vr = Vexc + i   − r s    Rel d

   Wmr  − R s − R r    

Para tener una “visión física” de la característica, asumamos primero una R c carga = ∞ (abierto el circuito), en esta forma Vr = Vexc .

Luego, se considera que la R carga se hace disminuir lentamente, de modo que empiece a circular i , entonces se presentaran los comportamientos vistos. Obsérvese que para Vr , i > 0 (puntos a y b de corte con el eje i ) la resistencia de carga debe ser cero necesariamente. Nótese además, que las posibilidades ( 1 ), ( 2 ) y ( 3 ) dependen de la velocidad; es decir, a velocidades muy pequeñas la máquina no se “autoexcita” (aumenta su tensión por sobre el valor Vexc ), pero si se aumenta la velocidad pasa por el valor “crítico”:  Wmr N r ' Ns    = ( R s + R r ) ( 2 )  Rel d 

∴ Wmr =

( R s + R r ) Rel d N r ' Ns

Y llega la posibilidad ( 1 ), donde si hay autoexcitación. 24.6.2 Comportamiento paramétrico. Tomemos como variable independiente R c , la resistencia en la carga y veamos el comportamiento en el voltaje y la corriente en función de esta variable (Figura 24.28). Como:

867

  N ' N Vr = Vexc + i   r s    Rel d

   Wmr  − R s − R r    

Figura 24.28. Voltaje y corriente en función de la resistencia de carga

eφ s→r

Rs

Rr

Vexc

Vr i Y Vr = i r R c Tendremos:

i=

Vexc

  N 'N W  R c + R s + R r −  r s mr   Rel d

Vr =

Vr =

    

→ (Figura 24.29)

Vexc R c

  N 'N W  R c + R s + R r −  r s mr   Rel d

    

→ (Figura 24.30)

Vexc   N ' N   R s + R r − Wmr  r s     Rel d   1+  Rc

868

R carga

Figura 24.29. Corriente en función de la resistencia de carga

i

K>0

K=0

Rc

K ( R s + R r ) 

875

La pendiente es positiva y la tensión crece con la corriente de carga.

 N 'N W ( 2 ) +  r s mr  Rel d 

  = ( R s + R r ) 

La tensión se mantiene constante; la caída de tensión en las resistencias se compensa con la elevación de la tensión inducida.

 N 'N W ( 3 ) +  r s mr  Rel d 

  < ( R s + R r ) 

La pendiente es negativa y la tensión cae con la corriente.

 N 'N W ( 4 )  − r s mr  Rel d 

  − ( R s + R r ) 

Este es el caso de la conexión sustractiva; la tensión cae más rápidamente por el efecto desmagnetizante de la corriente en el devanado serie: Figura 24.36. Wmr e i e constantes

Vr

(N 'N W )i r

e

mr

e

Reld

i r = is

876

24.7.1 Funcionamiento como motor. La conexión es la mostrada en la Figura 24.37.

Figura 24.37. Máquina compuesta como motor F1

Rs

A1

ie

S1

Rr

Re

Ve

eφ e→r F2

Pmec

Las ecuaciones son: Vr = ( eφ →r ) + i r ( R s + R r )

 N 'W  eφ →r =  r mr  ( N e i e ± Ns is )  Reld  Y como: is = i r Y:

(

Pmec = eφ s →r

) (i )

Y, además: T=

Pmec Wmr

877

A2

ir S2

Vr

∴ T=

(e ) (i ) =  r

φ →r

Wmr

 N' ∴ T= r  Rel d 

N 'W  r mr  Wmr Rel d

  ( N e i e ± N s i r ) i r 

  ( N e i e ± N s i r ) i r 

Pero:  Vr − ( eφ →r )   ir =  (Rs + Rr )    N 'W   Vr −  r mr  ( N e i e ± Ns i r )     Rel d  = (Rs + Rr )

  N ' N i W   Vr −  r e e mr   Rel d     ∴ ir =    N 'N W    R s + R r +  ± r s mr   Rel d    

Reemplazando en la expresión del torque:  N N 'N i W   N 'N i W  Ns Vr − s r e e mr   Vr − r e e mr Rel d Rel d N'   T = r  N e ie ± Rel d  N 'N W     N 'N W  R s + R r +  ± r s mr    R s + R r +  ± r s mr    Rel d    Rel d   

T=

  N 'N W N r '  N e i e ( R s + R r ) + N e i e  ± r s mr  Rel d  

       

  N N 'N i W  ± Ns Vr −  s r e e mr Rel d  

  N 'N W Rel d  R s + R r +  ± r s mr  Rel d  

878

    

2

  N 'N i W    Vr − r e e mr Rel d   

  

 N ' N i   V Rel d  − Wmr  N r '  N e i e ( R s + R r ) ± Ns Vr   ± r e e   r   Rel d   N r 'N e i e   T= 2 2  N 'N   ( R + R r ) Rel d  Rel d  r s   s ± Wmr   Rel d  N r 'N s    

 V Rel d  N r ' 2 Ne ie  N e i e ( R s + R r ) ± Ns Vr   r − Wmr  Rel d  N r 'N e i e 

T=

 N r ' 2 N s 2 Rel d  ( R s + R r ) Rel d ± Wmr   2 Rel d N r 'Ns  

2

 Ne ie   Vr Rel d   N ( R s + R r ) ± Vr   N 'N i − Wmr  N i   r e e  T= e e  s 2  ( R s + R r ) Rel d   Ns  ± Wmr   N r 'Ns   Llamaremos: T arranque conexión aditiva (a+ ) = T + evaluando en Wmr = 0

T +W

mr = 0

 Ne ie   Vr Rel d   N ( R s + R r ) + Vr   N 'N i  N i   r e e  = e e  s 2  ( R s + R r ) Rel d   Ns    N r 'N s  

 N e i e   2 2   ( R s + R r ) + Vr  ( Vr Rel d ) ( N e i e ) ( N r ' Ns )  Ns   ∴ T (a +) =  2  Rel d ( R s + R r )2  ( N r ' N e i e )( N s )    N e i e     ( R s + R r ) + Vr  ( Vr N r ' N s )  Ns   ∴ T (a +) =   Rel d ( R s + R r ) 2   

879

T arranque conexión sustractiva (a −) = T − evaluandoen Wmr = 0

T −W

mr = 0

 N e i e     ( R s + R r ) − Vr  ( Vr N r ' N s )  Ns   = ( R s + R r ) Rel d 2 

Y denominando: α=

( V Rel ) r

d

( Nr ' Ne ie )

y

( R s + R r ) Rel d  β=

( N r ' Ns )

Tendremos:  β 2 T ( a + )   ( α − Wmr )  T (+) =   2 α    ( β + Wmr )   β 2 T ( a − )   ( α − Wmr )  T (−) =   2 α    ( β − Wmr )  Comparando α y β , veamos que:  Vr Rel d    α  N r ' N e ie  = β     ( R s + R r ) Rel d     ( Nr ' Ns ) 

=

( i arranque Ns ) ( Vr Ns ) = ( R s + R r ) N e i e  ( Ne ie )

Ya que: i arranque =

Vr (Rr + Rs )

880

Como no tenemos un criterio para determinar si α > β ó α < β , tendremos que realizar las dos posibilidades gráficas de T ( + ) y T ( − ) .

Comencemos con T ( + ) :  β 2 T ( a + )   ( α − Wmr )  T (+) =   2 α    ( β + Wmr ) 

Wmr → 0 → T ( + ) → T ( a + ) 2

Wmr  β y T ( + )

( −T ( a + ) β ) = ( α Wmr )

[ hipérbola ]

Wmr = α → T ( + ) = 0 d T (+)  T (a +) β 2   ( α − Wmr )( −2 )  −1 = +   2 3 dWmr  α ( β + Wmr )    ( β + Wmr ) =0

∴ − β − Wmr − 2 ( α − Wmr ) = 0 − β − 2α + Wmr = 0 ∴ Wmr = 2α + β Por lo tanto: T ( + ) máximo

 ( T ( a + ) β 2 ) ( α − 2α − β )   = 2 α ( β + 2α + β )   =

β 2 T ( a + )( −α − β ) α ( 2 β + 2α )

2

881

 − β 2 T ( a + )( α + β )  =  4α ( β + α )2   

=

−β 2 T ( a + )  4α ( β + α ) 

La gráfica quedaría: Figura 24.38a. Torque arranque conexión aditiva, caso β > α

Caso β > α T (a +)

Wm r

Wmr = α

W m r = β W m r = 2α + β

Figura 24.38b. Torque arranque conexión aditiva, caso β < α

Caso β < α T (a +)

Wmr = β

W m r = α W m r = 2α + β 882

Obsérvese que de una velocidad en adelante, ( Wmr = α ) el torque se hace negativo. Esto significa que debemos impulsar la máquina con algún otro medio para llevarla a ese rango de funcionamiento.

Veamos ahora T ( − ) :  T ( a − ) β 2   ( α − Wmr )  T (−) =   2 α    ( β − Wmr ) 

Wmr → 0 → T ( − ) = T ( a − ) Wmr  β y α → T ( − ) =

− ( −T ( a − ) β 2 )

( α Wmr )

[ hipérbola ]

(α − β )  Wmr → β → T ( − ) → ∞ ×    α−β 

Para α > β este torque tiende a +∞ ; para α < β , tiende a −∞ . Ahora:

d T (−)  T ( a −) β 2   ( α − Wmr )( −2 )( −1)  −1 = +   2 3 dWmr  α ( β − Wmr )   ( β − Wmr )  =0

− β + Wmr + 2 ( α − Wmr ) = 0 − β + 2α − Wmr = 0 ∴ Wmr = 2α − β Reemplazando en la expresión del torque obtenemos el torque máximo: 883

T ( − )máxima

 ( T ( a − ) β 2 ) ( α − 2α + β )   = 2 α ( β − 2α + β )   T (a −) β 2 ) ( β − α) ( = 2 4α ( β − α ) 2

( −T ( a − ) β ) = 4α ( α + β )

La gráfica quedaría para β > α : Figura 24.39a. Torque arranque conexión sustractiva, caso β > α

T (a −)

β >α

Wm r

W mr = 2α − β

W mr = α W m r = β

Y para β < α : Figura 24.39b. Torque arranque conexión sustractiva, caso β < α

β Wm r M

ie

902

24.8.2 Característica en carga con autoexcitación.

Figura 24.58. Circuito equivalente de característica en carga con autoexcitación

ie

ic

R ext

Rr

Re

Vc

Rc

e F2

Wm r

Si ahora se coloca carga en los bornes de la máquina se presentará corriente por esa carga, i c . Nos interesa el comportamiento del voltaje en esa carga en función de la corriente i c , supuesto que la velocidad se mantiene constante por el motor impulsor, y no se varía la resistencia en el circuito de excitación R ext . Partimos de la consideración de que la máquina se encuentra saturada cuando no existe carga, i c = 0 (Figura 24.59). Figura 24.59. Saturación en vacío

e

ie

e = Wmr ( Msi e + bs ) e = i e R T = i e ( R r + R ext + R e ) 903

∴ i e O en vacío =

bs Wmr ( R r + R ext + R e − Wmr Ms )

Vco en vacío = e − R r i e O = i e O ( R ext + R e ) =

( R ext + R e ) bs Wmr ( R r + R ext + R e − Wmr Ms )

∴ Vco en vacío =

bs Wmr  (Wmr Ms − R r )  1 − ( R ext + R e )  

Este será el voltaje en los bornes de la máquina cuando aun no se ha colocado carga ninguna. Veamos ahora las ecuaciones en carga: ( 1 ) e = Wmr ( Msi e + bs ) ( 2 ) ic = i r − ie ( 3 ) Vc = e − i r R r ( 4 ) ie =

Vc ( R ext + R e )

Téngase en cuenta que buscamos Vc = f ( i c ) , de modo que debemos ir sacando las demás variables. ( 1 ) en ( 3 ) Vc = Wmr Msi e + Wmr bs − i r R r ( 5 )

( 2 ) en ( 5 ) Vc = Wmr Msi e + Wmr bs − R r ( i c + i e ) ( 6 )

904

Sacando factor común i e : Vc = (Wmr Ms − R r ) i e + Wmr bs − R r i c ( 7 )

Ahora, de ( 4 ) en ( 7 ):

  Vc ∴ Vc = (Wmr Ms − R r ) + Wmr bs − R r i c  R ext + R e  ∴ Vc =

(Wmr bs − R r i c )  (Wmr Ms − R r )  1 − ( R ext + R e )  

∴ Vc = Vco −

(8)

Rr i Wmr Ms − R r ) c ( 1− ( R ext + R e )

Esta característica (Figura 24.60) muestra una disminución más rápida de la tensión con la corriente que la característica de la máquina de excitación independiente. En efecto, en este caso, al disminuir Vc , disminuye i e , la corriente de excitación, lo cual produce una caída adicional de la tensión inducida. Sin embargo, obsérvese que al disminuir i e y por lo tanto el flujo en la máquina, llega un momento en que se pierde la saturación, por lo que es incorrecto utilizar la característica que acabamos de encontrar únicamente. !Debemos de combinarla con la característica en no saturación! Figura 24.60. Disminución de la tensión con la corriente Vc ic R c Vco

 (Wm r M s − R r )  1 −  ( R e + R ext )   ic

905

Ahora, para sacar la característica en no saturación nos basta con tomar la ecuación (8) y cambiar los parámetros saturados por los no saturados: bs

→ b

b

Ms → M

> Ms

De donde: Vc n.s =

(Wmr b − R r ic )  (Wmr M − R r )  1 − ( R ext + R e )  

∴ Vc n.s =

( R r i c − Wmr b )  (Wmr M − R r )  − 1   ( R ext + R e ) 

( 8’ )

Obsérvese como en ( 8’ ) multiplicamos por -1 el numerador y el denominador. Esto porque al cambiar los parámetros es usual que el denominador se vuelva una cantidad negativa, de modo que la última forma de la ecuación es la más fácil de interpretar. Por ejemplo, cuando i c = 0 ,

∴ Vc n.s =

( −Wmr b )  (Wmr M − R r )  − 1   ( R ext + R e ) 

Siendo este voltaje en efecto un valor negativo en la realidad. En la Figura 24.61 representamos las características en saturación (b) y en no saturación (a). La característica real será aproximada por la combinación de estas características linealizadas, como se ilustra en la Figura 24.62

906

Figura 24.61. Características en saturación y en no saturación

Vc b

a

ic Figura 24.62. Característica real

Vc b

a

ic Podríamos utilizar el último circuito equivalente, que incluye la saturación, para estudiar el comportamiento de los motores; pero teniendo en cuenta lo similares que son los procedimientos que se emplean y las pocas diferencias que se consiguen con respecto a las características ya encontradas, consideramos que es innecesario tal estudio, dejándolo para cuando hayamos explorado más otras modificaciones que debemos hacer al mismo circuito equivalente. 24.9 REACCIÓN DEL INDUCIDO El flujo del rotor, en las máquinas que hemos visto, circula transversal al flujo del estator y no influye sobre él. En la Figura 24.63 ilustramos este comportamiento ideal, que es el que hemos aceptado hasta el momento.

907

Figura 24.63. Comportamiento ideal

φr

φe

El comportamiento real difiere un poco, resultando, en definitiva, una influencia del flujo del rotor sobre el flujo del estator. Este fenómeno es el qué vamos a estudiar e incorporar en el circuito equivalente. Veamos primero una descripción física de lo que ocurre con los flujos reales (Figura 24.64): Figura 24.64a. Flujo estator

908

Figura 24.64b. Flujo rotor

Figura 24.64c. Flujo neto

En la Figura 24.64: 24.64 a) representamos el flujo del estator; en 24.64 b), representamos el flujo del rotor; y en 24.64 c), tratamos de mostrar el flujo neto, formado por la combinación del flujo del estator y el flujo del rotor. Se debe, sobre todo, poner atención en los siguientes hechos: 909

1. El flujo del rotor (b) circula en parte por los polos del estator, de tal forma que sigue direcciones opuestas en tos lados de esos polos (Figura 24.65a). 2. Por lo anterior el flujo neto en los lados de los polos no es el mismo. En efecto, en un lado las líneas de flujo del estator y las del rotor se refuerzan y en el otro se contrarrestan, (Figura 24.65b). 3. El flujo neto sigue una dirección promedia inclinada respecto al eje de los polos, la línea central que pasa por el centro del rotor y es perpendicular a esta dirección promedia, define “las zonas neutras", ósea zonas en la periferia del rotor donde los conductores no cortan las líneas de flujo (Figura 24.66). Figura 24.65. Dirección flujo del estator

φr

Figura 24.66. Dirección flujo neto

910

Mayor densidad de flujo

Menor densidad de flujo

φe +φr

φe −φr

Como en funcionamiento en vacío (Figura 24.67), las zonas neutras quedan exactamente en la región interpolar, pues solo existe φ e , se dice que uno de los efectos de la “reacción de inducido”, es decir, del flujo del rotor, es desplazar la “zona neutra”. Figura 24.67. Zonas neutras en funcionamiento en vacío

φe Obsérvese que los conductores en la zona neutra, al moverse, no cortan las líneas de flujo pues se mueven en la misma dirección de las líneas y no las cortan; por lo tanto no experimentan tensión inducida, y es la posición ideal para que la bobina formada por esos conductores, los que atraviesan esa zona, sea puesta en cortocircuito por las escobillas en la conmutación. Cuando por efecto del flujo del rotor las zonas neutras se desplazan, ya los conductores de la bobina en corto-circuito por las escobillas experimentan una tensión inducida y, por lo tanto, trata de circular una corriente por la bobina y el corto-circuito de la escobilla. (Figura 24.68) Figura 24.68. Circulación de corriente por la bobina

i c.c

911

Esta corriente, al iniciarse el corto y al finalizarse, produce chispas entre las delgas y la escobilla. 4. Por último, la mayor concentración de flujo en un lado del polo (tanto en polos norte como en polos sur) (Figura 24.69) puede elevar mucho la tensión en la bobina cuyos conductores pasan debajo de esa gran densidad de flujo, de forma que salte la chispa entre las delgas donde terminan los extremos de esas bobinas. Figura 24.69. Flujo en lados del polo

φe + φr φe −φr φe + φr φe − φr

Tensión entre delgas de una bobina que atraviesa mucha densidad de flujo Esa gran concentración del flujo en una zona limitada del polo puede llevar el material magnético de esa zona a una saturación local. Al saturarse el hierro, su reluctancia aumenta y el flujo neto disminuye. Es decir aparentemente, las mismas líneas de φ r se suman y se restan a φ e en los polos, por lo cual podría pensarse que el flujo neto sigue siendo igual a

φ e , aunque concentrado más hacia un lado del polo; pero no, al concentrarse puede saturar el hierro y aumentar la reluctancia neta del circuito magnético, disminuyendo el flujo neto. 24.9.1 Saturación local en la reacción de inducido. Vimos los efectos más importantes de la reacción de inducido en el numeral anterior, desarrollemos aquí un estudio más particular de la cuestión de la disminución neta del flujo inductor por culpa de la citada

912

reacción de inducido. Utilizaremos diagramas desarrollados o planos que pueden tomarse sin dificultad como referentes a máquinas de muchos pares de polos. En primer lugar consideremos únicamente las f.m.m.s producidas por los devanados. Como el devanado del estator es lo que se considera un “devanado concentrado” (obsérvese como todas sus espiras están concentradas en un solo punto de la periferia de la máquina (Figura 24.70)), su f.m.m. es también concentrada debajo de la bobina correspondiente, representándose por un “rectángulo” en la periferia. En cambio, el devanado del rotor es un “devanado distribuido” en toda la periferia y aproximamos la distribución de su f.m.m. por una función triangular (Figura 24.71). La f.m.m. neta será la suma punto a punto de estas dos distribuciones, suma que se intentó representar en la Figura 24.72, por la línea punteada. Figura 24.70. Devanado del estator concentrado

Ne ie Figura 24.71.Devanado del rotor distribuido

Distribuido N r ir

913

Figura 24.72. Suma de distribución del estator y del rotor

2N e i e N e ie

2N r i r N e ie

N e ie Nr ir

Repetimos el intento de la Figura 24.73 para que quede clara la interpretación. Figura 24.73. Suma de distribuciones

Pasemos ahora de la distribución de f.m.m. a la distribución de la densidad de flujo. Si consideramos un diferencial de área en la periferia de la máquina (Figura 24.74) en el cual actúa la f.m.m., f.m.m i , el diferencial de flujo que pasa por ese diferencial de área será:

914

Figura 24.74. Distribución de la densidad de flujo

d φi f.m.m i

L

ds dR = Lds

dφ i =

f.m.m i Rel

Ahora, si el circuito magnético fuera regular y uniforme, la reluctancia obedecería a una expresión: Rel =

g µ dA

Donde: g

: Longitud media

µ

: Permeabilidad

dA : Diferencial de área

De modo que el diferencial de flujo sería:

dφ i =

f.m.m.i µ dA g

∴ Bi =

dφ i dA

=

µ ( f.m.m.i ) g 915

En el caso de la máquina los circuitos magnéticos no son regulares y la cantidad µ

no g tiene un significado fácil de encontrar, por lo que la trataremos como un parámetro constructivo y la llamaremos “permeancia puntual”. Entiéndase que no es un concepto difícil de entender, solo es el inverso de la reluctancia de un “tubo” de circuito magnético en la periferia de la máquina, dividido por el diferencial de área (Figura 24.75). Aunque le demos un nombre, no vamos a utilizar un símbolo nuevo pero la “permeancia puntual”, la seguiremos denominando “ µ

g

”.

Grafiquemos ahora la distribución de la permeancia puntual en la periferia de una máquina ideal en la cual el material magnético no presenta reluctancia (Figura 24.76). Figura 24.75. Permeancia puntual

dφ

“tubo”

dA

Figura 24.76. Distribución de la permeancia puntual en la periferia de una máquina

g máx

µ0

g min

µ g min

µ0

g máx

916

g

Es decir, en una máquina donde toda la reluctancia se debe solo al entrehierro, y en la cual g puede tomarse efectivamente como la longitud del entrehierro y µ puede tomarse como µ 0 , la permeabilidad del aire.

Obsérvese que si el entrehierro es pequeño la permeancia es grande, y viceversa. Para hallar la distribución de B, la densidad de flujo, bastará entonces multiplicar punto a punto la distribución de la f.m.m. y la distribución de la permeancia (Figura 24.77). Se obtendrá la distribución mostrada en línea punteada. Figura 24.77. Distribución de B

f.m.m.

Permeancia =

B=

( f.m.m. × µ ) 0

g

µ0

g

punta a punta

Recomendemos un repaso de los conceptos que acabamos de ver, pues su aparente dificultad puede oscurecer lo que sigue. Ya teniendo la distribución de densidad de flujo, podemos introducir el problema de la saturación. En efecto, la saturación es, en definitiva, función de la densidad. Si esta, B, sobrepasa un valor dado, Bs , en la Figura 24.78a, el circuito magnético estará saturado. Como ya tenemos la distribución de B a lo largo de la periferia de la máquina, bastará señalar Bs en esta distribución para damos cuenta que parte estaba saturada.

917

Figura 24.78. Distribución de B en la periferia de la máquina B

Bs

a)

saturación

H

Bs no saturación

Bs

b)

En la Figura 24.78b, se muestra una distribución de B y el limite de saturación Bs . Como la distribución supera ese límite quiere decir que en esos puntos existe saturación, luego la distribución allí no es la mostrada, pues fue la calculada bajo la suposición de no saturación, sino un valor mas bajo (reteñido en la Figura 24.78b). Aproximadamente se puede conseguir la distribución en las partes saturadas empleando una permanencia saturada ( µ

g

), en lugar de la no saturada empleada para la característica en no saturación.

24.9.2 Efecto de la reacción de inducido en el circuito equivalente. En resumen, el efecto de la reacción de inducido consiste en disminuir el flujo del estator, para fines de linealización aceptamos que esa disminución es proporcional a la corriente del rotor, i r . Así, el circuito equivalente quedará (Figura 24.79):

Figura 24.79. Circuito equivalente con el efecto de la reacción de inducido ie ir

Re Rr

is

e

Rs

918

  N e N r 'i e N e N r 'is N e N ri i r  ± − + N r 'φ rem  Wmr  Rel Rel  Rel   e=  W  N e N r 'i e ± N e N r 'is − N e N ri i r + N 'φ   mr r rem sat  Rels Rels  Rels   Figura 24.80. Circuito equivalente con efecto de la reacción de inducido

ie

ir

Re

Rr

is

e − ∆eri

Rs

Se deben tener en cuenta las condiciones de saturación y no saturación; el efecto de is puede ser aditivo o sustractivo, de acuerdo a la conexión; pero el efecto de la reacción de inducido siempre tiende a disminuir al flujo del estator; la reacción de inducido la representamos por la f.m.m. ficticia N ri i r . Se asume que el flujo preponderante es el producido por el devanado Shunt, como es lo usual. Se puede resumir el efecto de la reacción de inducido diciendo que es equivalente a una W N ' N i  pequeña tensión, proporcional a i r  mr r r e r  , y siempre en sentido opuesto a la Rel   tensión e , inducida por el flujo del estator (Figura 24.80).

∆er i siempre se debe oponer a la tensión e no importa que dirección tenga el flujo

principal del estator, o si es producido por N e i e O por N s i s o por ambos devanados actuando simultáneamente.

919

24.9.3 Control de la reacción de inducido. Solo hemos estudiado la reacción de inducido y sus efectos (todos perjudiciales), y su representación en el circuito equivalente, pero no hemos visto aun como evitarla, para evitar, por ende, sus efectos indeseables. La reacción de inducido se contrarresta, parcialmente, con los “polos de conmutación”, y en forma completa, con los polos de conmutación y el “devanado compensador”. POLOS DE CONMUTACIÓN: son pequeños polos que se colocan entre los polos principales y se alimentan con la misma corriente del rotor en tal forma que anulan el flujo en la “zona neutra” original. La idea es bastante simple: consiste en colocar unas f.m.m.s contrarias a la del rotor, para anular; el flujo de este en la región frente a los polos de conmutación (Figura 24.81). En la Figura 24.82 se ilustra como las líneas de flujo del rotor (punteadas) son “rechazadas” por las líneas de flujo de los polos de conmutación hasta su posición final, fuera de la zona de conmutación (líneas continuas).

Figura 24.81. Polos de conmutación

ir

A1

A2

Figura 24.82. Líneas de flujo del rotor y de flujo de polos de conmutación

920

DEVANADO COMPENSADOR: los polos de conmutación generalmente corrigen en forma adecuada todos los inconvenientes de la reacción de inducido, excepto en maquinas muy grandes o muy rápidas.

Figura 24.83. Devanado compensador

A1 ir

A2

Modelo Simplificado

En estos casos se añade el “devanado compensador”. El devanado compensador es una especie de continuación de los polos de conmutación y se construye haciendo ranuras en las caras de los polos principales y colocamos un devanado por el cual circula la misma corriente del rotor (Figura 24.83). Obsérvese que lo que se busca, en definitiva, es anular completamente el flujo del rotor. Pero, téngase bien en cuenta, esto no afecta en absoluto al torque sobre el rotor, pues la expresión para el torque: T = Relrotor φ eφ r Sen θ

Que utilizamos, es una expresión derivada de la expresión: Trotor = f.m.m.rotor φ e Sen θ

Que puede considerarse la verdadera. Lo que hacemos es reemplazar:

921

φ r = f.m.m.rotor Rel

, en la última para obtener la primera. Claro que en definitiva ambas rotor

expresiones se pueden utilizar, pues si consideramos la superposición, podemos asumir que el rotor si produce un flujo magnético; pero como el devanado compensador y los polos de conmutación producen otro contrario, el flujo neto es cero. 24.9.4 Circuito equivalente incluyendo devanado compensador y polos de conmutación. Como en el devanado compensador y en los devanadas de los polos de conmutación no se inducen tensiones debido a que están estáticos respecto a los flujos de la máquina, su único efecto en el circuito equivalente será (Figura 24.84) Y suprimir la caída de tensión debida a la reacción de inducido, er.s .

Figura 24.84. Circuito equivalente con devanado compensador y polos de conmutación

F1

ie ir

Re

F2 S1

A1

R r + R d.c + R p.c = R i

is

e − ∆eri Rs

A2

S2

  N e N r 'i e N e N r 'is  ± + N r 'φ rem  Wmr  Reln.s.  Reln.s.    n.s. → no saturación e=  W  N e N r 'i e ± N e N r 'is + N 'φ r rem s.   mr  Rel Rels s     s. → saturación

er −i =

Wmr N r a i r N r ' Rel( n.s o s.) 922

Intentaremos simplificar las expresiones anteriores con las definiciones anteriores y con las definiciones ya vistas: Ne Nr ' Reln.s.

Ne Nr' Rels.

;

M s. =

Ns =a Ne

;

N r 'φ rem n. s. = b n.s. ;

N r 'φ rem. s. = bs.

;

M ra =

M n.s. =

Nra Nr' Rel( n.s o s.)

La expresión para la tensión inducida quedará:

Wmr ( M n.s. ( i e ± is ) + b n.s. ) → no saturación e= Wmr ( M s. ( i e ± is ) + bs. ) → saturación

Wmr M r a i r → no saturación er −i =  Wmr M r a s. i r → saturación

Seguiremos incluyendo la caída de tensión debida ala reacción de inducido pues esto da más generalidad al circuito equivalente. Simplemente la haremos cero cuando se especifique que se trata de una máquina cuya reacción de inducido fue perfectamente compensada por medio de los polos de conmutación y el devanado compensador. 24.9.5 Decalaje de las Escobillas. Para evitar las chispas en el conmutador cuando la zona neutra se desplaza por efecto de la reacción de inducido, antiguamente se decalaban las escobillas, buscando que los conductores bajo conmutación quedaran en la nueva zona neutra. El problema fundamental de esta solución estribaba en que el desplazamiento de la zona neutra dependía de la magnitud de la corriente por el rotor. En efecto a mayor i r , mayor θ r , y más se desplaza la zona neutra. La solución típica era desplazar las escobillas a la zona neutra cuando la corriente del rotor era aproximadamente la nominal, pues se asumía que la máquina debía trabajar aproximadamente a corrientes cercanas a ese valor. Pero para corrientes diferentes a ese valor nominal, se presentaba un gran “chisporreteo” en el conmutador.

923

Figura 24.85. Desplazamiento de la zona neutra

φr

φe En la Figura 24.85 se ve como el desplazamiento de la zona siempre se presenta, en el sentido contrario al sentido del torque. En efecto, recuérdese que el sentido del torque siempre es hacia la alineación de los flujos: θ r tiende a alinearse con θ e . Ahora, como en el generador (Figura 24.86) el torque electromagnético tiene sentido contrario al del giro del rotor, resulta que las escobillas se deben desplazar en el sentido del giro del rotor; pero como en el motor (Figura 24.87) el rotor gira en el mismo sentido del torque, resulta que las escobillas se deben desplazar en el sentido contrario al giro del rotor. GENERADOR: las escobillas se desplazan en el mismo sentido del giro del rotor.

Figura 24.86. Decalaje de escobillas en generador

φe φ neto

φr

924

Wm r

MOTOR: las escobillas se desplazan en el sentido contrario al del giro del rotor.

Figura 24.87. Decalaje de escobillas en motor

φe

φ neto

Wm r

φr

24.9.6 Efectos del decalaje de las escobillas. Decalando las escobillas se logra una disminución de las chispas en el colector cuando se llevan a la zona neutra. Pero este no es el único efecto que se presenta, como veremos aquí.

Primero, obsérvese como el decalaje produce una inclinación del devanado equivalente estático del rotor y de su fuerza electromotriz (Figura 24.88). Figura 24.88. Inclinación del devanado equivalente estático del rotor

φe f.m.m r

f.m.m r

925

Al producirse esa inclinación la f.m.m. rotor no actúa ni en el eje directo ni en el eje en cuadratura (Figura 24.89). ¿Qué reluctancia se debe emplear para calcular el flujo del rotor en estas condiciones? El problema es el mismo que se presentó en las máquinas sincrónicas de polos salientes, y que fue resuelto por Blondel con su teoría de las dos reacciones. También aplicaremos esa teoría en este caso. Descomponemos la f.m.m. del rotor en sus componentes según el eje directo y según el eje en cuadratura (Figura 24.90), y así podemos calcular los flujos, según estos ejes, utilizando las respectivas reluctancias. Figura 24.89. f.m.m. rotor no actúa en los ejes

f.m.m r

Figura 24.90. Descomposición de f.m.m. del rotor

f.m.m r

f.m.m r.d f.m.m r.q

926

Vemos un esquema completo de la máquina con todos los devanados vistos hasta el momento y con las escobillas decaladas (Figura 24.91). Figura 24.91. Esquema con todos los devanados y con escobillas decaladas F1 ie F2

S1 is

Ns

S2 Nr

ir A1

Ne ie N s is N r 'i r Senθ

N e Devanado Shunt

Devanado Serie A2 Q

Devanado del rotor

Nr ir

N r 'i r Cosθ

Nr

Devanado compensador y polos de conmutación

φq

φd

Eje de Cuadratura

Diagrama de f.m.m.s

A2

Eje Directo

Figura 24.92. Flujos de eje directo y de cuadratura Wmr

θ

φq ir

φd

De acuerdo a los diagramas anteriores podemos calcular las f.m.m.s. totales en los dos ejes: f.m.m.d = N ei e + N sis − N r 'i r Sen θ 927

f.m.m.q = N r 'i r Cos θ − N r i r

Los flujos se calculan de acuerdo a las respectivas reluctancias:

φd =

φq =

f.m.m.d ( N ei e + N sis − N r 'i r Sen θ ) = Reld Reld f.m.m.q Relq

=

( N r 'i r Cos θ − N ri r ) Relq

La máquina se toma ahora con los flujos del eje directo y al eje en cuadratura (Figura 24.92). En estos flujos se mueve el devanado del rotor, y en él se inducen tensiones (Figura 24.93a): Eφ d → r =

Eφ q → r =

(φ

d

N r 'Wmr ) 2

(φ

q

N r 'Wmr ) 2

Estas tensiones aparecen, representadas por fasores atrasados 90° Eléctricos respecto a los flujos que las inducen (Figura 24.93b): Figura 24.93. Fasores de tensiones y de flujos Eφ q → r Wm r sentido de giro del rotor

Eje Rotor eq

θ

ed Eφ d → r

φq

Wφ q → r = Wmr

φd 928

Eφ q → r

eq

θ

ed Eφ d → r

Las tensiones instantáneas se encuentran proyectando esos fasores en el eje de la bobina estática del rotor.

(

)

(

)

e d = 2 Eφ d →r Cos θ

(

)

e q = 2 Eφ q →r Cos ( 90° − θ ) = 2 Eφ q →r Sen θ

De donde: e d = N r 'φ d Wmr Cos θ

e q = N r 'φ q Wmr Sen θ

Y la tensión entre escobillas será la suma de estas tensiones instantáneas: e = ed + eq

Circuito equivalente: con lo anterior podemos entrar a definir el circuito equivalente para esta máquina (Figura 24.94).

929

Figura 24.94. Circuito equivalente

F1

ie ir

Re F2 S1

A1

R r + R d.c + R p.c

is

ed + eq

Rs

Pmec

A2

S2 Como pude observarse el circuito equivalente queda muy parecido al circuito elemental inicial. Para ilustrar su empleo veamos el cálculo del torque electromagnético en el rotor. Comenzamos calculando la potencia mecánica: Pmec = e escobillas × i r

= ir ( ed + eq )

El torque se encuentra: T=

Pmec i r ( e d + e q ) = Wmr Wmr

Reemplazando las expresiones para e d y e q : T=

ir N r 'φ d Wmr Cos θ + N r 'φ q Wmr Sen θ Wmr

(

)

∴ T = N r 'i r ( φ d Cos θ + φ q Sen θ )

930

Esta expresión puede ser chequeada con la expresión para el torque en una bobina inmersa en un flujo magnético (Figura 24.95): T = f.m.m.bobina φ Sen θ Figura 24.95. Bobina inmersa en un flujo magnético

α

φ

f.m.m. bobina

El flujo puede ser el total, incluyendo el flujo propio de la misma bobina. Observando el diagrama de la Figura 24.96, tendremos que el torque en el rotor será: T = N r 'i r φ d Sen ( 90° + θ ) + N r 'i r φ q Sen θ

Pero: Sen ( 90° + θ ) = Cos θ ∴ T = N r 'i r (φ d Cos θ + φ q Sen θ )

Figura 24.96. Flujo total

N r 'i r

θ

90°

φd 931

φq

Como siempre resulta extraño que en la expresión del torque en una bobina puede emplearse el flujo total, que incluye el flujo de la misma bobina, veamos una demostración sencilla de este hecho. En la Figura 24.97 se observa una bobina cuyo f.m.m. es N i , inmersa en un flujo, φ externo, (máximo flujo ligado con ella, cuando coinciden los ejes del flujo y de la misma bobina). El torque sobre la bobina será: T = Ni φexterno Sen α Figura 24.97. Bobina inmersa en flujo externo

φ externo

α

Ni

Ahora, supuestas las condiciones que imperan en las máquinas, se puede emplear la superposición (Figura 24.98):

φ total = φ externo + φ bobina Por la ley de senos en el triángulo ABC:

   φ externo  φ total  =   Sen (180° − α )   Sen β 

932

Figura 24.98. Superposición

φ total

φ externo

φ externo

β

α

180° − α

φ bobina

Pero Sen (180° − α ) = Sen α ∴ φ total Sen β = φ externo Sen α

Figura 24.99. Sen (180° − α ) = Sen α

α

Sen (180° + α )

α

α

Sen ( α )

Y podemos reemplazar este resultado en la ecuación del torque: T = Ni φexterno Sen α = N i φtotal Sen β Veamos como el torque queda dependiendo de la f.m.m. de la bobina y del flujo total.

933

Torque de Reluctancia: resulta interesante constatar como el torque sobre el rotor puede producirse con solo la misma corriente del rotor. En efecto, asumamos como única f.m.m. la del rotor: N r 'i r ∴ φd =

φq =

N r 'i r Sen θ Reld

N r 'i r Cos θ Relq

∴ T = N r 'i r (φ d Cos θ + φ q Sen θ )

 − N 'i Sen θ Cos θ   N 'i Sen θ Cos θ   r r r r T = N r 'i r     +  Rel Relq  d      1 T = N r 'i r Sen θ Cos θ   Relq

  1  −    Reld

   

El signo - en φ d , resulta del sentido contrario de φ d producido por N r 'i r , respecto al eje directo. Obsérvese como el torque desaparece si Reld = Relq , por eso se denomina torque de reluctancia o torque de saliencia. Otra explicación para el signo - en la expresión del torque, consiste en observar que el torque siempre tiende a alinear la f.m.m. con el flujo. En la Figura 24.100 se observa como Td , el torque sobre el rotor debido a φ d , tiene sentido contrario a Tq , el torque sobre el rotor debido a φ q .

934

Figura 24.100. Torques y flujos del rotor

φd

N r 'i r

Td

Q

φq

d

935

Tq q

25. MÁQUINAS CON DOBLE JUEGO DE ESCOBILLAS 25.1 INTRODUCCIÓN Hemos visto como las escobillas desplazadas son causa de que se induzcan tensiones tanto por el flujo del eje directo como por el flujo del eje en cuadratura. Este fenómeno se aprovecha en las máquinas que estudiaremos ahora y que tienen más de un par de escobillas por par de polos. Veremos primero el caso general, en esta introducción, y luego nos centraremos en las máquinas usuales, cuyos pares de escobillas están en cuadratura. En la Figura 25.1a y 25.1b se muestra una máquina de conmutador con un devanado shunt (F1 F2) y dos pares de escobillas que dan lugar a dos devanados estáticos del rotor ((A1 A2) y (B1 B2)). Las fuerzas magnetomotrices serían tres, N e i e , N r 'i ra , N r 'i rb . Figura 25.1a. Esquema máquina de conmutador

F1

ie A1

B1

Wmr

A1

B1

i ra F2

937

Figura 25.1b. f.m.m.s de la máquina

F1

F2

B1

N r 'i r a θa

B2

N r 'i r b

A1

A2

d

q

θb

N e ie

Y sus direcciones corresponderían a las mostradas en la Figura 25.2. El cálculo de las f.m.m.s. sería: f.m.m.d = N ei e + N r 'i rb Sen θ b − N r 'i ra Sen θ a

f.m.m.q = N r 'i rb Cos θ b + N r 'i ra Cos θ a

De modo que los flujos corresponderían a:

φd =

φq =

f.m.m.d  1  =  ( N ei e + N r 'i rb Sen θ b − N r 'i ra Senθ a ) Reld  Reld 

f.m.m.q Relq

 1 =  Rel q 

  ( N r 'i rb Cos θ b + N r 'i ra Cos θ a ) 

938

Figura 25.2. Direcciones de las f.m.m.s Nr ir a θa

q

θb d

Nr ir b

Ne ie

Con los flujos podemos calcular las tensiones inducidas (Figura 25.3): Eφ d → r =

Eφ q → r =

(φ

d

N r 'Wmr ) 2

(φ

q

N r 'Wmr ) 2

Figura 25.3. Flujos de eje de cuadratura y de eje directo Wmr

θa Eφ d → r

θb

φq

Eφ q → r

φd

Y las proyecciones de estas tensiones en los ejes de los devanados del rotor nos darán las tensiones entre las escobillas (Figura 25.4):

((

)

(

)

((

)

(

)

ea = 2 − Eφ d →r Cos θ a − Eφ q → r Cos ( 90° − θ a ) = 2 − Eφ d → r Cos θ a − Eφ q →r Sen θ a

) 939

)

((

)

(

)

eb = 2 − Eφ d →r Cos θ b + Eφ q →r Sen θ b

)

Figura 25.4. Tensiones proyectadas en los ejes

a

θa

θb Eφ d → r

θb

θa Eφ q → r

b

Reemplazando en función de las corrientes que producen los flujos.  Cos θ a N r 'Wmr   ea =   ( N ei e + N r ' i rb Sen θ b − N r 'i ra Sen θ a )  Reld   

 Sen θ N 'W a r mr −   Rel q 

   ( N r ' i rb Cos θ b + N r 'i ra Cos θ a )   

 Cos θ a N r 'Wmr   eb =   ( N e i e + N r ' i rb Sen θ b − N r 'i ra Sen θ a )  Reld   

 Sen θ N 'W b r mr +   Relq 

   ( N r ' i rb Cos θ b + N r 'i ra Cos θ a )   

Estas máquinas no han tenido ningún desarrollo en esta forma general, aunque podrían ser un tema de estudios interesantes. En cambio, el caso particular θ b = 0 y θ a = 90° , si se ha estudiado y ha dado lugar a importantísimas máquinas de enorme aplicación. Estas máquinas se llaman a veces “Máquinas de Campo Transversal” y las estudiaremos a continuación.

940

Figura 25.5. Esquema máquina de conmutador F1

ie B1

i rb i ra A1

A2 B2

F2

25.2 MÁQUINAS DE CAMPO TRANSVERSAL Tomando como referencia la Figura 25.5, la representación esquemática de una máquina como la mostrada será tal como se muestra en la Figura 25.6.

Entonces, tendremos como fuerzas magnetomotrices: f.m.m.d = N ei e + N r 'i rb f.m.m.q = N r 'i ra

De modo que:

φd =

φq =

( Neie + N r 'i rb ) Reld

( N r 'i ra ) Relq

∴ Eφ d → r =

Eφ q → r =

(φ

d

N r 'Wmr ) 2

(φ

q

N r 'Wmr ) 2 941

Figura 25.6. Representación esquemática de una máquina de campo transversal

F1

F2 B1 B2

ie Ne i rb Nr'

i ra

N r 'i ra

q

N e ie

A1 A 2

N r 'i r b

d

φq Eφ d → r

a

Eφ q → r

φd b Y las tensiones instantáneas serían:

ea = 2  − Eφ d →r Cos 0°  

(

)

eb = 2  Eφ q →r Cos 0°  

(

)

 − N r 'Wmr  ∴ ea =   ( N ei e + N r ' i rb )  Reld   N 'W eb =  r mr  Rel q 

  ( N r 'i ra ) 

Ahora, vemos de la ecuación precedente como la tensión eb solo depende de la corriente i ra . Esta corriente puede hacerse bien grande, si se desea, colocando en cortocircuito el 942

devanado del rotor correspondiente. Sin embargo, como ea depende de la corriente i rb , se produce una molesta realimentación. Para anular el efecto de i rb se coloca un devanado compensador en serie con B1 B2, que anulará completamente el flujo de este devanado (Figura 25.7). El esquema de esta máquina, con el devanado compensador añadido, es el siguiente: Figura 25.7. Adición de devanado compensador

F1

Ne

F2 B1

A1

i rb

Ne ie

N r 'i r b

A2

i ra

N r 'i r a B2 Nc ir b

De donde: f.m.m.d = N ei e + N r 'i rb − N c i rb = N ei e

f.m.m.q = N r 'i ra

Es decir, haciendo N r = N c , se anula la f.m.m. total del devanado del rotor (Figura 25.8).

943

Figura 25.8. Anulación de f.m.m. total ie Ne ie i rb N r 'i r b

N r 'i r a

Nc ir b

B2

φq Eφ d → r

a

Eφ q → r

φd b

Los flujos de la máquina quedarán:  f.m.m.d  Reld

φd = 

 f.m.m.q   N ei e  =  ; φ q =    Reld   Relq

y las tensiones inducidas por esos flujos serán: Eφ d → r =

(φ

d

N r 'Wmr ) 2

; Eφ q → r =

(φ

q

N r 'Wmr ) 2

Por lo tanto, las tensiones inducidas quedan:

(

ea = − Eφ d →r

)

(

2 ; eb = Eφ q →r

)

2

y reemplazando las expresiones de los flujos:  N r 'Wmr N r 'i ra  − N r 'Wmr N e i e  ea =   ; eb =  Reld Relq   

  

944

  N 'i  =  r ra   Relq

  

ea sólo depende de i e , y eb sólo depende de i ra . Colocando en corto-circuito el devanado del rotor (Figura 25.9), la corriente i ra , será: i ra =

ea Ra

Figura 25.9. Devanado del rotor en corto-circuito

B1

A1

i rb

i ra

A2

ea

Nc B2

Donde R a es la resistencia del devanado, escobillas, corto, etc.  − N r 'Wmr N e i e  i ra =    Reld R a 

El signo menos sólo indica que la corriente i ra circula en sentido contrario al asumido. Ahora, podemos calcular eb :  N 'W N '   − N r 'Wmr N e i e  eb =  r mr r     Rel  q    Reld R a 

 ( − N r ' 3 Wmr 2 N e ) i e   =  Relq Reld R a 

945

 − ( N r ' 3 Wmr 2 N e )   ie =  Relq Reld R a  La característica más importante es que la expresión entre paréntesis puede hacerse una cantidad supremamente grande, que permite el control de la tensión con niveles muy pequeños de la corriente i e . Resulta conveniente la siguiente comparación: en un simple generador shunt la tensión entre escobillas puede encontrarse así (Figura 25.10): Figura 25.10. Tensión entre escobillas

F1

N e ie

F2 A1

Nr'

Eφ d → r

φd f.m.m.d = N e i e

φd =

Ne ie Reld

Eφ d →r = φ d N r 'Wmr ea = − N r 'Wmr φ d Cos 0°

=

− ( N r 'Wmr N e i e ) Reld 946

A2

a

Es decir, está tensión solo depende de i e . Ahora pudiera pensarse que aumentando el número de espiras N e podría conseguirse un nivel pequeñísimo de i e . Pero no: al aumentar el número de espiras crece la resistencia del devanado excitador y se necesitaría más tensión para hacer circular la i e , aún pequeña. En cambio, en la máquina que acabamos de analizar N e puede dejarse pequeña y conseguirse mayor amplificación con una R a pequeña, o una velocidad algo más grande, cuyo efecto, estando Wmr al cuadrado en la expresión, es considerable. Puede aumentarse el factor de amplificación con algunas modificaciones del diseño original. Este factor de amplificación es:  Nr' 3   Relq

 N W 2    e mr    Reld R a 

Una modificación usual consiste en disminuir la reluctancia del eje en cuadratura. Como puede verse de la expresión del factor de amplificación, si la reluctancia disminuye aumenta ese factor. Se disminuye la reluctancia del eje en cuadratura aumentando los polos principales y corriéndolos hacía el eje. Como se deja un espacio para las escobillas, la máquina queda con el aspecto de tener cuatro polos. Pero la máquina sigue siendo de dos polos como puede apreciarse de la Figura 25.11 donde está ilustrada la trayectoria de φ q . En los espacios entre los polos pueden situarse polos de conmutación, que no se muestran en la Figura. Obsérvese que con este diseño prácticamente Reld = Relq . Es decir, existe la misma reluctancia en el sentido de ambos ejes. Figura 25.11. Máquina de dos polos

φq

947

Otra forma de incrementar el factor de amplificación, es añadiendo un devanado en serie con el devanado en corto - circuito. Este devanado en serie lo representamos por N rs , tal como se ilustra en la Figura 25.12 y su función es reforzar el flujo producido por i ra . Las ecuaciones quedarán entonces: f.m.m.d = N ei e + N r 'i rb − N c i rb Figura 25.12. Devanado en serie

F1

B1

F2

Ne

i rb

i ra A1

A2

Nr' Nc

B2 Pero como hacemos N c = N r ' , tendremos: f.m.m.d = N ei e  f.m.m.d   N ei e  ∴ φd =  =   Reld   Reld 

f.m.m.q = ( N r ' + N rs ) i ra  f.m.m.q ∴ φq =   Rel q 

 ( N r ' + N rs )i ra  = Relq 

948

N rs

Las tensiones inducidas en el rotor por estos flujos serán (Figura 25.13). Figura 25.13. Tensiones inducidas en el rotor

φq

a

Eφ d → r

Eφ q → r

φd b

Eφ d → r =

(φ

d

N r 'Wmr ) 2

; Eφ q → r =

(φ

q

N r 'Wmr ) 2

Y recordando que las tensiones entre escobillas son las proyecciones de estos fasores en el eje de las escobillas. ea = 2  − Eφ d →r Cos 0° = 2  − Eφ d →r  = − N r 'Wmr φ d    

(

)

(

)

eb = 2  Eφ q →r Cos 0° = 2 Eφ d →r = N r 'Wmr φ q  

(

ea =

)

(

)

( N r 'Wmr )( N r ' + N rs ) i ra  − ( N r 'Wmr N e i e ) y eb =  Reld Relq

Ahora, en el circuito en corto, la corriente i ra se puede calcular como la tensión inducida dividida por la resistencia total de ese circuito: i ra =

ea − ( N r 'Wmr N e i e ) = Ra Reld R a

949

Y:  − ( N r 'Wmr )( N r ' + N rs ) N r 'Wmr N e i e  eb =  Relq Reld R a   − N r ' 2 Wmr 2 ( N r ' + N rs ) N e    i =  e ( Relq Reld R a )  

De la expresión anterior se ve claramente como aumentando N rs se aumenta el factor de amplificación. Lo anterior puede considerarse como la teoría general de estas máquinas. No incluimos los polos de conmutación en esta explicación, porque ya conocemos su función (que es la misma en todas las máquinas) y su presencia solo complicaría la explicación del funcionamiento de la máquina. Enseguida nos dedicaremos a comentar algunas de las máquinas “prácticas”, desarrolladas utilizando el principio del campo transversal. 25.2.1 Máquina de Rosenberg. Esta parece que fue la máquina más antigua de esta familia. Como se puede observar en las Figuras 25.14 y 25.15 no tiene devanados compensadores, ni los polos se han dividido en dos. Esta máquina se hace girar por medio de un motor impulsor, utilizándose mucho para alimentar sistemas de alumbrado.

Figura 25.14. Máquina de Rosenberg

F1

ie

ie

i rb i ra

Carga Wmr

F2

950

Figura 25.15. Esquema máquina de Rosenberg

F1

Ne ie

F2

N r 'i r a

i rb

N r 'i r b

eb

ir a

a

Ra ea b

d Las ecuaciones serán:  f.m.m.d  Reld

  N ei e + N r 'i rb = Reld  

 f.m.m.q  Rel q 

  N 'i  =  r ra   Reld

φd = 

φq = 

φ d N r 'Wmr   → Eφ d → r = 2 

φ q N r 'Wmr   → Eφ q → r = 2 

 − N r 'Wmr  ea = 2  − Eφ d →r  = − N r 'Wmr φ d =   ( N e i e + N r 'i rb )    Reld 

(

)

 N 'W  eb = 2 Eφ q →r = N r 'Wmr φ q =  r mr  ( N r 'i ra )  Reld 

(

)

Las ecuaciones de las corrientes en los circuitos del rotor son: i ra = +

Carga

 N 'W  ea = −  r mr  ( N e i e + N r 'i rb ) Ra  Reld R a 

951

q

i rb =

 N r 'Wmr ea = R carga  Relq R carga

  ( N r 'i ra ) 

Reemplazando i ra en esta última ecuación por su valor en la expresión anterior:  N 'W N '   ( − N r 'Wmr )( N e i e + N r 'i rb )  i rb =  r mr r     Rel R  Reld R a q carga    

   N r ' 3 Wmr 2 −     N e i e   Reld Relq R a R carga   =   N r ' 4 Wmr 2 1 +    Reld Relq R a R carga 

2  4  Si la cantidad  N r ' Wmr  es mucho mayor que la unidad, la expresión Rel Rel R R d q a carga   para i rb se puede aproximar a:

 N ' 3 N W 2   r e mr  i e   Reld Relq R a R carga    N e  i rb = − = −  ie   N r ' 4 Wmr 2  Nr'    Rel Rel R R d q a carga  

El signo menos nos indica que i rb e i e tienen sentidos contrarios; esto es necesario para que i ra se mantenga dentro de límites aceptables. Si N e i e y N r 'i rb se sumaran, la tensión inducida en el circuito cortocircuito sería muy grande y haría circular una i ra excesiva. Obsérvese como esta máquina se parece a un transformador de corriente, no solo por su ecuación ( N r 'i rb + N e i e = 0 ) , sino por el hecho que si el circuito de carga se abre, i rb cae a cero; N e i e y N r 'i rb no se contrarrestan y se produce un incremento peligroso de la corriente i ra . La utilidad manifiesta de esta máquina estaba en su papel de reguladora de corriente: en efecto, manteniendo i e constante, se mantenía constante i rb dentro de ciertos rangos.

952

25.2.2 Metadínamo. Esta máquina es la misma máquina de Rosenberg con una pequeña modificación: la subdivisión de los polos principales en cuatro polos aparentes (Figura 25.17). Finalidad: se pueden colocar polos de conmutación al frente de las escobillas, mejorándose el funcionamiento. Explicaremos la modificación mediante unos diagramas, partiendo de la máquina de Rosenberg (Figura 25.16). La máquina de Rosenberg a lo sumo permite dos polos de conmutación (punteados). Ahora, en la Figura 25.17 vemos la máquina de Rosenberg con los devanados del estator divididos en parejas aprovechando la ranura para las escobillas. Obsérvese como esta modificación no cambia en nada el comportamiento de la máquina de Rosenberg.

Figura 25.16. Máquina de Rosenberg

ie

F1

ie

F2

Figura 25.17. Máquina de Rosenberg con los devanados del estator divididos ie

F1

F2

953

Incrementemos el tamaño de los polos con los devanados partidos y completamos la transformación de la máquina de Rosenberg en la Metadínamo (Figura 25.18). Obsérvese como hay cabida ahora para cuatro polos de conmutación. Es importantísimo no dejarse engañar por los cuatro polos aparentes; nótese en la Figura 25.19 como en realidad el flujo corresponde al de una máquina bipolar, con la salvedad que cada polo se dividió en dos contiguos. Figura 25.18. Esquema de metadínamo

F1

F2

Figura 25.19. Esquema de metadínamo con cuatro polos de conmutación

F1

F2

25.2.3 Máquina de Rosenberg y metadínamo con realimentación. Tanto en la máquina de Rosenberg como en la metadínamo puede añadirse devanados que produzcan una

954

realimentación del circuito de la carga. Escogemos la máquina de Rosenberg para ilustrar estos casos por ser más fácil de dibujar (Figuras 25.20 y 25.21). Figura 25.20. Realimentación Serie

F1

ie

ic

F2

Vc

Figura 25.21. Realimentación Shunt ic

Vc

F1 F2

ie

955

Realimentación Serie: Obsérvese como se añadió un devanado en serie con el circuito de carga. Realimentación Shunt: Obsérvese como el devanado añadido se conecta en paralelo con la carga.

Diseñando estas realimentaciones puede lograrse desde una mejora en la regulación de la corriente de carga, hasta una característica i c = f ( Vc ) ascendente o descendente. 25.2.4 Convertidor metadina. Es en realidad una metadínamo privada del campo del estator. Su función es convertir energía eléctrica a voltaje constante en energía eléctrica a corriente constante (Figura 25.22 y 25.23).

Sólo existen dos campos, correspondientes a los devanados creados por las escobillas.

 f.m.m.d  Reld

φd = 

Eφ d → r =

 f.m.m.q   N r 'i 1  =  ; φ q =    Reld   Relq

φ d N r 'Wmr 2

; Eφ q → r =

  N 'i   =  r 2    Reld 

φ q N r 'Wmr 2

e1 = V1 = 2Eφ q →r ; e2 = V2 = − 2Eφ d →r

∴ V1 =

( N r 'Wmr N r 'i 2 ) Relq

; ∴ V2 =

( N r 'Wmr N r 'i1 ) Reld

Obsérvese que i 2 = KV1 (proporcional a V1 ; si V1 es constante i 2 lo será también) V2 = Ki1 (si V2 es variable, i1 , que es directamente proporcional, lo será también). Dividamos ahora las expresiones obtenidas:

956

 N r 'Wmr N r 'i 2  −  Relq  V1    = i 2 Reld  = i1 Relq  V2   N r 'Wmr N r 'i1    Reld  

Sin embargo, téngase en cuenta que la máquina se construye completamente simétrica respecto a los dos ejes, de modo que: Reld = Relq

 V  i  ∴  1 = 2   V2   i1 

V1 i1 = V2 i 2

Es decir, la potencia de entrada es exactamente igual a la de salida (caso ideal). En la realidad se presenta la usual diferencia por las pérdidas en el núcleo y en el cobre. Como la potencia eléctrica es igual a la de salida, el motor impulsor solo tiene que desarrollar un pequeño torque que venza los rozamientos. Sin embargo, si se diseña la máquina con una diferencia pequeña en las reluctancias, se presentaría un torque por saliencia y no sería necesario el motor impulsor, la máquina se movería por si misma. Bastaría con hacer: V1 i1 = V2 i 2 + Potencia mecánica para moverse

 V1 i1   Reld   =   V2 i 2   Relq

  

Reemplazando esta expresión en la anterior:  Reld V1 i1 = V2 i 2   Rel q 

  + P.mecánica 

957

 Relq  ∴ P.mecánica = V1 i1 1 −   Reld 

Conociendo la potencia a transformar, V1 i1 = V2 i 2 , y la potencia mecánica que requiere la máquina para moverse, se puede encontrar la diferencia entre las reluctancias que se debe conseguir para que la máquina se mueva sola. Para mejorar la conmutación lleva esta máquina los consabidos polos de conmutación (mostrados punteados en la Figura); pero que no mostramos conectados para no oscurecer el funcionamiento general. A veces se coloca un bobinado de control en el estator, en alguno de los ejes, para actuar sobre el nivel de la corriente de carga. Entonces sí aparece torque en la máquina, aún cuando las reluctancias permanezcan iguales; ya no se trata de una simple convertidora de potencia eléctrica en potencia eléctrica, sino que pasa a ser una máquina que puede ser empleada como generador o como motor. No estudiaremos estas conversiones en este texto. Figura 25.22. Convertidor metadina

i1

V1

Voltaje contante i2

Corriente constante

V2

Motor Impulsor

Carga

958

Solo suministra las pérdidas mecánicas

Figura 25.23. Esquema convertidor metadina

i1 Nr

V1

φq

i2 V2

q

φd

d 25.2.5 Amplidina. Se muestra su esquema en las Figuras 25.24 y 25.25. En realidad, tanto el devanado compensador ( N c ) como el devanado de control se colocan en el estator, en forma similar a como aparece colocado el devanado de excitación, pero en el eje en cuadratura. No se dibujan así para no complicar la gráfica.

Figura 25.24. Esquema de la amplidina

959

Figura 25.25. Esquema máquina amplidina

Ne

ib

Nr'

Nc'

Ni comp

ic

Las f.m.m.s en los ejes directo y cuadratura serán: f.m.m.d = ( N e + N r ' ) i rb

y

f.m.m.q = ( N r ' − N c ) i ra + N c 'i c

El diseño es tal que el devanado compensador debe contrarrestar totalmente el devanado del rotor correspondiente (Figura 25.26): N r = N comp. = N c Figura 25.26. Devanado compensador

i rb

Ne Nr'

Nr' i ra

Nc

Eφ q → r Eφ d → r φ q

φd

d 960

Wm r

Nc'

q

ic

Entonces: f.m.m.q = N c 'i c  f.m.m.q  f.m.m.d  ( N e + N r ' ) i rb ; φq =  =  Rel Reld  Reld  q 

φd = 

Eφ d → r =

φ d N r 'Wmr

; Eφ q → r =

2

 N 'i  = c c  Relq

φ q N r 'Wmr 2

 N 'W N i  eb = 2 Eφ q →r = N r 'Wmr φ q = −  r mr c c  Reld  

(

)

 N 'W ( N + N r ') i rb  ea = 2  − Eφ d →r  = − N r 'Wmr φ d =  r mr e    Reld  

(

)

El devanado por donde circula i rb está en cortocircuito:

∴ i rb =

eb − N r 'Wmr N e i c = Rb Reld R b

 N 'W ( N + N r ' ) N r 'Wmr N e i c  ∴ ea =  r mr e   Relq Reld R b    N r ' 2 Wmr 2 ( N e + N r ' ) N e i c  =   Relq Reld R b  

Expresión que ya conocíamos. Lo más interesante es la enorme amplificación que se puede conseguir: con pequeños niveles de i c (corriente de control) y gastando muy poca potencia (baja resistencia del devanado del control N c ) se controlan grandes corrientes i ra y tensiones ea .

961

Muchas veces no se utiliza un solo devanado de control, sino varios; algunos alimentados por una corriente que sirve como referencia y otros que se emplean para proporcionar algún tipo de realimentación, conectándose ya sea en serie o en paralelo con la carga. Los devanados de, control también pueden colocarse en el estator, junto con el devanado de excitación. 25.2.6 Rototrol. Es en realidad un generador serie autoexcitado dotado con dos arrollamientos de control: F1 F2 que se emplea como referencia (se alimenta con una i f constante), y C1 C2 que se emplea para realimentación (en paralelo o en serie con la carga); en la Figura 25.27 no aparece esta conexión de realimentación.

Recordemos que un generador autoexcitado trabaja en el punto donde se corta la característica e = f ( i excitación ) con la característica: e = i excitación × R total del circuito (Figura 25.28). Cuando el punto de corte es la parte saturada, el funcionamiento es estable, cuando el punto de corte correspondería a la parte no saturada, dicho punto no queda claramente definido. Figura 25.27. Esquema de máquina rototrol

i carga S2

S1

F1 F2

C1 C2

962

Figura 25.28. Generador autoexcitado

e

i carga ( R total del circuito de i carga

)

icarga

Al añadirse los devanados de control, la tensión inducida ya no depende únicamente de la i excitadora sino también de las otras dos corrientes. La única tensión inducida es la debida al flujo del eje directo (Figura 25.29): Figura 25.29. Esquema de máquina rototrol

S1

i carga

Ns

S2 i F1 f F2 i C1 c

Nr'

C2

Nf Nc q

i carga

φd d f.m.m.d = N s i carga + N f i f + N c i c

963

 f.m.m.d  ( N s i carga + N f i f + N c i c ) = Reld  Reld 

φd = 

Eφ d → r =

φ d N r 'Wmr 2

 − N r 'Wmr  e = 2 − Eφ d → r =   ( Ns i carga + N f i f + N c i c )  Reld 

(

)

Pueden tomarse las corrientes de los devanados de control como referidas al devanado serie:  − N r ' N s Wmr e= Reld 

  Nf   Nc    i carga +  i f +   i c  → i carga ó excitación neta   Ns   Ns  

Graficando la tensión inducida contra esta i excitación neta obtenemos la misma curva de excitación original de la máquina (Figura 25.30). La recta de carga sigue siendo i carga × R t : Figura 25.30. Grafica tensión vs. corriente de excitación

e

e = i carga R t i carga

e

Rt

i excitación neta El punto de funcionamiento es el que corresponde a:  N 'N W i carga R t =  r s mr  Reld

  Nf   Nc    i carga +  i f +   ic    Ns   Ns  

964

Pero como asumimos las pendientes iguales: Rt =

N r ' N s Wmr Reld

N ∴  f  Ns

  Nc  i f +   ic = 0 ∴ N f if + Nc ic = 0   Ns 

Pero i c es la corriente de realimentación, y debe ser proporcional a la magnitud a controlar. En la Figura 25.31 vemos como conectar el devanado C1 C2 para obtener una corriente de control, i e , proporcional a una tensión, U, ó proporcional a una corriente. De todas formas se logra.

 U N f if + Nc  =0  Rc 

U=

( − Nf if R c ) Nc

ó

 N iR  N f if +  c 1  = 0  R1 + R c 

ó

i=

( − N f if )( R1 + R c ) N c R1

Es decir la magnitud controlada queda dependiendo de la corriente que se tome como referencia: Figura 25.31. Obtención de corriente de control i

V i − ic

ic C1 C2

ic

C1

Rc

C2

V = i cR c ic = V Rc

Rc

(i − i ) R c

ic =

965

1

( iR1 )

= i c Rc

( R1 + R c )

25. ESTABILIDAD DE LOS AMPLIFICADORES ROTATORIOS Como todo amplificador en el cual se presenta algún tipo de realimentación, los amplificadores rotatorios están sujetos a la posibilidad de entrar en oscilaciones.

Si analizamos un poco los amplificadores anteriores vemos que todos se pueden representar, más o menos bien, por un esquema como el siguiente (Figura 25.32). Figura 25.32a. Esquema simplificado de la máquina

i1

N

i2

N

R

Fampl. ( i1 + i 2 ) = e Figura 25.32b. Circuito equivalente

R

i1

Fampl. ( i1 + i 2 ) = e

L

Inductancia del devanado

i2 = 2

2A

En la Figura 25.32a mostramos el esquema simplificado de la máquina, y en la Figura 25.32b como queda el circuito si las salidas del devanado donde se induce la tensión se conecta con el devanado de excitación de T1. El otro devanado de excitación lo asumimos alimentado con 2 Amperios. 966

Solo presentamos dos devanados, y con el mismo número de espiras para no complicar la explicación. La tensión inducida es proporcional a las corrientes por los devanados multiplicadas por el factor de amplificación. Para ver como puede llegar a ser oscilante este arreglo, resolvemos las ecuaciones del circuito (Figura 25.32b). Tomando la corriente i 2 como 2 Amperios, la ecuación para i1 será:  di  F.ampl. ( i1 + 2 ) = i1R + L  1   dt 

Una solución de esta ecuación es: i1 = −i 0 eα t + i 0 lo que reemplazada en la ecuación diferencial de: − F.ampl.i 0 eα t + F.ampl.( i 0 + 2 ) = Ri 0 eα t + Ri 0 + L

∴ F.ampl.i 0 eα t = Ri 0 eα t + L α i 0 eα t

∴ α=

( F.ampl. −R ) L

y

i0 =

− ( R − F.ampl ) t 2 F.ampl.  L i1 = 1 −e ( R − F.ampl. ) 

y

d ( −i 0 eα t +i 0 ) dt

F.ampl. i 0 + F.ampl.2 = R i 0

2F.ampl. ( R − F.ampl. )

  

En la Figura 25.33 observemos el comportamiento posible de la solución. Cuando Fampl. < R , tenemos la solución convencional de la corriente amortiguada de una bobina descargándose por la resistencia; cuando Fampl. > R F.ampl. > R la solución es creciente, la realimentación produce un incremento con la corriente. Ahora, si al crecer la corriente se satura el circuito y disminuye el factor de amplificación, podemos tener un comportamiento oscilante entre la respuesta creciente y la respuesta decreciente.

967

Figura 25.33. Corriente en función de Fampl. y R

i1

Fampl. > R

F

. pl am

=R

Fampl. < R t Tal como se trata de ilustrar en la Figura. 25.34, la corriente sería oscilatoria, entrando la máquina en un comportamiento de este tipo. Para anular este comportamiento oscilatorio se podría usar el devanado de i 2 . Figura 25.34. Corriente oscilatoria

i

t

El condensador, cambia la “fase” de i 2 de modo que si el voltaje aumenta, i 2 disminuye y viceversa (Figura 25.35). Este devanado que se opone a las oscilaciones, se suele denominar “devanado amortiguador”. 968

Figura 25.35. Devanado amortiguador

R

i2 i1 L1

L 1 ( i1 + i 2 )

969

C L2

26. MÁQUINAS DE CONMUTADOR EN C.A 26.1 INTRODUCCIÓN La C.A. (Corriente Alterna) tiene la ventaja, sobre la C.D. (Corriente Directa), de permitir una sencilla y relativamente barata transformación (mediante los “transformadores”, precisamente), entre voltajes altos y bajos. Los voltajes altos facilitan el transporte de la energía eléctrica, mientras los bajos facilitan su utilización. Al no existir motores de C.A. con características de velocidad “suaves” ni fácilmente controlables (los motores sincrónicos tienen una característica de T = f (Wmr ) rígida completamente, y los de inducción también la tienen a menos que se sacrifique eficiencia aumentando las resistencias del rotor), se optó por el desarrollo de motores de conmutador en C.A. que si gozan de características T = f (Wmr ) “suaves” (como el motor serie de C.D.) y son fácilmente controlables (por decalaje de las escobillas por ejemplo).

Las ventajas anteriores fueron causa de que los inconvenientes que presenta la conmutación en C.A. se solucionarán a costa de mayor tamaño y diseños más cuidadosos aún con el resultado de un incremento en el costo por K. W. desarrollado. En resumen, se trató de combinar las ventajas de la corriente alterna con las ventajas de los motores de conmutador. Las máquinas de conmutador en C.A. no se limitaron a los motores 3φ , también cubrieron el campo de los “convertidores”, que “convertían” C.A. en C.D. y viceversa (ya completamente superados con la aparición de los “convertidores” electrónicos), y de los pequeños motores monofásicos, llamados “universales” (porque funcionan en C.D. y en C.A.). Estos últimos han resultado tan versátiles y prácticos que se emplean en multitud de electrodomésticos. Este capítulo cubre esta clase de máquinas. Se utiliza la misma teoría vista en los capitulas anteriores, gracias al reemplazo del devanado del rotor por un devanado estático y a la teoría de los “flujos giratorios”.

971

26.2 DEVANADO ESTATICO EQUIVALENTE Cuando estudiamos la repartición de corriente en los devanados de conmutador no hicimos diferencia entre C.D. y C.A., en efecto, la naturaleza de la corriente no tiene que ver nada en la forma en que se reparte la corriente por las bobinas del rotor. En un sencillo devanado de cuatro ranuras se pone de manifiesto esta repartición (Figura 26.1). Obsérvese como no interesa si la corriente es directa o alterna.

Figura 26.1a. Repartición de corriente por las bobinas del rotor

ir

Figura 26.1b. Diagrama planar de repartición de corriente

c

a

a

b b

ir 972

No repetiremos, entonces, todos los pasos ya hechos para llegar a la representación del devanado por uno equivalente. Bastemos con repetir que entre las escobillas siempre se presentan dos caminos de corriente en paralelo, cada uno con la mitad de las bobinas totales. Ilustremos esto en la Figura 26.2. Figura 26.2. Dos caminos de corriente en paralelo

ir Nr'

ir

2 Nr'

2

ir

2

2

Si llamamos N el número de espiras de cada bobina, el número de espiras de los devanados equivalentes es:   Kθ r    Sen  4     Nr' = N   Sen  θ r        2 

Ahora, como escribir siempre N r ' es un poco engorroso, de aquí en adelante solo utilizaremos N r ' como el número de espiras equivalente. Los términos de la expresión anterior se definen en la Figura 26.3. En una ranura hay 2N conductores.

K = número de ranuras

θ r = ángulo entre ranuras

973

Figura 26.3. Numero de espiras y ángulo entre ranuras

N

N

θr

N

Ahora, aunque ésta expresión ya fue deducida anteriormente, nos parece tan importante que repetimos su deducción, pero considerado cuidadosamente la circulación de la corriente en el rotor. Para esta deducción no tomamos la f.m.m. de un par de ranuras opuestas, sino la f.m.m. de cada bobina. En la Figura. 26.4 se ve perfectamente como las bobinas se dividen en dos grupos iguales, de K bobinas cada uno. Figura 26.4. Bobinas divididas en dos grupos

ir

ir

2

2

Uno de éstos grupos se muestra en línea continua y el otro se muestra en línea punteada. En la Figura 26.5 se ve un dibujo desarrollado del mismo devanado. 974

Figura 26.5. Diagrama planar del devanado

ir

2

ir ir

2

i Cada bobina de N espiras produce una f.m.m. igual a ( N )  r  , que representamos por un  2 fasor dirigido de acuerdo a la regla de la mano derecha (Figura 26.6a). La f.m.m. neta, será la suma vectorial de estas f.m.m.s individuales.

Se trata de sumar K

vectores iguales, que forman una porción de un polígono regular, 2 que puede inscribirse en un circuito de radio R. Refiriéndonos a la Figura 26.6, tenemos: Figura 26.6a. Direcciones y suma de f.m.m.

975

Figura 26.6b. f.m.m. resultante

ni r r

2

r

( 2)θ

θr

f.m .m .

k

R

kθ r

θ r ni r

2 f.m.m. r

2

 Ni r    2  θ  Sen  r  =  2R 2  kθ Sen  r  4

  f.m.m.r  =    2R    kθ   Sen  r     Ni   4  ∴ f.m.m.r =  r    2   Sen  θ r      2

Si llamamos a los K

Nr

el número de espiras del devanado estático equivalente que reemplazará 2 bobinas que comprenden una de las ramas en paralelo entre las escobillas (Figura

2 26.7), la f.m.m. de este devanado estático equivalente será: i  f.m.m.r = N r  r  2

Y debe ser igual a la calculada. 976

Figura 26.7. Espiras de devanado estático

Nr

ir

ir

Nr i r

2

2

Nr i r

2

2

  kθ   Sen  r     i   Ni   4  ∴ f.m.m.r = N r  r  =  r    2   2   Sen  θ r      2

Cancelando

ir

2

, vemos inmediatamente que el número de espiras del devanado

equivalente es:   kθ r    Sen  4     Nr = N   Sen  θ r      2

Como son dos devanados en paralelo con la corriente

ir

, producen f.m.m.r en el mismo 2 sentido, se pueden reemplazar por un solo devanado del mismo número de espiras, pero con toda la corriente circulando por él (Figura 26.8): Figura 26.8. Devanado equivalente

ir

ir Nr i r

977

En cuanto a la tensión inducida entre escobillas, la demostración es idéntica a la ya vista. En lo esencial consiste en calcular la tensión inducida en cada bobina individual y luego sumar las tensiones de las bobinas que quedan en serie entre escobillas. En la Figura 26.9 se ilustra cómo se suman las tensiones instantáneas de las bobinas para conseguir la tensión total entre escobillas. Para encontrar la tensión en cada bobina individual, recuérdese que se emplea la fórmula general para calcular la tensión en cualquier bobina debida a cualquier flujo giratorio.

Eφ → b =

N φ (We − Wmr ) 2

Donde: Eφ → b

: Amplitud de la tensión inducida en voltios

N

: Número de espiras de la bobina.

φ

: Flujo de Webers.

We − Wmr

: Velocidad del flujo respecto a la bobina.

Figura 26.9a Suma de tensiones instantáneas

e2

e3

e4

e1 ir

978

2

.

Figura 26.9b. Diagrama planar de tensiones

e1

e2

e3

e4

Esta tensión se representa por un fasor atrasado 90° Eléctricos respecto al flujo (Figura 26.10). Figura 26.10. Desfase de la tensión respecto al flujo

We

Wm r

φ

e2

Eφ → b =

Nφ (We + Wm r ) 2

e1

Pero las tensiones instantáneas en las bobinas se encuentran proyectando este fasor en los ejes de las bobinas (Figura 26.11).

979

Figura 26.11. Proyección de las tensiones instantáneas

φ

e3 e 2 e1

4

θr 3

Eφ → b

2 1

∴ eescobillas = e1 + e2 + e3 + e4 + ...... + en

En el caso ilustrado solo tenemos cuatro bobinas serie, pero el desarrollo de la teoría debe cubrir cualquier número de ellas, por lo que asumimos un valor n. e1 = 2 Eφ →b Cos α → E1 = 2 Eφ →b α e2 = 2 Eφ →b Cos( α + θ r ) → E 2 = 2 Eφ → b α + θ r e3 = 2 Eφ →b Cos( α + 2θ r ) → E 3 = 2 Eφ →b α + 2θ r e4 = 2 Eφ → b Cos( α + 3θ r ) → E 4 = 2 Eφ →b α + 3θ r


en = 2 Eφ →b Cos ( α + ( n − 1) θ r ) → E n = 2 Eφ →b α + ( n − 1) θ r

Para sumar esos valores instantáneos de tensión recurrimos a la representación fasorial de los mismos. Evidentemente se llega a una suma exactamente similar a la suma de las f.m.m.s (Figura 26.12).  Eφ → b   2  θ   Sen  r  =  R 2

980

 Er    2  nθ  Sen  r  =   R  2    nθ r    Sen  2     ∴ E r = Eφ → b  θ    Sen r      2 

Figura 26.12. Sumas de tensiones instantáneas θr E4

R

E3

n θr E r

E2

θr

θr

θr

E1

Para el caso del devanado monofásico que hemos trabajado, el número de bobinas en serie entre escobillas es la mitad del total, es decir, k : 2 ∴ n=k

2

  kθ r    Sen  4     E r = Eφ →b  θ  Sen  r       2    kθ   Sen  r     N φ (We − Wmr )   2  =  2    Sen  θ r      2

981

 N φ (We − Wmr )  ∴ Er =  r  2  

O sea: la tensión neta entre escobillas es igual a la tensión inducida en el devanado equivalente estático, ¡siempre que se considere la velocidad verdadera del flujo respecto a las bobinas del rotor! Ahora si se hace el cálculo para el otro medio devanando, el que está en paralelo con el anterior, sé verá que da la misma tensión inducida (Figura 26.13). No resulta, entonces, ningún problema en la unión de los dos devanados en uno sólo equivalente. (Figura 26.14). Figura 26.13. Tensión inducida de devanados en paralelo

ir

2 Er Er

ir

2

Figura 26.14. Devanado equivalente

Er

ir

ir

982

26.3. FLUJOS PULSANTES Los flujos producidos por C.A. no son constantes como los producidos por C.D., sino “pulsantes”. Su valor varía senoidalmente en el tiempo. Como trabajar con estos flujos es un poco complejo, los reducimos siempre a dos “flujos giratorios”.

En la Figura 26.15 se dan, en resumen, las condiciones bajo las cuales se reemplaza el flujo pulsante: φ Cos (W t + α ) por dos flujos giratorios.

Figura 26.15. Flujos giratorios

φ

φ 2 Wt +α

2

Wt +α

φ Cos (W t + α )

Estos flujos son simétricos respecto al eje del flujo pulsante; tienen una magnitud constante igual a la amplitud del flujo pulsante dividida por dos (2); y giran a una velocidad igual a la velocidad angular del flujo pulsante. Por consiguiente, nunca trataremos de calcular ni el torque ni la tensión inducida por un flujo pulsante directamente, siempre los reduciremos a los flujos giratorios correspondientes y trabajaremos con ellos, a menos que por motivos didácticos lo consideremos conveniente. Ahora, no descompondremos las f.m.m.s pulsantes en f.m.m. giratorias sino cuando no tengamos dudas sobre la reluctancia que debamos emplear. Por ejemplo, en la Figura 26.16 se muestra una máquina que claramente presenta dos reluctancias diferentes para el eje directo y para el eje en cuadratura; si descomponemos la f.m.m. pulsante del eje, en dos giratorias, ¿qué reluctancia debemos emplear para calcular los flujos giratorios? Como son f.m.m.s giratorias están cambiando continuamente de eje, y no hay forma de saber que reluctancia asignarle. Lo que ocurre en realidad es que el flujo pulsante está en el eje d, y solo está determinado por la reluctancia del eje directo. Por eso, repetimos, solo

983

descompondremos los flujos pulsantes en flujos giratorios cuando corresponden a Reluctancias bien definidas, las que usualmente, corresponden al eje d y al eje q. Figura 26.16. Reluctancias de eje directo y eje en cuadratura i

q

φ

d

Por último, seguimos aceptando que las f.m.m.s y los flujos deben tener una distribución senoidal en el espacio para poder tratarse como vectores. En el caso de distribuciones no senoidales, trabajaremos con la fundamental de las series de Fourier correspondiente, y despreciaremos el efecto de todos los demás armónicos. (Figura 26.17). Figura 26.17. Distribución senoidal y real

Distribución senoidal Distribución real

984

26.4 LA MÁQUINA 1Φ DE CONMUTADOR EN C.A. Teóricamente estas máquinas podrían ser de rotor y de estator liso (Figura 26.18a), pero se presentaría el inconveniente de la dificultad para colocar los polos de conmutación. Por lo anterior se prefiere el diseño convencional de polos salientes en el estator (Figura 26.18b)

Figura 26.18a. Máquina de conmutador de rotor y de estator liso F1

F2

A2

A1

Figura 26.18b. Máquina de conmutador de polos salientes F1 A2

A1

F2

A este último diseño nos referimos aquí: la Figura 26.19 nos muestra la representación esquematizada de la máquina. Las corrientes en el estator y en el rotor se toman como corrientes alternas senoidales: i e = 2 IeCos (We t − θ e ) i r = 2 I r Cos (Wr t − θ r ) 985

Figura 26.19. Esquema de la máquina de conmutador

F1

ie Ne

F2

Wmr

A1

ir

A2 Nr

d

Asumimos i e e i r como los valores r.m.s. de las corrientes. Los fasores de corriente serán: Ie = Ie We t + θ e

I r = Ir Wr t + θ r

Los flujos se calculan así:

φd =

N e i e N ei e 2 Cos (We t + θ e ) = Reld Reld

φq =

N r i r N r i r 2 Cos (Wr t + θ r ) = Relq Relq 986

q

2 para obtener las amplitudes de los flujos, no sus

Obsérvese como multiplicamos por valores r.m.s.

Al dividir estos en sus componentes giratorios (Figura 26.20) en la máquina quedan cuatro flujos. Figura 26.20. Componentes giratorios de los flujos

Wr t + θr Wr t + θr

φe

φe 2

We t + θ e

q

2

We t + θ e d

Como se debe cumplir que para que exista torque promedio deben existir flujos del rotor y del estator que giran a la misma velocidad, se concluye que We debe ser igual a Wr para que se cumpla esa condición. En resumen, para que estas máquinas tengan un funcionamiento continuo, rotor y estator deben de tener la misma frecuencia. Asumiendo esto, volvamos a estudiar el esquema simplificado (Figura 26.21), en el cual:

φe =

2 Ne ie Reld

φr =

2 Nr ir Relq

987

Figura 26.21. Esquema simplificado de flujos

φe Wr t + θr Wr t + θr

We t + θ e

q

We t + θ e

φe φe

2

2

2 d

Calculamos el torque sobre el rotor: φ φ  Tr = Relq  e r  [ Sen ( 90° + We t + θ e + We t + θ r ) + Sen ( 90° + We t + θ e − We t − θ r )  2 2  + Sen ( 90° − We t − θ e + We t + θ r ) + Sen ( 90° − We t − θ e − We t − θ r )] = T1 + T2 + T3 + T4

Donde: φ φ  T1 = Sen ( 90° + We t + θ e + We t + θ r ) × Relq  e r   2 2  φ φ  T2 = Sen ( 90° + We t + θ e − We t − θ r ) × Relq  e r   2 2  φ φ  T3 = Sen ( 90° − We t − θ e + We t + θ r ) × Relq  e r   2 2  φ φ  T4 = Sen ( 90° − We t − θ e − We t − θ r ) × Relq  e r   2 2 

En la Figura 26.22 se muestra la interpretación correspondientes a estos torques: 988

Figura 26.22. Interpretación gráfica de los torques

φr

φr

2

T1

Wr t + θr Wr t + θr

φe

We t + θ e

2

φr

T3

Wr t + θr Wr t + θr We t + θ e

2

2

T2

φe

φ φ  ∴ Tr =  e r  Relq [ Sen ( 90° + 2We t + θ e + θ r ) + Sen ( 90° + θ e − θ r )  4  + Sen ( 90° + θ r − θ e ) + Sen ( 90° − 2We t − θ e − θ r )]

Donde: φ φ  T1 = Sen ( 90° + 2We t + θ e + θ r ) ×  e r  Relq  4  φ φ  T2 = Sen ( 90° + θ e + θ r ) ×  e r  Relq  4  φ φ  T3 = Sen ( 90° + θ r − θ e ) ×  e r  Relq  4  φ φ  T4 = Sen ( 90° − 2We t − θ e − θ r ) ×  e r  Relq  4 

Como: Sen ( α ± β ) = Sen α Cos β ± Cos α Sen β

989

φr 2

2

T4

Sen ( 90° + 2We t + θ e + θ r ) = Sen ( 90° ) Cos ( 2We t + θ e + θ r ) + Cos ( 90° ) Sen ( 2We t + θ e + θ r ) = Cos ( 2We t + θ e + θ r )

Sen ( 90° − 2We t − θ e − θ r ) = Sen ( 90° ) Cos ( 2We t + θ e + θ r ) − Cos ( 90° ) Sen ( 2We t + θ e + θ r ) = Cos ( 2We t + θ e + θ r )

Sen ( 90° + θ e − θ r ) = Sen ( 90° ) Cos ( θ e − θ r ) + Cos ( 90° ) Sen ( θ e − θ r ) = Cos ( θ e − θ r )

Sen ( 90° − [θ e − θ r ]) = Sen ( 90° ) Cos ( θ e − θ r ) + Cos ( 90° ) Sen ( θ e − θ r )

= Cos ( θ e − θ r )

φ φ  Tr =  e r  Relq  2Cos ( θ e − θ r ) + 2Cos ( 2We t + θ e + θ r )   4  φ φ  ∴ Tr =  e r  Relq Cos ( θ e − θ r ) + Cos ( 2We t + θ e + θ r )   2 

Solo por motivos didácticos calculemos el torque directamente, con los flujos instantáneos (Figura 26.23): Figura 26.23. Torque con los flujos instantáneos

φq Tr

φd d 990

q

Tr = Relq φe φq Sen ( 90° )   N i 2    N r i r 2  = Relq  e e  Cos (We t + θ r )   Cos (We t + θ e )  ×    Reld    Relq  ∴ Tr = Relq φe φr Cos (We t + θ e ) Cos (We t + θ r ) 

Pero: Cos ( α ± β ) = Cos α Cos β ∓ Sen α Sen β ∴ Cos α Cos β =

1 Cos ( α + β ) + Cos ( α − β )  2

 Relq φe φr  ∴ Tr =   Cos (We t + θ e + We t + θ r ) + Cos (We t + θ e − We t − θ r )  2    Relq φe φr  =  Cos ( θ e − θ r ) + Cos ( 2We t + θ e − θ r )  2  

Expresión idéntica a la encontrada empleando los flujos giratorios. Figura 26.24. Distribución del torque Tr

Rel q φ e φ q Cos ( θ e − θ r )

t

Tal como puede verse la Figura 26.24, el torque no es constante, tiene un valor promedio distinto de cero y por lo tanto la máquina funciona perfectamente. Pero de todas formas su comportamiento es “pulsante”, sobre todo a frecuencias de alimentación bajas. Otro posible

991

problema, aunque raro, consiste en que el sistema mecánico que mueve el motor que estudiamos tenga una resonancia a la frecuencia 2We . En este caso los efectos perjudiciales del torque pulsatorio se incrementan enormemente. Por último, evidentemente, si queremos obtener el torque más alto para una i e e una i r dadas, debemos hacer: θ e − θ r = 0 ( θ e = θ r ). Es decir, debemos procurar que las corrientes del estator y del rotor estén en fase. Esta condición se consigue inmediatamente con la conexión en serie, puesto que i e e i r son la misma corriente, siendo por esta razón, la conexión preferida; sin embargo, no hay razón que impida conseguir el mismo desfase en la conexión Shunt, pero a costa de un diseño más cuidadoso. Esta dependencia del torque de la fase de las corrientes podría utilizarse para fines de control de velocidad, pero no se ha explotado esta posibilidad, prefiriéndose otros métodos. 26.4.1 Circuito equivalente del motor 1Φ en C.A. Seguimos el procedimiento convencional analizando las tensiones que se presentan en los devanados (Figura 26.25). Devanado del estator: es un devanado estático; φ q queda en cuadratura y no induce

tensiones en él; φ d queda alineado e induce tensiones.

Figura 26.25. Esquema del motor

F1 F2

ie Ne

φq

ir

A1 A 2

φd

d

992

q

Veamos estas tensiones, los flujos giratorios que representan a φ d (Figura 26.26) inducen las tensiones: Eφ d 2

(N φ e

=

We )

d

(2 2 )

→e

Figura 26.26. Flujos giratorios que representan a φ d

Ne

Ne

φd

We We

2

We t + β e

We t + β e

Eφ d  

Eφ d  

φd

 →e 2 

E φ d  

 →e 2 

 →e 2 

E φ d  

 →e 2 

ee We t + β e − 90°

La tensión en el devanado será la suma de las dos tensiones instantáneas correspondientes: ee = 2 2 E φ d 2

→e

Cos (We t + θ r − 90° )

= ( N e φ d We ) Cos (We t + θ r − 90° )

Su fasor correspondiente será: Ee =

(N φ W ) W t +θ e

d

e

2

e

r

− 90°

Recordando que: Ie = 2 Ie N

r.m.s

We t + θ e

2I 

e φ d =  e  We t + θ e Rel d  

993

El diagrama fasorial quedará tal como se muestra en la Figura 26.27a, y el circuito equivalente en la Figura 26.27b. Obsérvese que la tensión inducida por φ d corresponde, en último término, a una simple autoinducción del devanado en si mismo. Se incluye en el circuito equivalente la caída en la resistencia del devanado y la caída debido al flujo de dispersión. Figura 26.27. Diagrama fasorial y circuito equivalente del estator

ie j

F1

ie

N e2We Rel d

Re

φd j X e disp

We t + β e j

Ee

F2

a

N e 2We Rel d

i e = −E e

b

Devanado del rotor: φ d aparece en cuadratura con el devanado del rotor (Figura 26.28), no inducirá tensiones de “transformador”, pero si tensiones de “movimiento”, para evitar dudas calculamos las tensiones debidas a los flujos giratorios correspondientes.

Figura 26.28. Diagrama fasorial del rotor

φd

2

b

φd

2

We We

a

We t + β e

Eφ d  

 b→r 2 

φd 994

Eφ d  

 a →r 2 

E φ d 

 2  a → r  

 Nr φ d  =  (We − Wmr )  2 2 

(We − Wmr ) → Velocidad de este flujo respecto a los devanados del rotor.

E φ d 

  b → r  2 

 N   φ d   =  r     (We + Wmr )  2   2  

(We + Wmr ) → Velocidad de este flujo respecto a los devanados del rotor. La tensión en el devanado se encuentra mediante las tensiones instantáneas (Figura.26.29).

er a y b = era + erb

= E φ d 

  a → r  2 

Cos (180° − We t − θ e ) − E  φ d 

∴ er a y b = − E φ d 

 2  a → r  

  b → r  2 

Cos (We t + θ e ) + E  φ d 

  b → r  2 

Cos (180° − We t − θ e )

Cos (We t + θ e )

Figura 26.29. Tensiones instantáneas en el devanado

Nr

er b

era 90° − (We t + θ e − 90° )

We t + θ e − 90°

995

We t + θ e − 90°

θ

Cos (180° − θ ) = −Cos θ

 N r φ d (We + Wmr )   N r φ d (We − Wmr )  er a y b =  −  × Cos (We t + θ e ) 2 2 2 2    

 Nr φ d  =  (We + Wmr − We + Wmr ) Cos (We t + θ e ) 2 2    N r φ d Wmr ∴ er a y b =  2  NW =  r mr 2  =

  Cos (We t + θ e ) 

  2 Ne ie    Rel  Cos (We t + θ e )  d 

N e N r Wmr i e Reld

= N r Wmr φ d instantáneo

En fasores: er a yb =

N e N r Wmr Ie Reld

¡Esta tensión queda en fase con el flujo que la induce! (Figura 26.30). 996

Figura 26.30. Tensión en fase con el flujo

ie

φd Er a y b

Para calcular la tensión debida al flujo φ q , tengamos en cuenta que ya aceptamos que We = Wmr . Las tensiones inducidas por los flujos giratorios correspondientes serán (Figura 26.31):

Figura 26.31. Tensiones inducidas por los flujos giratorios

φq

2

c We t + θ r

Nr

We t + θ r

φq

φq

2

2

d

c

E φ q  

φq

2

 c →r 2 

Eφ q

d

 

997

 d →r 2 

E φ q 

 N   φq  =  r    (We − Wmr )  2  2 

E φ q 

 N  φq  =  r    (We + Wmr )  2  2 

 2  c → r  

 2  d → r  

er c yd = E  φ q 

 2  c → r  

Cos (We t + θ r − 90° ) + E φ d 

 2  b → r  

Cos (We t + θ r − 90° )

 N   φq =  r   2  2

  Cos (We t + θ r − 90° )(We − Wmr + We + Wmr ) 

 N   φq =  r   2  2

  2WeCos (We t + θ r − 90° ) 

 N 2W er c yd =  r e  Rel q 

  i r Cos (We t + θ r − 90° ) 

En forma fasorial:  N 2W E r c yd =  r e  Rel q 

  N r 2 We Ir i W t + θ − 90 ° = − j  r e  r   Relq

  

En la Figura 26.32 mostramos el diagrama fasorial y el circuito equivalente del devanado del rotor. Por último en la Figura 26.33 se ilustra el circuito equivalente completo. Obsérvese como las reactancias debidas a los flujos principales y de dispersión se han sumado en las reactancias totales X r y X e . La potencia mecánica (convención de generador) corresponde a la potencia suministrada por la fuente controlada del circuito del rotor, calculemos: *

S Mecánica = Voltaje × [ Corriente fuente]

998

N N W S Mecánica =  r e mr  Reld

 *  i e [i r ] 

* N N W  =  r e mr  i e r.m.s We t + θ e i r r.m.s We t + θ e   Reld 

N N W =  r e mr  Reld

  i e r.m.s i r r.m.s θ e − θ r 

Figura 26.32. Diagrama fasorial y circuito equivalente del rotor

ir

φq

Er c y d

Rx

 Ne Nr   Rel d

j X er disp

j

  Wmr i e 

N e2We

ir

Rel q

A2

A1

999

Figura 26.33. Circuito equivalente del rotor

ie

F1

Re jX e

F2

Rr

jX r

ir

  Wmr i e 

Pmec

A1

A2

∴ Pmecánica = Parte RealSmecánica

 N r N e Wmr i r r.m.s i e r.m.s = Reld 

  × Cos ( θ e − θ r ) 

Ahora veamos el torque:

T=

 Ne N r   Rel d

Pmecánica  N r N e Wmr i r r.m.s i e r.m.s Cos ( θ e − θ r )  =   Wmr Reld  

Recordemos:

1000

φd =

φq =

N e i e r.m.s 2 Reld

N e i r r.m.s 2 Relq

 φ d Reld  φ q Relq   Cos ( θ − θ )  e r   ∴ T=     Reld 2 2    

=

Relq φ d φ q Cos ( θ e − θ r ) 2

Expresión idéntica a la que habíamos conseguido para el torque promedio al iniciar este estudio. 26.4.2 Funcionamiento como generador. Esta máquina puede funcionar en C.A. exactamente en la misma forma como funciona el generador de C.D. correspondiente. Puede funcionar con excitación independiente, o con excitación independiente y un devanado serie aditivo o sustractivo. La única diferencia radica en la autoexcitación.

Por ejemplo, en la Figura 26.34 mostramos un montaje hipotético de un generador compuesto autoexcitado. Para la autoexcitación se debe proveer de un convertidor de C.D. en C.A. La pequeña C.D. producida por el flujo remanente se convierte en C.A. y se aplica con la frecuencia y fase adecuada a un devanado de excitación especial. Puede simplificarse el montaje si la máquina tiene un devanado de C.A. en el rotor con salida por anillos rozantes. Este devanado puede ser el mismo del conmutador, tomando dos delgas opuestas y conectándolas a sendos anillos rozantes (a ó b en la Figura 26.33).

1001

Figura 26.34. Montaje de generador compuesto autoexcitado

Figura 26.35. Esquema de generador compuesto autoexcitado

a ic A

r

b

El tratamiento de este devanado sería idéntico al que se hizo para el devanado de conmutador, con la diferencia que ya no se reduce a un devanado estático sino a uno móvil, con la misma velocidad del rotor (Figura 26.36).

1002

Figura 26.36. Devanado móvil

N

r

N

r

b

ic Ar a No insistimos sobre este caso teniendo en cuenta su poca utilidad práctica. 26.4.3 Funcionamiento como motor. Al no existir el problema de la autoexcitación, se concluye que ya no existe ninguna diferencia, teórica, en las posibilidades de esta máquina de C.A. respecto a las posibilidades de la correspondiente de C.D. 26.4.3.1 Motor de excitación independiente y motor shunt. Bastaría con tomar Ve = Vr para que la Figura 26.37 ilustrara el caso del motor Shunt.

Figura 26.37. Circuito equivalente de motor de excitación independiente

ie

Re Ve jX e

1003

Rr

jX r

 Ne Nr   Rel d

  Wmr i e 

Carga mecánica Pmec ir

Vr

El estudio lo reduciremos al cálculo de la característica: T = f (Wmr )

Ecuaciones: Ie =

Ve → parámetro R e + j Xe

N N 2 Vr =  r e  Wmr Ie + I r ( R r + j X r )  Reld 

N N W Pmec = Parte Real  r e mr  Reld ∴ Tr =

 *  Ie i r 

Pmecánica Wmr

*    Nr Ne 2      Vr −   Ie   Rel  N r N e   d     = Parte Real  ¨  Ie * ( R r + j Xr )  Reld      

Para simplificar expresiones escribiremos: 1004

*

( R r + j Xr )

(

= Z r θ Zr

*

) =Z

−θ Zr → parámetro

r

Vr = Zr 0 → referencia Ie = Zr θ Ie → parámetro  N N Tr = Parte Real  r e  Reld Zr N N I ∴ Tr =  r e e  Reld Zr

  N r N e Wmr   Ie Vr θ Ie + θ Zr −   Reld 

  Ie 

2

  θ Zr    

   N r N e Wmr Ie    Vr Cos θ Ie + θ Zr −   Cos θ Zr  Reld     

(

)

( )

Obtenemos la misma característica del motor Shunt. Como se puede observar, aumentan en forma muy interesante las posibilidades de control, pero no las veremos en este texto. Figura 26.38. Característica del motor shunt

T

a=

N e N r I e Vr Cos ( Bie + Bi r ) Rel d Zr

a

Wm r

Rel d Vr Cos ( Bie + Bi r ) N e N r I e Cos ( BZr )

26.4.3.2 Motor serie. En este caso Ie = I r = I . Las ecuaciones quedarán (Figura 26.39):

N N W  Vr =  r e mr  I + I ( R e + R r + j X e + j X r )  Reld 

1005

Figura 26.39. Circuito equivalente de motor serie

Re jX e

Vr

 Ne Nr  j X r  Rel d

Rr

  Wm r i e 

Pmec ir i

Para simplificar las expresiones, llamaremos: Z = R e + R r + j Xe + j Xr = Z θZ

 N N W ∴ Vr = I  r e mr  Reld

Pmec

   + Z  

N N W  N NW I = Parte Real  r e mr I ×I  = r e mr Reld  Reld 

∴ Tr =

2

Pmecánica N r N e 2 = I } Wmr Reld

    N N Vr  ∴ Tr = r e  Reld  N r N e Wmr + Z θ   Rel   d 

2

1006

    V 0 N N r  ∴ Tr = r e  Reld  N r N e Wmr + R + R + j X + X  ( e r) e r  Reld  ∴ Tr =

N e N r Vr

2

2

N N W 2 Reld  e r mr + R e + R r + ( X e + X r )   Reld 

Se obtiene, al fin de cuentas una característica enteramente similar a la del motor serie de C.D. (Figura 26.40). Figura 26.40. Característica de motor serie

Tr N e N r Ve Rel d Z

2

2

Wm r 26.4.3.3 Motores compuestos. Como se habrá concluido, el comportamiento de estos motores es tan similar a sus correspondientes de C.D., que no resulta nada novedoso cuando se desarrollan las ecuaciones para los motores compuestos, por lo que no los estudiaremos aquí. 26.5 MOTOR DE REPULSIÓN Los motores monofásicos anteriores se caracterizaban por tener las escobillas de tal forma que el devanado del rotor quedaba en cuadratura con el del estator. En el motor de repulsión las escobillas están decaladas un ángulo β , respecto al eje en cuadratura y además están en corto - circuito.

Veamos su teoría basándose en la Figura 26.41. 1007

Figura 26.41. Esquema y diagrama de motor de repulsión

ie Ne i e

β ir Nr

f.m.m.d = N e Ie − N r Ir Sen β f.m.m.q = N r I r Cos β

φd =

φq =

f.m.m.d ( N e Ie − N r I r Sen β ) = Reld Reld f.m.m.q Relq

=

( N r Ir Cos β ) Relq

Para variar la metodología vamos a estudiar las tensiones inducidas sin dividir los flujos en flujos giratorios: 1008

ee = − N e N r

ee = − N e

dφ ligado al estator dt

d  N e Ie N r I r Senβ  −   d t  Reld Reld 

∴ ee = −

N e 2 d Ie N e N r dI + Sen β r Reld d t Reld dt

er = − N r

d φ q Cos β − φ q Sen β  dt 

er = − N r

 N I N I d  N r Ir Cos 2 β − r e Sen β + r r Sen 2 β   d t  Relq Reld Relq 

N 2  dI N N N2 dI er = −  r Cos 2 β + r Sen 2 β  r + r e Sen β e Reld Reld dt  Relq  d t

Obsérvese como si Reld = Relq , se simplifica la expresión de la tensión inducida por i r en su propio devanado. El circuito equivalente resulta interpretando las tensiones anteriores como tensiones debidas a inductancias mutuas. Pero faltan las “tensiones de movimiento”. Estas solo se manifiestan en el rotor que se asume en movimiento (Figura 26.42). er movimiento = Eφ q→r Sen β + Eφ d →r Cos β

= N r φ q Wmr Sen β + N r φ d Wmr Cos β

 N I Cos β = N r Wmr Sen β  r r  Relq 

  N I − N r I r Sen β   + N r Wmr Cos β  e e  Reld   

1009

Figura 26.42. Tensiones de movimiento

Wm r Eφ q → r

β

φq

Eφ d → r

Nr

En definitiva, el circuito equivalente queda (Figura 26.263): N2  N2 ja = j X r disp + j  r Cos 2 β + r Sen 2 β  We Reld  Relq 

er mov

 N r 2 Sen β Cos β Wmr Ir N r 2 Sen β Cos β Wmr Ir N r Sen B Cos β Wmr Cos β Ie  = − +   Relq Reld Reld  

Figura 26.43. Circuito equivalente

Re j X e disp j

j

N e2 Rel d

We

Ne Nr Rel d

1010

( Sen β ) i r We

Rr

ja

j

Ne Nr ( Sen β )We i e Rel d e r mov

Circuito que puede simplificarse (Figura 26.44):. Figura 26.44. Circuito equivalente simplificado

Re jX e

j Mir

Rr

j Xr

j Mie

(k i

r r

+ ke i e )

Pmec

Obsérvese como hay tensiones de transformador (M) y tensiones de movimiento. La potencia mecánica corresponde a la potencia activa en la fuente: Pmec = Parte real ( K r I r + K e Ie ) I r* 1011

Las otras ecuaciones corresponden a las ecuaciones de malla: Ve = Ie ( R e + j X e ) + j MI r 0 = Ir ( R r + j X r ) + j MIe + K r I r + K e Ie Ir =

( − j M − K e ) Ie ( R r + j Xr + K r )

 − ( j M + K e ) Ie  Ve = Ie ( R e + j X e ) + j M    ( R r + j Xr + K r ) 

Ie =

Ir =

Ie =

Ir =

Ve jM ( jM + Ke ) R e + j Xe − R r + jXr + Kr −Ve ( j M + K e ) jM ( jM + Ke )   R e + j Xe −  ( R r + j Xr + K r ) R r + j Xr + K r  

Ve ( R r + j X r + K r )

(R

e

R r + R e K r + j R e X r + j R r X e + j X e K r − X e X r + M 2 − j MK e ) − Ve ( j M + K e )

 R e R r + R e K r + M 2 − X e X r + j ( R e X r + R r X e + X e K r − MK e ) 

Ahora:

Pmec

Ie      − I ( R + j X r + K r )   2 = Parte real K r I r + K e I r  r r  jM + Ke     

 ( R + j X r + K r )( K e − j M )   2 2  Pmec = K r I r − K e I r Parte real  r  Ke2 +M2    

1012

 R K + K r K e + MX r + j ( − M R r − MK r + K e X r )   2   Pmec = I r K r − K e Parte real  r e  Ke2 +M2    

K ( R K + K K + MX r )  2  Pmec = I r  K r − e r e 2 r 2e  Ke +M   Pmec = I r

2

Pmec = I r

2

 K r K e 2 + K r M 2 − R r K e 2 − K e 2 K r − MK e X r    K e 2 +M 2    K r M 2 − R r K e 2 − MK e X r    Ke2 +M2  

2

Por último reemplazando Ir :

Pmec =

(K M r

(K

2 e

2

− R r K e 2 − MK e X r ) Ve

2

(M

2

+ Ke2 )

2 2 + M 2 ) ( R e R r + R e K r + M 2 − X e X r ) + ( R e X r + R r X e + X e K r − MK e )   

Pero recordando que K r y K e dependen de Wmr , y escribiendo: K r = RWmr K e = EWmr ∴ Pmec =

Wmr ( R M 2 − E 2 Wmr R r − M EX r ) V

2

( R R + R R W + M 2 − X X ) 2 + ( R X + R X + X R W − M E W ) 2  e mr e r e r r e e mr mr  e r  2

R M 2 − E 2 Wmr R r − M EX r ) V ( Pmec ∴ T= = Wmr ( R R + R R W + M 2 − X X )2 + ( R X + R X + X R W − M E W )2  e mr e r e r r e e mr mr  e r 

Como se puede observar este motor tiene torque de arranque (basta con hacer Wmr = 0 , en la expresión anterior para encontrarlo) (Figura 26.45):

1013

Tarranque =

V

2

(R M

2

− M EX r )

( R R + M 2 − X X ) 2 + ( R X + R X ) 2  e r e r r e  e r 

Figura 26.45. Torque de arranque

Tcarga Tarranque

Ahora la forma precisa de la característica T = f (Wmr ) depende de los parámetros constructivos en una forma más o menos complicada, que no analizaremos aquí; pero para los diseños normales la característica es muy parecida a la de los motores serie. De modo que este motor es un motor con característica “suave” de corriente alterna monofásica. Si no se desea la característica “suave” sino “rígida”, una vez arrancado, por mecanismos centrífugos se coloca en corto - circuito el conmutador por medio de un anillo que une todas las delgas. En esta forma, arranca como motor de repulsión y pasa a funcionar como motor de inducción (Figura 26.46). Figura 26.46. Características de arranque del motor

T

T

W mr

Wm r 1014

T

Wm r

26.6 LA MÁQUINA DE CONMUTADOR 3Φ Bien podríamos hablar, en general, de la máquina polifásica, porque resulta que la teoría desarrollada es completamente válida para cualquier número de fases; pero sería un punto de vista un poco más complicado, y teniendo en cuenta que en la práctica solo se encuentran máquinas trifásicas, nos reduciremos al estudio de estas últimas. 26.6.1 Devanados estáticos equivalentes para la máquina trifásica. Las demostraciones para la f.m.m. neta y para la tensión inducida entre escobillas son las mismas ya vistas, la única diferencia radica en el número de bobinas a considerar.

Como se puede inferir en la Figura 26.47, el devanado de conmutador con tres escobillas se puede considerar, básicamente, como un devanado en delta. El número de bobinas en serie que se deben tomar tanto para calcular la f.m.m. como la tensión es k . 3 Figura 26.47. Devanado de conmutador con tres escobillas

1015

k

i ra

3

i ra

i ra

i rb

i rc

Refiriéndonos a la Figura 26.48: Figura 26.48. Tensión y f.m.m.

R

(k 3 )θ θr

r

f.m.m. Ea a Ni r a Eφ → b 1016

Ni r a Eφ → b

 Ni ra   Eφ →b   2   2  θ  =  Sen  r  =  R R 2

 f.m.m.a   E a      2   2   nθ  Sen  r  =  = R R  6 

  nθ r    Sen  6     f.m.m.a = Ni ra   Sen  θ r      2

  kθ r    Sen  6     E a = Eφ → b   Sen  θ r      2

  kθ   Sen  r     Nφ (We − Wmr )   6  ∴ Ea =   2    Sen  θ r      2

El número de espiras equivalente del devanado estático en delta, será:

  kθ r    Sen  6     Nr = N   Sen  θ r      2

Recordando que: θ r = 360°

k

1017

Obtenemos:

  k  360°     Sen  6  k         Nr = N    Sen  360°     2k  

=N

Sen ( 60° )  180°  Sen    k 

Podemos pasar el equivalente en Y con la fórmula de transformación de devanados (Figura 26.49).

NrY =

Nr N 3 N N = = =  180°   180°  2 3 2 3 Sen   2 Sen    k   k 

(

)

Figura 26.49. Transformación de devanado

Nr Y =

Nr

2

Llegamos a la conclusión de que N r Y es la mitad del número de espiras del caso monofásico. Siempre preferimos el equivalente en Y, pues resulta más fácil de manejar que el equivalente en delta. 1018

26.6.2 Estructura elemental de la máquina 3Φ de colector.

Figura 26.50a. Estructura de la máquina 3φ de colector

ie 3

ir 3 ie 1

ir 1

ir 2

ie 2 El estator es simplemente un estator 3φ como el de las máquinas sincrónicas y las máquinas de inducción. El rotor queda en definitiva reducido a un devanado 3φ conectado en Y y estático (Figura 26.50b). Figura 26.50b. Rotor estático

ie 1

ir 1

ie 2

ir 3

ie 3

ir 2 1019

Supongamos unas corrientes 3φ balanceadas en el estator y el rotor:

i e 1 = 2Ie Cos (We t + θ e )

→

Ie 1 = Ie We t + θ e

i e 2 = 2Ie Cos (We t + θ e − 120° )

→

Ie 2 = Ie We t + θ e − 120°

i e 3 = 2Ie Cos (We t + θ e − 240° )

→

Ie 3 = Ie We t + θ e − 240°

i r1 = 2Ir Cos (Wr t + θ r )

→

I r1 = I r Wr t + θ r

i r 2 = 2Ir Cos (Wr t + θ r − 120° )

→

I r 2 = I r Wr t + θ r − 120°

i r 3 = 2I r Cos (Wr t + θ r − 240° )

→

I r3 = I r Wr t + θ r − 240°

Donde I r e Ie son los valores r.m.s. de las corrientes del estator y del rotor respectivamente. También empezamos considerando las frecuencias del estator y del rotor como diferentes. Por último, como se puede desprender de la Figura 26.50a, consideramos tanto el rotor como el estator lisos ( Reld = Relq = Rel ).

Como tenemos devanados 3φ alimentados con corriente 3φ , el resultado son flujos giratorios.

φe =

φr =

(3N I 2 ) e e

2Rel

(3N I 2 ) r r

2Rel

Estos flujos quedan en fase con las respectivas corrientes (Figura 26.51).

1020

Figura 26.51. Flujos en fase con corrientes

φe α

We t + θ e

β Wr t + θ r

φr

26.6.3 Estudio del torque. Veamos si la máquina puede funcionar continuamente:

T = Rel φ e φ r Sen ( α )

Llamando β el ángulo entre los ejes de los devanados del rotor y del estator (Figura 26.52): Figura 26.52. Angulo entre ejes de devanados

β

α = β + Wr t + θ r − We t − θ e

∴ Tr = Rel φ e φ r Sen (Wr − We ) t + β + θ r − θ e 

1021

Podemos volver a insistir sobre la necesidad de un torque promedio para un funcionamiento continuo; ahora, solo se consigue ese torque promedio cuando We = Wr : los flujos giran a la misma velocidad. De aquí en adelante asumimos que se cumple esa condición de sincronismo, de modo que la expresión para el torque queda: Tr = Rel φ e φ r Sen ( β + θ r − θ e ) 26.6.4 Teoría del flujo único. Para el desarrollo matemático de estas máquinas nos inclinamos por la teoría del “flujo único”, como en la máquina de inducción y el transformador. En esta teoría se asume que el flujo del estator, φ e , y el flujo del rotor, φ r ,

se combinan y forman solo un flujo giratorio, φ m , el “flujo mutuo”. Las tensiones se consideran inducidas por este flujo y resulta más sencillo calcularlas. Pero el torque se complica, al menos en su concepto, porque ¿Cómo se relaciona el torque con este flujo? Veamos algunas relaciones interesantes (Figura 26.53). Figura 26.53. Flujos de la máquina

φr

φm

φe φr

φm = φe + φr Por la ley de senos:

φe Sen ( α mr )

=

φr Sen ( α me )

=

φm Sen ( α )

Pero sabemos que el torque está dado por: 1022

Tr = Rel φ e φ r Sen ( α ) = Rel φ e  φ r Sen ( α ) 

= Rel φ e φ m Sen ( α me )

Tr = Rel φ e φ r Sen ( α ) = Rel φ r  φ e Sen ( α ) 

= Rel φ r φ m Sen ( α mr )

O sea que para calcular el torque podemos considerar, indistintamente, las tres parejas de flujos que se puedan dar, siempre que tomemos los ángulos entre ellos. 26.6.4.1 Corriente magnetizante. Se sigue el mismo orden de ideas de la máquina de inducción: el flujo φ m se considera producido por una corriente del estator, I m ; y se asume

también que por el estator circula otra corriente Ie ' (Figura 26.54a), que en todo momento contrarresta la corriente del rotor I r . Figura 26.54. Flujos y corrientes de la máquina φm 3N e I m 2 2 Rel

φe

ir

φr

im

= φm

ie

ir

3N r I r 2 2 Rel

3N e I e ' 2 2 Rel

i e'

a

b

En definitiva se acepta que el flujo producido por Ie ' cancela totalmente el flujo producido por el rotor (Figura 26.54b). 1023

 3   N e Ie' 2   3   N r I r 2   +   =0     2   Rel   2   Rel 

∴ N e Ie ' + N r I r = 0

Como I m produce el fuljo φ m :

φm =

3N e I m 2 2Rel

La corriente del estator se compone, entonces, de dos corrientes: Ie = Ie' + I m

Las tensiones inducidas por φ m se calculan por los métodos convencionales (Figura 26.55):  N e φ m We  Eφ m → e =   1 −90°   2  

 N r φ m (We − Wmr )  Eφ m → r =   1 −90° 2  

Figura 26.55. Tensiones inducidas por el flujo mutuo

φm

We Eφ m → r

1024

Eφ m → e

26.6.5 Circuito equivalente. Para obtenerlo bastaría con representar la resistencia de los devanados, la reactancia de dispersión y las tensiones inducidas por φ m , pues no son más las causas de voltaje o caída de voltaje en los devanados (Figura 26.56). Sin embargo, es muy conveniente, como se hace en la máquina de inducción y en el transformador, representar también la corriente I m e Ie '. Para ello separamos la corriente Ie en sus componentes I m e Ie ', aprovechando que una fuente de voltaje se puede dividir en cuantas se desee en paralelo, Figura 26.57. Pero ahora tenemos la fuente Eφ m →e recorrida por la

corriente I m , y resulta que tanto la tensión como la corriente se relacionan en el flujo φ m . Figura 26.56. Circuito equivalente de la máquina de conmutador 3φ ie

ir

Re

Rr

j X e disp e

j X e disp r

Eφ m → e

Eφ m → e

Figura 26.57. Voltajes en los devanados

Im

Ie I ' e

Eφ m → e

3 N

Eφ m → e

2

φ m =  e  I m 2  Rel  Eφ m → e =

(N φ e

m

We ×1 −90°

Im

)

2 1025

Eφ m → e

Podemos relacionar a Eφ m →e con I m :  3  N 2  N W  Eφ m →e =  e e  (1 −90° )   e  Im  2   2  Rel 

 3N e 2 We  = − j  Im  2Rel 

Obsérvese que − Eφ m →e tiene la “forma” analítica de la “caída de tensión” en una reactancia inductiva, lo que aprovechamos para reemplazar la fuente de voltaje recorrida por I m , por una reactancia. Téngase en cuenta que la caída de tensión en la reactancia tiene polaridad diferente a Eφ m →e ; por eso esa caída es igual a menos la tensión, tal como se trata de ilustrar en la Figura 26.58. El valor de la reactancia será entonces: − Eφ m → e

 3   N e 2   = j     We  I m = j X m I m  2   Rel  

 3N e 2  ∴ Xm =   We  2Rel 

Figura 26.58. Caída de tensión

Eφ m → e

jXm

j X m Im

Im

jXm

− j X m Im Im

Esta reactancia corresponde al circuito Shunt de transformadores y máquinas de inducción. ¿Cómo es que resulta este circuito formado por una reactancia, una resistencia y una fuente de tercer armónico? Simplemente, porque la relación entre φ m e I r no es tan simple como hemos supuesto. En efecto, tal relación sólo se representa exactamente con la curva de histéresis. El circuito Shunt, mostrado en la Figura 26.59a, sólo se consigue asumiendo que I m debe estar conformada por una fundamental en fase con el flujo, una corriente que 1026

representa la pérdida en el núcleo y una serie de armónicos, el principal de los cuales es el tercero (Figura 26.59b). Teniendo en cuenta lo anterior, el circuito Shunt debe representarse por una reactancia, una resistencia y una fuente, al menos, para el tercer armónico. Figura 26.59a. Circuito Shunt

Eφ m → e

I3

Im

Im'

Ip Im

Figura 26.59b. Corriente de pérdidas y de armónicos

Eφ m → e

i3 ip

im'

im

Sin embargo, en esta máquina no vamos a considerar estos perfeccionamientos del modelo, y solo representaremos el circuito Shunt por la reactancia ya vista, quedando el circuito equivalente tal como lo muestra la Figura 26.60. Figura 26.60. Circuito equivalente Re

Rr

j X e disp

Ie

j X r disp

Ir

jXm

Eφ m → e

1027

Eφ m → r

26.6.6 Diagrama fasorial y diagrama físico fasorial. En las máquinas sincrónicas, en los transformadores y en las máquinas de inducción, se insiste poco en la diferencia que existe entre el diagrama fasorial y el físico fasorial. Se puede hacer esto porque en ellas los circuitos del rotor y del estator (del primario y del secundario) casi nunca se interconectan, de modo que los desfases que pueden existir en el diagrama fasorial no interesan, interesando tan solo los desfases en el diagrama físico fasorial. Por lo tanto, el tema que sigue es relativamente nuevo y debe tratarse con cuidado. Empezaremos su estudio desde lo más fundamental para que se entienda su idea principal.

Una máquina 3φ de conmutador, de dos polos, se muestra esquemáticamente en la Figura 26.61. Se alimenta convenientemente en el rotor y en el estator con corrientes 3φ balanceadas:

i e 1 = 2Ie Cos (We t )

→

Ie 1 = Ie We t

i e 2 = 2Ie Cos (We t − 120° )

→

Ie 2 = Ie We t − 120°

i e 3 = 2Ie Cos (We t − 240° )

→

Ie 3 = Ie We t − 240°

i r1 = 2I r Cos (We t )

→

I r1 = I r We t

i r 2 = 2Ir Cos (We t − 120° )

→

I r 2 = I r We t − 120°

i r 3 = 2I r Cos (We t − 240° )

→

I r3 = I r We t − 240°

Figura 26.61. Esquema de máquina 3φ de conmutador de dos polos i e1 o i e1

i r3

i r1

i r2

ie2o ie2

1028

i e3o i e3

Obsérvese bien, en la Figura 26.62 como queda el diagrama fasorial. Figura 26.62. Diagrama fasorial de máquina 3φ de conmutador i e1 i e3

i r1

i r3

We t i r2 ie2

Ahora, pasemos al diagrama físico fasorial. Recuérdese que basta con tomar al eje real como el eje de la bobina correspondiente. Así se logra que las tres corrientes de las diferentes fases queden representadas por una sola corriente. ¡Las corrientes Ie e I r que en el diagrama fasorial estaban en fase, quedan desfasadas un ángulo β en el diagrama físico fasorial! (Figura 26.63).

Figura 26.63. Diagrama físico fasorial de máquina 3φ de conmutador

ie

ir

β ie

ir

We t

We t

¡Obsérvese bien este caso porque es fundamental para entender lo siguiente! 1029

Asúmase ahora, que los devanados de esta máquina se interconectan, como se muestra en la Figura 26.64. ¿Cómo se encontrará la corriente I1 ? En efecto I 2 , se encuentra sumando Ie 1 e I r 1 , en el diagrama fasorial, no en el físico fasorial. Si se hace la suma en el físico fasorial, basándose en que Ie e I r representan también las corrientes de fase, se comete un error. Figura 26.64. Interconexión de los devanados i r1

i1

i e1

i r3 i r3 i r1

i3 i e3

ie2

i2

i r2

Para evitar errores parecidos introducimos una diferenciación entre los fasores del diagrama físico fasorial y los fasores del diagrama fasorial. Esta diferencia la establecemos designando por una “f”, de “fase”, a los fasores del diagrama fasorial. Ahora, como el circuito equivalente se refiere a una fase del estator y a una del rotor, los fasores que aparecen en el circuito equivalente corresponden a fasores del diagrama fasorial! ¿Cómo pasar de fasores del diagrama físico fasorial a fasores del diagrama fasorial? Recuérdese que para trazar diagramas fasoriales uno está en libertad de escoger una referencia, por lo tanto la escogeremos de modo que se cumpla:

1030

Los fasores del estator pasan sin modificación del diagrama fasorial al físico fasorial y viceversa. Los fasores del rotor pasan del diagrama físico - fasorial al fasorial multiplicados por 1 − β ; y del fasorial al físico - fasorial multiplicado por 1 β .

β es el ángulo que adelanta una fase del rotor a su correspondiente del estator (Figura 26.65). Si la fase del rotor está atrasado respecto a su correspondiente del estator, se toma B como negativo. Obsérvese como el circuito equivalente (Figura. 26.66) ya introducimos el subíndice f, para designar que los fasores representados son del diagrama fasorial y no del físico – fasorial. Este método consiste, simplemente, en calcular, usando el diagrama físico-fasorial, los valores instantáneos de las cantidades correspondientes, y, a partir, de esos valores instantáneos calcular los fasores por los métodos convencionales. Figura 26.65. Angulo de fase entre rotor y estator

β

Figura 26.66. Circuito equivalente Re

Rr

j X e disp

Ie f

j X r disp

Ir f

jXm

Eφ m → e

1031

Eφ m → r

Ejemplo del paso del diagrama físico - fasorial al fasorial: en la Figura 26.67 aparece el diagrama físico – fasorial.

Figura 26.67. Diagrama físico – fasorial ie

β = 90°

Wm r

i e'

ir We t

ir

im Eφ m → r

ie

φm

Eφ m → e

Supongamos los siguientes valores para los fasores: Eφ m →e = 40Volt We t Eφ m →r = 30Volt We t I r = 10 Amp (We t − 20° ) Ie ' = 15 Amp (We t − 20° − 180° ) Ie = 25 Amp (We t + 150° )

I m = 13 Amp (We t + 100° )

Obsérvese que se toma como referencia el eje (1) del estator para medir los ángulos. Ahora veamos como queda el circuito equivalente (Figura 26.68): 1032

Ie f = Ie = 25 Amp We t + 150°

I r f = Ir = 15 Amp We t − 20° − 90°

Ie m = I m = 13 Amp We t + 100°

Eφ m →r f = Eφ m →r 1 − β = 30Volt We t − 90°

Ie ' = 15 Amp We t − 20° − 180°

Eφ m →e f = Eφ m →e = 40Volt We t

Figura 26.68. Circuito equivalente Re

Rr

j Xe

jXr

Ie

Ir j Xm

Eφ m → e

Eφ m → r

im

Basta, entonces, con dibujar los fasores correspondientes, que aparecen en el circuito equivalente, para tener el diagrama fasorial (Figura 26.69), obviamente para una sola fase. Figura 26.69. Diagrama fasorial de tensiones y corrientes i m f = 13 Amp We t + 100°

Eφ m →e f = 40 Volt We t We t

i e f = 25 Amp We t + 150°

Eφ m →r f = 30 Volt We t − 90°

i e f ' = 15 Amp We t − 200°

i r f = 10 Amp We t − 110°

26.6.7 Tratamiento como transformador de las fuentes. Las fuentes de tensión recorridas por las corrientes Ie f ' de I r f (Figura 26.70) pueden considerarse como una especie de transformador especial, veamos su relación de tensión y de corriente.

1033

Figura 26.70. Fuentes de tensión

ie f ' = ie

ir f = ir ×1 − β

Eφ m → e f

Eφ m → r f

Recuérdese que la tensión inducida depende de la velocidad del flujo respecto a los devanados verdaderos. El estator está estático y el flujo lo corta a la velocidad We ; en cambio el rotor se asume en movimiento, con una velocidad Wmr en el mismo sentido de la velocidad del flujo respecto a los devanados del rotor es We − Wmr .  Eφ → r ∴  m f  Eφ → e  m f Ir f Ie f '

=

  N r (We − Wmr ) ×1 − β  =   ( N e We ) 

(T1)

( I ×1 − β ) ; r

Ie

 3   N e Ie ' 2   3   N r I r 2   +   =0     2   Rel   2   Rel 

N e Ie ' + N r I r = 0 Irf Ie f '

=−

(N

e

×1 − β

;

N  Ir = − e  Ie'  Nr 

)

(T2)

Nr

La ecuación T1 y T2, corresponden a las ecuaciones de un transformador ideal especial. 26.6.8 Tratamiento de la potencia mecánica. Como en toda máquina cuyo circuito equivalente contenga fuentes, la potencia mecánica queda representada por la potencia activa en estas fuentes (Figura 26.71).

1034

En nuestro caso, como el circuito equivalente solo representa una de las tres fases, las fuentes reciben un tercio de la potencia mecánica total (recuérdese que estudiamos siempre la máquina como balanceada). Figura 26.71. Potencia activa de fuentes

ir f

ie f '

Eφ m → r f

Eφ m → e f

Pmec

3

Pmec = 3Parte Real  Eφ m →e f Ie f '* + Eφ m →r f I r f *    *   N r (We − Wmr ) ×1 − β   N e Ie f ' × 1 − β   * = 3Parte Real  Eφ m →e f Ie f ' +  Eφ m →e f   −   N W Nr    e e    

*   N r (We − Wmr ) ×1 − β   N e Ie f '   * = 3Parte Real  Eφ m →e f Ie f ' +  Eφ m →e f   180° − β   N e We       N r

  N (W − Wmr )   N = 3 Parte RealEφ m →e f Ie f '* + 1 + r e ×1 − β × e −180° + β   N e We Nr      (W − Wmr )    = 3Parte RealEφ m →e f Ie f '* + 1 + e −180° + β − β   We       W − Wmr   = 3 Parte RealEφ m →e f Ie f '* + 1 + e −180°   We      W − Wmr    = 3Parte RealEφ m →e f Ie f '* + 1 − e  We    

1035

 W − We + Wmr   = 3Parte RealEφ m →e f Ie f '* +  e  We    

 3W  Pmec =  mr  Parte Real  Eφ m →e f Ie f '*   We  De modo que el torque se puede calcular como:

T=

Pmec  3  =   Parte Real  Eφ m →e f Ie f '*  Wmr  We 

Veamos una interesante comprobación de esta fórmula:

Ie f ' = Ie f − I m f  3  ∴ T =   Parte Real  Eφ m →e f Ie f − I m f   We 

(

=

)  *

3 N φ W Parte Real  e m e −90° Ie f − I m f We 2 

(

)  *

 3  N I 2  Pero: φ m =    e m   2   Rel  T=

N W 3 3 N e Im 2 Parte Real  e e × 1 −90°× Ie f − Im f We 2 Rel 2 

T=

9N e 2 Parte Real  I m 1 −90° Ie f − I m f  2 Rel

) 

T=

9N e 2 Parte Real  I m Ie f −90° − I m f  2 Rel

−90° 

(

(

2

*

1036

*



) 

Llamando I m = I m θ Im T=

I e f = I e θ Ie

9N e 2 Parte Real  I m Ie θ Im − θ Ie − 90° − I m f  2Rel

2

−90° 

2 9N e 2  I m Ie Cos θ Im − θ Ie − 90° − I m f Cos ( −90° )  =  2Rel 

(

=

)

9N e 2 Im Ie Cos θ Im − θ Ie 2Rel

(

)

Pero como:  3   Ne Im 2   Rel  

φm =    2 

 3   N e Ie 2     Rel 

φe =     2 

T = Rel φ e φ m Sen ( α me )

Es decir, obtuvimos la conocida ecuación del torque en función de los flujos y el seno del ángulo entre ellos (Figura 26.72). Figura 26.72. Flujo mutuo y de estator

im

θi m − θie = α e

φm

ie

φe

Para terminar esta discusión, analicemos la expresión:

1037

 3 T =  We

  Parte Real  Eφ m →e f Ie f ' 

Ahora, para los diseños normales, las caídas de tensión en la resistencia y en la reactancia de dispersión son pequeñas comparativamente: ∴ Ve voltaje en el estator = Eφ m →e f

Además la corriente I m es también pequeña relativamente. ∴ Ie = Ie'

El mayor torque se presentará cuando voltaje y corriente estén en fase:  3   3  Tmax =   Eφ m →e f Ie ' ≡   Ve Ie  We   We  De lo que se concluye que para una tensión dada y una corriente máxima dada, el torque máximo disminuye con la frecuencia. A menos frecuencia se obtendrán mayores torques máximos. 26.6.9 Funcionamiento como generador. Como se requería una fuente 3φ de excitación, a la frecuencia deseada, o un convertidor de C.D. a C.A. trifásica en caso de desearse autoexcitación, es explicable que esta máquina no se emplee como generador nunca. 26.6.10 Funcionamiento como motor. En este caso si encuentra muchos campos de aplicación. Veremos someramente el comportamiento en sus conexiones más usadas. 26.6.10.1 Conexión shunt. estudiaremos por aparte.

Se presenta algunas modificaciones interesantes que

26.6.10.1.1 Conexión shunt simple. El estator se conecta en Y, de modo que pueda alimentarse en paralelo con el rotor (Figura 26.73). En el circuito equivalente (Figura

1038

26.74) vemos como quedan los circuitos que representan las fases en paralelo, conectadas a la misma fuente. Hemos simplificado algo la escritura de las tensiones inducidas así: Eφ m →e f = E e f

Eφ m → r f = E r f

Figura 26.73. Estator conectado en Y

Figura 26.74. Circuito con fases en paralelo Re

Ve f

V

Er f Ee f

Ir f

jXm

 N (W − Wmr )  = r e  1 −β N W e e  

(

N  = −  e  × 1 −β Ie f '  Nr 

(

Rr

j Xe

)

Ee f

)

(Figura 26.75)

1039

Er f

jXr Vr f

Figura 26.75. Relación entre corriente de rotor y de estator

Podemos trazar el diagrama fasorial, tomando como referencia a E e f , y asumiendo la corriente Ie f , con un ángulo mayor de 90° como corresponde a un motor (Figura 26.76) Figura 26.76. Diagrama fasorial de corrientes y tensiones

ie f '

ie f

Ve

i mf

ie f R e

Ee f j ie f Xe

Er f

Figura 26.77. Diagrama fasorial de corrientes

ie f '

ir f 1040

j ie f Xe

ie f R e

Del circuito equivalente obtenemos: V = E e f − Ie f ( R e + j X e ) Del mismo circuito: Im f = −

Ee f j Xm

El signo menos se debe a la dirección de I m , que es contraria a la dirección convencional en la reactancias. Del mismo circuito equivalente: Ie f = Ie f ' + Im f ∴ Ie f ' = I e f + I m f

Obtenida Ie f ' , podemos encontrar la corriente del rotor:  Ne −1 −β = − Ie f ' Nr  Ir f

  Ne  =  180° − β N   r

N  ∴ Ir f = Ie f '  e  ×1180° − β  Nr 

Ya conocida I r f podemos plantear: V = E r f − Ir f ( R r + j Xr ) Así como teníamos: V = E e f − Ie f ( R e + j X e ) 1041

En la Figura 26.78 vemos como se combinan los fasores para cumplir las ecuaciones anteriores: Figura 26.78. Diagrama fasorial de corrientes y tensiones ie f R e

ie f

Ve = Vr = V

j ie f X e Ee f

Er f j ir f Xr

ir f

Obsérvese como la tensión E e f aparece adelantada un ángulo β respecto a la tensión E r f . Ahora vemos como se construye el diagrama físico-fasorial para la misma máquina: Recuérdese que para el estator los fasores se dibujan tomando como eje real el eje de la fase (1) del estator mismo, y para el rotor tomando como eje real al eje de la fase (1) del rotor. Figura 26.79. Diagrama físico fasorial ie

ir

j ir X r

Er

ir R r

j ie Xe

Ve

Vr

ie R e

φm ir

im

Ee

ie

1042

ir

En este diagrama (Figura 26.79) quedan en fase las tensiones inducidas por φ m , E e y E r ; pero quedan desfasadas las tensiones Ve y Vr , las cuales, sin embargo, son iguales en el diagrama fasorial.

Característica T = f (Wmr ) . Partimos de la expresión para el torque (Figura 26.80):

Figura 26.80. Flujos y corrientes de estator y rotor

φr ie

(

T = Rel φ m φ m Sen θ Ie − θ Ir

φe =

φr =

(3N

e

Ie

2

)

2

)

ir

φe

)

2Rel

(3N

r

Ir

2 Rel

 9 N e N r Ie I r  T =  Sen θ Ie − θ Ir 2Rel  

(

)

Para hallar las corrientes nos basamos en el diagrama físico – fasorial: Vr = E r − Ir Zr → Zr = R r + j X r 1043

Ve = E e − Ie Ze → Ze = R e + j X e Pero:

( )

Vr = ( Ve ) 1 β

E r = N r φ m (We − Wmr )(1 −90° ) E e = N e φ m (We )(1 −90° )  3  N e Ie 2  3  N r I r 2    +    Rel  2  Rel    

φ m = φ e + φ r =   2

Haciendo los reemplazos correspondientes:  3  N I 2  3  N r Ir 2  Ve × 1 β = N r (We − Wmr ) × (1 −90° )   e e  +    − I r Zr  2  Rel  2  Rel    3  N I 2  3  N r Ir 2  Ve = N e (We ) × (1 −90° )   e e  +    − Ie Ze  2  Rel  2  Rel  

Como estamos interesados en la forma general de la característica y no en su aspecto cuantitativo, hacemos las siguientes suposiciones:

( 3N e )

( ∴

2Rel

=

( 3N r )

) (

2Rel

)

=1

;

Ne = Nr = 1

;

Ze = Z r = Z

( Ve ) (1 β ) = (We − Wmr )(1 −90° ) ( Ie + Ir ) − Ir Z

(

)

Ve = We (1 −90° ) Ie + I r − Ie Z

∴

( Ve ) (1 β ) = (We − Wmr )(1 −90° ) Ie + (We − Wmr )(1 −90° ) − Z Ir 1044

Ve = (We )(1 −90° ) − Z  Ie + (We )(1 −90° )  I r

Escribiendo: ∴

( Ve ) (1 β ) = a1 Ie + b1 Ir Ve = a 2 Ie + b2 Ir

Donde: a1 = (We − Wmr )(1 −90° ) = − j (We − Wmr ) b1 = − j (We − Wmr ) − Z a 2 = − jWe − Z b 2 = − jWe

Podemos despejar las corrientes así: Ve =

Ir =

(

Ve b2 ×1 β − b1 a1b2 − b1a 2

(

Ve a 2 × 1 β − a1 a 2b1 − a1b2

)=

)=

Ve  − jWe × 1 β + j (We − Wmr ) + Z  j (We − Wmr )( jWe ) − ( jWe + Z )  j (We − Wmr ) + Z

Ve  −( jWe + Z ) × 1 β + j (We − Wmr ) 

{

}

− j (We − Wmr )( jWe ) − ( jWe + Z )  j (We − Wmr ) + Z 

Observemos que si β = 0 , Ie = I r y, como los flujos de φ e y φ r quedan en fase, no funciona la máquina es decir; el torque es nulo. Para llegar a una expresión manejable escojamos β de modo que se cumpla: 3 4 1 β = Cos β + jSen β = + j   5 5

(Figura 26.81)

1045

Figura 26.81. Triangulo de Pitágoras

β

Ve  − jWe 3 + j (We − Wmr ) + Z 4   Ie = 2 − (We − We Wmr ) − ( jWe + Z )  j (We − Wmr ) + Z

( )

( − j 3We + 4We + j 5We − j 5Wmr + 5Z )  Ve  5   Ie = − (We 2 − We Wmr ) + (We 2 − We Wmr ) − j ZWe − j Z (We − Wmr ) − Z 2

Ie =

Ie =

Ve ( 5Z + 4We ) + j ( 5We −3We − 5Wmr )  −5  Z2 + j ( ZWe + ZWe − ZWmr )  − Ve ( 5Z + 4We ) + j ( 2We − 5Wmr )  −5Z  Z + j ( 2We −Wmr ) 

  ( 3 + j 4 )  Ve −( jWe + Z )  + j (We − Wmr )   5   Ir =  Z  Z + j ( 2We −Wmr )  Ir =

Ir =

Ve ( − j 3We − 3Z + 4We − j 4Z + j 5We − j 5Wmr ) 5Z  Z + j ( 2We − Wmr )  Ve  − 4We − 3Z + j ( 5We − 5Wmr − 4Z − 3We )  5Z  Z + j ( 2We −Wmr ) 

1046

Si despreciamos la resistencia de los devanados en comparación con su reactancia de dispersión: Z = R + jX = 0 + jX Ie =

Ir =

Ve  j 5X + 4We + j ( 2We − 5Wmr )  5 ( j X )  j ( X + 2We − Wmr ) 

=

Ve  4We + j ( 2We − 5Wmr + 5X )  5X ( X + 2We −Wmr )

Ve  4We − j 3X + j ( 2We − 5Wmr − j 4X )  5 ( j X )  j ( X + 2We − Wmr ) 

=

− Ve  4We + 4X + j ( 2We − 5Wmr − 3X )  5X ( X + 2We −Wmr )

Obtenidas las expresiones para las corrientes, volvamos a la expresión para el torque:

(

T = Ie Ir Sen θ Ie − θ Ir

)

Recordando que hicimos:

3 Ne

(

2 Rel

3 Nr

=

) (

2 Rel

)

=1

Como calcular el seno del ángulo θ Ie − θ Ir es engorroso, nos basamos en que: I e I r * = I e I r θ Ie − θ I r *

∴

( I I ) =1 θ e r

(I

(

e

Ir

)

Sen θ Ie − θ Ir

)

Ie

(

)

(

− θ Ir = Cos θ Ie − θ Ir + jSen θ Ie − θ Ir

 ( Ie Ir* )   = Parte Imaginaria   ( Ie I r ) 

Obtenemos así:

(

)

T = Ie Ir Sen θ Ie − θ Ir = Parte Imaginaria ( Ie I r* )

1047

)

 Ve  4We + j ( 2We − 5Wmr + 5X )  − Ve  4We + 4X − j ( 2We − 5Wmr − 3X )   T = P. Imag   ×  5X ( X + 2We − Wmr ) 5X ( X + 2We − Wmr )   T=

Ve

2

25X 2 ( X + 2We −Wmr )

2

×

{

}

P. Imag  4We + j ( 2We − 5Wmr + 5X )  ×  4We + 4X − j ( 2We − 5Wmr − 3X ) 

T=

T=

Ve

2

25X 2 ( X + 2We −Wmr ) 4We Ve

2

2

{

( −2We − 5Wmr + 3X + 2We − 5Wmr + 5X ) 2 25X 2 ( X + 2We −Wmr ) 2

T=

}

× 4We ( 2We − 5Wmr + 5X ) − ( 2We − 5Wmr − 3X ) 

4We Ve 8X 25X 2 ( X + 2We −Wmr )

2

=

32We Ve

2

25X ( X + 2We −Wmr )

2

Figura 26.82. Torque en función de la velocidad

T

Wm r

Wmr = X + 2We

Para el caso particular que acabamos de desarrollar, el torque crece con la velocidad (Figura 26.82). Para el caso general se tiene de todas formas un comportamiento “duro” del torque, como en los motores shunt de C.D. 1048

26.6.10.1.2 Conexión shunt con autotransformador. Casi nunca se diseña el devanado del rotor para la tensión total de la máquina para evitar una conmutación difícil. Por lo tanto se utilizan diseños distintos para disminuir la tensión que se aplica al rotor, tales como un autotransformador o un regulador de inducción.

Figura 26.83a. Esquema físico de conexión shunt con autotransformador

En la Figura 26.83 se muestra el esquema físico y el circuito equivalente por fase. Los cálculos que hicimos para el motor shunt siempre siguen válidos, pero ahora Ve = Vr . Figura 26.83b. Circuito equivalente por fase Re

Ve

Ve

Rr

j Xe

Ee f

jXm

Vr

1049

Er f

j Xr

26.6.10.2 Motor de conmutador 3Φ serie. Con este motor se consigue una característica ( T = f (Wmr ) ) blanda, parecida a la del motor serie de C.D.

Veamos como se desarrolla la teoría correspondiente: Figura 26.84. Esquema físico y circuito equivalente de motor de conmutador 3φ serie

Re

Ve

Ve

Rr

j Xe

jXm

Ee f

De este concluimos: I = Ie f = I r f

V = Ve f + Vr f = E e f − Ie f Ze + E r f − I r f Zr

V = E e f + E r f − I ( Ze + Z r ) 1050

Er f

j Xr

Pero:

Er f Ee f

 N r (We − Wmr ) φ  ×1 −90° − β   N (W − Wmr )1 − β 2 = r e = N e Weφ N e We   × 1 −90°   2  

I = Ie f = I r f = Ie f ' + I m f = I r f

(

)

 Ir  ( − N e ) 1 − β N  Pero:  f  = =  e  1 180° − β  Ie '  Nr  Nr   f 

(

)

N  ∴ Im f = Ir f − Ie f ' = Ie f '  e  1 180° − β − Ie f '  Nr 

( )

(

)

N  = −Ie f '  e  1 − β + 1  Nr 

(

)

 N   ∴ I e f = I e f ' + I m f = I e f ' + I e f '  e  1 − β + 1   N r  

( ) ( )

(

)

N  = −Ie f '  e  1 − β + 1 = I r f = I  Nr 

(

)

 Ie f ' N r Ahora: I m f = Ie f − Ie f ' = Ie f −  −  Ne × 1 −β 

(

∴ Im f

 Nr = Ie f 1 +  Ne × 1 −β 

Pero: I m f = −

(

)

)

   

   

 Nr = E e f 1 + j Xm  Ne × 1 −β  Ee f

(

)

   

1051

 Nr ∴ E e f = − j X m I 1 +  Ne × 1 −β 

(

)

   

Teníamos: V = E e f + E r f − I ( Ze + Zr )  N (W − Wmr )  Er f = Ee f  r e  1 −β N e We  

(

( )

Ee f

 Nr = − j X m I 1 +  Ne × 1 −β 

(

)

)

   

    N (W − W )     Nr Nr  mr + r e   V = − j X m I 1 + × 1 − β − j X I 1 +   m N e We  Ne × 1 −β     β N × 1 −   e        

(

Ee

(

)

)

(

Er

f

)

f

Figura 26.85. Diagrama físico fasorial

i = ie ie

φe

i = ie = ir

We t

We t ir

φr

We t i = ir

     N r (We − Wmr )  Nr V = I  − j X m 1 + × 1 − β − ( Ze + Z r )    1 +  Ne ×1 − β    N e We      

(

Parámetros

1052

)

Esta última ecuación nos permite calcular la corriente. Veamos ahora la ecuación del torque:

(

T = Relφ e φ r Sen θφ e − θφ r

)

Ahora analizando el diagrama físico - fasorial, vemos que como Ie = Ir = I , los fasores Ie e I r están desfasados siempre un ángulo β (Figura 26.85), y por lo tanto este será el desfase entre φ e y φ r .

T = Rel φ e φ r Sen β

Recuérdese que para pasar un fasor del diagrama fasorial al físico - fasorial, se toma como eje de referencia real el eje de la respectiva bobina a la cual se refiere el fasor.

Ahora: φ e =

φr =

(3N

e

Ie

2

2Rel

(3N

r

Ir

e

I 2

)

2Rel

2

2Rel

) = (3N ) = (3N

r

I 2

)

2Rel

Así que obtenemos:  3N e I 2 T = Rel   2 Rel 

(

)   (3N

 9N N I 2 e r ∴ T=  2 Rel 

(

 

I 2   Sen β 2 Rel   r

)

)  Sen β  

Bastará con encontrar I de la expresión correspondiente: 1053

I=

I=

I=

V   N e ×1 − β + N r   N e We + N r (We − Wmr ) − β   − j Xm    − ( Ze + Zr )  Ne −β N e We      

V N e 2 We − β − j Xm

{( N

e

}

− β + N r  N e We + N r (We − Wmr ) − β − N e 2 We − β × ( Ze + Zr ) 

)

V N e 2 We − β − j X m [N e 2 We − β + N e N r (We − Wmr ) −2 β + N r N e 2 We

+ N r 2 (We − Wmr ) − β − N e 2 We − β ( Ze + Zr )]

Haciendo: Z = Z θ Z = Ze + Zr

Obtenemos: 2

V N e 4 We 2

2

I =

X m 2 {[N e 2 We Cos ( − β ) + N e N r (We − Wmr ) Cos ( −2 β ) + N r N e 2 We

+ N r 2 (We − Wmr ) Cos ( − β ) − N e 2 We Z Cos ( θ Z − β )]2 +[N e 2 We Sen ( − β ) + N e N r (We − Wmr ) Sen ( −2β ) + N r 2 (We − Wmr ) Sen ( − β ) − N e 2 We Z Sen ( θ Z − β )]2 }

Expresión tan formidable que no vamos a analizar. Mejor tomaremos un caso particular: β = 90° ∴ Cos ( −90° ) = 0

Sen ( −90° ) = −1

Cos ( −180° ) = −1

Sen ( −180° ) = 0

2

2

I =

V N e 4 We 2 X m 2 {  − N e N r (We − Wmr ) + N r N e We − N e 2 We Z Cos ( θ Z )  2

+  N e 2 We − N r 2 (We − Wmr ) − N e 2 We Z Sen ( θ Z )  }

1054

2

Como sabemos que: I m X m = Eφ m →e = φ e =

N e φ m We

N e We 3 N e Im 2 × 2 Rel 2

=

2

Obtenemos: 2  3   N e We  Xm =      2   Rel 

2

V N e 4 We 2

2

I =

2 9N e 4 We 2 {  − N e N r We + N e N r Wmr + N r N e We − N e 2 We Z Cos ( θ Z )  2 4Rel 2

+  − N e 2 We − N r 2We + N r 2Wmr − N e 2 We Z Sen ( θ Z )  } 2

4 V Rel 2

2

I =

2

9{  N e N r Wmr − N e 2 We Z Cos ( θ Z )  + [N r 2 Wmr −We ( N e 2 + N r 2 ) − N e We Z Sen ( θ Z )]2 }

Aunque ya es posible un análisis del comportamiento de la característica T = f (Wmr ) , utilizando la expresión anterior, vamos a simplificarla asumiendo: Z = R + j X = Z Cos θ Z + j Z Sen θ Z = j X = j Z Sen θ Z Z 2

4 V Rel

2

I =

{

2 9 ( N e N r Wmr ) +  N r 2 Wmr −We ( N e 2 + N r 2 ) − N e 2We X 

Reemplazando en la ecuación del torque:  9N N I 2 e r T=  2 Rel 

(

)  Sen β  

1055

2

}

2

T=

2 V Ne Nr

{( N N W e

T=

r

mr

)

2

+  N r 2 Wmr −We ( N e 2 + N r 2 ) − N e 2We X  2V

2

}

2 2

 2 Wmr  N N  N × N r − We  e − r  − e We X  × N e N r Wmr + Ne  N r Ne  Nr  

Graficando la característica contra Wmr (Figura 26.86), encontramos en el rango de motor ( Wmr negativa) el comportamiento típico de los motores serie de C.D.

Para comprobar que el funcionamiento como motor corresponde a Wmr negativa, simplemente se debe estudiar el diagrama de los flujos (Figura 26.87) considerando que Ie = Ir = I .

Se ve inmediatamente que el torque sobre el rotor (recuérdese que los flujos tratan de alinearse) está en sentido contrario a We ; y que Wmr está definido como positivo en el sentido de We , y en el funcionamiento como motor Wmr sigue el sentido del torque (pues el rotor es impulsado por un torque), resulta que Wmr debe ser negativo si la máquina trabaja como motor. Figura 26.86. Característica de torque contra la velocidad

T

To

1056

Figura 26.87. Diagrama de los flujos

i = ie

φe ie

Tr i = ir

ir

φr

We 26.6.10.2.1 Cálculo del torque máximo. Para encontrar el torque máximo basta con diferenciar la ecuación T = f (Wmr ) :

2V dWmr = dt

2



( −1)  2Wmr + 2 

N N Nr N N  Wmr − We e + r − e We X × r  Ne Nr Ne Nr N e 

N N N N Wmr 2 + r Wmr − We e + r − e We X Ne Nr Ne Nr

2 2

Igualando a cero: 2Wmr + 2

We Wmr =

Nr N N N Wmr − We e + r − e We X = 0 Ne Nr Ne N r

Ne Nr N N 1 + + X e r We ( N e 2 + N r 2 + N e 2 X ) 2 Nr Ne N r Ne Ne = 2 2 2 N Ne + Nr 1+ r2 Ne Ne2

∴ Wmr = We 1 +

Ne 2 ( Ne2 + Nr 2 X )

1057

Reemplazando la expresión del torque, obtenemos para el torque máximo: 2

2 V Nr

Tmáximo =

N e Wmr 2 ( N e 2 + N r 2 ) 2

2 V Nr ( Ne 2 + Nr 2 )

Tmáximo =

2

N e ( N e 2 + N r 2 ) We 2 ( N e 2 + N r 2 + N e 2 X )

2

2

=

2 V N r ( Ne2 + N r 2 ) N e We 2 ( N e 2 + N r 2 + N e 2 X )

2

Veamos la potencia para este torque máximo: 2

PT máximo =

2 V N r ( N e 2 + N r 2 ) × We ( N e 2 + N r 2 + N e 2 X ) N e We 2 ( N e 2 + N r 2 + N e 2 X )( N e 2 + N r 2 )

2

=

2 V Nr N e We 2 ( N e 2 + N r 2 + N e 2 X )

A pesar de haber utilizado muchas simplificaciones, las expresiones anteriores nos dan una idea de las cantidades más importantes en el diseño de estas máquinas. Sobre todo ilustra perfectamente la razón de la preferencia por frecuencias, We , bajas. 26.7 MÁQUINAS CONVERTIDORAS Su función es transformar C.D. en C.A. y viceversa. Su diseño más convencional es el de una máquina shunt de C.D. con unos terminales adicionales fijos en el devanado del rotor y que se conectan a unos anillos rozantes. Estos terminales adicionales son los que corresponden a la corriente alterna.

Si tenemos en cuenta que el devanado del rotor es una especie de devanado de muchas fases conectadas en malla, entre los terminales fijos aparecerá la tensión alterna de las bobinas comprendidas entre ellos (Figura 26.88). Si se colocan tres terminales de 120°E tendremos tensiones 3φ entre ellos. En último término. Figura 26.89, el devanado del rotor queda representado por dos devanados: el usual de C.D. estático, cuyos terminales son las escobillas; y el rotatorio de C.A cuyos terminales son los anillos rozantes.

1058

Figura 26.88. Devanado del rotor

F1

m 2 m1 m3

A1

A2

F2 Figura 26.89. Esquema del devanado del rotor

F1

ie

F2

Wmr m2 Nr'

m1

Nr

ir A1

A2

m3

En la máquina se presentan tres flujos (Figura 26.90): del estator, el producido por el devanado de las escobillas y el producido por el devanado 3φ . Pero recuérdese que una máquina, para funcionar correctamente, ha de tener sus flujos estáticos entre sí.

1059

Figura 26.90. Flujos de la máquina

Wmr + We

φ r ca

φ r cd

φe

Concluimos que el flujo producido por el devanado de C.A. tiene que estar estático. Ahora la velocidad de un flujo giratorio producido por un devanado giratorio esta compuesto por la velocidad del flujo respecto al devanado, We , más la velocidad del devanado: Wφ C.A = We + Wmr

Como en esta máquina la velocidad debe ser nula: We = −Wmr Estamos ante una máquina sincrónica, la velocidad del rotor solo puede ser igual a la velocidad correspondiente a la frecuencia de la C.A., y debe tener sentido contrario. Visto lo anterior podemos explicar su funcionamiento como convertidor: 26.7.1 Convertidor de C.D. en C.A. Arranque como un motor shunt común y corriente y produce C.A por anillos rozantes de la frecuencia correspondiente a la velocidad del rotor.

Como el motor Shunt mantiene más o menos constante su velocidad (característica rígida), la frecuencia conseguida es más o menos constante. Si se desea una frecuencia constante se debe colocar un regulador de velocidad al motor. 1060

26.7.2 Convertidor de C.A. a C.D. Se debe arrancar el motor como un motor sincrónico; para ello se utiliza un arrollamiento de jaula de ardilla en el estator; una vez arrancado como motor de inducción, se energiza el devanado del estator para que pase a sincronismo. Es decir, se sigue exactamente el mismo procedimiento utilizado para arrancar un motor sincrónico convencional, con la diferencia que ahora el campo esta en el estator y no en el rotor. Una vez arrancado como motor sincrónico se puede sacar C.D. de las escobillas obteniéndose la conversión C.A. a C.D. 26.8 MOTOR DE ESCOBILLAS MÓVILES Se puede resumir el papel del devanado del rotor diciendo que es un devanado polifásico conectado en mallas; si se conecta por escobillas se convierte en un devanado estático; si se conecta por anillos rozantes, se convierte en un devanado giratorio. En esta máquina el devanado tiene anillos rozantes y escobillas, de modo que el rotor tiene un devanado 3φ giratorio y un devanado 3φ estático (Figura 26.91). El estator esta conectado, fase a fase, con el devanado del rotor (Figura 26.92).

Figura 26.91. Devanados del rotor

Para que toda máquina funcione correctamente, todos sus flujos deben girar a la misma velocidad y en el mismo sentido.

1061

Figura 26.92. Estator conectado con el rotor

Ne Nre

m3

m1

φm We

m2

Asumido lo anterior, podemos decir que los tres flujos giratorios de esta máquina forman uno solo: φ m .

Este es el flujo que induce las tensiones en los tres devanados: El circuito equivalente por fase queda como se muestra en la Figura 26.93. La máquina se alimenta por el devanado del rotor-móvil, los devanados del estator y el del rotor estático están conectados en paralelo. Figura 26.93. Circuito equivalente por fase

R rm

j Xr m

ir m Eφ m → r m

Vaplicado

1062

Z

j Xre

Rre

Re

j Xe

ie

ire

Eφ m → e

Eφ m → r e

Las tensiones inducidas por φ m y referidas ya al diagrama fasorial, no al físico - fasorial, son:  N r m φ m (We − Wmr )  Eφ m → r m =   (1 −90° ) 2  

 N re φ m (We − Wmr )  Eφ m → r e =   1 − β − 90° 2  

(

Eφ m → e =

N e φ m We 2

)

(1 −90° )

Si despreciamos las caídas en R r m y j X r m : Vaplicado = Eφ m →r m =

Eφ m → r e =

Eφ m → e =

N r m φ m (We − Wmr ) × (1 −90° )

N re (We − Wmr ) 2

2

(

× 1 − β − 90°

)N

2 Vaplicado rm

(We − Wmr ) × (1 −90° )

=

N re Vaplicado × 1 − β Nr m

2 Vaplicado N e We N r We × 1 −90° = Vaplicado N r m (We − Wmr ) × (1 −90° ) N r m (We − Wmr ) 2

1063

Ie = −I re =

Eφ m →e − Eφ m →re Z

=

Ne We N Vaplicado − re Vaplicado ×1 − β N r m We − Wmr Nr m Z

Calculamos I r m así: Vaplicado × 2 3 N r m Ir m 2 3 N re I re 2 3 N e Ie 2 + + = 2 Rel 2 Rel 2 Rel N r m (We − Wmr )1 −90°

φm =

Como Ie = −I r e Ir m =

1 Nrm

 Vaplicado × 1 90°× 2Rel   N re × 1 β − N e Ie +  3N r m (We − Wmr )  

(

)

El torque trata de alinear los flujos del rotor con el estator (Figura 26.94): Figura 26.94. Alineación de flujos

φe −φ r e

ie −i r e

φ re

φrm

(

)

(

T = Relφ e φ re Sen θφ e φ r m + Relφ e φ r m Sen θφ e φ r m

=

)

9Rel N e N r m 9Rel N e N re *   P.Imag I I + P.Imag  Ie Ir m*  e re 2 2   2Rel 2Rel 1064

Como estas expresiones resultan tan complejas para resolver por una simple sustitución, vamos a simplificarlas, tomando: N e = N re = N rm = 1

3 Rel =   2 2 Z = jX

Ie = −I re =

(

 We   We − Wmr

)

I r m = 1 β − 1 Ie +

   − 1 − β  Vaplicado   jX

Vaplicado × 1 90°

(We − Wmr )

 3  * * T=  P.Imag +  Ie I re + Ie Ir m   2

*  3  * T=  P.Imag +  Ie ( − Ie ) + Ie I r m   2

 j Vaplicado*    3   * T=  −0 + P.Imag  1 β − 1 Ie Ie − W − W Ie   ( e mr )    2   

(

)

 j Vaplicado* × Ie    3   2 T=    Ie Sen ( − β ) − P.Imag  W − W  2    ( e mr )   

1065

 We j Vaplicado* − 1 − β Vaplicado  We − Wmr 3  2 T=  Ie Sen ( − β ) − P.Imag (We − Wmr ) j X 2  

 2 We −1 −β Vaplicado  We − Wmr 3  2 T= Ie Sen ( − β ) − P.Imag X (We − Wmr ) 2  

      

     

2  Vaplicado Sen ( − β )  3  2  T= Ie Sen ( − β ) − X (We − Wmr )  2  

Pero:

Ie

2

2  W  2  e − Cos β  +  Sen ( − β )   Vaplicado    We − Wmr  = 2 X

3 T= Sen ( − β ) 2

T=

2

2  W   e  − Cos β  + Sen β  Vaplicado  We − Wmr  

X2

−3 Sen ( − β ) Vaplicado 2X 2

2

2

−

Vaplicado

2

X (We − Wmr )

2

 We  2 Cos β X 2 + Sen 2 β −   + Cos β − (We − Wmr ) (We − Wmr )  We − Wmr 

2

−3 Sen β Vaplicado We 2 + (We − Wmr )2 − 2 Cos β We (We − Wmr ) − X (We − Wmr )  T=   2 2X 2 (We − Wmr )  

1066

Este motor tiene una característica rígida, (Figura 26.95), pero que puede variar, variando el ángulo β , o sea la posición de las escobillas. La gráfica del torque es función de la velocidad, tomando como parámetro la cantidad Sen β , se muestra en la Figura 26.95. Figura 26.95. Torque en función de la velocidad

T

Sen β 1 Sen β 2

Sen β 3 Wmr

1067

CONCLUSIONES

-

Se desarrolló un texto de vital importancia para la consulta de estudiantes y profesionales interesados en conocer y aprender más acerca de las máquinas eléctricas. Este texto es para consulta directa de las asignaturas de Máquinas Sincrónicas, Máquinas de Inducción y Máquinas de Conmutador comprendidas en el pensum de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Pontificia Bolivariana.

-

El texto hace énfasis en los temas más importantes vistos en las materias; se desarrollaron y ampliaron los aspectos más relevantes de dichos temas, así como aquellos que son de gran importancia, pero no se tratan a profundidad dentro de las asignaturas.

-

Con el resultado final de este trabajo de grado, las diferentes cátedras de máquinas eléctricas poseerán un texto acorde a su importancia dentro del plan de estudios y a la formación de los ingenieros.

-

Al elaborar el presente trabajo de grado, se recopiló, organizó, actualizó y complementó la diferente información, notas de clase, libros y trabajos de grados recopilados por el profesor Emiro Diez Saldarriaga relacionados con los temas ofrecidos en las diferentes asignaturas de máquinas eléctricas dictadas por dicho profesor.

1069

BIBLIOGRAFÍA ADKINS, Bernard. Teoría general de las maquinas eléctricas. España : Ediciones Urmo, 1967. 241 p. CHAPMAN, Stephen J. Máquinas eléctricas. Bogota : McGraw-Hill Interamericana, 1993. 740 p. COGDELL, J. R. Fundamentos de máquinas eléctricas. México : Pearson Educación, 2002. 365 p. CORRALES MARTÍN, Juan. La máquina eléctrica : teoría, construcción y funcionamiento. Barcelona : Labor , 1969. 2 v. CORTES C., Manuel. Curso moderno de maquinas eléctricas rotativas. España : Eta, 1970. 4 v DAWES, Chester L. Tratado de electricidad. 3 ed. Barcelona : Gustavo Gili , 1957. 2 v. DIEZ SALDARRIAGA, Emiro y LOPERA P. Jairo Augusto. Circuitos eléctricos. Medellín : Universidad Pontificia Bolivariana, Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, 2002. 906 p. DIEZ SALDARRIAGA, Emiro y VALENCIA G, Jorge Andrés. Máquinas de conmutador : algunas consideraciones sobre diseño y problemas / Emiro Díez S, ; recopilación y organización por Jorge Andrés Valencia G. Medellín : Universidad Pontificia Bolivariana, Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, 1991. 193 p. (Serie de Publicaciones NABLA-DELTA; No. 20). DIEZ SALDARRIAGA, Emiro y TORO G., Mónica. Máquinas sincrónicas : algunas consideraciones sobre diseño y problemas / Emiro Díez S, ; recopilación efectuada por la Ingeniera Electricista Mónica Toro Gutiérrez Medellín : Universidad Pontificia Bolivariana, Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, 1991. 190 p. (Serie de Publicaciones NABLA-DELTA; No. 19).

1071

DIEZ SALDARRIAGA, Emiro. Máquinas eléctricas de conmutador (C.D. y C.A.). Medellín : Universidad Pontificia Bolivariana, Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, 1990. 428 p. (Serie de Publicaciones NABLA-DELTA; No. 3). DIEZ SALDARRIAGA, Emiro. Maquinas eléctricas de inducción. Medellín : Universidad Pontificia Bolivariana, Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, 1989. 464 p. DIEZ SALDARRIAGA, Emiro. Maquinas eléctricas sincrónicas. Medellín : Universidad Pontificia Bolivariana, Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, 1990. 407 p. DIEZ SALDARRIAGA, Emiro. Seminario sobre transformadores. Medellín : Universidad Pontificia Bolivariana, Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, 1979. 141 p. DIEZ SALDARRIAGA, Emiro. Seminario sobre motores industriales. Medellín : Universidad Pontificia Bolivariana, Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, 1979. 87 p. ENRIQUEZ HARPER, Gilberto. Curso de transformadores y motores de inducción. 4 ed. México : Limusa, 2005. 569 p. ISBN 9681859936 ENRIQUEZ HARPER, Gilberto. Máquinas eléctricas. México : Limusa, 2005. 514 p. ISBN 9681865855. FAIRES, Virgil Moring. Diseño de elementos de máquinas. España : Montaner y Simon, 1977. 802 p. FITZGERALD, A.E.; KINGSLEY, Charles y UMANS, Stephen D. Máquinas eléctricas. México : McGraw-Hill Interamericana, 1992. 670 p. ISBN 9701002024 FRAILE MORA, Jesús y FRAILE ARDANUY, Jesús. Problemas de máquinas eléctricas. España : Mc Graw-Hill, 2005. 428 p. (Serie Schaum). ISBN 8448142403 GÓMEZ RENDÓN, Héctor Jaime. Máquinas eléctricas de inducción : ejercicios resueltos y algunas consideraciones de diseño. Medellín, 1995, 278 h. Trabajo de grado 1072

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1074

SÁNCHEZ VILLALBA, Rommel Darío. Actualización revisión y complementación de el libro máquinas eléctricas de inducción del Ing. Emiro Diez Saldarriaga. Medellín, 1997, 308 p. Trabajo de grado (Ingeniero Electricista). Universidad Pontificia Bolivariana. Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica. SANZ FEITO, Javier. Máquinas eléctricas. Madrid : Prentice Hall, 2002. 504 p. ISBN 8420533912. SLAYMAKER, R. Diseño y análisis de elementos de máquinas. México : Limusa Wiley, 1969. 461 p SPOTTS, M. F. y SHOUP, T. E. Elementos de máquinas. 7 ed. México : Prentice Hall, 1999. 829p. ISBN 0137261675. STILL, Alfred y SISKIND, Charles S. Elements of electrical machine design. 3 ed. New York : McGraw-Hill , 1954. 445 p. URIBE JARAMILLO, Esteban. Actualización del texto guía de máquinas sincrónicas. Medellín, 1996, 471 p. Trabajo de grado (Ingeniero Electricista). Universidad Pontificia Bolivariana. Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica. WAGNER, Arnold. Máquinas eléctricas : funcionamiento, reparación, bobinado. España : Gustavo Gili, 2002. 445 p. ZAPATA PATIÑO, Roberto Carlos; LONDOÑO ARANGO, Juan Felipe y JIMÉNEZ LONDOÑO Lina María. Máquinas sincrónicas. Medellín, 1997, 238 h. Trabajo de grado (Ingeniero Electricista). Universidad Pontificia Bolivariana. Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica. ZAPATA PATIÑO, Roberto Carlos; LONDOÑO ARANGO, Juan Felipe y JIMÉNEZ LONDOÑO Lina María. Máquinas de inducción y transformadores. Medellín, 1997, 216 h. Trabajo de grado (Ingeniero Electricista). Universidad Pontificia Bolivariana. Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica.

1075

Revisión, complemento y actualización del libro de Máquinas Eléctricas Silvia C. Sierra J. Abstract – The revision, supplement and update the books of synchronous machine, induction machine and switch machine, stems from the need to have a text search where they integrated all matters related to the electrical machines that are treated in the subjects offered by the faculty Electrical Engineering at the University Pontificia Bolivariana. The most important objective of this work is that this book will serve as references for anyone interested in the subject of electrical machines. Resumen - La revisión, complemento y actualización de los libros de máquinas sincrónicas, máquinas de inducción y máquinas de conmutador, surge de la necesidad de tener un texto de consulta donde estuvieran integrados todos los temas relacionados con las máquinas eléctricas que son tratados en las asignaturas que ofrece la facultad de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Pontificia Bolivariana. El objetivo más importante de este trabajo es que este libro sirva como referencia bibliográfica para cualquier persona interesada en el tema de las máquinas eléctricas. Index terms – Electrical machine, synchronous machine, transformer, induction machine, switch machine, current, voltage, flow, rotor, stator. I. INTRODUCCIÓN

T

odo lo que existe esta formado por partículas llamadas cuantos, que se atraen para formar conglomerados compactos (foton). Esta unión es direccional y puede ser de tres tipos: positiva, negativa y neutra. Las partículas organizan los cuantos del vacío formando un campo eléctrico. Silvia C. Sierra J. [email protected] Facultad de Ingeniería Eléctrica. Universidad Pontificia Bolivariana. Escuela de Ingenierías. Medellín, Colombia. Teléfono: (574) 4159020.

Al moverse una carga, se mueven también sus cuantos, que forman el campo eléctrico; estos adquieren una nueva energía que les permite agruparse en otras estructuras llamadas campo magnético. Las Máquinas Eléctricas se clasifican según su velocidad en Sincrónicas y Asincrónicas. La velocidad de las Sincrónicas solo es función de la frecuencia y la velocidad de las Asincrónicas puede depender de muchos factores como frecuencia, voltaje, carga, etc. Estas se dividen en Máquinas de Inducción, en las que el rotor se alimenta por inducción, y Máquinas de Conmutador, el rotor se alimenta por un conmutador. El estudio de las máquinas se basa en su constitución física (estructura), principio de funcionamiento, su circuito equivalente (se representa con elementos circuitales que corresponden a los fenómenos eléctricos que ocurren en el devanado) y el control de la máquina (arrancar, energizar, frenar, controlar velocidad, etc.) El principio de funcionamiento se basa en alimentar (energizar) la máquina, para hacer circular una corriente que produce un campo, un flujo magnético. Por esto se mueve una parte de la máquina: el rotor, para que el flujo al cortar los devanados induzca tensión en ellos. Se produce un torque que trata de alinear los flujos del rotor y del estator. La máquina solo arranca si su torque es mayor que el torque de la carga. Según la transformación de la energía que realice la máquina se dice que trabaja como motor o como generador. La máquina esta constituida por: estator (parte estática), rotor (parte móvil), anillos rozantes, escobillas, eje, cojinetes, carcasa, bornera, placa de

1077

la reactiva.

especificaciones y tapas. II. MÁQUINAS SINCRÓNICAS El funcionamiento de la máquina se fundamenta en que al alimentar el rotor con CD, circula corriente por un devanado y se produce un flujo giratorio, que produce una tensión inducida. Cuando aparece el flujo del estator, el rotor experimenta un torque que trata que el rotor siga el flujo, pero este gira más rápido que el flujo del rotor, que gira más despacio por la inercia. El rotor puede ser de polos salientes o liso. Según el número de devanados las máquinas se dividen en: monofásica (un solo devanado), bifásica, trifásica (tres devanados iguales, ubicados a 120°), polifásica. Las más comunes son las monofásicas y las trifásicas. En el funcionamiento como generador, el rotor se impulsa por un motor auxiliar y se excita con CD. Sobre el rotor actúan el torque mecánico del motor impulsor y el torque magnético que tiene sentido contrario a la velocidad. Como motor, el torque magnético impulsa el rotor y el mecánico, o carga, se opone al movimiento. No se inducen tensiones en el rotor, pues los flujos del estator y del rotor no cortan el devanado del rotor. En el estator si se inducen tensiones. La “teoría de las dos reacciones”, propuesta por Blondel, trata sobre un eje directo (en el sentido del eje de los polos) y un eje en cuadratura (en el sentido de la línea polar). El fenómeno de saturación se presenta en el ensayo en vacío que se manifiesta como una especie de “desmagnetización” y esta depende del flujo neto. La saturación es la causa más preponderante de la no linealidad de la máquina. Para conocer los parámetros del circuito equivalente (valor de resistencias e inductancias) se realizan ensayos en el laboratorio, llamados ensayo en vacío y en corto, tomando mediciones de voltaje, corriente, velocidad y torque. Para el estudio de la potencia activa (o real) y reactiva se utiliza el circuito equivalente, el diagrama fasorial y el diagrama de potencia (o diagrama circular) que relaciona la potencia activa y

El proceso de conectar un generador a un sistema ya energizado es llamado sincronización. Esta se puede detectar cuando los voltajes entre los interruptores a cerrar son pequeños en comparación con los voltajes del sistema. En sincronización hay igualdad de amplitud, frecuencia, secuencia y fase. Existen varios métodos para lograr la sincronización: 3 o 2 voltímetros, 3 o 2 lámparas, sincronización con el osciloscopio, del sincroscopio, de la lámpara estroboscópica. Para el estudio del comportamiento de las máquinas cuando se conectan a un sistema no balanceado, requiere de una técnica especial llamada “Componentes Simétricas”. Al aplicarse este método a sistemas trifásicos, este puede reemplazarse por tres sistemas trifásicos balanceados (secuencia positiva, secuencia negativa y secuencia cero). La estabilidad de estado estable se entiende como la máxima potencia que la máquina puede entregar sin perder el sincronismo con cambios muy lentos de la carga aplicada. Para averiguar si la máquina pierde o no el sincronismo ante una falla, existen dos métodos: criterio de las áreas iguales (gráfico), que es el análisis grafico de potencias, comparando áreas que representan energías; y el método numérico es resolviendo la ecuación del penduleo. Las fallas mecánicas producen aumento o disminución brusca de la potencia mecánica, las eléctricas, como un cortocircuito, hace que la máquina pierda el sincronismo porque existen dispositivos que desconectan y reconectan la máquina al sistema. La máquina requiere un control, llamado el regulador de tensión, que acomode el valor de la tensión a ciertas condiciones de carga. Las clases de devanados que puede tener la máquina son: concentrado, acortados, distribuido, de dos capas, de ranura oblicua respecto al campo y de arrollamientos fraccionarios.

1079

III. MÁQUINAS DE INDUCCIÓN El circuito eléctrico es análogo del magnético, la corriente a el flujo, la fuerza electromotriz a la fuerza magnetomotriz. El transformador es una máquina especial en el sentido que no maneja energía mecánica, solo transforma energía eléctrica en energía eléctrica. Es un circuito magnético que acopla dos o más circuitos eléctricos. Se compone del núcleo y de los devanados. El núcleo es la estructura que soporta las bobinas y ayuda a producir flujo magnético que ligue, que envuelva los devanados. En el estudio de los transformadores en ciertos casos, para la solución del circuito equivalente es necesario reflejar las impedancias, que es obtener el valor de la impedancia “visto” desde el otro devanado. Como en las demás máquinas, se realizan ensayos de laboratorio para obtener los valores del circuito equivalente. Algunos de estos ensayos son: relación de espiras, en vacío, en corto, de polaridad, de calentamiento, de aislamiento. Dos características importantes en la industria son la regulación de voltaje y el rendimiento. La regulación trata de medir la capacidad de un transformador alimentado con tensión constante, para mantener el voltaje secundario en un rango estrecho de variación ante los cambios de carga. El rendimiento de potencia o eficiencia es la relación entre la potencia de salida y la de entrada. Las pérdidas en los transformadores se dividen en pérdidas en el cobre, por corriente de carga y por corrientes parásitas en los devanados; y en el núcleo, por histéresis y corrientes parásitas en el núcleo. El rendimiento energético es la relación entre la energía de salida y la de entrada, en un determinado período de tiempo.

Los transformadores multicircuito tienen más de dos devanados por fase. Pueden ser monofásicos y polifásicos. Son más baratos y pequeños que los de dos devanados que los reemplazan. Se pueden conectar en YYDelta, YZig-Zag y Delta Zig-Zag. Los autotransformadores funcionan semejante al transformador, solo que la transferencia de energía se hace por inducción magnética y conducción eléctrica, debido a que los devanados están unidos eléctricamente. También existen otros transformadores importantes en la industria como son los transformadores de medida. La máquina de inducción recibe el nombre porque funciona bajo el principio de inducción electromagnética. Es asincrónica. Se clasifican por el número de fases y por el tipo de rotor (jaula de ardilla o devanado). Basa su funcionamiento en el flujo giratorio; al colocar tres bobinas idénticas y alimentarlas con corrientes trifásicas se produce un flujo giratorio. Los flujos se deslizan respecto al rotor, de allí surge la variable de deslizamiento que es la medida de la diferencia entre las velocidades de los flujos y del rotor. Según el valor de deslizamiento son los modos de funcionamiento de la máquina. Los ensayos de laboratorio que se le realizan son: medida de las resistencias de aislamiento, medida de la resistencia de los devanados, en vacío, en corto o rotor bloqueado, torque en función de la velocidad a diferentes voltajes y para determinar el diagrama circular. Para el estudio del comportamiento de la maquina en funcionamiento no equilibrado o no balanceado se aplica la teoría de las componentes simétricas. IV. MÁQUINAS DE CONMUTADOR

Las transformaciones polifásicas son conexiones de diverso número de fases. Las más comunes son las trifásicas, son las más usadas en los sistemas de potencia. Para lograr estas transformaciones se puede utilizar un banco de transformadores monofásicos o con un transformador trifásico. Se escoge la transformación, o conexión, según razones económicas y de protección.

Reciben su nombre por el dispositivo que se emplea para alimentar el rotor: el conmutador. Este es un cilindro aislante adosado a un extremo del rotor, provisto de cuñas metálicas conductoras (delgas), sobre cuya superficie rozan unas escobillas fijas. Se inyecta corriente en las escobillas; estas la pasan a las delgas y estas la hacen circular por los conductores alojados en las ranuras. La corriente por

1081

las bobinas es la mitad de la corriente de las escobillas. El devanado del rotor puede representarse por un devanado estático para efectos de la producción de la fuerza magneto-motriz, o sea del flujo del rotor, esto facilita el calculo de la f.m.m. total y de la tensión inducida en las bobinas de toda la máquina. Para el estudio de las máquinas en general se puede considerar la máquina de varios pares de polos como un ensamble de máquinas de dos polos que conserve sus características.

Las máquinas de conmutador se clasifican en: •

De excitación independiente: Se pueden controlar. Son motores de velocidad ajustable y que son alimentados por un voltaje constante. Se dividen en: imán permanente y electromagnético.

•

Autoexcitados: por su flujo remanente se origina una tensión que hace circular una corriente que produce una f.m.m que refuerza al flujo remanente produciendo así la máquina su propia excitación. Estas se dividen en: La Máquina Serie: se llama así porque el devanado del estator y el del rotor se conectan en serie, este posee un torque de arranque elevado y una característica de velocidad suave. La Máquina Shunt o en Derivación: el campo y la armadura están conectados en paralelo. Se puede ajustar el voltaje de campo y la corriente con una resistencia variable en serie con las bobinas de campo. La corriente de campo es de un valor pequeño por lo tanto la perdida de energía en la resistencia es poca. La Máquina Compuesta: posee dos devanados; uno propio de la máquina de excitación independiente y otro propio de la máquina serie, esto es para mantener el voltaje constante, ante los cambios de carga.

En todas la máquinas, de acuerdo a la constitución de su núcleo magnético se clasifican en estator liso y estator de polos salientes, y los devanados en distribuido y concentrado. Las máquinas de conmutador son alimentadas frecuentemente por corriente continua, pero también son alimentadas por CA. Se diferencian en que el núcleo de la máquina de conmutador de CA debe estar laminado, para evitar corrientes parasitas ya que estas producen perdidas. Estas se desarrollaron por la necesidad de motores con características de velocidad suave y facilidad de control. Los motores monofásicos son muy empleados en electrodomésticos. El estator de las máquinas de CD es un electroimán que al ser alimentado con CD produce un flujo estático. Como motor, se alimenta con CD tanto el rotor como el estator. Los conductores del rotor experimentan fuerzas debidas a la circulación de su corriente a través del flujo del estator. Aparece el torque como producto de la interacción de los flujos del rotor y del estor que intentan alinearse. Este torque se aprovecha para mover una carga mecánica a la cual se entrega una potencia mecánica. Para trabajar la teoría de estas máquinas, el devanado del rotor se cambia por uno equivalente estático. Como el devanado del estator es estático y los flujos también, no se induce tensión en ese devanado. En el rotor si se induce tensión, porque los devanados si se mueven. Para la deducción del circuito equivalente se realizan ensayos en el laboratorio en vacío y en corto.

A la influencia del flujo del rotor sobre el del estator se le conoce como reacción del inducido y uno de los efectos de esta es desplazar las zonas neutras (zonas en la periferia del rotor donde los conductores no cortan las líneas de flujo). Para contrarrestar esta influencia se utilizan los polos de conmutación, que son pequeños polos que se colocan entre los polos principales y se alimentan con la misma corriente del rotor, y el devanado compensador, que se añade en conjunto con los polos de conmutación en máquinas muy grandes y muy rápidas, se construye haciendo ranuras en las caras de los polos principales y se coloca un devanado por el cual circula la misma corriente del rotor. Existen máquinas con más de un par de escobillas por par de polos. Son conocidas como máquinas de campo transversal: Máquina de Rosenberg, muy utilizada para alimentar sistemas de alumbrado; Metadínamo, igual a la de Rosenberg, pero con la subdivisión de los polos principales para poder

1083

colocar polos de conmutación y mejorar su funcionamiento; Convertidor Metadina, su función es convertir energía eléctrica a voltaje constante en energía eléctrica en corriente constante; Amplidina (la mas utilizada), se colocan las escobillas en corto circuito para que circule una gran corriente por el rotor y un gran flujo, esto se logra disminuyendo la reluctancia. Se puede usar como regulador de corriente y de voltaje; Rototrol, es un generador serie autoexcitado con dos arrollamientos de control.

Publicaciones NABLA-DELTA; N-9, 1997. 334p. [2] DÍEZ S, Emiro. Máquinas Eléctricas de Inducción. Medellín: UPB Serie de Publicaciones NABLA-DELTA; N-2, 1989. 464p. [3] DÍEZ S, Emiro. Máquinas Eléctricas Sincrónicas. 2° ed. Medellín: UPB Serie de Publicaciones NABLA-DELTA; N-3, 1990. 428p.

V. CONCLUSIONES El campo eléctrico y el magnético son formados por la organización y la interacción con el medio de las partículas (cuantos). El campo magnético es generado por campos eléctricos en movimiento, que a su vez es producto de partículas en movimiento. Las máquinas eléctricas se clasifican en general en sincrónicas, de inducción y de conmutador. Estos grupos se dividen de acuerdo a su alimentación, su construcción y su funcionamiento. Los flujos giratorios (rotor y estator) son los que transforman la energía en la máquina. Por la interacción de estos se produce el torque para tratar de alinearlos y esto hace que se mueva el rotor. Según la transformación de energía que ocurra en la máquina, se dice que trabaja como generador o como motor. Si transforma potencia mecánica en eléctrica, trabaja como generador, y si transforma potencia eléctrica, trabaja como motor. El uso más común de la máquina sincrónica es como generador en las centrales hidroeléctricas. Las máquinas de inducción se utilizan más a nivel industrial. Las máquinas de conmutador son usadas en electrodomésticos, en automóviles, trenes, vehículos de transporte rápido, etc. El transformador, que es considerado como máquina eléctrica, transforma energía eléctrica en energía eléctrica. Es una máquina estática que es muy utilizada en los sistemas de potencia, en la transmisión y la distribución de la energía. REFERENCIAS [1] DÍEZ S, Emiro. Máquinas Eléctricas Sincrónicas. 2° ed. Medellín: UPB Serie de 1085

PROYECTO DE TRABAJO DE GRADO

REVISIÓN, COMPLEMENTO Y ACTUALIZACIÓN DEL LIBRO DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS

ESTUDIANTE: Silvia Catalina Sierra Jaramillo C.C. 32 183 692 Medellin Ingeniería Eléctrica / Universidad Pontificia Bolivariana Teléfono: 2 56 92 61 E-mail: [email protected]

DIRECTOR: I. E. Emiro Diez Saldarriaga C.C. 8 342 796 Ingeniero Electricista / Universidad Pontificia Bolivariana Teléfono: 4 15 90 20 E-mail: [email protected]

INGENIERÍA ELÉCTRICA – ESCUELA DE INGENIERÍA UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA MEDELLÍN – COLOMBIA 2006 1087

MEMO DE TRABAJO PARA EL COMITÉ: PROYECTO: REVISIÓN, COMPLEMENTO Y ACTUALIZACIÓN DEL LIBRO DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS Primera Revisión: Recibió por: ____________________________________

Fecha: ___________

Lectura y asignación de evaluador en comité #: ________ Fecha: ___________ Evaluación preliminar asignada a: ____________________________________ Recomendación: __________________________________________________ Reprobado: Comité #

Aplazado:

Aprobado:

Firma responsable:

Fecha: _______ Comentarios: _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________

1089

MEMO DE TRABAJO PARA EL COMITÉ: PROYECTO: REVISIÓN, COMPLEMENTO Y ACTUALIZACIÓN DEL LIBRO DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS Segunda Revisión: Recibió por: ____________________________________

Fecha: ___________

Lectura y asignación de evaluador en comité #: ________ Fecha: ___________ Evaluación preliminar asignada a: ____________________________________ Recomendación: __________________________________________________ Reprobado: Comité #

Aplazado:

Aprobado:

Firma responsable:

Fecha: _______ Comentarios: _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________

1091

MEMO DE TRABAJO PARA EL COMITÉ: PROYECTO: REVISIÓN, COMPLEMENTO Y ACTUALIZACIÓN DEL LIBRO DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS Tercera Revisión: Recibió por: ____________________________________

Fecha: ___________

Lectura y asignación de evaluador en comité #: ________ Fecha: ___________ Evaluación preliminar asignada a: ____________________________________ Recomendación: __________________________________________________ Reprobado: Comité #

Aplazado:

Aprobado:

Firma responsable:

Fecha: _______ Comentarios: _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________

1093

PROYECTO REVISIÓN, COMPLEMENTO Y ACTUALIZACIÓN DEL LIBRO DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS

1. INVOLUCRADOS ESTUDIANTE: Silvia Catalina Sierra Jaramillo Ingeniería Eléctrica UPB Escuela de Ingeniería Ubicación actual: Décimo Semestre DIRECTOR: Emiro Diez Saldarriaga Ingeniero Electricista Cargo: Docente interno Universidad Pontificia Bolivariana ASESOR: Andrés Emiro Diez Ingeniero Electricista Cargo: Docente interno Universidad Pontificia Bolivariana

1095

2. MODALIDAD El proyecto se enmarca en la modalidad de ASISTENCIA A LA DOCENCIA, ya que los libros en mención son productos obtenidos en el desarrollo de la actividad docente de profesores adscritos a la universidad. Por otro parte, el texto permitirá fortalecer y enriquecer la investigación y la enseñanza de cursos de pregrado y postgrado, tanto en UPB, como en otras instituciones. 3. TEMA DEL PROYECTO El proyecto consiste en la revisión, actualización y complementación de los textos MÁQUINAS SINCRONICAS, MÁQUINAS ELÉCTRICAS DE INDUCCIÓN y MÁQUINAS ELÉCTRICAS DE CONMUTADOR , los cuales se han venido utilizando como textos guías en la universidad en los laboratorios de maquinas eléctricas I y maquinas eléctricas II. TIPO TRABAJO %

AREAS %

Teórico 100 %

Maquinas Eléctricas 90 %

Teoría Electromagnética 5%

Física 5%

4. ANTECEDENTES Los textos que involucran el presente trabajo de grado han sido el fruto de investigación y práctica docente de I.E. Emiro Diez Saldarriaga. Estos textos o notas se utilizan hoy en día como base para los proyectos relacionados con el área de Máquinas Eléctricas y como textos básicos para los cursos de Laboratorios de

1097

Máquinas Eléctricas I y Maquinas Eléctricas II de pregrado en Ingeniería Eléctrica; además sirven de apoyo para cursos de especialización y maestría de la UPB. El presente proyecto de grado actualizara y complementara los libros inicialmente desarrollados mediante tesis de pregrado de los estudiantes Roberto Carlos Zapata (Máquinas Sincrónicas y Máquinas de Inducción), Rommel Darío Sánchez Villalba (Actualización, Revisión y Complementación de el libro Máquinas Eléctricas de Inducción del Ingeniero Emiro Diez Saldarriaga), Esteban Uribe Jaramillo (Actualización del texto guía de Máquinas Sincrónicas) y Juan Carlos Molina Molina (Recopilación, Organización y Complementación de las notas de clase sobre Máquinas de Inducción y Transformadores del Ingeniero Emiro Diez Saldarriaga). En la actualidad, como la mayoría de los textos que se deseen mantener actuales, estos escritos requieren reformas, no solo para adecuarlos a los avances tecnológicos, sino para que se acomoden a los cambios curriculares de los últimos tiempos. También se desea incorporar más ejemplos de aplicación y de simulación. 5. OBJETIVOS 5.1.

OBJETIVO GENERAL

Actualizar, complementar y revisar los textos MÁQUINAS SINCRONICAS, MÁQUINAS ELÉCTRICAS DE INDUCCIÓN y MÁQUINAS ELÉCTRICAS DE CONMUTADOR, con el fin de presentar a la universidad y al gremio en general unos textos actualizados y de altos estándares pedagógicos y técnicos que sirvan de base para la formación de investigadores y profesionales. 5.2.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

5.2.1 Los diversos textos de máquinas, en formatos separados y estandarizados para acomodarse a las normas editoriales, se ha visto que son muy difíciles de consultar por su tamaño excesivo y por su pobre contenido de explicaciones y de índices. El Profesor Díez propone un texto de consulta más ameno y didáctico que pueda servir tanto al estudiante como al egresado para consultas rápidas. Un primer ensayo, bastante exitoso, se dio con el texto de máquinas para Ingenieros Electrónicos, del cual se adjunta una versión en formato opto digital con este proyecto. Por lo tanto, el 1099

objetivo específico principal es lograr un formato parecido para los textos completos. 5.2.2 Por lo que respecta al contenido, el Profesor Díez ha comprendido la necesidad de incluir mas reglas de sentido común en lo referente al manejo, control y seguridad personal. 5.2.3. Como era de esperar, y como lo sostuvo siempre el profesor Díez, resulta muy difícil tratar de ubicarse en el mercado de los libros de texto a nivel internacional o nacional empleando formatos estandarizados para trabajos de bachillerato. Estos formatos con tamaños de fuentes excesivos y enormes espacios interlineales, encarecen el precio y el tamaño de los libros de consulta y les dan aspecto muy adocenado. Se propone, entonces, un formato más ágil, y como la finalidad no es conseguir el enriquecimiento, más fácil de reproducir y divulgar. 5.2.4. Para la biblioteca se entregará un trabajo con el formato exigido para los trabajos de grado, con el escrito publicable exigido, y que tendrá como anexo el texto final con el formato mejorado. 6. JUSTIFICACIÓN Y BENEFICIOS 6.1.

JUSTIFICACIÓN

Los avances tecnológicos los retos actuales de la ingeniería eléctrica, exigen que cada día se disponga de material básico y conceptual lo suficientemente claro completo y didáctico. Material que debe estar acorde lógicamente con el estado del arte de cada tema. Particularmente, los temas que manejan los textos objeto de este proyecto son el fundamento de nuevas tecnologías utilizadas en las maquinas eléctricas. A partir de las necesidades y exigencias de la ingeniería eléctrica, se justifica el esfuerzo por disponer de material básico para la investigación al interior de la UPB, y de entregar a la comunidad universitaria y al gremio en general, textos que cumplan con los más altos estándares de calidad tanto en sus contenidos como en su modelo pedagógico.

1101

En la actualidad se dispone de un material básico que debe ser depurado y actualizado de acuerdo con las necesidades de la ingeniería eléctrica en el ámbito mundial. Así mismo es conveniente incrementar la práctica de aplicación de quien se instruye con estos textos, a través de mayor cantidad de ejemplos y ejercicios propuestos. 6.2.

BENEFICIOS

El complemento, actualización y revisión de los textos: • Brindará a los investigadores y docentes, guías adecuadas tanto en contenidos como en metodologías que será utilizadas en los temas que recientemente demanda el sector eléctrico. • Contribuirá con el aprendizaje de investigadores, de estudiantes de pregrado y postgrado, brindando excelentes herramientas de consulta. • Presentar al gremio un nuevo material de consulta actualizado y elaborado de acuerdo con las realidades del país, y gracias a esto continuar con el posicionamiento de la Universidad en el medio. • Particularmente, me permitirá obtener altos conocimientos en los temas relacionados con los textos, iniciarme en actividades investigativas y obtener el titulo de ingeniero electricista. 7. ALCANCES Los alcances de este proyecto radican en entregar terminados los textos involucrados en el presente proyecto, con marcos teóricos de altos estándares conceptuales y pedagógicos, tanto en formato escrito como digital.

1103

8. TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN. MAQUINAS SINCRONICAS CIRCUITO MAGNETICO. FLUJOS GIRATORIOS Y TENSIONES INDUCIDAS. EQUIVALENTE BIPOLAR. CIRCUITO EQUIVALENTE. CARACTERÍSTICAS DE COMPORTAMIENTO. DIAGRAMA CIRCULAR. COMPORTAMIENTO TRANSITORIO: CORTO CIRCUITO Y ESTABILIDAD. CONTROL DE LAS MAQUINAS SINCRONICAS CONECTADAS A UN SISTEMA DE POTENCIA. COMPONENETES SIMÉTRICAS. DEVANADOS. MAQUINAS DE INDUCCIÓN. EL TRANSFORMADOR MONOFASICO. ENSAYOS DE LABORATORIO PARA TRANSFORMADOR MONOFASICO. REGULACIÓN Y EQUIVALENTE.

RENDIMIENTO

TRANSFORMACIONES TRIFÁSICAS. 1105

A

PARTIR

DEL

CIRCUITO

TRANSFORMADOR MULTICIRCUITO Y AUTOTRANSFORMADOR. LA MAQUINA DE INDUCCIÓN. CIRCUITO EQUIVALENTE DE LA MAQUINA DE INDUCCIÓN. MODOS DE FUNCIONAMIENTO Y DIAGRAMA CIRCULAR DE LA MAQUINA DE INDUCCIÓN. ENSAYOS DE LABORATORIO PARA LA MAQUINA DE INDUCCION. COMPORTAMIENTO NO BALANCEADO Y MOTORES MONOFASICOS. MAQUINAS DE CONMUTADOR MAQUINAS DE CONMUTADOR. MAQUINAS DE CORRIENTE DIRECTA. MAQUINAS CON DOBLE JUEGO DE ESCOBILLAS. MAQUINAS DE CONMUTADOR EN CA. BIBLIOGRAFÍA ANEXOS INDICE ALFABETICO

1107

9. PRESUPUESTO Y RECURSOS NECESARIOS TABLA DE RECURSOS

Participación (miles de pesos)

Implica desembolso por parte de estudiante SI NO

Recursos presupuestados Fotocopias y bibliografía Internet (200 h @ 2k$/h) Servicios de Computo (1000 h @ 2k$/h) Impresiones Papelería

Estudiante

Patrocinio

150

0

Otra entidad 0

0

400

0

X

0

2000

0

X

100 100

50 0

0 0

Trabajo estudiante (1000 h @ 5k$/h)

5000

0

0

X

Trabajo asesor (30 h @ 35k$/ h) Trabajo director (100 h @ 40k$/h) Imprevistos (10%) TOTALES

0

1050

0

X

0

4000

0

X

0

1285

0

5350

8785 14135

0

10.

X

X X

X

FINANCIACIÓN

Los recursos económicos para este trabajo de grado provendrán de aportes personales del estudiante.

1109

11. Actividades / Mes

CRONOGRAMA Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Ocupación (horas) 50

1. Formulación y análisis del proyecto 2. Búsqueda bibliográfica Investigación 3. revisión, actualización y complementación de contenidos y gráficos. 4.optimización y revisión 5. Redacción del informe 6. Revisión por parte de los jurados Horas totales

100 400 100 250 100 1000 12.

BIBLIOGRAFÍA

DIEZ S., Emiro. Máquinas Eléctricas Sincrónicas. Medellín: Universidad Pontificia Bolivariana, Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, 1990. DIEZ S., Emiro. Máquinas Eléctricas de Inducción. Medellín: Universidad Pontificia Bolivariana, Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, 1990. DIEZ S., Emiro. Máquinas Eléctricas de Conmutador (C.D Y C.A). Medellín: Universidad Pontificia Bolivariana, Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, 1990. MOLINA, Juan Carlos., DIEZ SALDARRIAGA, Emiro. Máquinas Eléctricas de Inducción. Colombia: Universidad Pontificia Bolivariana, 1989. LOPERA P, Jairo A. DIEZ S., Emiro. Análisis de Circuitos Eléctricos. 1º ed. Medellín: Universidad Pontificia Bolivariana, Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, 1992. KOSTENKO, M., PIOTROVSKY, L. Máquinas Eléctricas Tomo I y II. 3º ed. Moscú: Mir, 1968. 1111

DAWES, CH. L. Tratado de Electricidad. 4º ed. Barcelona: G. Gili, 1957. FITZGERALD, H E. y KINGSLEY, Jr. Electrical Machinery. 3º ed. Tokio: Mc Graw Hill, 1971. HINDMARSH, John. Electrical Machines and their Applications. 2º ed. Oxford: Pergamon, 1970. KOSOW, Irving L. Máquinas Eléctricas y Transformadores. 2º ed. Barcelona: Reverte, 1980 LANGSDORF, Alexander S. Theory of Alternating Current Machinery. 2º ed. New York: Mc Graw Hill, 1970. SISKIND, Charles S. Direct Current Machinery. 2º ed. New York: Mc Graw Hill, 1952. STILL, Alfred y SISKIND, Charles S. Electrical Machina Desing. 3º ed. Tokio: Mc Graw Hill, 1954. THALER, George Julius y WILCOX, Milton L. Electrical Machines. 1º ed. New York: John Miles and Sons, Inc, 1966. THALER, George Julius y WILCOX, Milton L. Máquinas Eléctricas Estado Dinámico y Permanente. 1º ed. México: Limusa Wiley, 1969. CHAPMAN, Stephen J. Maquinas Eléctricas. 1º ed. New Cork: Mc Graw Hill, 1987. ADKINS, Bernard. Teoría general de las máquinas eléctricas. España: Ediciones Urmo, 1967. LUCA, Carlos. Máquinas Eléctricas. 3º ed. México: Representaciones y Servicios de Ingeniería, 1968. CORTES, Manuel. Curso Moderno de Máquinas Eléctricas rotativas. 1º ed. España: Eta, 1970.

1113

KOSOW, Irving Lionel. Control de Máquinas Eléctricas. España: Reverte, 1982. WAGNER, Arnold. Máquinas Eléctricas: funcionamiento, reparación, bobinado. España: Gustavo Gili, 1993. GURU, Bhag S. y HIZIROGLU, Huseyin R. Máquinas transformadores. 3º ed. México: Oxford University Press, 2003.

Eléctricas

y

IVANOV, A.V. Máquinas Eléctricas. Rusia: Editorial Mir, 1988. ENRIQUEZ, Gilberto. El libro practico de los generadores transformadores y motores eléctricos. México: Limusa, 2003. LUCA, Carlos. Máquinas Eléctricas. 3º ed. México: Representaciones y Servicios de Ingeniería, 1968. SANZ, Javier. Máquinas Eléctricas. Madrid: Prentice Hall, 2002. ROBLEDO, Rodrigo. Teoría y práctica de transformadores. Medellín: Frafico, 1990. ORTEGA, Juan Maria. Máquinas de corriente alterna. 3º ed. España, 1979. CORTES, Manuel. Curso moderno de máquinas eléctricas rotativas. Barcelona, España: Eta, 1977. COGDELL, J. R. Fundamentos de Máquinas Eléctricas. México, D.F.: Pearson Educación, 2002. CORRALES, Juan. La Máquina Eléctrica: teoría, construcción y funcionamiento. España, 1969. LIWSCHITZ, Michael y WHIPPLE, Clyde. Máquinas de Corriente Continua. México, D.F., 1983. LEANDER W. Matsch. Máquinas Electromecánicas y Electromagnéticas. México, D.F., 1974. LISTER, Eugene. Máquinas y circuitos eléctricos: introducción a la electricidad práctica. 3º ed. Madrid, España: Ediciones del Castillo, 1967.

1115

13.

PROPIEDAD INTELECTUAL Y DESTINACIÓN DEL PROYECTO

Debido a la modalidad de este proyecto (asistencia a la docencia), debe quedar explicito que la autoría del proyecto es del IE Emiro Diez Saldarriaga, y la estudiante Silvia Catalina Sierra Jaramillo, que sólo trabaja en un objetivo propuesto por el director, y obtiene como consecuencia un reconocimiento parcial como asistente en la elaboración del proyecto. A continuación se presenta un acta de reconocimiento de las partes involucradas: ACTA DE PROPIEDAD INTELECTUAL del proyecto: REVISIÓN, COMPLEMENTO Y ACTUALIZACIÓN DE LAS GUIAS DE LABORATORIO DE MAQUINAS ELECTRICAS 1. Los derechos intelectuales pertenecen enteramente al autor Ing. Emiro Díez Saldarriaga. La estudiante Silvia Catalina Sierra Jaramillo, tendrá derecho a ser mencionado como recopilador y corrector del trabajo, y lo será de hecho. En caso de incluirse alguna simulación o ejemplo interesante, o alguna idea novedosa por parte del estudiante, en el texto se dirá explícitamente que esa parte le pertenece completamente al estudiante que hizo el aporte, tanto moral como intelectualmente. La Universidad Pontificia Bolivariana será mencionada como entidad donde se desarrolló el proyecto y a cuyos estudiantes está dirigido en primera instancia. También se incluirá una lista de los diversos Profesores que han revisado y dado pautas para mejorar el proyecto, como los Ingenieros Armando Bohórquez, Andrés Emiro Díez, Jorge W. González, Hugo Cardona, Idi Amin Isaac, Hernán Valencia. 2. Los derechos patrimoniales pertenecen conjuntamente a la Universidad Pontificia Bolivariana y al Autor Emiro Díez Saldarriaga, pudiendo ambos propietarios reproducir parte y/o la totalidad de los textos sin consultar al otro. En caso de mención, esta debe explicitar que son textos desarrollados en la Universidad Pontificia Bolivariana por el Profesor Emiro Díez Saldarriaga y recopilados por la estudiante Silvia Catalina Sierra Jaramillo. 3. Causales de retiro: El retiro podrá ser voluntario o ser motivado por el incumplimiento de las obligaciones de una de las partes, a criterio del director. 4. Costos: Se declara el costo estimado total y cuánto de estos requiere desembolsos, y se hace referencia a la “tabla de recursos necesarios” para explicar la participación relativa de los involucrados.

1117

5. Constancias: Todos los participes han estudiado el “Estatuto de Propiedad Intelectual” de la Universidad Pontificia Bolivariana, el reglamento de elaboración de trabajos de grado IEE y el proyecto del trabajo de grado; y se comprometen a cumplir los deberes que estipulen estos.

____________________________ Silvia Catalina Sierra Jaramillo C.C. 32 183 692 Medellín

_______________________ Emiro Diez Saldarriaga C.C. 8 342 796

_______________________ Andrés Emiro Diez C.C. 98 670 424 Envigado

1119

DIARIO DE ACTIVIDADES Reporte Semanal Proyecto REVISIÓN, COMPLEMENTO Y ACTUALIZACIÓN DEL LIBRO DE MÁQUINAS ELÉCTRICAS Reporte número 1 Estudiante SILVIA CATALINA SIERRA JARAMILLO

Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 26 Julio 24 a 30 / 2006 Escaneo de Texto Arreglo de Texto

Lunes 4

Martes

4

Total

Miércoles

Jueves

6 6

Viernes

Sábado

Domingo

6

6

4

Total 4 22

6

6

4

26

Sábado 3

Domingo 4

Total 20

3

4

20

Domingo

Horas Acumuladas en el Proyecto: 26 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 20 Julio 31 a Agosto 6 / 2006 Arreglo de Texto

Lunes 4

Martes

4

Total

Miércoles 5

Jueves 4

5

4

Viernes

Horas Acumuladas en el Proyecto: 46 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 16 Agosto 7 a 13 / 2006 Escaneo de Texto Arreglo de Texto

Lunes

Total

Martes 4 2

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

4

3

5

Total 4 12

7

4

3

5

16

Horas Acumuladas en el Proyecto: 59 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 18 Agosto 14 a 20 / 2006 Arreglo de Texto

Lunes

Total

Martes 4

Miércoles 5

Jueves 5

Viernes 4

4

5

5

4

Sábado

Domingo

Total 18 18

Horas Acumuladas en el Proyecto: 77 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 12 Agosto 21 a 27 / 2006 Escaneo de Texto Arreglo de Texto Total

Lunes

Martes 4 1

Miércoles

Jueves

Viernes

2

2

3

Total 4 8

5

2

2

3

12

1121

Sábado

Domingo

Horas Acumuladas en el Proyecto: 89 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 8 Agosto 28 a Sep 3 / 2006 Arreglo de Texto

Lunes

Total

Martes 2

Miércoles 1

Jueves 3

Viernes 1

Sábado 2

2

1

3

1

2

Domingo

Total 8 8

Horas Acumuladas en el Proyecto: 97 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 12 Septiembre 4 a 10 / 2006 Escaneo de Texto Arreglo de Texto

Lunes

Total

Martes

Miércoles

Jueves

3

2

2

3

2

2

Viernes 3

Sábado

3

Domingo 2

Total 3 9

2

12

Domingo

Horas Acumuladas en el Proyecto: 109 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 19 Septiembre 11 a 17 / 2006 Escaneo de Texto Arreglo de Texto Total

Viernes

4

Jueves 3 2

1

Total 3 16

4

5

1

19

Lunes

Martes

Miércoles

5

4

5

4

Sábado

Horas Acumuladas en el Proyecto: 128 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 16 Septiembre 18 a 24 / 2006 Arreglo de Texto Total

Lunes 2

Martes 2

Miércoles 3

Jueves 5

Viernes 3

Sábado 1

2

2

3

5

3

1

Domingo

Total 16 16

Horas Acumuladas en el Proyecto: 144 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 19 Sep 25 a Octubre 1 / 2006 Escaneo de Texto Arreglo de Texto

Lunes 4 4

Total

Martes 4

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

3

5

2

1

Total 4 15

4

3

5

2

1

19

Horas Acumuladas en el Proyecto: 163 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 18 Octubre 2 a 8 / 2006 Arreglo de Texto Total

Lunes

Martes 3

Miércoles 2

Jueves 3

Viernes 5

Sábado 4

Domingo 1

Total 18

3

2

3

5

4

1

18

1123

Horas Acumuladas en el Proyecto: 181 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 25 Octubre 9 a 15 / 2006 Escaneo de Texto Arreglo de Texto Total

Lunes

Martes

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

3

Miércoles 4 1

5

3

3

2

Total 4 21

4 4

3

5

5

3

3

2

25

Horas Acumuladas en el Proyecto: 206 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 25 Octubre 16 a 22 / 2006 Arreglo de Texto Total

Lunes 4

Martes 6

Miércoles 3

Jueves 4

Viernes 2

Sábado 4

Domingo 2

Total 25

4

6

3

4

2

4

2

25

Horas Acumuladas en el Proyecto: 231 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 26 Octubre 23 a 29 / 2006 Escaneo de Texto Arreglo de Texto Total

Viernes

Sábado

Domingo

3

Jueves 4 3

4

4

2

Total 4 22

3

7

4

4

2

26

Lunes

Martes

Miércoles

2

4

2

4

Horas Acumuladas en el Proyecto: 257 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 24 Oct 30 a Nov 5 / 2006 Arreglo de Texto Total

Lunes 5

Martes 3

Miércoles 4

Jueves 2

Viernes 4

Sábado 3

Domingo 3

Total 24

5

3

4

2

4

3

3

24

Horas Acumuladas en el Proyecto: 281 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 22 Noviembre 6 a 12 / 2006 Arreglo de Texto Total

Lunes 3

Martes 2

Miércoles 3

Jueves 4

Viernes 3

Sábado 4

Domingo 3

Total 22

3

2

3

4

3

4

3

22

Horas Acumuladas en el Proyecto: 303 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 27 Noviembre 13 a 19 / 2006 Realización de figuras Total

Lunes 5

Martes 3

Miércoles 4

Jueves 5

Viernes 4

Sábado 3

Domingo 3

Total 27

5

3

4

5

4

3

3

27

1125

Horas Acumuladas en el Proyecto: 330 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 25 Noviembre 20 a 26 / 2006 Realización de figuras Total

Lunes 5

Martes 4

Miércoles 3

5

4

3

Jueves

Viernes 5

Sábado 4

Domingo 4

Total 25

5

4

4

25

Sábado 4

Domingo 4

Total 24

4

4

24

Horas Acumuladas en el Proyecto: 355 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 24 Nov 27 a Dic 3 / 2006 Realización de figuras Total

Lunes 4

Martes 5

Miércoles 4

Jueves 3

4

5

4

3

Viernes

Horas Acumuladas en el Proyecto: 379 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 25 Diciembre 4 a 10 / 2006 Realización de figuras Total

Lunes 4

Martes 4

Miércoles 5

4

4

5

Jueves

Viernes 5

Sábado 3

Domingo 4

Total 25

5

3

4

25

Horas Acumuladas en el Proyecto: 404 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 20 Diciembre 11 a 17 / 2006 Actividad 1 Total

Lunes 4

Martes 4

4

4

Miércoles

Jueves

Viernes 5

Sábado 3

Domingo 4

Total 20

5

3

4

20

Domingo

Total 17

Horas Acumuladas en el Proyecto: 424 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 17 Diciembre 18 a 24 / 2006 Realización de figuras Total

Lunes 4

Martes 4

Miércoles 4

Jueves 5

4

4

4

5

Viernes

Sábado

17

Horas Acumuladas en el Proyecto: 441 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 17 Diciembre 25 a 31 / 2006 Realización de figuras Total

Lunes

Martes 4

Miércoles 4

Jueves 5

Viernes 4

4

4

5

4

1127

Sábado

Domingo

Total 17 17

Horas Acumuladas en el Proyecto: 458 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 16 Enero 1 a 7 / 2007 Realización de figuras

Lunes

Martes

Total

Miércoles 4

Jueves 4

Viernes 4

Sábado 4

4

4

4

4

Domingo

Total 16 16

Horas Acumuladas en el Proyecto: 474 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 17 Enero 8 a 14 / 2007 Realización de figuras Total

Lunes 4

Martes 3

Miércoles 4

4

3

4

Jueves

Viernes 3

Sábado

3

Domingo 3

Total 17

3

17

Domingo

Total 21

Horas Acumuladas en el Proyecto: 491 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 21 Enero 15 a 21 / 2007 Realización de figuras Total

Lunes 3

Martes 3

Miércoles 4

Jueves 4

Viernes 4

Sábado 3

3

3

4

4

4

3

21

Horas Acumuladas en el Proyecto: 512 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 24 Enero 22 a 28 / 2007 Realización de figuras Total

Lunes 4

Martes 5

4

5

Miércoles

Jueves 6

Viernes 5

6

5

Sábado

Domingo 4

Total 24

4

24

Sábado 5

Domingo 5

Total 33

5

5

33

Domingo

Total 17

Horas Acumuladas en el Proyecto: 536 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 33 Ene 29 a Febrero 4 / 2007 Realización de figuras Total

Lunes 5

Martes 6

Miércoles 6

Jueves 6

5

6

6

6

Viernes

Horas Acumuladas en el Proyecto: 569 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 17 Febrero 5 a 11 / 2007 Realización de figuras Total

Lunes 4

Martes 5

4

5

Miércoles

1129

Jueves 4

Viernes 4

4

4

Sábado

17

Horas Acumuladas en el Proyecto: 586 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 19 Febrero 12 a 18 / 2007 Realización de figuras Total

Lunes 5

Martes 5

Miércoles 4

5

5

4

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo 5

Total 19

5

19

Horas Acumuladas en el Proyecto: 605 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 35

Febrero 19 a 25 / 2007 Realización de figuras Total

Lunes 5

Martes 6

Miércoles 4

Jueves 6

Viernes 5

Sábado 4

Domingo 5

Total 35

5

6

4

6

5

4

5

35

Horas Acumuladas en el Proyecto: 640 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 32 Feb 26 a Marzo 4 / 2007 Unión de texto y figuras Total

Lunes 4

Martes 4

Miércoles 5

Jueves 6

Viernes 5

Sábado 4

Domingo 4

Total 32

4

4

5

6

5

4

4

32

Domingo

Horas Acumuladas en el Proyecto: 672 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 35 Marzo 5 a 11/ 2007 Realización de figuras Arreglo de texto Organización de los libros

Lunes 5

5

Total

Martes 5 3

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

5

5

4 3

5

Total 10 17 8

8

5

5

7

5

35

Horas Acumuladas en el Proyecto: 707 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 18 Marzo 12 a 18 / 2007 Organización de los libros Impresión de los libros

Lunes

Total

Martes 4

Miércoles 4

Jueves 4

Viernes 3

Sábado

Domingo

3

Total 15 3

4

4

4

3

3

18

Horas Acumuladas en el Proyecto: 725 Horas dedicadas en la semana terminada el Domingo: 13 Marzo 19 a 25 / 2007 Impresión de los libros Total

Lunes 4

Martes 4

Miércoles 5

4

4

5

1131

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

Total 13 13

Horas Acumuladas en el Proyecto: 738

En el transcurso de los meses de Abril, Mayo y Junio el director y asesor revisaron el trabajo completo e hicieron las correcciones pertinentes. En el mes de Julio, Agosto y Septiembre se realizaron las correcciones y los ajustes por parte de la estudiante. Firmas:

Director

Estudiante

1133