• Author / Uploaded
• Maickol Andres Apolony Loli

• Categories
• Vector Euclidiano
• Geometría
• Cantidades fisicas
• Física y matemáticas
• Matemáticas

Citation preview

“AÑO DE LA DIVERSIFICACIÓN PRODUCTIVA Y DEL FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACIÓN”

TEMA: MOMENTO DE INERCIA CURSO: FÍSICA 1 DOCENTE: GARCÍA PERALTA ALFREDO INTEGRANTES: o APOLONY LOLI Maickol. o BLAS ROJAS Alfredo. o CABANA ANGULO Carlos. o FLORES VEGA Wilber. o GIRALDO SANCHEZ Dennis. o JESUS BUSTOS Guillermo. o ROMERO HERNOSTROZA Jefferson. o VEGA GONZALES Franklin. o VELASCO VALDERRAMA Jorge.

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo estudiaremos y analizaremos a profundidad EL MOMENTO DE INERCIA que es unos de los temas más importantes del curso y de la carrera. El presente trabajo “MOMENTO DE INERCIA” tiene como principal objeto determinar de manera correcta los momento de inercia de áreas, masas, placas delgadas y cuerpos compuestos además de conocer perfectamente algunas teorías planteadas por los autores tomados en cuenta. Para la realización del trabajo realizamos en primer lugar una recopilación de informaciones de libros de dinámica, posteriormente comparando los contenidos obtenidos descartamos y aprobamos las informaciones finales a utilizar. “MOMENTO DE INERCIA” consta de tres capítulos, en el primer capítulo se estudiaran las fuerzas distribuidas cuyas magnitudes no solo dependen de los elementos del área sobre los cuales estas actúan sino que también dependen de las distancias desde el elemento de área hasta algún eje dado; en el segundo capítulo se aprenderá como determinar los momentos de inercia de varias masas con respecto a un eje dado y en el tercer capítulo se procederá a resolver problemas. Además el trabajo es de suma importancia ya que reflejara progresivamente lo aprendido en el curso y ayudara al mejor entendimiento del mismo. Para finalizar “MOMENTO DE INERCIA” permitirá entender mejor los conceptos matemáticos aplicados a la física. EL GRUPO

ÍNDICE CAPÍTULO 1: 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9.

Momento de inercia de un área Determinacion del momento de inercia por integración Momento polar de inercia Radio de giro de un área Teorema de los ejes paralelos o de Steiner Momentos de inercia de áreas compuestas Producto de inercia Ejes principales y momentos principales de inercia Círculo de Mohr

CAPÍTULO 2: 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7.

Momentos de inercia de una masa Momento de inercia de placas delgadas Determinacion del momento de inercia de un cuerpo tridimencional por integración. Momento de inercia de cuerpos compuestos Momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje arbitrario que pasa por el punto O Productos de inercia de masas Elipsoide de inercia.

CAPÍTULO 3: Resolución de problemas

MARCO TEÓRICO 1. CAPÍTULO 1: 1.1. Momento de inercia de un área:

1.2.

Determinación del momento de inercia por integración:

Las integrales utilizadas son conocidas como momentos rectangulares de inercia del área A con respecto a cierto eje (Ix, Iy), estas se pueden calcular fácilmente si se selecciona una tira delgada paralela al eje seleccionado como dA. Las integrales a utilizar son las siguientes: 

Si se desea calcular el momento de inercia con respecto al eje X se debe tomar una tira paralela a dicho eje, de manera que todos los puntos de la tira estén a la misma distancia “y” de eje X.



Si se desea calcular el momento de inercia con respecto al eje Y se debe tomar una tira paralela a dicho eje, de manera que todos los puntos de la tira estén a la misma distancia “x” de eje Y.



Momento de inercia de un área rectangular:

 Calculo de Ix e Iy con el uso de una misma tira elemental : La fórmula del momento de inercia de una área rectangular se puede utilizar para determinar el momento de inercia Ix, con respecto al eje X de una tira que es paralela al eje Y.

Por lo tanto debido a esta deducción se puede hallar ambos momentos con una solo tira diferencial. 1.3.

Momento polar de inercia:

Una integral muy importante en los problemas relacionados con la torsión de fechas cilíndricas y en los problemas relacionados con la rotación de placas es la siguiente:

Donde:

r: Distancia desde O hasta el área elemental dA. Jo: Momento polar de inercia del área A con respecto al polo O.

El momento polar de inercia de un área dada se puede calcular a partir de los momentos rectangulares de inercia debido a que r 2 = x2+y2

Debido a esto se puede afirmar que:

1.4.

Radio de giro de un área:

El momento de inercia se podrá expresar como producto del área A de la sección de viga a analizar por el cuadrado de una longitud k llamada radio de giro. Así pues, el momento de inercia de un cuerpo se puede expresar en la forma:

Nota: No existe ninguna interpretación física útil del radio de giro; no es más que un medio conveniente de expresar el momento de inercia de área de sección. 1.5. Teorema de los ejes paralelos o Steiner: El teorema de los ejes paralelos puede usarse para determinar el momento de inercia de un área con respecto a un cualquier eje que sea paralelo a un eje que pase a través de su centroide y del cual se conozca el momento de inercia. Para iniciar elegimos un elemento diferencial dA que está ubicado a una distancia arbitraria y’ del eje centroidal x’. Si la distancia entre los ejes paralelos x y x’ se define como dy entonces el momento de inercia de dA con respecto al eje es

dI x  ( y 'd y ) 2 dA para toda desarrollando:

el

Es área,

I x '  ( y 'd y ) 2 dA  y '2 dA  2d y  y ' dA  d y2  dA La primera integral representa el momento de inercia del área con respecto

Ix'

al eje centroidal , la segunda integral es cero ya que el eje x’ pasa a través del centroide C del área es decir:

 y ' dA  y '  dA  0

Ya que y’ = 0. Observamos que la tercera integral representa el área total. El resultado final es:

I x  I x '  Ad y2

Iy Para

se puede escribir una relación similar:

I y  I y '  Ad x2 Jo  I x  I y Y por último para el momento de inercia polar, como

d 2  d x2  d y2 tenemos:

J c  J o  Ad 2 1.6.

Momentos de inercia de áreas compuestas:

1.7.

Producto de inercia

1.8.

Ejes principales y momentos principales de inercia:

y

1.9.

Circulo de Mohr:

CAPITULO 2: 2.1.

Momento de inercia de una masa:

La aceleración de un objeto, que resulta de las fuerzas que actúan sobre él, depende de su masa. La cual, depende de las cantidades de fuerza, llamadas momentos de inercia de masa. En la figura se muestra un cuerpo y una línea “Z”. El momento de inercia de masa del objeto respecto al eje “Z” se define como:

❑

Io

=

∫ r2 m

dm

Donde: r: es la distancia perpendicular desde el eje “z” hasta el elemento diferencial de masa dm.

Se puede obtener expresiones similares para los momentos de inercia de una masa, respecto a los ejes X, Y, Z:

Ix =

y 2+ z2 (¿) dm ∫¿ 2

x 2 Iy = (¿ + z )dm ∫¿ 2

Iz =

2.1.

2

(x + ¿ y ) dm ∫¿

Teorema de los ejes paralelos(masas) Este teorema permite determinar el momento de inercia de un objeto respecto a cualquier eje, si se conoce el momento de inercia respecto a un eje paralelo que pasa por el centro de masa.

De la gráfica se observa que: '

X=

x +dm

Y=

y ' + dm ❑

Reemplazando en (

∫ r2 m

dm), se tiene:

Io

=

2

I+d m

Donde: I =¿ Es el momento de inercia del objeto respecto a un eje paralelo que

pasa por su centro de masa. p=¿

Es la distancia perpendicular entre los dos ejes.

También se puede expresar en forma de sus coordenadas X, Y, Z.

2.2. 2.3. 2.4.

I y=

I + m( x 2 + z 2)

I x=

I + m( y2 + z 2 )

I z=

I + m( x 2 + y 2)

Momento de inercia de placas delgadas Determinación del momento de inercia de cuerpos tridimensionales por integración Momentos de inercia de cuerpos compuestos En la siguiente figura se muestran los momentos de inercia de algunas formas comunes. Para un cuerpo que consiste de varias de estas formas simples, se puede obtener el momento de inercia de dicho cuerpo con respecto a un eje dado calculando primero los momentos de inercia de las partes que lo constituyen con respecto al eje deseado y sumándolos después. Como en el caso de las áreas, el radio de giro de un cuerpo compuesto no se puede obtener sumando algebraicamente los radios de giro de las partes que lo constituyen.

2.5.

Momento de inercia de un cuerpo con respecto a un eje arbitrario que pasa por el punto O En esta sección se vera como puede calcularse el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje arbitrario OL que pasa por el origen. Si ya se han determinado tanto los momentos de inercia de dicho cuerpo respecto a los tres ejes coordenados como otras cantidades, las cuales se definirán a continuación. 2 El momento de inercia Iol de x,y y z de r respecto al eje OL es igual a ∫ p dm , donde p representa la distancia perpendicular desde el momento de masa dm hasta el eje OL. Si se representa mediante a el vector unitario localizado a lo largo de OL, y con r al vector de posición del elemento dm, puede advertirse que la distancia perpendicular p es igual a rsenø, que es la magnitud del producto vectorial ƛxr. Por tanto se escribe 2 2 Iol =∫ p dm =∫ lƛxrl dm _ _ _ _ _ _ _ _ _(1) Expresando

lƛxrl2 en términos de las componentes rectangulares del

producto vectorial se tiene que: 2 ( ƛxy − ƛyx ) ( ƛyz − ƛzy )2 + Iol =∫ + ¿

( ƛzx − ƛxz )2 ] dm

Donde las componentes ƛx, ƛy y ƛz del vector unitario ƛ representan los cosenos directores del eje OL, y las componentes x, y y z de r representan las coordenadas del elemente de masa dm. 2 2 Iol = ƛx ∫ ( y +

y 2 ¿ dm

−¿

z 2 ¿ dm

+

2ƛx ƛy ∫xy dm

_ _ _ _ _ _ _ _ _ (2)

ƛy 2 ∫ ( z 2 +

x 2 ¿ dm

−2 ƛ yz ƛ ∫ yz dm

+

ƛz 2 ∫ ( x 2 +

−¿ 2 ƛz ƛx ∫zx dm

Los productos de inercia del cuerpo con respecto a los ejes x e y, a los ejes y y z, y a los ejes z y x, respectivamente. Asi se escribe. Ixy =∫ xy dm Iyz =∫ yz dm Izx =∫ zx dm _ _ _ _ _ _ _ _ _ (3) Si se escribe la ecuación (2) en términos de las integrales definidas en la ecuación (3), se tiene que. 2 2 2 −2 Ixy ƛxƛy −¿ 2 Iyz ƛyƛz −¿ Iol = Ix ƛx + Iy ƛy + Iz ƛz 2 Izx ƛzƛx _ _ _ _ _ _ _ _ (4)

Es necesario señalar que la definición de los productos de inercia de masa proporcionada en la ecuación (3) es una extensión de la definición del producto de inercia de área. Los productos de inercia de masa se reducen a cero bajo las mismas condiciones de simetría que lo hacen los productos de inercia de áreas, y el teorema de los ejes paralelos para productos de inercia de masa esta expresado por relaciones similares a la formula derivada para el producto de inercia de un área. Sustituyendo en las ecuaciones (3) las expresiones para x, y y z dadas en las ecuaciones (3), se encuentra que I xy = ⃗I x`y` + ⃗ xy ⃗I y`z` + ⃗I z`x` +

I yz = I xy =

Donde cuerpo e

⃗x

,

⃗y

⃗I x`y` ,

⃗ yz

_ _ _ _ _ _ _ _ _ (5)

⃗ zx

,

⃗z

son las coordenadas del centro de gravedad G del

⃗I y`z`e

⃗I z`x`

Representan los productos de inercia del cuerpo con respecto a los ejes centroidales x`, y`e z`. 2.6.

Elipsoide de inercia: