• Author / Uploaded
• Percy Widman Villacorta Cacha

Citation preview

UNIVERSISDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS, GEOLOGÍA Y METALURGIA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE MINAS

FÍSICA

MOVIMIENTO DEPENDIENTE Y RELATIVO DE UNA PARTÍCULA

PRESENTADO POR: VILLACORTA CACHA, Percy Widman

DOCENTE: Ing. .

HUARAZ – PERU 2020

CONTENIDO pág. I.

INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 4

II. MOVIMIENTO DEPENDIENTE DE UNA PARTICULA................................................ 5 III. MOVIMIENTO RELATIVO ................................................................................................ 9 3.1.

Movimiento relativo de traslación uniforme ..................................................................... 9

3.2.

Movimiento relativo de rotación uniforme. ..................................................................... 12

3.3.

Movimiento de una partícula en dos referencias. ............................................................ 13

3.3.1.

Velocidad ................................................................................................................. 14

3.3.2.

Aceleración............................................................................................................... 15

IV. CONCLUSIONES. ............................................................................................................... 17 V. ANEXOS. ............................................................................................................................... 18

CONTENIDO DE FIGURAS Imagen 1. El movimiento de una partícula ...................................................................................... 4 Imagen 2. Movimiento de partículas en poleas. ............................................................................... 6 Imagen 3. Movimiento absoluto dependiente de dos partículas. ..................................................... 7 Imagen 4. Movimiento de brazo simulado. ...................................................................................... 8 Imagen 5. Movimiento relativo de traslación uniforme. .................................................................. 9 Imagen 6. Velocidad y aceleración constante. ............................................................................... 10 Imagen 7. Ejercicio Aplicativo....................................................................................................... 11 Imagen 8. Movimiento relativo de rotación uniforme ................................................................... 12 Imagen 9. Sistema de referencia XYZ y sistema de referencia móvil xyz en movimiento. ......... 14 Imagen 10. Cambio de sistema de referencia. ............................................................................... 16 Imagen 11. Movimiento traslacional y rotacional de la tierra........................................................ 18 Imagen 12. Movimiento relativo entre dos partículas en un mismo referencial. ........................... 18 Imagen 13. Movimiento de caida libre........................................................................................... 19 Imagen 14. Velocidad Relativa. ..................................................................................................... 19 Imagen 15. Movimiento general de un disco. ................................................................................ 20

I.

INTRODUCCIÓN

El centro de masas de un sistema de partículas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa toral del sistema sometida a la resultante de las fuerzas que actúan sobre el mismo. Cuando varias partículas se mueven independientemente a lo largo de la misma línea, pueden escribirse ecuaciones de movimiento independiente para cada partícula. Siempre que sea posible, el tiempo debe registrarse desde el mismo instante inicial para todas las partículas y los desplazamientos deben medirse a partir del mismo punto de referencia y en la misma dirección.

Imagen 1. El movimiento de una partícula

II.

MOVIMIENTO DEPENDIENTE DE UNA PARTICULA

El movimiento dependiente, motivado por la semejanza que existe entre partículas. Se dice que una partícula A es dependiente a otra partícula B siempre y cuando la velocidad, posición y la aceleración de la partícula A dependa totalmente de la segunda B, por ejemplo en un sistema de poleas captar el peso de cada uno de los cilindros, al caer atravesó de un sistema electrónico ubicada en la parte superior de la polea que nos indicara el peso de cada cilindro al caer al resorte. Este tipo de movimiento se presenta en aquellos casos en los cuales la posición de una partícula dependerá de la posición de otra (o varias) partícula (s) más. Esta dependencia ocurre por lo común si las partículas, que en este caso estarán representadas por bloques, están interconectadas por medio de cuerdas no extensibles, las cuales están enrolladas alrededor de poleas. Si varias partículas se mueven simultáneamente y la posición de una de ellas depende de otra o de otras partículas, entonces están sujetas a movimientos dependiente.

La relación entre las coordenadas de posición de ambos cuerpos es constante.

Imagen 2. Movimiento de partículas en poleas.

Demostrar matemáticamente de la siguiente manera: a) Demostrar un sistema coordenado (o eje coordenado) que estará medido a partir de un punto fijo (O) o de una línea de referencia fija y a lo largo de cada plano inclinado en la dirección del movimiento. b) Especificar la coordenada de posición de cada partícula (bloque) c) Identificar segmentos de cuerda constantes.

d) Para la relación de movimientos, se analiza la o las cuerdas que conforman el sistema. Siguiendo el ejemplo planteado: •

Si la longitud total de la cuerda es Lt

•

El segmento de cuerda constante es aquel que se encuentra en contacto con la polea y que, independientemente de la posición de los bloques, no va a variar su longitud de contacto. Se denomina LCD

•

La longitud Lt se puede descomponer así en función de las coordenadas de posición de la siguiente manera: 𝑋𝐴 + 𝐿𝐶𝐷 + 𝑋𝐵 = 𝐿𝑇

Imagen 3. Movimiento absoluto dependiente de dos partículas.

Tanto la longitud LCD como LT van a permanecer constantes (por la condición de “cuerda inextensible” que determina el método). En cambio, XA y XB representan los segmentos de cuerda que sí cambian de longitud a lo largo del movimiento.

Entonces, derivando la ecuación anterior en función del tiempo, tiene: 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑋𝐴 + 𝐿𝐶𝐷 + 𝑋𝐵 = 𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑇 𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 0 𝑉𝐴 = −𝑉𝐵 Del mismo modo, la diferenciación con respecto al tiempo de las velocidades va a dar como resultado la relación entre las aceleraciones: 𝑎𝐴 = −𝑏𝐵

Imagen 4. Movimiento de brazo simulado.

III.

MOVIMIENTO RELATIVO El estado de movimiento de un cuerpo depende del sistema de referencia con respecto al cual estamos describiéndolo. El movimiento relativo es la parte de la Cinemática que se ocupa de encontrar relaciones (ecuaciones) entre los vectores posición, velocidad y aceleración que miden diferentes observadores. 3.1. Movimiento relativo de traslación uniforme Uno de los observadores (O) está en reposo y el otro (O’) se mueve con velocidad constante V con respecto a él. Ambos observadores son por tanto inerciales, porque no tienen aceleración ni están rotando. Las ecuaciones que relacionan los vectores posición, velocidad y aceleración medidos por ambos observadores se conocen como transformaciones de Galileo.

En la siguiente figura están representados los dos observadores inerciales y el vector de posición que tiene una partícula en movimiento para cada uno de ellos.

Imagen 5. Movimiento relativo de traslación uniforme.

Si suponemos que en el instante inicial la posición de los dos observadores coincide, las transformaciones de Galileo vienen dadas por: ⃗⃗𝑡 𝑟⃗ = 𝑟⃗ ′ + 𝑉 ⃗⃗ 𝑣⃗ = 𝑣⃗ ′ + 𝑉 𝑎⃗ = 𝑎⃗′ Donde las magnitudes sin prima son los vectores medidos por O y las magnitudes con prima son los correspondientes vectores medidos por O’.

Imagen 6. Velocidad y aceleración constante.

La primera ecuación se deduce geométricamente de la figura. Como la posición de los dos observadores es la misma en el instante inicial, en un tiempo t O’ habrá recorrido una distancia Vt con respecto a O.

La relación entre velocidades se deduce derivando la relación entre los vectores de posición y la relación entre las aceleraciones derivando la relación entre las velocidades.

Como puedes observar en las ecuaciones anteriores, todos los observadores inerciales miden la misma aceleración. Por esta razón las leyes de la Física son las mismas para todos los sistemas de referencia inerciales.

Imagen 7. Ejercicio Aplicativo.

3.2. Movimiento relativo de rotación uniforme.

A continuación, tienes las ecuaciones que relacionan los vectores de posición, velocidad y aceleración. Como puedes ver en la siguiente figura, supondremos que los orígenes de los dos sistemas de referencia se encuentran en la misma posición.

Imagen 8. Movimiento relativo de rotación uniforme

En las ecuaciones anteriores puedes ver que ahora las aceleraciones medidas por ambos observadores son diferentes.

Los dos términos que aparecen en la ecuación que relaciona las aceleraciones se denominan respectivamente aceleración de Coriolis y aceleración centrífuga.

𝑎⃗𝑐𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠 = −2𝜔 ⃗⃗ × 𝑣⃗ ′

𝑎⃗𝑐𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠 = −𝜔 ⃗⃗ × (𝜔 ⃗⃗ × 𝑟⃗)

Estos dos términos son los que dan lugar a las fuerzas de inercia. Un observador no inercial interpreta que estas aceleraciones deben estar producidas por una fuerza, cuando en realidad son debidos a su propio estado de movimiento. No hay ninguna interacción física real que produzca estas aceleraciones. Por ello las fuerzas de inercia se denominan también fuerzas ficticias o pseudofuerzas.

3.3. Movimiento de una partícula en dos referencias. En este caso, el movimiento relativo hace referencia al que presenta una partícula con respecto a un sistema de referencia (xyz), llamado referencial relativo o móvil por estar en movimiento con respecto a otro sistema de referencia (XYZ) considerado como referencial absoluto o fijo. El movimiento de un referencial respecto al otro puede ser una traslación, una rotación o una combinación de ambas (movimiento rototraslatorio).

Imagen 9. Sistema de referencia XYZ y sistema de referencia móvil xyz en movimiento.

3.3.1.

Velocidad

La velocidad 𝑉𝐹 de una partícula en un referencial fijo o absoluto y su velocidad

en

un referencial móvil o relativo están relacionadas mediante esta expresión: 𝑉𝐹 = 𝑉𝑀 + 𝑉𝑂 + 𝜔 × 𝑟 Donde: 𝑉𝐹 , la velocidad de la partícula en el referencial fijo (velocidad absoluta). 𝑉𝑀 , la velocidad de la partícula en el referencial móvil (velocidad relativa) 𝑉𝑂 , la velocidad del origen del referencial móvil en el referencial fijo (arrastre de traslación). 𝜔, la velocidad angular del referencial móvil respecto del referencial fijo (velocidad angular de arrastre).

𝜔 × 𝑟 , la velocidad de arrastre de rotación.

3.3.2.

Aceleración.

La aceleración 𝑎𝐹 de una partícula en un referencial fijo o absoluto y su aceleración

en

un referencial móvil o relativo están relacionadas mediante la expresión: ̇ 𝒓) + 𝟐𝝎 × 𝑽𝑴 𝒂𝑭 = 𝒂𝑴 + 𝒂𝑶 + 𝝎 + 𝒓 + 𝝎 × (𝝎 × Donde: 𝑎𝐹 , la aceleración de la partícula en el referencial fijo (aceleración absoluta). 𝑎𝑀 , la aceleración de la partícula en el referencial móvil (aceleración relativa) 𝑎𝑂 , la aceleración del origen del referencial móvil en el referencial fijo (arrastre de traslación) 𝑉𝑀 , la velocidad de la partícula en el referencial móvil (velocidad relativa) 𝜔 × 𝑟, la aceleración tangencial (arrastre de rotación) 𝜔 × (𝜔 × 𝑟), la aceleración normal o centrípeta (arrastre de rotación). 2𝜔 × 𝑉𝑀 , la aceleración complementaria o aceleración de Coriolis Si la partícula se encuentra en reposo en el referencial móvil, esto es, si 𝑉𝑀 y 𝑎𝑀 = 0, su aceleración en el referencial fijo es la aceleración de arrastre, que viene dada por:

𝒂𝒂𝒓𝒓 = 𝒂𝒐 + 𝝎̇ × 𝒓 + 𝝎 ̇ × (𝝎 × 𝒓) que coincide con la aceleración correspondiente un punto de un sólido rígido en movimiento. Podemos expresar la aceleración de la partícula en el referencial fijo en la forma: ̇ 𝒂𝑪 𝒂𝑭 = 𝒂𝑴 + 𝒂𝒂𝒓𝒓 +

Imagen 10. Cambio de sistema de referencia.

IV. CONCLUSIONES.

 La relación entre las coordenadas de posición de ambos cuerpos es constante en el movimiento dependiente.  Se logro diferenciar entre una movimiento dependiente y relativo de una partícula.  Se puedo estudiar las formulas de la velocidad y la aceleración del movimiento relativo  Se pudo conocer los tipos de movimiento relativo en traslación y rotación.  En el movimiento relativo de un cuerpo depende del sistema de referencia con respecto al origen.  Se diferencia mediante los puntos de referencia el tipo de movimiento que genera una partícula.

V. ANEXOS.

Imagen 11. Movimiento traslacional y rotacional de la tierra.

Imagen 12. Movimiento relativo entre dos partículas en un mismo referencial.

Imagen 13. Movimiento de caida libre.

Imagen 14. Velocidad Relativa.

Imagen 15. Movimiento general de un disco.