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CÁLCULO DEL MOMENTO RESISTENTE PROBABLE Ing. Erly Marvin Enriquez Quispe [email protected]

El momento resistente probable (Mpr) es la máxima resistencia a la flexión teórica que se puede calcular para la sección crítica de un miembro, con o sin carga axial, sometida a flexión en una dirección dada. El momento resistente probable es necesario para calcular fuerzas cortantes de diseño para proteger la capacidad de cualquier miembro donde se puedan desarrollar rótulas plásticas.

En el ACI 318 y la Norma E.060, el momento resistente probable se calcula utilizando una teoría simplificada por flexión, donde se supone una relación esfuerzo-deformación elastoplástica para el acero de refuerzo, se supone un bloque de esfuerzos rectangular para el concreto en compresión y se aplica la compatibilidad de esfuerzos. Aceptando la hipótesis de que las secciones planas permanecen planas antes y después de la flexión. En este análisis, en el ACI 318 el esfuerzo de fluencia del refuerzo se hace igual a 1.25fy, donde fy es el esfuerzo de fluencia especificado del refuerzo; en la Norma E.060 el momento resistente probable es igual a 1.25Mn, donde Mn es el momento nominal de la sección.

El ACI 318 y la Norma E.060 no tienen en cuenta el aumento de la resistencia a la compresión del concreto sobre la resistencia especificada en el cálculo del momento resistente probable. La resistencia a la compresión del concreto debe ser similar o mayor que la resistencia especificada en la fecha especificada, generalmente a los 28 días. Sin embargo el concreto continúa ganando resistencia en el tiempo, incluso en un ambiente seco o en ambientes hostiles. La presencia del confinamiento por medio de estribos poco espaciados, también causa un aumento de resistencia adicional. Además, la presencia de un miembro elástico, como una zapata o nudo de viga-columna, en los extremos de un elemento da como resultado ganancia local de resistencia en el concreto. Esto se debe a que este elemento elástico confina el concreto comprimido previniéndolo que se expanda transversalmente.

En columnas axialmente poco cargadas, un aumento en la resistencia a la compresión del concreto tiene solo una influencia menor en el momento resistente probable. Por esta razón, el aumento en la resistencia a la compresión del concreto puede ser ignorado en los cálculos. Sin embargo, como la carga axial aumenta, el momento resistente probable se vuelve más sensible a la resistencia a la compresión del concreto. En el contexto de diseño por capacidad, una subestimación del momento resistente probable puede resultar en una reducción de la capacidad de deformación, y provocar un escenario indeseable de falla por corte. -1-

1.

DEFINICIONES MOMENTO RESISTENTE

-

Momento Resistente Nominal (Mn), calculado con la teoría de la flexión establecida en el ACI 318 y E.060 usando la resistencia a la compresión del concreto especificado y el esfuerzo de fluencia

-

del acero longitudinal especificado.

Momento Resistente Ideal (Mi), calculado con la teoría de la flexión establecida en el ACI 318 y E.060 usando la resistencia a compresión promedio del concreto esfuerzo de fluencia promedio del acero de refuerzo

-

y el

.

Momento Resistente Probable (Mpr), es el máximo momento resistente que se puede calcular en un extremo del elemento. El momento Mpr puede calcularse a partir de una de varias teorías a la flexión con resistencias promedio

y

y teniendo en

cuenta el efecto del endurecimiento por deformación cíclica en el refuerzo. -

Momento Resistente Creíble (Mcd), es el máximo momento resistente que se puede calcular en un extremo de la columna. El momento Mcd puede determinarse a partir de una de varias teorías de flexión con la resistencia a la compresión medida del concreto ̂ y el esfuerzo de fluencia medido del acero de refuerzo ̂ y teniendo en cuenta el efecto del endurecimiento por deformación cíclica en el refuerzo.

-

Momento Resistente Máximo (Mmáx), es el momento de flexión máximo resistido en un extremo de columna crítico en una prueba de carga cíclica invertida. Este momento considera la flexión inducida por la fuerza lateral aplicada y la fuerza axial cuando introduce el momento P-Δ.

2.

BASE DE DATOS DE COLUMNAS

Para desarrollo de las ecuaciones propuestas se utilizó la base de datos de columnas del PEER. La base de datos incluye 35 columnas rectangulares con una dimensión mínima de sección transversal de 350 mm y 30 columnas con secciones transversales circulares u octogonales de diámetros superiores a 305 mm. Todas las columnas tenían el refuerzo transversal con un espaciamiento máximo de seis veces el diámetro de la barra longitudinal. Todas estas columnas fueron probadas cuasi estáticamente con un protocolo de carga cíclica invertida y bajo carga axial constante. Todas las columnas desarrollaron rótulas plásticas de flexión en un extremo adyacente a un miembro elástico. La base de datos contiene un rango algo estrecho resistencias del concreto. Por ejemplo, 66% de las columnas rectangulares tienen 27.4 MPa ≤ ̂ ≤ 43.3 MPa y dos tercios de las secciones de columnas circulares tienen 28.2 MPa ≤ ̂ ≤ 38.1 MPa.

-2-

En lo que respecta al grado del refuerzo en la base de datos, el 27% de las columnas rectangulares incorpora refuerzo longitudinal de Grado 275 MPa, el 63% incorpora Grado 420 MPa y el 12% incorpora Grado 500 de refuerzo longitudinal. De las columnas circulares, el 23% incorpora refuerzo longitudinal de Grado 275 MPa, el 70% incorpora refuerzo longitudinal de Grado 420 MPa y el 7% incorpora refuerzo longitudinal de Grado 500. Todos los refuerzos Grado 420 MPa cumplen con los requisitos establecidos para el refuerzo ASTM A706 / A706M-09b para la máxima resistencia a la tracción cuando se reporta esta resistencia.

La relación de refuerzo longitudinal

de las columnas rectangulares oscila entre 1.3 y

3.3%. El 70% de las columnas rectangulares tienen 1.5% ≤

≤ 1.8%, que es un rango

bastante estrecho, pero los autores señalan que el 12% de las columnas tienen En columnas circulares, la proporción una relación del 1,9% ≤

≥ 3.0%.

varía de 0,8 a 5,2%, el 30% de las columnas tiene

≤ 2,6%, y una sexta parte tiene

≥ 3,0%. Sesenta y seis por

ciento de las columnas rectangulares en la base de datos tienen

, donde

es el área total del refuerzo transversal dentro de un espaciamiento s y perpendicular a la dimensión b en una columna rectangular y

es la cantidad de

especificada por

ACI 318. Solo el 30% de las columnas circulares de la base de datos tienen donde

,

es la relación entre el volumen de refuerzo transversal y el total volumen del

núcleo confinado por este refuerzo y

es la cantidad de

especificada por ACI 318.

Adicionalmente se examinó que los datos de prueba muestran que la relación entre el refuerzo transversal proporcionado al requerido por ACI 318 no está correlacionado con la relación de carga axial

̂ , donde

es la carga axial de la columna de prueba y

es el área bruta de la sección de concreto. Esto es estadísticamente relevante porque las disposiciones actuales para el confinamiento en ACI 318 no se hacen en función de la relación de carga axial, ya que están en otros códigos. Una correlación del refuerzo de confinamiento con la relación de carga axial podría haber introducido una pequeña tendencia en el análisis estadístico que se describirá más adelante en este documento.

La base de datos tiene columnas con un amplio rango de relaciones de carga axial ̂ que varían desde una carga axial cercana a cero hasta

̂

. La

base de datos de columna rectangular tiene una distribución bastante uniforme a la relación de carga axial. Sin embargo, la base de datos de columna circular está algo parcializada porque el 53% de las columnas tienen relaciones de carga axial

̂

. Esto se debe en gran parte a la gran cantidad de pruebas realizadas en columnas circulares de puentes. -3-

La relación de aspecto de columna

, donde

y

son el momento y cortante en

el extremo de columna inducido solo por la fuerza lateral aplicada, varía entre 2.2 y 6.9 para columnas rectangulares, mientras que varía entre 2 y 10 para columnas circulares.

También es interesante examinar la relación de deriva

cuando las columnas

enumeradas en la base de datos alcanzaron Mmáx. Veintidós de 35 ó 63% de las columnas rectangulares alcanzaron Mmáx en

. Una relación de deriva

podría considerarse como una razón razonable para la demanda en rótulas de columnas durante el terremoto de diseño. Excepto por una columna rectangular, la relación entre el momento resistido en la base de la columna con una deriva

,

y

Mmáx fue mayor que 0,9 para las 12 columnas restantes. Esta columna tenía en

, pero en

alcanzado

, el momento de resistencia había

. Al contrario de las respuestas de las columnas rectangulares, solo

cinco de las 30 columnas circulares, es decir, el 17% alcanzaron Sin embargo, el momento de resistencia en Por

.

de 23 columnas circulares, es decir, 77%, fue

. Solo dos columnas circulares muestran

.

, el momento resistente en estas columnas fue al menos

. Estos

resultados indican que si no se alcanza resistencia

antes de

es solo un poco más pequeño que

endurecimiento en la respuesta de las columnas más allá de

3.

en

, el momento de porque se produce poco .

PROCEDIMIENTO DEL ACI318 PARA ENCONTRAR EL MOMENTO RESISTENTE PROBABLE

Los momentos Mcd se calcularon con el procedimiento ACI 318 para cada columna enumerada en la base de datos. Se calcularon los valores de Mcd en lugar de Mpr porque se reportaron las resistencias ̂ y ̂ , lo que resultó en la mejor predicción posible del procedimiento ACI 318 para Mmáx. Los valores de Mcd se calcularon usando un esfuerzo de fluencia del acero magnificado

. Como se conocía a fy, el factor de aumento de

1.25 no se pudo usar en los cálculos porque ese factor ya explica el aumento del esfuerzo de fluencia especificada. Por lo tanto, solo se tuvo que hacer una concesión para la sobreresistencia causada por el endurecimiento por deformación cíclica. Los cálculos se realizaron con

, donde el factor

explica la sobreresistencia debido al

endurecimiento en el acero solamente. Para consistencia, se usó un valor

, que

es el mismo valor derivado para este factor en la siguiente sección a través de un procedimiento de minimización de errores. -4-

Figura 1. Relación

calculada según ACI 318 frente a la relación de carga axial de todas las columnas de prueba.

La Figura 1 muestra las relaciones

calculados frente a la relación de carga

̂ . Este gráfico muestra una clara tendencia no conservativa en el

axial

procedimiento ACI 318. Si bien este procedimiento da como resultado una muy buena predicción de

de columnas con cargas axiales cercanas a cero, la predicción se

vuelve pobre a medida que aumenta la carga axial, subestimándose los valores de ̂

para todas las columnas con

. Por ejemplo, las relaciones promedio

para las cinco columnas de prueba con relaciones de carga axial agrupadas en aproximadamente 0,4 es 1,29.

Otra forma de visualizar la tendencia en el procedimiento ACI 318 es trazar puntos

(

̂

̂

)

para seis ensayos de columnas rectangulares junto con el diagrama de interacción momento resistente creíble - carga axial calculada usando valores promedio para las resistencias del material y asumiendo

. Resulta que las seis columnas de prueba

tienen resistencias de material muy similares ̂ y ̂ , la relación

es la misma, las

columnas tienen la misma sección transversal y la ubicación del refuerzo longitudinal es prácticamente idéntica. Además, la relación de refuerzo transversal proporcionada en estas columnas es menor que la requerida por ACI 318. -5-

Figura 2. Comparación del diagrama de interacción de momento de carga axial creíble calculado utilizando el método ACI 318 con datos de prueba.

La Figura 2 muestra que los valores

calculados con el procedimiento ACI 318 son

menores que los valores de columna de prueba de

para una relación de carga axial

dada. En otras palabras, el procedimiento ACI 318 subestima los valores de Cualquier subestimación del valor de

.

por el procedimiento no puede atribuirse a una

ganancia de momento significativa en las columnas de prueba causada por un aumento en la resistencia a la compresión del núcleo de concreto como resultado de un confinamiento excesivo. La diferencia entre

y

se debe en gran parte al confinamiento del

concreto proporcionado por el elemento de concreto armado elástico que enmarca con la columna en la región donde se produce el momento de flexión máximo. Tal efecto de confinamiento es no capturado por el procedimiento ACI 318. Además, se puede demostrar que cuando refuerzo

se calcula con el procedimiento ACI 318, el límite elástico magnificado del no se alcanza en ninguna de las capas si las columnas están sometidas a

cargas axiales moderadas o altas. En el ejemplo particular, no se observa fluencia del refuerzo a una relación de carga axial moderada de 0.3. Al contrario de lo que se observa durante el cálculo con el procedimiento ACI 318, cabría esperar que en

, el refuerzo

longitudinal en ambas capas extremas se filtre bien en la región de endurecimiento por deformación.

-6-

4.

ENFOQUE ALTERNATIVO PARA CALCULAR EL MOMENTO CREDIBLE RESISTENTE DE COLUMNAS

4.1 DEFINICIONES Y SUPOSICIONES

Se presenta una formulación simple para calcular la resistencia del momento creíble de la sección crítica al final de una columna bien estribada, en la que se ha detallado el refuerzo transversal para evitar el pandeo prematuro del refuerzo longitudinal. La formulación es igualmente aplicable a columnas rectangulares y circulares simétricamente reforzadas.

Figura 3. Fuerzas externas e internas en columna simétricamente reforzada

La figura 3 muestra una elevación de una columna de concreto armado simétrica circular o rectangular que se flexiona alrededor de un eje principal y se somete a una fuerza axial P cuando se alcanza

. Las fuerzas internas que se muestran en el

extremo inferior de la columna se suman al momento de resistencia que debe equilibrar . Cuando el momento resistente se calcula con cualquiera de las diversas teorías de flexión, este momento se convierte en esta teoría, la relación

. Debido a las aproximaciones realizadas en solo debería ser posible estadísticamente cuando:

1) el valor medio en una población grande se acerca a 1; 2) la teoría muestra un margen insignificante con respecto a las variables principales; y 3) la dispersión es pequeña. -7-

En la Figura 3, Cs es la fuerza de compresión resistida por la capa de barras marcadas con refuerzo longitudinal "B" que están más cerca de la fibra extrema en compresión; Ts es la fuerza de tracción resistida por la capa de barras marcadas con refuerzo longitudinal "A" que están más cerca de la fibra extrema en tensión; Ti es la fuerza resistida por todo el refuerzo longitudinal de la columna interior (mostrado como Barras "C"); y Cc es la fuerza resistida por el concreto en compresión. La fuerza Cc se encuentra a una distancia

de la fibra comprimida extrema. La primera suposición hecha aquí es

que las fuerzas Cs y Ts son iguales y opuestas, lo que implica que, para el equilibrio, fuerza Cc = P + Ti.

Figura 4. Efecto de las inversiones de deformación de gran amplitud en la sección de columna.

-8-

La Figura 4 muestra una justificación visual para esta suposición. La Figura 4(a) muestra los perfiles de deformación para la carga de servicio y dos casos de carga sísmica. Estos casos de carga sísmica indican que la columna ha sufrido una gran inversión de curvatura. La Figura 4(b) muestra las relaciones esfuerzo-deformación que son consistentes con el historial de deformación experimentado por las barras marcadas "A" y "B". Las reversiones de curvatura de baja amplitud que causan reversiones de tensión se han omitido de estas figuras para mayor claridad. Bajo carga de servicio y después de que se produjeron fluencia y contracción, estas barras permanecen muy por debajo el punto de fluencia y más a menudo en compresión (consulte los puntos marcado "(1)" en la Fig. 4). La sección de columna alcanza su fuerza de momento máximo cuando las Barras "A" y "B" experimentan endurecimiento - consulte los puntos marcados "(3)" después de una gran reversión de la curvatura inducida por el terremoto que se ha producido (consulte puntos marcados "(2)"). En los puntos marcados "(3)", la tensión y Las tensiones de compresión en las barras extremas son comparativamente similar (consulte la Fig. 4 (b)), para lo cual la compresión y los factores de endurecimiento del refuerzo de acero a la tracción

y

se supone que es igual. El comportamiento conceptual descrito

previamente e ilustrado en la Fig. 4 se puede generalizar para varias otras profundidades de eje neutro sin alterar la conclusión acaba de alcanzar. Este hallazgo es sorprendentemente diferente de valores calculados a partir de un análisis de flexión convencional e incluso con el análisis momento-curvatura monotónico más sofisticado, que no pueden capturar el fenómeno del endurecimiento cíclico.

La segunda suposición hecha aquí es esa fuerza Ti siempre actúa en tensión. Este supuesto es estrictamente correcto cuando la profundidad del eje neutral en la columna es superficial. Cuando la profundidad del eje neutral se acerca o excede la mitad de la altura de columna, la resultante de fuerzas en estas barras interiores eventualmente se vuelve compresiva. En consecuencia, la suposición hecha de la fuerza Ti siempre está en tensión evidentemente se convierta en errónea y el momento probable dado por Eq. (2) presentará una tendencia a altas relaciones de carga axial. Un análisis del error, no presentado en este documento, indica que la Eq. (2) podría sobrepredecir el momento probable por menos de 10% cuando

̂

. Cuando la relación de compresión axial de carga

se acerca al límite impuesto en el ACI 318 para columnas reforzadas con estribos, el momento probable podría ser sobre predicho hasta en un 27% cuando ρ MPa, y f’c = 30 MPa. Sin embargo, cuando ρ

, fy = 414 MPa, y f’c = 30 MPa, la

probabilidad el momento es sobre predicho en menos del 13%.

-9-

, fy = 515

4.2 DERIVACIÓN Y CALIBRACIÓN

Con la primera suposición establecida en la sección anterior y en el escenario ideal, tomando momentos sobre el Punto R en la Fig. 3 da como resultado:

(

)(

)

( )

La ecuación (1) también se puede presentar en términos del área total del refuerzo y ̂ . Supongamos que todo el refuerzo se endurece por la relación

longitudinal

Entonces, Eq. (1) se convierte en:

[

(

̂

)]

̂

(

)

̂

̂ ̂ ̂ ̂

[

̂ [

(

̂

̂)(

(

)(

)]

)] (

(

)

) (

)

(

)

(

)

o en forma adimensional para columnas rectangulares: ̂ ̂

(

[

̂

)(

)]

̂

(

)

y en forma adimensional para columnas circulares: ̂ ̂

̂

[

(

)(

)]

- 10 -

̂

(

)

donde

es la relación del área de refuerzo longitudinal de columna en una de las capas

extremas a

y

es la relación entre la distancia entre el centroide de la capa exterior de

barras, es decir, de las Barras "A" y "B" a la profundidad de la columna h.

La ecuación (2) en cualquiera de sus formas tiene dos términos independientes y aditivos, y cada término tiene un claro significado físico. El primer término es el momento al que contribuye el refuerzo y el segundo término es el momento de contribución debido a la carga axial.

Los siguientes párrafos discuten la evaluación de las proporciones , hasta ahora se desconocen. La relación

,

y

, que

depende completamente de la forma en que el

refuerzo longitudinal se distribuye en la sección. En un modelo de una sección transversal de columna, la distribución debe ser suficientemente simple para permitir una distinción clara entre las capas de refuerzo externas e internas. Los ocho y doce modelos de barras equivalentes, con tres y cuatro barras equivalentes por lado, respectivamente, son modelos ideales para columnas de sección rectangular con refuerzo longitudinal distribuidas a lo largo de las caras. Los valores de la relación

para los modelos de sección rectangular de

ocho y doce barras equivalentes son 3/8 y 1/3, respectivamente. Los seis y ocho modelos de barras equivalentes con valores de razón

igual a 1/3 y 1/4, respectivamente, son

ideales para columnas de sección circular.

La relación

es una función del diámetro de barra equivalente

transversal del modelo; el recubrimiento del estribo,

de la sección

; diámetro del estribo

; el tipo de

sección y el modelo de barra equivalente utilizado; y la altura de la columna h. La relación está dado por: [

{

(

)]}

( )

donde: √

y donde es decir,

( )

es el número de barras en el modelo de la sección transversal de la columna, es ocho o 12 en una columna rectangular y seis u ocho en una columna

circular. Finalmente,

en columnas rectangulares

circulares. - 11 -

(

) en columnas

Los autores utilizaron la base de datos de columnas para determinar las proporciones y

. Siguiendo el trabajo de Presland et al., se supuso que la relación

varía

linealmente con la relación de carga axial de la columna. Se realizó un procedimiento de minimización de errores para | relaciones

y

|

para obtener valores óptimos para las

. Este procedimiento se llevó a cabo inicialmente para el modelo de

ocho barras equivalentes para columnas rectangulares y el modelo de seis barras equivalentes para columnas circulares. La minimización resultó en

para las

columnas rectangulares y circulares y en las siguientes dos relaciones para la relación .

̂

(

)

(

)

para columnas rectangulares y

̂ para columnas circulares.

Figura 5. Histograma de la relación

donde

La figura 5 muestra histogramas de las relaciones

se calcula con la Eq. 2.

determinadas para el

calculadas con el modelo equivalente de ocho barras para columnas rectangulares y para el calculado con el modelo equivalente de seis barras para columnas circulares. La distribución es normal en ambos casos. Los valores medianos y medios calculados para las relaciones

son 0.995 y 0.998 para columnas rectangulares y 0.992 y 1.003

para columnas circulares, respectivamente. Los coeficientes de variación muy bajos de 6.80% y 7.51%, que indican poca dispersión de la media, se encuentran para las columnas rectangulares y circulares, respectivamente. - 12 -

4.3 SENSIBILIDAD DEL MODELO

Las relaciones

también se calcularon para

calculado con el modelo de

barras equivalente doce para columnas rectangulares y con el modelo de ocho barras equivalentes para columnas circulares. Las proporciones

y la mediana, la media

y los coeficientes de variación son muy similares a las calculados con los modelos con un número menor de barras equivalentes. Además, los análisis residuales de las relaciones con

̂ , con

, y con las resistencias ̂ , y ̂ muestran una aleatoriedad

excelente. Esto indica la idoneidad del modelo calibrado. ̂ es más sensible a la

La inspección de Eq. 2(b) muestra que la relación relación

y ̂ ̂

cuando las proporciones

Valores extremos de la relación

son altas y la relación

̂ , es baja.

en las columnas rectangulares se producen en

columnas de pequeño tamaño con un gran recubrimiento y en columnas de gran tamaño con un mínimo recubrimiento. Para tales extremos, la proporción

puede alcanzar valores

tan bajos como 0,685 o tan altos como 0,874 cuando se usa el modelo de Ocho barras equivalentes. En columnas rectangulares de dimensiones típicas y recubrimientos promedio y diámetro del estribo, la relación

fluctúa alrededor de 0.8 para el modelo de

ocho barras equivalentes. Un estudio de la sensibilidad muestra que cuando ̂ ̂

,

, que puede ser considerado en el extremo superior en la mayoría de las ̂

aplicaciones prácticas, y cuando la relación

calculados con Eq. 2(b) con los valores extremos de la relación veces los obtenidos para la proporción

̂

, los valores de

son solo 0.9 y 1.06

, lo que indica poca sensibilidad. Como era

de esperar, también hay poca sensibilidad calculado para columnas circulares. Esto sugiere que la Eq. (2) se puede simplificar incorporando una proporción promedio para como una constante. Como se discutió anteriormente, un valor promedio para la proporción es 0,8 para una columna rectangular idealizada con el modelo de ocho barras equivalentes, y un valor promedio para la relación

calculado para una columna circular

idealizada con el modelo de seis barras equivalentes es 0.69. La ecuación (2) puede ser más simplificada si los valores de la relación

se obtuvieron del Modelo de ocho barras

equivalentes para columna rectangulares (

= 3/8) y para el modelo de seis barras

equivalentes en columnas circulares (

= 1/3) y de la relación

incorporan como constantes. Las ecuaciones simplificadas son:

- 13 -

también se

̂ ̂

̂

[

(

)]

̂

(

)

(

)

(

)

Para columnas rectangulares y ̂ ̂

̂

[

(

)]

̂

para columnas circulares, donde la relación

(

)

viene dada por Eq. 5(a) o 5(b), cualquiera

que sea aplicable.

4.4 COLUMNAS RECTANGULARES CON FLEXIÓN A LO LARGO DE DOS EJES PRINCIPALES

Las derivaciones hechas en la sección anterior para el momento creíble de columnas rectangulares se aplican solo para la flexión que actúa solo a lo largo de uno de los dos ejes principales. Según los conocimientos de los autores, solo se han informado cuatro pruebas de carga cíclica invertida en la literatura sobre columnas cuadradas o rectangulares con flexión aplicada a lo largo de un eje distinto del principal. Estas pruebas son reportadas por Zahn et al. El análisis teórico de momento-curvatura, que incorpora la mejora de la fuerza debido al confinamiento del refuerzo transversal -también llevado a cabo por estos investigadores- indica que la diferencia entre las columnas cuadradas de fuerza de momento probable probado a lo largo de la diagonal es solo marginalmente más pequeño que la fuerza de momento probable de la misma columna si se carga a lo largo de un eje principal, excepto en los casos extremos de tensión axial concéntrica de compresión donde no se puede resistir ningún momento. Su trabajo experimental también apoyó este hallazgo. Una cantidad tan limitada de datos de prueba sugiere que la fuerza del momento creíble a lo largo de un eje se puede obtener utilizando el método de contorno de carga de Bresler con el exponente establecido en 2, es decir, un contorno de carga circular

(

donde

)

(

)

y

( )

son los puntos fuertes creíbles a lo largo de los dos ejes principales.

Estos momentos resistentes se evalúan con la Eq. (2a) o (6a) o de las formas adimensionales correspondientes. - 14 -

Los momentos

y

, son componentes del vector a lo largo de los dos ejes

principales del momento resistente sesgado-creíble. Para una columna cuadrada, Eq. (7) significa que el momento resistente creíble es el mismo a lo largo de cualquier eje de flexión para una relación de carga axial dada. Cuando Eq. (7) se usa para calcular

con

el modelo de ocho barras equivalentes para secciones rectangulares para las pruebas informadas por Zahn et al. Las relaciones

varían muy estrechamente entre 0,98

y 1,01.

5.

ECUACIÓN PARA MOMENTO RESISTENTE PROBABLE DE COLUMNAS

5.1 COLUMNAS RECTANGULARES CON FLEXIÓN A LO LARGO DEL EJE PRINCIPAL Y COLUMNAS CIRCULARES

La derivación y la calibración posterior de una ecuación para calcular el momento resistente creíble para las columnas con secciones rectangulares cargadas a lo largo de un eje arbitrario y de columnas circulares puede formar la base para la derivación de una ecuación para calcular el momento resistente probable. Para una población grande, la media de la resistencia de los materiales ̂

y ̂ se convierten en ̅̅̅̅ y ̅̅̅̅,

respectivamente. Ahora en la evaluación del momento resistente probable, solo los valores especificados para

y

son conocidos. Por lo tanto, las relaciones entre la media y las

resistencias especificadas son necesarias en el desarrollo de una ecuación para 318 hace

. ACI

pero no proporciona relaciones para el concreto. Aquí, la resistencia

a la compresión del concreto en un miembro a la resistencia del cilindro de prueba se ̅̅̅̅

denomina la relación de endurecimiento

. Tal relación captura: 1) la ganancia

en resistencia que ocurre con el tiempo; y 2) la variabilidad estadística inherente en la planta de dosificación y en la construcción. Parte 1) de la relación

depende de

numerosos factores, como el tipo de cemento, tipo y cantidad de materiales cementosos presentes en mezcla, relación agua-cemento (w/c), y madurez del concreto. Los autores señalan que ignorando un aumento en la resistencia a la compresión del concreto, es decir, asumiendo

es poco conservador en el diseño de capacidad porque el

momento resistente probable se subestima.

- 15 -

Una revisión de la literatura encontró solo tres referencias que informaron la resistencia especificada a largo del tiempo del concreto a partir de una estructura o losa de campo de la cual se pudo calcular directamente la relación

. Baweja et al. llevaron a

cabo una investigación exhaustiva de la compresión resistencia del concreto envejecido en el lugar en 10 losas de campo sobre el terreno. El concreto probado tenía entre 10 y 26 años. La relación

osciló entre 1.48 y 2.75. Scanlon y Mikhailovsky evaluaron la

resistencia del concreto en un puente de 34 años. Usando la resistencia promedio del concreto, la relación

= 1.78. Billings y Powell investigaron la resistencia del concreto de

un puente que tenía casi 30 años. Usando la fuerza media reportada, la relación

=

2.29. Cuando la resistencia especificada se iguala a 0,87 veces la resistencia medida de 28 días, los datos informados por Aïtcin y Laplante en las losas sobre el terreno dan 1,64 en concreto de 4 años y

=

= 1,72 en 6 años de edad del concreto. Ninguna de las

estructuras de concreto en las referencias mencionadas anteriormente contenía humo de sílice.

Sabiendo que hay muchos factores que afectan el coeficiente de significativa de datos, se recomienda un valor para

y dada la escasez

= 1.7 para concreto de resistencia

normal de 10 años de edad o más. Alternativamente, la relación

se puede hacer una

función del tiempo modificando la expresión de ganancia de fuerza propuesta por Freisleben y Pedersen. Esta ecuación toma la siguiente forma

( )

con la edad del concreto t medida en años. La ecuación (8) cumple el requisito mínimo en ACI 318 de que a 28 días, la resistencia del concreto obtenido de las mediciones de campo no debe ser menor del 85% de la resistencia especificada y que la resistencia máxima no puede exceder 2,8 veces la resistencia especificada Un valor que es arbitrario pero parece razonable. La figura 6 compara los valores de la relación

calculados con Eq. (8) y los

datos disponibles. La Figura 6 muestra que Eq. (8) da una predicción razonable de la relación

pero, como se esperaba, hay una dispersión significativa sobre los valores

predichos.

- 16 -

Figura 6. Comparación de la razón

predicha con Eq. (8) y obtenido de pruebas de campo.

Construyendo sobre Eq. (6) y haciendo que la carga axial de prueba P sea igual a la carga axial factorizada Pu, la expresión para

[

(

)]

se vuelve

(

)

(

)

(

)

Para columnas rectangulares y

[

(

)]

(

para columnas circulares, donde la relación

)

se obtiene de Eq. (5a) y (5b) sustituyendo

̂ con

(

)

(

)

para columnas rectangulares y

para columnas circulares. Aunque Eq. (9a) y (9b) han sido verificados contra datos de columnas sometidas a compresión, podrían usarse para predecir las fuerzas de momento probables de columnas sometidas a tensión axial pequeña, digamos, hasta . - 17 -

Figura 7. Diagrama de interacción de fuerza axial – momento resistente probable que indica la influencia de la relación

sobre la fuerza del momento probable

.

La figura 7 muestra el diagrama de fuerza axial – momento resistente probable calculado para una columna rectangular usando Eq. (9a) para cuatro razones de refuerzo y para la relación

que varía de 1 a 2 en 0.25 intervalos. Las relaciones de carga axial

factorizada superior que se muestran en esta figura son los niveles máximos permitidos en ACI 318 para miembros de compresión con estribos de refuerzo. Es evidente en esta figura que la relación

tiene un efecto insignificante en columnas ligeramente cargadas hasta

aproximadamente

. Por encima de esta relación de carga axial, la relación

se vuelve gradualmente importante. Cuando se alcanza el límite de carga axial, la relación entre los momentos resistentes creíbles calculados con

= 2 y el calculado con

= 1 es al menos 1.25.

5.2 COLUMNAS RECTANGULARES CON FLEXIÓN A LO LARGO DE DOS EJES PRINCIPALES

Para las columnas rectangulares con flexión que actúan a lo largo de un eje diferente de los dos principales, Mpr se basa en la ecuación. (7)

(

donde

)

(

)

y

(

)

son los momentos resistentes probables a lo largo de los dos ejes

principales. Estos momentos se evalúan con Eq. (9a), con una relación usando Eq. (10 a). - 18 -

calculada

6.

CONCLUSIONES

-

Se muestra el procedimiento especificado por ACI 318 para calcular el momento resistente probable de las columnas el cual subestima la capacidad máxima de momento registrada en todas las pruebas de una base de datos de columnas rectangulares y circulares con relaciones de carga axiales mayores que 0.09. Una razón para la tendencia del ACI 318 es la falta del procedimiento para capturar el confinamiento provisto por el miembro elástico que enmarca a la columna en la sección crítica. Otra razón es que para algunas relaciones de carga axial moderada y alta

y cuando se usa Grado 420 MPa o superior, el procedimiento ACI

318 no puede capturar el fenómeno de endurecimiento por deformación cíclica esperada en el refuerzo longitudinal de la columna. Los cálculos muestran que en tales casos y debido a razones de compatibilidad de deformación, ninguna parte del refuerzo cede realmente cuando la carga axial en la columna es al menos moderada.

-

Para mejorar la predictibilidad, los autores propusieron un modelo de mecánica muy simple y estadísticamente calibrado para determinar el momento resistente probable de columnas rectangulares y circulares. El análisis estadístico del momento resistente máximo medido y los calculados a partir del método propuesto dan una dispersión muy pequeña y una unidad media aproximada.

-

Una extensión del concepto se realiza con el método de carga propuesto por Bresler para calcular el momento resistente probable de columnas rectangulares sometidas a flexión a lo largo de los dos ejes principales.

-

Un análisis de sensibilidad del método propuesto indica que la ganancia en la resistencia a la compresión del concreto a lo largo del tiempo tiene un aumento insignificante en la fuerza de momento probable de las columnas sometidas a niveles de carga axial inferiores a 0.15. Este aumento de fuerza se vuelve gradualmente más importante a medida que aumenta la relación de carga axial en la columna y puede alcanzar al menos 1.25 cuando la relación de carga axial de compresión está en el límite permitido en ACI 318 para columnas con estribos de refuerzo. Se recomienda que se tenga en cuenta el aumento de la resistencia del concreto a lo largo del tiempo de

en el cálculo del diseño de la capacidad de las columnas.

- 19 -

7.

BIBLIOGRAFÍA

-

Restrepo J. I., y Rodriguez M. E., (2013), “On the Probable Moment Strength of Reinforced Concrete Columns”, aceptado para ser publicado en el Structural Journal, American Concrete Institute, Farmington Hills, Michigan, EUA.

-

ACI Committee 318, “Building Concrete Requirements for Structural Concrete (ACI 318-14) and Commentary,” American Concrete Institute, Farmington Hills, MI, 2011.

-

NORMA TÉCNICA DE EDIFICACIÓN E.060 CONCRETO ARMADO. MINISTERIO DE VIVIENDA,

CONSTRUCCIÓN

Y

SANEAMIENTO

SERVICIO

NACIONAL

CAPACITACIÓN PARA LA INDUSTRIA DE LA CONSTRUCCIÓN – SENCICO.

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DE