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• Esteban David Mejía

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TEMA: EL MOVIMIENTO CIRCULAR La Naturaleza y tu día a día están llenos de ejemplos de movimientos circulares uniformes (m.c.u.). La propia Tierra es uno de ellos: da una vuelta sobre su eje cada 24 horas. Los viejos tocadiscos o un ventilador son otros buenos ejemplos de m.c.u. El movimiento circular uniforme (m.c.u.) es un movimiento de trayectoria circular en el que la velocidad angular es constante. Esto implica que describe ángulos iguales en tiempos iguales. En él, el vector velocidad no cambia de módulo pero sí de dirección (es tangente en cada punto a la trayectoria). Esto quiere decir que no tiene aceleración tangencial ni aceleración angular, aunque sí aceleración normal. Sigiendo el origen de coordenadas para estudiar el movimiento en el centro de la circunferencia, y conociendo su radio R, podemos expresar el vector de posición en la forma:

Algunas de las principales características del movimiento circular uniforme (m.c.u.) son las siguientes: 1. La velocidad angular es constante (ω = cte) 2. El vector velocidad es tangente en cada punto a la trayectoria y su sentido es el del movimiento. Esto implica que el movimiento cuenta con aceleración normal 3. Tanto la aceleración angular (α) como la aceleración tangencial (at) son nulas, ya que la rapidez o celeridad (módulo del vector velocidad) es constante 4. Existe un periodo (T), que es el tiempo que el cuerpo emplea en dar una vuelta completa. Esto implica que las características del movimiento son las mismas cada T segundos. La expresión para el cálculo del periodo es T=2π/ω y es sólo válida en el caso de los movimientos circulares uniformes (m.c.u.) 5. Existe una frecuencia (f), que es el número de vueltas que da el cuerpo en un segundo. Su valor es el inverso del periodo EJERCICIOS:

1. Una camioneta cargada tiene una masa de 2500 kg y toma una curva circular en una pista plana y sin pendiente de 50 m de radio. El coeficiente de roce entre los neumáticos y la pista es de μ = 0,5 ¿Cuál es la máxima rapidez a la que la camioneta podría dar giro sin resbalar? v2 Fc  m  r

m

Fc  m 

Fr    m  g

v2   m g r

v  0,5 10  50

m

v2 r

v2   m g r

v  250

Fr    m  g v    g r

v  15,8  m / s 

Respuesta: la máxima rapidez a la que la camioneta podría girar dar un giro sin resbalarse es de v = 15,8 (m/s) 2. Un estudiante hace girar una goma de borrar atada al extremo de un hilo. La masa de la goma es de 0,02 kg. Mientras la goma gira con movimiento circular uniforme, el estudiante mide un ángulo de 60º del hilo con respecto a la vertical y un radio de giro de 0,4 m a) En estas condiciones, ¿Cuál es la tensión ejercida sobre la goma a través de la cuerda?

T

m g cos 

T

0,02  kg  10  m / s 2



T  0, 4 N

cos 60º

Respuesta: La tensión ejercida sobre la cuerda es de 0,4 Newton b) Si el estudiante suelta el hilo ¿Cuál es la velocidad tangencial con que la goma de borrar sale disparada?

v  r  g  tan 

v  0,4 10  tan 60º

v  2,6  m / s 

Respuesta: La velocidad tangencial con la que la goma sale disparada es de 2,6 m/s 3. Un automóvil tiene una masa de 1600 kg y toma una curva en una pista plana y sin pendiente de 40 m de radio. El coeficiente de roce estático entre los neumáticos y la pista es μ = 0,5 a) ¿Cuál es la velocidad máxima permitida que debería aparecer en la señalización de advertencia?

v    g r

v  0,5 10  m / s 2   40  m 

v  14,14  m / s 

Respuesta. La velocidad máxima permitida que debería aparecer en la señalización de advertencia es de v = 14,14 m/s 4. Una partícula P adherida al borde de un disco que gira en torno a un eje que pasa por O, se encuentra a 1,5[m] de O, y da 30 vueltas cada minuto. Determine: a) el periodo;

b) la frecuencia; c) la velocidad angular; d) la velocidad “tangencial”; e) la aceleración centrípeta o normal y f) la aceleración tangencial

5. Una partícula se mueve con movimiento circunferencial uniforme, en una circunferencia de radio R = 60[cm] y con rapidez angular de 1,5[rad/s]. Inicialmente las coordenadas de la partícula con x (0)=R e y (0)=0. Determine: a) El vector posición de la partícula en t =1,0[s] b) La velocidad de la partícula en t =1,0[s] c) La aceleración de la partícula en t =1,0[s]

6. Cuál es la aceleración radial que experimenta un clasto bien redondeado que cae de una ladera y adquiere una velocidad de 10 m/seg., al llegar a una canaleta horizontal toma una curva de 25 m de radio.

7. Un clasto redondeado deslizándose sobre una canaleta circular tiene una velocidad de 9,2 m/seg, sufre una aceleración de 3,8 m/seg2 . a) ¿cuál es el radio de la trayectoria., b) ¿cuánto tiempo le tomará completar el circuito?

8. La Luna gira en torno a la Tierra, completando una revolución en 27,3 días. Suponga que la órbita es circular y que tiene un radio r = 238.000 millas. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre ella? Solución: En este caso debemos el dato del radio pasarlo a metro, posteriormente tomar el dato de la masa de la luna de cualquier texto y el tiempo pasarlo a segundos, de esta manera tenemos que:

9. Una rueda comienza a girar con aceleración angular constante y al cabo de 3 s alcanza las 300 revoluciones por minuto. Si su radio es de 10 cm, calcula: a) La aceleración angular. b) La velocidad lineal que lleva un punto del borde de la rueda a los 3 s.

Planteamiento y resolución El movimiento de la rueda es circular uniformemente acelerado. En 3 s desde el reposo alcanza una velocidad angular de:

10. Un tocadiscos gira a 90rpm. Halla su velocidad angular en radianes por segundo y calcula su periodo y frecuencia Para pasar de revoluciones por minuto a radianes por segundo, solo tenemos que recordar que una vuelta entera (360º, una revolución) equivale a 2π radianes (o que media vuelta, 180º, son π radianes). Con eso ya podemos hacer regla de tres:

11. Una rueda de bicicleta de 80cm de radio gira a 200 revoluciones por minuto. Calcula: a) su velocidad angular b) su velocidad lineal en la llanta c) su periodo d) su frecuencia. El apartado a) se resuelve igual que el ejercicio anterior:

12. Un tiovivo gira a 30 revoluciones por minuto. Calcula la velocidad angular y la velocidad lineal de un caballito que esté a 1,5 metros del centro y de otro que esté a 2 metros. Calcula la aceleración normal para este último La velocidad angular es la misma para los dos caballitos, sin importar lo lejos que estén del centro. Si no fuera así, algunos caballitos adelantarían a otros dentro del tiovivo. Si la calculas del mismo modo que en ejercicios anteriores, verás que el resultado es de π radianes/segundo. Pero la velocidad lineal no es la misma para los dos, porque el caballito que esté más hacia fuera debe recorrer un círculo mayor en el mismo tiempo. Para calcular las velocidades lineales, multiplicamos las angulares por los respectivos radios: caballito 1: v = π · 1,5 = 4,71 m/s caballito 2: v = π · 2 = 6,28 m/s Aunque sea un MCU, existe una aceleración, llamada "normal" que es la responsable de que el objeto se mueva en círculos en vez de en línea recta. Esta aceleración es igual a la velocidad lineal al cuadrado dividida entre el radio: 13. Un MCU tiene una frecuencia de 60 hercios. Calcula: a) su velocidad angular b) su periodo c) su velocidad angular en revoluciones por minuto En primer lugar, medir la frecuencia en hercios es lo mismo que medirla en segundos-1, así que no pienses que eso cambia nada. A partir de la frecuencia, podemos sacar directamente el periodo, y luego la velocidad angular (respondemos primero al apartado b y luego al a)

14. Un móvil tiene una velocidad tangencial de 120m/s; luego de 5 segundos esta velocidad se convierte en 154 m/s. Si el radio de la circunferencia es de 4m, hallar la aceleración angular

15. Una rueda gira a 3000 rpm cuando se le aplican los frenos y se para en 30 s. Halla el número de vueltas que da hasta que se detiene. Si tiene un diámetro de 2 dm; calcula la aceleración lineal y el espacio lineal. Vamos a usar las ecuaciones del movimiento circular uniformemente variado. Sabemos que la velocidad angular final es cero y el tiempo empleado para detenerse es 30 s:

Expresamos la velocidad angular inicial en vueltas/s:

Sustituimos en la ecuación para calcular la aceleración angular:

Ahora podemos calcular el número de vueltas:

Si el diámetro es 2 dm quiere decir que el radio es la mitad, es decir, 1 dm = 0,1 m. Para calcular las magnitudes lineales basta con tener en cuenta el valor del radio: