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Transmisi´on digital en banda base Modulaci´ on y Procesamiento de Se˜ nales Ernesto L´ opez Pablo Zinemanas, Mauricio Ramos {pzinemanas, mramos}@fing.edu.uy Centro Universitario Regional Este Sede Rocha Tecn´ ologo en Telecomunicaciones

Curso 2016

Transmisi´on de se˜nales anal´ogicas en banda base [Carlson and Crilly, 2009, cap 9] I

Previo al estudio de la transmisi´ on de se˜ nales digitales, se comenzar´a analizando brevemente la transmisi´ on de se˜ nales anal´ogicas en banda base sobre un canal ruidoso.

I

El objetivo de un sistema de comunicaciones anal´ ogico es la transmisi´ on de un mensaje anal´ ogico a un destino distante. I

I

I

Comunicaci´ on en banda base: no se altera la frecuencia de la se˜ nal a transmitir mediante modulaci´ on. I

I

El mensaje anal´ ogico se manifiesta como una se˜ nal de tiempo continuo x(t). Concretamente, el objetivo es obtener una copia lo mas fiel posible de la se˜ nal x(t) en el destino distante.

El espectro del mensaje est´ a centrado en la frecuencia 0 Hz (continua).

El desempe˜ no de un sistema de comunicaci´ on anal´ogico se mide a trav´es de la relaci´ on se˜ nal a ruido en el destino.

Ruido aditivo y relaciones se˜nal a ruido Ruido aditivo I

En un sistema de comunicaci´ on, el ruido suele a˜ nadirse en diferentes puntos entre la fuente y el destino.

I

En el an´alisis de sistemas, el ruido se modela como agrupado en una sola fuente a la entrada del receptor. I

La entrada del receptor es el punto mas vulnerable del sistema, en donde el nivel de se˜ nal u ´til es mas d´ebil debida a la atenuaci´ on. Ruido aditivo Señal recibida

Destino

+

I

Receptor lineal

Como el receptor es lineal, la salida es la suma del componente de la se˜ nal con el componente del ruido, yD (t) = xD (t) + nD (t).

Ruido aditivo y relaciones se˜nal a ruido Ruido aditivo I

La potencia total PD de la se˜ nal en el destino es 2 PD , E{yD (t)} = E{x2D (t) + 2xD (t)nD (t) + n2D (t)}

= E{x2D (t)} + 2E{xD (t)nD (t)} + E{n2D (t)} I

Hip´ otesis sobre el ruido: I I

I

El ruido es un proceso estacionario en sentido amplio de media nula. El ruido y la se˜ nal son independientes y por lo tanto no est´ an correlacionados.

Bajo estas hip´ otesis se cumple que E{xD (t)nD (t)} = E{xD (t)}E{nD (t)} = 0

I

La potencia total recibida es la suma de la potencia de la se˜ nal y la potencia del ruido 2 PD , E{yD (t)} = E{x2D (t)} + E{n2D (t)}.

Ruido aditivo y relaciones se˜nal a ruido Ruido aditivo Potencia de la se˜ nal

Potencia del ruido

Potencia total

SD , E{x2D (t)}

ND , E{n2D (t)}

PD = SD + ND

I

La relaci´ on se˜ nal a ruido se define como el cociente entre la potencia de la se˜ nal u ´til y la potencia del ruido   S SD , N D ND

I

Observaci´ on: La potencia total de la se˜ nal en el destino es la suma de la potencia de la se˜ nal u ´til y la potencia del ruido debido a que se consideraron procesos independientes.

Ruido aditivo y relaciones se˜nal a ruido Ruido aditivo I

La propiedad de superposici´ on de la potencia es importante en la pr´actica porque permite medir la relaci´ on se˜ nal se˜ nal a ruido: I I

La potencia total PD se mide durante una transmisi´ on normal La potencia del ruido ND se puede medir desconectando la se˜ nal u ´til, es decir, enviando una se˜ nal nula.

I

A partir de los valores PD y ND medidos, se calcula   SD + ND SD ND S PD = = + = +1 ND ND ND ND N D

I

Por lo tanto, la magnitud de inter´es se obtiene como   S PD = − 1, con PD y ND conocidos. N D ND

I

Para realizar las mediciones, se asume que los procesos son erg´ odicos y por lo tanto,

2 PD = E{yD (t)} Z 1 T /2 2 = lim yD (t) dt. T →∞ T −T /2

Transmisi´on de se˜nales anal´ogicas en banda base

Sistema de transmisi´on de se˜nales anal´ogicas en banda base Fuente

Transmisor

Canal

Pérdida

Ruido blanco

+

Receptor

Destino

Filtro pasabajos

La fuente de informaci´ on genera una se˜ nal anal´ ogica x(t) (mensaje) que se pretende reproducir lo mas fielmente posible en el destino.

Transmisi´on de se˜nales anal´ogicas en banda base Sistema de transmisi´on de se˜nales anal´ogicas en banda base Hip´otesis I

Mensaje: I I

I

Canal: I

I

I

I

No genera distorsi´ on. Esto significa que se modela como un SLIT con respuesta plana en el ancho de banda del mensaje. Produce atenuaci´ on de un factor L en la potencia de la se˜ nal enviada. Introduce ruido blanco con densidad espectral de potencia Gn (f ) = N0 /2.

Transmisor: I

I

La potencia del mensaje es Sx . El mensaje se modela como un proceso erg´ odico de ancho de banda W Hz.

Amplifica un factor gT la potencia de la se˜ nal a enviar.

Receptor: I I

Amplifica un factor gR la potencia de la se˜ nal recibida. Filtrado pasabajos de frecuencia de corte W para atenuar el ruido sin afectar el mensaje.

Transmisi´on de se˜nales anal´ogicas en banda base Potencia en las distintas etapas del sistema Fuente

Transmisor

Canal

Ruido blanco

Destino

Filtro pasabajos

+

Pérdida

Receptor

Potencia de la se˜nal u´til Potencia transmitida ST = gT Sx I

Potencia recibida SR = ST /L

Potencia en el destino SD = gR SR

T´ıpicamente el sistema se dise˜ na de forma tal que la amplificaci´on del transmisor junto con la del receptor compensen la atenuaci´on producida en el canal, gT gR ≈ L,

SD =

gT gR Sx ≈ Sx . L

Transmisi´on de se˜nales anal´ogicas en banda base Potencia del ruido en el destino I

La densidad espectral de potencia del ruido a la entrada del receptor es N0 , Gn (f ) = 2 constante para todas las frecuencias (ruido blanco).

I

El filtro pasabajos H(f ) del receptor tiene frecuencia de corte W , igual al ancho de banda del mensaje x(t). 1

H(f) gR Gn (f)

gR N0 2 −W

W

f

W

f

GnD (f) gR N0 2

−W

Transmisi´on de se˜nales anal´ogicas en banda base Potencia del ruido en el destino I

El ruido en el destino, es decir, luego del filtrado pasabajos y el amplificador de ganancia en potencia gR , tiene densidad espectral de potencia  gR N0 /2 si |f | ≤ W GnD (f ) = 0 en otro caso

I

Por lo tanto, la potencia del ruido en el destino es, Z

∞

ND =

Z

W

GnD (f )df = −∞

−W

gR N0 df = gR N0 W. 2

Relaci´on se˜nal a ruido en el destino I

La relaci´ on se˜ nal u ´til a ruido en el destino es   S SD gR SR SR = = = N D ND gR N0 W N0 W

Transmisi´on digital en banda base [Carlson and Crilly, 2009, cap 11]

Transmisi´on digital en banda base I

El objetivo de un sistema de comunicaciones digital es transferir un mensaje digital desde su fuente hasta el destino. I

I

Un mensaje digital es una secuencia ordenada de s´ımbolos producida por una fuente de informaci´ on digital.

La fuente de informaci´ on se alimenta de un alfabeto de M ≥ 2 s´ımbolos distintos y produce s´ımbolos de salida a una tasa promedio de r s´ımbolos por segundo. Alfabeto

Mensaje digital

A B D

I

CAACBAAD

El mensaje digital se transmite a trav´es de un canal anal´ogico. I

I

C

Fuente de información digital

Codificaci´ on de l´ınea: conversi´ on los s´ımbolos del alfabeto en se˜ nales el´ectricas.

El desempe˜ no de un sistema de comunicaci´ on digital se mide con I

I

la tasa de se˜ nalizaci´ on: velocidad o cadencia de los s´ımbolos enviados (bits por segundo). la probabilidad de error de los s´ımbolos en el destino.

Transmisi´on digital en banda base Codificaci´on de l´ınea I

I

Un sistema de comunicaci´ on digital Alfabeto Codificación de línea transmite durante un intervalo T A una se˜ nal anal´ ogica elegida de un B conjunto de M se˜ nales posibles, C D dependiendo del s´ımbolo de la fuente. Si la fuente produce el mensaje C A A C B A A D, se transmite por el canal anal´ ogico la se˜ nal x(t): x(t)

C

A

A

C

B

A

A

D

t

I

Se dice que el sistema es de banda base porque el c´odigo de l´ınea tiene frecuencias en un entorno de 0 Hz (continua).

Transmisi´on digital en banda base Codificaci´on de l´ınea I

En el caso en que la se˜ nal de l´ınea est´e modulada, se llama transmisi´ on pasabanda. Alfabeto

Codificación de línea

A B D

I

C

Si la fuente produce el mensaje C A A C B A A D, se transmite por el canal anal´ ogico la se˜ nal x(t): x(t)

C

A

A

C

B

A

A

D

t

Se˜nal digital de pulsos de amplitud modulada I

I

La representaci´ on de mensajes digitales en banda base toma la forma de un tren de pulsos de amplitud modulada (PAM, Pulse Amplitude Modulation). Esto significa que la se˜ nal anal´ ogica a transmitir es de la forma

x(t) =

∞ X

ak p(t − kD)

k=−∞ I

I

ak es la amplitud moduladora del k-´esimo s´ımbolo del mensaje.

I

D es el tiempo entre s´ımbolos. La fuente genera r = 1/D s´ımbolos/s.

Observaciones: I

I

I

La forma del pulso p(t) modulado es fija, determinada por el c´ odigo de l´ınea elegido. Si el alfabeto de la fuente tiene M s´ımbolos, los niveles de amplitud ak pertenecen a un conjunto de M valores discretos, uno por cada s´ımbolo. Por otro lado, cada s´ımbolo de la fuente podr´ıa codificarse con una palabra binaria de K bits, con K ≥ log2 M I

I

En ese caso, solo hay dos niveles de amplitud correspondientes a los s´ımbolos 0 y 1. El tiempo entre s´ımbolos es Tb = D/K.

Se˜nal digital de pulsos de amplitud modulada Ejemplo I

Se considera una fuente de informaci´ on digital que emite s´ımbolos de un alfabeto de M = 4 s´ımbolos distintos: A, B, C y D.

I

La fuente emite un s´ımbolo cada D segundos o equivalentemente, a una cadencia de r = 1/D s´ımbolos/s.

S´ımbolo

Amplitud ak

C´ odigo binario

A B C D

3A/4 A/2 -A/2 -3A/4

10 11 01 00

Codificaci´on binaria

Codificaci´ on cuaternaria I

Amplitudes moduladoras   3A A A 3A ak ∈ − , − , , 4 2 2 2

I

Amplitudes moduladoras   A A ak ∈ − , 2 2

I

Pulso modulado  1, 0 < t < D p(t) = 0, en otro caso

I

Pulso modulado  1, 0 < t < Tb = D/2 p(t) = 0, en otro caso

Se˜nal digital de pulsos de amplitud modulada A

A

3A 2 A 2 A − 2 3A − 2

B

C

D

A

A

B

t

D A 1

A 0

1

B 0

1

C 1

0

D 1

0

A 0

1

A 0

1

B 0

1

1

A 2 A − 2

t

Tb

I

Resumiendo, en un sistema de comunicaci´ on digital, se transmite una se˜ nal anal´ ogica que consiste en una sucesi´ on de pulsos modulados en amplitud. I

I

La se˜ nal anal´ ogica transmitida se denomina se˜ nal PAM digital.

Si se usan M > 2 niveles de amplitud ak en la se˜ nal PAM el c´odigo de l´ınea se llama c´ odigo M -ario.

Ventajas de la comunicaci´on digital

Regeneraci´on del mensaje Es posible recuperar el mensaje original a pesar de su transmisi´on por un canal ruidoso. 0

I

Efecto del canal I I

I

Atenuaci´ on, retardo, distorsi´ on Interferencias y ruido aditivo

0

1

0

1

0

0

A

t

Interferencia intersimb´ olica I

La distorsi´ on en el canal produce interferencia intersimb´ olica (ISI, Intersymbol Interference): desbordamiento de los pulsos hacia ranuras vecinas.

t

t

Ventajas de la comunicaci´on digital Regeneraci´on del mensaje I

El receptor de un sistema de comunicaci´ on digital en banda base se llama receptor regenerativo.

I

El receptor regenerativo reconstruye el mensaje, eventualmente con algunos errores con probabilidad Pe . Receptor regenerativo binario A

Transmisor

Canal

+

V

Filtro pasabajos

A

sincronismo

I

Una complicaci´ on del receptor regenerativo, es que necesita una se˜ nal de sincronismo para muestrear los pulsos en los instantes o´ptimos.

Ventajas de la comunicaci´on digital

Regeneraci´on del mensaje I

En comunicaciones de muy larga distancia, se emplean repetidores regenerativos para regenerar el mensaje antes de que se degrade demasiado por el ruido y la distorsi´ on y posteriormente se generen errores en la detecci´ on. A

Transmisor

A

A

Canal

Repetidor regenerativo

Canal

Receptor regenerativo

Ventajas de la comunicaci´on digital Receptor regenerativo 1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

A 2 −

A 2

t

t

A 2 −

A 2

t

A 2 −

A 2

t

Ventajas de la comunicaci´on digital I

Reproducci´ on confiable I

I

I

Como el mensaje es una sucesi´ on de pulsos de forma conocida, puede regenerarse. Las perturbaciones en el canal tienen que ser muy grandes para producir errores (confundir un 1 con un 0 o viceversa) en la recepci´ on. En la comunicaci´ on anal´ ogica, el mensaje sufre distorsi´ on y ruido en el canal, pero como la forma de onda no se conoce en el receptor, no puede regenerarse, incluso aunque se empleen repetidores entre el transmisor y el receptor para amplificar la se˜ nal.

Estabilidad I

I

Los sistemas digitales son intr´ınsecamente invariables en el tiempo, ya que se implementan con chips procesadores de se˜ nales digitales (DSP) que solo cambian el comportamiento si se reprograman. En sistemas anal´ ogicos, la se˜ nales y los par´ ametros del sistema est´ an sujetos a cambios con el envejecimiento de los componentes o las condiciones clim´ aticas (temperatura, humedad).

Ventajas de la comunicaci´on digital

I

Flexibilidad I

I

Para cambiar el procesamiento de la se˜ nales, alcanza con reprogramar el chip DSP. Adem´ as, con algoritmos de procesamiento de se˜ nales digitales, es posible incluir caracter´ısticas como c´ odigos de detecci´ on y correcci´ on de errores, encriptaci´ on, algoritmos de compresi´ on.

Multiplexaci´ on de distintas fuentes de informaci´ on I

Se pueden integrar datos de caracter´ısticas distintas (im´ agenes, audio, video) sobre un mismo flujo de datos, lo que facilita la convergencia de servicios.

Desventajas de la comunicaci´on digital I

Complejidad para tareas sencillas I I

I

Se˜ nal de sincronismo I

I

Por ejemplo, un pasabajos anal´ ogico es un circuito RC. Un pasabajos digital requiere de un filtro anlialiasing, la conversi´ on A/D, el procesamiento digital que implementa el pasabajos y la conversi´ on D/A. Se necesita sincronismo entre el transmisor y el receptor para el muestreo de los pulsos en el instante o ´ptimo.

Mayor ancho de banda I

Cuando la se˜ nal digital proviene del muestreo de una se˜ nal anal´ ogica, el ancho de banda de la se˜ nal digital es mayor que el de la se˜ nal anal´ ogica. I

I

I

El ancho de banda de una se˜ nal de voz es W ≈ 4 kHz (para inteligibilidad). Si se muestrea a 8 kHz y codifica con 8 bits por muestra, el ancho de banda es BT > 32 kHz. Pero con t´ ecnicas de compresi´ on es posible reducir el ancho de banda de transmisi´ on de la se˜ nal digital por debajo del ancho de banda de la se˜ nal anal´ ogica. Por ejemplo, es posible transmitir 4 o 5 canales de TV digital a calidad est´ andar en el ancho de banda de un canal anal´ ogico (6 MHz) usando compresi´ on con p´ erdida.

Caracter´ısticas de la se˜nal PAM digital I

Como se mencion´ o previamente, la se˜ nal PAM digital es

x(t) =

∞ X

I

ak es la amplitud moduladora correspondiente al k-´esimo s´ımbolo del mensaje.

I

D es el tiempo entre s´ımbolos.

ak p(t − kD)

k=−∞ I

El pulso no modulado p(t) puede ser de forma arbitraria sujeto a la siguiente condici´ on:  1, t = 0 p(t) = 0, t = ±D, ±2D, . . .

I

De esta forma, es posible recuperar el mensaje al muestrear x(t) peri´ odicamente en tiempos m´ ultiplos de D, t = nD, con n = 0, ±1, ±2, . . .: x(nD) =

∞ X

ak p(nD − kD) = an

k=−∞ I

Ejemplos de se˜ nales p(t) que cumplen la condici´ on son I I

pulso rectangular: p(t) = Π(t/D) seno cardinal: p(t) = sinc(t/D)

Caracter´ısticas de la se˜nal PAM digital Cadencia de s´ımbolos I

I

Como la duraci´ on de un s´ımbolo es D segundos, la tasa o cadencia de s´ımbolos es 1 s´ımbolos/s o baudios r= D Cuando el alfabeto de la fuente tiene dos s´ımbolos (M = 2, caso binario), D = Tb es la duraci´ on de un bit y la tasa de bits es rb =

I

1 bits/s o bps. Tb

Una fuente M -aria puede codificarse con K = log2 M bits y la duraci´ on de un bit cumple que Tb = D/K. Por lo tanto, rb = r log2 M

Caracter´ısticas de la se˜nal PAM digital C´ odigos de l´ınea empleados frecuentemente 0

1

(a) Unipolares RZ y NRZ I

ak ∈ {−A/2, A/2}.

I

Unos sucesivos se representan con polaridad alternante.

1

0

0

t

0 Tb

A/2 t

0 – A/2 1

(c) Bipolar NRZ o de marcas invertidas (AMI)

0

RZ NRZ

Tb

I

1

A

ak ∈ {0, A}.

(b) Polares RZ y NRZ

1

0

1

1

0

1

0

0

A t

0 –A A/2

(d) C´ odigo Manchester I

Unos con medio pulso positivo seguido de medio pulso negativo, y viceversa con los ceros.

(e) Polar cuaternaria NRZ

t

0 – A/2 1

0

1

1

0

1

0

0

3A/2 A/2 t

0 – A/2 – 3A/2

D

Caracter´ısticas de la se˜nal PAM digital Caracter´ısticas deseables de los c´odigos de l´ınea I

Autosincronizaci´ on: la se˜ nal de sincronizaci´ on se puede extraer del c´ odigo de l´ınea.

I

Ancho de banda de transmisi´ on: debe ser tan peque˜ no como sea posible. Espectro adecuado a las caracter´ısticas del canal:

I

I

I

I

si el canal es acoplado a CA, el c´ odigo no puede tener componente de continua. el ancho de banda de la se˜ nal tiene que ser menor que el ancho de banda del canal de forma de evitar ISI.

Potencia de transmisi´ on: debe ser lo menor posible I

En un c´ odigo con componente de continua, se desperdicia potencia en la continua.

Caracter´ısticas de la se˜nal PAM digital Comparaci´on de los c´odigos de l´ınea I

Retorno a cero y sin retorno a cero: I

I

I

I

I

Con codificaci´ on con retorno a cero (RZ, return to zero) la forma de onda regresa al nivel de cero volts en la mitad del intervalo de bit. Tiene la ventaja de que emplea menos potencia que el c´ odigo sin retorno a cero (NRZ, non-return to zero) correspondiente. Otra ventaja es que lleva informaci´ on de sincronizaci´ on (en algunos casos). Los codigos NRZ pierden la informaci´ on de sincronizaci´ on en una secuencia larga de unos o ceros. La desventaja es que la se˜ nal tiene mayor ancho de banda que el c´ odigo NRZ correspondiente debido a que los pulsos son de menor duraci´ on temporal.

Unipolar y polar: I

Los c´ odigos unipolares siempre tienen componente de continua, lo que involucra desperdicio de potencia y la necesidad del uso de canales acoplados a continua. I

Por ejemplo, no son adecuados a lineas telef´ onicas, que tienen mala respuesta en bajas frecuencias.

Caracter´ısticas de la se˜nal PAM digital

Comparaci´on de los c´odigos de l´ınea I

Los c´ odigos bipolar NRZ (AMI) y Manchester son los u ´nicos que no tienen componente de continua independientemente de la secuencia transmitida.

I

Los c´ odigos polar RZ y Manchester son los u ´nicos que no pierden la informaci´ on de sincronizaci´ on incluso ante largas secuencias de unos o ceros.

Para una comparaci´ on detallada de los c´ odigos se necesita calcular la densidad espectral de potencia de cada c´ odigo.

Limitaciones en la transmisi´on Transmisor

Receptor regenerativo binario

Canal A

Pérdida

+

V

Filtro pasabajos

A

sincronismo

I

Se quiere analizar la se˜ nal recibida. I

I

I

Se asume que el transmisor tiene ganancia tal que compensa la atenuaci´ on en el canal. Se asume que el filtro pasabajos del receptor tiene frecuencia de corte fc ≥ B, de forma de no introducir ISI adicional al canal.

Luego del filtro pasabajos para eliminar ruido fuera de la banda del mensaje la se˜ nal es,

y(t) =

∞ X k=−∞

I

td retardo en la transmisi´ on.

I

p˜(t): pulso distorsionado por el canal.

I

n ˆ (t): ruido filtrado por el pasabajos del receptor.

ak p˜(t−td −kD)+ˆ n(t)

Limitaciones en la transmisi´on I

Se asume tambi´en que se dispone de una se˜ nal de sincronizaci´on que permite identificar los tiempos de muestreo ´ optimos, tn = nD + td . I

Podr´ıa extraerse de la se˜ nal recibida o de una se˜ nal de reloj enviada aparte por el transmisior. 0

El pulso filtrado cumple que p˜(0) = 1, pero no vale cero en m´ ultiplos de D debido a la ISI. Por lo tanto X y(tn ) = an + ak p˜(nD−kD)+ˆ n(tn )

0

0

1

0

0

0

0

I

k6=n I

I

I

el primer t´ermino es la informaci´ on del mensaje. el segundo t´ermino se debe a la ISI. el u ´ltimo t´ermino es la componente del ruido filtrado.

A

t Interferencia intersimbolica

td A

t Componente de ruido A

t

Limitaciones en la transmisi´on Observaciones I

El filtro pasabajos en recepci´ on involucra un compromiso entre la eliminaci´ on de ruido y la interferencia intersimb´ olica: I

I

a menor frecuencia de corte, mayor reducci´ on de la potencia del ruido, pero mayor ISI.

Una limitaci´ on fundamental en la transmisi´ on es la relaci´on entre la ISI, el ancho de banda de transmisi´ on BT y la tasa de se˜ nalizaci´on de s´ımbolos r. I

I

Esta relaci´ on fue determinada por Nyquist en 1928, y se conoce como tasa de Nyquist. La tasa de Nyquist establece una cota superior de la tasa de s´ımbolos que puede transmitirse por un canal de banda limitada de forma tal que el mensaje pueda resolverse sin abig¨ uedad en el receptor.

Limitaciones en la transmisi´on Tasa de Nyquist Dado un canal pasabajos ideal de ancho de banda B, es posible transmitir s´ımbolos independientes a una tasa r ≤ 2B baudios sin interferencia intersimb´ olica. No es posible la transmisi´ on de s´ımbolos independientes a r > 2B. I

Es f´acil demostrar la segunda parte asumiendo que se transmiten s´ımbolos a una cadencia r = 2(B + ) > 2B. I

El tiempo de un pulso es D=

I I

I

I

1 1 = r 2(B + )

Se considera el mensaje formado por . . . 01010101 . . . La forma de onda resultante es peri´ odica de per´ıodo 2D y la frecuencia fundamental es 1 =B+ f0 = 2D El espectro de la se˜ nal contiene componentes en la frecuencia fundamental f0 y sus arm´ onicos (detalles en el ap´endice, pero no es obligatorio leerlo). Por lo tanto, como B < f0 , toda la se˜ nal es eliminada por el canal.

Limitaciones en la transmisi´on

Tasa de Nyquist r=

p(t) 1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1 = 2(B + ǫ) D 1

0

A

D

2D

t

P (f) A 2

f0 = A jπ A 3jπ

−5f0

−4f0

−3f0

−2f0

−f0

1 2D

B

f0 = B + ǫ

3f0

A 5jπ 4f0

5f0

f

Limitaciones en la transmisi´on Tasa de Nyquist I

La transmisi´ on a tasa m´axima de r = 2B solo se logra con un tipo especial de pulso: Espectro

Seno cardinal  p(t) = sinc (rt) = sinc

t D



1 P (f ) = F {p(t)} = Π r

  f r

Demostraci´ on: ejercicio. I I

El pulso es de banda limitada, con P (f ) = 0 para |f | > r/2. Como el ancho de banda del canal es B = r/2, el espectro del pulso entra completamente en el canal y el pulso no sufre distorsi´ on.

Observaci´on La tasa de Nyquist no tiene en cuenta el ruido introducido en el canal. Solo tiene en cuenta el ancho de banda del canal (ancho de banda de transmisi´ on).

Limitaciones en la transmisi´on Tasa de Nyquist p(t) 1 D=

−4D

−3D

−2D

−D

0

2D

D

3D

4D

1 r

t

P (f) 1 1 = 2B r

−B

B=

r 2

f

Limitaciones en la transmisi´on Ejemplo I

Se considera una fuente de informaci´ on que emite un s´ımbolo cada T0 = 8 ms de un alfabeto de M = 256 s´ımbolos.

1. La se˜ nal a transmitir se codifica con un c´ odigo de l´ınea binario. Calcular la tasa de bits de la se˜ nal y el ancho de banda m´ınimo del canal para que el mensaje pueda ser recuperado en la recepci´ on. I

I I I

Se necesitan palabras de n = 8 bits para codificar cada s´ımbolo de la fuente, ya que 28 = 256. Esto implica que hay que transmitir 8 bits en 8 ms, es decir, 1 bit por ms. En el c´ odigo de l´ınea binario, la duraci´ on de un s´ımbolo binario es Tb = 1 ms. La cadencia es rb =

I

1 = 1000 s´ımbolos binarios/s ≡ 1000 baudios ≡ 1000 bps ≡ 1 kbps. Tb

Para poder recuperar el mensaje, el ancho de banda del canal B tiene que cumplir que r ≤ 2B. Por lo tanto B≥

rb = 500 Hz. 2

Limitaciones en la transmisi´on Ejemplo 2. Ahora la se˜ nal a transmitir se codifica con un c´ odigo de l´ınea cuaternario. Calcular la tasa de bits de la se˜ nal y el ancho de banda m´ınimo del canal para que el mensaje pueda ser recuperado en la recepci´ on.

I

Como el c´ odigo de l´ınea ahora tiene L = 4 niveles, con cada nivel se pueden representar 2 bits. La duraci´ on de un pulso del c´ odigo de l´ınea cuaternario es por lo tanto, D = 2Tb = 2 ms.

I

La cadencia de s´ımbolos es ahora

I

r= I

I

1 = 500 s´ımbolos/s = 500 baudios. D

Notar que como se mencion´ o previamente, se cumple que rb = r log2 L.

El ancho de banda del canal B tiene que cumplir que B≥

r = 250 Hz. 2

Limitaciones en la transmisi´on Compensaci´on del canal I

En la pr´actica, un canal necesita compensaci´ on para aproximarse a la respuesta ideal.

I

Los ajustes de la compensaci´ on se hacen realizando medidas en el lugar del receptor, porque nunca se conocen de antemano las caracter´ısticas de un canal.

I

Un experimento usual es el an´alisis del diagrama de ojo.

I

Consiste en observar s´ımbolos sucesivos superpuestos.

I

El tiempo de muestreo o ´ptimo corresponde al instante de mayor apertura del ojo.

I

La pendiente se debe a la ISI, e indica la sensibilidad al error de sincronizaci´ on.

I

Las distorsiones no lineales se manifiestan en un ojo asim´etrico (bizco).

Densidad espectral de potencia de se˜nal PAM digital

I

I

El conocimiento del espectro de la se˜ nal PAM brinda informaci´on u ´til relacionada a la transmisi´ on digital. El espectro de la se˜ nal PAM depende de: I

I

el c´ odigo de l´ınea espec´ıfico empleado (polar, unipolar, NRZ, RZ, etc). la distribuci´ on de probabilidad de los s´ımbolos emitidos por la fuente

I

Como los s´ımbolos emitidos por la fuente son desconocidos a priori, la se˜ nal PAM se modela como una se˜ nal aleatoria.

I

El contenido espectral se describe con la densidad espectral de potencia.

Densidad espectral de potencia de se˜nal PAM digital I

La se˜ nal PAM digital en el tiempo se expresa como x(t) =

∞ X

ak p(t − kD)

k=−∞ I

Considerando a la fuente de s´ımbolos como un proceso aleatorio estacionario en sentido amplio, la densidad espectral de potencia de la se˜ nal PAM x(t) es (sin demostraci´ on) ∞ 1 X Ra [k]e−j2πf kD Gx (f ) = |P (f )| D 2

(1)

k=−∞

I I

I

P (f ) es la transformada de Fourier del pulso del c´ odigo de l´ınea p(t). Ra [k] es la funci´ on de autocorrelaci´ on de la secuencia de s´ımbolos ak , Ra [k] = E {an an−k }

Observaci´ on: I

La densidad espectral de potencia depende del espectro del pulso p(t) y la distribuci´ on de probabilidad de los s´ımbolos a trav´es de su funci´ on de autocorrelaci´ on Ra [k].

Densidad espectral de potencia de se˜nal PAM digital Funci´on de autocorrelaci´on I

Se considera que la secuencia de s´ımbolos es un proceso estacionario en sentido amplio, con s´ımbolos independientes de media µa y varianza σa2 .

I

La autocorrelaci´ on es entonces (a) Los s´ımbolos ak son independientes

Ra [k] = E{an an−k }  (a) E{a2n }, k=0 = E{an } E{an−k }, k = 6 0  2 2 (b) σa + µa , k = 0 = µ2a , k 6= 0 I

(b) La definici´ on de la varianza es σa2 = E{(ak − µa )2 } = E{a2k } − µ2a

Sustituyendo este resultado en la ecuaci´ on 1, se tiene que Gx (f ) = |P (f )|2

∞ 1 X Ra [k]e−j2πf kD D k=−∞

1 = |P (f )|2 D

σa2

+

µ2a

∞ X k=−∞

! −j2πf kD

e

Densidad espectral de potencia de se˜nal PAM digital I

Teniendo en cuenta que se verifica la siguiente igualdad   ∞ ∞ X 1 X k e−j2πf kD = δ f− , (ver Ap´endice II) D D k=−∞

I

k=−∞

y sustituyendo en el resultado anterior, se obtiene que 1 Gx (f ) = |P (f )|2 D

I

Operando y sustituyendo r =

 ! ∞ 2 X µ k σa2 + a δ f− D D k=−∞

1 D

se llega a que

Gx (f ) = σa2 r|P (f )|2 + (µa r)2

∞ X

|P (kr)|2 δ (f − kr)

(2)

k=−∞ I

En el caso en que la media sea nula, es decir, µa = 0, la expresi´on se simplifica a Gx (f ) = σa2 r|P (f )|2 .

Densidad espectral de potencia de se˜nal PAM digital C´odigo de l´ınea unipolar NRZ ak = {0, A} equiprobables  1, 0 < t ≤ D p(t) = 0, en otro caso I I

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

A

t

La densidad espectral de potencia se obtiene con la ecuaci´on 2. Hay que calcular la media µa y la varianza σa2 de ak , y el espectro P (f ) del pulso p(t). I

Media µa = E{ak } = 0 Pr{ak = 0} + A Pr{ak = A} =

I

A 2

Varianza

σa2 = E{a2k } − µ2a A2 A2 − 2 4 A2 = 4 =

Como E{a2k } = 02 Pr{ak = 0} + A2 Pr{ak = A} =

A2 2

Densidad espectral de potencia de se˜nal PAM digital C´odigo de l´ınea unipolar NRZ I

Falta calcular el espectro del pulso conformador.

I

El pulso p(t) es  p(t) = Π(t/D) =

I

1, |t| ≤ D/2 0, en otro caso

Aplicando la transformada de Fourier de tiempo continuo, Z

∞

P (f ) =

p(t)e −∞

−j2πf t

Z

D/2

dt =

e−j2πf t dt

−D/2

D/2 1 ej2πf D/2 − e−j2πf D/2 −j2πf t = e = −j2πf j2πf −D/2 sin(πf D) sin(πf D) =D πf πf D = D sinc(f D) =

I

Nota: el m´ odulo del espectro de p(t) es el mismo que el de p(t − τ ).

Densidad espectral de potencia de se˜nal PAM digital C´odigo de l´ınea unipolar NRZ I

El espectro del pulso p(t) es Pulso

Espectro

p(t) = Π(t/D) I

P (f ) = D sinc(f D) =

  f r

Sustituyendo en la ecuaci´ on 2 se obtiene que A2 sinc2 Gx (f ) = 4r

I

1 sinc r

  ∞ f A2 X sinc2 (k) δ (f − kr) + r 4 k=−∞

Adem´as, se cumple que sinc(k) =

sin(πk) = πk



1, k = 0 0, en otro caso

Densidad espectral de potencia de se˜nal PAM digital C´odigo de l´ınea unipolar NRZ Gx (f ) =

I

A2 sinc2 4r

  f A2 + δ(f ) r 4

Observaciones: I

I

Hay una delta en cero debido al componente de continua (µa 6= 0). Si se emplea el primer cruce por cero para definir el ancho de banda, en este caso se cumple que

Gx (f)

A2 4 A2 4r

BT ≈ r r

2r

3r

f

Densidad espectral de potencia de se˜nal PAM digital C´odigo de l´ınea unipolar RZ ak = {0, A} equiprobables  1, 0 < t ≤ D 2 p(t) = 0, en otro caso I

1

1

0

1

0

0

1

0

0

t

Al igual que en el caso anterior, la media y la varianza de ak son I

I

0 A

Media: µa =

A 2

I

Varianza: σa2 =

A2 4

El espectro del pulso p(t) es

Espectro     D fD 1 f P (f ) = sinc = sinc p(t) = Π (t/(D/2)) 2 2 2r 2r I Sustituyendo en la ecuaci´ on 2 se obtiene que Pulso

A2 Gx (f ) = sinc2 16r



f 2r



  ∞ A2 X k 2 + sinc δ (f − kr) 16 2 k=−∞

Densidad espectral de potencia de se˜nal PAM digital C´odigo de l´ınea unipolar RZ Gx (f ) =

I

A2 sinc2 16r



f 2r

 +

  ∞ A2 X k sinc2 δ (f − kr) 16 2 k=−∞

Observaciones: I

I

I

Hay una delta en cero debido al componente de continua, pero de menor amplitud que en el caso anterior. Hay una delta en r, la cadencia de s´ımbolos. Esta se˜ nal puede filtrarse con un pasabanda angosto y usar como se˜ nal de sincronizaci´ on. El ancho de banda (primer cruce por cero), en este caso es BT ≈ 2r

Gx (f)

A2 16 A2 16r

A2 4π2

r

2r

3r

f

Densidad espectral de potencia de se˜nal PAM digital C´odigo de l´ınea polar NRZ 

A − , 2  1, p(t) = 0,

ak =

I

A 2

 equiprobables

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

A 2

0 V el comparador pasa el nivel alto para indicar un 1. Si y(tn ) < V el comparador pasa el bajo alto para indicar un 0.

Ruido y probabilidad de error en recepci´on I

En el an´alisis se van a asumir las siguientes hip´ otesis: I

I I

I

El canal no introduce distorsi´ on y por lo tanto, la se˜ nal recibida est´ a libre de ISI. El filtro pasabajos de recepci´ on tampoco introduce ISI. El ruido introducido en el canal es blanco, de media nula e independiente de la se˜ nal.

Debido a que no se introduce ISI, la se˜ nal muestreada en los instantes ´ optimos es y(tn ) = an + n(tn )

I

Se considera el caso binario unipolar, I

I

ak = 0 representa el bit 0

I

ak = A representa el bit 1

Se quiere establecer el valor ´ optimo del umbral V del comparador y determinar la probabilidad de error en ese caso. I

El umbral V se debe establecer en alg´ un nivel intermedio 0 ≤ V ≤ A.

Ruido y probabilidad de error en recepci´on I

El an´alisis debe realizarse desde un enfoque probabil´ıstico. I

I

I

I

La densidad de probabilidad de Y depende del ruido y tambi´en del valor del s´ımbolo recibido. Se consideran las siguientes hip´ otesis correspondientes a los dos casos posibles: I

I

I

Sea la variable aleatoria Y que representa el valor y(tn ) en un instante de muestreo arbitrario. Sea la variable aleatoria n que representa el valor n(tn ), y tiene distribuci´ on de probabilidad pN (n), n ∼ pN (n)

H0 : el s´ımbolo recibido es 0. En este caso, an = 0 y por lo tanto Y = n. H1 : el s´ımbolo recibido es 1. En este caso, an = A y por lo tanto Y = A + n.

La densidad de probabilidad de Y condicionada a cada hip´otesis es por lo tanto, pY (y|H0 ) = pN (y), I

pY (y|H1 ) = pN (y − A)

En el caso de la hip´ otesis H1 , la PDF condicional de Y es la PDF del ruido n desplazada a tener media A

Ruido y probabilidad de error en recepci´on I

I

El comparador implementa la siguiente regla de decisi´on: Elije la hip´ otesis H0 si

pY (y|H0 )

pY (y|H1 )

Y V I

P e1

Elije la hip´ otesis H1 si

P e0

0

V

A

Las probabilidades de cometer un error est´an dadas por Z ∞ Pe0 , Pr{Y > V |H0 } = pY (y|H0 )dy V V

Z Pe1 , Pr{Y < V |H1 } =

pY (y|H1 )dy −∞

I

Hay que establecer el umbral de forma de minimizar la probabilidad promedio de error, Pe = P0 Pe 0 + P1 Pe 1 ,

con P0 = Pr{H0 } y P1 = Pr{H1 }

y

Ruido y probabilidad de error en recepci´on I

El umbral ´ optimo Vopt se establece como Z

∞

Pe = P0

Z

= 0, con

V

pY (y|H0 )dy + P1

pY (y|H1 )dy −∞

V I

dPe dV

Para calcular la derivada, hay que usar la regla de integraci´on de Liebnitz (ver Ap´endice III), y el resultado es dPe = −P0 pY (V |H0 ) + P1 pY (V |H1 ) dV

I

e igualando a cero, se llega a que P0 pY (Vopt |H0 ) = P1 pY (Vopt |H1 )

I

En el caso frecuente en que los s´ımbolos son equiprobables, es decir, P0 = P1 = 1/2, se tiene que

Pe =

1 (Pe0 + Pe1 ) 2

pY (Vopt |H0 ) = pY (Vopt |H1 )

I

El umbral ´ optimo Vopt corresponde al punto de intersecci´ on de las curvas de las PDF.

Ruido y probabilidad de error en recepci´on Ruido Gaussiano Se asume ahora que el ruido es gaussiano de media nula y varianza σ 2 , es decir 2 2 1 e−n /2σ pN (n) = √ 2πσ 2 I En este caso, la probabilidad de confundir cada s´ ımbolo es   Z ∞ V donde Q es el ´area bajo la Pe 0 = pY (y|H0 )dy = Q σ V cola de la gaussiana (ver   Z V Ap´endice IV). A−V Pe 1 = pY (y|H1 )dy = Q σ −∞ I

pY (y|H0 )

pY (y|H1 )

Q

0

V

3

V σ

4

A

Q

2A − V

3

A−V σ

4

y

Ruido y probabilidad de error en recepci´on Ruido Gaussiano I

La probabilidad de cometer un error en recepci´ on queda     V A−V Pe = P0 Q + P1 Q σ σ

I

En el caso en que los s´ımbolos son equiprobables, como la PDF gaussiana tiene simetr´ıa par, las PDF se intersectan en el punto medio y A Vopt = . 2 En ese caso, se cumple que     A 1 A Pe 0 = Pe 1 = Q , Pe = (Pe0 + Pe1 ) = Q 2σ 2 2σ

I

I

Ejemplo: I I

Si A/2σ = 2, Pe ≈ 2 × 10−2 Si A/2σ = 6, Pe ≈ 1 × 10−9

Ruido y probabilidad de error en recepci´on

Q(k)

5.0

6.0

7.0

10–6

10–1

10–7

10–2

10–8

10–3

10–9

10–4

10–10

10–5

10–11

10–6

10–12 0

1.0

2.0

3.0 k

4.0

5.0

Q(k)

4.0

1

Ruido y probabilidad de error en recepci´on Ruido Gaussiano I

Estos mismos resultados son v´alidos en el caso de una se˜ nal polar con I I

pY (y|H0 )

pY (y|H1 )

Q

ak = ±A/2 Vopt = 0

3

−A/2

I

4

Q

0

3

A 2σ

4

A/2

y

Pero la se˜ nalizaci´ on polar tiene una ventaja que se evidencia al expresar A en t´erminos de la potencia recibida SR . I

I

A 2σ

Recordar que la amplificaci´ on en el transmisor compensa la atenuaci´ on del canal y por lo tanto, SR ≈ Sx .

Si los s´ımbolos son equiprobables y la ISI es despreciable de forma que los pulsos son cuadrados, se cumple que (ver Ap´endice V) I

C´ odigo unipolar: SR ≈ Sx = A2 /2

I

C´ odigo polar: SR ≈ Sx = A2 /4

 √ √2SR A= 4SR ,

Unipolar Polar

Ruido y probabilidad de error en recepci´on Ruido Gaussiano I

Como el ruido tiene media nula, su varianza es igual a la potencia, NR = σ 2 , y por lo tanto, 

I

A 2σ

2 =

A2 = 4NR



1 2 (S/N )R (S/N )R

Unipolar Polar

Finalmente, la probabilidad de error expresada en funci´on la relaci´on se˜ nal a ruido en predetecci´ on (luego de filtrado pasabajos) es  q     1 Q (S/N )R Unipolar A 2 p  Pe = Q =  Q 2σ (S/N )R Polar

Ruido y probabilidad de error en recepci´on Ruido en predetecci´on I

I

La densidad espectral de potencia del ruido a la entrada del receptor es N0 . Gn (f ) = 2 El filtro pasabajos H(f ) del receptor tiene ancho de banda BN . 1

H(f) Gn (f)

N0 2 −BN

BN

f

BN

f

Gnˆ (f) N0 2

−BN

Ruido y probabilidad de error en recepci´on Ruido en predetecci´on I

El ruido en predetecci´ on, es decir, luego del filtrado pasabajos, tiene densidad espectral de potencia  N0 /2 si |f | ≤ BN Gnˆ (f ) = 0 en otro caso

I

Por lo tanto, la potencia del ruido en predetecci´ on en funci´on del ruido a la entrada del receptor y el ancho de banda del filtro pasabajos del detector es, Z ∞ NR = Gnˆ (f )df −∞ BN

Z =

−BN

N0 df 2

= N0 BN .

Ruido y probabilidad de error en recepci´on

Ruido en predetecci´on I

Para no introducir ISI, el ancho de banda del filtro tiene que cumplir la condici´ on de la tasa de Nyquist, BN ≥ rb /2.

I

Por lo tanto, la potencia del ruido cumple que NR ≥ N0

I

rb 2

Se requiere mayor potencia de la se˜ nal SR , y por lo tanto, mayor potencia de transmisi´ on, para mantener una probabilidad de error Pe dada al aumentar la cadencia de bits rb .

Probabilidad de error en el caso M -ario

I

Se puede demostrar que la probabilidad de error en la detecci´on de un s´ımbolo en el caso de se˜ nalizaci´ on M -aria polar NRZ con s´ımbolos equiprobables es  "s   #  S 3 1 Q Pe = 2 1 − 2 M M −1 N R I

Notar que si se sustituye M = 2, se obtiene la expresi´ on de la Pe de la codificaci´ on binaria polar NRZ.

Ap´endice I Espectro de tren de pulsos peri´odico I

Definici´ on de la transformada continua de Fourier Transformada de Fourier

Z

∞

x(t)e−j2πf t dt

X(f ) = −∞ I

Transformada inversa de Fourier

Z

∞

x(t) =

X(f )ej2πf t dω

−∞

Adem´as, las siguientes funciones forman un par de transformadas de Fourier ∞ ∞ X X F x(t) = ck ej2πkf0 t ←→ X(f ) = ck δ (f − kf0 ) (3) k=−∞ I

I

I

k=−∞

Una forma de ver que se trata de un par de transformadas de Fourier es aplicando la transformada de Fourier inversa a X(f ). x(t) es la representaci´ on en series de Fourier de una se˜ nal peri´ odica de frecuencia f0 . Los coeficientes ck de la serie de Fourier se calculan como Z 2π 1 1 T donde T = (4) x(t)e−j T kt dt, ck = T 0 f0

Ap´endice I Espectro de tren de pulsos peri´odico I

Sea el tren de pulsos peri´ odico de per´ıodo 2D definido en un per´ıodo como  A, 0 < t ≤ D p(t) = 0, D < t ≤ 2D

I

Los coeficientes de la serie de Fourier se obtienen con la ecuaci´on 4

ck =

1 2D

= = = =

π

x(t)e−j D kt dt

0

Z

=

2D

Z

I

D

π A e−j D kt dt 2D 0   D π A −D e−j D kt 2D jkπ 0  A  1 − e−jπk j2πk  π A −j π2 k  j π2 k e e − e−j 2 k πk A −j π2 k πk e sin πk 2

Evaluando la expresi´ on para algunos valores de k

c0 = c3 = I

A , 2 A , j3π

A c1 = jπ , c4 = 0,

Y generalizando  A     2, A ck = ,   jπk   0,

c2 = 0 A c5 = j3π ,

queda k=0 k impar k par

(5)

...

Ap´endice I Espectro de tren de pulsos peri´odico I

Finalmente, la transformada de Fourier del tren de pulsos p(t) est´a dada por la ecuaci´ on 3, P (f ) =

∞ X

ck δ (f − kf0 )

k=−∞

donde los coeficientes ck est´an dados por la ecuaci´on 5. p(t) 1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

A

D

2D

t

P (f) A 2

f0 = A jπ A 3jπ

−7f0

−6f0

−5f0

−4f0

−3f0

−2f0

−f0

1 2D

f0

2f0

3f0

A 5jπ 4f0

5f0

A 7jπ 6f0

7f0

f

Ap´endice II Se quiere ver que se cumple la siguiente igualdad, ∞ X

x(t) =

δ(t − kT ) =

Como el tren de impulsos es peri´ odico de per´ıodo T , se puede expresar como una serie de Fourier, x(t) =

∞ X

ck e

j 2π T kt

k=−∞ I

(6)

k=−∞

k=−∞

I

∞ 1 X −j 2π kt e T T

,

1 ck = T

T /2

Z

2π

x(t)e−j T

kt

δ(t)dt =

1 , T

dt

−T /2

En este caso, los coeficientes ck son 1 ck = T

Z

T /2

δ(t)e −T /2

−j 2π T kt

1 dt = T

Z

resultando en la igualdad de la ecuaci´ on 6.

T /2

−T /2

Ap´endice III

Regla de integraci´on de Liebnitz d dθ

Z

b(θ)

! f (x, θ) dx

a(θ)

Z

b(θ)

= a(θ)

∂θ f (x, θ) dx + f (b(θ), θ)b0 (θ) − f (a(θ), θ)a0 (θ)

Ap´endice IV Funci´on Q(x): cola de la gaussiana Sea una variable aleatoria X con densidad de probabilidad gaussiana de media nula y varianza unidad, X ∼ N (0, 1). 2

I

e−u /2 p(u) = √ 2π

La funci´ on Q(x) se define como Q(x) , Pr {X ≥ x} Z ∞ 2 1 =√ e−u /2 du 2π x

I

Q(x)

0

En el caso en que

x

u

p(u) =

2

X ∼ N (µ, σ )

e

−(u−µ)2 /2σ2

√

2πσ 2

se cumple que Q

 Pr {X ≥ x} = Q

x−µ σ

 0

µ

x

3

x−µ σ

u

4

Ap´endice V: potencia de se˜nales PAM I

Teniendo en cuenta que una se˜ nal PAM es aleatoria, la potencia puede calcularse a partir de la Densidad Espectral de Potencia (PSD) Gx (f ) como, Z ∞ Sx = Gx (f ) df −∞

I

En el caso de c´ odigos de l´ınea sin retorno a cero, se tiene que,

C´odigo Unipolar NRZ   f A2 A2 sinc2 Gx (f ) = + δ(f ) 4r r 4

I

C´ odigo Polar NRZ   f A2 sinc2 Gx (f ) = 4r r

Para calcular Sx es necesario notar que Z ∞ Z sinc2 (f ) df = 1 ⇒ −∞

∞

−∞

sinc2

  f df = r r

Ap´endice V: potencia de se˜nales PAM

C´ odigo Unipolar NRZ    Z ∞ 2 A f A2 Sx = sinc2 + δ(f ) df r 4 −∞ 4r   2 Z ∞ f A sinc2 df = 4r −∞ r Z A2 ∞ + δ(f ) df 4 −∞ A2 A2 r+ 4r 4 A2 = 2 =

C´ odigo Polar NRZ

∞

A2 sinc2 4r

  f df r −∞   Z A2 ∞ f sinc2 df = 4r −∞ r Z

Sx =

=

A2 4

Ap´endice V: potencia de se˜nales PAM Demostraci´on de I

R∞ −∞

sinc2 (f ) df = 1

Una forma f´acil es notando que sin πt g(t) = sinc (t) , πt



F

←→

G(f ) = Π (f ) ,

1, 0,

|f | ≤ 1/2 , |f | > 1/2

con la transformada de Fourier definida como en el Ap´endice I. I

Usando el teorema de la modulaci´ on, que indica que g(t)h(t)

F

←→

G(f ) ∗ H(f ),

se obtiene que, 2

2

g (t) = sinc (t)

F

←→

 G(f )∗G(f ) = Λ (f ) ,

1 − |f |, |f | ≤ 1 , 0, |f | > 1

Ap´endice V: potencia de se˜nales PAM

Demostraci´on de I

R∞ −∞

sinc2 (f ) df = 1

Por definici´ on de la transformada de Fourier, esto significa que Z ∞ sinc2 (t) e−j2πf t dt = Λ (f ) −∞

I

Evaluando la ecuaci´ on anterior en f = 0 se llega a que Z ∞ sinc2 (t) dt = Λ (0) = 1. −∞

Ap´endice V: potencia de se˜nales PAM I

La potencia de una se˜ nal peri´ odica x(t) de per´ıodo T se define como 1 P , T

I

I

T

x2 (t)dt

0

Una se˜ nal digital en banda base no es peri´ odica, pero si la emisi´on de ceros y unos es equiprobable, la potencia de la se˜ nal transmitida es igual a la potencia de una se˜ nal cuadrada peri´ odica. C´ odigo Unipolar NRZ I

I

I

Z

Se considera un c´ odigo con duraci´ on de bit D y amplitud A volts para codificar los unos y 0 volts para codificar los ceros. Si los bits son equiprobables, la potencia coincide con la potencia de una se˜ nal peri´ odica de per´ıodo 2D de valor A en medio per´ıodo y valor 0 en el otro medio per´ıodo.

C´ odigo Polar NRZ I

I

Se considera un c´ odigo con duraci´ on de bit D y amplitud A/2 volts para codificar los unos y −A/2 volts para codificar los ceros. Si los bits son equiprobables, la potencia coincide con la potencia de una se˜ nal peri´ odica de per´ıodo 2D de valor A/2 en medio per´ıodo y valor −A/2 en el otro medio per´ıodo.

Ap´endice V: potencia de se˜nales PAM

C´ odigo Unipolar NRZ

C´ odigo Polar NRZ Sx =

1 2D

Z

1 = 2D A2 = 2

Z

Sx =

2D

x2 (t)dt

0

0

D

A2 dt

1 2D

Z

2D

x2 (t)dt

0

 2 A dt 2 0 2 Z 2D  1 A + − dt 2D D 2 Z 1 D A2 = dt D 0 4 A2 = 4 =

1 2D

Z

D

Referencias I