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• Augusto Espinoza

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Momento de inercia OBJETIVO - Determinar experimentalmente el momento de inercia de un anillo y compararlo con un

valor teórico. ELEMENTOS UTILIZADOS

Cronómetro digital, barrera infrarroja, polea inteligente, anillo y disco, calibre, balanza y caja de pesas, masas colgantes y soporte, abrazadera y equipo de dinámica y de rotación.

Si no tenemos en cuenta la fricción que se produce en el eje de giro y en la polea inteligente

INTRODUCCIÓN

Este trabajo práctico pretende analizar el movimiento de un cuerpo rotante sometido a un momento exterior constante, y a partir del mismo deducir una expresión para el cálculo del momento de inercia. La polea inteligente por intermedio de la barrera infrarroja y el correspondiente cronómetro digital registrará el movimiento de una masa colgante unida mediante una cuerda a una de las ranuras de la polea de tres pasos del equipo de dinámica de rotación. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

La ecuación de movimiento de un sólido que rota alrededor de un eje fijo es:

∑𝜏 = 𝐼 × 𝛼

Donde ∑ 𝜏 es el momento total que actúa sobre el cuerpo, I es el momento de inercia del cuerpo con respecto del eje de rotación y a su aceleración angular. El momento de inercia de un cuerpo depende del eje de rotación que se considere. Para un anillo masa M, y radios interno y externo 1 R y 2 R respectivamente, el momento de inercia respecto de un eje que pasa por su centro y es perpendicular al plano que lo contiene está dado por:

Se puede hallar el momento de inercia empleando (2), midiendo los radios 1 R y 2 R, y la masa M con una balanza. Al valor obtenido lo denominamos “valor teórico”. Otra manera de hacerlo es empleando la ecuación de movimiento (1). Para hallar experimentalmente el momento de inercia por este método, se le aplica un determinado momento al cuerpo y se mide la aceleración angular resultante. El momento de Inercia se calcula con:

𝐼=

𝜏 𝛼

Considerando la ecuación 𝜏⃗ = 𝑟⃗ × 𝐹⃗ donde 𝑟⃗ es el vector posición del punto de aplicación de la fuerza respecto del centro del sistema Disco-Anillo, y 𝐹⃗ la fuerza aplicada, el módulo del momento es 𝜏 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 (siendo q el ángulo formado entre 𝑟⃗ y la fuerza 𝐹⃗ ). El momento será máximo cuando 𝑟⃗ y 𝐹⃗ sean normales entre sí. En este caso, la fuerza aplicada es la tensión T de la cuerda, unida a una de las ranuras de la polea del disco, tensada por una masa colgante m , y el valor de r es el radio de la polea de tres pasos solidaria al eje de rotación. Dado que el radio es normal a la fuerza aplicada, el módulo del momento resulta:

Aplicando la 2ª ley del movimiento de Newton para la masa colgante m:

Con lo cual el momento resulta:

La aceleración lineal a de la masa colgante es la aceleración tangencial T a del equipo de dinámica de rotación, y la aceleración angular se relaciona con dicha aceleración tangencial mediante la ecuación aT r Sustituyendo las dos últimas ecuaciones en la expresión del momento de inercia I, se obtiene:

Concluyendo, el momento de inercia I del cuerpo rotante puede calcularse determinando la aceleración tangencial de rotación mediante la expresión:

A esta determinación la denominamos “valor experimental”. TÉCNICA OPERATIVA:

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 

De acuerdo con el esquema, monte el dispositivo con el cual se trabajará. Nivele cuidadosamente la Base del equipo de dinámica de rotación luego de fijarla en el lugar que ocupará durante el desarrollo del trabajo, para evitar que cualquier movimiento resulte en la pérdida del nivelado. Inserte la conexión digital de la barrera infrarroja en el canal 1 del cronómetro digital. Dado que en las ecuaciones no hemos tenido en cuenta las fuerzas de rozamiento, debe compensarse la fricción sufrida durante el movimiento. Para ello se determinará una “masa de fricción cinética” que será restada de la masa colgante total empleada para acelerar el sistema. El valor de esta masa será aquél para el cual el cuerpo suspendido del extremo de la cuerda descienda con velocidad constante (aceleración nula). Para esto, coloque pequeñas cargas en el soporte de masas de modo que la carga descienda con aceleración igual a cero. La masa de fricción equivalente es igual a la masa total agregada mas la del soporte. En la 1ª etapa, se trabajará con un sistema constituido por el disco y el anillo, y en la 2ª etapa, con un sistema conformado sólo por el disco. Para obtener la aceleración de los sistemas anillo-disco y disco, se agrega un cuerpo de masa m conocida al soporte colgante que contiene la masa de fricción,

   

unido mediante la cuerda a la polea central de la plataforma. Se dispone cada sistema de manera que, al dejarlo libre, comience el movimiento de caída de la masa colgante, y se determina la aceleración con que cae. Se cambia dos veces la masa adicionada al soporte y se repite la determinación de la aceleración para cada uno de los sistemas. Una vez concluida la experiencia determine la masa M del anillo, el diámetro usado de la polea de tres pasos, y los diámetros interior y exterior del anillo. Realice las determinaciones y los cálculos en el sistema c.g.s. Posteriormente, se pueden realizar experiencias modificando la posición del disco.

ANÁLISIS DE DATOS

El valor experimental del momento de inercia I del anillo, se halla por la diferencia entre los momentos de inercia de los sistemas disco-anillo y disco-sin-anillo. Comparar el valor experimental con en valor teórico calculado en función de los radios interior y exterior de la masa del anillo.

PLANILLA DE CÁLCULOS Cálculo del momento de inercia I del anillo. Valor teórico: 1

Apreciación del calibre = 𝐴 =

50

= 0,02

Masa anillo: M = 1431,3 gr Radio interior del anillo: 𝑅1 =

𝐷1

Radio exterior del anillo: 𝑅1 =

2 𝐷1 2

=

107,76𝑚𝑚

=

2

= 53,88 𝑚𝑚

127,60 𝑚𝑚 2

= 63,80 𝑚𝑚

Momento

(5,388𝑐𝑚2

de

inercia

+ 6,380𝑐𝑚

del

2)

anillo

teórico:

= 49.905,81 𝑔𝑟. 𝑐𝑚

𝐼𝑡 =

2

1 2

𝑀(𝑅12 + 𝑅22 ) =

1 2

× 1431,3 𝑔𝑟 ×

Cálculo experimental del momento de inercia del anillo:

Diámetro de la Polea del disco: 𝐷 = 16,78 𝑚𝑚 Radio de la Polea del disco: r = D/2 = 16,78/2= 8,39 mm

Sistema disco sin anillo: Momento de inercia I1i (sistema disco sin anillo): 𝑔 980 𝑐𝑚⁄𝑠 2 𝐼11 = 𝑟 2 𝑚 ( − 1) = (0,83 𝑐𝑚)2 × 50 𝑔𝑟 × ( − 1) = 84.355,80𝑔𝑟 𝑐𝑚2 𝑎 0,4 𝑐𝑚⁄𝑠 2 𝑔 980 𝑐𝑚⁄𝑠 2 𝐼12 = 𝑟 2 𝑚 ( − 1) = (0,83 𝑐𝑚)2 × 100 𝑔𝑟 × ( − 1) = 96.377,11𝑔𝑟 𝑐𝑚2 𝑎 0,7 𝑐𝑚⁄𝑠 2 𝑔 980 𝑐𝑚⁄𝑠 2 𝐼13 = 𝑟 2 𝑚 ( − 1) = (0,83 𝑐𝑚)2 × 150 𝑔𝑟 × ( − 1) = 91.958,75𝑔𝑟 𝑐𝑚2 𝑎 1,1 𝑐𝑚⁄𝑠 2

Masa de fricción (mf) gr

Masa colgante (mc)

Masa de trabajo (m=mc-mf)

Aceleración (cm/s2)

Momento de inercia gr.cm2

15 15 15 15

15 65 115 165

15 50 100 150

0,0 0,4 0,7 1,1

0 84355,80 96377,11 91958,75

Sistema disco-anillo: Momento de inercia I2i (sistema disco-anillo): 𝑔 980 𝑐𝑚⁄𝑠 2 𝐼21 = 𝑟 2 𝑚 ( − 1) = (0,83 𝑐𝑚)2 × 50 𝑔𝑟 × ( − 1) = 112.485,88𝑔𝑟 𝑐𝑚2 𝑎 0,3 𝑐𝑚⁄𝑠 2 𝑔 980 𝑐𝑚⁄𝑠 2 𝐼21 = 𝑟 2 𝑚 ( − 1) = (0,83 𝑐𝑚)2 × 100 𝑔𝑟 × ( − 1) = 134.955,51 𝑔𝑟 𝑐𝑚2 𝑎 0,5 𝑐𝑚⁄𝑠 2 𝑔 980 𝑐𝑚⁄𝑠 2 2 2 𝐼21 = 𝑟 𝑚 ( − 1) = (0,83 𝑐𝑚) × 150 𝑔𝑟 × ( − 1) = 144.565,66𝑔𝑟 𝑐𝑚2 𝑎 0,7 𝑐𝑚⁄𝑠 2

Masa de fricción (mf) gr

Masa colgante (mc) gr

Masa de trabajo (m=mc-mf) gr

Aceleración (cm/s2)

Momento de inercia gr.cm2

20 20 20 20

70 120 170

20 50 100 150

0,0 0,3 0,5 0,7

0 112.485,88 134.955,51 144.565,66

Momento de inercia I´ experimental del anillo: 𝐼′ = 𝐼2 − 𝐼1 𝐼𝑚1 ′ = 𝐼2 − 𝐼1 = 112485,88 𝑔𝑟 𝑐𝑚2 − 84355,80 𝑔𝑟 𝑐𝑚2 = 28.130,08 𝑔𝑟 𝑐𝑚2 𝐼𝑚2 ′ = 𝐼2 − 𝐼1 = 134955,51 𝑔𝑟 𝑐𝑚2 − 96377,11 𝑔𝑟 𝑐𝑚2 = 38.578,40 𝑔𝑟 𝑐𝑚2 𝐼𝑚3 ′ = 𝐼2 − 𝐼1 = 144565,66𝑔𝑟 𝑐𝑚2 − 91958,75 𝑔𝑟 𝑐𝑚2 = 52.606,91 𝑔𝑟 𝑐𝑚2 ′

𝐼𝑚1 ′ + 𝐼𝑚2 ′ + 𝐼𝑚3 28.130,08 𝑔𝑟 𝑐𝑚2 + 38.578,40 𝑔𝑟 𝑐𝑚2 + 52.606,91 𝑔𝑟 𝑐𝑚2 𝐼𝑝 = = 3 3 𝐼𝑝 = 39.771,79 𝑔𝑟 𝑐𝑚2 Error Absoluto 𝐸𝑎 = 𝐼𝑡 − 𝐼𝑝 = 49.905,81 𝑔𝑟. 𝑐𝑚2 − 39.771,79 𝑔𝑟 𝑐𝑚2 = 10.134,02 𝑔𝑟 𝑐𝑚2 Error relativo 𝐸𝑟 =

𝐸𝑎 10.134,02 𝑔𝑟. 𝑐𝑚2 = = 0,20 𝐼𝑡 49.905,81 𝑔𝑟. 𝑐𝑚2

Error porcentual 𝐸% = 𝐸𝑟 × 100 = 0,20 × 100 = 20 %

Aplicación del Teorema de Steiner para calcular el momento de inercia del anillo rotando alrededor del diámetro: 𝐼 = 𝐼𝑐𝑚 + 𝑀 × (𝑟12 + 𝑟22 ) Donde: I: es el momento de inercia del cuerpo rotando alrededor del diámetro; Icm: es el momento de inercia del cuerpo según un eje que pasa a través de su centro de masas; M: masa del anillo r1: radio interior del anillo r2: radio exterior del anillo 𝐼 = 49.905,81 𝑔𝑟. 𝑐𝑚2 + 1431,3 gr × (5,388 𝑐𝑚2 + 6,380 𝑐𝑚2 ) = 149.717,43 𝑔𝑟. 𝑐𝑚2 𝐼 = 149.717,43 𝑔𝑟. 𝑐𝑚2

Conclusiones:

La experiencia realizada permite al grupo comparar el momento de inercia teórico con el experimental, y llegar a la conclusión (basados por los resultados del cálculo de errores) de que debido a las fuerzas de rozamiento y a algún error en la medición por parte de los operarios, el valor teórico difiere notablemente del valor experimental.